圆锥曲线与方程复习资料

高中数学选修2－1

第二章 圆锥曲线与方程

知识点： 一、曲线的方程

求曲线的方程（点的轨迹方程）的步骤：建、设、限、代、化 ①建立适当的直角坐标系； (),M x y 及其他的点； ③找出满足限制条件的等式； ④将点的坐标代入等式；

⑤化简方程，并验证（查漏除杂）。

二、椭圆

1、平面内与两个定点1F ，2F 的距离之和等于常数（大于12

F F ）的点的轨迹称为椭圆。

这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距。()12222MF MF a a c +=>

2、椭圆的几何性质： 焦点的位置

焦点在x 轴上

焦点在y 轴上

图形

标准方程

()22

2210x y a b a b +=>> ()22

2210y x a b a b

+=>> 第一定义 到两定点21F F 、

的距离之和等于常数2a ，即21||||2MF MF a +=（212||a F F >） 第二定义 到一定点的距离和到一定直线的距离之比为常数e ，即

(01)MF

e e d

=<< 范围

a x a -≤≤且

b y b -≤≤ b x b -≤≤且a y a -≤≤

顶点

()1,0a A -、()2,0a A

()10,b B -、()20,b B

()10,a A -、()20,a A ()1,0b B -、()2,0b B

轴长 长轴的长2a = 短轴的长2b = 对称性 关于x 轴、y 轴对称，关于原点中心对称

焦点

()1,0F c -、()2,0F c ()10,F c -、()20,F c

3、设M 是椭圆上任一点，点M 到F 对应准线的距离为1d ，点M 到F 对应准线的距离为2d ，则121

2

F F e d d M M ==。

常考类型

类型一：椭圆的基本量

1．指出椭圆36492

2

=+y x 的焦点坐标和离心率.

【变式1】椭圆

116

252

2=+y x 上一点P 到椭圆一个焦点的距离为3，则P 到另一个焦点的距离=________

【变式2】椭圆

125

162

2=+y x 的两个焦点分别为21F F 、，过2F 的直线交椭圆于A 、B 两点，则1ABF ?的周长1ABF C ?=___________.

【变式3】已知椭圆的方程为11622

2=+m

y x ，焦点在x 轴上，则m 的取值范围是（ ）。

A ．－4≤m ≤4且m ≠0

B ．－4＜m ＜4且m ≠0

C ．m ＞4或m ＜－4

D ．0＜m ＜4

类型二：椭圆的标准方程

2. 求适合下列条件的椭圆的标准方程：

（1）两个焦点的坐标分别是（－4，0）、（4，0），椭圆上一点P 到两焦点距离的和是

10； （2） 两焦点的坐标分别为()()4-04,0，，，且椭圆经过点）

（0,5。 【变式1】已知一椭圆的对称轴为坐标轴且与椭圆14

92

2=+y x 有相同的焦点，并且经过点（3，－2），求此椭圆的方程。

3．求经过点P （－3，0）、Q （0，2）的椭圆的标准方程。

【变式1】求与椭圆4x 2

+9y 2

=36有相同的焦距，且离心率为5

5

的椭圆的标准方程。

【变式2】在椭圆的标准方程中

，

，则椭圆的标准方程是（ ）

A ．

1353622=+y x B ．1353622=+x y C ．136

22

=+y x D ．以上都不对

【变式3】长轴长等于20，离心率等于

5

3

，求椭圆的标准方程。

类型三：求椭圆的离心率

4．已知椭圆一条准线为4+=x y ，相应焦点为），（1-1，长轴的一个顶点为原点O ，求其离心率的取值。

【变式1】椭圆的两个焦点把两条准线间距离三等分，则椭圆离心率为( )

A.

63 B.33 C.2

3 D. 不确定 【变式2】椭圆的一个顶点与两焦点构成等边三角形，则此椭圆的离心率是（ ）

5.已知椭圆122

22=+b

y a x （0>>b a ），以，，为系数的关于的方程

无实根，求其离心率的取值范围。

类型四：椭圆定义的应用

6．若一个动点P （x ，y ）到两个定点A （－1，0）、A ＇（1，0）的距离的和为定值m （m>0），试求P 点的轨迹方程。

【变式1】下列说法中正确的是（ ）

A ．平面内与两个定点的距离和等于常数的点的轨迹叫做椭圆

B ．平面内与两个定点的距离和等于常数的点的轨迹是一条线段

C ．平面内与两个定点的距离和等于常数的点的轨迹是一个椭圆或者是一条直线

D ．平面内与两个定点的距离和等于常数的点的轨迹存在，则轨迹是一个椭圆或者是一条线段

【变式2】已知A （0，－1）、B （0，1）两点，△ABC 的周长为6，则△ABC 的顶点C 的轨迹方程是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

类型五：坐标法的应用

7．△ABC 的两个顶点坐标分别是B （0，6）和C （0，－6），另两边AB 、AC 的斜率的乘积是9

4

-

，求顶点A 的轨迹方程。

【变式1】△ABC 两顶点的坐标分别是B （6，0）和C （－6，0），另两边AB 、AC 的斜率的积是9

4

-

，则顶点的轨迹方程是（ ） A ．

B ．

C ．

D ．

课后练习

1．椭圆

22

11625

x y +=的焦点坐标为 （A ）(0, ±3) （B ）(±3, 0) （C ）(0, ±5) （D ）(±4, 0)

2．在方程

22

110064

x y +=中，下列a , b , c 全部正确的一项是 （A ）a =100, b =64, c =36 （B ）a =10, b =6, c =8 （C ）a =10, b =8, c =6 （D ）a =100, c =64,

b =36

3．已知a =4, b =1，焦点在x 轴上的椭圆方程是

（A ）2214x y += （B ）2214y x += （C ）22116x y += （D ）22

116

y x += 4．已知焦点坐标为(0, －4), (0, 4)，且a =6的椭圆方程是

（A ）

2213620x y += （B ）2212036x y += （C ）2213616x y += （D ）22

11636x y += 5．若椭圆

22

110036

x y +=上一点P 到焦点F 1的距离等于6，则点P 到另一个焦点F 2的距离是 （A ）4 （B ）194 （C ）94 （D ）14

6．已知F 1, F 2是定点，| F 1 F 2|=8, 动点M 满足|M F 1|+|M F 2|=8，则点M 的轨迹是 （A ）椭圆 （B ）直线 （C ）圆 （D ）线段

7．当a +b =10, c =25时的椭圆的标准方程是 .

8．已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任意一点P 向x 轴作垂线段PP ’，则线段PP ’的中点M 的轨迹方程为 .

9．经过点M (3, －2), N (－23, 1)的椭圆的标准方程是 .

三、双曲线

1、平面内与两个定点1F ，2F 的距离之差的绝对值等于常数（小于12F F ）的点的轨迹称为双曲线。这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距。()12222MF MF a a c -=<

2、双曲线的几何性质： 焦点的位置

焦点在x 轴上

焦点在y 轴上

图形

标准方程

()22

2210,0x y a b a b -=>> ()22

2

210,0y x a b a b

-=>> 第一定义

到两定点21F F 、

的距离之差的绝对值等于常数2a ，即21||||2MF MF a -=（2102||a F F <<）

第二定义 与一定点的距离和到一定直线的距离之比为常数e ，即

(1)MF

e e d

=> 范围 x a ≤-或x a ≥，y R ∈ y a ≤-或y a ≥，x R ∈

顶点 ()1,0a A -、()2,0a A ()10,a A -、()20,a A

轴长 实轴的长2a = 虚轴的长2b = 对称性 关于x 轴、y 轴对称，关于原点中心对称

焦点 ()1,0F c -、()2,0F c ()10,F c -、()20,F c

焦距

222122()F F c c a b ==+

离心率

222222

2

1(1)c c a b b e e a a a a

+====+>

4、设M 是双曲线上任一点，点M 到F 对应准线的距离为1d ，点M 到F 对应准线的距离为2d ，则121

2

F F e d d M M ==。

常考类型

类型一：双曲线的定义及标准方程

例1. 如图2所示，F 为双曲线116

9:

2

2=-y x C 的左 焦点，双曲线C 上的点i P 与()3,2,17=-i P i 关于y 轴对称， 则F P F P F P F P F P F P 654321---++的值是（ ） A ．9 B ．16 C ．18 D ．27

练习:设P 为双曲线112

2

2

=-y x 上的一点F 1、F 2是该双曲线的两个焦点，若|PF 1|：|PF 2|=3：2，则△PF 1F 2的面积为 （ ）

A ．36

B ．12

C ．312

D ．24

例2. 已知双曲线C 与双曲线162

x －4

2y =1有公共焦点，且过点（32，2）.求双曲线C 的

方程．

准线方程

2

a x c =±

2

a y c

=±

渐近线方程

b y x a

=±

a y x b

=±

焦半径

0,0()M x y

M 在右支1020MF ex a MF ex a ?=+??

=-??左焦：

右焦： M 在左支1020MF ex a MF ex a ?=--??

=-+??左焦：

右焦： M 在上支1020MF ey a MF ey a ?=+??

=-??左焦：

右焦：

M 在下支1020MF ey a MF ey a ?=--??

=-+??

左焦：

右焦： 焦点三角形

面积

12212cot

()2

MF F S b F MF θ

θ?==∠

通径

过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：2

b HH a

'=

练习: 1. 曲线

)6(161022<=-+-m m y m x 与曲线)95(1952

2<<=-+-n n

y n x 的 （ ）

A ．焦距相等

B ．焦点相同

C ．离心率相等

D ．以上都不对

2. 已知椭圆153222

2=+n

y m x 和双曲线13222

22=-n y m x 有公共的焦点，（1）求双曲线的渐近线方程（2）直线l 过焦点且垂直于x 轴，若直线l 与双曲线的渐近线围成的三角形的面积为

4

3

，求双曲线的方程 类型二：双曲线的几何性质 题型1 求离心率或离心率的范围

例3.已知双曲线

221x y m n -=的一条渐近线方程为43

y x =，则该双曲线的离心率e 为 题型2 与渐近线有关的问题

例4.若双曲线)0,0(122

22>>=-b a b

y a x 的焦点到渐近线的距离等于实轴长，则双曲线的离

心率为 （ ） A.2

B.3

C.5

D.2

练习：焦点为（0，6），且与双曲线1

222

=-y x 有相同的渐近线的双曲线方程是 （ ）

A ．1

241222=-y x B ．1241222=-x y C ．1122422=-x y D ．112242

2=-y x

题型3 焦点三角形

点P 是双曲线13

422=-y x 上一点，F 1、F 2是双曲线焦点，若∠F 1PF 2=120o

，

则?F 1PF 2的面积

练习：设21,F F 是双曲线

11692

2=-y x 的两个焦点，点P 在双曲线上，且 6021=∠PF F ，求?21PF F 的面积。

课后练习 一、填空题

1．椭圆19222=+k

y x 与双曲线1322=-y k x 的焦点相同，则k= 。