高考数学母题题源系列专题12证明面面垂直与计算异面直线所成角理(含解析)

证明面面垂直与计算异面直线所成角
【母题来源】2015新课标1理-18
【母题原题】如图，，四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE=2DF，AE⊥EC.
（Ⅰ）证明：平面AEC⊥平面AFC
（Ⅱ）求直线AE与直线CF所成角的余弦值
【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）
3 3
【考点定位】本题考查空间垂直判定与性质、异面直线所成角的计算、空间想象能力、推理论证能力，是基础题.
【命题意图】本题考查线面垂直的判定、面面垂直的判定、异面直线所成角的计算，考查空间想象能力、推理论证能力及利用空间向量处理立体几何问题的运算求解能力.
【方法、技巧、规律】对空间面面垂直问题的证明有两种思路，思路1：几何法，先由线线垂直证明线面垂直，再由线面垂直证明面面垂直；思路2：利用向量法，通过计算两个平面的法向量，证明其法向量垂直，从而证明面面垂直；对异面直线所成角问题，也有两种思路，思路1：几何法，步骤为一找二作三证四解，一找就是先在图形中找有没有异面直线所成角，若没有，则通常做平行线或中位线作出异面直线所成角，再证明该角是异面直线所成角，利用解三角形解出该角；思路2：向量法，计算出两条异面直线的方向向量的夹角的余弦值，异面直线所成角的余弦值就是向量夹角余弦值的绝对值.
【探源、变式、扩展】高考对立体几何平行与垂直的考查是高考的热点和重点，可以考查线面垂直的判定
与性质、面面垂直的判定与性质，也可以考查线面平行的判定与性质、面面平行的判定与性质，解题思路有几何法和向量法两种.对空间角的考查重点考查异面直线所成角、线面角、二面角，思路也有两种，几何法与坐标法，几何法运算量小，但辅助线不易做，坐标法思路明晰，但运算量大，容易出错. 【变式】【2015届浙江省东阳市5月模拟】如图，已知AB ⊥平面,//,BEC AB CD 4AB BC ==,BEC ∆为等边三角形.
（1）若平面ABE ⊥平面ADE ，求CD 长度； （2）求直线AB 与平面ADE 所成角的取值范围． 【答案】（1）2；（2）0,
4π⎛⎤
⎥⎝⎦
．
1. 【2015届江苏省宿迁市一摸】如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，已知90BAC ∠=o ，1AB AC ==，13AA =，点E ，F 分别在棱1BB ，1CC 上，且111
3
C F C C =，1BE BB λ=，01λ<<．
（1）当1
3
λ=
时，求异面直线AE 与1A F 所成角的大小； （2）当直线1AA 与平面AEF 所成角的正弦值为229
时，求λ的值． 【答案】（1）60o （2）1
2
λ=
． 【解析】建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -．
2. 【2015届贵州省贵阳市上学期期末监测】如图，已知四棱锥ABCD P -中，⊥PA 平面ABCD ，
BC AD //，CD AD ⊥，且AC AB ⊥，2===PA AC AB ，E 是BC 的中点
.
（1）求异面直线AE 与PC 所成角；
（2）求二面角A PC D --的平面角的余弦值. 【答案】（1）ο
60；（2）
3
3
.
3cos ,3||||AB n AB n AB n ⋅<>==-⋅u u u r r
u u u r r u u u
r r ，即二面角A PC D --的平面角的余弦值为33
.
3. 【2015届湖南省益阳市高三四月调研考试理科数学试卷】
（本小题满分12分）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1=AB=2AD=2，E为AB的中点，F为D1E上的一点，D1F=2FE．
（Ⅰ）证明：平面DFC⊥平面1D EC；
（Ⅱ）求二面角A DF C
--的平面角的余弦值．
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）
1
2 -．
4. 【2015届海南省高三5月模拟】如图，直角梯形ABCD 与等腰直角三角形ABE 所在的平面互相垂直．AB ∥CD ，BC AB ⊥，BC CD AB 22==，EA EB ⊥．
（1）求证：AB DE
⊥；
（2）求直线EC与平面ABE所成角的正弦值；
（3）线段EA上是否存在点F，使EC// 平面FBD？若存在，求出EF
EA
；若不存在，说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）
3
3
；（3）
1
3
EF
EA
=
5. 【2015届江西省鹰潭市第一次模拟】在如图所示的几何体中，AE⊥平面ABC，CD∥AE，F是BE的
中点，AC BC =1=，90ACB ∠=︒，22AE CD ==．
（1）证明DF ⊥平面ABE ；
（2）求二面角A BD E --的余弦值的大小． 【答案】（1）证明如下；（2）
3
1
；
6. 【2015届天津市南开区一模】如图，在四棱锥P-ABCD 中， 四边形ABCD 是直角梯形，AB ⊥AD ，AB ∥CD ，PC ⊥底面ABCD ，AB=2AD=2CD=4，PC=2a ，E 是PB 的中点．
（Ⅰ）求证：平面EAC ⊥平面PBC ； （Ⅱ）若二面角P-AC-E 的余弦值为
3
6
，求直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值．
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）
3
2
．
7. 【2015届江西省吉安市一中第二次阶段考试】 如图，已知AB ⊥平面ACD ，DE ∥AB ，△ACD 是正三角形，
AD=DE=2AB ，且F 是CD 的中点。

（1）求证：AF∥平面BCE；
（2）求证：平面BCE⊥平面CDE；
（3）求平面BCE与平面ACD所成锐二面角的大小. 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）45°.
8. 【2015届陕西西北工业大学附中下学期四模】如图，三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，90BAC ∠=︒，2,6AB AC ==， 点D 在线段1BB 上，且11
3
BD BB =，1
1AC AC E =I ．
（Ⅰ）求证：直线DE 与平面ABC 不平行；
（Ⅱ）设平面1ADC 与平面ABC 所成的锐二面角为θ，若7
cos 7
θ=
，求1AA 的长； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设平面1ADC I 平面ABC l =，求直线l 与DE 所成的角的余弦值．
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）163AA =；（Ⅲ）
8
2
5 【解析】依题意，可建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，设1AA h =，则
9. 【2015届吉林省长春市质量监测三】如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，60DAB ∠=o ，PD ⊥平面ABCD ，1PD AD ==，点E ，F 分别为AB 和PD 中点．
（1）求证：直线//AF 平面PEC ；
（2）求PC 与平面PAB 所成角的正弦值． 【答案】（1）详见解析；（2）
42
14
．
10. 【2015届广东省深圳市第二次调研考试】如图，已知三棱锥O ABC -的三条侧棱OA ，OB ，OC 两两垂直，△ABC 为等边三角形， M 为△ABC 内部一点，点P 在OM 的延长线上，且PB PA =．
（1）证明：OB OA =；
（2）证明：平面⊥PAB 平面POC ； （3）若5PA OC =，6OP OC =
，求二面角B OA P --的余弦值．
【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）
5。