伽玛分布参数的极大似然估计数值解法
伽玛分布环境因子的极大似然估计和Bayes估计
伽玛分布环境因子的极大似然估计和Bayes估计胡莎莎;韦程东;邱燕【期刊名称】《广西师范学院学报（自然科学版）》【年(卷),期】2011(028)002【摘要】针对伽玛分布位置参数已知情形,给出了伽玛分布环境因子的极大似然估计,并给出了伽玛分布环境因子的Bayes估计.用Monte-Carlo法进行数值模拟,数值模拟结果表明伽玛分布环境因子的Bayes估计优于极大似然估计.%Given the known gamma distribution location parameters,environmental factor maximum likelihood estimation and environmental factor Bayes estimaion in gamma distribution are given.Monte-Carlo method is used to perform a numerical simulation whose results show that in gammadistribution,environmental factor Bayes estimation is superior to maximum lidelihood estimation.【总页数】4页(P25-28)【作者】胡莎莎;韦程东;邱燕【作者单位】广西师范学院数学科学学院,广西南宁530023;广西师范学院数学科学学院,广西南宁530023;广西师范学院数学科学学院,广西南宁530023【正文语种】中文【中图分类】O212.0【相关文献】1.类别归因比例的Bayes估计与极大似然估计比较 [J], 余小金;沈其君;陈启光2.伽玛分布参数的极大似然估计数值解法 [J], 黄华;宋艳萍;赵磊3.刻度平方误差损失下伽玛分布参数的Bayes估计 [J], 许俊美;宋立新;付天宇4.对数伽玛分布尺度参数的Bayes估计在LINEX与复合LINEX损失函数下的比较[J], 王成元;黄先玖5.损失函数对伽玛分布中参数Bayes估计的影响 [J], 王敏;刘群因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
数理统计5：指数分布的参数估计，Gamma分布，Gamma分布与其他分布的联系
数理统计5：指数分布的参数估计，Gamma 分布，Gamma 分布与其他分布的联系今天的主⾓是指数分布，由此导出Γ分布，同样，读者应尝试⼀边阅读，⼀边独⽴推导出本⽂的结论。
由于本系列为我独⾃完成的，缺少审阅，如果有任何错误，欢迎在评论区中指出，谢谢！⽬录Part 1：指数分布的参数估计指数分布是单参数分布族，总体X ∼E (λ)有时也记作Exp(λ)，此时的总体密度函数为f (x )=λe −λx I x >0.现寻找其充分统计量，样本联合密度函数为f (x )=λn exp−λn∑j =1xj I x 1>0⋯I x n >0=λn e −n λ¯xI x(1)>0,由因⼦分解定理，取g (¯x,λ)=λn e −n λ¯x,h (x )=I x (1)>0,可以得到¯X是λ的充分统计量。
但是指数分布的参数并⾮均值，⽽是均值的倒数，所以对¯X 也有E(¯X)=E(X )=1λ.注意，千万不要想当然地认为期望和⼀般的函数之间是可交换的，即⼀般来说E[f (X )]≠f [E(X )]，所以你不能认为¯X−1就是λ的⽆偏估计量。
每到此时，我就想举对数正态分布的例⼦：X ∼N (0,σ2)，求e X 的期望。
显然有E(e X )=∫∞−∞e x1√2πσ2exp −x 22σ2d x=∫∞−∞1√2πσ2exp −x 2−2σ2x 2σ2d x=eσ22∫∞−∞1√2πσ2exp −(x −σ2)22σ2d x=e σ22.最后⼀个等号处，积分是N (σ2,σ2)的密度函数全积分为1。
这说明E(e X )=eσ22≠1=e E(X ).同样，也能告诉我们股票的波动率越⼤，期望收益也越⼤。
但是，⽤¯X −1总是有⼀定道理的，⾄少在量级上保持了跟待估参数的⼀致性。
如果我们要进⾏⽆偏调整，则需要求出¯X 的具体密度。
伽马分布 分位数 最大似然估计量
伽马分布分位数最大似然估计量伽马分布是概率论和统计学中常用的概率分布之一，它具备很多广泛的应用。
在了解伽马分布的分位数和最大似然估计量之前，我们先来了解一下伽马分布的基本定义和性质。
伽马分布是一种连续概率分布，通常用于描述正向偏斜的数据。
它由两个参数Shape（形状参数）和Scale（尺度参数）来完全定义。
伽马分布的概率密度函数如下：f(x) = (1 / (Γ(α) * β^α)) * x^(α-1) * e^(-x/β)其中，x ≥ 0，α > 0，β > 0，而Γ(α)表示伽马函数，定义为Γ(α) = (α-1)！伽马分布的分位数表示概率分布的上、下α分位点，常用的有1%、5%、10%等。
分位数跟数据的位置测量有关，实际上就是将概率作为输入，得到对应的随机变量值作为输出。
根据定义可知，伽马分布的近似0.025分位对应的随机变量值为近似2.24087，而近似0.975分位对应的随机变量值为近似25.32892。
最大似然估计是一种常见的参数估计方法，它从给定的样本中寻找最有可能产生这些样本的模型参数。
下面我们来看一下伽马分布的最大似然估计量。
最大似然估计量需要通过已知的样本来计算概率密度函数。
对伽马分布而言，最大似然估计量可以通过对数似然函数来进行求解。
定义一组独立同分布随机变量X1，X2，...，Xn，其具有伽马概率密度函数f(x;α,β)，n个样本值为x1，x2，...，xn。
那么似然函数L(α,β)定义为：L(α,β) = ∏(1 / (Γ(α) * β^α)) * xi^(α-1) * e^(-xi/β)为了方便计算，通常转换为对数似然函数log(L(α,β))：log(L(α,β)) = ∑((α-1)*log(xi)-xi/β-α*log(β)-log(Γ(α)))最大似然估计的目标是寻找使log(L(α,β))最大化的参数值。
为了达到这个目标，我们需要求解对数似然方程中的两个未知数α和β的偏导数，并令其等于0。
伽马分布的含义和实例
伽马分布的含义和实例伽马分布（gamma distribution）是一种连续概率分布，由两个参数形成，分别称为形状参数（shape parameter）和尺度参数（scale parameter）。
伽马分布常用来描述随机事件的等待时间或持续时间，特别适用于对连续概率分布进行建模和分析。
伽马分布的概率密度函数为：f(x) = (x^(k-1) * e^(-x/θ))/(θ^k * Γ(k))其中，x是一个非负实数，k和θ是正实数，Γ(k)是伽马函数（gamma function）。
伽马函数的定义为：Γ(k) = ∫(0, ∞) t^(k-1) * e^(-t) dt伽马分布的期望和方差分别为：E(X) = k * θVar(X) = k * θ^2伽马分布具有以下特点：1. 伽马分布的取值范围为0到正无穷，因此适用于描述正数随机变量。
2. 当形状参数k为整数时，伽马分布可退化为指数分布。
3. 伽马分布可通过尺度参数θ的变化来调节分布的形状，尺度参数越小，概率密度函数越陡峭，尺度参数越大，概率密度函数越平坦。
4. 在统计学中，伽马分布常被用作强非零测定的假设检验。
下面举一个实例来说明伽马分布的应用：假设我们在某商店观察到每天进入商店的顾客数量，并希望对每天进店的顾客数量进行建模。
我们可以认为每天进店的顾客数量满足某种分布，比如伽马分布。
首先，我们需要通过观察数据来估计伽马分布的参数k和θ。
我们收集了一段时间内每天的进店顾客数量数据，假设得到了以下数据：{5, 3, 7, 4, 6, 5, 8}。
接下来，我们可以使用最大似然估计法来估计伽马分布的参数。
最大似然估计法的目标是找到最能解释观察数据的参数值。
具体地，我们希望找到一组参数值，使得数据出现的概率最大。
通过最大似然估计法，我们可以计算出参数的估计值。
假设得到了k的估计值为3.5，θ的估计值为1.5。
有了参数的估计值后，我们可以用伽马分布来描述每天进店的顾客数量。
伽马分布的参数估计
伽马分布的参数估计伽马分布是一种概率分布函数，常用于对一组正倾斜分布的随机变量进行建模。
伽马分布有两个参数：形状参数α和尺度参数β。
f(x)=(1/(β^α*Γ(α)))*x^(α-1)*e^(-x/β)其中，x为随机变量值，β>0，Γ(α)为伽玛函数，定义为Γ(α) = ∫[0,∞] t^(α-1) * e^(-t) dt。
对于伽马分布的参数估计，常用方法是最大似然估计法(MLE)和方法奇指数估计法(MME)。
下面对两种方法进行介绍。
1.最大似然估计法(MLE)：最大似然估计法是一种常用的参数估计方法，其思想是选择参数值，使得已观测到的数据出现的可能性最大。
在伽马分布中，我们需要最大化似然函数L(α,β)，即已观测到的数据集中的样本概率。
假设我们有n个样本x1, x2, ..., xn，那么其似然函数可以表示为：L(α, β) = Π[i=1,n] (f(xi))其中f(xi)为伽马分布的概率密度函数。
通常，我们对似然函数的对数取负数来求解最大值，即求解以下损失函数的最小值：J(α, β) = -∑[i=1,n] log(f(xi))通过最小化损失函数J(α, β)，我们可以得到最大似然估计值α_hat和β_hat，即输入样本的参数估计。
2.方法奇指数估计法(MME)：方法奇指数估计法是一种非参数估计方法，它不需要对概率分布进行假设，而是利用统计量的性质进行参数估计。
具体来说，在伽马分布中，我们可以使用样本均值和样本方差来估计形状参数α和尺度参数β。
首先，我们计算样本均值μ和样本方差σ^2：μ = (1/n)*∑[i=1,n] xiσ^2 = (1/n)*∑[i=1,n] (xi - μ)^2然后，我们根据以下公式估计参数α和β的值：α_hat = μ^2 / σ^2β_hat = σ^2 / μ通过以上方法，我们可以使用样本数据估计伽马分布的参数值。
需要注意的是，对于参数估计的可靠性，需要进行统计检验，如置信区间的计算或假设检验，以确定参数估计结果的显著性和置信度。
伽马分布的矩估计和最大似然估计
伽马分布的矩估计和最大似然估计下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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gamma分布的计算
gamma分布的计算Gamma分布是概率论与统计学中一种常见的连续概率分布，广泛应用于各个领域的数据建模和分析中。
本文将介绍Gamma分布的计算方法及其应用。
一、Gamma分布的定义Gamma分布是一种正数随机变量的概率分布，其概率密度函数为：f(x) = (1 / (Γ(α) * β^α)) * (x^(α-1)) * (e^(-x/β))其中，Γ(α)为Gamma函数，α和β为Gamma分布的参数。
二、Gamma分布的计算1. 概率密度函数计算根据Gamma分布的概率密度函数，可以通过给定的参数值，计算出给定点的概率密度。
例如，给定α=2和β=3，计算x=4处的概率密度为：f(4) = (1 / (Γ(2) * 3^2)) * (4^(2-1)) * (e^(-4/3))2. 累积分布函数计算累积分布函数（CDF）是指随机变量小于或等于某个给定值的概率。
对于Gamma分布，累积分布函数为：F(x) = ∫[0,x] (1 / (Γ(α) * β^α)) * (t^(α-1)) * (e^(-t/β)) dt通过计算CDF，可以得到给定点处的累积概率。
例如，给定α=2和β=3，计算x=4处的累积概率为：F(4) = ∫[0,4] (1 / (Γ(2) * 3^2)) * (t^(2-1)) * (e^(-t/3)) dt3. 分位数计算分位数是指某个概率下，随机变量取值的临界值。
对于Gamma分布，可以通过求解累积分布函数的逆函数来计算分位数。
例如，给定α=2和β=3，计算累积概率为0.5对应的分位数为：F^(-1)(0.5) = x4. 均值和方差计算Gamma分布的均值和方差可以通过参数计算得到。
均值为：μ = α* β方差为：σ^2 = α * β^2三、Gamma分布的应用Gamma分布在实际应用中具有广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：1. 生命科学领域Gamma分布常被用来对生命科学中的事件发生时间进行建模，例如细胞分裂时间、药物作用时间等。
数据拟合伽马分布
数据拟合伽马分布
伽马分布是一种常用的概率分布模型，它在很多领域都有广泛的应用。
在数据拟合中，我们可以使用伽马分布来拟合一组观测数据，以便更好地理解数据的分布特征。
伽马分布的形状由两个参数决定，一个是形状参数k，另一个是尺度参数θ。
形状参数k决定了分布的形状，而尺度参数θ决定了分布的尺度。
假设我们有一组数据，我们想要利用伽马分布来拟合这些数据。
首先，我们需要根据数据的分布特征选择合适的形状参数k和尺度参数θ。
一种常见的方法是使用最大似然估计来估计这两个参数。
然后，我们可以使用拟合的伽马分布来进行一些分析。
例如，我们可以计算出伽马分布的均值和方差，以了解数据的中心趋势和离散程度。
我们还可以使用伽马分布来进行预测，例如预测未来某个时间段内事件发生的概率。
除了拟合数据，伽马分布还有其他一些重要的应用。
例如，在可靠性工程中，伽马分布被广泛用于描述和分析故障发生的时间间隔。
在金融领域，伽马分布可以用于模拟股票价格的变动。
伽马分布是一种非常有用的概率分布模型，可以帮助我们更好地理解和分析数据的分布特征。
通过合适地选择参数，我们可以将伽马分布与实际观测数据拟合得很好，从而得到更准确的分析结果。
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Ｒ ｐ ｓｎＡｌ ｏ ｉ ｍ， Ａ）的思 想 ， ａ ｈ ｏ ｇ ｒｔ ｈ 利用 改 进 的
牛 顿 一 拉 夫 森 算 法 求 解 伽 玛 分 布 参 数 的 极 大 似
１∑ ｌ ∑ ） ｎ 一１－ ｘ
Ｖｏ ． ４ Ｎｏ ５ Ｉ２ ．
２ １ ０１
２ 极 大 似 然 方 程 组 的 数 值 解 法 ２ １ 改 进 的 牛 顿 一 拉 夫 森 算 法 ．
一
然估 计数 值 解 。
般 地 ， 不 同模 型 ， 同条 件 下 ， 大 似 然 在 不 极
根据样本， 计算出∑ ｚ ２１１ ５８， 一 ０１． ５４ ８
ｆ ｌａ Ｊ 厂 （ ，）一一 ｌ Ｏ ￣ ａ 一 １ ０ １ｉ ２ ２ ９ Ｏ０ （） ０ ０ｎ ＋ ７ １ ｌ
行 估 计 时 ， 似 然 方 程 组 没 有 解 析 解 。为 此 ， 据 牛 顿一 拉 夫 森 算 法 的 迭 代 原 理 ， 过 引入 一 个 修 该 根 通
正 因子 对 每 次迭 代 的结 果 予 以修 正 ， 以提 高其 迭 代 的 计 算精 度 ， 而将 改 进 的 牛 顿一 拉 夫 森 算 法 从
应 用 于求 解 似 然方 程 组 的数 值 解 。 最后 ， 出两个 数 值 模 拟 算 例 进 行 验 证 和 比较 。 给 关 键 词 ： 玛 分 布 ； 大似 然估 计 ； 顿一 拉 夫森 算 法 伽 极 牛 中 图分 类 号 ： ＴＫ８ １ 文献标识码 ： Ａ 文 章 编 号 ：０ ６ ３ ３ ２ １ ） ５ ０ ５ － ０ １ ０ —７ ５ （ ０ １ ０ － ０ ２ ３
然 估计 ， 则似 然 函数 为
程组 （ ） 有解 析解 ， ４ 没 但文 献Ｅ ］ 明 了伽玛 分布 １证 的似 然方 程必 然有 极大 似然解 。
收 稿 日期 ： ０ １ ０ ～ ０ ． ２１— ６ ８ 作 者 简 介 ： 华 （９ １ ）男 ， 家 族 ， 庆 秀 山人 ， 士 ， 师 ， 究 方 向 ： 息 融 合 及 其 应 用 ； 理 统 计 ． 黄 １８ 一 ， 土 重 硕 讲 研 信 数
堕
（ ３ ）
然 估计 数值解 。
１ 伽 玛 分 布 参 数 的 极 大 似 然 估 计
进一 步 ， 据 （ ）式 可 得 伽 玛 分 布 的似 然方 根 ３
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定义 若 随机 变量 Ｘ 的密 度 函数 为
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厂（ ， 一 ｚ；
专 ｅ’ ≥（ 程 为 。） 组 １
第 ２ 第 ５期 ４卷
２１ ０ １年 １ Ｏ月
高 等 函授 学 报 （ 自然 科 学 版 ）
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆＨ ｉｈ ｒＣｏ ｒ ｓ ０ ｄ ｎ ｅ Ｅｄ ｃ ｔ ｎ Ｎ ａ ｕ ａ ｃｅ ｃ ｓ ｏ ｒ ａ ｇ ｅ ｒｅ ｐ ｎ ｅ ｃ ｕ ａ ｉ （ ｔ ｒ ｌＳ ｉｎ ｅ ） ｏ ｏ
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设 Ｘ ”， 来 自总 体 的 样 本 ， 据 极 大 似 ｚ 是 根
其中，
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若 伽 玛 分 布 的 两 个 参 数 ａ 均 未 知 ， 然 方 ， 似
宋 艳 萍 （９ ２ ）女 ， 疆 乌 鲁 木 齐人 ， 士 ， 师 ， 究 方 向 ： 值 计 算 ； 阵 理 论 ． １８一 ， 新 硕 讲 研 数 矩
５ ２
Байду номын сангаас
第 ２ ４卷 第 ５期 Ｚ１ Ｏ １年 ｌ ０月
高等 函授学 报 （ 自然 科 学版 ）
Ｊ ｕ ｎ ｌｏ ｉｈ ｒｃｏ ｒ ｓ ｏ ｄ ｎ ｅ Ｅｄ ｃ ｔｏ Ｎａ ｕ ａ ｃｅ ｃ ｓ ｏ ｒ ａ ｆＨ ｇ ｅ ｒ ｅ ｐ ｎ ｅ ｃ ｕ ａｉｎ（ ｔ ｒ ｌＮ ｌｎ ｅ ）
在水 文 、 象 、 洋 等领 域 ， 玛 分布 的应 用 气 海 伽 极其广 泛 。 实际应 用 中 ， 常常 需要 估计 伽玛分 布 的
Ｌ， ， （… 一珥［ 南
ｉ（ ］ 一［ ＿ Ｖ ｏ。） ｔａ 一 Ⅱｚ 一ｅ ｚ∈Ｅ， ） ］ 锈 １ 。
（） ２
各个参 数 以作为工 程设 计 的依 据 ， 中极 大似 然 其
估 计 的数 值 解 法有 很 多 。 中 ， 顿 一 拉夫 森 算 其 牛
法是 一 种 收 敛 速 度 很 快 、 用 很 广 泛 的 迭 代 算 应
法 ［ 。 ０一 （ ，） 假 设 初 始 值 ０ ７记 ］ ａ ， ｏ＝ （。岛 ） ａ ， ，
∑ ｌ ７１ １ ４则 ｎ 一２ ． ５ ， 似然方 组为 ｘ ２２０ 程
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（） 一 ｌｆ＋ ｌ ： ｏ ｎ ｌ ｎ ＝ ：
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则称 ｘ 服从伽 玛分 布 ， 为 ｘ ～ Ｆ ａ 卢 。 记 （ ，） 其
中 ， 称 为形 状参 数 ， ａ ａ＞ ０ ｜称 为 尺 度 参 数 ， ； ９ ｌ 卢＞
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五 ＿ ｏ
估 计是 一 种 常 用 的 参 数 估 计 方 法Ｌ 。 １ 由于 伽 玛 ］ 分布 的密度 函数较 为复 杂 ， 伽 玛 分 布 进行 极 大 对
似然估计 时 ， 其对 应 的似然 方程组 没有 解析解 因
此 ，本 文 根 据 牛 顿 一 拉 夫 森 算 法 （ ｗｔｎ Ｎｅ ｏ
对 （ ） 两端取 对数 ， ２ 式 得对 数似 然 函数 为
Ｖ ｏ ． ４ Ｎｏ ５ １２ ．
２ １ Ｏ１
・
大 学教 学 ・
伽 玛 分 布 参 数 的极 大 似 然 估计 数值 解 法
黄 华 宋 艳 萍 赵 磊
（ 疆农业大学 数理学院 ， 鲁木齐 ８０５ ） 新 乌 ３ ０ ２
摘
要： 当伽 玛 分 布 的 形 状 参 数 和 住 置 参 数 均 未 知 时 ， 用 极 大似 然 法 对 伽 玛 分 布 的 参 数 进 利