六年级数学有理数及其运算

第二章《有理数及其运算》

复习教案

有理数及其运算是中学数学中一切运算的基础，准确的理解有理数相关的概念，以及它的运算法则、公式，并且善于根据所给题目要求，将推理与计算相结合，灵活巧妙的选择简捷的算法，可以很好的提高思维的敏捷性.为了帮助同学们能更好地将现实中的问题与学习中有理数的知识相结合，并合理的解决它，从中发现数学的很多乐趣，现将有理数及其运算的知识再来一次回顾.

一、复习目标

1，通过复习能在具体情境中，理解负数的概念，进一步掌握有理数及其运算的意义.

2，能用数轴上的点表示有理数，会比较有理数的大小.

3，能熟练地借助数轴理解相反数与绝对值的意义，会求有理数的相反数与绝对值.

4，经历探索有理数运算法则和运算律的过程；掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算；理解有理数的运算律，并能利用运算律简化运算，及能运用有理数及其运算律解决简单的实际问题.

5，会用计算器进行较复杂的有理数混合运算.

二、重点难点

《有理数及其运算》这一章的重点内容是绝对值的概念和有理数的运算（包括法则、运算律、运算顺序、混合运算）等；而绝对值的概念及有关计算，有理数的大小比较，及有理数的运算则是本章的难点.

三、思想方法

数学技能的掌握是靠反复训练，而数学思想方法的掌握与运用是靠深入领悟，数学思想对提高分析问题和解决问题的能力是大有帮助的.复习《有理数》一章的内容应注意以下的思想方法：

1，观察方法在有理数这一章中的一些主要概念和性质中，如数轴、相反数、绝对值、有理数大小的比较、有理数的运算法则以及运算律等等的学习与运用都离不开观察、分析、归纳，从而作出正确的判断.

2，分类思想分类就是根据所研究对象的性质差异，分各种不同的情况予以分析解决.分类讨论题覆盖知识点较多，利于考查学生的知识面、分类思想和技巧；同时方式多样，具有较高的逻辑性及很强的综合性，树立分类讨论思想，应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧、做到“确定对象的全体，明确分类的标准，分层别类不重复、不遗漏的分析讨论.”

有理数一章在研究相反数、绝对值、有理数加法法则、乘法法则.乘方运算的符号法则等，都是按有理数分成正数、为、负数等三类来研究的.

3，数形结合思想数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数含义，又揭示其几何意义，使问题的数量关系巧妙、和谐地结合起来，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想.其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化.数形结合的思想，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用图形来直观地说明性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，从而充分体现了“数无形，少直观，形无数，难入微”.

在研究《有理数》一章时，用数轴上的点来表示有理数、用数轴研究相反数、绝对值等等，就是数形结合的体现.

4，化归思想化归与转换的思想，就是在研究和解决数学问题时采用某种方式，借助某种性质、法则或通过对已知条件的变换加以转化，进而达到解决问题的思想.等价转化总是将抽象转化为具体，复杂转化为简单、未知转化为已知，通过变换迅速而合理的寻找和选择问题解决的途径和方法.

在有理数加法的基础上，利用相反数的概念化归出减法法则，从而使加减得到统一；在有理数乘法的基础上，利用倒数的概念化归出除法法则，从而使得乘除法得到统一；在利用绝对值的概念将有理数运算化归为算术运算.可见，化归思想是解决新问题、获得新知识的重要数学思想.

四、知识归纳

（一）有理数的基础知识

1，三个重要的定义：（1）正数：像1、2.5等这样大于0的数叫做正数；（2）负数：在正数前面加上“－”号，表示比0小的数叫做负数；（3）0即不是正数也不是负数.

2，有理数的分类：

按定义分：

0,

??

??

?

?

??

??

?

?

??

??

?

正整数,

整数

负整数,

有理数

正分数,

分数

负分数;

按性质符号分：0,

??

?

?

?

?

?

?

??

??

??

?

正整数,

正有理数

正分数,

有理数

负整数,

负有理数

负分数.

3，数轴.数轴有三要素：原点、正方向、单位长度.画一条水平直线，在直线上取一点表示0（叫做原点），选取某一长度作为单位长度，规定直线上向右的方向为正方向，就得到数轴.在数轴上的所表示的数，右边的数总比左边的数大，所以正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数.

4，相反数.如果两个数只有符号不同，那么其中一个数就叫另一个数的相反数.0的相反数是0，互为相反的两上数，在数轴上位于原点的两则，并且与原点的距离相等.

5，绝对值.（1）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示该数的点与原点的距离.（2）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；0的绝对值是0；一个负数

的绝对值是它的相反数，可用字母a表示如下：

(0),

0(0),

(0).

a a

a a

a a

>

?

?

==

?

?-<

?

（3）两个负数比较大

小，绝对值大的反而小.

（二）有理数的运算

1，有理数的加法.（1）有理数的加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反的两个数相加得0；一个数同0相加，仍得这个数.（2）有理数加法的运算律：加法的交换律：a+b＝b+a；加法的结合律：(a+b) +c＝a+ (b+c).用加法的运算律进行简便运算的基本思路是：先把互为相反数的数相加；把同分母的分数先相加；把符号相同的数先相加；把相加得整数的数先相加.

2，有理数的减法.（1）有理数减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数.（2）有理数减法常见的错误：顾此失彼，没有顾到结果的符号；仍用小学计算的习惯，不把减法变加法；只改变运算符号，不改变减数的符号，没有把减数变成相反数.（3）有理数加减混合运算步骤：先把减法变成加法，再按有理数加法法则进行运算.

3，有理数的乘法.（1）有理数乘法的法则：两个有理数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与0相乘都得0.（2）有理数乘法的运算律：交换律：ab＝ba；结合律：(ab)c＝a(bc)；交换律：a(b+c)＝ab+ac.（3）倒数的定义：乘积是1的两个有理数互为倒数，即ab＝1，那么a和b互为倒数；倒数也可以看成是把分子分母的位置颠倒过来.

4，有理数的除法.有理数的除法法则：除以一个数，等于乘上这个数的倒数，0不能做除数.这个法则可以把除法转化为乘法；除法法则也可以看成是：两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除，0除以任何一个不等于0的数都等于0.

5，有理数的乘法.（1）有理数的乘法的定义：求几个相同因数a的运算叫做乘方，乘方是一种运算，是几个相同的因数的特殊乘法运算，记做“a n”其中a叫做底数，表示相同的因数，n叫做指数，表示相同因数的个数，它所表示的意义是n个a相乘，不是n乘以a，乘方的结果叫做幂.（2）正数的任何次方都是正数，负数的偶数次方是正数，负数的奇数次方是负数.

6，有理数的混合运算.（1）进行有理数混合运算的关建是熟练掌握加、减、乘、除、乘方的运算法则、运算律及运算顺序.比较复杂的混合运算，一般可先根据题中的加减运算，把算式分成几段，计算时，先从每段的乘方开始，按顺序运算，有括号先算括号里的，同时要注意灵活运用运算律简化运算.（2）进行有理数的混合运算时，应注意：一是要注意运算顺序，先算高一级的运算，再算低一级的运算；二是要注意观察，灵活运用运算律进行简便运算，以提高运算速度及运算能力.

（三）科学计算器

在计算器上进行有理数混合运算时，只要按算式依次输入数字和符号，输完后，按等号

键即可得到结果.如，计算：(－4.2+2.4)÷32.

五、典型题析

（所选例题均出自2006年全国部分省市中考试卷）

考点1 负数的概念

例1（扬州市）如果收入200元记作+200元，那么支出150元记作（）

A.+150元

B.－150元

C.+50元

D.－50元

简析因为收入200元记作+200元，所以支出150元就可以记作－150元.故应选B.

练习题1

1，（绍兴市）冬季的一天，室内温度是8℃，室外温度是－2℃，则室内外温度相差（）

A.4℃

B.6℃

C.10℃

D.16℃

2，（临安市）我市2005年的最高气温为39℃，最低气温为零下7℃，则计算2005年温差列式正确的是（）

A.(＋39)－(－7)

B.(＋39)＋(＋7)

C.(＋39)＋(－7)

D.(＋39)－(＋7)

3，（南通市）某市今年1月份某一天的最高气温是3℃，最低气温是－4℃，那么这一天的最高气温比最低气温高（）

A.－7℃

B.7℃

C.－1℃

D.1℃

考点2 相反数

例2（临安市）如果a 与－2互为相反数，那么a 等于（ ）B

A.－2

B.2

C.12-

D.12

简析 因为a 与－2的相反数，所以a +（－2）＝0，即a ＝2，故应选B .

练习题2

4，（广安市）－3的相反数是（ ）

A.－31

B.31

C.3

D.－3

5，（盐城市）－2的相反数是（ ）

A.－2

B.2

C.±2 D .－

12

6，（江西省）若m 、n 互为相反数，则m +n ＝＿＿＿.

考点3 绝对值 例3（枣庄市）12

-

的绝对值是（ ） A.－2 B.－12 C.2 D.12

简析 因为－12的绝对值是12，故应选D . 练习题3

7，（深圳市）－３的绝对值等于（ ）

A.－3

B.3

C.－13

D.13

8，（遂宁市）计算：︱－4︱＝（ ） A.0 B.－4 C.

14 D.4 考点4 倒数

例4 （攀枝花市）－0.5的倒数是（ ） A.21-

B.2

1 C.－

2 D.2 简析 因为－0.5＝－21，而－21的倒数是－2，所以－0.5的倒数是－2.故应选C . 练习题4

9，（重庆市）3的倒数是（ ）

A.－3

B.3

C.13

D.－13

10，（河南省）3

1-的倒数是（ ） A.3- B.3 C.31-

D.31 11，（乐山市）若2x －3与13

-

互为倒数，则x ＝＿＿＿. 考点5 数轴 例5（济南市）如图，数轴上A ，B 两点所表示的两数的（ ）

A.和为正数

B.和为负数

C.积为正数

D.积为负数

简析 观察A 、B 在数轴上对应的有理数分别是－3和3，所以数轴上A ，B 两点所表示的两数的积为负数.故应选D .

练习题5

12，（荆门市）点A 在数轴上表示+2，从点A 沿数轴向左平移3个单位到点B ，则点B 所表示的有理数是（ ）

A.3

B.－1

C.5

D.－1或3

考点6 有理数的运算

例6（广东省）下列计算正确的是（ ）

A.－1+1＝0

B.－2－2＝0

C.3÷

31＝1 D.52＝10 简析 因为－2－2＝－4，3÷3

1＝3×3＝9，52＝25，所以只有－1+1＝0正确.故应选A .

练习题6

13，（浙江省）计算1－2的结果是（ ）

A.－1

B.1

C.－3

D.3 14，（旅顺口区）计算－23是 （ ）

A.－8

B.8

C.－6

D.6

15，（十堰市）下列各式中，一定成立的是（ ）

A.()2222=-

B.()3322=-

C.2222-=-

D.()()33

22-=- 考点7 有理数的大小比较

例7（南昌市）下列四个运算中，结果最小的是（ ）

－3 图

A.1+(－2)

B.1－(－2)

C. l×(－2)

D.1

(－2) 简析因为1+(－2)＝－1，1－(－2)＝3，1×(－2)＝－2，1÷(－2)＝－0.5，而－2＝－1＜－0.5＜3.故应选C.

练习题7

16，（湖州市）请你写出一个比0.1小的有理数＿＿＿.

17，（芜湖市）已知a>b>0，则下列不等式不一定成立的是（）

A.ab＞b2

B.a+c＞b+c

C.1

a

＜

1

b

D.ac＞bc

18，（天津市）若0＜x＜1，则x，x2，x3的大小关系是（）

A.x＜x2＜x3

B.x＜x3＜x2

C.x3＜x2＜x

D.x2＜x3＜x

考点8 计算器的应用

例8（烟台市）用科学计算器求35的值，按键顺序是（）A

简析按照计算器进行有理数的运算方法，计算35的按键顺序应是

应选A.

练习题8

19，（旅顺口区）小王利用计算机设计了一个计算程序，输入和输出的数据如下表：

那么，当输入数据为8时，输出的数据为＿＿＿.

考点9 有理数的应用

例9（绍兴市）邮政部门规定：信函重100克以内(包括100克)每20克贴邮票0.8元，不足20克重以20克计算；超过100克，先贴邮票4元，超过100克部分每100克加贴邮票2元，不足100克重以100克计算.

（1）若要寄一封重35克的信函，则需贴邮票多少元?

（2）若寄一封信函贴了6元邮票，问此信函可能有多少重?

（3）七(1)班有九位同学参加环保知识竞赛，若每份答卷重12克，每个信封重4克．请你设计方案，将这9份答卷分装在两个信封中寄出，使所贴邮票的总金额最少.

简析（1）因为35克＝（20+15）克，所以所贴邮票金额应为0.8×2＝1.6（元）；（2）

依据题意，贴了6元邮票，此信函应在大于100克且小于等于200克范围内的克数均可；（3）依据题意可以列表如下：

故9份答卷分1份、8份或3分、6份装，总金额最小，分别为4.8元，4.8元．

练习题9

20，（浙江省）全国中小学危房改造工程实施五年来，已改造农村中小学危房7 800万平方米，如果按一幢教学楼的总面积是750平方米计算，那么该项改造工程共修建教学楼大约有（）

A.10幢

B.10万幢

C.20万幢

D.100万幢

21，（绍兴市）时是电视机常用规格之一，1时约为拇指上面一节的长，则7时长相当

于（）

A.课本的宽度

B.课桌的宽度

C.黑板的高度

D.粉笔的长度

22，（苏州市）我国《劳动法》对劳动者的加班工资作出了明确规定．“五一”长假期间．前3天是法定休假日，用人单位应按照不低于劳动者本人日工资或小时工资的300％支付加班工资．后4天是休息日，用人单位应首先安排劳动者补休，不能安排补休的，按照不低于劳动者本人日工资或小时工资的200％支付加班工资．小朱由于工作需要，今年5月2日、3日、4日共加班三天，已知小朱的日工资标准为47元，则小朱“五一”长假加班三天的加班工资应不低于＿＿＿元.

23，（潍坊市）1883年，康托尔构造的这个分形，称做康托尔集．从数轴上单位长度线段开始，康托尔取走其中间三分之一而达到第一阶段；然后从每一个余下的三分之一线段中取走其中间三分之一而达到第二阶段．无限地重复这一过程，余下的无穷点集就称做康托尔

集．上图是康托尔集的最初几个阶段，当达到第八个阶段时，余下的所有线段的长度之和为＿＿＿.

24，（烟台市）王会计在结帐时发现现金少了153.9元，查帐后得知是一笔支出款的小数点看错了一位，王会计查出这笔看错了的支出款实际是＿＿＿元.

考点10 探索与创新

例10（烟台市）计算：21－1＝1，22－1＝3，23－1＝7，24－1＝15，25－1＝31，….归纳各计算结果中的个位数字规律，猜测2

2006－1的个位数字是（ ） A.1 B.3

C.7

D.5 简析 观察21－1＝1，22－1＝3，23－1＝7，24－1＝15，25－1＝31，…发现它们的个位

数字按1，3，7，5循环，而2006＝4×501+2，所以2

2006－1的个位数字是3.故应选B .

练习题10

25，（嘉兴市）定义一种对正整数n 的“F ”运算：①当n 为奇数时，结果为3n ＋5；②当n 为偶数时，结果为k n 2（其中k 是使k n 2为奇数的正整数），并且运算重复进行.例如，取n ＝26，则：

若n ＝449，则第449次“F 运算”的结果是＿＿＿.

26，（重庆市）按一定的规律排列的一列数依次为：111111,,

,,,2310152635…，按此规律排列下去，这列数中的第7个数是＿＿＿.

27，（日照市）德国数学家莱布尼兹发现了下面的单位分数三角形（单位分数是分子为1，分母为正整数的分数）：

第一行 1

1

第二行

12 12

第三行 13 16 13

第四行 14 112 112 14

第五行 15 120 130 120 15 … …… …… 26 13 44 11 第一次 F ② 第二次 F ① 第三次 F ② …

根据前五行的规律，可以知道第六行的数依次是：＿＿＿.

练习题参考答案：

1，C ；2，A ；3，B ；4，C ；5，B ；6，0；7，B ；8，D ；9，C ；10，A ；11，0；12，B ；13，A ；14，A ；15，A ；16，略；17，D ；18，C ；19，

658；20，B ；21，A ；22，376；23，823?? ???

（或0.039）；24，17.1；25，8；26，150；27，111111,,,,,.6306060306