中考数学专题复习十五三角形(含答案)

中考数学专题复习十五三角形
【课标要求】
【知识梳理】
①了解三角形有关概念（内角、外角、中线、高、角平分线），会画出任意三角形的角平分线、中线和高．了解三角形的稳定性。

三角形两边之和大于第三边。

②探索并掌握三角形中位线的性质。

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【能力训练】一、选择题：
1．如图，已知△ABC 中，AQ=PQ 、PR=PS 、PR ⊥AB 于R ，PS ⊥AC 于S ，
有以下三个结论：①AS=AR ；②QP ∥AR ；③△BRP ≌△CSP ，其中( )．
(A)全部正确 (B)仅①正确 (C)仅①、②正确 (D)仅①、③正确
2．已知线段a 、b ，要想作一条线段AB ，使
AB=
2
2b a
，
正确的作法是(图中直线m ∥n)( )．
3．将下列命题的条件与结论互换，得到的命题仍是真命题的是( )．
一、1题图
一、2题图
A(B) C
D
E
一、4题图
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(A)对顶角相等 (B)全等三角形的对应角相等 (C)直角三角形两锐角互余 (D)如果a >b ，b >c ，那么a >c 4．如图,将直角边AC=6cm,BC=8cm 的直角△ABC 纸片折叠,使点B 与
点A 重合,折痕为DE,则CD 等于( ) (A)4
25 (B) 3
22 (C) 4
7 (D) 3
5
5．如图，结合图形作出了如下判断或推理：
①如图甲，CD ⊥AB ，D 为垂足，那么点C 到AB 的距离等于C 、D 两点间的距离；
②如图乙，如果AB ∥CD ，那么∠B=∠D ； ③如图丙，如果∠ACD=∠CAB ，那么AD ∥BC ；
④如图丁，如果∠1=∠2，∠D=120°，那么∠BCD=60°．其中正确的个数是( )个．
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
一、5题图
一、6题图
一、5题图
6．如图，BE 、CF 是ABC 的高，M 是BC 的中点，则图中三角形一定
是等腰三角形的有（）
（A ）2个（B ）3个（C ）4个（D ）5个
7．如图，AD 、BE 是△ABC 的高，相交于F 点，则图中共有相似三角形（）
（A ）6对（B ）5对（C ）4对（D ）3
对
8．如图，在ABG 中，D 、E 和C 、F 分别是AG 、BG 的
三等分点下面给出四个结论：（1）:1:4GDC GEF
S S ∆∆=（2）:1:9GDC GAB S S ∆∆=
（3）S △EGF ：S △GAB =2：3（4）EFCD ABFE :1:3:5GDC S S S ∆=四边形四边形：其中结论正确的个数是（）
（A ）1 （B ）2 （C ）3
（D ）4 二、填空题
一、
7题图一、8题图
二、1题图
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1．如图，将一副三角板叠放在一起，使直角顶点重合于
点O ，则∠AOC+∠DOB 的度数为度．
2．如图，在△ABC 中，∠C=90°，AD 是△ABC 中∠CAB
的角平分线，DE ⊥AB 于E ，要使△ADC ≌△BDE ，需
要添加一个条件，这个条件是．
3．一个钢筋三角架，三边长分别为2m 、5m 、6m ，现要求做一个与之相似的钢筋三角架，现只有长为3m 和5m 的两根钢筋，要求以其中一根为—边，从另根—上截下两段(允许有余料)作为另两边，则另两边的长为．
4．如图，已知A ，B ，C ，D ，E 五点的坐标分别为(1,2)，(3,2)，(4,3)，
(2,6)，(3,5)．如果点F 在第—象限内，且以D ，E ，F 为顶点的三角
形与△ABC 全等，那么点F 的坐标为．
二、2题图二、5题图
5．在一单位为1cm 的方格纸上，依右图所示的规律，设定
点A 1、A 2、A 3、A 4…、A n ，连结点A 1、A 2、A 3组成三角形，记为△1，连结点A 2、A 3、A 4组成三角形，记为△2…，连结点A n 、A n+1、A n+2组成三角形，记为 △
n (n 为正整数)．请你推断，当△n 的面积为100cm 2
时，n= ．三、解答题
1．在如图所示的方格纸中，画出，△DEF 和△DEG
(F 、G 不能重合)，使得△ABC ≌△DEF ≌DEG ．你能说明它们为什么全等吗? ‘’
2．如图，有一湖泊，岸边A 、B 间的距离不能直接测量，为得到
A 、
B 间的距离，请你利用测角仪和皮量尺，在岸上设计出两
二、5题图三、1题图
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种测量方案(分别画出说明方案的图形，方案的依据需是本单元的有关知识)，并就方案写出表示A 、B 间的距离的所要测量的线段．(经测量所得线段长用a (或b 或c 等)表示，角度用α(或β)表示)．
3．测量小玻璃管口径的量具CDE 上，CD=l0mm ，
DE=80mm ．如果小管口径AB 正对着量具上的 50mm 刻度，那么小管口径AB 的长是多少?
三、2题图
三、3题图
4．如图，正方形网格中的小正方形的面积都为1，网格中有△ABC和△DFE．
(1)这两个三角形相似吗?说出你的理由；
(2)请你以网格中的格点为顶点，在网格中再画出
一个面积为4且与△ABC相似的三角形．
三、4题图
5．如图，已知，△ABC、△DCE、△FEG是三个全等的等腰三角形，底边BC、CE、EG在同一直线上，且AB=3，BC=1．连结BF，分别交AC、DC、DE于点P、Q、R．
三、5题图
(1)△BFG与△FEG相似吗?为什么?
(2)写出图中所有与△ABP相似的三角形(不必证明)．
6．如图(a)所示，锐角△ABC中，BC>AB>AC，D、E分别是BC、AB上的动点，连结
AD、DE．
(1)当D、E运动时，分别在其余的三个图中画出D、E运动的位置；在图(b)中画出仅有一组三角形相似的图形；在图(c)中画出仅有二组三角形相似的图形；在图(d)中画出有三组三角形相似的图形．
(2)BC=9，AB=8，AC=6，就图(c)求出DE的长．
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7．在直角坐标系中，已知A(-4，0)、
B(1，0)、C(0，-2)三点．请按以下要求设计两种方案：作一条与
y 轴不重合，与△ABC
的两边相
三、6题图
交的直线，使截得的三角形与
△ABC 相似，并且面积是△AOC 面积的14．分别在下面的两个坐标中系画出设计图形，并写
出截得的三角形三个顶点的坐标．
8．(1)已知：如图①，BD 、CE 分别是△ABC 的外角平
分线，过点A 作AF ⊥BD ，AG ⊥CE ，垂足分别是 F 、G ，连结FG ，延长AF 、AG ，与直线BC 相交．
求证：FG=12
(AB+BC+AC)．
(2)若BD 、CE 分别是△ABC 的内角平分线，其余条件不变
(如图②)，线段FG 与△ABC 的三边又有怎样的数量关系? 写出你的猜想，并给予证明．
三、7题图 ② ①
答案:
一、选择题：1-4：ACCD；5—8：BDBC
二、填空题：1．180；2．∠B=30度；3．1，2．5；4．（2，8）；5．10
三、解答题：
25；4．相似；5．相似，利用数值的比证明；1．略；2．略；3．
4
6．略；7．略；8．提示：延长AG、AF相交于BC的延长线与反向延长线于点M、N，利用中位线证明。

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2020年中考数学复习专题练：《三角形综合》(含答案)

2020年中考数学复习专题练：《三角形综合》1．如图：在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BCD＝90°，且AB＝2，DC＝BC＝4．（1）求sin∠ADC的值．（2）E是四边形内一点，F是四边形外一点，且∠EDC＝∠FBC，DE＝BF，试判断△ECF 的形状．（等腰直角三角形）（3）在（2）的条件下，当BE：CE＝1：2，∠BEC＝135°时，求sin∠BFE的值．2．如图1，在△ABC中，∠B＝60°，点M从点B出发沿射线BC方向，在射线BC上运动．在点M运动的过程中，连结AM，并以AM为边在射线BC上方，作等边△AMN，连结CN．（1）当∠BAM＝°时，AB＝2BM；（2）请添加一个条件：，使得△ABC为等边三角形；①如图1，当△ABC为等边三角形时，求证：CN+CM＝AC；②如图2，当点M运动到线段BC之外（即点M在线段BC的延长线上时），其它条件不变（△ABC仍为等边三角形），请写出此时线段CN、CM、AC满足的数量关系，并证明．3．综合与实践：操作发现：如图，已知△ABC和△ADE均为等腰三角形，AB＝AC，AD＝AE，将这两个三角形放置在一起，使点B，D，E在同一直线上，连接CE．（1）如图1，若∠ABC＝∠ACB＝∠ADE＝∠AED＝55°，求证：△BAD≌△CAE；（2）在（1）的条件下，求∠BEC的度数；拓广探索：（3）如图2，若∠CAB＝∠EAD＝120°，BD＝4，CF为△BCE中BE边上的高，请直接写出EF的长度．4．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点D是边AB上的动点（点D不与点AB重合），点G在边AB的延长线上，∠CDE＝∠A，∠GBE＝∠ABC，DE与边BC交于点F．（1）求cos A的值；（2）当∠A＝2∠ACD时，求AD的长；（3）点D在边AB上运动的过程中，AD：BE的值是否会发生变化？如果不变化，请求AD：BE的值；如果变化，请说明理由．5．如图1，OA＝2，OB＝4，以点A为顶点，AB为腰在第三象限作等腰直角△ABC．（Ⅰ）求C点的坐标；（Ⅱ）如图2，OA＝2，P为y轴负半轴上的一个动点，若以P为直角顶点，PA为腰等腰直角△APD，过D作DE⊥x轴于E点，求OP﹣DE的值；（Ⅲ）如图3，点F坐标为（﹣4，﹣4），点G（0，m）在y轴负半轴，点H（n，0）x 轴的正半轴，且FH⊥FG，求m+n的值．6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，动点P从点A出发沿线段AB以每秒3个单位长的速度运动至点B，过点P作PQ⊥AB射线AC于点Q．设点P的运动时间为t秒（t＞0）．（1）线段CQ的长为（用含t的代数式表示）（2）当△APQ与△ABC的周长的比为1：4时，求t的值．（3）设△APQ与△ABC重叠部分图形的面积为S，求S与t之间的函数关系式．（4）当直线PQ把△ABC分成的两部分图形中有一个是轴对称图形时，直接写出t的值．7．如图，在平面内给定△ABC，AB＝AC，点O到△ABC的三个顶点的距离均等于c（c为常数），到点O的距离等于c的所有点组成图形G，过点A作AB的垂线交BC于点E，交图形G于点D，延长DA，在DA的延长线上存在一点F，使得∠ABF＝∠ABC．（1）依题意补全图形；（2）判断直线BF与图形G交点的个数并证明；（3）若AD＝4，cos∠ABF＝，求DE的长．8．如图，△ABC是等边三角形，AB＝8，AH⊥BC，垂足为H点，点D是射线AH上的动点，连接CD，以CD为边在CD的下方作等边△CDE，连接BE．（1）当点D在线段AH上时，设AD＝x，△CDE的面积为y，求y关于x的函数解析式，并求出自变量x的取值范围；（2）当△CDE的面积等于△ABC的面积的时，判断线段CE与△ABC的边是否存在特殊的位置关系？若存在，说出是什么关系并证明；若不存在，请说明理由．9．如图，已知A、B是线段MN上的两点，MN＝4，MA＝1，MB＞1．以A为圆心以AM为半径作圆弧，以B为圆心以BN为半径作圆弧，两圆弧相交于点C构成△ABC，设AB＝x．（1）求x的取值范围；（2）若△ABC为直角三角形，求x的值；（3）当∠CAB是锐角时，求△ABC的最大面积？10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，D是边AC上一点，且CD＝1cm．动点P从点D出发，以1cm/s的速度沿D→A向终点A匀速运动；同时动点Q从点B出发，以1m/s的速度沿B→C向终点C匀速运动，连结PQ，设点P的运动时间为ts，△CPQ的面积为Scm2（1）当PQ＝3时，求t的值；（2）求S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；（3）连结DQ，当直线DQ将△CPQ分成面积比为1：2两部分时，直接写出t的值，并写出此时S的值．11．如图，△ABC是边长为2的等边三角形，点D与点B分别位于直线AC的两侧，且AD＝AC，联结BD、CD，BD交直线AC于点E．（1）当∠CAD＝90°时，求线段AE的长．（2）过点A作AH⊥CD，垂足为点H，直线AH交BD于点F，①当∠CAD＜120°时，设AE＝x，y＝（其中S△BCE 表示△BCE的面积，S△AEF表示△AEF的面积），求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；②当＝7时，请直接写出线段AE的长．12．如图，平面直角坐标系中有点A（﹣1，0）和y轴上一动点B（0，a），其中a＞0，以B点为直角顶点在第二象限内作等腰直角△ABC，设点C的坐标为（c，d）（1）当a＝2时，则C点的坐标为（，）；（2）动点B在运动的过程中，试判断c+d的值是否发生变化？若不变，请求出其值；若发生变化，请说明理由；（3）当a＝2时，在第一象限内是否存在一点P，使△PAB与△ABC全等？若存在，直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由13．平面直角坐标系中，若点A（a，b），且+＝0，点B（m，m），其中m＞1，R点在x轴正半轴上，RA⊥RB（1）求a、b的值；（2）连接AB交y轴于E，连接ER，若∠ARO＝15°，求的值；（3）点D（﹣1，0）、C（0，1），射线DC分别交线段AR、AB于点S、T，若SC＝n，CT ＝k，试用含n的式子表示k．14．在平面直角坐标系中，A（﹣3，﹣2），B（2，4）．（1）如图1，求△AOB的面积；（2）如图2，求AB与两坐标轴的交点C，D坐标；（3）在坐标轴上求作点P，使△ABP的面积为6，求P点坐标，利用图3解答．15．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A的坐标为（0，4），点B在x的负半轴上，△AOB的面积为8，作△AOB关于y轴的对称图形，点B的对应点为C．（1）求线段OC的长；（2）点D从A点出发，沿线段AO向终点O运动，同时点E从点C出发，沿x轴的正方向运动，且CE＝AD，连接DE交AC于点G，判断DG和EG的数量关系，并说明理由．（3）在（2）的条件下，当∠CEG＝∠ABD时，求点G点坐标．16．在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D是BC上一点．（1）如图1，AD平分∠BAC，求证：AB＝AC+CD；（2）如图2，点E在线段AD上，且∠CED＝45°，∠BED＝30°，求证：BE＝2AE；（3）如图3，CD＝BD，过B点作BM⊥AD交AD的延长线于点M，连接CM，过C点作CN⊥CM交AD于N，求证：DN＝3DM．17．如图，在Rt△ABC中，＝nM为BC上的一点，连接BM．（1）如图1，若n＝1，①当M为AC的中点，当BM⊥CD于H，连接AH，求∠AHD的度数；②如图2，当H为CD的中点，∠AHD＝45°，求的值和∠CAH的度数；（2）如图3，CH⊥AM于H，连接CH并延长交AC于Q，M为AC中点，直接写出tan∠BHQ 的值（用含n的式子表示）．18．如图1，在等边△ABC中，E、D两点分别在边AB、BC上，BE＝CD，AD、CE相交于点F．（1）求∠AFE的度数；（2）过点A作AH⊥CE于H，求证：2FH+FD＝CE；（3）如图2，延长CE至点P，连接BP，∠BPC＝30°，且CF＝CP，求的值．（提示：可以过点A作∠KAF＝60°，AK交PC于点K，连接KB）19．在等边△ABC中，点E，F分别在边AB，BC上．（1）如图1，若AE＝BF，以AC为边作等边△ACD，AF交CE于点O，连接OD．求证：①AF＝CE；②OD平分∠AOC；（2）如图2，若AE＝2CF，作∠BCP＝∠AEC，CP交AF的延长线于点P，求证：CE＝CP．20．已知等边△ABC和等腰△CDE，CD＝DE，∠CDE＝120°．（1）如图1，点D在BC上，点E在AB上，P是BE的中点，连接AD，PD，则线段AD与PD之间的数量关系为；（2）如图2，点D在△ABC内部，点E在△ABC外部，P是BE的中点，连接AD，PD，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；（3）如图3，若点D在△ABC内部，点E和点B重合，点P在BC下方，且PB+PC为定值，当PD最大时，∠BPC的度数为．参考答案1．解：（1）如图1，过点A作AM⊥DC于M，∵∠BCD＝90°，AM⊥CD，∴AM∥BC，AB∥CD，∴四边形ABCM是平行四边形，且∠BCD＝90°，∴四边形ABCM是矩形，∴AM＝CB＝4，AB＝CM＝2，∴DM＝2，∴AD＝＝＝2，∴sin∠ADC＝＝＝；（2）△DEF是等腰直角三角形，理由如下：∵∠EDC＝∠FBC，DE＝BF，BC＝CD，∴△CDE≌△CBF（SAS）∴∠DCE＝∠BCF，CE＝CF，∴∠DCE+∠ECB＝∠BCF+∠BCE，∴∠DCB＝∠ECF＝90°，且CE＝CF，∴△DEF是等腰直角三角形；（3）设BE＝k，则CE＝CF＝2k，∴EF＝2k，∵∠BEC＝135°，又∠CEF＝45°，∴∠BEF＝90°，∴BF＝＝＝3k，∴sin∠BFE＝．2．解：（1）当∠BAM＝30°时，∴∠AMB＝180°﹣60°﹣30°＝90°，∴AB＝2BM；故答案为：30；（2）添加一个条件AB＝AC，可得△ABC为等边三角形；故答案为：AB＝AC；①如图1中，∵△ABC与△AMN是等边三角形，∴AB＝AC，AM＝AN，∠BAC＝∠MAN＝60°，∴∠BAC﹣∠MAC＝∠MAN﹣∠MAC，即∠BAM＝∠CAN，在△BAM与△CAN中，，∴△BAM≌△CAN（SAS），∴BM＝CN；②成立，理由：如图2中，∵△ABC与△AMN是等边三角形，∴AB＝AC，AM＝AN，∠BAC＝∠MAN＝60°，∴∠BAC+∠MAC＝∠MAN+∠MAC，即∠BAM＝∠CAN，在△BAM与△CAN中，，∴△BAM≌△CAN（SAS），∴BM＝CN．3．（1）证明：如图1中，∵∠ABC＝∠ACB＝∠ADE＝∠AED，∴∠EAD＝∠CAB，∴∠EAC＝∠DAB，∵AE＝AD，AC＝AB，∴△BAD≌△CAE（SAS）．（2）解：如图1中，设AC交BE于O．∵∠ABC＝∠ACB＝55°，∴∠BAC＝180°﹣110°＝70°，∵△BAD≌△CAE，∴∠ABO＝∠ECO，∵∠EOC＝∠AOB，∴∠CEO＝∠BAO＝70°，即∠BEC＝70°．（3）解：如图2中，∵∠CAB＝∠EAD＝120°，∴∠BAD＝∠CAE，∵AB＝AC，AD＝AE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠BAD＝∠ACE，BD＝EC＝4，同法可证∠BEC＝∠BAC＝120°，∴∠FEC＝60°，∵CF⊥EF，∴∠F＝90°，∴∠FCE＝30°，∴EF＝EC＝2．4．解：（1）作AH⊥BC于H，BM⊥AC于M．∵AB＝AC，AH⊥BC，∴BH＝CH＝3，∴AH＝＝＝4，＝•BC•AH＝•AC•BM，∵S△ABC∴BM＝＝，∴AM＝＝＝，∴cos A＝＝．（2）设AH交CD于K．∵∠BAC＝2∠ACD，∠BAH＝∠CAH，∴∠CAK＝∠ACK，∴CK＝AK，设CK＝AK＝x，在Rt△CKH中，则有x2＝（4﹣x）2+32，解得x＝，∴AK＝CK＝，∵∠ADK＝∠ADC，∠DAK＝∠ACD，∴△ADK∽△CDA，∴＝＝＝＝，设AD＝m，DK＝n，则有，解得m＝，n＝．∴AD＝．（3）结论：AD：BE＝5：6值不变．理由：∵∠GBE＝∠ABC，∠BAC+2∠ABC＝180°，∠GBE+∠EBC+∠ABC＝180°，∴∠EBC＝∠BAC，∵∠EDC＝∠BAC，∴∠EBC＝∠EDC，∴D，B，E，C四点共圆，∴∠EDB＝∠ECB，∵∠EDB+∠EDC＝∠ACD+∠DAC，∠EDC＝∠DAC，∴∠EDB＝∠ACD，∴∠ECB＝∠ACD，∴△ACD∽△BCE，∴＝＝．5．解：（Ⅰ）如图1，过C作CM⊥x轴于M点，如图1所示：∵CM⊥OA，AC⊥AB，∴∠MAC+∠OAB＝90°，∠OAB+∠OBA＝90°，∴∠MAC＝∠OBA，在△MAC和△OBA中，，∴△MAC≌△OBA（AAS），∴CM＝OA＝2，MA＝OB＝4，∴OM＝6，∴点C的坐标为（﹣6，﹣2），故答案为（﹣6，﹣2）；（Ⅱ）如图2，过D作DQ⊥OP于Q点，则四边形OEDQ是矩形，∴DE＝OQ，∵∠APO+∠QPD＝90°，∠APO+∠OAP＝90°，∴∠QPD＝∠OAP，在△AOP和△PDQ中，，∴△AOP≌△PDQ（AAS），∴AO＝PQ＝2，∴OP﹣DE＝OP﹣OQ＝PQ＝OA＝2；（Ⅲ）如图3，过点F分别作FS⊥x轴于S点，FT⊥y轴于T点，则∠HSF＝∠GTF＝90°＝∠SOT，∴四边形OSFT是正方形，∴FS＝FT＝4，∠EFT＝90°＝∠HFG，∴∠HFS＝∠GFT，在△FSH和△FTG中，，∴△FSH≌△FTG（AAS），∴GT＝HS，又∵G（0，m），H（n，0），点F坐标为（﹣4，﹣4），∴OT═OS＝4，∴GT＝﹣4﹣m，HS＝n﹣（﹣4）＝n+4，∴﹣4﹣m＝n+4，∴m+n＝﹣8．6．解：（1）在Rt△ABC中，tan A＝＝＝，由题意得，AP＝3t，在Rt△APQ中，tan A＝＝，∴PQ＝AP＝4t，根据勾股定理得，AQ＝＝＝5t．当0＜t≤时，如图1所示：CQ＝AC﹣AQ＝6﹣5t；当＜t≤时，如图2所示：CQ＝AQ﹣AC＝5t﹣6；故答案为：6﹣5t或5t﹣6；（2）∵PQ⊥AB，∴∠APQ＝90°＝∠ACB，∵∠A＝∠A，∴△APQ∽△ACB，∴＝＝，即＝，解得：t＝，即当△APQ与△ABC的周长的比为1：4时，t为秒．（3）分两种情况：①当0＜t≤时，如图1所示：△APQ与△ABC重叠部分图形的面积为S＝△APQ的面积＝×3t×4t＝6t2；即S＝6t2（0＜t≤）；②当＜t≤时，如图2所示：由（1）得：PQ＝3t，PQ＝4t，AQ＝5t，同（2）得：△CDQ∽△PAQ，∴＝＝，即＝＝，解得：CD＝（5t﹣6），∴△APQ与△ABC重叠部分图形的面积为S＝△APQ的面积﹣△CDQ的面积＝×3t×4t ﹣×（5t﹣6）×（5t﹣6）＝﹣t2+t﹣；即S＝﹣t2+t﹣（＜t≤）；（4）由（1）知，AQ＝5t，PQ＝4t，CQ＝6﹣5t或CQ＝5t﹣6，当CQ＝PQ时，四边形BCQP是轴对称图形，则4t＝6﹣5t，∴t＝；当＜t≤时，设PQ和BC相交于D，当AC＝AP时，四边形ACDP是轴对称图形，则6＝3t，∴t＝2．综上所述，当直线PQ把△ABC分成的两部分图形中有一个是轴对称图形时，t的值为秒或2秒．7．解：（1）如图，作AB，AC的垂直平分线交于点O，以O为圆心，OB长为半径作圆，⊙O 为图形G；（2）直线BF与图形G交点只有一个，理由如下：∵AD⊥AB，∴∠BAD＝90°，∴BD是直径，∠ADB+∠ABD＝90°，∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC，∵∠ACB＝∠ADB，∠ABF＝∠ABC，∴∠ABF＝∠ADB，∴∠ABF+∠ABD＝90°，∴∠DBF＝90°，∴BD⊥BF，且OB是半径，∴BF是圆O的切线，∴直线BF与图形G交点的只有一个；（3）∵cos∠ABF＝cos∠ADB＝＝，∴BD＝5，∴AB＝＝＝3，∵∠ABE＝∠ADB，∠BAE＝∠BAD＝90°，∴△ABE∽△ADB，∴，∴∴AE＝，∴DE＝AD﹣AE＝．8．解：（1）∵△ABC是等边三角形，AB＝8，AH⊥BC，∴BC＝AC＝AB＝8，BH＝HC＝4，∠HAC＝30°，∴AH＝HC＝4，∴DH＝4﹣x，∴DC2＝DH2+CH2＝（4﹣x）2+16∵△CDE是等边三角形，＝CD2＝[（4﹣x）2+16]＝x2﹣6x+16（0≤x≤4）∴y＝S△CDE（2）∵当△CDE的面积等于△ABC的面积的，∴x2﹣6x+16＝××64，∴x＝或，当x＝时，即AD＝，如图1，∴DH＝AH﹣AD＝，∵tan∠DCH＝＝＝，∴∠DCH＝30°，∴∠ACD＝∠ACB﹣∠DCH＝30°，∴∠ACE＝∠DCE+∠ACD＝90°，∴CE⊥AC；当x＝时，即AD＝，如图2，∴DH＝AD﹣AH＝，∵tan∠DCH＝＝＝，∴∠DCH＝30°，∴∠BCE＝∠DCH+∠DCE＝90°，∴CE⊥BC．9．解：（1）∵在△ABC中，AC＝1，AB＝x，BC＝3﹣x．，解得1＜x＜2；（2）①若AC为斜边，则1＝x2+（3﹣x）2，即x2﹣3x+4＝0，无解，②若AB为斜边，则x2＝（3﹣x）2+1，解得x＝，满足1＜x＜2，③若BC为斜边，则（3﹣x）2＝1+x2，解得x＝，满足1＜x＜2，综上，x＝或；（3）在△ABC中，作CD⊥AB于D，设CD＝h，△ABC的面积为S，则S＝xh，①若点D在线段AB上，则+＝x，∴（3﹣x）2﹣h2＝x2﹣2x+1﹣h2，即x＝3x﹣4，∴x2（1﹣h2）＝9x2﹣24x+16，即x2h2＝﹣8x2+24x﹣16．∴S2＝x2h2＝﹣2x2+6x﹣4＝﹣2（x﹣）2+（≤x＜2），当x＝时（满足≤x＜2），S2取最大值，从而S取最大值；②若点D在线段MA上，则﹣＝x，同理可，得S2＝x2h2＝﹣2x2+6x﹣4＝﹣2（x﹣）2+（1＜x≤），易知此时S＜，综合①②得，△ABC的最大面积为．10．解：（1）由题意PC＝1+t，CQ＝3﹣t，在Rt△PQC中，∵∠C＝90°，PQ＝3，PC＝1+t，CQ＝3﹣t，∴32＝（1+t）2+（3﹣t）2，解得t＝．∴PQ＝3时，t的值为．（2）S＝•PC•CQ＝•（1+t）（3﹣t）＝﹣t2+t+（0≤t≤3）．（3）∵直线DQ将△CPQ分成面积比为1：2两部分，∴CD＝2PD或PD＝2CD，∴1＝2t或t＝2，解得t＝或2，当t＝时，S＝﹣×++＝，当t＝2时，S＝﹣×4+2+＝，∴t＝s或2s时，直线DQ将△CPQ分成面积比为1：2两部分．11．解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC﹣AC＝2，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°．∵AD＝AC，∴AD＝AB，∴∠ABD＝∠ADB，∵∠ABD+∠ADB+∠BAC+∠CAD＝180°，∠CAD＝90°，∠ABD＝15°，∴∠EBC＝45°．过点E作EG⊥BC，垂足为点G．设AE＝x，则EC＝2﹣x．在Rt△CGE中，∠ACB＝60°，∴，，∴BG＝2﹣CG＝1+x，在Rt△BGE中，∠EBC＝45°，∴，解得．所以线段AE的长是．（2）①设∠ABD＝α，则∠BDA＝α，∠DAC＝∠BAD﹣∠BAC＝120°﹣2α．∵AD＝AC，AH⊥CD，∴，又∵∠AEF＝60°+α，∴∠AFE＝60°，∴∠AFE＝∠ACB，又∵∠AEF＝∠BEC，∴△AEF∽△BEC，∴，由（1）得在Rt△CGE中，，，∴BE2＝BG2+EG2＝x2﹣2x+4，∴（0＜x＜2）．②当∠CAD＜120°时，y＝7，则有7＝，整理得3x2+x﹣2＝0，解得x＝或﹣1（舍弃），．当120°＜∠CAD＜180°时，同法可得y＝当y＝7时，7＝，整理得3x2﹣x﹣2＝0，解得x＝﹣（舍弃）或1，∴AE＝1．12．解：（1）如图1中，过点C作CE⊥y轴于E，则∠CEB＝∠AOB．∵△ABC是等腰直角三角形，∴BC＝BA，∠ABC＝90°，∴∠BCE+∠CBE＝90°＝∠BAO+∠CBE，∴∠BCE＝∠ABO，在△BCE和△BAO中，，∴△CBE≌△BAO（AAS），∵A（﹣1，0），B（0，2），∴AO＝BE＝1，OB＝CE＝2，∴OE＝1+2＝3，∴C（﹣2，3），故答案为：﹣2，3；（2）动点A在运动的过程中，c+d的值不变．过点C作CE⊥y轴于E，则∠CEA＝∠AOB，∵△ABC是等腰直角三角形，∴BC＝BA，∠ABC＝90°，∴∠BCE+∠CBE＝90°＝∠ABO+∠CBE，∴∠BCE＝∠ABO，在△BCE和△BAO中，，∴△CBE≌△BAO（AAS），∵B（﹣1，0），A（0，a），∴BO＝AE＝1，AO＝CE＝a，∴OE＝1+a，∴C（﹣a，1+a），又∵点C的坐标为（c，d），∴c+d＝﹣a+1+a＝1，即c+d的值不变；（3）存在，使△PAB与△ABC全等，如图2中，过C作CM⊥x轴于M，过P作PE⊥x轴于E则∠CMB＝∠PEB＝90°，∵△CAB≌△PAB，∴∠PBA＝∠CBA＝45°，BC＝BP，∴∠CBP＝90°，∴∠MCB+∠CBM＝90°，∠CBM+∠PBE＝90°，∴∠MCB＝∠PBE，在△CMB和△BEP中，，∴△CMB≌△BEP（AAS），∴PE＝BM，CM＝BE，∵C（﹣2，3），B（﹣1，0），∴PE＝1，OE＝BE﹣BO＝3﹣1＝2，即P的坐标是（2，1）．13．解：（1）∵+＝0，又∵≥0，≥0，∴a＝﹣1，b＝1．（2）如图1中，作AM⊥x轴于M，AH⊥y轴于H，在RM上取一点K，使得AK＝KR，连接AK，AO．∵A（﹣1，1），∴AM＝AH＝1，∵AK＝KR，∴∠KRA＝∠KAR＝15°，∴∠AKM＝∠KAR+∠KRA＝30°，∴AK＝KR＝2AM＝2，MK＝，∴MR＝2+，∴AR＝＝＝+，∵B（m，m），∴OB平分∠EOB，∵OA平分∠EOM，∴OA⊥OB，∴∠AOB＝∠ARB＝90°，∴A，O，R，B四点共圆，∴∠BAR＝∠BOR＝45°，∴△ABR是等腰直角三角形，∴AB＝AR＝2+2，∵AH∥MR，∴∠HAR＝∠ARM＝15°，∴∠EA＝30°，∴AE＝＝，∴＝＝．（3）如图，作SH⊥AD于H．由题意四边形ADOC是正方形，∴∠ACD＝45°＝∠CAT+∠ATC，∵∠CAT+∠SAC＝45°，∴∠SAC＝∠ATC，∵∠ASC＝∠TSA，∴△SAC∽△STA，∴＝，∴SA2＝SC•ST，∵CS＝n，CT＝k，CD＝，∴SH＝DH＝（﹣n），AH＝n，∴AS2＝AH2+HS2＝n2+（﹣n）2＝n（n+k），∴k＝（0＜n＜）．14．解：（1）如图1，过A作AC∥x轴，过B作BC⊥AC于C，BC交x轴于E，AC交y轴于D，∵A （﹣3，﹣2），B （2，4），∴△AOB 的面积＝S △ACB ﹣S △AOD ﹣S △BOE ﹣S 长方形ODCE ，＝﹣﹣﹣2×2，＝15﹣3﹣4﹣4，＝4；（2）设直线AB 的解析式为：y ＝kx +b （k ≠0），则，解得：，∴直线AB 的解析式为：y ＝x +，当x ＝0时，y ＝，∴C （0，），当y ＝0时，x +＝0，解得：x ＝﹣，∴D （，0）；（3）①当点P 在x 轴上时，∵△ABP 的面积为6，∴＝6，∴PD ＝2，如图3，点P 在x 轴的正半轴上，P （，0）；同理得当点P在x轴的负半轴上，P（﹣，0）；②当点P在y轴上时，＝6，∴CP＝，∴P（0，4）或（0，﹣）；综上，点P的坐标是（，0）或（，0）或（0，4）或（0，）．15．解：（1）如图1中，∵A（0，4），∴OA＝4，＝×OB×OA＝8，∵S△AOB∴OB＝4，∵△AOB与△AOC关于y轴对称，∴OC＝OB＝4．（2）如图2中，结论：DG＝GE．理由：作DH∥EC交AC于H．∵OA＝OC，∠AOC＝90°，∴∠DAH＝∠ACO＝45°，∵DH∥OC，∴∠AHD＝∠ACO＝45°，∴∠DAH＝∠AHD，∴AD＝DH，∵AD＝EC，∴DH＝EC，∵∠DHG＝∠GCE，∠DGH＝∠CGE，∴△DGH≌△EGC（AAS），∴DG＝EG．（3）如图3中，连接DB，DC，作DH∥EC交AC于H．设AD＝DH＝x，则AH＝x，HC＝4﹣x，∵HG＝CG，∴HG＝HC＝2﹣x，∵OA⊥BC，OB＝OC，∴AB＝AC，DB＝DC，∴∠ABC＝∠ACB，∠DBO＝∠DCO，∴∠ABD＝∠ACD，∵∠CEG＝∠ABD，∴∠ACD＝∠CEG，∵DH∥CE，∴∠HDG＝∠CEG＝∠DCH，∵∠DHG＝∠DHC，∴△DHG∽△CHD，∴＝，∴＝，解得x＝2，∴AH＝CH＝2，∴H（2，2），∵GH＝GC，∴G（3，1）．16．证明：（1）如图1中，作DH⊥AB于H．∵∠ACD＝∠AHD＝90°，AD＝AD，∠DAC＝∠DAH，∴△ADC≌△ADH（ASA），∴AC＝AH，DC＝DH，∵CA＝CB，∠C＝90°，∴∠B＝45°，∵∠DHB＝90°，∴∠HDB＝∠B＝45°，∴HD＝HB，∴BH＝CD，（2）如图2中，作BM⊥AD交AD的延长线于M，连接CM．∵∠ACB＝∠AMB＝90°，∴C，A，B，M四点共圆，∴∠AMC＝∠ABC＝45°，∵∠CEM＝45°，∴∠CEM＝∠CME，∴CE＝CM，∴∠ECM＝∠ACB＝90°，∴∠ACE＝∠BCM，∵CA＝CB，CE＝CM，∴△ACE≌△BCM（SAS），∴AE＝BM，∵在Rt∠EMB中，∠MEB＝30°，∵BE＝2BM＝2AE．（3）如图3中，作CH⊥MN于H．∵∠ACB＝∠AMB＝90°，∴C，A，B，M四点共圆，∵CN⊥CM，∴∠NCM＝90°∴∠CNM＝∠CMN，∴CN＝CM，∵CH⊥MN，∴HN＝HM．∵CD＝DB，∠CHD＝∠BMD＝90°，∠ADH＝∠BDM，∴△CHD≌△BMD（AAS），∴DH＝DM，∵HN＝HM，∴DN＝3DM．17．解：（1）①如图1中，作AK⊥CD交CD的延长线于K．∵CD⊥BM，AK⊥CK，∠ACB＝90°，∴∠CHB＝∠K＝90°，∠CBH+∠BCH＝90°，∠BCH+∠ACK＝90°，∴∠CBH＝∠ACK，∵CB＝CA，∴△CHB≌△AKC（AAS），∴AK＝CH，∵∠CHM＝∠K＝90°，∴MH∥AK，∵AM＝BM，∴CH＝KH，∴AK＝KH，∵∠K＝90°，∴∠AHD＝45°．②如图2中，作AK⊥CD交CD的延长线于K，作CM⊥AB于M．设DH＝CH＝a．∵CA＝CB，∠ACB＝90°，∴∠CAB＝45°，∵∠AHD＝45°，∠AHD＝∠ACH+∠CAH，∴∠ACH+∠CAH＝∠CAH+∠DAH，∴∠DAH＝∠ACD，∵∠ADH＝∠CAD，∴△ADH∽△CDA，∴＝，∴＝，∴AD＝a，∵CA＝CB，∠ACB＝90°，CM⊥AB，∴AM＝BM，∴CM＝AM＝BM，设AM＝CM＝BM＝x，在Rt△CMD中，∵CM2＝DM2+CD2，∴x2+（x﹣a）2＝4a2，解得x＝a（负根已经舍弃）．∴BD＝AB﹣AD＝（+）a﹣a＝a，∴＝＝．∵△ADH∽△CDA，∴＝＝，设AH＝m，则AC＝m，AK＝KH＝m，∴tan∠ACK＝＝，∴∠ACH＝30°，∴∠CAH＝∠AHD﹣∠ACH＝45°﹣30°＝15°．（2）作AJ⊥BM交BM的延长线于J．设AM＝CM＝y，则BC＝2yn．∵CH⊥BM，BM＝＝＝•y，∴CH＝＝＝•y，∴HM＝＝•y，∵AJ⊥BJ，CH⊥BJ，∴∠J＝∠CHM＝90°，∵∠AMJ＝∠CMH，AM＝CM，∴△AMJ≌△CMH（AAS），∴AJ＝CH＝•y，HM＝JM＝•y，∵∠BHQ＝∠AHJ，∴tan∠BHQ＝tan∠AHJ＝＝＝n．18．（1）解：如图1中．∵△ABC为等边三角形，∴AC＝BC，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，在△EBC和△DCA中，，∴△EBC≌△DCA（SAS），∴∠BCE＝∠DAC，∵∠BCE+∠ACE＝60°，∴∠DAC+∠ACE＝60°，∴∠AFE＝60°．（2）证明：如图1中，∵AH⊥EC，∴∠AHF＝90°，在Rt△AFH中，∵∠AFH＝60°，∴∠FAH＝30°，∴AF＝2FH，∵△EBC≌△DCA，∴EC＝AD，∵AD＝AF+DF＝2FH+DF，∴2FH+DF＝EC．（3）解：在PF上取一点K使得KF＝AF，连接AK、BK，∵∠AFK＝60°，AF＝KF，∴△AFK为等边三角形，∴∠KAF＝60°，∴∠KAB＝∠FAC，在△ABK和△AFC中，，∴△ABK≌△AFC（SAS），∴∠AKB＝∠AFC＝120°，∴∠BKE＝120°﹣60°＝60°，∵∠BPC＝30°，∴∠PBK＝30°，∴FP＝CK，∴PK＝CK，∵FP＝FK+PK∴FP＝AF+CF，∵CF＝CP，设CP＝9a，∵CF＝2a，∴FP＝7a，∴AF＝5a，∴＝＝．19．（1）证明：①如图1中，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC，∠B＝∠BAC＝60°，∵AE＝BF，∴△ABF≌△CAE（SAS），∴AF＝EC．②如图1中，∵△ABF≌△CAE，∴∠BAF＝∠ACE，∵∠AOE＝∠OAC+∠ACO＝∠OCA+∠BAF＝∠BAC＝60°，又∵△ACD是等边三角形，∴∠ADC＝∠DAC＝∠DCA＝60°，∴∠AOE＝∠ADC，∵∠AOE+∠AOC＝180°，∴∠ADC+∠AOC＝180°，∴A，D，C，O四点共圆，∴∠AOD＝∠ACD＝60°，∠COD＝∠CAD＝60°，∴∠AOD＝∠COD，∴OD平分∠AOC．（2）证明：如图2中，取AE的中点M，连接CM．∵AE＝2CF，AM＝ME，∴AM＝CF，∵∠CAM＝∠ACF＝60°，AC＝CA，∴△ACM≌△CAF（SAS），∴∠ACM＝∠CAF，∵∠CME＝∠CAM+∠ACM＝60°+∠ACM，∠CFP＝∠ACF+∠CAF＝60°+∠CAF，∴∠CME＝∠CFP，∵EM＝CF，∠PCF＝∠CEM，∴△CME≌△PFC（ASA），∴CE＝PC．20．解：（1）结论：AD＝2PD．理由：如图1中，∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°，∵∠EDC＝120°，∴∠EDB＝180°﹣120°＝60°，∴∠B＝∠EDB＝∠BED＝60°，∴△BDE是等边三角形，∵BP＝PE，∴DP⊥AB，∴∠APD＝90°，∵DE＝DC，DE＝DB，∴BD＝CD，∵AB＝AC，∠BAC＝60°，∴∠PAD＝∠BAC＝30°，∴AD＝2PD．（2）结论成立．理由：延长DP到N，使得PN＝PD，连接BN，EN，延长ED到M，使得DM＝DE，连接BD，BM，CM．∵DE＝DC＝DM，∠MDC＝180°﹣∠EDC＝60°，∴△DCM是等边三角形，∵CA＝CB，CM＝CD，∠DCM＝∠ACB＝60°，∴∠BCM＝∠ACD，∴△BCM≌△ACD（SAS），∴AD＝BM，∵PB＝PE，PD＝PN，∴四边形BNED是平行四边形，∴BN∥DE，BN＝DE，∵DE＝DM，∴BN＝DM，BN∥DM，∴四边形BNDM是平行四边形，∴BM＝DN＝2PD，∴AD＝2PD．（3）如图3中，作∠PDK＝∠BDC＝120°，且PD＝PK，连接PK，CK．∵DB＝DC，DP＝DK，∠BDC＝∠PDK，∴∠BDP＝∠CDK，∴△PDB≌△KDC（SAS），∴PB＝CK，∵PB+PC＝PC+CK＝定值，∴P，C，K共线时，PK定值最大，此时PD的值最大，此时，∠DPB＝∠DKP＝∠DPK＝30°，∠BPC＝∠DPB+∠DPK＝60°．故答案为60°．。

人教版2020年九年级中考数学一轮复习第15讲三角形(有答案)

第十五节三角形【知识点梳理】一、三角形1、三角形中的主要线段（1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做。

（2）在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做。

（3）从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做（简称）。

2．三角形的中位线三角形的中位线平行于，并且等于．3.三角形的三边关系定理及推论三角形三边关系：任意两边之和第三边；任意两边之差第三边．4、三角形的内角和定理及推论1．三角形内角和：三角形三内角之和等于．2．三角形外角的性质：(1)三角形的一个外角任何一个和它不相邻的内角；(2)三角形的一个外角与它不相邻的两内角之和．1．三角形的分类：(1)按边分：三角形分为和等腰三角形；等腰三角形又分为及 .(2)按角分：三角形和斜三角形；斜三角形又分为：和 .答案：一、三角形1、三角形中的主要线段（1）三角形的角平分线。

（2）三角形的中线。

（3）三角形的高线（简称三角形的高）。

2．三角形的中位线：三角形的第三边，并且等于第三边长的一半．3.三角形的三边关系定理及推论：任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边．4、三角形的内角和定理及推论1． 180°．2．三角形外角的性质：(1)大于；(2)等于．1．三角形的分类：(1)按边分：三角形分为不等边三角形和等腰三角形；等腰三角形又分为底和腰不等的三角形及等边三角形.(2)按角分：三角形直角三角形和斜三角形；斜三角形又分为：锐角三角形和钝角三角形.【课堂练习】一．选择题（共9小题）1．三角形的下列线段中能将三角形的面积分成相等两部分的是（）A．中线B．角平分线C．高D．中位线【考点】K3：三角形的面积；K2：三角形的角平分线、中线和高．【分析】根据等底等高的三角形的面积相等解答．【解答】解：∵三角形的中线把三角形分成两个等底同高的三角形，∴三角形的中线将三角形的面积分成相等两部分．故选A．2．如图，△ABC中，D，E两点分别在AB，BC上，若AD：DB=CE：EB=2：3，则△DBE与△ADC的面积比为（）A．3：5 B．4：5 C．9：10 D．15：16【考点】K3：三角形的面积．【分析】根据三角形面积求法进而得出S△BDC：S△ADC=3：2，S△BDE：S△DCE=3：2，即可得出答案．【解答】解：∵AD：DB=CE：EB=2：3，∴S△BDC：S△ADC=3：2，S△BDE：S△DCE=3：2，∴设S△BDC=3x，则S△ADC=2x，S△BED=1.8x，S△DCE=1.2x，故△DBE与△ADC的面积比为：1.8x：2x=9：10．故选：C．3．如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AB=6，点P是Rt△ABC的重心，则点P到AB所在直线的距离等于（）A．1 B．3C．32D．2【考点】K5：三角形的重心；KW：等腰直角三角形．【分析】连接CP并延长，交AB于D，根据重心的性质得到CD是△ABC的中线，PD=CD，根据直角三角形的性质求出CD，计算即可．【解答】解：连接CP并延长，交AB于D，∵P是Rt△ABC的重心，∴CD是△ABC的中线，PD=CD，∵∠C=90°，∴CD=AB=3，∵AC=BC，CD是△ABC的中线，∴CD⊥AB，∴PD=1，即点P到AB所在直线的距离等于1，故选：A．4．三角形的重心是（）A．三角形三条边上中线的交点B．三角形三条边上高线的交点C．三角形三条边垂直平分线的交点D．三角形三条内角平行线的交点【考点】K5：三角形的重心．【分析】根据三角形的重心是三条中线的交点解答．【解答】解：三角形的重心是三条中线的交点，故选：A．5．如图，直角△ABC中，∠B=30°，点O是△ABC的重心，连接CO并延长交AB于点E，过点E作EF⊥AB交BC于点F，连接AF交CE于点M，则MOMF的值为（）A．12B．54C．23D．33【考点】K5：三角形的重心；S9：相似三角形的判定与性质．【分析】根据三角形的重心性质可得OC=CE，根据直角三角形的性质可得CE=AE，根据等边三角形的判定和性质得到CM=CE，进一步得到OM=CE，即OM=AE，根据垂直平分线的性质和含30°的直角三角形的性质可得EF=AE，MF=EF，依此得到MF=AE，从而得到的值．【解答】解：∵点O是△ABC的重心，∴OC=CE，∵△ABC是直角三角形，∴CE=BE=AE，∵∠B=30°，∴∠FAE=∠B=30°，∠BAC=60°，∴∠FAE=∠CAF=30°，△ACE是等边三角形，∴CM=CE，∴OM=CE﹣CE=CE，即OM=AE，∵BE=AE，∴EF=AE，∵EF⊥AB，∴∠AFE=60°，∴∠FEM=30°，∴MF=EF，∴MF=AE，∴==．故选：D．6．长度分别为2，7，x的三条线段能组成一个三角形，x的值可以是（）A．4 B．5 C．6 D．9【考点】K6：三角形三边关系．【分析】已知三角形的两边长分别为2和7，根据在三角形中任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边；即可求第三边长的范围，再结合选项选择符合条件的．【解答】解：由三角形三边关系定理得7﹣2＜x＜7+2，即5＜x＜9．因此，本题的第三边应满足5＜x＜9，把各项代入不等式符合的即为答案．4，5，9都不符合不等式5＜x＜9，只有6符合不等式，故选：C．7．已知a，b，c是△ABC的三条边长，化简|a+b﹣c|﹣|c﹣a﹣b|的结果为（）A．2a+2b﹣2c B．2a+2b C．2c D．0【考点】K6：三角形三边关系．【分析】先根据三角形的三边关系判断出a﹣b﹣c与c﹣b+a的符号，再去绝对值符号，合并同类项即可．【解答】解：∵a、b、c为△ABC的三条边长，∴a+b﹣c＞0，c﹣a﹣b＜0，∴原式=a+b﹣c+（c﹣a﹣b）=0．故选D．8．若一个三角形的两边长分别为2和4，则该三角形的周长可能是（）A．6 B．7 C．11 D．12【考点】K6：三角形三边关系．【分析】首先求出三角形第三边的取值范围，进而求出三角形的周长取值范围，据此求出答案．【解答】解：设第三边的长为x，∵三角形两边的长分别是2和4，∴4﹣2＜x＜2+4，即2＜x＜6．则三角形的周长：8＜C＜12，C选项11符合题意，故选C．9．如图，在△ABC中，点D在AB上，点E在AC上，DE∥BC．若∠A=62°，∠AED=54°，则∠B的大小为（）A．54°B．62°C．64°D．74°【考点】K7：三角形内角和定理；JA：平行线的性质．【分析】根据平行线的性质得到∠C=∠AED=54°，根据三角形的内角和即可得到结论．【解答】解：∵DE∥BC，∴∠C=∠AED=54°，∵∠A=62°，∴∠B=180°﹣∠A﹣∠C=64°，故选C．二．填空题（共5小题）10．在△ABC中，已知BD和CE分别是边AC、AB上的中线，且BD⊥CE，垂足为O．若OD=2cm，OE=4cm，则线段AO的长度为cm．【考点】K5：三角形的重心；KQ：勾股定理．【分析】连接AO并延长，交BC于H，根据勾股定理求出DE，根据三角形中位线定理求出BC，根据直角三角形的性质求出OH，根据重心的性质解答．【解答】解：连接AO并延长，交BC于H，由勾股定理得，DE==2，∵BD和CE分别是边AC、AB上的中线，∴BC=2DE=4，O是△ABC的重心，∴AH是中线，又BD⊥CE，∴OH=BC=2，∵O是△ABC的重心，∴AO=2OH=4，故答案为：4．11．在△ABC中，∠A：∠B：∠C=2：3：4，则∠A的度数为．【考点】K7：三角形内角和定理．【分析】直接用一个未知数表示出∠A，∠B，∠C的度数，再利用三角形内角和定理得出答案．【解答】解：∵∠A：∠B：∠C=2：3：4，∵∠A+∠B+∠C=180°，∴2x+3x+4x=180°，解得：x=20°，∴∠A的度数为：40°．故答案为：40°．12．如图，BC∥EF，AC∥DF，添加一个条件，使得△ABC≌△DEF．【考点】KB：全等三角形的判定．【分析】本题要判定△ABC≌△DEF，易证∠A=∠EDF，∠ABC=∠E，故添加AB=DE、BC=EF或AC=DF根据ASA、AAS即可解题．【解答】解：∵BC∥EF，∴∠ABC=∠E，∵AC∥DF，∴∠A=∠EDF，∵在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF，同理，BC=EF或AC=DF也可证△ABC≌△DEF．故答案为AB=DE或BC=EF或AC=DF或AD=BE（只需添加一个即可）．13．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，对角线AC，BD相交于点O，下列结论中：①∠ABC=∠ADC；②AC与BD相互平分；③AC，BD分别平分四边形ABCD的两组对角；④四边形ABCD的面积S=12 AC•BD．正确的是（填写所有正确结论的序号）【考点】KD：全等三角形的判定与性质；KG：线段垂直平分线的性质．【分析】①证明△ABC≌△ADC，可作判断；②③由于AB与BC不一定相等，则可知此两个选项不一定正确；④根据面积和求四边形的面积即可．【解答】解：①在△ABC和△ADC中，∵，∴△ABC≌△ADC（SSS），∴∠ABC=∠ADC，故①结论正确；②∵△ABC≌△ADC，∴∠BAC=∠DAC，∵AB=AD，∴OB=OD，AC⊥BD，而AB与BC不一定相等，所以AO与OC不一定相等，故②结论不正确；而AB与BC不一定相等，所以BD不一定平分四边形ABCD的对角；故③结论不正确；④∵AC⊥BD，∴四边形ABCD的面积S=S△ABD+S△BCD=BD•AO+BD•CO=BD•（AO+CO）=AC•BD．故④结论正确；所以正确的有：①④；故答案为：①④．14．如图，∠AOB=45°，点M，N在边OA上，OM=x，ON=x+4，点P是边OB上的点，若使点P，M，N构成等腰三角形的点P恰好有三个，则x的值是．【考点】KI：等腰三角形的判定．【分析】分三种情况讨论：先确定特殊位置时成立的x值，①如图1，当M与O重合时，即x=0时，点P恰好有三个；②如图2，构建腰长为4的等腰直角△OMC，和半径为4的⊙M，发现M在点D的位置时，满足条件；③如图3，根据等腰三角形三种情况的画法：分别以M、N为圆心，以MN为半径画弧，与OB的交点就是满足条件的点P，再以MN为底边的等腰三角形，通过画图发现，无论x取何值，以MN为底边的等腰三角形都存在一个，所以只要满足以MN为腰的三角形有两个即可．【解答】解：分三种情况：①如图1，当M与O重合时，即x=0时，点P恰好有三个；②如图2，以M为圆心，以4为半径画圆，当⊙M与OB相切时，设切点为C，⊙M与OA交于D，∴MC⊥OB，∵∠AOB=45°，∴△MCO是等腰直角三角形，∴MC=OC=4，∴OM=4，当M与D重合时，即x=OM﹣DM=4﹣4时，同理可知：点P恰好有三个；③如图3，取OM=4，以M为圆心，以OM为半径画圆，则⊙M与OB除了O外只有一个交点，此时x=4，即以∠PMN为顶角，MN为腰，符合条件的点P有一个，以N圆心，以MN为半径画圆，与直线OB相离，说明此时以∠PNM为顶角，以MN为腰，符合条件的点P不存在，还有一个是以NM为底边的符合条件的点P；点M沿OA运动，到M1时，发现⊙M1与直线OB有一个交点；综上所述，若使点P，M，N构成等腰三角形的点P恰好有三个，则x的值是：x=0或x=4﹣4或4．故答案为：x=0或x=4﹣4或4．三．解答题（共9小题）15．如图，点E，F在AB上，AD=BC，∠A=∠B，AE=BF．求证：△ADF≌△BCE．【考点】KB：全等三角形的判定．【分析】根据全等三角形的判定即可求证：△ADF≌△BCE【解答】解：∵AE=BF，∴AE+EF=BF+EF，在△ADF与△BCE中，∴△ADF≌△BCE（SAS）16．如图，点E、F在BC上，BE=FC，AB=DC，∠B=∠C．求证：∠A=∠D．【考点】KD：全等三角形的判定与性质．【分析】可通过证△ABF≌△DCE，来得出∠A=∠D的结论．【解答】证明：∵BE=FC，∴BE+EF=CF+EF，即BF=CE；又∵AB=DC，∠B=∠C，∴△ABF≌△DCE；（SAS）17．如图，已知AB∥DE，AB=DE，BE=CF，求证：AC∥DF．【考点】KD：全等三角形的判定与性质．【分析】首先由BE=CF可以得到BC=EF，然后利用边角边证明△ABC≌△DEF，最后利用全等三角形的性质和平行线的判定即可解决问题．【解答】证明：∵AB∥CD，∴∠ABC=∠DEF，又∵BE=CF，∴BE+EC=CF+EC，即：BC=EF，在△ABC和△DEF中∴△ABC≌△DEF（SAS），∴∠ACB=∠DFE，∴AC∥DF．18．已知：△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，连接AE，BD交于点O，AE与DC交于点M，BD与AC交于点N．（1）如图1，求证：AE=BD；（2）如图2，若AC=DC，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四对全等的直角三角形．【考点】KD：全等三角形的判定与性质；KW：等腰直角三角形．【分析】（1）根据全等三角形的性质即可求证△ACE≌△BCD，从而可知AE=BD；（2）根据条件即可判断图中的全等直角三角形；【解答】解：（1）∵△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，∴AC=BC，DC=EC，∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD，∴∠BCD=∠ACE，在△ACE与△BCD中，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴AE=BD，（2）∵AC=DC，∴AC=CD=EC=CB，△ACB≌△DCE（SAS）；由（1）可知：∠AEC=∠BDC，∠EAC=∠DBC∴∠DOM=90°，∵∠AEC=∠CAE=∠CBD，∴△EMC≌△BCN（ASA），∴CM=CN，∴DM=AN，△AON≌△DOM（AAS），∵DE=AB，AO=DO，∴△AOB≌△DOE（HL）19．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点E是AC上一点，连接BE．（1）如图1，若AB=4，BE=5，求AE的长；（2）如图2，点D是线段BE延长线上一点，过点A作AF⊥BD于点F，连接CD、CF，当AF=DF时，求证：DC=BC．【考点】KD：全等三角形的判定与性质；KQ：勾股定理．【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到AC=BC=AB=4，根据勾股定理得到CE==3，于是得到结论；（2）根据等腰直角三角形的性质得到∠CAB=45°，由于∠AFB=∠ACB=90°，推出A，F，C，B四点共圆，根据圆周角定理得到∠CFB=∠CAB=45°，求得∠DFC=∠AFC=135°，根据全等三角形的性质即可得到结论．【解答】解：（1）∵∠ACB=90°，AC=BC，∴AC=BC=AB=4，∵BE=5，∴CE==3，∴AE=4﹣3=1；（2）∵∠ACB=90°，AC=BC，∴∠CAB=45°，∵AF⊥BD，∴∠AFB=∠ACB=90°，∴A，F，C，B四点共圆，∴∠CFB=∠CAB=45°，∴∠DFC=∠AFC=135°，在△ACF与△DCF中，，∴△ACF≌△DCF，∴CD=AC，∵AC=BC，∴AC=BC．20．在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，P是线段BC上一动点（与点B、C不重合），连接AP，延长BC至点Q，使得CQ=CP，过点Q作QH⊥AP于点H，交AB于点M．（1）若∠PAC=α，求∠AMQ的大小（用含α的式子表示）．（2）用等式表示线段MB与PQ之间的数量关系，并证明．【考点】KD：全等三角形的判定与性质；KW：等腰直角三角形．【分析】（1）由等腰直角三角形的性质得出∠BAC=∠B=45°，∠PAB=45°﹣α，由直角三角形的性质即可得出结论；（2）连接AQ，作ME⊥QB，由AAS证明△APC≌△QME，得出PC=ME，△MEB是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质即可得出结论．【解答】解：（1）∠AMQ=45°+α；理由如下：∵∠PAC=α，△ACB是等腰直角三角形，∴∠BAC=∠B=45°，∠PAB=45°﹣α，∵QH⊥AP，∴∠AHM=90°，∴∠AMQ=180°﹣∠AHM﹣∠PAB=45°+α；（2）PQ=MB；理由如下：连接AQ，作ME⊥QB，如图所示：∵AC⊥QP，CQ=CP，∴∠QAC=∠PAC=α，∴∠QAM=45°+α=∠AMQ，∴AP=AQ=QM，在△APC和△QME中，，∴△APC≌△QME（AAS），∴PC=ME，∴△MEB是等腰直角三角形，∴PQ=MB，∴PQ=MB．21．如图，已知等腰三角形ABC中，AB=AC，点D、E分别在边AB、AC上，且AD=AE，连接BE、CD，交于点F．（1）判断∠ABE与∠ACD的数量关系，并说明理由；（2）求证：过点A、F的直线垂直平分线段BC．【考点】KH：等腰三角形的性质；KG：线段垂直平分线的性质．【分析】（1）证得△ABE≌△ACD后利用全等三角形的对应角相等即可证得结论；（2）利用垂直平分线段的性质即可证得结论．【解答】解：（1）∠ABE=∠ACD；在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD，∴∠ABE=∠ACD；（2）∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，由（1）可知∠ABE=∠ACD，∴∠FBC=∠FCB，∴FB=FC，∵AB=AC，∴点A、F均在线段BC的垂直平分线上，即直线AF垂直平分线段BC．22．如图，直角△ABC中，∠A为直角，AB=6，AC=8．点P，Q，R分别在AB，BC，CA边上同时开始作匀速运动，2秒后三个点同时停止运动，点P由点A出发以每秒3个单位的速度向点B运动，点Q由点B出发以每秒5个单位的速度向点C运动，点R由点C出发以每秒4个单位的速度向点A运动，在运动过程中：（1）求证：△APR，△BPQ，△CQR的面积相等；（2）求△PQR面积的最小值；（3）用t（秒）（0≤t≤2）表示运动时间，是否存在t，使∠PQR=90°？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．【考点】KY：三角形综合题．【分析】（1）先利用锐角三角函数表示出QE=4t，QD=3（2﹣t），再由运动得出AP=3t，CR=4t，BP=3（2﹣t），AR=4（2﹣t），最后用三角形的面积公式即可得出结论；（2）借助（1）得出的结论，利用面积差得出S△PQR=18（t﹣1）2+6，即可得出结论；（3）先判断出∠DQR=∠EQP，用此两角的正切值建立方程求解即可．【解答】解：（1）如图，在Rt△ABC中，AB=6，AC=8，根据勾股定理得，BC=10，sin∠B===，sin∠C=，过点Q作QE⊥AB于E，在Rt△BQE中，BQ=5t，∴sin∠B==，∴QE=4t，过点Q作QD⊥AC于D，在Rt△CDQ中，CQ=BC﹣BQ=10﹣5t，∴QD=CQ•sin∠C=（10﹣5t）=3（2﹣t），由运动知，AP=3t，CR=4t，∴BP=AB﹣AP=6﹣3t=3（2﹣t），AR=AC﹣CR=8﹣4t=4（2﹣t），∴S△APR=AP•AR=×3t×4（2﹣t）=6t（2﹣t），S△BPQ=BP•QE=×3（2﹣t）×4t=6t（2﹣t），S△CQR=CR•QD=×4t×3（2﹣t）=6t（2﹣t），∴S△APR=S△BPQ=S△CQR，∴△APR，△BPQ，△CQR的面积相等；（2）由（1）知，S△APR=S△BPQ=S△CQR=6t（2﹣t），∵AB=6，AC=8，∴S△PQR=S△ABC﹣（S△APR+S△BPQ+S△CQR）=×6×8﹣3×6t（2﹣t）=24﹣18（2t﹣t2）=18（t﹣1）2+6，∵0≤t≤2，∴当t=1时，S△PQR最小=6；（3）存在，由（1）知，QE=4t，QD=3（2﹣t），AP=3t，CR=4t，AR=4（2﹣t），∴BP=AB﹣AP=6﹣3t=3（2﹣t），AR=AC﹣CR=8﹣4t=4（2﹣t），过点Q作QD⊥AC于D，作QE⊥AB于E，∵∠A=90°，∴四边形APQD是矩形，∴AE=DQ=3（2﹣t），AD=QE=4t，∴DR=|AD﹣AR|=|4t﹣4（2﹣t）|=|4（2t﹣2）|，PE=|AP﹣AE|=|3t﹣3（2﹣t）|=|3（2t﹣2）|∵∠DQE=90°，∠PQR=90°，∴∠DQR=∠EQP，∴tan∠DQR=tan∠EQP，在Rt△DQR中，tan∠DQR==，在Rt△EQP中，tan∠EQP==，∴，∴16t=9（2﹣t），∴t=．23．如图1，在△ABC中，设∠A、∠B、∠C的对边分别为a，b，c，过点A作AD⊥BC，垂足为D，会有sin∠C=，则S△ABC=BC×AD=×BC×ACsin∠C=absin∠C，即S△ABC=absin∠C同理S△ABC=bcsin∠AS△ABC=acsin∠B通过推理还可以得到另一个表达三角形边角关系的定理﹣余弦定理：如图2，在△ABC中，若∠A、∠B、∠C的对边分别为a，b，c，则a2=b2+c2﹣2bccos∠Ab2=a2+c2﹣2accos∠Bc2=a2+b2﹣2abcos∠C用上面的三角形面积公式和余弦定理解决问题：（1）如图3，在△DEF中，∠F=60°，∠D、∠E的对边分别是3和8．求S△DEF和DE2．解：S△DEF=EF×DFsin∠F=；DE2=EF2+DF2﹣2EF×DFcos∠F=．（2）如图4，在△ABC中，已知AC＞BC，∠C=60°，△ABC'、△BCA'、△ACB'分别是以AB、BC、AC为边长的等边三角形，设△ABC、△ABC'、△BCA'、△ACB'的面积分别为S1、S2、S3、S4，求证：S1+S2=S3+S4．【考点】KY：三角形综合题．【分析】（1）直接利用正弦定理和余弦定理即可得出结论；（2）方法1、利用正弦定理得出三角形的面积公式，再利用等边三角形的性质即可得出结论；方法2、先用正弦定理得出S1，S2，S3，S4，最后用余弦定理即可得出结论．【解答】解：（1）在△DEF中，∠F=60°，∠D、∠E的对边分别是3和8，∴EF=3，DF=8，∴S△DEF=EF×DFsin∠F=×3×8×sin60°=6，DE2=EF2+DF2﹣2EF×DFcos∠F=32+82﹣2×3×8×cos60°=49，故答案为：6，49；（2）证明：方法1，∵∠ACB=60°，∴AB2=AC2+BC2﹣2AC•BCcos60°=AC2+BC2﹣AC•BC，两边同时乘以sin60°得，AB2sin60°=AC2sin60°+BC2sin60°﹣AC•BCsin60°，∵△ABC'，△BCA'，△ACB'是等边三角形，∴S1=AC•BCsin60°，S2=AB2sin60°，S3=BC2sin60°，S4=AC2sin60°，∴S2=S4+S3﹣S1，∴S1+S2=S3+S4，方法2、令∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，∴S1=absin∠C=absin60°=ab∵△ABC'，△BCA'，△ACB'是等边三角形，∴S2=c•c•sin60°=c2，S3=a•a•sin60°=a2，S4=b•b•sin60°=b2，∴S1+S2=（ab+c2），S3+S4=（a2+b2），∵c2=a2+b2﹣2ab•cos∠C=a2+b2﹣2ab•cos60°，∴a2+b2=c2+ab，∴S1+S2=S3+S4．。

中考数学总复习《三角形与全等三角形》专项测试卷(带有答案)

中考数学总复习《三角形与全等三角形》专项测试卷(带有答案)时间：45分钟满分：100分学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________ 1．(2023·长沙)下列长度的三条线段，能组成三角形的是( )A．1，3，4 B．2，2，7C．4，5，7 D．3，3，62．(2023·凉山州)如图，点E，点F在BC上，BE＝CF，∠B＝∠C，添加一个条件，不能证明△ABF≌△DCE的是( )第2题图A．∠A＝∠D B．∠AFB＝∠DECC．AB＝DC D．AF＝DE3．(2023·济宁)如图，在正方形方格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，点A，B，C，D，E均在小正方形方格的顶点上，线段AB，CD相交于点F，若∠CFB＝α，则∠ABE等于( )第3题图A．180°－α B．180°－2αC．90°＋α D．90°＋2α4．(2023·巴中)如图，在Rt△ABC中，AB＝6 cm，BC＝8 cm，点D，E分别为AC，BC中点，连接AE，BD，相交于点F，点G在CD上，且DG∶GC＝1∶2，则四边形DFEG的面积为( )第4题图A．2 cm2B．4 cm2C．6 cm2D．8 cm25．(2023·浙江)如图，点P是△ABC的重心，点D是边AC的中点，PE∥AC交BC于点E，DF∥BC交EP于点F.若四边形CDFE的面积为6，则△ABC的面积为( )第5题图A．12 B．14 C．18 D．246．一个三角形的两边长分别是3和3，则第三边长可以是．(只填一个即可) 7．(2023·丽水)如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，∠B＝∠ADB.若AB＝4，则DC的长是．第7题图8．(2022·南京)在平面直角坐标系中，正方形ABCD如图所示，点A的坐标(－1，0)，点D的坐标是(－2，4)，则点C的坐标是．第8题图9．(2023·遂宁)如图，以△ABC的边AB，AC为腰分别向外作等腰直角△ABE，△ACD，连接ED，BD，EC，过点A的直线l分别交线段DE，BC于点M，N.以下说法：①当AB＝AC＝BC时，∠AED＝30°②EC＝BD ③若AB＝3，AC＝4，BC＝6，则DE＝2 3 ④当直线l⊥BC时，点M为线段DE的中点．正确的有．(填序号)第9题图10．(2023·苏州)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为△ABC的角平分线．以点A 为圆心，AD长为半径画弧，与AB，AC分别交于点E，F，连接DE，DF.第10题图(1)求证：△ADE≌△ADF；(2)若∠BAC＝80°，求∠BDE的度数．11．(2023·大连)如图，在△ABC和△ADE中，延长BC交DE于点F，BC＝DE，AC＝AE，∠ACF＋∠AED＝180°.求证：AB＝AD.第11题图12．(2023·聊城)如图，在四边形ABCD中，点E是BC边上一点，且BE＝CD，∠B＝∠AED＝∠C.第12题图(1)求证：∠EAD＝∠EDA；(2)若∠C＝60°，DE＝4，求△AED的面积．参考答案1．(2023·长沙)下列长度的三条线段，能组成三角形的是( C)A．1，3，4 B．2，2，7C．4，5，7 D．3，3，62．(2023·凉山州)如图，点E，点F在BC上，BE＝CF，∠B＝∠C，添加一个条件，不能证明△ABF≌△DCE的是( D)第2题图A．∠A＝∠D B．∠AFB＝∠DECC．AB＝DC D．AF＝DE3．(2023·济宁)如图，在正方形方格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，点A，B，C，D，E均在小正方形方格的顶点上，线段AB，CD相交于点F，若∠CFB＝α，则∠ABE等于( C)第3题图A．180°－α B．180°－2αC．90°＋α D．90°＋2α4．(2023·巴中)如图，在Rt△ABC中，AB＝6 cm，BC＝8 cm，点D，E分别为AC，BC中点，连接AE，BD，相交于点F，点G在CD上，且DG∶GC＝1∶2，则四边形DFEG的面积为( B)第4题图A．2 cm2B．4 cm2C．6 cm2D．8 cm25．(2023·浙江)如图，点P是△ABC的重心，点D是边AC的中点，PE∥AC交BC于点E，DF∥BC交EP于点F.若四边形CDFE的面积为6，则△ABC的面积为( C)第5题图A．12 B．14 C．18 D．246．一个三角形的两边长分别是3和3，则第三边长可以是(示例)3．(只填一个即可)7．(2023·丽水)如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，∠B＝∠ADB.若AB＝4，则DC的长是4．第7题图8．(2022·南京)在平面直角坐标系中，正方形ABCD如图所示，点A的坐标(－1，0)，点D的坐标是(－2，4)，则点C的坐标是(2，5)．第8题图9．(2023·遂宁)如图，以△ABC的边AB，AC为腰分别向外作等腰直角△ABE，△ACD，连接ED，BD，EC，过点A的直线l分别交线段DE，BC于点M，N.以下说法：①当AB＝AC＝BC时，∠AED＝30°②EC＝BD ③若AB＝3，AC＝4，BC＝6，则DE＝2 3 ④当直线l⊥BC时，点M为线段DE的中点．正确的有①②④．(填序号)第9题图10．(2023·苏州)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为△ABC的角平分线．以点A 为圆心，AD长为半径画弧，与AB，AC分别交于点E，F，连接DE，DF.第10题图(1)求证：△ADE≌△ADF；(2)若∠BAC＝80°，求∠BDE的度数．解：(1)证明：∵AD是△ABC的角平分线由作图知，AE ＝AF. 在△ADE 和△ADF 中 ⎩⎪⎨⎪⎧AE ＝AF ，∠BAD ＝∠CAD ，AD ＝AD ，∴△ADE ≌△ADF(SAS)；(2)∵∠BAC ＝80°，AD 为△ABC 的角平分线 ∴∠EAD ＝12∠BAC ＝40°由作图知，AE ＝AD. ∴∠AED ＝∠ADE∴∠ADE ＝12×(180°－40°)＝70°∵AB ＝AC ，AD 为△ABC 的角平分线 ∴AD ⊥BC.∴∠BDE ＝90°－∠ADE ＝20°.11．(2023·大连)如图，在△ABC 和△ADE 中，延长BC 交DE 于点F ，BC ＝DE ，AC ＝AE ，∠ACF ＋∠AED＝180°.求证：AB ＝AD.第11题图证明：∵∠ACB ＋∠ACF ＝∠ACF ＋∠AED ＝180°在△ABC 和△ADE 中 ⎩⎪⎨⎪⎧BC ＝DE ，∠ACB ＝∠AED ，AC ＝AE ，∴△ABC ≌△ADE(SAS) ∴AB ＝AD.12．(2023·聊城)如图，在四边形ABCD 中，点E 是BC 边上一点，且BE ＝CD ，∠B ＝∠AED＝∠C.第12题图(1)求证：∠EAD＝∠EDA；(2)若∠C＝60°，DE ＝4，求△AED 的面积．解：(1)证明：∵∠B ＝∠AED ＝∠C ，∠AEC ＝∠B ＋∠BAE ＝∠AED ＋∠CED ∴∠BAE ＝∠CED 在△ABE 和△ECD 中 ⎩⎪⎨⎪⎧∠BAE ＝∠CED ，∠B ＝∠C ，BE ＝CD ，∴△ABE ≌△ECD(AAS) ∴AE ＝ED ∴∠EAD ＝∠EDA ；(2)∵∠AED ＝∠C ＝60°，AE ＝ED ∴△AED 为等边三角形 ∴AE ＝AD ＝ED ＝4 过A 点作AF ⊥ED 于点F.第12题图∴EF ＝12ED ＝2∴AF ＝AE 2－EF 2＝42－22＝2 3 ∴S △AED ＝12ED ·AF ＝12×4×23＝4 3.。

中考数学一轮复习《三角形及其性质》练习题(含答案)

中考数学一轮复习《三角形及其性质》练习题（含答案）课时1一般三角形及等腰三角形(建议答题时间：40分钟)1. (2017泰州)三角形的重心是()A. 三角形三条边上中线的交点B. 三角形三条边上高线的交点C. 三角形三条边垂直平分线的交点D. 三角形三条内角平分线的交点2. (2017金华)下列各组数中，不可能成为一个三角形三边长的是()A. 2，3，4B. 5，7，7C. 5，6，12D. 6，8，103. (2017株洲)如图，在△ABC中，∠BAC＝x，∠B＝2x，∠C＝3x，则∠BAD的度数是()A. 145°B. 150°C. 155°D. 160°第3题图4. (2017甘肃)已知a，b，c是△ABC的三条边长，化简|a＋b－c|－|c－a－b|的结果为()A. 2a＋2b－2cB. 2a＋2bC. 2cD. 05. (2017德阳)如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BE平分∠ABC交AC边于E，∠BAC＝60°，∠ABE＝25°，则∠DAC的大小是()A. 15°B. 20°C. 25°D. 30°第5题图第6题图6. (2017滨州)如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，且DA＝DC，BD＝BA，则∠B的大小为()A. 40°B. 36°C. 30°D. 25°7. (2017荆州)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，AB的垂直平分线l交AC 于点D，则∠CBD的度数为()A. 30°B. 45°C. 50°D. 75°第7题图第8题图第9题图8. (2017郴州)小明把一副含45°，30°的直角三角板如图摆放，其中∠C＝∠F＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，则∠α＋∠β等于()A. 180°B. 210°C. 360°D. 270°9. (2017天津)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD，CE是△ABC的两条中线，P是AD上的一个动点，则下列线段的长等于BP＋EP最小值的是()．A. BCB. CEC. ADD. AC10. (2017泰州)将一副三角板如图叠放，则图中∠α的度数为________．第10题图第12题图第13题图11. (2017成都)在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶4，则∠A的度数为________．12. (2017江西)如图①是一把园林剪刀，把它抽象为图②，其中OA＝OB，若剪刀张开的角为30°，则∠A＝________度．13. (2017湘潭)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，DE垂直平分AB，垂足为点E，请任意写出一组相等的线段________．14. (2017徐州)△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，DE＝7，则BC＝________.15. (2017丽水)等腰三角形的一个内角为100°，则顶角的度数是________．16. (2017陕西)如图，在△ABC中，BD和CE是△ABC的两条角平分线．若∠A ＝52°，则∠1＋∠2的度数为________．第16题图第18题图17. (2017淄博)在边长为4的等边三角形ABC中，D为BC边上的任意一点，过点D分别作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，则DE＋DF＝________. 18. (2017宁夏)在△ABC中，AB＝6，点D是AB的中点，过点D作DE∥BC，交AC于点E，点M在DE上，且ME＝13DM，当AM⊥BM时，则BC的长为________．19. (2017达州)△ABC中，AB＝5，AC＝3，AD是△ABC的中线，设AD长为m，则m的取值范围是________．20. (2017内江)如图，AD平分∠BAC，AD⊥BD，垂足为点D，DE∥AC.求证：△BDE是等腰三角形．第20题图21. (2017北京)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC 于点D.求证：AD＝BC.第21题图22. (2017连云港)如图，已知等腰三角形ABC中，AB＝AC，点D、E分别在边AB、AC上，且AD＝AE，连接BE、CD交于点F.(1)判断∠ABE与∠ACD的数量关系，并说明理由；(2)求证：过点A、F的直线垂直平分线段BC.第22题图课时2直角三角形及勾股定理(建议答题时间：40分钟)1. 下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是()A. 3，4，5B. 1，2， 3C. 6，7，8D. 2，3，42. (2016沈阳)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，则BC的长是()A. 433 B.4 C. 83 D. 4 3第2题图第3题图3. (2017大连)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，点E是AB的中点，CD＝DE＝a，则AB的长为()A. 2aB. 22aC. 3aD. 43 3a4. (2017黄石)如图，在△ABC中，E为BC边的中点，CD⊥AB，AB＝2，AC＝1，DE＝32，则∠CDE＋∠ACD＝()A. 60°B. 75°C. 90°D. 105°第4题图第5题图5. (2017重庆巴蜀月考)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，边AB的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E.若BC＝4，AC＝8，则BD＝()A. 3B. 4C. 5D. 66. (2017陕西)如图，将两个大小、形状完全相同的△ABC和△A′B′C′拼在一起，其中点A′与点A重合，点C′落在边AB上，连接B′C.若∠ACB＝∠AC′B′＝90°，AC＝BC＝3，则B′C的长为()A. 3 3B. 6C. 3 2D. 21第6题图第7题图7. 关注数学文化(2017襄阳)“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若(a＋b)2＝21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为()A. 3B. 4C. 5D. 68. (2017株洲)如图，在Rt△ABC中，∠B的度数是________度．第8题图第11题图第12题图9. (2017安顺)三角形三边长分别为3，4，5，那么最长边上的中线长等于________．10. (2017岳阳)在△ABC中，BC＝2，AB＝23，AC＝b，且关于x的方程x2－4x ＋b＝0有两个相等的实数根，则AC边上的中线长为________．11. (2017常德)如图，已知Rt△ABE中∠A＝90°，∠B＝60°，BE＝10，D是线段AE上的一动点，过D作CD交BE于C，并使得∠CDE＝30°，则CD长度的取值范围是________．12. (2017娄底)如图，在等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝CB＝2，点D为AC的中点，点E，F分别是线段AB，CB上的动点，且∠EDF＝90°，若ED的长为m，则△BEF的周长是________．(用含m的代数式表示)13. (2017杭州)如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝15，AC＝20，点D在边AC上，AD＝5，DE⊥BC于点E，连接AE，则△ABE的面积等于________．第13题图第14题图14. (2017武汉)如图，在△ABC中，AB＝AC＝23，∠BAC＝120°，点D，E都在边BC上，∠DAE＝60°，BD＝2CE，则DE的长为________．15. (2017山西)一副三角板按如图方式摆放，得到△ABD和△BCD，其中∠ADB ＝∠BCD＝90°，∠A＝60°，∠CBD＝45°.E为AB的中点，过点E作EF⊥CD于点F.若AD＝4 cm，则EF的长为________cm.第15题图第16题图16. (2017河南)如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，BC＝2＋1，点M，N分别是边BC，AB上的动点，沿MN所在的直线折叠∠B，使点B的对应点B′始终．．落在边AC上，若△MB′C为直角三角形，则BM的长为________．17. (2018原创)如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝30°，D是边AB上一点，∠BDC＝45°，AD＝4，求BC的长．(结果保留根号)第17题图18. (2018原创)如图，在△ABC中，D为AC边的中点，且DB⊥BC，BC＝4，CD＝5.(1)求DB的长；(2)在△ABC中，求BC边上高的长．第18题图19. 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AC＝20，BC＝15，(1)求AB的长；(2)求CD的长．第19题图20. (2017徐州)如图，已知AC⊥BC，垂足为C，AC＝4，BC＝33，将线段AC 绕点A按逆时针方向旋转60°，得到线段AD，连接DC、DB.(1)线段DC＝________；(2)求线段DB的长度．第20题图答案课时1 一般三角形及等腰三角形1. A2. C3. B4. D【解析】由三角形中任意两边之和大于第三边，得：a＋b>c，∴c－a－b ＝c－(a＋b)<0，∴|c－a－b|＝a＋b－c，|a＋b－c|＝a＋b－c，∴|a＋b－c|－|c－a －b|＝0.5. B【解析】∵BE是∠ABC的角平分线，∴∠ABC＝2∠ABE＝50°，又∵∠BAC ＝60°，则∠C＝70°，又∵∠ADC＝90°，∴∠DAC＝20°.6．B【解析】设∠C＝x°，∵AD＝DC，∴∠DAC＝∠C＝x°，∴∠ADB＝2x°，∵AB＝BD，∴∠BAD＝∠ADB＝2x°，∴∠B＝180°－4x°，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝x°，∴180°－4x°＝x°，解得x＝36，∴∠B＝∠C＝36°.7．B【解析】∵∠A＝30°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝75°，又∵l为AB的垂直平分线，∴DB＝DA，∠DBA＝∠A＝30°∴∠CBD＝∠CBA－∠DBA＝75°－30°＝45°.8. B【解析】如解图，∵∠C＝∠F＝90°，∴∠3＋∠4＝90°，∠2＋∠5＝90°，又∵∠2＝∠4，∴∠3＝∠5，∵∠1＝∠3，∴∠1＝∠5＝180°－∠β，∵∠α＝∠D＋∠1＝∠D＋180°－∠β，∴∠α＋∠β＝∠D＋180°＝30°＋180°＝210°.第8题解图9. B【解析】∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，∴AD⊥BC，∴AD是BC的垂直平分线，∴点B关于AD的对应点为点C，∴CE等于BP＋EP的最小值．10. 15°11. 40°12. 7513. CD＝DE14. 1415. 100°【解析】由三角形内角和定理可知，若等腰三角形的一个内角为100°，则这个内角为顶角，此时两底角均为40°，即该三角形顶角的度数是100°.16. 64°【解析】∵在△ABC中，BD和CE是△ABC的两条角平分线，∴∠1＝∠ABD＝12∠ABC，∠2＝∠ACE＝12∠ACB，∴∠1＋∠2＝12(∠ABC＋∠ACB)，∵∠ABC＋∠ACB＋∠A＝180°，∴∠ABC＋∠ACB＝180°－∠A＝180°－52°＝128°，∴∠1＋∠2＝12(∠ABC＋∠ACB)＝12×128°＝64°.17. 23【解析】假设点D与点B重合，可得DE＋DF为等边三角形AC边上的高，再由等边三角形的边长为4，可求AC边上的高为23，故DE＋DF＝2 3.18. 8【解析】∵AM⊥BM，∴∠AMB＝90°，在Rt△ABM中，∵D是AB的中点，∴DM＝12AB＝3，∵ME＝13DM，∴ME＝1，DE＝4，又∵DE∥BC，∴DE是△ABC的中位线，∴BC＝8.19. 1＜m＜4【解析】如解图，延长AD到点E，使AD＝ED，连接CE，∵AD 是△ABC的中线，∴BD＝CD，∵在△ABD和△ECD中，BD＝CD，DE＝AD，∠ADB＝∠EDC，∴△ABD≌△ECD(SAS)，∴AB＝EC，在△AEC中，∵AC＋EC＞AE，且EC－AC＜AE，即AB＋AC＞2AD，AB－AC＜2AD，∴2＜2AD＜8，∴1＜AD＜4即1＜m＜4.第11题解图20. 证明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC，∵DE∥AC，∴∠ADE＝∠DAC.∴∠BAD＝∠ADE，∵AD⊥BD，∴∠ADB＝90°，∴∠BAD＋∠B＝90°.∵∠BDE＋∠ADE＝90°，∴∠B＝∠BDE，∴BE＝DE，∴△BDE是等腰三角形．21. 解：∵AB＝AC∴在△ABC中，∠ABC＝∠C＝12(180°－∠A)＝12×(180°－36°)＝72°，又∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC＝12∠ABC＝12×72°＝36°，∴∠ABD＝∠A，∴AD＝BD，又∵在△ABC中，∠BDC＝∠A＋∠ABD＝36°＋36°＝72°，∴∠BDC＝∠C，∴BD＝BC，∴AD＝BC.22. (1)解：∠ABE＝∠ACD.理由如下：∵AB＝AC，∠BAE＝∠CAD，AE＝AD，∴△ABE≌△ACD(SAS)．∴∠ABE＝∠ACD；(2)证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.由(1)可知∠ABE＝∠ACD，∴∠FBC＝∠FCB，∴FB＝FC.又∵AB＝AC，∴点A、F均在线段BC的垂直平分线上，即过点A、F的直线垂直平分线段BC.课时2直角三角形及勾股定理1. B2. D3. B【解析】∵CD⊥AB，CD＝DE＝a，∴CE＝2a，∵在△ABC中，∠ACB ＝90°，点E是AB的中点，∴AB＝2CE＝22a.4. C【解析】∵点E为BC边的中点，CD⊥AB，DE＝32，∴BE＝CE＝DE＝32，∴∠CDE ＝∠DCE ，BC ＝ 3.在△ABC 中，AC 2＋BC 2＝1＋(3)2＝4＝AB 2，∴∠ACB ＝90°，∴∠CDE ＋∠ACD ＝∠DCE ＋∠ACD ＝90°.5. C 【解析】设BD ＝x ，∵边AB 的垂直平分线交AC 于点D ，∴AD ＝BD ＝x ，则CD ＝8－x ，在Rt △BCD 中，根据勾股定理，得x 2－(8－x )2＝42，解得x ＝5.6. A 【解析】∵∠ACB ＝∠A ′C ′B ′＝90°，AC ＝BC ＝3，∴△ABC 是等腰直角三角形，∴∠CAB ＝45°，在Rt △ABC 中，AB ＝AC 2＋BC 2＝32＋32＝32，又∵△ABC ≌△A ′B ′C ′， ∴A ′B ′＝ AB ＝32， ∠C ′A ′B ′＝∠CAB ＝45°，∴∠CAB ′＝∠C ′AB ′＋∠CAB ＝ 45°＋45°＝90°，在Rt △CAB ′中，AC ＝3，AB ′＝32，∴B ′C ＝AC 2＋AB′2＝32＋（32）2＝3 3.7. C 【解析】如解图，∵S 正方形ABCD ＝13，∴AB ＝13，∵AG ＝a ，BG ＝b ，∴a 2＋b 2＝AB 2＝13，∵(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2＝21，∴2ab ＝(a ＋b )2－a 2－b 2＝21－13＝8，∴ab ＝4，∴S △ABG ＝12ab ＝12×4＝2，∴S 小正方形＝S 大正方形－4S △ABG ＝13－4×2＝5.第7题解图8. 25 9. 5210. 2 【解析】∵方程x 2－4x ＋b ＝0有两个相等的实数根，∴b 2－4ac ＝16－4b ＝0，解得b ＝4.又∵BC ＝2，AB ＝23，AC ＝b ＝4，∴AB 2＋BC 2＝(23)2＋22＝42＝AC 2，∴∠B ＝90°，∴AC 边上的中线长为2.11. 0<CD ≤5 【解析】如解图，取BE 的中点F ，连接AF ，∵∠A ＝90°，则AF ＝12BE ＝EF ＝5，∴∠EAF ＝∠E ＝90°－∠B ＝30°，又∵∠CDE ＝30°，∴∠CDE＝∠EAF ，∴CD ∥AF ，∴CD AF ＝EDEA .当D 与A 重合时，CD 与AF 重合，取得最大值为5，当D 接近于E 时，DE 越小，CD 越小，∵线段CD 不能为0，∴0<CD≤5.第11题解图12. 2＋2m【解析】如解图，连接BD，∵D为AC的中点，∴BD⊥AC，BD 平分∠ABC，∴∠BDC＝90°，∠ABD＝∠C＝45°，∴∠BDF＋∠FDC＝90°，又∵∠EDF＝90°，∴∠BDF＋∠BDE＝90°，∴∠CDF＝∠BDE，∴△BED≌△CFD(ASA)，∴BE＝CF，DE＝DF，则BE＋BF＋EF＝BC＋EF＝2＋EF，而Rt △DEF中，DE＝DF＝m，∴EF＝2m，则△BEF的周长为2＋ 2 m.第12题解图13. 78【解析】如解图，过点A作AH⊥BC于点H，∵AB＝15，AC＝20，∠BAC＝90°，∴由勾股定理得，BC＝152＋202＝25，∵AD＝5，∴DC＝20－5＝15，∵DE⊥BC，∠BAC＝90°，∴△CDE∽△CBA，∴CECA＝CDCB，∴CE＝1525×20＝12.第13题解图14. 33－3【解析】∵AB＝AC＝23，∠BAC＝120°，∴BC＝6，∠B＝∠BCA ＝30°，如解图，将△ABD绕点A逆时针旋转120°得到△ACD′，∴∠D′CA＝∠B ＝30°，AD＝AD′，∴∠D′CE＝60°，∵∠DAE＝60°，∠DAD′＝120°，∴∠EAD′＝60°，∴△EAD′≌∠EAD(SAS)，∴ED′＝ED，∴ED′＋BD＋EC＝6，∴EC＝6－DE3，∵CD ′＝BD ＝2CE ，∠D ′CE ＝60°，∴∠D ′EC ＝90°，∴D ′E 2＋EC 2＝D ′C 2，即DE 2＋(6－DE 3)2＝(6－DE3×2)2，解得DE ＝33－3(负根舍去)．第14题解图15. 2＋6 【解析】如解图，连接DE ，在EF 上找一点G ，使得DG ＝EG ，连接DG ，在Rt △ABD 中，∠A ＝60°， ∴AD ＝12AB ，又∵E 为AB 的中点，∴AE ＝12AB ＝DE ，∴AD ＝AE ＝DE ，∴△ADE 为等边三角形，∴DE ＝AD ＝4 cm ，∠DEA ＝60°，又∵EF ⊥CD ，∠C ＝90°，∴EF ∥CB ，∴∠AEF ＝∠ABC ＝75°，∴∠DEF ＝15°，在Rt △EFD 中，∠EFD ＝90°，∵DG ＝EG ，∴∠GDE ＝∠DEF ＝15°，∴∠DGF ＝30°，设DF ＝x ，则EG ＝DG ＝2x ，FG ＝3x ，EF ＝(2＋3)x ，根据勾股定理得DF 2＋EF 2＝DE 2，即x 2＋(2＋3)2x 2＝16，解得x ＝6－2，∴EF ＝(2＋6) cm .第15题解图16. 2＋12或1 【解析】(1)当∠B ′MC 为直角时，此时点M 在BC 的中点位置，点B ′与点A 重合，如解图①，则BM 长度为12BC ＝2＋12；(2)当∠MB ′C 为直角时，如解图②，根据折叠性质得，BM ＝B ′M ，BN ＝B ′N ，B ′M ∥BA ，∴MC BC ＝B ′MAB ，即MC B ′M ＝BC AB ＝2，∴MC B ′M＝2，即MC ＋BM BM ＝2＋11，即BCBM ＝2＋11，∵BC＝2＋1，∴BM＝1.故BM长为2＋12或1.第16题解图17. 解：∵∠BDC＝45°，∠ABC＝90°，∴△BDC为等腰直角三角形，∴BD＝BC，∵∠A＝30°，∴BC＝12AC，在Rt△ABC中，根据勾股定理得AC2＝AB2＋BC2，即(2BC)2＝(4＋BD)2＋BC2，解得BC＝BD＝2＋23(负根舍去)．18. 解：(1)∵DB⊥BC，BC＝4，CD＝5，∴BD＝52－42＝3；(2)如解图，延长CB，过点A作AE⊥CB交CB延长线于点E，∵DB⊥BC，AE⊥BC，∴AE∥DB，∵D为AC边的中点，∴BD＝12AE，∴AE＝6，即BC边上高的长为6.第18题解图19. 解：(1)在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝15，AC＝20，∴AB＝AC2＋BC2＝202＋152＝25，即AB的长是25；(2)∵S△ABC＝12AC·BC＝12AB·CD，∴20×15＝25·CD，∴CD＝12.20. 解：(1) 4；【解法提示】在△ACD中，∵∠A＝60°，AC＝AD，∴△ACD是等边三角形，∴DC＝AC＝4.(2)如解图，过点D作DE⊥BC于点E.第20题解图在△CDE中，∠DCE＝∠ACB－∠ACD＝90°－60°＝30°，CD＝4，∴DE＝2，根据勾股定理得CE＝CD2－DE2＝23，∴BE＝BC－CE＝33－23＝3，∴DB＝BE2＋DE2＝（3）2＋22＝7.。

中考数学复习专题15解直角三角形

解直角三角一、单选题1．（2021·浙江温州市）图1是第七届国际数学教育大会（ICME ）的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形OABC ．若1AB BC ==．AOB α∠=，则2OC 的值为（）A ．211sin α+B ．2sin 1α+C ．211cos α+D ．2cos 1α+【答案】A【分析】根据勾股定理和三角函数求解．【详解】∵在Rt OAB 中，AOB α∠=，1AB =∴1=sin sin AB OB αα= 在Rt OBC 中，1BC =，2222221111sin sin OC OB BC αα⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭故选：A ．【点睛】本题主要考查勾股定理和三角函数．如果直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为c ，那么222+=a b c ．2．（2021·浙江金华市）如图是一架人字梯，已知2AB AC ==米，AC 与地面BC 的夹角为α，则两梯脚之间的距离BC 为（）A ．4cos α米B ．4sin α米C ．4tan α米D ．4cos α米【答案】A 【分析】根据等腰三角形的性质得到12BD DC BC ==，根据余弦的定义即可，得到答案．【详解】过点A 作AD BC ⊥，如图所示：∵AB AC =，AD BC ⊥，∴BD DC =，∵DC co ACα=，∴cos 2cos DC AC αα=⋅=， ∴24cos BC DC α==，故选：A ．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，明确等腰三角形的性质是解题的关键．3．（2021·湖北随州市）如图，某梯子长10米，斜靠在竖直的墙面上，当梯子与水平地面所成角为α时，梯子顶端靠在墙面上的点A 处，底端落在水平地面的点B 处，现将梯子底端向墙面靠近，使梯子与地面所成角为β，已知3sin cos 5αβ==，则梯子顶端上升了（）A ．1米B ．1.5米C ．2米D ．2.5米【答案】C 【分析】根据梯子长分别利用三角函数的正弦定义求出CD =CE sin β与AD =AB sin α，两线段作差即可．【详解】解：如图所示标记字母，根据题意得AB =CE =10米，∵sin β45===，在Rt △ECD 中，sin 4105CD CD CE β===，∴CD =410=85⨯，在Rt △ABD 中，sin 3=105AD AD AB α==，∴310=65AD =⨯，∴AC =CD -AD =8-6=2．故选择C ．【点睛】本题考查三角函数的定义，解直角三角形，掌握正弦与余弦的平方关系以及锐角三角函数的定义是解题关键．4．（2021·湖南株洲市）某限高曲臂道路闸口如图所示，AB 垂直地面1l 于点A ，BE 与水平线2l 的夹角为()090αα︒≤≤︒，12////EF l l ，若 1.4AB =米，2BE =米，车辆的高度为h （单位：米），不考虑闸口与车辆的宽度．①当90α=︒时，h 小于3.3米的车辆均可以通过该闸口；②当45α=︒时，h 等于2.9米的车辆不可以通过该闸口；③当60α=︒时，h 等于3.1米的车辆不可以通过该闸口．则上述说法正确的个数为（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】C 【分析】①,,A B E 三点共线，直接计算可得；②做出辅助线，构造直角三角形，利用特殊角的三角函数，求出h ；③方法同②．【详解】如图过E 点作EM AB ⊥交AB 的延长线于点M ，12////EF l l ∴MEB α∠= 则sin h AM AB BE α==+⨯①当90α=︒时,,,A B E 三点共线， 1.42 3.4 3.3h AE AB BE ==+=+=>∴h 小于3.3米的车辆均可以通过该闸口，故①正确．②当45α=︒时，sin 1.42 1.4 1.41 2.81 2.92h AB BE α=+⨯=+⨯≈+=< ∴h 等于2.9米的车辆不可以通过该闸口，故②正确．③当60α=︒时，sin 1.42 1.4 1.73 3.13 3.1h AB BE α=+⨯=+≈+=> ∴ h 等于3.1米的车辆可以通过该闸口，故③错误．综上所述：说法正确的为：①②，共2个．故选：C ．【点睛】本题考查了三角函数的应用，二次根式的估值，正确的作图，计算和对比选项是解题关键． 5．（2021·湖南衡阳市）如图是某商场营业大厅自动扶梯的示意图．自动扶梯AB 的倾斜角为37︒，大厅两层之间的距离BC 为6米，则自动扶梯AB 的长约为（sin370.6,cos370.8,tan370.75︒≈︒≈︒≈）（）．A ．7.5米B ．8米C ．9米D ．10米【答案】D 【分析】结合题意，根据三角函数的性质计算，即可得到答案．【详解】根据题意，得：sin 370.6BC AB ︒=≈ ∵6BC =米∴6100.60.6BC AB ===米故选：D ．【点睛】本题考查了三角函数的知识；解题的关键是熟练掌握三角函数的性质，从而完成求解． 6．（2021·天津）tan30︒的值等于（）A B C ．1 D ．2【答案】A【分析】根据30°的正切值直接求解即可．【详解】解：由题意可知，tan 30︒=，故选：A ．【点睛】本题考查30°的三角函数，属于基础题，熟记其正切值即可．7．（2021·重庆）如图，在建筑物AB 左侧距楼底B 点水平距离150米的C 处有一山坡，斜坡CD 的坡度（或坡比）为1:2.4i =，坡顶D 到BC 的垂直距离50DE =米（点A ，B ，C ，D ，E 在同一平面内），在点D 处测得建筑物顶A 点的仰角为50°，则建筑物AB 的高度约为（参考数据：sin500.77︒≈；cos500.64︒≈；tan50 1.19︒≈）A ．69.2米B ．73.1米C ．80.0米D ．85.7米【答案】D 【分析】作DF ⊥AB 于F 点，得到四边形DEBF 为矩形，首先根据坡度的定义以及DE 的长度，求出CE ，BE 的长度，从而得到DF =BE ，再在Rt △ADF 中利用三角函数求解即可得出结论．【详解】如图所示，作DF ⊥AB 于F 点，则四边形DEBF 为矩形，∴50DE BF ==,∵斜坡CD 的坡度（或坡比）为1:2.4i =，∴在Rt △CED 中，15tan 2.412DE C CE ∠===， ∵50DE =，∴120CE =，∴15012030BE BC CE =-=-=，∴30DF =，在Rt △ADF 中，∠ADF =50°，∴tan tan 50 1.19AF ADF DF∠=︒==，将30DF =代入解得：35.7AF =，∴AB =AF +BF =35.7+50=85.7米，故选：D ．【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，理解坡度的定义，准确构造直角三角形，熟练运用锐角三角函数是解题关键．8．（2021·云南）在ABC 中，90ABC ∠=︒，若s n 3100,5i A A C ==，则AB 的长是（） A ．5003 B ．5035 C ．60 D ．80【答案】D【分析】根据三角函数的定义得到BC 和AC 的比值，求出BC ，然后利用勾股定理即可求解．【详解】解：∵∠ABC =90°，sin ∠A =BC AC =35，AC =100，∴BC =100×3÷5=60，∴AB ，故选D ．【点睛】本题主要考查的是解直角三角形，掌握勾股定理和正弦函数的定义是解题的关键．9．（2021·山东泰安市）如图，为了测量某建筑物BC 的高度，小颖采用了如下的方法：先从与建筑物底端B 在同一水平线上的A 点出发，沿斜坡AD 行走130米至坡顶D 处，再从D 处沿水平方向继续前行若干米后至点E 处，在E 点测得该建筑物顶端C 的仰角为60°，建筑物底端B 的俯角为45°，点A 、B 、C 、D 、E 在同一平面内，斜坡AD 的坡度1:2.4i =．根据小颖的测量数据，计算出建筑物BC 的高度约为（）（参1.732≈）A ．136.6米B ．86.7米C ．186.7米D ．86.6米【答案】A 【分析】作DF ⊥AB 于F 点，EG ⊥BC 于G 点，根据坡度求出DF =50，AF =120，从而分别在△BEG 和△CEG 中求解即可．【详解】如图，作DF ⊥AB 于F 点，EG ⊥BC 于G 点，则四边形DFBG 为矩形，DF =BG ，∵斜坡AD 的坡度1:2.4i =，∴15tan 2.412DF DAF AF∠===， ∵AD =130，∴DF =50，AF =120，∴BG =DF =50，由题意，∠CEG =60°，∠BEG =45°，∴△BEG 为等腰直角三角形，BG =EG =50，在Rt △CEG 中，CG EG∴6505136.BC BG CG ≈=+=+米，故选：A ．【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，正确理解坡度的定义，准确构建合适的直角三角形是解题关键．10．（2021·重庆）如图，相邻两个山坡上，分别有垂直于水平面的通信基站MA 和N D ．甲在山脚点C 处测得通信基站顶端M 的仰角为60°，测得点C 距离通信基站MA 的水平距离CB 为30m ；乙在另一座山脚点F 处测得点F 距离通信基站ND 的水平距离FE 为50m ，测得山坡DF 的坡度i =1：1.25．若58ND DE =，点C ，B ，E ，F 在同一水平线上，则两个通信基站顶端M 与顶端N 的高度差为（）（参考数据：1.73≈≈）A ．9.0mB ．12.8mC ．13.1mD ．22.7m【答案】C 【分析】分别解直角三角形Rt DEF △和Rt MBC ，求出NE 和MB 的长度，作差即可．【详解】解：∵50FE m =，DF 的坡度i =1：1.25，∴:1:1.25DE EF =，解得40m DE =， ∴5258ND DE m ==，∴65NE ND DE m =+=，∵60MCB ∠=︒，30m BC =，∴tan 60MB BC =⋅︒=，∴顶端M 与顶端N 的高度差为6513.1NE MB m -=-≈，故选：C ．【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，掌握解直角三角形是解题的关键．11．（2021·四川泸州市）在锐角ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，有以下结论：2sinA sinB sinCa cb R ===（其中R 为ABC的外接圆半径）成立．在ABC 中，若∠A =75°，∠B =45°，c =4，则ABC 的外接圆面积为（）A ．163πB ．643πC ．16πD ．64π【答案】A【分析】方法一：先求出∠C ，根据题目所给的定理，2sin c R C = , 利用圆的面积公式S 圆=163π．方法二：设△ABC 的外心为O ，连结OA ，OB ，过O 作OD ⊥AB 于D ，由三角形内角和可求∠C =60°，由圆周角定理可求∠AOB =2∠C =120°，由等腰三角形性质，∠OAB =∠OBA =30，由垂径定理可求AD =BD =2，利用三角函数可求OA，利用圆的面积公式S 圆=163π．【详解】解:方法一：∵∠A =75°，∠B =45°，∴∠C =180°-∠A -∠B =180°-75°-45°=60°，有题意可知42=sin sin 6032c R C ===︒，∴3R =，∴S 圆=222163R OA ππππ===⎝⎭．方法二：设△ABC 的外心为O ，连结OA ，OB ，过O 作OD ⊥AB 于D ，∵∠A =75°，∠B =45°，∴∠C =180°-∠A -∠B =180°-75°-45°=60°，∴∠AOB =2∠C =2×60°=120°，∵OA =OB ，∴∠OAB =∠OBA =()1180120302︒-︒=︒， ∵OD ⊥AB ，AB 为弦，∴AD =BD =122AB =，∴AD =OA cos30°， ∴OA=cos302AD ÷︒==S 圆=2221633R OA ππππ⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭．故答案为A ．【点睛】本题考查三角形的外接圆，三角形内角和，圆周角定理，等腰三角形性质，垂径定理，锐角三角函数，圆的面积公式，掌握三角形的外接圆，三角形内角和，圆周角定理，等腰三角形性质，垂径定理，锐角三角函数，圆的面积公式是解题关键．三、填空题1．（2021·四川广元市）如图，在44⨯的正方形网格图中，已知点A 、B 、C 、D 、O 均在格点上，其中A 、B 、D 又在O 上，点E 是线段CD 与O 的交点．则BAE ∠的正切值为________．【答案】12【分析】由题意易得BD =4，BC =2，∠DBC =90°，∠BAE =∠BDC ，然后根据三角函数可进行求解．【详解】解：由题意得：BD =4，BC =2，∠DBC =90°，∵∠BAE =∠BDC ，∴1tan tan 2BC BAE BDC BD ∠=∠==，故答案为12．【点睛】本题主要考查三角函数及圆周角定理，熟练掌握三角函数及圆周角定理是解题的关键． 2．（2021·浙江衢州市）图1是某折叠式靠背椅实物图，图2是椅子打开时的侧面示意图，椅面CE 与地面平行，支撑杆AD ，BC 可绕连接点O 转动，且OA OB =，椅面底部有一根可以绕点H 转动的连杆HD ，点H 是CD 的中点，F A ，EB 均与地面垂直，测得54cm FA =，45cm EB =，48cm AB =．（1）椅面CE 的长度为_________cm ．（2）如图3，椅子折叠时，连杆HD 绕着支点H 带动支撑杆AD ，BC 转动合拢，椅面和连杆夹角CHD ∠的度数达到最小值30时，A ，B 两点间的距离为________cm （结果精确到0.1cm ）．（参考数据：sin150.26︒≈，cos150.97︒≈，tan150.27︒≈）【答案】40 12.5【分析】（1）过点C 作CM 垂直AF ，垂足为M ，MFC AFB ∆∽，列比例求出CM 长度，则CE =AB -CM ；（2）根据图2可得OCD OBA ∽，对应袋图3中求出CD 长度，列比例求AB 即可．【详解】解：（1）过点C 作CM 垂直AF ，垂足为M ，∵椅面CE 与地面平行，∴MFC AFB ∆∽， ∴54454854CM FM FA EB CM AB FA FA --==⇔=，解得：CM =8cm ， ∴CE =AB -CM =48-8=40cm ；故答案为：40；（2）在图2中，∵OA OB =，椅面CE 与地面平行，∴BCE ADM ∠=∠，∵90AM BE AMD BEC =∠=∠=︒，，∴AMD BEC ≌，∴DM CE =，∴8MC ED cm ==，∴488832CD cm =--=，∵H 是CD 的中点，∴1162CH HD CD ===， ∵椅面CE 与地面平行，∴COD BOA ∽，∴322483CO CD BO AB ===，图3中，过H 点作CD 的垂线，垂足为N ，因为1162CH HD CD === ，=30CHD ∠︒， ∴15CHN DHN ∠=∠=︒，∴2sin15=8.32CD CH cm =︒，∴28.323CO CD OB AB AB =⇔=，解得：12.4812.5AB cm =≈，故答案为：12.5．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，锐角三角函数等知识点，找到对应相似三角形并正确列出比例是解决本题的关键．3．（2021·浙江绍兴市）图1是一种矩形时钟，图2是时钟示意图，时钟数字2的刻度在矩形ABCD 的对角线BD 上，时钟中心在矩形ABCD 对角线的交点O 上．若30cm AB =，则BC 长为_______cm （结果保留根号）．【答案】303 【分析】根据题意即可求得∠MOD =2∠NOD ，即可求得∠NOD =30°，从而得出∠ADB =30°，再解直角三角形ABD 即可．【详解】解：∵时钟数字2的刻度在矩形ABCD 的对角线BD 上，时钟中心在矩形ABCD 对角线的交点O ， ∴∠MOD =2∠NOD ， ∵∠MOD +∠NOD =90°，∴∠NOD =30°，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD //BC ，∠A =90°，AD =BC ，∴∠ADB =∠NOD =30°，∴()30==303cm tan 30tan 30==AB BC AD 故答案为：【点睛】本题考查的矩形的性质、解直角三角形等知识；理解题意灵活运用所学知识得出∠NOD =30°是解题的关键．4．（2021·湖北武汉市）如图，海中有一个小岛A ，一艘轮船由西向东航行，在B 点测得小岛A 在北偏东60︒方向上；航行12n mile 到达C 点，这时测得小岛A 在北偏东30方向上．小岛A 到航线BC 的距离是__________n mile 1.73≈，结果用四舍五入法精确到0.1）．【答案】10.4【分析】过点A 作AD ⊥BC ，垂足为D ，根据题意，得∠ABC =30°，∠ACD =60°，从而得到AC =BC =12,利用sin 60°=AD AC计算AD 即可【详解】过点A 作AD ⊥BC ，垂足为D ，根据题意，得∠ABC =30°，∠ACD =60°，∴∠ABC =∠CAB =30°，∴AC =BC =12,∵sin 60°=AD AC ，∴AD =AC sin 60°=122⨯ 1.73610.38≈⨯=≈10.4故答案为：10.4. 【点睛】本题考查方位角，解直角三角形，准确理解方位角的意义，构造高线解直角三角形是解题的关键． 5．（2021·四川乐山市）如图，已知点(4,3)A ，点B 为直线2y =-上的一动点，点()0,C n ，23n -<<，AC BC ⊥于点C ，连接AB ．若直线AB 与x 正半轴所夹的锐角为α，那么当sin α的值最大时，n 的值为________．【答案】12【分析】设直线y ＝﹣2与y 轴交于G ，过A 作AH ⊥直线y ＝﹣2于H ，AF ⊥y 轴于F ，根据平行线的性质得到∠ABH ＝α，由三角函数的定义得到sin α5BA =，根据相似三角形的性质得到比例式234GB n n +=-，于是得到GB 14=-（n +2）（3﹣n ）14=-（n 12-）22516+，根据二次函数的性质即可得到结论．【详解】解：如图，设直线y ＝﹣2与y 轴交于G ，过A 作AH ⊥直线y ＝﹣2于H ，AF ⊥y 轴于F ，∵BH ∥x 轴，∴∠ABH ＝α，在Rt △ABH 中，AB =,sin α5BA=，即sin α5BA = ∵sinα随BA 的减小而增大，∴当BA 最小时sinα有最大值；即BH 最小时，sinα有最大值，即BG 最大时，sinα有最大值， ∵∠BGC ＝∠ACB ＝∠AFC ＝90°，∴∠GBC +∠BCG ＝∠BCG +∠ACF ＝90°，∴∠GBC ＝∠ACF ，∴△ACF ∽△CBG ，∴BG CG CF AF=， ∵(4,3)A ，()0,C n 即234BG n n +=-，∴BG 14=-（n +2）（3﹣n ）14=-（n 12-）22516+， ∵23n -<<∴当n 12=时，BG 最大值2516=故答案为：12．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角函数的定义，平行线的性质，正确的作出辅助线证得△ACF ∽△CBG 是解题的关键．6．（2021·四川乐山市）如图，为了测量“四川大渡河峡谷”石碑的高度，佳佳在点C 处测得石碑顶A 点的仰角为30，她朝石碑前行5米到达点D 处，又测得石顶A 点的仰角为60︒，那么石碑的高度AB 的长=________米．（结果保留根号）【分析】先根据已知条件得出△ADC 是等腰三角形，再利用AB =sin 60°×AD 计算即可【详解】解：由题意可知：∠A =30°，∠ADB =60°∴∠CAD =30°∴△ADC 是等腰三角形，∴DA =DC 又DC =5米故AD =5米在Rt △ADB 中，∠ADB =60°∴AB =sin 60°×AD 5= 【点睛】本题考查等腰三角形的性质、解直角三角形，熟练记忆特殊角的锐角三角函数值是关键 7．（2021·浙江）如图，已知在Rt ABC 中，90,1,2ACB AC AB ∠=︒==，则sin B 的值是______．【答案】12【分析】在直角三角形中，锐角B 的正弦=锐角B 的对边：直角三角形的斜边，根据定义直接可得答案．【详解】解： 90,1,2ACB AC AB ∠=︒==，1sin ,2AC B AB ∴== 故答案为：12 【点睛】本题考查的是锐角的正弦的含义，掌握锐角的正弦的定义是解题的关键．8．（2021·浙江宁波市）如图，在矩形ABCD 中，点E 在边AB 上，BEC △与FEC 关于直线EC 对称，点B 的对称点F 在边AD 上，G 为CD 中点，连结BG 分别与,CE CF 交于M ，N 两点，若BM BE =，1MG =，则BN 的长为________，sin AFE ∠的值为__________．【答案】2 1【分析】由BEC △与FEC 关于直线EC 对称，矩形,ABCD 证明,BEC FEC ≌再证明,BCN CFD ≌ 可得,BN CD = 再求解2,CD = 即可得BN 的长；先证明,AFE CBG ∽ 可得：,AE EF CG BG = 设,BM x = 则,1,2,BE BM FE x BG x AE x ====+=- 再列方程，求解,x 即可得到答案．【详解】解： BEC △与FEC 关于直线EC 对称，矩形,ABCD,BEC FEC ∴≌ 90,ABC ADC BCD ∠=∠=∠=︒90,,,,EBC EFC BEC FEC BE FE BC FC ∴∠=∠=︒∠=∠==,BM BE = ,BEM BME ∴∠=∠ ,FEC BME ∴∠=∠//,EF MN ∴ 90BNC EFC ∴∠=∠=︒， 90,BNC FDC ∴∠=∠=︒90BCD ∠=︒, 90,NBC BCN BCN DCF ∴∠+∠=︒=∠+∠,NBC DCF ∴∠=∠ ,BCN CFD ∴≌ ,BN CD ∴=矩形,ABCD //,//,AB CD AD BC ∴ ,BEM GCM ∴∠=∠,1,BEM BME CMG MG G ∠=∠=∠=为CD 的中点，,GMC GCM ∴∠=∠ 1,2,CG MG CD ∴=== 2.BN ∴=如图，,//,BM BE FE MN EF == 四边形ABCD 都是矩形，,//,90,AB CD AD BC A BCG ∴=∠=∠=︒ ,AEF ABG ∠=∠90,AFE AEF ABG CBG ∠+∠=︒=∠+∠ ,AFE CBG ∴∠=∠,AFE CBG ∴∽ ,AE EF CG BG ∴= 设,BM x = 则,1,2,BE BM FE x BG x AE x ====+=- 2,11x x x -∴=+ 解得：x = 经检验：x =x =2AE EF ∴== sin 1.AE AFE EF ∴∠=== 故答案为： 1. 【点睛】本题考查的是矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，分式方程的解法，掌握以上知识是解题的关键．9．（2021·四川乐山市）在Rt ABC 中，90C ∠=︒．有一个锐角为60︒，4AB =．若点P 在直线AB 上（不与点A 、B 重合），且30PCB ∠=︒，则CP 的长为________．2【分析】依据题意画出图形，分类讨论，解直角三角形即可．【详解】解：情形1：60A ∠=︒，则30B ∠=︒，，∵30PCB ∠=︒，∴60ACP ∠=︒，∴ACP △是等边三角形，∴122CP AC AB ===；情形2：60B ∠=︒，则30A ∠=︒，2BC =，AC =∵30PCB ∠=︒，∴CP AB ⊥，∴1122AC BC AB CP ⋅=⋅，解得CP =情形3：60B ∠=︒，则30A ∠=︒，2BC =，AC =∵30PCB ∠=︒，∴CP AC ==2．【点睛】本题考查解直角三角形，掌握分类讨论的思想是解题的关键．10．（2021·浙江杭州市）sin30°的值为_____．【答案】12【详解】根据特殊角的三角函数值计算即可：sin30°=12．三、解答题1．（2021·青海）如图1是某中学教学楼的推拉门，已知门的宽度2AD =米，且两扇门的大小相同（即AB CD =），将左边的门11ABB A 绕门轴1AA 向里面旋转35︒，将右边的门11CDD C 绕门轴1DD 向外面旋转45︒，其示意图如图2，求此时B 与C 之间的距离（结果保留一位小数）．（参考数据sin350.6︒≈，cos350.8︒≈ 1.4≈）．【答案】1.4米【分析】作BE ⊥AD 于点E ，作CF ⊥AD 于点F ，延长FC 到点M ，使得BE =CM ，则EM =BC ，在Rt △ABE 、Rt △CDF 中可求出AE 、BE 、DF 、FC 的长度，进而可得出EF 的长度，再在Rt △MEF 中利用勾股定理即可求出EM 的长，此题得解．【详解】解：作BE ⊥AD 于点E ，作CF ⊥AD 于点F ，延长FC 到点M ，使得BE =CM ，如图所示．∵AB =CD ，AB +CD =AD =2，∴AB =CD =1．在Rt △ABE 中，AB =1，∠A =35°，∴BE =AB •sin ∠A=1sin35⨯︒≈0.6，AE =AB •cos ∠A ≈0.8．在Rt △CDF 中，CD =1，∠D =45°，∴CF =CD •sin ∠D ≈0.7，DF =CD •cos ∠D ≈0.7．∵BE ⊥AD ，CF ⊥AD ，∴BE ∥CM ，又∵BE =CM ，∴四边形BEMC 为平行四边形，∴BC =EM ，CM =BE ．在Rt △MEF 中，EF =AD -AE -DF =0.5，FM =CF +CM =1.3，∴EM ，∴B 与C 之间的距离约为1.4米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理以及平行四边形的判定与性质，构造直角三角形，利用勾股定理求出BC 的长度是解题的关键．2．（2021·四川成都市）越来越多太阳能路灯的使用，既点亮了城市的风景，也是我市积极落实节能环保的举措．某校学生开展综合实践活动，测量太阳能路灯电池板离地面的高度．如图，已知测倾器的高度为1.6米，在测点A 处安置测倾器，测得点M 的仰角33MBC ∠=︒，在与点A 相距3.5米的测点D 处安置测倾器，测得点M 的仰角45MEC ∠=︒ （点A ，D 与N 在一条直线上），求电池板离地面的高度MN 的长．（结果精确到1米；参考数据：sin330.54,cos330.84,tan330.65︒≈︒≈︒≈）【答案】8米【分析】过E 作EF ⊥MN 于F ，连接EB ，设MF =x 米，可证四边形FNDE ，四边形FNAB 均是矩形，设MF =EF =x ，可求FB = x +3.5，由tan ∠MBF =0.653.5MF x FB x =≈+，解得 6.5x ≈米，可求MN =MF +FN =6.5+1.6≈8米．【详解】解：过E 作EF ⊥MN 于F ，连接EB ，设MF =x 米，∵∠EFN =∠FND =∠EDN =∠A =90°， ∴四边形FNDE ，四边形FNAB 均是矩形，∴FN =ED =AB =1.6米，AD =BE =3.5米，∵∠MEF =45°，∠EFM =90°，∴MF =EF =x ,∴FB =FE +EB =x +3.5，∴tan ∠MBF =0.653.5MF x FB x =≈+，∴解得 6.5x ≈米，经检验 6.5x ≈米符合题意， ∴MN =MF +FN =6.5+1.6=8.1≈8米．【点睛】本题考查矩形判定与性质，锐角三角函数，简单方程，掌握矩形判定与性质，锐角三角函数，简单方程是解题关键．3．（2021·山东聊城市）时代中学组织学生进行红色研学活动．学生到达爱国主义教育基地后，先从基地门口A 处向正南方向走300米到达革命纪念碑B 处，再从B 处向正东方向走到党史纪念馆C 处，然后从C 处向北偏西37°方向走200米到达人民英雄雕塑D 处，最后从D 处回到A 处．已知人民英雄雕塑在基地门口的南偏东65°方向，求革命纪念碑与党史纪念馆之间的距离（精确到1米）．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14）【答案】420米【分析】过D 点分别作DE ⊥BC ，DF ⊥AB ，垂足分别是点E ，点F ．由三角函数可求120CE ≈，160DE ≈．可证四边形 BEDF 是矩形，可求AF ＝140,在Rt △ADF 中，利用三角函数可求DF ＝AF ·tan65°≈299.60.,可求BC ＝BE ＋CE ≈420（米）．【详解】解∶过D 点分别作DE ⊥BC ，DF ⊥AB ，垂足分别是点E ，点F ．由题意得，CDE ∠＝37°．在R △CDE 中∵sin 37,cos37,200CE DE CD CD CD︒=︒==， 200sin372000.60120CE ∴=⋅︒≈⨯=，200cos372000.80160DE =⋅≈⨯=︒．,,AB BC DE BC DF AB ⊥⊥⊥，90B DEB DFB ∴∠=∠=∠=︒．∴四边形 BEDF 是矩形，∴BE ＝DF ，BF ＝DE ＝160，∴AF ＝AB －BF ＝300－160＝140.在Rt △ADF 中，tan 65DF AF︒=，∴DF ＝AF ·tan65°≈140×2.14＝299.60. ∴BC ＝BE ＋CE ＝299.60＋120≈420（米）．所以，革命纪念碑与党史纪念馆之间的距离约为 420米．【点睛】本题考查解直角三角形应用，矩形判定与性质，掌握锐角三角函数的定义与矩形判定和性质是解题关键．4．（2021·四川广元市）如图，某无人机爱好者在一小区外放飞无人机，当无人机飞行到一定高度D 点处时，无人机测得操控者A 的俯角为75︒，测得小区楼房BC 顶端点C 处的俯角为45︒．已知操控者A 和小区楼房BC 之间的距离为45米，小区楼房BC 的高度为米．（1）求此时无人机的高度；（2）在（1）条件下，若无人机保持现有高度沿平行于AB 的方向，并以5米/秒的速度继续向前匀速飞行．问：经过多少秒时，无人机刚好离开了操控者的视线？（假定点A ，B ，C ，D都在同一平面内．参考数据：tan 752︒=tan152︒=．计算结果保留根号）【答案】（1）()30米；（2）()6秒【分析】（1）通过作辅助线构造直角三角形，解直角三角形即可求出DE 的值，进而得到DH 的值；（2）先利用特殊角的三角函数值求出∠BAC 的度数，接着求出∠GF A 的度数，作辅助线构造直角三角形求出DG 和GF ，进而得到DF 的值，最后除以无人机速度即可．【详解】解：如图1，过D 点作DH ⊥AB ，垂足为点H ，过C 点作CE ⊥DH ，垂足为点E ，可知四边形EHBC 为矩形，∴EH =CB ，CE =HB ，∵无人机测得小区楼房BC 顶端点C 处的俯角为45︒，测得操控者A 的俯角为75︒，DM ∥AB ，∴∠ECD =45°，∠DAB =75°，∴∠CDE =∠ECD =45°，∴CE =DE ，设CE =DE =HB =x ，∴AH =45-x ，DH =DE +EH =x +在Rt △DAH 中，DH =tan75°×AH =(()245x +-，即(()245x x +=-，解得：x =30，∴DH = 30∴此时无人机的高度为()30米；（2）如图2所示，当无人机飞行到图中F 点处时，操控者开始看不见无人机，此时AF 刚好经过点C ，过A 点作AG ⊥DF ，垂足为点G ，此时，由（1）知，AG =30（米），∴°30153===15tan 7523AG DG ++；∵1533tan =453BC CAB AB ∠==，∴°=30CAB ∠∵DF ∥AB ，∴∠DF A =∠CAB =30°，∴°45tan 30GA GF ==,∴=30DF GF DG -=,因为无人机速度为5米/秒，所以所需时间为3065（秒）；所以经过()6秒时，无人机刚好离开了操控者的视线．【点睛】本题综合考查了解直角三角形的应用，涉及到了等腰直角三角形的性质、矩形的判定与性质、特殊角的三角函数值、解直角三角形等知识，解决本题的关键是读懂题意，能从题意与图形中找出隐含条件，能构造直角三角形求解等，本题蕴含了数形结合的思想方法等．5．（2021·四川资阳市）资阳市为实现5G 网络全覆盖，2020－2025年拟建设5G 基站七千个．如图，在坡度为1:2.4i =的斜坡CB 上有一建成的基站塔AB ，小芮在坡脚C 测得塔顶A 的仰角为45︒，然后她沿坡面CB 行走13米到达D 处，在D 处测得塔顶A 的仰角为53︒（点A 、B 、C 、D 均在同一平面内）（参考数据：434sin 53,cos53,tan 53553︒≈︒≈︒≈）（1）求D 处的竖直高度；（2）求基站塔AB 的高．【答案】（1）5米；（2）19.25米【分析】（1）过点D 作DE ⊥CM ，根据坡度及勾股定理求DE 的长度；（2）延长AB 交CM 于点F ，过点D 作DG ⊥AF ，则四边形DEFG 是矩形，然后利用锐角三角函数和坡度的概念解直角三角形【详解】解：（1）过点D 作DE ⊥CM∵斜坡CB 的坡度为1:2.4i =∴设DE =x ，则CE =2.4x在Rt △CDE 中，222(2.4)13x x +=解得：x =±5（负值舍去）∴DE =5 即D 处的竖直高度为5米；（2）延长AB 交CM 于点F ，过点D 作DG ⊥AF ，则四边形DEFG 是矩形∴GF =DE =5，CE =2.4DE =12，由题意可得：∠ACF =45°，∠ADG =53°设AF =CF =a ，则DG =EF =a -12，AG =AF -GF =a -5∴在Rt △ADG 中，tan 53AG DG ︒=，54123a a -=-解得：a =33 经检验：33a =符合题意，∴DG =33-12=21，又∵斜坡CB 的坡度为1:2.4i =∴12.4BG DG =，121 2.4BG =解得：BG =8.75 ∴AB =AF -GF -BG =19.25即基站塔AB 的高为19.25米．【点睛】本题考查解直角三角形、坡度、坡角、仰角、勾股定理、三角函数等知识，熟练掌握这些知识就解决问题的关键，属于中考常考题型．6．（2021·江苏宿迁市）一架无人机沿水平直线飞行进行测绘工作，在点P 处测得正前方水平地面上某建筑物AB 的顶端A 的俯角为30°，面向AB 方向继续飞行5米，测得该建筑物底端B 的俯角为45°，已知建筑物AB 的高为3米，求无人机飞行的高度(结果精确到1≈1.414≈ =1.732)．【答案】无人机飞行的高度约为14米．【分析】延长PQ ，BA ，相交于点E ，根据∠BQE ＝45°可设BE ＝QE ＝x ，进而可分别表示出PE ＝x ＋5，AE＝x －3，再根据sin ∠APE ＝AE PE ，∠APE ＝30°即可列出方程35x x -=+ 【详解】解：如图，延长PQ ，BA ，相交于点E ，由题意可得：AB ⊥PQ ，∠E ＝90°，又∵∠BQE ＝45°，∴BE ＝QE ，设BE ＝QE ＝x ，∵PQ ＝5，AB ＝3，∴PE ＝x ＋5，AE ＝x －3，∵∠E ＝90°，∴sin ∠APE ＝AE PE ，∵∠APE ＝30°，∴sin30°＝35x x -=+解得：x ＝7≈14，答：无人机飞行的高度约为14米．【点睛】本题考查解直角三角形的应用-俯角仰角问题，难度适中，要求学生能借助其关系构造直角三角形并解直角三角形．7．（2021·浙江嘉兴市）一酒精消毒瓶如图1，AB 为喷嘴，BCD ∆为按压柄，CE 为伸缩连杆，BE 和EF 为导管，其示意图如图2，108DBE BEF ∠=∠=︒，6cm BD =，4cm BE =．当按压柄BCD ∆按压到底时，BD 转动到'BD ，此时'//BD EF （如图3）．（1）求点D 转动到点'D 的路径长；（2）求点D 到直线EF 的距离（结果精确到0.1cm ）．（参考数据：sin360.59︒≈，cos360.81︒≈，tan360.73︒≈，sin720.95︒≈，cos720.31︒≈，tan72 3.08︒≈）【答案】（1）65π；（2）点D 到直线EF 的距离约为7.3cm ．【分析】（1）根据题目中的条件，首先由108DBE BEF ∠=∠=︒，'//BD EF ，求出'D BE ∠，再继续求出'DBD ∠，点D 转动到点'D 的路径长，是以BD 为半径，B 为圆心的圆的周长的一部分，根据'DBD ∠占360︒的比例来求出路径；（2）求点D 到直线EF 的距离，实际上是过点D 作EF 的垂线交EF 于某点，连接两点所确定的距离即为所求，但这样做不好求解．于是把距离拆成两个部分，放在两个直角三角形中，分别利用直角三角形中锐角三角函数知识求出每段的距离，再求和即为所求．【详解】解：（1）如图，∵'//BD EF ，108BEF ∠=︒，∴'18072D BE BEF ∠=︒-∠=︒．∵108DBE ∠=︒，∴''1087236DBD DBE D BE ∠=∠-∠=︒-︒=︒．又∵6BD =，∴点D 转动到点'D 的路径长()3666cm 1805ππ⨯⨯==．（2）如图，过点D 作'DG BD ⊥于点G ，过点E 作'EH BD ⊥于点H ．在Rt DGC △中，sin DG DBD BD'∠=∴sin36 3.54DG BD =⋅︒≈．在Rt BHE 中，sin EH EBH BE ∠=∴sin72 3.80EH BE =⋅︒≈． ∴ 3.54 3.807.347.3DG EH +=+=≈．又∵'//BD EF ，∴点D 到直线EF 的距离约为7.3cm ．【点睛】本题考查了两点间转动的路径问题、点到直线的距离问题，锐角三角函数知识，解题的关键是：确定路径是在圆上，占圆周长的多少，就转化成角度间的比值问题了；距离问题，当直接求解比较困难的时候，看是否能把所求拆分成几个部分，再逐一突破．8．（2021·江苏连云港市）我市的前三岛是众多海钓人的梦想之地．小明的爸爸周末去前三岛钓鱼，将鱼竿AB 摆成如图1所示．已知 4.8m AB =，鱼竿尾端A 离岸边0.4m ，即0.4m AD =．海面与地面AD 平行且相距1.2m ，即 1.2m DH =．（1）如图1，在无鱼上钩时，海面上方的鱼线BC 与海面HC 的夹角37BCH ∠=︒，海面下方的鱼线CO 与海面HC 垂直，鱼竿AB 与地面AD 的夹角22BAD ∠=︒．求点O 到岸边DH 的距离；（2）如图2，在有鱼上钩时，鱼竿与地面的夹角53BAD ∠=︒，此时鱼线被拉直，鱼线 5.46m BO =，点O 恰好位于海面．求点O 到岸边DH 的距离．（参考数据：3sin 37cos535︒=︒≈，4cos37sin 535=︒︒≈，3tan 374︒≈，3sin 228︒≈，15cos2216︒≈，2tan 225︒≈）【答案】（1）8.1m ；（2）4.58m【分析】（1）过点B 作BF CH ⊥，垂足为F ，延长AD 交BF 于点E ，构建Rt ABE △和Rt BFC △，在Rt ABE △中，根据三角函数的定义与三角函数值求出BE ,AE ;再用BE EF +求出BF ，在Rt BFC △中，根据三角函数的定义与三角函数值求出FC ，用CF AE AD CH ;（2）过点B 作⊥BN OH ，垂足为N ，延长AD 交BN 于点M ，构建Rt ABM 和Rt BNO ，在Rt ABM 中，根据53°和AB 的长求出BM 和AM ，利用BM +MN 求出BN ，在Rt BNO 中利用勾股定理求出ON ，最后用HN +ON 求出OH ．【详解】（1）过点B 作BF CH ⊥，垂足为F ，延长AD 交BF 于点E ，则AE BF ⊥，垂足为E ．由cos AE BAE AB∠=，∴cos 22 4.8︒=AE ，∴1516 4.8=AE ，即 4.5AE =， ∴ 4.50.4 4.1=-=-=DE AE AD ，由sin BE BAE AB ∠=，∴sin 22 4.8︒=BE ， ∴38 4.8=BE ，即 1.8BE =，∴ 1.8 1.23=+=+=BF BE EF ．又tan ∠=BF BCF CF ，∴3tan 37︒=CF ，∴334=CF ，即4CF =， ∴4 4.18.1=+=+=+=CH CF HF CF DE ，即C 到岸边的距离为8.1m ．（2）过点B 作⊥BN OH ，垂足为N ，延长AD 交BN 于点M ，则AM BN ⊥，垂足为M ．由cos ∠=AM BAM AB ，∴cos53 4.8︒=AM ，∴35 4.8=AM ，即 2.88=AM ，∴ 2.880.4 2.48=-=-=DM AM AD ．由sin ∠=BM BAM AB ，∴sin 53 4.8︒=BM ，∴45 4.8=BM ，即 3.84=BM ，∴ 3.84 1.2 5.04=+=+=BN BM MN ．∴ 2.1====ON ，∴ 4.58=+=+=OH ON HN ON DM ，即点O 到岸边的距离为4.58m ．【点睛】本题以钓鱼为背景，考查了学生运用三角函数知识解决实际问题的能力，解题关键在于构造合适的直角三角形，运用三角函数的运算，根据一边和一角的已知量，求其他边；再根据特殊的几何位置关系求线段长度．9．（2021·浙江绍兴市）拓展小组研制的智能操作机器人，如图1，水平操作台为l ，底座AB 固定，高AB 为50cm ，连杆BC 长度为70cm ，手臂CD 长度为60cm ．点B ，C 是转动点，且AB ，BC 与CD 始终在同一平面内，（1）转动连杆BC ，手臂CD ，使143ABC ∠=︒，//CD l ，如图2，求手臂端点D 离操作台l 的高度DE 的长（精确到1cm ，参考数据：sin530.8︒≈，cos530.6︒≈）．（2）物品在操作台l 上，距离底座A 端110cm 的点M 处，转动连杆BC ，手臂CD ，手臂端点D 能否碰到点M ？请说明理由．【答案】（1）106cm ；（2）能碰到，见解析【分析】（1）通过作辅助线构造直角三角形，利用三角函数值解直角三角形即可完成求解；（2）求出端点D 能够到的最远距离，进行比较即可得出结论．【详解】解：（1）过点C 作CP AE ⊥于点P ，过点B 作BQ CP ⊥于点Q ，如图1，143ABC ∠=︒，53CBQ ∴∠=︒，∴在Rt BCQ △中，()sin53700.856CQ BC cm =⋅︒≈⨯=， ()50PQ AB cm ==．//CD l ，()5650106DE CP CQ PQ cm ∴==+=+=．∴手臂端点D 离操作台 l 的高度DE 的长为106cm ．。

初三中考一轮复习(15)解直角三角形题型分类含答案(全面非常好)

教学过程解直角三角形【基础知识回顾】一、锐角三角函数定义：在Rtz\ABCt\ /C=9d, /A、ZEk /C的对边分别为a、b、c,则/A的正弦可表示为：sinA= , /A的余弦可表示为cosA= /A的正切: tanA= ,它们统称为/ A的锐角三角函数二、特殊角的三角函数值：三、解直角三角形：1、定义：由直角三角形中除直角外的个已知元素，求出另外个未知元素的过程叫解直角三角形2、解直角三角形应用中的有关概念⑴仰角和俯角：如图：在图上标上仰角和俯角i视线水平线⑵坡度坡角：如图：斜坡AB的垂直度h和水平宽度l的比叫做坡度，用i表示, 即1= 坡面与水平面得夹角为用字母％表示，则i=tan %=上。

11 T⑶方位角：是指南北方向线与目标方向所成的小于900的水平角如图：OA^Z K OB 表木OC 表木O味示（也可称东南方向）北_ A南例2 在Rtz\ABOt\ /C=90° , AB=2BC现给出下歹U结论：①sinA= § ;②cosB=■1 ;③tanA=殍；④tanB=#,其中正确的结论是（只需填上正确结论的序号）解：如图所示：故答案为：②③④.对应训练2.计算6tan45 -2cos60 °的结果是（）A. 4 3B. 4C. 5 3D. 52. D考点三：化斜三角形为直角三角形例3 在△ABC^, AB=AC=5 sin /ABC=0.8,贝U BC=故答案为：6.对应训练3.如图，四边形ABCD勺对角线AG BD相交于点Q且B阡分AC若BD=8 AC=6/BOC=120,则四边形ABCD勺面积为 .（结果保留根号）3.12 .3考点四：解直角三角形的应用4.如图，益阳市梓山湖中有一孤立小岛，湖边有一条笔直的观光小道AR现决定从小岛架一座与观光小道垂直的小桥PD,小张在小道上测得如下数据：AB=80.0米,/PAB=38.5 , / PBA=26.5.请帮助小张求出小桥PD的长并确定小桥在小道上的位置.（以A, B为参照点，结果精确到0.1米）（参考数据:sin38.5 =0.62 , cos38.5 =0.78 , tan38.5 =0.80 , sin26.5 =0.45, cos26.5 =0.89 , tan26.5 =0.50）4.解：设PD=x^,・.PDL AB,・•・/ADPN BDP=90 ,在Rt^PAD中，tan / PAD=^ ,AD・•・ AD=-—= 5x, tan38.5o0.8 4在RtWBD中，tan/PBD-DB又.78=80.0 米,55x+2x=80.0 ,4解得：x=24.6,即P[> 24.6 米,・•. DB=2x=492答：小桥PD的长度约为24.6米，位于AB之间距B点约49.2米.【聚焦中考】1.6cos30 °的值是1,但22.河堤横断面如图所示，堤高BC=6米，迎水坡AB的坡比为1:收，则AB的长为( )A.12B.4石米C. 5痣米D. 673米B2. A3.一渔船在海岛A南偏东20°方向的B处遇险，测得海岛A与B的距离为20海里，渔船将险情报告给位于A处的救援船后，沿北偏西80方向向海岛C靠近，同时，从A处出发的救援船沿南偏西10°方向匀速航行，20分钟后，救援船在海岛C处处，望见渔船D在南偏东60方向，若海监船的速度为50海里/小时，则A, B之间的距离为（取4=1.7,结果精确到0.1海里）.5. 67.56.如图，有一艘渔船在捕鱼作业时出现故障，急需抢修，调度中心通知附近两个小岛A、B上的观测点进行观测，从A岛测得渔船在南偏东37方向C处，B岛在南偏东66°方向，从B岛测得渔船在正西方向，已知两个小岛间的距离是72海里, A岛上维修船的速度为每小时20海里，B岛上维修船的速度为每小时28.8海里，为及时赶到维修，问调度中心应该派遣哪个岛上的维修船？(参考数据：cos37 =0.8, sin37 =0.6, sin66 =0.9, cos66 =0.4)6.解：如图，作ADLBC的延长线于点D.北D C B在Rt^ADB中，AD=ABcos/BAD=72< cos66 =72X 0.4=28.8 （海里），BD=ABsin / BAD=72 sin66 =72X 0.9=64.8 （海里）.在Rt/XADC^, AC=—AD— ^88- 空=36（海里），cos DAC cos37o0.8CD=ACsin / CAD=36 sin37 =36X 0.6=21.6 （海里）.BC=BD-CD=64.8-21.6=43.2 （海里）.A岛上维修船需要时间t A=^ ^=1.8 （小时）.20 20B岛上维修船需要时间t B=坨432=1.5 （小时）.28.8 28.8- t A> t B,.•・调度中心应该派遣B岛上的维修船.10.校车安全是近几年社会关注的重大问题，安全隐患主要是超速和超载.某中学数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验：先在公路旁边选取一点C,再在笔直的车道l上确定点D,使CDW l垂直，测得CD的长等于21米，在l上点D的同侧取点A B,使/ CAD=30 , / CBD=60 .（1）求AB的长（精确到0.1米，参考数据：石=1.73, 72=1.41 ）;（2）已知本路段对校车限速为40千米/小时，若测得某辆校车从A到B用时2秒, 这辆校车是否超速？说明理由.S DC10.解：（1）由题意得，在Rtz\ADC^, AD= CD”马=21 阴=36.33 （米），tan30o .33在Rt^BDC^ , BD=_CD V=Z1 =75/3 = 12.11 （米），tan60 3贝U AB=AD-BD=36.33-12.11=24.22= 24.2 （米）。

中考数学专题复习卷三角形(含解析)-人教版初中九年级全册数学试题

三角形一、选择题1.在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为（）A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】A【解析】：∵在直角三角形中，勾为3，股为4，∴弦为故答案为：A．【分析】根据在直角三角形中，勾是最短的直角边，股是长的直角边，弦是斜边，知道勾和股利用勾股定理，即可得出答案。

2.在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC=8，BD=10，那么BC的取值X围是（）A.8<BC<10B.2<BC<18C.1<BC<8D.1<BC<9【答案】D【解析】：如图∵▱ABCD，AC=8，BD=10，∴OB=BD=5，OC=AC=4∴5-4＜BC＜5+4，即1＜BC＜9故答案为：D【分析】根据平行四边形的性质求出OB、OC的长，再根据三角形三边关系定理，建立不等式组，求解即可。

3.如图所示,∠A=50°,∠B=20°,∠D=30°,则∠BCD的度数为（）A. 80°B. 100°C. 120°D. 140°【答案】B【解析】如图，延长BC交AD于点E，∵∠BCD=∠D+∠DEC，∠DEC=∠A+∠B，∴∠BCD=∠A+∠B+∠D，∵∠A=50°，∠B=20°，∠D=30°，∴∠BCD=50°+20°+30°=100°，故答案为：B.【分析】延长BC交AD 于点E，根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和可得∠BCD=∠D+∠DEC，∠DEC=∠A+∠B，所以∠BCD=∠A+∠B+∠D，由已知可得∠BCD=50°+20°+30°=100°。

4.如图，BE∥AF，点D是AB上一点，且DC⊥BE于点C，若∠A=35°，则∠ADC的度数（）A. 105°B. 115°C. 125°D. 135°【答案】C【解析】：∵BE∥AF，∴∠B=∠A=35°．∵DC⊥BE，∴∠DCB=90°，∴∠ADC=90°+35°=125°．故答案为：C．【分析】由平行线的性质可得∠B=∠A=35°，根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和可得∠ADC=90°+35°=125°。

2020年中考数学临考大专题复习练习：三角形(解析版)

2020中考数学临考大专题复习：三角形一、选择题（本大题共8道小题）1. 在△ABC中，若一个内角等于另两个内角的差，则()A.必有一个内角等于30°B.必有一个内角等于45°C.必有一个内角等于60°D.必有一个内角等于90°2. 如图，AB∥CD，∠1=45°，∠3=80°，则∠2的度数为()A.30°B.35°C.40°D.45°3. 已知:如图，在△ABC中，AB=AC，∠C=72°，BC=√5，以点B为圆心，BC 为半径画弧，交AC于点D，则线段AD的长为()A.2√2B.2√3C.√5D.√64. 如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形(阴影部分)与△A1B1C1相似的是()5. 满足下列条件时，△ABC不是直角三角形的为()A.AB=√41，BC=4，AC=5B.AB∶BC∶AC=3∶4∶5C.∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5D.cos A-12+tan B-√332=06. 将一副直角三角板按如图所示的位置摆放，若含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则∠α的度数是()A.45°B.60°C.75°D.85°7. 如图，平面直角坐标系中，☉P经过三点A(8，0)，O(0，0)，B(0，6)，点D 是☉P上的一动点，当点D到弦OB的距离最大时，tan∠BOD的值是()A.2B.3C.4D.58. 如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC 交AB于M，交AC于N.若△AMN的周长为18，BC=6，则△ABC的周长为()A.21B.22C.24D.26二、填空题（本大题共5道小题）9. 如图，已知Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，AC=4，BC=3，则AD=.10. 无盖圆柱形杯子的展开图如图K20-7所示.将一根长为20 cm的细木筷斜放在该杯子内，木筷露在杯子外面的部分至少有cm.11. 如图①，在Rt△ABC中，∠C=90°，两条直角边长分别为a，b，斜边长为c.如图②，现将与Rt△ABC全等的四个直角三角形拼成一个正方形EFMN.(1)根据勾股定理的知识，请直接写出a，b，c之间的数量关系;(2)若正方形EFMN的面积为64，Rt△ABC的周长为18，求Rt△ABC的面积.12. 如图，△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC=2，将△ABC绕点C逆时针旋转60°得到△DEC，连接BD，则BD2的值是.13. 在边长为4的等边三角形ABC中，D为BC边上的任意一点，过点D分别作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，则DE+DF=.三、解答题（本大题共4道小题）14. 如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，BE是AC边上的中线，且BD=CE.求证:(1)点D在BE的垂直平分线上;(2)∠BEC=3∠ABE.15. 如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的☉O交AB于点D.过点D 作☉O的切线交BC于点E，连接OE.(1)求证:△DBE是等腰三角形;(2)求证:△COE∽△CAB.16. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D是射线BC上一动点，连接AD，以AD为直角边，在AD的上方作等腰直角三角形ADF.(1)如图①，当点D在线段BC上时(不与点B重合)，求证:△ACF≌△ABD;(2)如图②，当点D在线段BC的延长线上时，猜想CF与BD的数量关系和位置关系，并说明理由.17. 如图①，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC 上，AD＝AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．(1)观察猜想图①中，线段PM与PN的数量关系是________，位置关系是________；(2)探究证明把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图②的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN 的形状，并说明理由；(3)拓展延伸把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝4，AB＝10，请直接写出△PMN面积的最大值．2020中考数学临考大专题复习：三角形-答案一、选择题（本大题共8道小题）1. 【答案】D[解析]不妨设∠A=∠C-∠B，∵∠A+∠B+∠C=180°，∴2∠C=180°，∴∠C=90°，∴△ABC是直角三角形，故选D.2. 【答案】B3. 【答案】C[解析]在△ABC中，AB=AC，∠C=72°，所以∠ABC=72°，∠A=36°，因为BC=BD，所以∠BDC=72°，所以∠ABD=36°，所以AD=BD=BC=√5，故选C.4. 【答案】B[解析]根据勾股定理分别表示出已知三角形的各边长，同理利用勾股定理表示出四个选项中阴影三角形的各边长，利用三边长对应成比例的两个三角形相似可得结果，△A1B1C1各边长分别为1，√2，√5，选项A中阴影三角形三边长分别为:√2，√5，3，三边不与已知三角形各边对应成比例，故两三角形不相似;选项B 中阴影三角形三边长分别为:√2，2，√10，三边与已知三角形的各边对应成比例，故两三角形相似;选项C 中阴影三角形三边长分别为:1，√5，2√2，三边不与已知三角形各边对应成比例，故两三角形不相似;选项D 中阴影三角形三边长分别为:2，√5，√13，三边不与已知三角形各边对应成比例，故两三角形不相似，故选B .5. 【答案】C[解析]A .∵52+42=25+16=41=(√41)2，∴△ABC 是直角三角形;B .设AB=3x ，则BC=4x ，AC=5x.∵(3x )2+(4x )2=9x 2+16x 2=25x 2=(5x )2，∴△ABC 是直角三角形;C .∵∠A ∶∠B ∶∠C=3∶4∶5，∴∠C=53+4+5×180°=75°≠90°，∴△ABC 不是直角三角形;D .∵cos A -12+tan B -√332=0，∴cos A=12，tan B=√33，∴∠A=60°，∠B=30°，∴∠C=90°，∴△ABC 是直角三角形. 故选C.6. 【答案】C[解析]如图，在直角三角形中，可得∠1+∠A=90°，∵∠A=45°，∴∠1=45°，∴∠2=45°. ∵∠B=30°，∴∠α=∠2+∠B=75°，故选C .7. 【答案】B[解析]如图所示，当点D 到弦OB 的距离最大时，DE ⊥OB 于E 点，且D ，E ，P 三点共线.连接AB ，由题意可知AB 为☉P 的直径，∵A (8，0)，∴OA=8，∵B (0，6)，∴OB=6，∴OE=BE=12OB=3，在Rt △AOB 中，AB=√OA 2+OB 2=10，∴BP=12AB=12×10=5，在Rt △PEB 中，PE=√BP 2-BE 2=4，∴DE=EP +DP=4+5=9，∴tan ∠DOB=DE OE =93=3，故选B .8. 【答案】C [解析]∵MN ∥BC ，∴∠MEB=∠EBC.∵BE 平分∠ABC ，∴∠MBE=∠EBC ， ∴∠MEB=∠MBE ，∴△MBE 是等腰三角形， ∴ME=MB.同理，EN=CN ，∵AM +AN +MN=18，MN=ME +EN=BM +CN ，∴AM +AN +BM +CN=18，∴AB +AC=18，∴AB +AC +BC=24.即△ABC 的周长为24. 二、填空题（本大题共5道小题）9. 【答案】165[解析]在Rt △ABC 中，AB=√AC 2+BC 2=5，由等面积法得12AC ·BC=12CD ·AB ，CD=CA ·BC AB =3×45=125，∴AD=√AC 2-CD 2=√42-(125) 2=165.10. 【答案】5[解析]由题意可得:杯子内的木筷最大长度为:√122+92=15，∴木筷露在杯子外面的部分最少为:20-15=5(cm).11. 【答案】解:(1)由勾股定理得，a 2+b 2=c 2.(2)∵正方形EFMN 的面积为64，∴c 2=64，即c=8. ∵Rt △ABC 的周长为18，∴a +b +c=18， ∴a +b=10，∴Rt △ABC 的面积=12ab=14[(a +b )2-(a 2+b 2)]=9.12. 【答案】8+4√3[解析]如图，连接AD ，设AC 与BD 交于点O ，由题意得CA=CD ，∠ACD=60°，∴△ACD 为等边三角形，∴AD=CD ，∠DAC=∠DCA=∠ADC=60°. ∵∠ABC=90°，AB=BC=2， ∴AC=CD=2√2.∵AB=BC ，CD=AD ，∴BD 垂直平分AC ， ∴BO=12AC=√2，OD=CD ·sin60°=√6， ∴BD=√2+√6，∴BD 2=(√2+√6)2=8+4√3.13. 【答案】2√3 [解析]如图，作AG ⊥BC 于G ，∵△ABC 是等边三角形， ∴∠B=60°， ∴AG=√32AB=2√3，连接AD ，则S △ABD +S △ACD =S △ABC ， ∴12AB ·DE +12AC ·DF=12BC ·AG ， ∵AB=AC=BC=4，∴DE +DF=AG=2√3.三、解答题（本大题共4道小题）14. 【答案】证明:(1)如图，连接DE.∵CD 是AB 边上的高，∴CD ⊥AB. ∴∠ADC=90°. ∵AE=CE ， ∴DE=12AC=CE=AE. ∵BD=CE ， ∴DE=BD.∴点D 在线段BE 的垂直平分线上. (2)∵BD=DE ，∴∠ADE=2∠ABE. ∵DE=AE ，∴∠A=∠ADE=2∠ABE. ∴∠BEC=∠ABE +∠A=3∠ABE.15. 【答案】证明:(1)连接OD.∵DE是☉O的切线，∴∠ODE=90°，∴∠ADO+∠BDE=90°.又∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，∵OA=OD，∴∠A=∠ADO，∴∠BDE=∠B，∴EB=ED，∴△DBE是等腰三角形.(2)∵∠ACB=90°，AC是☉O的直径，∴CB是☉O的切线，又∵DE是☉O的切线，∴DE=EC.∵DE=EB，∴EC=EB.∵OA=OC，∴OE∥AB.∴△COE∽△CAB.16. 【答案】解:(1)证明:∵∠BAC=90°，△ADF是等腰直角三角形，∴∠BAD+∠CAD=90°，∠CAF+∠CAD=90°，∴∠CAF=∠BAD.在△ACF和△ABD中，{AC=AB，∠CAF=∠BAD，AF=AD，∴△ACF≌△ABD(SAS).(2)CF=BD且CF⊥BD，理由如下: ∵∠CAB=∠DAF=90°，∴∠CAB+∠CAD=∠DAF+∠CAD，即∠CAF=∠BAD.在△ACF和△ABD中，{AC=AB，∠CAF=∠BAD，AF=AD，∴△ACF≌△ABD(SAS)，∴CF=BD，∠ACF=∠ABD.∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠ABD=∠ACB=45°，∴∠BCF=∠ACF+∠ACB=∠ABD+∠ACB=45°+45°=90°，∴CF⊥BD.17. 【答案】(1)PM＝PN，PM⊥PN；【解法提示】∵AB＝AC，AD＝AE，∴BD＝CE，∵M，P，N分别为DE，DC，BC的中点，∴PM//CE且PM=12CE，PN∥BD且PN=12BD，∴PM＝PN，∠DPM＝∠DCE，∠CNP＝∠B，∴∠DPN＝∠PNC＋∠PCN＝∠B＋∠PCN，∵∠A＝90°，∴∠B＋∠ACB＝90°，∴∠MPN＝∠MPD＋∠DPN＝∠ACD＋∠PCN＋∠B＝∠ACB＋∠B＝90°，∴PM⊥PN；(2)△PMN为等腰直角三角形．理由如下：由题可知△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＋∠DAC＝∠DAC＋∠CAE，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD≌△CAE(SAS)，∴∠ABD＝∠ACE，BD＝CE，又∵M，P，N分别是DE，CD，BC的中点，∴PM是△CDE的中位线，∴PM∥CE且PM=12 CE，同理PN∥BD且PN=12 BD，∴PM＝PN，∴∠MPD＝∠ECD＝∠ACD＋∠ACE＝∠ACD＋∠ABD，∠DPN＝∠PNC＋∠PCN＝∠DBC＋∠PCN，∴∠MPN＝∠MPD＋∠DPN＝∠ACD＋∠ABD＋∠DBC＋∠PCN＝∠ABC＋∠ACB＝90°，∴△PMN为等腰直角三角形；(3)49 2.【解法提示】∵△PMN为等腰直角三角形，∴S△PMN ＝12PM2，要使△PMN的面积最大，即PM最大，由(2)得，PM＝12CE，即当CE最大时，PM最大．如解图，当点C、E在点A异侧，且在同一条直线上时，CE最大，此时CE＝AE＋AC＝AD＋AB＝14，解图∴PM＝12CE＝12×14＝7，故△PMN的最大面积为S△PMN ＝12×7×7＝492.。

中考数学专题复习学案三角形中位线 (含答案)

中考复习之三角形中位线定义：：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线一、与中点有关的概念三角形中线的定义：三角形顶点和对边中点的连线三角形中线的相关定理：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等腰三角形底边的中线三线合一(底边的中线、顶角的角平分线、底边的高重合)三角形中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半．中位线判定定理：经过三角形一边中点且平行于另一边的直线必平分第三边．直角三角形斜边中线：直角三角形斜边中线等于斜边一半二、常见的题型题型一:求线段的长例1、已知：如图，E、D、F分别为AB、BC、CA的中点.（1）若AC=10cm，则DE= 5 cm. （2）若EF=6cm，则CB= 12 cm.（3）若AB=10，AC=12，BC=8，则△DEF的周长 15练习：1.已知△ABC的周长为50cm，中位线DE=8cm，中位线EF=10cm，则另一条中位线DF的长是（）A.5cmB. 7cmC. 9cmD. 10cm【答案】B3.如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，∠A=50°，∠ADE=60°，则∠C的度数为（）A.50°B. 60°C. 70°D. 80°【答案】C3.如图，在△ABC中，E，D，F分别是AB、BC、CA的中点，AB=6，AC=4，则四边形AEDF的周长是（）A. 10B. 20C. 30D. 40【答案】B4.如图，在△ABC中，D，E，F分别为BC，AC，AB边的中点，AH⊥BC于H，FD=8，则HE等于（）A. 20B. 16C. 12D. 8 【答案】D题型二：证明线段的倍分问题例1.如图,△ABC 中,AB=AC,AD 是中线,BE=CF.(1)求证: △BDE ≌△CDF;(2)当∠B=60°时,G 、H 分别是AB 、AD 的中点,求证:GH=14AB证明：(1)∵AB=AC ∴∠ B=∠ C ∵AD 为中线，∴BD=CD 又∵EB=FC ∴△BDE ≌△CDF(2)∵AB=AC ∴△ABC 为等腰三角形，又∵∠B=60°，∴△ABC 为等边三角形 ∴BC=AB ∵G 、H 分别是AB 、AD 的中点 ∴GH=21BD=14BC 又∵BC=AB 所以GH=41AB. 练习：如图,在△ABC 中,AB=AC,延长AB 到D,使BD=AB,E 为AB 中点,连结CE 、CD ，求证：CD=2EC证明：延长CE 使EF=CE=1/2CF 即 CF=2CE ∵∠AEC=∠BEF E 是AB 中点，即AE=BE CE=EF∴△ACE ≌△BFE(SAS) ∴BF=AC ∠FBE=∠A ∵AB=AC ∴∠ABC=∠ACB∵∠FBC=∠FBE+∠ABC=∠A+∠ABC ∠DBC=∠A+∠ACB ∴∠FBC=∠DBC∵BD=BA∴BF=BD∵BC=BC∠FBC=∠DBC∴△BCF≌△BCD(SAS)∴CF=CD∴CD=2CE题型三：常规辅助线的添加一：利用角平分线+垂直，构造等腰三角形如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，延长BN交AC于点D，已知AB=10，BC=15，MN=3（1）求证：BN=DN；（2）求△ABC的周长．【解析】1）证明：在△ABN和△ADN中，∵12AN ANANB AND ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ABN≌△ADN，∴BN=DN．（2）解：∵△ABN≌△ADN，∴AD=AB=10，DN=NB，又∵点M是BC中点，∴MN是△BDC的中位线，∴CD=2MN=6，故△ABC的周长=AB+BC+CD+AD=10+15+6+10=41．1.如图所示，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，且AB=8，MN=3，则AC的长是（）A．12 B．14 C．16 D．18【答案】B2.如图，在△ABC中，AB=8，AC=6，AD、AE分别是其角平分线和中线，过点C作CG⊥AD于F，交AB于G，连接EF，则线段EF的长为（）A．1 B．2 C． 3 D．7【答案】A3.如图，△ABC中，BD平分∠ABC，且AD⊥BD，E为AC的中点，AD=6cm，BD=8cm，BC=16cm，则DE的长为（）cm．【答案】3如图，△ABC中，AB=8cm，AC=5cm，AD平分∠BAC，且AD⊥CD，E为BC中点，则DE=（）A.3 B.5 C.2.5 D.1.5【答案】D二：取中点构造中位线如图，在四边形ABCD 中，AD=BC ，20,110,,,CBD BDA E F P ∠=︒∠=︒分别是AB 、CD 、BD 的中点，探索PF 与EF 的数量关系.证明：连接PE ，20,11090CBD BDA EPF ∠=︒∠=︒⇒∠=︒，易得EF =.三：借助平行四边形的性质1. 如图，平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，点E ，F 分别是线段AO ，BO 的中点．若AC+BD=24cm ，△OAB 的周长是18cm ，则EF 的长为________cm ．【答案】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，又∵AC+BD=24厘米，∴OA+OB=12厘米，∵△OAB的周长是18厘米，∴AB=6厘米，∵点E，F分别是线段AO，BO的中点，∴EF是△OAB的中位线，∴EF=1/2AB=3厘米．题型三借助平行四边形的性质边AB、BC的中点，G、H为AC的两个三等分点，连接EG、例3.如图，（1）E,F为ABCFH，并延长交于D，连接AD、CD.求证：四边形ABCD是平行四边形.【答案】如图，E、F分别为△ABC的边AB、BC的中点，G、H是AC上的三等分点。

人教版数学中考复习《三角形相关问题》专项练习含答案

三角形相关问题一、综合题1.（•北京）如图，在四边形ABCD中，BD为一条对角线，AD∥BC，AD=2BC，∠ABD=90°，E为AD的中点，连接BE．（1）求证：四边形BCDE为菱形；（2）连接AC，若AC平分∠BAD，BC=1，求AC的长．2.（•北京）在平面直角坐标系xOy中的点P和图形M，给出如下的定义：若在图形M上存在一点Q，使得P、Q两点间的距离小于或等于1，则称P为图形M的关联点．（1）当⊙O的半径为2时，①在点P1（，0），P2（，），P3（，0）中，⊙O的关联点是________．②点P在直线y=﹣x上，若P为⊙O的关联点，求点P的横坐标的取值范围．（2）⊙C的圆心在x轴上，半径为2，直线y=﹣x+1与x轴、y轴交于点A、B．若线段AB上的所有点都是⊙C的关联点，直接写出圆心C的横坐标的取值范围．3.（•河南）如图1，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD=AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．（1）观察猜想图1中，线段PM与PN的数量关系是________，位置关系是________；（2）探究证明把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由；（3）拓展延伸把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD=4，AB=10，请直接写出△PMN面积的最大值．4.（•荆州）如图，在矩形ABCD中，连接对角线AC、BD，将△ABC沿BC方向平移，使点B移到点C，得到△DCE．（1）求证：△ACD≌△EDC；（2）请探究△BDE的形状，并说明理由．5.（•十堰）已知O为直线MN上一点，OP⊥MN，在等腰Rt△ABO中，∠BAO=90°，AC∥OP交OM于C，D为OB的中点，DE⊥DC交MN于E．（1）如图1，若点B在OP上，则①AC________OE（填“＜”，“=”或“＞”）；②线段CA、CO、CD满足的等量关系式是________；（2）将图1中的等腰Rt△ABO绕O点顺时针旋转α（0°＜α＜45°），如图2，那么（1）中的结论②是否成立？请说明理由；（3）将图1中的等腰Rt△ABO绕O点顺时针旋转α（45°＜α＜90°），请你在图3中画出图形，并直接写出线段CA、CO、CD满足的等量关系式________．6.（•玉林）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，D是AB的中点，E，F分别是AC，BC上的点（点E不与端点A，C重合），且AE=CF，连接EF并取EF的中点O，连接DO并延长至点G，使GO=OD，连接DE，DF，GE，GF．（1）求证：四边形EDFG是正方形；（2）当点E在什么位置时，四边形EDFG的面积最小？并求四边形EDFG面积的最小值．7.（•黄石）在现实生活中，我们会看到许多“标准”的矩形，如我们的课本封面、A4的打印纸等，其实这些矩形的长与宽之比都为：1，我们不妨就把这样的矩形称为“标准矩形”，在“标准矩形”ABCD中，P 为DC边上一定点，且CP=BC，如图所示．（1）如图①，求证：BA=BP；（2）如图②，点Q在DC上，且DQ=CP，若G为BC边上一动点，当△AGQ的周长最小时，求的值；（3）如图③，已知AD=1，在（2）的条件下，连接AG并延长交DC的延长线于点F，连接BF，T为BF 的中点，M、N分别为线段PF与AB上的动点，且始终保持PM=BN，请证明：△MNT的面积S为定值，并求出这个定值．8.（•荆门）已知：如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，点D是AB的中点，点E是CD的中点，过点C作CF∥AB交AE的延长线于点F．（1）求证：△ADE≌△FCE；（2）若∠DCF=120°，DE=2，求BC的长．9.（•海南）如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，点E在AD边上运动，且不与点A和点D重合，连结CE，过点C作CF⊥CE交AB的延长线于点F，EF交BC于点G．（1）求证：△CDE≌△CBF；（2）当DE= 时，求CG的长；（3）连结AG，在点E运动过程中，四边形CEAG能否为平行四边形？若能，求出此时DE的长；若不能，说明理由．10.（•大连）如图1，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OB=OD，OC=OA+AB，AD=m，BC=n，∠ABD+∠ADB=∠ACB．（1）填空：∠BAD与∠ACB的数量关系为________；（2）求的值；（3）将△ACD沿CD翻折，得到△A′CD（如图2），连接BA′，与CD相交于点P．若CD= ，求PC 的长．11.（•呼和浩特）如图，等腰三角形ABC中，BD，CE分别是两腰上的中线．（1）求证：BD=CE；（2）设BD与CE相交于点O，点M，N分别为线段BO和CO的中点，当△ABC的重心到顶点A的距离与底边长相等时，判断四边形DEMN的形状，无需说明理由．12.（•张家界）如图，在平行四边形ABCD中，边AB的垂直平分线交AD于点E，交CB的延长线于点F，连接AF，BE．（1）求证：△AGE≌△BGF；（2）试判断四边形AFBE的形状，并说明理由．13.（•北京）在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，P是线段BC上一动点（与点B、C不重合），连接AP，延长BC至点Q，使得CQ=CP，过点Q作QH⊥AP于点H，交AB于点M．（1）若∠PAC=α，求∠AMQ的大小（用含α的式子表示）．（2）用等式表示线段MB与PQ之间的数量关系，并证明．14.（•百色）已知反比例函数y= （k≠0）的图象经过点B（3，2），点B与点C关于原点O对称，BA⊥x 轴于点A，CD⊥x轴于点D．（1）求这个反比函数的解析式；（2）求△ACD的面积．15.（•百色）矩形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，CE、AF分别交BD于G、H两点．求证：（1）四边形AFCE是平行四边形；（2）证明：EG=FH．16.（•河池）解答题（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，AE⊥BF于点M，求证：AE=BF；（2）如图2，将（1）中的正方形ABCD改为矩形ABCD，AB=2，BC=3，AE⊥BF于点M，探究AE与BF 的数量关系，并证明你的结论．17.（•东营）如图，在等腰三角形ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=2，点D是BC边上的一个动点（不与B、C重合），在AC上取一点E，使∠ADE=30°．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式并写出自变量x的取值范围；（3）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．18.（•青岛）已知：如图，在菱形ABCD中，点E，O，F分别为AB，AC，AD的中点，连接CE，CF，OE，OF．（1）求证：△BCE≌△DCF；（2）当AB与BC满足什么关系时，四边形AEOF是正方形？请说明理由．19.（•威海）如图，四边形ABCD为一个矩形纸片，AB=3，BC=2，动点P自D点出发沿DC方向运动至C 点后停止，△ADP以直线AP为轴翻折，点D落在点D1的位置，设DP=x，△AD1P与原纸片重叠部分的面积为y．（1）当x为何值时，直线AD1过点C？（2）当x为何值时，直线AD1过BC的中点E？（3）求出y与x的函数表达式．20.（•达州）如图，在△ABC中，点O是边AC上一个动点，过点O作直线EF∥BC分别交∠ACB、外角∠ACD 的平分线于点E、F．（1）若CE=8，CF=6，求OC的长；（2）连接AE、AF．问：当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．21.（•达州）小明在求同一坐标轴上两点间的距离时发现，对于平面直角坐标系内任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），可通过构造直角三角形利用图1得到结论：P1P2= 他还利用图2证明了线段P1P2的中点P（x，y）P的坐标公式：x= ，y= ．（1）请你帮小明写出中点坐标公式的证明过程；（2）①已知点M（2，﹣1），N（﹣3，5），则线段MN长度为________；②直接写出以点A（2，2），B（﹣2，0），C（3，﹣1），D为顶点的平行四边形顶点D的坐标：________；（3）如图3，点P（2，n）在函数y= x（x≥0）的图象OL与x轴正半轴夹角的平分线上，请在OL、x轴上分别找出点E、F，使△PEF的周长最小，简要叙述作图方法，并求出周长的最小值．22.（•常德）如图，直角△ABC中，∠BAC=90°，D在BC上，连接AD，作BF⊥AD分别交AD于E，AC于F．（1）如图1，若BD=BA，求证：△ABE≌△DBE；（2）如图2，若BD=4DC，取AB的中点G，连接CG交AD于M，求证：①GM=2MC；②AG2=AF•AC．23.（•扬州）我们规定：三角形任意两边的“极化值”等于第三边上的中线和这边一半的平方差．如图1，在△ABC中，AO是BC边上的中线，AB与AC的“极化值”就等于AO2﹣BO2的值，可记为AB△AC=AO2﹣BO2．（1）在图1中，若∠BAC=90°，AB=8，AC=6，AO是BC边上的中线，则AB△AC=________，OC△OA=________；（2）如图2，在△ABC中，AB=AC=4，∠BAC=120°，求AB△AC、BA△BC的值；（3）如图3，在△ABC中，AB=AC，AO是BC边上的中线，点N在AO上，且ON= AO．已知AB△AC=14，BN△BA=10，求△ABC的面积．24.（•赤峰）△OPA和△OQB分别是以OP、OQ为直角边的等腰直角三角形，点C、D、E分别是OA、OB、AB的中点．（1）当∠AOB=90°时如图1，连接PE、QE，直接写出EP与EQ的大小关系；（2）将△OQB绕点O逆时针方向旋转，当∠AOB是锐角时如图2，（1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请加以说明．（3）仍将△OQB绕点O旋转，当∠AOB为钝角时，延长PC、QD交于点G，使△ABG为等边三角形如图3，求∠AOB的度数．答案解析部分一、综合题1.【答案】（1）证明：∵AD=2BC，E为AD的中点，∴DE=BC，∵AD∥BC，∴四边形BCDE是平行四边形，∵∠ABD=90°，AE=DE，∴BE=DE，∴四边形BCDE是菱形（2）解：连接AC．∵AD∥BC，AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠DAC=∠BCA，∴AB=BC=1，∵AD=2BC=2，∴sin∠ADB= ，∴∠ADB=30°，∴∠DAC=30°，∠ADC=60°，在Rt△ACD中，∵AD=2，∴CD=1，AC= ．【解析】【分析】（1）由DE=BC，DE∥BC，推出四边形BCDE是平行四边形，再证明BE=DE即可解决问题；（2）在Rt△只要证明∠ADC=60°，AD=2即可解决问题；2.【答案】（1）解：①P2，P3②根据定义分析，可得当最小y=﹣x上的点P到原点的距离在1到3之间时符合题意，∴设P（x，﹣x），当OP=1时，由距离公式得，OP= =1，∴x= ，当OP=3时，OP= =3，解得：x=± ；∴点P的横坐标的取值范围为：﹣≤≤﹣，或≤x≤（2）解：∵直线y=﹣x+1与x轴、y轴交于点A、B，∴A（1，0），B（0，1），如图1，当圆过点A时，此时，CA=3，∴C（﹣2，0），如图2，当直线AB与小圆相切时，切点为D，∴CD=1，∵直线AB的解析式为y=﹣x+1，∴直线AB与x轴的夹角=45°，∴AC= ，∴C（1﹣，0），∴圆心C的横坐标的取值范围为：﹣2≤x C≤1﹣；如图3，当圆过点A，则AC=1，∴C（2，0），如图4，当圆过点B，连接BC，此时，BC=3，∴OC= =2 ，∴C（2 ，0）．∴圆心C的横坐标的取值范围为：2≤x C≤2 ；综上所述；圆心C的横坐标的取值范围为：﹣2≤x C≤1﹣或2≤x C≤2【解析】【解答】（1）①∵点P1（，0），P2（，），P3（，0），∴OP1= ，OP2=1，OP3= ，∴P1与⊙O的最小距离为，P2与⊙O的最小距离为1，OP3与⊙O的最小距离为，∴⊙O，⊙O的关联点是P2，P3；故答案为：P2，P3；【分析】（1）①根据点P1（，0），P2（，），P3（，0），求得P1= ，P2=1，OP3= ，于是得到结论；②根据定义分析，可得当最小y=﹣x上的点P到原点的距离在1到3之间时符合题意，设P（x，﹣x），根据两点间的距离公式得到即可得到结论；（2根据已知条件得到A（1，0），B（0，1），如图1，当圆过点A时，得到C（﹣2，0），如图2，当直线AB与小圆相切时，切点为D，得到C（1﹣，0），于是得到结论；如图3，当圆过点A，则AC=1，得到C（2，0），如图4，当圆过点B，连接BC，根据勾股定理得到C（2 ，0），于是得到结论．3.【答案】（1）PM=PN；PM⊥PN（2）解：由旋转知，∠BAD=∠CAE，∵AB=AC，AD=AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD=∠ACE，BD=CE，同（1）的方法，利用三角形的中位线得，PN= BD，PM= CE，∴PM=PN，∴△PMN是等腰三角形，同（1）的方法得，PM∥CE，∴∠DPM=∠DCE，同（1）的方法得，PN∥BD，∴∠PNC=∠DBC，∵∠DPN=∠DCB+∠PNC=∠DCB+∠DBC，∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCE+∠DCB+∠DBC=∠BCE+∠DBC=∠ACB+∠ACE+∠DBC=∠ACB+∠ABD+∠DBC=∠ACB+∠ABC，∵∠BAC=90°，∴∠ACB+∠ABC=90°，∴∠MPN=90°，∴△PMN是等腰直角三角形（3）解：如图2，同（2）的方法得，△PMN是等腰直角三角形，∴MN最大时，△PMN的面积最大，∴DE∥BC且DE在顶点A上面，∴MN最大=AM+AN，连接AM，AN，在△ADE中，AD=AE=4，∠DAE=90°，∴AM=2 ，在Rt△ABC中，AB=AC=10，AN=5 ，∴MN最大=2 +5 =7 ，∴S△PMN最大= PM2= × MN2= ×（7 ）2= ．【解析】【解答】解：（1）∵点P，N是BC，CD的中点，∴PN∥BD，PN= BD，∵点P，M是CD，DE的中点，∴PM∥CE，PM= CE，∵AB=AC，AD=AE，∴BD=CE，∴PM=PN，∵PN∥BD，∴∠DPN=∠ADC，∵PM∥CE，∴∠DPM=∠DCA，∵∠BAC=90°，∴∠ADC+∠ACD=90°，∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCA+∠ADC=90°，∴PM⊥PN，故答案为：PM=PN，PM⊥PN，【分析】（1）利用三角形的中位线得出PM= CE，PN= BD，进而判断出BD=CE，即可得出结论，另为利用三角形的中位线得出平行线即可得出结论；（2）先判断出△ABD≌△ACE，得出BD=CE，同（1）的方法得出PM= BD，PN= BD，即可得出PM=PN，同（1）的方法即可得出结论；（3）先判断出MN最大时，△PMN的面积最大，进而求出AN，AM，即可得出MN最大=AM+AN，最后用面积公式即可得出结论．4.【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB=DC，AC=BD，AD=BC，∠ADC=∠ABC=90°，由平移的性质得：DE=AC，CE=BC，∠DCE=∠ABC=90°，DC=AB，∴AD=EC，在△ACD和△EDC中，，∴△ACD≌△EDC（SAS）（2）解：△BDE是等腰三角形；理由如下：∵AC=BD，DE=AC，∴BD=DE，∴△BDE是等腰三角形【解析】【分析】（1）由矩形的性质得出AB=DC，AC=BD，AD=BC，∠ADC=∠ABC=90°，由平移的性质得：DE=AC，CE=BC，∠DCE=∠ABC=90°，DC=AB，得出AD=EC，由SAS即可得出结论；（2）由AC=BD，DE=AC，得出BD=DE即可．5.【答案】（1）=；AC2+CO2=CD2（2）如图2，（1）中的结论②不成立，理由是：连接AD，延长CD交OP于F，连接EF，∵AB=AO，D为OB的中点，∴AD⊥OB，∴∠ADO=90°，∵∠CDE=90°，∴∠ADO=∠CDE，∴∠ADO﹣∠CDO=∠CDE﹣∠CDO，即∠ADC=∠EDO，∵∠ADO=∠ACO=90°，∴∠ADO+∠ACO=180°，∴A、D、O、C四点共圆，∴∠ACD=∠AOB，同理得：∠EFO=∠EDO，∴∠EFO=∠AOC，∵△ABO是等腰直角三角形，∴∠AOB=45°，∴∠DCO=45°，∴△COF和△CDE是等腰直角三角形，∴OC=OF，∵∠ACO=∠EOF=90°，∴△ACO≌△EOF，∴OE=AC，AO=EF，∴AC2+OC2=FO2+OE2=EF2，Rt△DEF中，EF＞DE=DC，∴AC2+OC2＞DC2，所以（1）中的结论②不成立（3）OC﹣AC= CD【解析】【解答】解：（1）①AC=OE，理由：如图1，∵在等腰Rt△ABO中，∠BAO=90°，∴∠ABO=∠AOB=45°，∵OP⊥MN，∴∠COP=90°，∴∠AOC=45°，∵AC∥OP，∴∠CAO=∠AOB=45°，∠ACO=∠POE=90°，∴AC=OC，连接AD，∵BD=OD，∴AD=OD，AD⊥OB，∴AD∥OC，∴四边形ADOC是正方形，∴∠DCO=45°，∴AC=OD，∴∠DEO=45°，∴CD=DE，∴OC=OE，∴AC=OE；②在Rt△CDO中，∵CD2=OC2+OD2，∴CD2=AC2+OC2；故答案为：AC2+CO2=CD2；（3.）如图3，结论：OC﹣CA= CD，理由是：连接AD，则AD=OD，同理：∠ADC=∠EDO，∵∠CAB+∠CAO=∠CAO+∠AOC=90°，∴∠CAB=∠AOC，∵∠DAB=∠AOD=45°，∴∠DAB﹣∠CAB=∠AOD﹣∠AOC，即∠DAC=∠DOE，∴△ACD≌△OED，∴AC=OE，CD=DE，∴△CDE是等腰直角三角形，∴CE2=2CD2，∴（OC﹣OE）2=（OC﹣AC）2=2CD2，∴OC﹣AC= CD，故答案为：OC﹣AC= CD．【分析】（1）①如图1，证明AC=OC和OC=OE可得结论；②根据勾股定理可得：AC2+CO2=CD2；（2）如图2，（1）中的结论②不成立，作辅助线，构建全等三角形，证明A、D、O、C四点共圆，得∠ACD=∠AOB，同理得：∠EFO=∠EDO，再证明△ACO≌△EOF，得OE=AC，AO=EF，根据勾股定理得：AC2+OC2=FO2+OE2=EF2，由直角三角形中最长边为斜边可得结论；（3）如图3，连接AD，则AD=OD证明△ACD≌△OED，根据△CDE是等腰直角三角形，得CE2=2CD2，等量代换可得结论（OC﹣OE）2=（OC ﹣AC）2=2CD2，开方后是：OC﹣AC= CD．6.【答案】（1）证明：连接CD，如图1所示．∵△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，D是AB的中点，∴∠A=∠DCF=45°，AD=CD．在△ADE和△CDF中，，∴△ADE≌△CDF（SAS），∴DE=DF，∠ADE=∠CDF．∵∠ADE+∠EDC=90°，∴∠EDC+∠CDF=∠EDF=90°，∴△EDF为等腰直角三角形．∵O为EF的中点，GO=OD，∴GD⊥EF，且GD=2OD=EF，∴四边形EDFG是正方形（2）解：过点D作DE′⊥AC于E′，如图2所示．∵△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC=4，∴DE′= BC=2，AB=4 ，点E′为AC的中点，∴2≤DE＜2 （点E与点E′重合时取等号）．∴4≤S四边形EDFG=DE2＜8．∴当点E为线段AC的中点时，四边形EDFG的面积最小，该最小值为4．【解析】【分析】（1）连接CD，根据等腰直角三角形的性质可得出∠A=∠DCF=45°、AD=CD，结合AE=CF 可证出△ADE≌△CDF（SAS），根据全等三角形的性质可得出DE=DF、ADE=∠CDF，通过角的计算可得出∠EDF=90°，再根据O为EF的中点、GO=OD，即可得出GD⊥EF，且GD=2OD=EF，由此即可证出四边形EDFG是正方形；（2）过点D作DE′⊥AC于E′，根据等腰直角三角形的性质可得出DE′的长度，从而得出2≤DE ＜2 ，再根据正方形的面积公式即可得出四边形EDFG的面积的最小值．7.【答案】（1）证明：如图①中，设AD=BC=a，则AB=CD= a．∵四边形ABCD是矩形，∴∠C=90°，∵PC=AD=BC=a，∴PB= = a，∴BA=BP（2）解：如图②中，作Q关于BC的对称点Q′，连接AQ′交BC于G，此时△AQG的周长最小．设AD=BC=QD=a，则AB=CD= a，∴CQ=CQ′= a﹣a，∵CQ′//AB，∴= = =（3）证明：如图③中，作TH//AB交NM于H，交BC于K．由（2）可知，AD=BC=1，AB=CD= ，DP=CF= ﹣1，∵S△MNT= •TH•CK+ •TH•BK= HT•（KC+KB）= HT•BC= HT，∵TH//AB//FM，TF=TB，∴HM=HN，∴HT= （FM+BN），∵BN=PM，∴HT= （FM+PM）= PF= •（1+ ﹣1）= ，∴S△MNT= HT= =定值【解析】【分析】（1）如图①中，设AD=BC=a，则AB=CD= a．通过计算得出AB=BP= a，由此即可证明；（2）如图②中，作Q关于BC的对称点Q′，连接AQ′交BC于G，此时△AQG的周长最小．设AD=BC=QD=a，则AB=CD= a，可得CQ=CQ′= a﹣a，由CQ′//AB，推出= = = ；（3）如图③中，作TH//AB交NM于H，交BC于K．由S△MNT= •TH•CK+ •TH•BK= HT•（KC+KB）= HT•BC= HT，利用梯形的中位线定理求出HT即可解决问题；8.【答案】（1）证明：∵点E是CD的中点，∴DE=CE．∵AB∥CF，∴∠BAF=∠AFC．在△ADE与△FCE中，∵，∴△ADE≌△FCE（AAS）（2）解：由（1）得，CD=2DE，∵DE=2，∴CD=4．∵点D为AB的中点，∠ACB=90°，∴AB=2CD=8，AD=CD= AB．∵AB∥CF，∴∠BDC=180°﹣∠DCF=180°﹣120°=60°，∴∠DAC=∠ACD= ∠BDC= ×60°=30°，∴BC= AB= ×8=4【解析】【分析】（1）先根据点E是CD的中点得出DE=CE，再由AB∥CF可知∠BAF=∠AFC，根据AAS 定理可得出△ADE≌△FCE；（2）根据直角三角形的性质可得出AD=CD= AB，再由AB∥CF可知∠BDC=180°﹣∠DCF=180°﹣120°=60°，由三角形外角的性质可得出∠DAC=∠ACD= ∠BDC=30°，进而可得出结论．9.【答案】（1）证明：如图，在正方形ABCD中，DC=BC，∠D=∠ABC=∠DCB=90°，∴∠CBF=180°﹣∠ABC=90°，∠1+∠2=∠DCB=90°，∵CF⊥CE，∴∠ECF=90°，∴∠3+∠2=∠ECF=90°，∴∠1=∠3，在△CDE和△CBF中，，∴△CDE≌△CBF（2）解：在正方形ABCD中，AD∥BC，∴△GBF∽△EAF，∴，由（1）知，△CDE≌△CBF，∴BF=DE= ，∵正方形的边长为1，∴AF=AB+BF= ，AE=AD﹣DE= ，∴，∴BG= ，∴CG=BC﹣BG=（3）解：不能，理由：若四边形CEAG是平行四边形，则必须满足AE∥CG，AE=CG，∴AD﹣AE=BC﹣CG，∴DE=BG，由（1）知，△CDE≌△ECF，∴DE=BF，CE=CF，∴△GBF和△ECF是等腰直角三角形，∴∠GFB=45°，∠CFE=45°，∴∠CFA=∠GFB+∠CFE=90°，此时点F与点B重合，点D与点E重合，与题目条件不符，∴点E在运动过程中，四边形CEAG不能是平行四边形．【解析】【分析】（1）先判断出∠CBF=90°，进而判断出∠1=∠3，即可得出结论；（2）先求出AF，AE，再判断出△GBF∽△EAF，可求出BG，即可得出结论；（3）假设是平行四边形，先判断出DE=BG，进而判断出△GBF和△ECF是等腰直角三角形，即可得出∠GFB=∠CFE=45°，即可得出结论．10.【答案】（1）∠BAD+∠ACB=180°（2）解：如图1中，作DE∥AB交AC于E．∴∠DEA=∠BAE，∠OBA=∠ODE，∵OB=OD，∴△OAB≌△OED，∴AB=DE，OA=OE，设AB=DE=CE=CE=x，OA=OE=y，∵∠EDA+∠DAB=180°，∠BAD+∠ACB=180°，∴∠EDA=∠ACB，∵∠DEA=∠CAB，∴△EAD∽△ABC，∴= = = ，∴= ，∴4y2+2xy﹣x2=0，∴（）2+ ﹣1=0，∴= （负根已经舍弃），∴= ．（3）解：如图2中，作DE∥AB交AC于E．由（1）可知，DE=CE，∠DCA=∠DCA′，∴∠EDC=∠ECD=∠DCA′，∴DE∥CA′∥AB，∴∠ABC+∠A′CB=180°，∵△EAD∽△ACB，∴∠DAE=∠ABC=∠DA′C，∴∠DA′C+∠A′CB=180°，∴A′D∥BC，∴△PA′D∽△PBC，∴= = ，∴= ，即=∵CD= ，∴PC=1．【解析】【解答】解：（1.）如图1中，在△ABD中，∵∠BAD+∠ABD+∠ADB=180°，又∵∠ABD+∠ADB=∠ACB，∴∠BAD+∠ACB=180°，故答案为∠BAD+∠ACB=180°．【分析】（1）在△ABD中，根据三角形的内角和定理即可得出结论：∠BAD+∠ACB=180°；（2）如图1中，作DE∥AB交AC于E．由△OAB≌△OED，可得AB=DE，OA=OE，设AB=DE=CE=CE=x，OA=OE=y，由△EAD∽△ABC，推出= = = ，可得= ，可得4y2+2xy﹣x2=0，即（）2+﹣1=0，求出的值即可解决问题；（3）如图2中，作DE∥AB交AC于E．想办法证明△PA′D∽△PBC，可得= = ，可得= ，即= ，由此即可解决问题；11.【答案】（1）解：由题意得，AB=AC，∵BD，CE分别是两腰上的中线，∴AD= AC，AE= AB，∴AD=AE，在△ABD和△ACE中，∴△ABD≌△ACE（ASA）．∴BD=CE；（2）四边形DEMN是正方形，证明：∵E、D分别是AB、AC的中点，∴AE= AB，AD= AC，ED是△ABC的中位线，∴ED∥BC，ED= BC，∵点M、N分别为线段BO和CO中点，∴OM=BM，ON=CN，MN是△OBC的中位线，∴MN∥BC，MN= BC，∴ED∥MN，ED=MN，∴四边形EDNM是平行四边形，由（1）知BD=CE，又∵OE=ON，OD=OM，OM=BM，ON=CN，∴DM=EN，∴四边形EDNM是矩形，在△BDC与△CEB中，，∴△BDC≌△CEB，∴∠BCE=∠CBD，∴OB=OC，∵△ABC的重心到顶点A的距离与底边长相等，∴O到BC的距离= BC，∴BD⊥CE，∴四边形DEMN是正方形．【解析】【分析】（1）根据已知条件得到AD=AE，根据全等三角形的性质即可得到结论；（2）根据三角形中位线的性质得到ED∥BC，ED= BC，MN∥BC，MN= BC，等量代换得到ED∥MN，ED=MN，推出四边形EDNM是平行四边形，（1）知BD=CE，求得DM=EN，得到四边形EDNM是矩形，根据全等三角形的性质得到OB=OC，由三角形的重心的性质得到O到BC的距离= BC，根据直角三角形的判定得到BD⊥CE，于是得到结论．12.【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠AEG=∠BFG，∵EF垂直平分AB，∴AG=BG，在△AGEH和△BGF中，，∴△AGE≌△BGF（AAS）（2）解：四边形AFBE是菱形，理由如下：∵△AGE≌△BGF，∴AE=BF，∵AD∥BC，∴四边形AFBE是平行四边形，又∵EF⊥AB，∴四边形AFBE是菱形【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质得出AD∥BC，得出∠AEG=∠BFG，由AAS证明△AGE≌△BGF 即可；（2）由全等三角形的性质得出AE=BF，由AD∥BC，证出四边形AFBE是平行四边形，再根据EF⊥AB，即可得出结论．13.【答案】（1）解：∠AMQ=45°+α；理由如下：∵∠PAC=α，△ACB是等腰直角三角形，∴∠BAC=∠B=45°，∠PAB=45°﹣α，∵QH⊥AP，∴∠AHM=90°，∴∠AMQ=180°﹣∠AHM﹣∠PAB=45°+α（2）解：PQ= MB；理由如下：连接AQ，作ME⊥QB，如图所示：∵AC⊥QP，CQ=CP，∴∠QAC=∠PAC=α，∴∠QAM=45°+α=∠AMQ，∴AP=AQ=QM，在△APC和△QME中，，∴△APC≌△QME（AAS），∴PC=ME，∴△AEB是等腰直角三角形，∴PQ= MB，∴PQ= MB．【解析】【分析】（1）由等腰直角三角形的性质得出∠BAC=∠B=45°，∠PAB=45°﹣α，由直角三角形的性质即可得出结论；（2）连接AQ，作ME⊥QB，由AAS证明△APC≌△QME，得出PC=ME，△AEB是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质即可得出结论．14.【答案】（1）解：将B点坐标代入函数解析式，得=2，解得k=6，∴反比例函数的解析式为y= ；（2）解：由B（3，2），点B与点C关于原点O对称，得C（﹣3，﹣2）．由BA⊥x轴于点A，CD⊥x轴于点D，得A（3，0），D（﹣3，0）．∴S△ACD= AD•CD= × [3﹣（﹣3）]×|﹣2|=6．【解析】【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；（2）根据三角形的面积公式，可得答案．15.【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD//BC，AD=BC，∵E、F分别是AD、BC的中点，∴AE= AD，CF= BC，∴AE CF，∴四边形AFCE是平行四边形；（2）证明：∵四边形AFCE是平行四边形，∴CE//AF，∴∠DGE=∠AHD=∠BHF，∵AB//CD，∴∠EDG=∠FBH，在△DEG和△BFH中，∴△DEG≌△BFH（AAS），∴EG=FH．【解析】【分析】（1）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可；（2）可证明EG和FH所在的△DEG、△BFH全等即可．16.【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=∠C，AB=BC．∵AE⊥BF，∴∠AMB=∠BAM+∠ABM=90°，∵∠ABM+∠CBF=90°，∴∠BAM=∠CBF．在△ABE和△BCF中，，∴△ABE≌△BCF（ASA），∴AE=BF；（2）解：AB= BC，理由：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=∠C，∵AE⊥BF，∴∠AMB=∠BAM+∠ABM=90°，∵∠ABM+∠CBF=90°，∴∠BAM=∠CBF，∴△ABE∽△BCF，∴= ，∴AE= BF．【解析】【分析】（1）根据正方形的性质，可得∠ABC与∠C的关系，AB与BC的关系，根据两直线垂直，可得∠AMB的度数，根据直角三角形锐角的关系，可得∠ABM与∠BAM的关系，根据同角的余角相等，可得∠BAM与∠CBF的关系，根据ASA，可得△ABE≌△BCF，根据全等三角形的性质，可得答案；（2）根据矩形的性质得到∠ABC=∠C，由余角的性质得到∠BAM=∠CBF，根据相似三角形的性质即可得到结论．17.【答案】（1）证明：∵△ABC是等腰三角形，且∠BAC=120°，∴∠ABD=∠ACB=30°，∴∠ABD=∠ADE=30°，∵∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠ABD+∠DAB，∴∠EDC=∠DAB，∴△ABD∽△DCE；（2）解：如图1，∵AB=AC=2，∠BAC=120°，过A作AF⊥BC于F，∴∠AFB=90°，∵AB=2，∠ABF=30°，∴AF= AB=1，∴BF= ，∴BC=2BF=2 ，∵BD=x，AE=y则DC=2 ﹣x，EC=2﹣y，∵△ABD∽△DCE，∴，∴，化简得：y= x+2（0＜x＜2 ）；（3）解：当AD=DE时，如图2，由（1）可知：此时△ABD∽△DCE，则AB=CD，即2=2 ﹣x，x=2 ﹣2，代入y= x+2，解得：y=4﹣2 ，即AE=4﹣2 ，当AE=ED时，如图3，∠EAD=∠EDA=30°，∠AED=120°，∴∠DEC=60°，∠EDC=90°，则ED= EC，即y= （2﹣y），解得：y= ，即AE= ，当AD=AE时，∠AED=∠EDA=30°，∠EAD=120°，此时点D与点B重合，不符合题意，此情况不存在，∴当△ADE是等腰三角形时，AE=4﹣2 或．【解析】【分析】（1）根据两角相等证明：△ABD∽△DCE；（2）如图1，作高AF，根据直角三角形30°的性质求AF的长，根据勾股定理求BF的长，则可得BC的长，根据（1）中的相似列比例式可得函数关系式，并确定取值；（3）分三种情况进行讨论：①当AD=DE时，如图2，由（1）可知：此时△ABD∽△DCE，则AB=CD，即2=2 ﹣x；②当AE=ED时，如图3，则ED= EC，即y= （2﹣y）；③当AD=AE时，∠AED=∠EDA=30°，∠EAD=120°，此时点D与点B重合，不符合题意，此情况不存在．18.【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴∠B=∠D，AB=BC=DC=AD，∵点E，O，F分别为AB，AC，AD的中点，∴AE=BE=DF=AF，OF= DC，OE= BC，OE∥BC，在△BCE和△DCF中，，∴△BCE≌△DCF（SAS）；（2）解：当AB⊥BC时，四边形AEOF是正方形，理由如下：由（1）得：AE=OE=OF=AF，∴四边形AEOF是菱形，∵AB⊥BC，OE∥BC，∴OE⊥AB，∴∠AEO=90°，∴四边形AEOF是正方形．【解析】【分析】（1）由菱形的性质得出∠B=∠D，AB=BC=DC=AD，由已知和三角形中位线定理证出AE=BE=DF=AF，OF= DC，OE= BC，OE∥BC，由SAS证明△BCE≌△DCF即可；（2）由（1）得：AE=OE=OF=AF，证出四边形AEOF是菱形，再证出∠AEO=90°，四边形AEOF是正方形．19.【答案】（1）解：如图1，∵由题意得：△ADP≌△AD1P，∴AD=AD1=2，PD=PD1=x，∠D=∠AD1P=90°，∵直线AD1过C，∴PD1⊥AC，在Rt△ABC中，AC= = ，CD1= ﹣2，在Rt△PCD1中，PC2=PD12+CD12，即（3﹣x）2=x2+（﹣2）2，解得：x= ，∴当x= 时，直线AD1过点C（2）解：如图2，连接PE，∵E为BC的中点，∴BE=CE=1，在Rt△ABE中，AE= = ，∵AD1=AD=2，PD=PD1=x，∴D1E= ﹣2，PC=3﹣x，在Rt△PD1E和Rt△PCE中，x2+（﹣2）2=（3﹣x）2+12，解得：x= ，∴当x= 时，直线AD1过BC的中点E；（3）解：如图3，当0＜x≤2时，y=x，如图4，当2＜x≤3时，点D1在矩形ABCD的外部，PD1交AB于F，∵AB∥CD，∴∠1=∠2，∵∠1=∠3（根据折叠），∴∠2=∠3，∴AF=PF，作PG⊥AB于G，设PF=AF=a，由题意得：AG=DP=x，FG=x﹣a，在Rt△PFG中，由勾股定理得：（x﹣a）2+22=a2，解得：a= ，所以y= = ，综合上述，当0＜x≤2时，y=x；当2＜x≤3时，y=【解析】【分析】（1）根据折叠得出AD=AD1=2，PD=PD1=x，∠D=∠AD1P=90°，在Rt△ABC中，根据勾股定理求出AC，在Rt△PCD1中，根据勾股定理得出方程，求出即可；（2）连接PE，求出BE=CE=1，在Rt△ABE中，根据勾股定理求出AE，求出AD1=AD=2，PD=PD1=x，D1E= ﹣2，PC=3﹣x，在Rt△PD1E 和Rt△PCE中，根据勾股定理得出方程，求出即可；（3）分为两种情况：当0＜x≤2时，y=x；当2＜x≤3时，点D1在矩形ABCD的外部，PD1交AB于F，求出AF=PF，作PG⊥AB于G，设PF=AF=a，在Rt△PFG中，由勾股定理得出方程（x﹣a）2+22=a2，求出a即可．20.【答案】（1）解：∵EF交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，∴∠OCE=∠BCE，∠OCF=∠DCF，∵MN∥BC，∴∠OEC=∠BCE，∠OFC=∠DCF，∴∠OEC=∠OCE，∠OFC=∠OCF，∴OE=OC，OF=OC，∴OE=OF；∵∠OCE+∠BCE+∠OCF+∠DCF=180°，∴∠ECF=90°，在Rt△CEF中，由勾股定理得：EF= =10，∴OC=OE= EF=5（2）解：当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．理由如下：当O为AC的中点时，AO=CO，∵EO=FO，∴四边形AECF是平行四边形，∵∠ECF=90°，∴平行四边形AECF是矩形．【解析】【分析】（1）根据平行线的性质以及角平分线的性质得出∠OEC=∠OCE，∠OFC=∠OCF，证出OE=OC=OF，∠ECF=90°，由勾股定理求出EF，即可得出答案；（2）根据平行四边形的判定以及矩形的判定得出即可．21.【答案】（1）证明：∵P1（x1，y1），P2（x2，y2），∴Q1Q2=OQ2﹣OQ1=x2﹣x1，∴Q1Q= ，∴OQ=OQ1+Q1Q=x1+ = ，∵PQ为梯形P1Q1Q2P2的中位线，∴PQ= = ，即线段P1P2的中点P（x，y）P的坐标公式为x= ，y=（2）；（﹣3，3）或（7，1）或（﹣1，﹣3）（3）解：如图，设P关于直线OL的对称点为M，关于x轴的对称点为N，连接PM交直线OL于点R，连接PN交x轴于点S，连接MN交直线OL于点E，交x轴于点F，由对称性可知EP=EM，FP=FN，∴PE+PF+EF=ME+EF+NF=MN，∴此时△PEF的周长即为MN的长，为最小，设R（x，x），由题意可知OR=OS=2，PR=PS=n，∴=2，解得x=﹣（舍去）或x= ，∴R（，），∴=n，解得n=1，∴P（2，1），∴N（2，﹣1），设M（x，y），则= ，= ，解得x= ，y= ，∴M（，），∴MN= = ，即△PEF的周长的最小值为【解析】【解答】（2）①∵M（2，﹣1），N（﹣3，5），∴MN= = ，故答案为：；②∵A（2，2），B（﹣2，0），C（3，﹣1），∴当AB为平行四边形的对角线时，其对称中心坐标为（0，1），设D（x，y），则x+3=0，y+（﹣1）=2，解得x=﹣3，y=3，∴此时D点坐标为（﹣3，3），当AC为对角线时，同理可求得D点坐标为（7，1），当BC为对角线时，同理可求得D点坐标为（﹣1，﹣3），综上可知D点坐标为（﹣3，3）或（7，1）或（﹣1，﹣3），故答案为：（﹣3，3）或（7，1）或（﹣1，﹣3）；【分析】（1）用P1、P2的坐标分别表示出OQ和PQ的长即可证得结论；（2）①直接利用两点间距离公式可求得MN的长；②分AB、AC、BC为对角线，可求得其中心的坐标，再利用中点坐标公式可求得D点坐标；（3）设P关于直线OL的对称点为M，关于x轴的对称点为N，连接PM交直线OL于点R，连接PN交x轴于点S，则可知OR=OS=2，利用两点间距离公式可求得R的坐标，再由PR=PS=n，可求得n的值，可求得P点坐标，利用中点坐标公式可求得M点坐标，由对称性可求得N点坐标，连接MN交直线OL于点E，交x轴于点S，此时EP=EM，FP=FN，此时满足△PEF的周长最小，利用两点间距离公式可求得其周长的最小值．22.【答案】（1）证明：在Rt△ABE和Rt△DBE中，，∴△ABE≌△DBE（2）证明：①过G作GH∥AD交BC于H，∵AG=BG，∴BH=DH，∵BD=4DC，设DC=1，BD=4，∴BH=DH=2，∵GH∥AD，∴= = ，∴GM=2MC；②过C作CN⊥AC交AD的延长线于N，则CN∥AG，∴△AGM∽△NCM，∴= ，由①知GM=2MC，∴2NC=AG，∵∠BAC=∠AEB=90°，∴∠ABF=∠CAN=90°﹣∠BAE，∴△ACN∽△BAF，∴= ，∵AB=2AG，∴= ，∴2CN•AG=AF•AC，∴AG2=AF•AC．【解析】【分析】（1）根据全等三角形的判定定理即可得到结论；（2）①过G作GH∥AD交BC于H，由AG=BG，得到BH=DH，根据已知条件设DC=1，BD=4，得到BH=DH=2，根据平行线分线段成比例定理得到= = ，求得GM=2MC；②过C作CN⊥AD交AD的延长线于N，则CN∥AG，根据相似三角形的性质得到= ，由①知GM=2MC，得到2NC=AG，根据相似三角形的性质得到= ，等量代换得到= ，于是得到结论．23.【答案】（1）0；7（2）解：①如图2，取BC的中点O，连接AO，∵AB=AC，∴AO⊥BC，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，∴∠ABC=30°，在Rt△AOB中，AB=4，∠ABC=30°，∴AO=2，OB=2 ，∴AB△AC=AO2﹣BO2=4﹣12=﹣8，②取AC的中点D，连接BD，∴AD=CD= AC=2，过点B作BE⊥AC交CA的延长线于E，在Rt△ABE中，∠BAE=180°﹣∠BAC=60°，∴∠ABE=30°，∵AB=4，∴AE=2，BE=2 ，∴DE=AD+AE=4，在Rt△BED中，根据勾股定理得，BD= = =2 ，∴BA△BC=BD2﹣CD2=24；（3）解：如图3，设ON=x，OB=OC=y，∴BC=2y，OA=3x，∵AB△AC=14，∴OA2﹣OB2=14，∴9x2﹣y2=14①，取AN的中点D，连接BD，∴AD=DB= AN= × OA=ON=x，∴OD=ON+DN=2x，在Rt△BOD中，BD2=OB2+OD2=y2+4x2，∵BN△BA=10，∴BD2﹣DN2=10，∴y2+4x2﹣x2=10，∴3x2+y2=10②联立①②得，或（舍），∴BC=4，OA=3 ，∴S△ABC= BC×AO=6 ．【解析】【解答】解：①∵∠BAC=90°，AB=8，AC=6，∴BC=10，∵点O是BC的中点，∴OA=OB=OC= BC=5，∴AB△AC=AO2﹣BO2=25﹣25=0，②如图1，取AC的中点D，连接OD，∴CD= AC=3，∵OA=OC=5，∴OD⊥AC，在Rt△COD中，OD= =4，∴OC△OA=OD2﹣CD2=16﹣9=7，故答案为0，7；【分析】（1）①先根据勾股定理求出BC=10，再利用直角三角形的性质得出OA=OB=OC=5，最后利用新定义即可得出结论；②再用等腰三角形的性质求出CD=3，再利用勾股定理求出OD，最后用新定义即可得出结论；（2）①先利用含30°的直角三角形的性质求出AO=2，OB=2 ，再用新定义即可得出结论；②先构造直角三角形求出BE，AE，再用勾股定理求出BD，最后用新定义即可得出结论；（3）先构造直角三角形，表述出OA，BD2，最后用新定义建立方程组求解即可得出结论．24.【答案】（1）解：如图1，延长PE，QB交于点F，∵△APO和△BQO是等腰直角三角形，∴∠APO=∠BQO=90°，∠AOP=∠BOQ=45°，∵∠AOB=90°，∴∠AOP+∠AOB+∠BOQ=180°，∴点P，O，Q在同一条直线上，∵∠APO=∠BQO=90°，∵点E是AB中点，∴AE=BE，∵∠AEP=∠BEF，∴△APE≌△BFE，∴PE=EF，∴点E是Rt△PQF的斜边PF的中点，∴EP=EQ；（2）解：成立，证明：∵点C，E分别是OA，AB的中点，∴CE∥OB，CE= OB，∴∠DOC=∠ECA，∵点D是Rt△OQB斜边中点，∴DQ= OB，∴CE=DQ，同理：PC=DE，∠DOC=∠BDE，∴∠ECA=∠BDE，∵∠PCE=∠EDQ，∴△EPC≌△QED，∴EP=EQ；（3）解：如图2，连接GO，∵点D，C分别是OB，OA的中点，△APO与△QBO都是等腰直角三角形，∴CQ，GP分别是OB，OA的垂直平分线，∴GB=GO=GA，∴∠GBO=∠GOB，∠GOA=∠GAO，设∠GOB=x，∠GOA=y，∴x+x+y+y+60°=360°【解析】【分析】（1）先判断出点P，O，Q在同一条直线上，再判断出△APE≌△BFE，最后用直角三角形的斜边的中线等于斜边的一半即可得出结论；（2）先判断出CE=DQ，PC=DE，进而判断出△EPC≌△QED 即可得出结论；（3）先判断出CQ，GP分别是OB，OA的垂直平分线，进而得出∠GBO=∠GOB，∠GOA=∠GAO，即可得出结论．。

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