SPSS第5章 总体分布、样本分布与参数估计(修改)解读
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SPSS讲义05总体参数的估计
• <b>求两个均值差m1-m2的点估计和 95%置信区间.利用软件很容易得到 下面结果：
§5.3 区间估计
• 两个总体均值估计量的样本均值分别 为170.56和165.60,样本标准差分别为 6.97857 和 7.55659 ； 还 得 到 均 值 的 置 信 区 间 分 别 是 <168.5767, 172.5433>,<163.4524, 167.7476>.
用计算机可以很容易地得到挂面重量的 样本均值、总体均值的置信区间等等. 下面是SPSS的输出：
Descriptives（ 描 述 统 计 量 ）
结果变量 统计量
weight
Mean（ 样 本 均 数 ）
统计 量值 449 .0104
标准 误差 .794 35
95% Confidence Interval for MLeoawner B ound（ 下 限 ） （ 总 体 均 数 的 95%可 信 区 间 ）
§5.4 关于置信区间的注意点
• 一个描述性例子：有10000个人回答的调查 显 示 , 同 意 某 观 点 人 的 比 例 为 70%〔 有 7000 人同意〕,可算出总体中同意该观点的比例 的95%置信区间为〔0.691,0.709〕；
• 另一个调查声称有70%的比例反对该种观点, 还说总体中反对该观点的置信区间也是 〔0.691,0.709〕.
§5.1 用估计量估计总体参数
• 点估计<point estimation>,即用估计 量的实现值来近似相应的总体参数.
• 区间估计<interval estimation>；它 是包括估计量在内〔有时是以估计量 为中心〕的一个区间；该区间被认为 很可能包含总体参数.
§5.3 区间估计
• 两个总体均值估计量的样本均值分别 为170.56和165.60,样本标准差分别为 6.97857 和 7.55659 ； 还 得 到 均 值 的 置 信 区 间 分 别 是 <168.5767, 172.5433>,<163.4524, 167.7476>.
用计算机可以很容易地得到挂面重量的 样本均值、总体均值的置信区间等等. 下面是SPSS的输出：
Descriptives（ 描 述 统 计 量 ）
结果变量 统计量
weight
Mean（ 样 本 均 数 ）
统计 量值 449 .0104
标准 误差 .794 35
95% Confidence Interval for MLeoawner B ound（ 下 限 ） （ 总 体 均 数 的 95%可 信 区 间 ）
§5.4 关于置信区间的注意点
• 一个描述性例子：有10000个人回答的调查 显 示 , 同 意 某 观 点 人 的 比 例 为 70%〔 有 7000 人同意〕,可算出总体中同意该观点的比例 的95%置信区间为〔0.691,0.709〕；
• 另一个调查声称有70%的比例反对该种观点, 还说总体中反对该观点的置信区间也是 〔0.691,0.709〕.
§5.1 用估计量估计总体参数
• 点估计<point estimation>,即用估计 量的实现值来近似相应的总体参数.
• 区间估计<interval estimation>；它 是包括估计量在内〔有时是以估计量 为中心〕的一个区间；该区间被认为 很可能包含总体参数.
第5章--抽样分布与参数估计教案资料
(5)
(5.5)
(6)
(6.5)
(7)
(7.5)
(8)
(8.5)
(9)
9
9,1
9,2
9,3
9,4
9,5
9,6
9,7
9,8
9,9
9,10
(5)
(5.5)
(6)
(6.5)
(7)
(7.5)
(8)
(8.5)
(9)
(9.5)
10
10,1
10,2
10,3
10,4
10,5
10,6
10,7
10,8
10,9
10,10
数是 ，标准差是 ，从这个总体中抽出一 个容量是 n 的样本，则样本平均数 X 也服从 正态分布，其平均数 E( X ) 仍为 ，其标准
差为 。 X 5-19
从正态分布的再生定理可以看出，只要总体 变量服从正态分布，则从中抽取的样本，不管n 是多少，样本平均数都服从正态分布。但是在 客观实际中，总体并非都是正态分布。对于从 非正态分布的总体中抽取的样本平均数的分布 问题，需要由中心极限定理来解决。
第5章--抽样分布与参数估计
第一节 抽样的基本概念与数学原理
一、有关抽样的基本概念 二、大数定理与中心极限定理
5-2
一、有关抽样的基本概念
（一）样本容量与样本个数 1.样本容量。样本是从总体中抽出的部分
单位的集合，这个集合的大小称为样本容量， 一般用n表示，它表明一个样本中所包含的单 位数。
lim
n
1 n
p
n
i 1
X
i
1
(5.5)
5-17
大数定理表明：尽管个别现象受偶然因 素影响，有各自不同的表现。但是，对总体 的大量观察后进行平均，就能使偶然因素的 影响相互抵消，消除由个别偶然因素引起的 极端性影响，从而使总体平均数稳定下来， 反映出事物变化的一般规律。
SPSS第5章 总体分布、样本分布与参数估计(修改)解读
X - 7 7.5 - 7 P( ) 2.2 2.2
X -7 令Y ，则： 2.2 P(Y 0.2273 )
其中Y ~ N (0,1),查表得 P(Y 0.2273 )?
标准正态分布表
φ ( - x ) = 1 –φ ( x )
x 0 0 0.500 0 0.01 0.504 0 0.02 0.508 0 0.03 0.512 0 0.04 0.516 0 0.05 0.519 9 0.06 0.523 9 0.07 0.527 9 0.08 0.531 9 0.09 0.535 9
X Y n
~ t(n )
其中，X ~ N(0，1)，Y ~2(n)分布，且X与Y相互独立。 密度函数为：
n 1 ) 2 n 1 x 2 fn(x ) (1 ) 2 n n (n / 2) x
(
t 分布图
3、F 分布
F
U m V n
~ F (m ,n )
样本(累积)分布函数Fn(x)是对总体的累积分布函数F(x)的近似， n越大, Fn(x)对F(x)的近似越好。
格利文科 ( Glivenko )定理
当样本容量 n 趋于无穷大时，Fn(x)以概率1(关于 x )均匀地收敛于F(x).
P(lim sup
n x
Fn ( x) F ( x) 0) 1
Z X
~N(0， 1) ~2(n-1) ~t(n -1)
n
( n 1) S 2
T
2
X S n
(6)
1
2 ( X ) ~2(n) i 2 i 1
n
定理：若X1，X2，· · · , Xn1 和Y1，Y2，· · · , Yn2 分别是正态总 体N(1， 12)和N(2， 22)的一个随机样本，且它们相互独立 ，则满足如下性质： (1)
X -7 令Y ，则： 2.2 P(Y 0.2273 )
其中Y ~ N (0,1),查表得 P(Y 0.2273 )?
标准正态分布表
φ ( - x ) = 1 –φ ( x )
x 0 0 0.500 0 0.01 0.504 0 0.02 0.508 0 0.03 0.512 0 0.04 0.516 0 0.05 0.519 9 0.06 0.523 9 0.07 0.527 9 0.08 0.531 9 0.09 0.535 9
X Y n
~ t(n )
其中，X ~ N(0，1)，Y ~2(n)分布，且X与Y相互独立。 密度函数为：
n 1 ) 2 n 1 x 2 fn(x ) (1 ) 2 n n (n / 2) x
(
t 分布图
3、F 分布
F
U m V n
~ F (m ,n )
样本(累积)分布函数Fn(x)是对总体的累积分布函数F(x)的近似， n越大, Fn(x)对F(x)的近似越好。
格利文科 ( Glivenko )定理
当样本容量 n 趋于无穷大时，Fn(x)以概率1(关于 x )均匀地收敛于F(x).
P(lim sup
n x
Fn ( x) F ( x) 0) 1
Z X
~N(0， 1) ~2(n-1) ~t(n -1)
n
( n 1) S 2
T
2
X S n
(6)
1
2 ( X ) ~2(n) i 2 i 1
n
定理：若X1，X2，· · · , Xn1 和Y1，Y2，· · · , Yn2 分别是正态总 体N(1， 12)和N(2， 22)的一个随机样本，且它们相互独立 ，则满足如下性质： (1)
第五章 总体分布样本分布与参数估计
对称， • h(t) 对称，t
1-α(n)
= - tα(n) ，
分布（ （3）F-分布（由两个卡方分布之比组成：） ） 分布 由两个卡方分布之比组成：）
设U~ χ2(n1), V~ χ2(n2) -分布，且U , V 相互独立，则称随机变量 分布， 相互独立， 分布
F=
U n1 V n2
为服从自由度为(n 分布， 为服从自由度为 1 , n2)的F-分布，记为 (n1 , n2)。 的 分布 记为F 。
x n +1 2 M d = 1 (xn + xn ) +1 2 2 2
均为顺序统计量。 均为顺序统计量。
n为奇数 n为偶数
（2）顺序统计量方法 ）
顺序统计量计算简单，不受极端值的影响。 顺序统计量计算简单，不受极端值的影响。在总 体为连续型且概率密度为对称的情形， 体为连续型且概率密度为对称的情形，常用中位数估 计总体均值，用极差的函数估计总体标准差。 计总体均值，用极差的函数估计总体标准差。 1 ˆ σ= R ˆ = Md µ
1 n ˆ ˆ σ = σ ( X 1 , X 2 , ⋯, X n ) = B2 = ( X i − X ) 2 = ( A2 − A12 ) ∑ n − 1 i =1
估计值分别为
ˆ µ = 1147
ˆ σ = 82.59
（2）顺序统计量方法 ） 设样本X 设样本 1, X2, …., Xn 的一组观测值 x1, x2, …., xn 已按照 升序排列， 升序排列， x1 ≤ x2 ≤ …. ≤ xn 个顺序统计量的观察值。 称 xk 是为样本第 k 个顺序统计量的观察值。 样本极差 R = xn - x1 ，样本中位数
（n − 1) S 2 (2) ~ χ 2 (n − 1) σ2
统计学中的样本分布与总体分布的关系
统计学中的样本分布与总体分布的关系统计学作为一门关于收集、分析和解释数据的学科，主要研究的是从一定的总体中选取样本，并通过对样本的统计分析得出总体的特征和规律。
在统计学中，样本分布与总体分布之间存在着密切的关系。
本文将探讨样本分布与总体分布之间的关系，从而更好地理解统计学中的重要概念。
一、什么是样本分布和总体分布在开始分析样本分布与总体分布的关系之前，我们需要明确这两个概念的含义。
1. 样本分布：样本分布是指从总体中选取的、具有一定规模的、代表性的样本数据的分布情况。
样本分布是对总体的一种估计，通过样本数据的统计量，如均值、方差等来描述样本的特征和变异程度。
2. 总体分布：总体分布是指包含了全部个体、观察值或测量值的分布情况。
总体分布是研究对象的全集，也是样本所在的基本框架。
总体分布是通过对全部数据的描述，如概率密度函数、频数分布等来表达总体的特征和形态。
二、样本分布与总体分布的关系在统计学中，样本分布与总体分布存在着紧密的关系，它们既有区别，又有联系。
具体表现在以下几个方面：1. 样本是总体的一部分：样本是从总体中抽取的部分数据，它们代表了总体的特征和规律。
在得到样本数据后，可以通过对样本的统计分析来推断总体的性质。
因此，样本分布与总体分布的性质和形态存在一定的关联。
2. 样本分布逼近总体分布：当样本容量增大时，样本分布的特征逐渐接近总体分布的特征。
这是由于大样本量的随机性逐渐减小，样本的均值、方差等统计量更能准确地反映总体的性质。
3. 样本分布与总体分布形态一致：在某些情况下，样本分布的形态与总体分布的形态一致。
例如，如果总体分布服从正态分布，那么当样本容量足够大时，样本分布也会趋近于正态分布。
这是由于中心极限定理的作用，即将多个独立同分布的随机变量之和的分布逼近于正态分布。
4. 样本分布可用于总体的推断：通过对样本的分析得到的统计量，如置信区间、假设检验等，可以进行对总体的推断。
样本的统计量通过与总体参数相比较，能够帮助我们判断总体的性质和规律。
spss讲稿5(1) SPSS参数检验和区间估计(一)
(2)指定检验值: 在test后的框中输入检验值
• 应用举例
人均住房面积的平均值是否为20平方米
注意书写步骤
6 - 34
第34页，共71页。
精品教材
统计学
SPSS单样本t检验
(3)option选项:
Missing values: 缺失值的处理(单样本检验时以下选项 没有差别) exclude cases analysis by analysis:当分析时 涉及到有缺失值变量时再剔除相应的个案
标准正态分布
t (df = 13)
t 分布
6
-
33
t
分布与标准正态分布的比较
X
t (df = 5)
不同自由度的t分布
Z
t
第33页，共71页。
精品教材
统计学
SPSS单样本t检验
• 含义：检验某变量的总体均值与指定的检验值之间是否存 在显著差异。例如：人均住房面积的平均值是否为20平方米
• 基本操作步骤 (1)菜单选项:Analyze->compare means->one-samples T test
6 - 26
临界值 H0值 临界值 样本统计量
第26页，共71页。
精品教材
统计学
假设检验的基本问题
/ 2 拒绝
1/2 P 值
/ 2 拒绝
1/2 P 值
临界值 H0值 临界值
Z
计算出的样本统计量
计算出的样本统计量
6 - 27
第27页，共71页。
精品教材
统计学
假设检验的基本问题
• 假设检验的基本步骤：作出统计决策
x
n
当样本容量足够 大时(n 30) ， 样本均值的抽样 分布逐渐趋于正 态分布
• 应用举例
人均住房面积的平均值是否为20平方米
注意书写步骤
6 - 34
第34页，共71页。
精品教材
统计学
SPSS单样本t检验
(3)option选项:
Missing values: 缺失值的处理(单样本检验时以下选项 没有差别) exclude cases analysis by analysis:当分析时 涉及到有缺失值变量时再剔除相应的个案
标准正态分布
t (df = 13)
t 分布
6
-
33
t
分布与标准正态分布的比较
X
t (df = 5)
不同自由度的t分布
Z
t
第33页，共71页。
精品教材
统计学
SPSS单样本t检验
• 含义：检验某变量的总体均值与指定的检验值之间是否存 在显著差异。例如：人均住房面积的平均值是否为20平方米
• 基本操作步骤 (1)菜单选项:Analyze->compare means->one-samples T test
6 - 26
临界值 H0值 临界值 样本统计量
第26页，共71页。
精品教材
统计学
假设检验的基本问题
/ 2 拒绝
1/2 P 值
/ 2 拒绝
1/2 P 值
临界值 H0值 临界值
Z
计算出的样本统计量
计算出的样本统计量
6 - 27
第27页，共71页。
精品教材
统计学
假设检验的基本问题
• 假设检验的基本步骤：作出统计决策
x
n
当样本容量足够 大时(n 30) ， 样本均值的抽样 分布逐渐趋于正 态分布
第5章-SPSS基本统计分析说课讲解
5.单击Cells指定列联表单元格中的输出内 容；
6.单击Format指定列联表各单元的输出排 列顺序；
7.单击Statistics指定用哪种方法分析行变 量和列变量的关系。
5.5 多选项分析
一、什么是多选项问题 二、分析多选项问题的一般方案 三、多选项分析处理多选项问题
一、什么是多选项问题
③Charts 统计图形
④Format 设置频数表输出格式。
● Multiple variables 多变量栏 •Compare variables，将所有变量结果在一个图形z 中输出 •Organize output by variables ，为每一个变量单独 输出一个图形。
Statistics
variables/File is already sorted。
四、分组计算描述统计量
5.2 变量的频数分析
一、变量频数的描述方法 利用变量的频数分布分析可以方便
的对数据按组进行归类整理，形成各观 测量的不同水平（分组）的频数分布情 况表和图形，以便对数值的数量特征和 内部结构状况有一个概括的认识。
7
11.00
12.00
13.00
16.00
5.4 交叉分组下的频数分析
一、交叉分组下的频数分析
1.主要任务： （1）编制交叉列联表
（2）变量间进行相关性分析
一、交叉分组下的频数分析
1. 交叉列联表 两个或两个以上的变量交叉分组后形成的
列联表。 行变量(Row)：表1、2中 职称 列变量(Column)：表1、2中文化程度 层变量(Layer)：表2中性别
5.3 变量的频数分析
1.频数、百分比 有效百分比：各频数占总有效样本数之比 累计百分比：各百分比逐级累加结果。 2.分位数 4分位数（Quartiles） 3.统计图形 条形图、饼图、直方图
6.单击Format指定列联表各单元的输出排 列顺序；
7.单击Statistics指定用哪种方法分析行变 量和列变量的关系。
5.5 多选项分析
一、什么是多选项问题 二、分析多选项问题的一般方案 三、多选项分析处理多选项问题
一、什么是多选项问题
③Charts 统计图形
④Format 设置频数表输出格式。
● Multiple variables 多变量栏 •Compare variables，将所有变量结果在一个图形z 中输出 •Organize output by variables ，为每一个变量单独 输出一个图形。
Statistics
variables/File is already sorted。
四、分组计算描述统计量
5.2 变量的频数分析
一、变量频数的描述方法 利用变量的频数分布分析可以方便
的对数据按组进行归类整理，形成各观 测量的不同水平（分组）的频数分布情 况表和图形，以便对数值的数量特征和 内部结构状况有一个概括的认识。
7
11.00
12.00
13.00
16.00
5.4 交叉分组下的频数分析
一、交叉分组下的频数分析
1.主要任务： （1）编制交叉列联表
（2）变量间进行相关性分析
一、交叉分组下的频数分析
1. 交叉列联表 两个或两个以上的变量交叉分组后形成的
列联表。 行变量(Row)：表1、2中 职称 列变量(Column)：表1、2中文化程度 层变量(Layer)：表2中性别
5.3 变量的频数分析
1.频数、百分比 有效百分比：各频数占总有效样本数之比 累计百分比：各百分比逐级累加结果。 2.分位数 4分位数（Quartiles） 3.统计图形 条形图、饼图、直方图
统计学第5章 总体分布、样本分布
T X Y n
其中X ~ N(0,1), Y ~ 2(n), 且X与Y相互独立。
0.45 0.4 0.35 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 -3.5 -1.5 0.5 n=5 2.5 n=20 n=120
t分布的均值为0，方差为n/(n-2)。
3. F分布
F分布变量是由两个2变量之比组成的：
5.1.4 格利文科(Glivenko)定理 （样本分布与总体分布的关系）
格利文科定理：当n趋于无穷大时，Fn(x)依概率1 （关于x）均匀地收敛于总体分布F(x).
格利文科定理的数学表达如下：
P(lim
n x
sup
Fn ( x) F ( x) 0) 1
这表明当n充分大时，样本分布Fn(x)是总体分布F(x) 的一个良好近似。 格利文科定理是用样本特征推断总体特征的依据。
2 2
e
正态分布是一种最常见的分布。通常如果一个随机 变量只受到大量小的独立因素的影响，则它服从正 态分布。
正态分布有许多特点： 例如它是对称的。 正态变量大约有68%的可 能性在离均值一个标准 差的范围内取值； 大约有95%的可能性在离 均值1.96倍标准差的范 围内取值。 几乎不在离均值3倍标准 差以外的地方取值。
s
2
1 n 1
( xi x )
i 1
n
2
5.1.5 随机样本的均值函数
对于随机样本X1, X2, … , Xn, 定义样本的均值函数 （简称为样本均值）为
X
1
X n
i 1
n
n
i
由于式中Xi是随机样本（随机变量），因此作为 随机样本函数的 X 是随机变量 比较样本数据的均值
其中X ~ N(0,1), Y ~ 2(n), 且X与Y相互独立。
0.45 0.4 0.35 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 -3.5 -1.5 0.5 n=5 2.5 n=20 n=120
t分布的均值为0，方差为n/(n-2)。
3. F分布
F分布变量是由两个2变量之比组成的：
5.1.4 格利文科(Glivenko)定理 （样本分布与总体分布的关系）
格利文科定理：当n趋于无穷大时，Fn(x)依概率1 （关于x）均匀地收敛于总体分布F(x).
格利文科定理的数学表达如下：
P(lim
n x
sup
Fn ( x) F ( x) 0) 1
这表明当n充分大时，样本分布Fn(x)是总体分布F(x) 的一个良好近似。 格利文科定理是用样本特征推断总体特征的依据。
2 2
e
正态分布是一种最常见的分布。通常如果一个随机 变量只受到大量小的独立因素的影响，则它服从正 态分布。
正态分布有许多特点： 例如它是对称的。 正态变量大约有68%的可 能性在离均值一个标准 差的范围内取值； 大约有95%的可能性在离 均值1.96倍标准差的范 围内取值。 几乎不在离均值3倍标准 差以外的地方取值。
s
2
1 n 1
( xi x )
i 1
n
2
5.1.5 随机样本的均值函数
对于随机样本X1, X2, … , Xn, 定义样本的均值函数 （简称为样本均值）为
X
1
X n
i 1
n
n
i
由于式中Xi是随机样本（随机变量），因此作为 随机样本函数的 X 是随机变量 比较样本数据的均值
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思考：请举出总体均值和总体方差的合适估计量。
§ 5.2 统计量与统计量的分布
一、统计量的定义
统计量：统计量是不含未知参数的，随机样本X1，X2，· · · , Xn的函数。 统计量的值: 统计量的值是不含未知参数的, 样本观测值x1， x2，· · · ，xn的函数.
二、几个重要统计量分布：2、t 与 F分布 1、 2(n)分布
第五章 总体分布、 样本分布与参数估计
§ 5.1 总体分布与样本分布
一、总体与总体分布 总体：反映总体特征的随机变量的取值的全体。 总体分布：反映总体特征的随机变量的概率分布。 二、随机样本与样本观测值 1、随机样本
表征n次抽取个体的随机抽样的一组随机变量X1，X2，· · · ， Xn 。
2、样本观测值(样本数据)
频率
频率 累积
%
接收
3、样本(累积)分布函数
设样本观测值x1 x2 ,· · · , xn，ki为小于xi+1的样本值出现的累积频 次， n为样本容量，则可得样本累积频率分布函数如下：
0 当x x1 Fn ( x ) k i / n 当xi x xi 1 1 当x n x
重要性质：
1 F1 (m, n) F (n, m)
三、由一般正态分布的随机样本所构成的若干重要统计量的分布
定理：若X1，X2，· · · , Xn 是正态总体N(， 2)的一个随机样本， 则： (1) X ~N(， 2 / n)
(2) X 与 S2 相互独立。
(3) (4) (5)
频率 累积 %
Q：若有放回地抽取2次，请画出两次均值的分布图。
频率
有放回(with replacement)抽样
10 5 {10,10} 10 {5,10} 7.5 {8,10} 9 {7,10} 8.5 {10,10} 10 {10,5 } 7.5 {5,5} 5 {8,5} 6.5 {7,5} 6 {10,5} 7.5 8 {10,8} 9 {5,8} 6.5 {8,8} 7 {10,7} 8.5 {5,7} 6 8 7 10 10 {10,10} 10 {5,10} 7.5 {8,10} 9 {7,10} 8.5 {10,10} 10
X Y n
~ t(n )
其中，X ~ N(0，1)，Y ~2(n)分布，且X与Y相互独立。 密度函数为：
n 1 ) 2 n 1 x 2 fn(x ) (1 ) 2 n n (n / 2) x
(
t 分布图
3、F 分布
F
U m V n
~ F (m ,n )
样本(累积)分布函数Fn(x)是对总体的累积分布函数F(x)的近似， n越大, Fn(x)对F(x)的近似越好。
格利文科 ( Glivenko )定理
当样本容量 n 趋于无穷大时，Fn(x)以概率1(关于 x )均匀地收敛于F(x).
P(lim sup
n x
Fn ( x) F ( x) 0) 1
( X Y ) ( 1 2 )
2 1
n1
2 2
~N(0，1)
n1n2 (n1 n2 2) ~t(n1+n2 - 2)，( 1 = 2 ) n1 n2
n2
(2) T
( X Y ) ( 1 2 ) (n1 1) S12 (n2 1) S 22
m=100，n=20
m=15，n=20
其中，U ~2(m)，V ~2(n) ， 且U与V相互独立。 密度函数形式为：
mn ( ) m mn 1 m m m 2 ( )( x) 2 (1 x) 2 , x 0 f ( x) n (m / 2)(n / 2) n n x0 0
{X i , X j }
X
10 5
8
{7,8} 7.5 {10,8} 9
{8,7} 7.5 {7,7} 7 {10,7} 8.5
一个样本统计量的概率分布被称为该统计量的抽样分布
样本均值抽样分布 直方图
10 150.00% 100.00% 5 50.00% 0 6 7 8 9 10 其他 0.00%
Z X
~N(0， 1) ~2(n-1) ~t(n -1)
n
( n 1) S 2
T
2
X S n
(6)
1
2 ( X ) ~2(n) i 2 i 1
n
定理：若X1，X2，· · · , Xn1 和Y1，Y2，· · · , Yn2 分别是正态总 体N(1， 12)和N(2， 22)的一个随机样本，且它们相互独立 ，则满足如下性质： (1)
(3)
2 2 S1 1 F 2 ~F(n1-1，n2-1) 2 S2 2
(4)
n2
2 2
2 ( X ) i 1 i 1 n2
n1
n1 12 (Yi 2 ) 2
i 1
n x 1 1 2 2 x e ,x 0 n n f n ( x) 2 2 ( ) 2 ,x 0 0
其中，n为自由度。(n/2)为珈玛函数，是一个含参数n/2的 积分，为：
(n / 2)
n t 1 2 2
t
0
e dt
2、t 分布
T
n次随机抽样的结果：x1，x2，· · · ，xn (称为随机样本X1，X2，· · · ， Xn 的样本观测值)。
n称为随机样本向量( X1，X2，· · · ， Xn )的维度，即自由度。
样本均值的抽样分布
一个总体10，5，8，7，10
直方图 3 2 1 0 5 7 9 11 其他 接收 150.00% 100.00% 50.00% 0.00%
设随机变量 X ~N(0，1) ， X1，X2，· · · , Xn为 X 样本，则 2 = X2i= X21 + X22 + · · · X2n ~ 2 (n) 2 (n)分布的均值 E(2)= n，方差 D( 2 )= 2n。 n=1
n=4
n=10 2(n)分布图
2(n)密度函数：