清华大学微积分A习题课_6一致连续 函数的可积性 定积分的性质 不定积分
“ ”. 用反证法. 假设 f ( x) 在 I 上非一致连续，即 0 0, 0, x, y I ，满足 | x y | ，但
f ( x) f ( y ) 0 ．
取 1, x1 , y1 I ,| x1 y1 | 1, 有 f ( x1 ) f ( y1 ) 0 . 取
n
lim[ f ( xn ) f ( yn )] 0 ,与已知条件矛盾.故函数 f ( x) 在区间 I 上一致连续.
n
二、函数的可积性. 5. 已知 f ( x)) R[a, b] . 证明：因为 f ( x) 在 [a, b] 上可积，所以 f ( x) 在 [a, b] 上有界，设 M sup {| f ( x) |} ．
1 1 , x2 , y2 I ,| x2 y2 | , 有 f ( x2 ) f ( y2 ) 0 . 2 2 1 1 , xn , yn I ,| xn yn | , 有 f ( xn ) f ( yn ) 0 . n n
取
从 而 在 区 间 I 上 构 造 出 两 个 数 列 { xn } 与 { yn } . 显 然 lim( xn yn ) 0 ， 但
i 1
n
由于
f ( x) 可积，当划分直径趋向于零时， i xi 0 ，于是
i 1
n
ie
i 1
n
f
xi 0 ，
故函数 exp[ f ( x)] 在 [a, b] 上可积． 6. 证明：当 f ( x) 0 时， w
a x b
对于区间 [a, b] 的任意划分 T {x0 , x1 , x2 ,, xn } ， 记
M i sup{ f ( x) | xi 1 x xi } ， mi inf{ f ( x) | xi 1 x xi } ， i M i mi ．
u , v [ xi 1 , xi ] ，有
f ( x) max f ( x0 ) 1, f ( x1 ) 1,
即 f ( x) 在 (a, b) 上有界.
, f ( xN ) 1 ， x (a, b)
4. 证明： 函数 f ( x) 在区间 I 上一致连续的充要条件是： 对区间 I 上的任何两个数列 { xn } 与
微积分 A(1)第七次习题课参考答案（第十一周）
一、一致连续 1. 已知：函数 f ( x) 满足 x, y I ,| f ( x) f ( y ) | L | x y | ，证明： f ( x) 在 I 上一致连 续. 证明：若 L 0 ， f ( x) 为常数函数，一致连续； 若 L 0 ， 0 ，取 故 f ( x) 在 I 上一致连续。 2.证明： f ( x) cos x ， g ( x) cos x 在 (, ) 上一致连续 . 证明： x1 , x2 可知 f ( x) 在 ，由中值定理， cos x1 cos x2 sin ( x1 x2 ) x1 x2 ，由上一题
| exp[ f (u )] exp[ f (v)] | exp( ) | f (u ) f (v) | Mi ，
Page 2 of 7
其中 介于 所以
f (u ), f (v) 之间， M exp(M ) ．
f
ie M i ，从而
ie
i 1
n
f
xi M i xi ．
ba b a f ( x) f ( x) 1 。记 N 2, xi a i , i 0,1, 2, N
, N ， x (a, b),
i0 {0,1, 2,
, N }, x xi0 ， f ( x) f ( xi0 ) 1 。故
| x y | 时，有 f ( x) f ( y ) ．
由于 lim( xn yn ) 0 ，对上述 0 ， N
n
，对 n N ，都有 | xn yn | , 从而
有 f ( xn ) f ( yn ) , 即 lim[ f ( xn ) f ( yn )] 0 .
Page 1
of 7
{ yn } ，当 lim( xn yn ) 0 时，有 lim[ f ( xn ) f ( yn )] 0 .并考察 e x ,ln x 在 (0, ) 上是
n
n
否一致连续？ 证明： “ ”. 设函数 f ( x) 在区间 I 上一致连续，即 0, 0 ，对 x, y I ，当
L
， x1 , x2 I , x1 x2 , f ( x1 ) f ( x2 ) 。
上一致连续。
g ( x) cos x 在 [1,1] 上一致连续。当 x [1, ) 时，由中值定理， x1 , x2 [1, ) ，
cos x1 cos x2 sin 1 ( x1 x2 ) x1 x2 2 2
故 g ( x) cos x 在 x [1, ) 上一致连续。同理， g ( x) cos x 在 x (, 1] 上一致 连续。因此 g ( x) cos x 在 (, ) 上一致连续。 注意，这个题目对于 g(x)，定义域取正区间。原题目有误。 3.已知 f ( x) 在 (a, b) 上一致连续，证明： f ( x) 在 (a, b) 上有界. 证明：因为 f ( x) 在 (a, b) 上一致连续，对于 1, 0, x, x (a, b), x x ,
清华微积分答案
清华微积分答案a=? f是向量值函数，可以观察，e与a平行时，f的方向导数最大，且大小a.e=||a||，称a是f的梯度场向量值函数的切平面、微分、偏导f(x)=(f1(x),f2(x),…,fm(x))，若所有fi在x0处可微，则称f在x0处可微，即f(x)=f(x0)+a(x-x0)+o(||x-x0||)，其中a=(aij)m*n=?f/?x=?(f1,f2,…,fm)/?(x1,x2,…,xn)=j(f(x0)))称为f在x0处的jacobian (f的jacobian的第i行是f的fi分量的梯度，aij := ?fi/?xj)f的全微分df=adx当m=n时，f有散度div(f)和旋度curl(f)div(f) = ?.f=?f1/?x1 +…+?fm/?xm复合函数求导一阶偏导：若g=g(x)在x0可微，f=f(u) (u=g(x))在g(x0)可微，则f○g在x0处可微，j(f○g) = j(f(u)) j(g(x))具体地，对于多元函数f(u)=f(u1,…,um)，其中u=g(x)即ui=g(x1,…,xn)?f/?xj= ?f/?u * ?u/?xj= sum[?f/?ui * ?ui/?xj]{for each ui in u}高阶偏导：不要忘记偏导数还是复合函数例：f(u):=f(u1,u2), u(x):=(u1(x1,x2),u2(x1,x2))?2f/(?x1)2 = 数学分析教程p151隐函数、隐向量值函数由f(x,y)=0确定的函数y=f(x)称为隐函数隐函数：1. 存在定理：若n+1元函数f(x,y)在零点(x0,y0)处导数连续，且?(f)/?(y)(x0,y0)0，则存在(x0,y0)附近的超圆柱体b=b(x0)*b(y0)，使得b(x0)上的任意一点x可以确定一个y使得f(x,y)=0，即函数f 在b内确定了一个隐函数y=f(x)，而且这个隐函数的一阶偏导数也连续注：如果?(f)/?(y)=0，那么在x=x0超平面上，y在x0处取得了极值，那么沿曲面被x=x0截的曲线从x0处向任意方向走，y都会减小，所以y是双值函数，不是函数,??)处，2.偏导公式：在b内的(??????????/??????=???或者说????????/????=?????不正式的证明：f(x,y)≡0, 所以?f/?xi=0,即sum[?f/?xj* ?xj/?xi]=0 (把y记做xn+1)由于x的各分量都是自变量，?xj/?xi=0 (ij)所以?f/?xi + ?f/?y * ?y/?xi=0于是立即可得上述公式隐向量值函数：1.存在定理：若x∈rn,y∈rm，m维n+m元向量值函数f(x,y)=0，在p0=(x0,y0)点的某个邻域b(p0,r)内是c(1)类函数，f(p0)=0，且?f/?y可逆，则存在p0的邻域b(x0)*b(y0)，使得对于在b(x0)内的任意x，存在唯一y∈b(y0)满足f(x,y)=0，即f在b内确定了一个连续可微隐函数y=f(x)2.偏导公式：j(f) :=?(y1,…,ym)/?(x1,…,xn) :=?y/?x= -[?f/?y]-1*?f/?x注：1.求逆矩阵用伴随矩阵的方法，a-1=a*/|a|，a*是a的余子矩阵的转置2.如果只求j(f)中的一列，?(y)/?(xi)=-[?(f)/?(y)]-1* [?(f)/?(xi)]3.如果只求j(f)中的一行或者一个元素，问题退化成隐函数偏导的问题4.计算?f/?x时，忽略y是x的函数，将y当作自变量计算（从证明中可以看出原因，因为?y/?x的成分被移到了等式左侧j(f)里面)，而不用偏导公式，采取对f(x,y)=0左右同时对xi求偏导的方法时，y要看做xi的函数）3.隐向量值函数的反函数：函数y=f(x)将rn映射至rm，如果j(f)= ?f/?x可逆，那么存在f的反函数x=f-1(y)，且j(f-1)=[j(f)]-1注：1.求逆矩阵用伴随矩阵的方法，a-1=a*/|a|，a*是a的余子矩阵的转置2.|j(f-1)|=|j(f)|-1用参数形式给出的隐函数若有x=x(u,v)，y=y(u,v)，z=z(u,v)，则需要列方程求曲面和曲线的切平面、法线、法向量三维空间下，函数f(x,y,z)=0确定了一个曲面。
映射一致连续性的判别方法
Part Three
映射一致连续性的 性质
映射一致连续性与度量空间的关系
映射一致连续性是性保证了度量空 间中序列的收敛性
映射一致连续性是度量空间完 备性的必要条件
映射一致连续性在函数空间中 也有重要的应用
映射一致连续性与拓扑空间的关系
映射一致连续性是 拓扑空间的一种重 要性质
映射一致连续性 的判别方法包括 利用函数的一致 连续性定理、闭 区间上连续函数 的性质等。
映射一致连续性 的性质和函数连 续性的性质有相 似之处，但也有 一些重要的区别。 例如，函数一致 连续性定理不能 直接应用于非一 致连续的函数。
Part Four
映射一致连续性的 应用
在数学分析中的应用
函数极限的判定
映射一致连续性可 以保证拓扑空间的 连通性和紧致性
映射一致连续性可 以反映拓扑空间中 点集的收敛性质
映射一致连续性与 拓扑空间的基有关 ，是研究拓扑空间 的重要工具
映射一致连续性与函数连续性的关系
映射一致连续性 是函数连续性的 一种扩展，它考 虑了函数在无穷 序列下的行为。
映射一致连续性 的性质包括对任 意给定的正数ε， 存在一个正数δ， 使得当x1，x2的 差的绝对值小于 δ时，f(x1)与 f(x2)的差的绝对 值小于ε。
映射一致连续性的判别 方法
XX,a click to unlimited possibilities
汇报人：XX
目录
01 映 射 一 致 连 续 性 的 定义
03 映 射 一 致 连 续 性 的
性质
05 判 别 映 射 一 致 连 续 性的优缺点
02 判 别 映 射 一 致 连 续 性的方法
04 映 射 一 致 连 续 性 的 应用
函数的连续性(122)
一致连续性是指函数在定义域内的任何自变量变化都非常小，对应的函数值变化也非常小。也就是说，对 于任意给定的正数$epsilon$，存在一个正数$delta$，使得当$|x_1 - x_2| < delta$时，有$|f(x_1) f(x_2)| < epsilon$。
ห้องสมุดไป่ตู้
紧致性定理
总结词
紧致性定理是函数连续性的一种重要推 论，它表明如果一个函数在一个闭区间 上连续，则该函数在该区间上必有最大 值和最小值。
断。
03 函数连续性的应用
利用连续性求极限
极限定义
极限是描述函数在某点附近的行为的数学工具。如果函数在某点 的极限存在，则函数在该点连续。
单侧极限
单侧极限是研究函数在某点左侧或右侧的行为，通过单侧极限可以 判断函数在该点是否连续。
极限的四则运算
通过函数的连续性，可以推导出极限的四则运算性质，例如加减、 乘除等运算的极限。
有限覆盖定理是指如果一个闭区间被有限个 开子区间覆盖，则这些开子区间中至少有一 个是包含在另一个开子区间中的。这个定理 在实数理论中非常重要，它表明实数轴上的 任何开覆盖都可以被有限个开子区间所覆盖。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
函数在区间上的连续性
总结词
函数在区间上的连续性是指函数在区间内的任意一点都连续 。
详细描述
如果一个函数在其定义域的每一个子区间内都连续，则称该函 数在其定义域上连续。这意味着对于定义域内的任意两点$x_0$ 和$x_1$，当$x_0<x<x_1$时，函数$f(x)$都满足连续性的定义。
连续函数的基本性质
02 函数连续性的判定
函数在某点连续的判定
【精品】第7章定积分习题课
第七章定积分习题课一、主要内容1、可积性的判断重点掌握：1个定义、三个充要条件一个定义指的是定积分的定义，要深刻理解定积分的定义，掌握定义的灵活应用，掌握利用定义证明简单函数的可积性，掌握定义中的两个任意性（分割和点的选取）的应用，即在已知函数可积的条件下，可在定义中取特殊的分割和特殊的分点，从而求解一个和式的极限得到定积分。
三个充要条件指的是判断函数可积的三个充分必要条件，第一充要条件通常用来处理简单的特殊的具体函数的可积性，因为只有这样的函数才容易计算其上下和；常用的是第二充要条件：将可积性的证明转化为分割关系和振幅关系的讨论；当讨论的函数涉及到连续点的结构或不连续点的分布时，用第二个充要条件。
定义和三个条件都是函数可积的充分必要条件，但是，这4个条件使用的对象不同，定义给出的条件既是定性的又是定量的，更侧重于定量方面，通常涉及到定积分量的方面时，要首先考虑用定义处理；第一充分必要条件既是定性条件，又是定量条件，但是，它大多用于简单特殊的具体函数的不可积性的论证；第二充要条件是定性条件，只能用于判断函数的可积性，且侧重于研究好函数的可积性，但对相应的定积分值没有任何信息；第三充分必要条件也是定性的，它侧重于研究较差的函数的可积性，特别涉及到连续点的结构时，通常用第三充分必要条件。
2、不可积的判断常用的方法有：定义法――通过选取不同的特殊分割和分点，使得对应的和式极限或不存在或不相同；Darboux和法――利用Darboux上下和极限的不同得到不可积性。
3、定积分的性质要掌握利用定积分的性质研究各种定积分问题。
4、变限积分函数的性质变限积分函数给出了一类新的函数形式，引入了一类新函数，要求掌握这类函数的运算和性质。
5、定积分的计算掌握定积分计算的各种方法和技巧，包括：基本公式――转化为不定积分的计算，因而，可使用不定积分计算的相应技巧和方法；特殊结构的特殊处理方法。
如被积函数为奇偶函数或具有周期性质时。
定积分的概念和可积条件省公开课金奖全国赛课一等奖微课获奖课件
数学分析
几何意义:
它是介于 x 轴、函数 f (x)的图形及两条 直线 x a, x b 之间的各部分面积的代数和． 在 x 轴上方的面积取正号；在 x 轴下方的面 积取负号．
29/53
数学分析
例1 利用定积分定义证明 1 D( x)dx不存在. 0
证实 由实数性质知, 对于[0，1]的任意划分, 在[ xi1 , xi ]都
n
n
于是，lim 0i
1
i
xi
lim
0i
1
xi
1，
所以Dirichlet函数不是Riemann可积的。
42/53
数学分析
推论3 闭区间上只有有限个不连续点的有界函数必定可积。
证 只证 f ( x)在[a,b]上只有一个不连续点 x c (a,b)。
设| f ( x) | M ，对任意的 0，取a a c b b，使
第七章 定积分
第一节 定积分概念和可积条件
一、定积分概念背景
二、定积分定义
三、可积条件
数学分析
重点：定积分定义与可积条件 难点:可积条件与可积函数
1/53
一、定积分概念背景
数学分析
实例1 （求曲边梯形面积）
曲边梯形由连续曲线 y f ( x)( f ( x) 0)、
x轴与两条直线x a 、
x b所围成.
理1也可以等价地表述为
定理2 有界函数 f ( x)在[a,b]可积的充分必要条件
是，对任意划分，当 m1iaxn(xi ) 0时，
n
lim
0i
1
i
xi
0。
定理2 的几何意义是当分
割无限细分时（即 0），
不定积分例题及标准答案
第4章不定积分
习题4-1
1.求下列不定积分：
知识点:直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。
思路分析:利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分!
★(１）
思路: 被积函数5
2
x -=,由积分表中的公式（2)可解。
解:53
22
23x dx x C --==-+⎰
★（2）dx
⎰
思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项，分别积分。
解:1
14111
3332223()2
4dx x x dx x dx x dx x x C ---=-=-=-+⎰⎰⎰⎰ ★（3)22x x dx +⎰（）
思路：根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。
解:22
32122ln 23x x x x dx dx x dx x C +=+=++⎰⎰⎰（）
★(4)3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项,分别积分。
解：3153
222223)325x dx x dx x dx x x C -=-=-+⎰⎰⎰ ★★（5)4223311x x dx x +++⎰
思路:观察到422223311311
x x x x x ++=+++后,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项,分别积分。
解：42232233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x
++=+=++++⎰⎰⎰ ★★(6）2
21x dx x +⎰
思路:注意到222221111111x x x x x +-==-+++,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项,分别积分。
清华大学微积分(高等数学)课件第17讲_定积分(二)
x
x
2020/2/25
M x 0 ( x 0)
5
[证] (2) 用导数定义证明
任取 x [a, b], x x [a, b]
由(1),有 F( x) lim F ( x x) F ( x)
x0
x
1 xx
lim f (t)dt
x0 x x
2(t arctant)
2
0
2
2020/2/25
23
[例3] 若f ( x)在对称区间[a, a]上连续,则
(1)当f ( x)为偶函数时, 有
a
a
f (x)dx 2 f (x)dx
a
0
(2)当f ( x)为 奇 函 数 时, 有
a
f (x)dx 0 a
[证](1)
eu 2x 2xe x2 7
[例2] 求
d dx
x2 x3
e
t
dt
[解]
x2 etdt 1 etdt x2 etdt
x3
x3
1
x2 etdt x3 etdt
1
1
d dx
x2 x3
e
t
dt
0
0
即
I1 I2
2020/2/25
19
三、定积分的换元积分法
定理1: (定积分的换元积分法)
设 函 数 f ( x) C [a, b],作 变 换 x (t),
满足三个条件：
(1) (t ) C 1[ , ];
(2) a (t) b;
(3) ( ) a, ( ) b ,
清华微积分(高等数学)课件第十九讲定积分的应用(一)
M
i
B Mn
n
l lim Mi1Mi
0 i1
x
21
(1) 设曲线段方程为 y f (x) (a x b)
曲 线 是 光 滑 的,即 f ( x)在[a, b]上 连 续
Mi1Mi ( xi )2 ( yi )2 (i 1, 2, , n)
由Lagrange中 值 定 理 得 到
y c, y d 所围成的面积A
y
d
y dy y
x ( y) x ( y)
c
面积公式：
o
x
d
A [ ( y) ( y)] dy
2019/11/25
c
9
[例2] 求由曲线x 5 y2 , x 1 y2所围成
的 面 积 A.
1y
[解] 解方程组
2
x 5y2
1 [ f (i )]2 xi
b 1 [ f ( x)]2 dx a
弧 长 ：l b 1 [ f (x)]2 dx b 1 y2 dx
2019/11/25
a
a
23
(2) 设曲 线段 由参 数方 程给出
x x(t)
y
y(t )
( t )
2
曲率公式
R
1 k
称为曲线y
f ( x)在M0处
的曲率半径
2019/11/25
33
y
（五）旋转体的侧面积
T M
y f (x)
oa
x x dx b
x
用切线MT绕x轴 旋转所得圆台的
侧面积近似
2019/11/25
函数一致连续的判别方法及其应用.
函数一致连续的判别方法及其应用摘要函数一致连续性是数学分析的重要概念，一般教材只给出一致连续的概念及Cantor 定理，没有做更深入的研究。
本文比较全面的总结了判断函数的一致连续性的条件，并结合具体例子对这些方法加以应用，而且对基本初等函数的一致连续性作了较为完整的讨论，从充要等条件出发进行深入的分析和系统的总结。
关键词：一致连续积分导数Cantor定理基本初等函数AbstractThe uniform continuity of function is an important concept of mathematical analysis. General textbooks only show the concept of uniform continuity and the Cantor theory, without a more in-depth study. This thesis comprehensively summarize the conditions to judge the uniform continuity of functions, combined with specific examples of these methods to be applied, and made a more complete discussion of the uniform continuity of the basic elementary functions, with in-depth analysis and summary, starting from the necessary and sufficient conditions.Keywords:uniform continuity integral derivative Cantor theorem Basic elementary function目录摘要 (Ⅰ)Abstract (Ⅱ)第一章引言 (1)第二章一致连续的充要条件 (2)第三章一致连续的充分条件 (10)第四章函数一致连续的应用 (16)4.1 应用一：基本初等函数的一致连续性的应用 (16)4.2 应用二：反函数的一致连续性的应用 (18)4.3 函数的四则运算的一致连续性 (21)总结 (24)致谢 (25)参考文献 (26)第一章引言我们知道，函数的一致连续性是数学分析中应用非常普遍，重要而又抽象的数学概念之一，它体现在某个区间上的整体性质，是微积分学的基础，并且对后续课程的学习起着关键作用。
第6章 不定积分
第六章 不定积分引 言我们知道，函数是数学分析研究的主要对象，前面几章我们已经学习了函数的微分学理论，主要内容包括导数的计算和导函数的分析性质，而其基本问题是导数的计算——给定已知函数，求出它的导数；但在某些实际问题中，往往需要考虑与之相反的问题——求一个函数，使其导数恰好是某一个给定的函数——这就是所谓的积分问题。
看一个例子：例1 一个静止的物体，其质量为m=1， 在力()sin F t t = 的作用下沿直线运动，给出物体的运动速度()v t 所满足的方程。
解、由所给的条件，可以利用Newton 第二定理计算出物体的加速度为sin F a t m==,因而，若设其速度为()v t ，则()sin v t a t ¢==。
因此，这个问题本质就是：已知导函数()v t ¢， 求原来的函数()v t 。
这类问题在实际应用和工程技术领域中还有很多，如几何问题中常见的已知切线求曲线问题、自然界中广泛存在的反应扩散现象等，因而，这类问题有很强的应用背景。
特别是在17世纪，这类问题是当时物理和几何学中急待解决的问题，是摆在数学家面前的重要的问题，经过3百多年的努力，今天，这类问题不仅已经得到彻底的解决，而且已经形成了完整且完美的数学理论――积分学理论：称这类由导函数()f x ¢ 求 原来函数)(x f 的运算为积分运算，研究这类运算及其相关的理论就是积分学理论。
我们将在本章和下一章引入这种理论。
为了引入这种理论，先引入基本概念。
§1不定积分概念与基本积分公式 一 、 原函数与不定积分我们引入积分理论中的基本概念。
定义1.1 设函数)(x f 与)(x F 在区间I 上有定义且)(x F 可导，若)()(x f x F ='， Ix ∈，则称)(x F 为)(x f 在区间I 上的一个原函数。
注、由定义，若)(x F 为)(x f 的一个原函数，则从导数角度，)(x f 为)(x F 的导函数，这也反映了原函数何导函数的紧密关系。