北京高考数学第8和14题压轴题汇编与答案
1．如图，正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为 棱1DD ，AB 上的点. 已知下列判断：①1AC ^平面1B EF ；②1B EF D 在侧面11BCC B 上 的正投影是面积为定值的三角形；③在平面1111A B C D 内总存在与平面1B EF 平行的直线；④平面1B EF 与平面ABCD 所成的二面角（锐角）的大小与点E 的位置有关，与点F 的位 置无关. 其中正确判断的个数有（A ）1个 （B ）2个（C ）3个 （D ）4个（B ） 2.如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是棱DD 1的中点,F 是侧面CDD 1C 1上的动点，且B 1F//面A 1BE ，则B 1F 与平面CDD 1C 1 所成角的正切值构成的集合是 CA. {}2B.C.{|22}t t ≤≤D. {|2}t t ≤≤3. 如图，四面体OABC 的三条棱OC OB OA ,,两两垂直，2==OB OA ,3=OC ，D 为四面体OABC 外一点.给出下列命题.①不存在点D ,使四面体ABCD 有三个面是直角三角形 ②不存在点D ,使四面体ABCD 是正三棱锥 ③存在点D ,使CD 与AB 垂直并且相等④存在无数个点D ,使点O 在四面体ABCD 的外接球面上 其中真命题的序号是D（A ）①② （B ）②③ （C ）③ （D ）③④ 4. 在一个正方体1111ABCD A B C D -中，P 为正方形1111A B C D 四边上的动点，O 为底面正方形ABCD 的中心，,M N 分别为,AB BC 中点，点Q 为平面ABCD 内一点，线段1D Q 与OP 互相平分，则满足MQ MN λ=的实数λ的值有 CA. 0个B. 1个C. 2个D. 3个5.空间点到平面的距离定义如下：过空间一点作平面的垂线，这点和垂足之间的距离叫做ABCDE1A 1D 1B1C OABDCA 1D 1A 1C 1B DCB OPN MQM BA图1 图2 图3这个点到这个平面的距离．平面α，β，γ两两互相垂直，点A∈α，点A到平面β，γ的距离都是3，点P是α上的动点，且满足P到β的距离是P到点A距离的2倍，则点P到平面γ的距离的最大值是C（A）3（B）3（C）3+（D）66.已知函数)(xf的定义域为R，若存在常数0>m，对任意x∈R，有|()|||f x m x<，则称)(xf为F函数．给出下列函数：①2)(xxf=；②xxxf c o ss in)(+=；③1)(2++=xxxxf；④)(xf是定义在R上的奇函数，且满足对一切实数21,xx均有21212)()(xxxfxf-≤-．其中是F函数的序号为 C（A）②④（B）①③（C）③④（D）①②7.定义区间(,)a b，[,)a b，(,]a b，[,]a b的长度均为db a=-，多个区间并集的长度为各区间长度之和，例如, (1, 2)[3, 5)的长度(21)(53)3d=-+-=. 用[]x表示不超过x的最大整数，记{}[]x x x=-，其中x∈R. 设()[]{}f x x x=⋅，()1g x x=-，若用123,,d d d分别表示不等式()()f xg x>，方程()()f xg x=，不等式()()f xg x<解集区间的长度，则当02011x≤≤时，有 B（A）1231,2,2008d d d===（B）1231,1,2009d d d===（C）1233,5,2003d d d===（D）1232,3,2006d d d===8. 下图展示了一个由区间(0,1)到实数集R的映射过程：区间(0,1)中的实数m对应数轴上的点M（如图1）；将线段AB围成一个圆，使两端点A、B恰好重合（从A到B是逆时针，如图2）；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y轴上，点A的坐标为(0,1)（如图3），图3中直线AM与x轴交于点(),0N n，则m的象就是n，记作()f m n=．则下列命题中正确的是（）CA ．114f ⎛⎫=⎪⎝⎭B ．()f x 是奇函数C ．()f x 在其定义域上单调递增D ．()f x 的图象关于y 轴对称 9. 用max{}a b ，表示a ，b两个数中的最大数，设2()max{f x x =1()4x ≥，那么由函数()y f x =的图象、x 轴、直线14x =和直线2x =所围成的封闭图形的面积是A A ．3512 B ．5924 C ．578D ．911210. 对于定义域和值域均为[0，1]的函数f (x )，定义1()()f x f x =，21()(())f x f f x =，…，1()(())n n f x f f x -=，n =1，2，3，…．满足()n f x x =的点x ∈[0，1]称为f 的n 阶周期点．设12,0,2()122,1,2x x f x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩ 则f 的n 阶周期点的个数是C (A) 2n(B) 2(2n -1)(C) 2n(D) 2n 211. 定义在R 上的函数)(x f 满足1)4(=f ，()f x '为)(x f 的导函数，已知)('x f y =的图象如图所示，若两个正数a ，b 满足1)2(<+b a f ，则11++a b 的取值范围是（ C ）12.对于函数①1()45f x x x=+-，②21()l o g ()2f x x =-，③x，判断如下两个命题的真假：命题甲：()f x 在区间(1,2)上是增函数；命题乙：()f x 在区间(0,)+∞上恰有两个零点12,x x ，且121x x <.能使命题甲、乙均为真的函数的序号是D（A ）① （B ）② （C ）①③ （D ）①②13. 已知函数2()2f x x x =-，()2g x ax =+(a >0)，若1[1,2]x ∀∈-，2[1,2]x ∃∈-，使得f (x 1)= g (x 2)，则实数a 的取值范围是 DA ．)31,51(B ．1(,)(5,)3-∞+∞C ．)5,31(D ．)3,(-∞(A) 1(0,]2(B) 1[,3]2(C) (0,3] (D) [3,)+∞14.已知函数21,0,()log ,0,x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩则函数1)]([+=x f f y 的零点个数是 A（A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）115. 已知点P 是ABC ∆的中位线EF 上任意一点，且//EF BC ，实数x ，y 满足PA xPB yPC ++=0．设ABC ∆，PBC ∆，PCA ∆，PAB ∆的面积分别为S ，1S ，2S ，3S ， 记11S S λ=，22SS λ=，33S Sλ=．则23λλ⋅取最大值时，2x y +的值为 A（A ）32 （B ）12（C ） 1 （D ）2 16. 已知抛物线M ：24y x =，圆N ：222)1(r y x =+-（其中r 为常数，0>r ）.过点（1，0）的直线l 交圆N 于C 、D 两点，交抛物线M 于A 、B 两点，且满足BD AC =的直线l 只有三条的必要条件是 DA ．(0,1]r ∈B ．(1,2]r ∈C ．3(,4)2r ∈ D ．3[,)2r ∈+∞ 17. 设点(1,0)A ，(2,1)B ，如果直线1ax by +=与线段AB 有一个公共点，那么22a b +（A ）（A ）最小值为15（B）最小值为5（C ）最大值为15（D18. 已知数列*{} ()n a n ÎN 满足：*1log (2) ()n n a n n N +=+∈，定义使123......k a a a a ⋅⋅⋅⋅为整数的数*()k k N ∈叫做企盼数，则区间[1, 2011]内所有的企盼数的和为 . 2026 19. 在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点.定义()11,P x y 、()22,Q x y 两点之间的“直角距离”为1212(,)d P Q x x y y =-+-.若点()1,3A -，则(,)d A O = ；已知点()1,0B ，点M 是直线30(0)kx y k k -++=>上的动点，(,)d B M 的最小值为 . 4 32 (1)2 3 (01)k kk k ⎧+≥⎪⎨⎪+<<⎩20. 在平面直角坐标系中，定义1212(,)d P Q x x y y =-+-为两点11(,)P x y ,22(,)Q x y 之间的“折线距离”. 则坐标原点O与直线20x y +-=上一点的“折线距离”的最小值是____；圆221x y +=上一点与直线20x y +-=上一点的“折线距离”的最小值是____.，25 21. 已知函数2)1ln()(x x a x f -+=，在区间)1,0(内任取两个实数,p q ，且q p ≠，不等式1)1()1(>-+-+qp q f p f 恒成立，则实数a 的取值范围是 ．[15,)+∞22. 定义方程()()f x f x '=的实数根x 0叫做函数()f x 的“新驻点”，如果函数()g x x =，()ln(1)h x x =+，()cos x x ϕ=（()x π∈π2，）的“新驻点”分别为α，β，γ，那么α，β，γ的大小关系是 ．γ>α>β23．将全体正奇数排成一个三角形数阵： 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 ……按照以上排列的规律，第n 行（n ≥3）从左向右的第3个数为 ．24.已知函数399)(+=x x x f ，则(0)(1)f f += ，若112()()k S f f k k-=+31()()(2,k f f k k kk-+++≥∈Z)，则1k S -= （用含有k 的代数式表示）．1，12k - 25.已知数列{}n a 的各项均为正整数，对于⋅⋅⋅=,3,2,1n ，有1135,2n n n nn n k k a a a a a a +++⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数.其中为使为奇数的正整数，, 当111a =时，100a =______；若存在*m ∈N ，当n m >且n a 为奇数时，n a 恒为常数p ，则p 的值为______.62；1或526.已知数列{}n a ，满足：123451,2,3,4,5a a a a a =====，且当5n ≥时，1121n n a a a a +=-，若数列{}n b 满足对任意*n ∈N ，有2221212n n n b a a a a a a =----，则5b = ；当5n ≥时，=n b ．65 n -7027．数列{}n a 满足11a =，11n n n a a n λ+-=+，其中λ∈R ， 12n =，，．①当0λ=时，20a =_____；②若存在正整数m ，当n m >时总有0n a <，则λ的取值范围是_____.120；(21,2),k k k -∈*N 28．函数)0(2>=x x y 的图象在点2(,)n n a a 处的切线与x 轴交点的横坐标为1n a +，n N *∈，若161=a ，则=+53a a ，数列{}n a 的通项公式为 ．5， 52n - 29.对任意x ∈R ，函数()f x 满足1(1()]2f xx ++，设)()]([2n f n f a n -=，数列}{n a 的前15项的和为3116-，则(15)f = ．3430. 如图，线段AB =8，点C 在线段AB 上，且AC =2，P 为线段CB 上一动点，点A 绕点C 旋转后与点B 绕点P 旋转后重合于点D .设CP =x ， △CPD 的面积为()f x .则()f x 的定义域为 ； '()f x 的零点是 . (2,4); 331.已知函数sin ()x f x x=（1）判断下列三个命题的真假：①()f x 是偶函数；②()1f x < ；③当32x π=时，()f x 取得极小值. 其中真命题有____________________；（写出所有真命题的序号） （2）满足()()666n n f f πππ<+的正整数n 的最小值为___________.①② , 9 32．如图所示，∠AOB =1rad ，点A l ，A 2，…在OA 上，点B 1，B 2，…在OB 上，其中的每一个实线段和虚线段的长均为1个长度单位，一个动点M 从O 点出发，沿着实线段和以O 为圆心的圆弧匀速运动，速度为l 长度单位／秒，则质点M 到达A 3点处所需要的时间为__ACP BD秒，质点M 到达A n 点处所需要的时间为__秒．6，(1),2(3),2n n n n a n n n +⎧⎪⎪=⎨+⎪⎪⎩为奇数，为偶数.33．已知函数2()(1)1f x ax b x b =+++-，且(0, 3)a ∈，则对于任意 的b ∈R ，函数()()F x f x x =-总有两个不同的零点的概率是 .1334. 对于各数互不相等的整数数组),,,,(321n i i i i (n 是不小于3的正整数)，对于任意的,{1,2,3,,}p q n ∈，当q p <时有q p i i >，则称p i ，q i 是该数组的一个“逆序”，一个数组中所有“逆序”的个数称为该数组的“逆序数”，则数组（2，4，3，1）中的逆序数等于 ；若数组123(,,,,)n i i i i 中的逆序数为n ，则数组11(,,,)n n i i i -中的逆序数为 .4；232n n -35. 已知集合},,,{21n a a a A =中的元素都是正整数，且n a a a <<< 21，对任意的,,A y x ∈且x y ≠，有25xyy x ≥-． （Ⅰ）求证：251111-≥-n a a n ； （Ⅱ）求证：9≤n ；（Ⅲ）对于9=n ，试给出一个满足条件的集合A ． (Ⅰ) 证明：依题意有)1,,2,1(2511-=≥-++n i a a a a i i i i ，又n a a a <<< 21， 因此)1,,2,1(2511-=≥-++n i a a a a i i i i ． OA 1A 2 A 3 A 4B 1 B 2 B 3 B 4 AB可得)1,,2,1(251111-=≥-+n i a a i i ． 所以12231111111111125i i n n n a a a a a a a a +---+-+-++-≥． 即251111-≥-n a a n ． …………………4分 （Ⅱ）证明：由(Ⅰ)可得25111->n a ． 又11≥a ，可得2511->n ，因此26<n ． 同理2511i n a a n i -≥-，可知251i n a i ->． 又i a i ≥，可得251in i ->， 所以)1,,2,1(25)(-=<-n i i n i 均成立． 当10≥n 时，取5=i ，则25)5(5)(≥-=-n i n i ， 可知10<n ．又当9≤n 时，25)2()2()(22<=-+≤-ni n i i n i ． 所以9≤n ． …………………9分（Ⅲ）解：对于任意n j i ≤<≤1，j i i a a a ≤<+1，由)1,,2,1(251111-=≥-+n i a a i i 可知， 25111111≥-≥-+i i j i a a a a ，即25j i j i a a a a ≥-． 因此，只需对n i <≤1，251111≥-+i i a a 成立即可． 因为251211≥-；2513121≥-；2514131≥-；2515141≥-， 因此可设11=a ；22=a ；33=a ；44=a ；55=a ． 由2511165≥-a a ，可得4256≥a ，取76=a ． 由2511176≥-a a ，可得181757≥a ，取107=a ．由2511187≥-a a ，可得3508≥a ，取208=a ． 由2511198≥-a a ，可得1009≥a ，取1009=a ． 所以满足条件的一个集合{}100,20,10,7,5,4,3,2,1=A ．……………14分 36. 已知集合{}1,2,3,,2A n =*()n N ∈.对于A 的一个子集S ，若存在不大于n 的正整数m ，使得对于S 中的任意一对元素12,s s ，都有12s s m -≠，则称S 具有性质P.（Ⅰ）当10n =时，试判断集合{}9B x A x =∈>和{}*31,C x A x k k N =∈=-∈是否具有性质P ？并说明理由.（Ⅱ）若1000n =时① 若集合S 具有性质P ，那么集合{}2001T x x S =-∈是否一定具有性质P ？并说明理由；②若集合S 具有性质P ，求集合S 中元素个数的最大值． 解：（Ⅰ）当10n =时，集合{}1,2,3,,19,20A =,{}{}910,11,12,,19,20B x A x =∈>=不具有性质P ．...................................1分 因为对任意不大于10的正整数m ，都可以找到该集合中两个元素110b =与210b m =+，使得12b b m -=成立．...............2分 集合{}*31,C x A x k k N =∈=-∈具有性质P ． ................................................3分 因为可取110m =<，对于该集合中任意一对元素112231,31c k c k =-=-，*12,k k N ∈ 都有121231c c k k -=-≠． .....................................................................4分 （Ⅱ）当1000n =时，则{}1,2,3,,1999,2000A =①若集合S 具有性质P ，那么集合{}2001T x x S =-∈一定具有性质P ．...................5分 首先因为{}2001T x x S =-∈，任取02001,t x T =-∈ 其中0x S ∈， 因为S A ⊆，所以0{1,2,3,...,2000}x ∈，从而0120012000x ≤-≤，即,t A ∈所以T A ⊆. ...........................6分 由S 具有性质P ，可知存在不大于1000的正整数m ， 使得对S 中的任意一对元素12,s s ，都有12s s m -≠． 对于上述正整数m ，从集合{}2001T x x S =-∈中任取一对元素11222001,2001t x t x =-=-，其中12,x x S ∈， 则有1212t t x x m -=-≠,所以集合{}2001T x x S =-∈具有性质P ． .............................8分 ②设集合S 有k 个元素．由第①问知，若集合S 具有性质P ，那么集合{}2001T x x S =-∈一定具有性质P ．任给x S ∈，12000x ≤≤，则x 与2001x -中必有一个不超过1000， 所以集合S 与T 中必有一个集合中至少存在一半元素不超过1000，不妨设S 中有t 2k t ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭个元素12,,,t b b b 不超过1000．由集合S 具有性质P ，可知存在正整数1000m ≤， 使得对S 中任意两个元素12,s s ，都有12s s m -≠， 所以一定有12,,,t b m b m b m S +++∉.又100010002000i b m +≤+=，故12,,,t b m b m b m A +++∈,即集合A 中至少有t 个元素不在子集S 中， 因此2k k +≤2000k t +≤，所以20002kk +≤，得1333k ≤， 当{}1,2,,665,666,1334,,1999,2000S =时，取667m =，则易知对集合S 中任意两个元素12,y y ， 都有12||667y y -≠，即集合S 具有性质P ，而此时集合Ｓ中有1333个元素．因此集合S 元素个数的最大值是1333． .....................................14分 37. 已知函数2()1f x x=+，数列{}n a 中，1a a =，1()n n a f a +=*()n ∈N ．当a 取不同的值时，得到不同的数列{}n a ，如当1a =时，得到无穷数列1，3，53，115，…；当2a =时，得到常数列2，2，2，…；当2a =-时，得到有穷数列2-，0．（Ⅰ）若30a =，求a 的值；（Ⅱ）设数列{}n b 满足12b =-，1()n n b f b +=*()n ∈N ．求证：不论a 取{}n b 中的任何数，都可以得到一个有穷数列{}n a ；（Ⅲ）若当2n ≥时，都有533n a <<，求a 的取值范围． 解：（Ⅰ）因为 30a =，且3221a a =+， 所以22a =-．同理可得123a =-，即23a =-． ………………………3分（Ⅱ）证明：假设a 为数列{}n b 中的第*()i i ∈N 项，即1i a a b ==；则211()()i i a f a f b b -===； 3212()()i i a f a f b b --===；………121()()2i i a f a f b b -====-；12()10i i ia f a a +==+=， 即1()(2)0i i a f a f +==-=。
北京高考数学第8和14题压轴题汇编与答案-推荐下载
度为各区间长度之和，例如, (1, 2) [3, 5) 的长度 d (2 1) (5 3) 3 . 用[x] 表示
不超过 x 的最大整数，记{x} x [x] ，其中 x R .
g(x) x 1，若用 d1, d2 , d3 分别表示不等式 f (x) g(x) ，方程 f (x) g(x) ，不等 式 f (x) g(x) 解集区间的长度，则当 0 ≤≤x 2011时，有 B
（A） 3 3
（B） 3
6.已知函数 f (x) 的定义域为 R ，若存在常数 m 0 ，对任意 x R ，有| f (x) | m | x | ，
则称 f (x) 为 F 函数．给出下列函数：① f (x) x 2 ；② f (x) sin x cos x ；③
f
(x)
（A） d1 1, d2 2, d3 2008
（C） d1 3, d2 5, d3 2003
8. 下图展示了一个由区间 (0,1) 到实数集 R 的映射过程：区间 (0,1) 中的实数 m 对应数轴
上的点 M （如图 1）；将线段 AB 围成一个圆，使两端点 A 、 B 恰好重合（从 A 到
段 D1Q 与 OP 互相平分，则满足 MQ MN 的实数 的值
有C
A. 0 个
B. 1 个
C. 2 个
5. 空间点到平面的距离定义如下：过空间一点作平面的垂线，这点和垂足之间的距离叫做
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电通，力1根保过据护管生高线产中0不工资仅艺料可高试以中卷解资配决料置吊试技顶卷术层要是配求指置，机不对组规电在范气进高设行中备继资进电料行保试空护卷载高问与中题带资2负料2，荷试而下卷且高总可中体保资配障料置各试时类卷，管调需路控要习试在题验最到；大位对限。设度在备内管进来路行确敷调保设整机过使组程其高1在中正资，常料要工试加况卷强下安看与全22过，22度并22工且22作尽22下可护都能1关可地于以缩管正小路常故高工障中作高资；中料对资试于料卷继试连电卷接保破管护坏口进范处行围理整，高核或中对者资定对料值某试，些卷审异弯核常扁与高度校中固对资定图料盒纸试位，卷置编工.写况保复进护杂行层设自防备动腐与处跨装理接置，地高尤线中其弯资要曲料避半试免径卷错标调误高试高等方中，案资要，料求编试技5写、卷术重电保交要气护底设设装。备备置管4高调、动线中试电作敷资高气，设料中课并技3试资件且、术卷料中拒管试试调绝路包验卷试动敷含方技作设线案术，技槽以来术、及避管系免架统不等启必多动要项方高方案中式；资，对料为整试解套卷决启突高动然中过停语程机文中。电高因气中此课资，件料电中试力管卷高壁电中薄气资、设料接备试口进卷不行保严调护等试装问工置题作调，并试合且技理进术利行，用过要管关求线运电敷行力设高保技中护术资装。料置线试做缆卷到敷技准设术确原指灵则导活：。。在对对分于于线调差盒试动处过保，程护当中装不高置同中高电资中压料资回试料路卷试交技卷叉术调时问试，题技应，术采作是用为指金调发属试电隔人机板员一进，变行需压隔要器开在组处事在理前发；掌生同握内一图部线纸故槽资障内料时，、，强设需电备要回制进路造行须厂外同家部时出电切具源断高高习中中题资资电料料源试试，卷卷线试切缆验除敷报从设告而完与采毕相用，关高要技中进术资行资料检料试查，卷和并主检且要测了保处解护理现装。场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
2025届北京市西城区第8中学高考数学全真模拟密押卷含解析
2025届北京市西城区第8中学高考数学全真模拟密押卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在明代程大位所著的《算法统宗》中有这样一首歌谣，“放牧人粗心大意，三畜偷偷吃苗青，苗主扣住牛马羊，要求赔偿五斗粮，三畜户主愿赔偿，牛马羊吃得异样．马吃了牛的一半，羊吃了马的一半．”请问各畜赔多少？它的大意是放牧人放牧时粗心大意，牛、马、羊偷吃青苗，青苗主人扣住牛、马、羊向其主人要求赔偿五斗粮食（1斗=10升），三畜的主人同意赔偿，但牛、马、羊吃的青苗量各不相同．马吃的青苗是牛的一半，羊吃的青苗是马的一半．问羊、马、牛的主人应该分别向青苗主人赔偿多少升粮食？（ ） A ．2550100,,777B ．252550,,1477C ．100200400,,777 D ．50100200,,7772．已知全集U =R ，函数()ln 1y x =-的定义域为M ，集合{}2|0?N x x x =-<，则下列结论正确的是A ．M N N =B ．()UMN =∅C ．MN U =D ．()UM N ⊆3．港珠澳大桥于2018年10月2刻日正式通车，它是中国境内一座连接香港、珠海和澳门的桥隧工程，桥隧全长55千米．桥面为双向六车道高速公路，大桥通行限速100km /h ，现对大桥某路段上1000辆汽车的行驶速度进行抽样调查．画出频率分布直方图（如图），根据直方图估计在此路段上汽车行驶速度在区间[85，90）的车辆数和行驶速度超过90km /h 的频率分别为（ ）A ．300，0.25B ．300，0.35C ．60，0.25D ．60，0.354．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A ．若αβ⊥，m α⊂，n β⊂，则m n ⊥ B ．若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m nC ．若m n ⊥，m α⊂，n β⊂，则αβ⊥D ．若m α⊥，//m n ，//n β，则αβ⊥ 5．已知π3π,22α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()3tan π4α-=-，则sin cos αα+等于（ ）． A ．15±B ．15-C ．15D ．75-6．已知l 为抛物线24x y =的准线，抛物线上的点M 到l 的距离为d ，点P 的坐标为()4,1，则MP d +的最小值是（ ）A B ．4C ．2D ．17．已知集合{}2|320M x x x =-+≤，{|N x y ==若M N M ⋂=，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(,1]-∞B ．(,1)-∞C ．(1,)+∞D ．[1,)+∞8．已知甲盒子中有m 个红球，n 个蓝球，乙盒子中有1m -个红球，+1n 个蓝球(3,3)m n ≥≥，同时从甲乙两个盒子中取出(1,2)i i =个球进行交换，（a ）交换后，从甲盒子中取1个球是红球的概率记为(1,2)i p i =.（b ）交换后，乙盒子中含有红球的个数记为(1,2)i i ξ=.则（ ）A ．1212,()()p p E E ξξ><B ．1212,()()p p E E ξξC ．1212,()()p p E E ξξ>>D ．1212,()()p pE E ξξ<<9．已知复数z 满足()()5z i i --=，则z =（ ） A ．6i B ．6i -C ．6-D ．610．设全集U=R ，集合()2log 41{|}A x x =-≤，()()35{|}0B x x x =-->，则()U B A =（ ）A ．[2]5，B ．[2]3，C ．[)24，D ．[)34，11．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2550S =，则1115a a +=（ ） A ．4B ．8C ．16D ．212．已知函数()222cos 1f x x x =-+，将()f x 的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标保持不变；再把所得图象向上平移1个单位长度，得到函数()y g x =的图象，若()()129g x g x ⋅=，则12x x -的值可能为（ ）A ．54π B ．34π C ．2π D ．3π 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
压轴题型14 八个视角处理双变量导数压轴题(原卷版)-2023年高考数学压轴题专项训练
压轴题14八个视角处理双变量导数压轴题在高中数学中，导数算是难度天梯里排No.1的存在，在高考出题人的心中，导数算是一个超赞的存在，天生的守门员。
但其实，现在同学们接触的只是导数世界的“皮毛”，真正的精髓还是要到大学中才会学习。
导数大题是近年来高考的重点和热点问题，也是高考必考的板块之一，不管是简答题还是选择、填空都有涉及，也是拉分项。
我们不可否认导数解答题的难度，但也不能过分地夸大。
像导数、函数这样的大板块，同学们必须会解题。
遇到一个问题应该认真分析题型与问题条件，反复思考结论，每步做到“言必有据，步步合理”不用题海战术，每个板块都能攻克了！今天给大家整理总结了高考导数大题的常见类型及求解策略方法，大家通做一遍，复习提分效果更佳！○热○点○题○型1构造偏导数○热○点○题○型2整体规划统一变量○热○点○题○型3比（差）值换元○热○点○题○型4同构性双变量○热○点○题○型5切线估计与剪刀差模型○热○点○题○型6不等式放缩○热○点○题○型7主元法○热○点○题○型8多项式拟合经典例题1.构造偏函数注：1.构造偏差函数的基本应用①.函数()f x 的极值点为0x ；②.函数()()12f x f x =，然后证明：1202x x x +>或1202x x x +<.2.构造偏差证明极值点偏移的基本方法：①.构造一元差函数()()()02F x f x f x x =--或是()()()00F x f x x f x x =+--；②.对差函数()F x 求导，判断单调性；③.结合0)(0=x F 或0)0(=F ，判断()F x 的符号，从而确定()f x 与()02f x x -的大小关系；④.由()()()()()1200200202_____2f x f x f x x x f x x x f x x ==--+-=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦的大小关系，得到()()102____2f x f x x -，（横线上为不等号）；⑤.结合()f x 单调性得到102____2x x x -，进而得到120___2x x x +.例1．（23届福建七市联考）已知函数2()e ,02xax f x a =->．（1）讨论()f x 的极值点个数；（2）若()f x 有两个极值点12,x x ，且12x x <，当2e e 2a <<时，证明：()()123e 22f x f x +<．2.整体划归，统一变量法例2（23届泉州一诊）．已知函数()()2e 23xf x x a x a =-+++⎡⎤⎣⎦（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 在()0,2有两个极值点12,x x ，求证：()()2124e f x f x <．例3．（23届温州二模）已知函数()()2ln R 2a f x x x x x a =--∈．（1）若2a =，求方程()0f x =的解；（2）若()f x 有两个零点且有两个极值点，记两个极值点为12,x x ，求a 的取值范围并证明()()1212ef x f x +<．3.比（差）值代换消元例4．（23届武汉二月调考）已知关于x 的方程ln 0ax x -=有两个不相等的正实根21,x x ，且12x x <.（1）求实数a 的取值范围；（2）设k 为常数，当a 变化时，若12k x x 有最小值e e ，求常数k 的值.例5．（23届南通二模）已知函数()ln af x ax x x=--．（1）若1x >，()0f x >，求实数a 的取值范围；（2）设12,x x 是函数()f x 的两个极值点，证明：12()()f x f x a-<．4.同构型双变量例6．已知函数()e x ax f x =和ln ()xg x ax=有相同的最大值.（1）求a ；（2）证明：存在直线y =b ，其与两条曲线()y f x =和()y g x =共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等比数列.性质：（1）；（2）同构特性：（3）若方程存在三个实数根，分别记为，则有（4）若方程存在四个实根，记为，且有，则有： 2.，图象如下：，左端为)(x f ，右端为)(x g .性质：（1）；（2）同构特性：（3）若方程存在三个实数根，分别记为，则有（4）若方程存在四个实根，记为，且有，则有：5.切线估计与“剪刀差模型”注4.“剪刀模型”基本原理1.函数凸凹性：若函数)(x f 在区间I 上有定义，若0)(''≥x f ，则称)(x f 为区间I 上的凸函数.反之，称)(x f 为区间I 上的凹函数.2.切线不等式：)(x f 在I 上为凸函数，I x ∈∀0，有)())(()(000'x f x x x f x f +-≥.反之，若)(x f 为区间I 上的凹函数，则I x ∈∀0，有)())(()(000'x f x x x f x f +-≤.注：切线不等式是剪刀模型的理论依据.3.剪刀模型已知函数)(x f 为定义域上的凸函数，且图象与m y =交于B A ,两点，其横坐标为21,x x ，这样如下图所示，我们可以利用凸函数的切线与m y =的交点将21,x x 的范围予以估计，这便是切线放缩的基本原理.如图，在函数图象先减后增的情形下，两条切线和两条割线即可估计出零点的一个上下界，而切割线的方程均为一次函数，这样我们就可以得到一个显式解（精确解）的估计.例7.（2023届皖南八校联考）已知函数()3e 1xf x x =-+，其中e 2.71828= 是自然对数的底数.（1）设曲线()y f x =与x 轴正半轴相交于点()0,0P x ，曲线在点P 处的切线为l ，求证：曲线()y f x =上的点都不在直线l 的上方；（2）若关于x 的方程()f x m =（m 为正实数）有两个不等实根()1212,x x x x <，求证：21324x x m -<-.6.不等式放缩例8（2023届湖北七市州联考T22）．已知函数()1ln 1x f x a x x -=-+．（1）当1a =时，求函数()f x 的单调区间；（2）若()()()()22ln 110g x a x x x a =---≠有3个零点1x ，2x ，3x ，其中123x x x <<．（ⅰ）求实数a 的取值范围；（ⅱ）求证：()()133122a x x -++<．7.主元法例9.（2022北京卷）已知函数()(1)x f x e ln x =+．（1）求曲线()y f x =在点(0，(0))f 处的切线方程；（2）设()()g x f x ='，讨论函数()g x 在[0，)+∞上的单调性；（3）证明：对任意的s ，(0,)t ∈+∞，有()()()f s t f s f t +>+．8.多项式拟合例10（2021新高考1卷）已知函数()()1ln f x x x =-.（1）讨论()f x 的单调性；（2）设a ，b 为两个不相等的正数，且ln ln b a a b a b -=-，证明：112e a b<+<.针对性训练1．已知函数()e 3xf x a x =--有两个零点．(1)求实数a 的取值范围．(2)函数()()()ln 1g x f x x x =+-+，证明：函数()g x 有唯一的极小值点．2．已知2()e 2xa f x x x =--.(1)若()f x 在x =0处取得极小值，求实数a 的取值范围；(2)若()f x 有两个不同的极值点12,x x （12x x <），求证：1202x x f +⎛⎫''< ⎪⎝⎭（()f x ''为()f x 的二阶导数）.3．已知函数()22e xa f x x=，0a ≠.(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)若()ln ln x xf x a -≤恒成立，求实数a 的取值范围.4．已知函数()()2e ,21xf x xg x ax x =+=++.(1)当12a =时，讨论函数()()()F x f x g x =-的单调性；(2)当a<0时，求曲线()y f x =与()y g x =的公切线方程.5．已知()()222ln 2a f x x a x x =-++.(1)讨论()f x 的单调性；(2)确定方程()22a f x x =的实根个数.6．已知函数()()()13ln 3R f x a x ax a x=---∈，ln 3 1.1≈.(1)当a<0时，试讨论()f x 的单调性；(2)求使得()0f x ≤在()0,∞+上恒成立的整数a 的最小值；(3)若对任意()4,3a ∈--，当[]12,1,4x x ∈时，均有()()()12ln 43ln 4m a f x f x +⋅>-+成立，求实数m 的取值范围.7．已知函数()ln 2f x x ax =-.(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)若()0f x ≤恒成立，求a 的取值范围.8．已知0m >，e 是自然对数的底数，函数()()e ln xf x m m mx m =+--．(1)若2m =，求函数()()2e 422xx F x x f x =+-+-的极值；(2)是否存在实数m ，1x ∀>，都有()0f x ≥？若存在，求m 的取值范围；若不存在，请说明理由．9．已知函数()()ln ,e e x xf x xg x -=-=-.(1)若[]()()0,1,x g x f a ∃∈>成立，求实数a 的取值范围；(2)证明：()()πcos2e x h x f x =+有且只有一个零点0x ，且20π1e cos e 2e x g -⎛⎫<< ⎝⎭10．已知函数()()e tan 11xf x x =--，()f x 的导函数为()f x '.记函数()f x 在区间3πππ,π22n n ⎛⎫-- ⎪⎝⎭内的零点为n x ，n *∈N .(1)求函数()f x 的单调区间；(2)证明：1πn n x x +-<.11．已知函数()1ln m f x m x x x+=++．(1)求函数()f x 的单调区间；(2)当1m =时，证明：()23e x xf x x <+．12．已知函数()()()211R 2m f x x m x m =+--∈.(1)求函数()f x 在区间[]1,2上的最大值；(2)若m 为整数，且关于x 的不等式()ln f x x ≥恒成立，求整数m 的最小值.13．已知函()()e xf x x a =+，R a ∈.(1)讨论()f x 在()0,∞+的单调性；(2)是否存在01,,a x x ，且10x x ≠，使得曲线()y f x =在0x x =和1x x =处有相同的切线？证明你的结论.14．已知函数23()ln a f x x x x =+-．(1)若0a =，求()f x 在点()()1,1f 处的切线方程；(2)若12,x x （12x x <）是()f x 的两个极值点，证明：()()121234f x f x x x a-<-．15．已知函数()()1ln e ,xxf xg x m x+==-.()m ∈R (1)证明：()1f x x ≥+；(2)若()()f x g x ≥，求实数m 的取值范围；(3)证明：11e e 1knk k =⎛⎫< ⎪-⎝⎭∑.()N n +∈16．设函数()()()21e 2,R x f x x m x m =+++∈．(1)讨论()f x 的单调性；(2)若当[2,)x ∈-+∞时，不等式()()213e f x m x x -≥+-恒成立，求m 的取值范围．17．已知函数()()21e xf x ax x =+-.(1)当12a =-时，讨论函数()f x 在()0,∞+上的单调性；(2)当0x >时，()1f x <，求实数a 的取值范围．18．对定义在区间D 上的函数()(),f x g x ，如果对任意x D ∈都有()()1f x g x -≤成立，那么称函数()f x 在区间D 上可被()g x 替代.(1)若()()1,14f x x g x x ==-，试判断在区间13,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦上，()f x 能否可被()g x 替代？(2)若()()()2sin ,ln cos f x x g x a x ==+，且函数()f x 在x ∈R 上可被函数()g x 替代，求实数a 的取值范围.19．已知函数()e 2xf x x ax =-+.(1)当12a =时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；(2)对任意实数,()0x ∈+∞，都有()ln (1)3f x x a x a ≥--++恒成立，求实数a 的取值范围.20．已知函数()12ln f x x x=+.(1)求函数()()g x f x x =-的零点；(2)证明：对于任意的正实数k ，存在00x >，当()0,x x ∈+∞时，恒有()f x >。
北京市2020年高考文科数学压轴卷含解析
3．若变量 x, y 满足约束条件 ⎨x ≥ 1, ,则 z = 2 x + y 的最大值为（）⎪ y ≥ 0北京市 2020 年高考文科数学压轴卷（含解析）一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 已知 (1+ b i)i = -1 + i(b ∈ R) ，则 b 的值为（）A. 1B. -1C. iD. -i2．下列函数中，值域为 R 的偶函数是（ ）A ．y=x 2+1B ．y=e x ﹣e ﹣xC ．y=lg|x|D ． y = x 2⎧x + y ≤ 2, ⎪⎩A ． 0B ． 2C ． 3D ． 44. 某程序框图如图所示，执行该程序，若输入的a 值为 1，则输出的 a 值为（）开始输入否是输出结束A. 1B. 2C. 3D. 55.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是（）A ．27B ．30C ．32D ．3613.若 0 < a < b < 1 ， x = a b ， y = b a ， z = log a ，则 x ， y ， z 有小到大排列为．6 ) + 1 的最小正周期是，最小值是．10．已知 cos α = ， α ∈ 0, ⎪ ，则 cos + α ⎪ = ______．6. “ ab = 4 ”是直线 2x + ay -1 = 0 与直线 bx + 2 y - 2 = 0 平行的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.已知点 Q (2 2,0) 及抛物线 x 2 = 4 y 上一动点 P( x , y) ，则 y + | PQ | 的最小值是（）A ．1B ．1C ．2D ． 328. 设 函 数 f ( x ) 的 定 义 域 D ， 如 果 存 在 正 实 数 m ， 使 得 对 任 意 x ∈ D ， 都 有f ( x + m ) > f ( x ) ，则称 f ( x ) 为 D 上的“ m 型增函数”，已知函数 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数，且当 x > 0 时， f ( x ) = x - a - a （ a ∈ R ）．若 f ( x ) 为 R 上的“20 型增函数”，则实数 a 的取值范围是（）A ． a > 0B ． a < 5C ． a < 10D ． a < 20二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题 5 分，满分 30 分.把答案填在题中的横线上．）9.函数 y = 2sin(2 x +π3 ⎛ π ⎫ ⎛ π ⎫ 5 ⎝ 2 ⎭ ⎝ 3 ⎭11. 如果平面直角坐标系中的两点 A(a - 1,a + 1) ， B(a, a ) 关于直线 l 对称，那么直线 l 的方程为_.12.在平面向量 a,b 中，已知 a = (1,3) ， b = (2,y) ，.如果 a ⋅ b = 5 ，那么 y = _____；如果a +b = a -b ，那么 y = ______b1 = 1 ， a + + L + <2 . , ⎥ ，都有 f (x ) ≥ -3 ．(Ⅱ)求证：对于任意的 x ∈ ⎢- 14.数列{a } 满足： ann -1+ an +1> 2a (n > 1,n ∈ N * ) ，给出下述命题：n①若数列{a } 满足： a > a ，则 a > an21n n -1(n > 1, n ∈ N * ) 成立；②存在常数 c ，使得 a > c (n ∈ N * ) 成立；n③若 p + q > m + n (其中p , q , m , n ∈ N *) ，则 a + a > a + a ；p qmn④存在常数 d ，使得 a > a + (n - 1)d (n ∈ N * ) 都成立．n1上述命题正确的是____．(写出所有正确结论的序号)三、解答题共 6 小题，共 80 分。
2020年北京市高考数学压轴试卷(含答案解析)
2020年北京市高考数学压轴试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.设复数z满足，则A. B. C. D.2.设集合0，1，2，，，则A. B. 1， C. 2， D. 1，2，3.已知定义域为R的奇函数满足，且当时，，则A. B. C. D.4.函数其中e为自然对数的底数图象的大致形状是A. B.C. D.5.已知坐标原点到直线l的距离为2，且直线l与圆相切，则满足条件的直线l有A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条6.函数的单调递增区间是A. B.C. D.7.某三棱锥的三视图如图所示，则三棱锥的体积为A. 10B. 20C. 30D. 608.已知点在抛物线C：的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为A. B. C. D.9.已知，则“”是“”的A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 非充分非必要条件10.已知随机变量的分布列为：x yP y x则下列说法正确的是A. 存在x，，B. 对任意x，，C. 对任意x，，D. 存在x，，二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）11.已知曲线的一条切线的斜率是3，则该切点的横坐标为______．12.函数的最小正周期等于______．13.在中，若，，，求的面积______．14.已知是各项均为正数的等比数列，，，则的通项公式______；设数列的前n项和为，则______．15.已知函数，下列命题正确的有______写出所有正确命题的编号是奇函数；在R上是单调递增函数；方程有且仅有1个实数根；如果对任意，都有，那么k的最大值为2．三、解答题（本大题共6小题，共85.0分）16.已知函数为常数，且．在下列条件中选择一个______使数列是等比数列，说明理由；数列是首项为2，公比为2的等比数列；数列是首项为4，公差为2的等差数列；数列是首项为2，公差为2的等差数列的前n项和构成的数列．在的条件下，当时，设，求数列的前n项和．17.在四棱锥中，平面ABCD，底面四边形ABCD为直角梯形，，，，，Q为PD中点．Ⅰ求证：；Ⅱ求异面直线PC与BQ所成角的余弦值．18.已知函数Ⅰ求函数的单调区间；Ⅱ当时，若在上有零点，求实数a的取值范围．19.自由购是通过自助结算方式购物的一种形式．某大型超市为调查顾客使用自由购的情况，随机抽取了100人，统计结果整理如下：20以下70以上使用人数312176420未使用人数003143630现随机抽取1名顾客，试估计该顾客年龄在且未使用自由购的概率；从被抽取的年龄在使用自由购的顾客中，随机抽取3人进一步了解情况，用X表示这3人中年龄在的人数，求随机变量X的分布列及数学期望；为鼓励顾客使用自由购，该超市拟对使用自由购的顾客赠送1个环保购物袋．若某日该超市预计有5000人购物，试估计该超市当天至少应准备多少个环保购物袋．20.已知椭圆C：．求椭圆C的标准方程和离心率；是否存在过点的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且满足若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．21.对于，定义一个如下数阵：，其中对任意的，，当i能整除j时，；当i不能整除j时，设．Ⅰ当时，试写出数阵并计算；Ⅱ若表示不超过x的最大整数，求证：；Ⅲ若，，求证：．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：由，得，，则．故选：A．把已知等式变形，再由商的模等于模的商求解．本题考查复数模的求法，考查数学转化思想方法，是基础题．2.答案：B解析：解：解得，，或；，或；；1，．故选：B．解不等式即可得出集合B，然后进行补集、交集的运算即可．考查列举法、描述法表示集合的概念，以及一元二次不等式的解法，补集、交集的运算．3.答案：B解析：解：根据题意，函数为奇函数且满足，则，又由当时，，则；则有，故选：B．根据题意，由函数的奇偶性和周期性分析可得，结合函数的解析式求出的值，即可得答案．本题考查函数的奇偶性的性质应用，涉及函数的周期，属于基础题．4.答案：B解析：【分析】本题考查了函数图象的判断，考查函数奇偶性的应用，属于中档题．判断的奇偶性，再根据在上的函数值的符号得出答案．【解答】解：，．为奇函数，图象关于原点对称，排除A，C；当时，，，，排除D，故选：B．5.答案：A解析：【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，属基础题．设出直线l：，再根据点到直线距离为2和直线与圆相切列方程组成方程组解得，只有一解．【解答】解：显然直线l有斜率，设l：，则，即，又直线l与圆相切，，联立，，，所以直线l的方程为，故选：A．6.答案：C解析：解：对于函数，令，求得，故函数的单调增区间为，，故选：C．由题意利用正弦函数的的单调性，求得结果．本题主要考查正弦函数的的单调性，属于基础题．7.答案：A解析：解：由题意可知几何体是底面是直角三角形的三棱锥，顶点在底面的射影与底面三角形组成长方形，底面三角形的直角边长为：3，5，棱锥的高为4，射影几何体的体积为：．故选：A．判断三视图对应的几何体的形状，利用三视图的数据，求解几何体的体积即可．本题考查三视图求解几何体的体积，判断几何体的形状是解题的关键，考查空间想象能力以及计算能力．8.答案：C解析：【分析】本题考查抛物线的性质，考查直线斜率的计算，考查学生的计算能力，属于基础题．利用点在抛物线C：的准线上，确定焦点F的坐标，即可求出直线AF的斜率．【解答】解：点在抛物线C：的准线上，，，直线AF的斜率为．故选：C．9.答案：C解析：解：，由，，反之也成立．“”是“”的充要条件．故选：C．：，由，可得，化简即可判断出关系．本题考查了向量垂直与数量积的关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10.答案：C解析：解：由随机变量的分布列得：x，，且，对任意x，，，由此排除A和B；取时，则，，排除D．故选：C．对任意x，，，由此排除A和B；取时，求出，，排除D．本题考查命题真假的判断，考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差的求法，考查排除法、特殊值法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．11.答案：2解析：解：曲线的导数为，曲线的一条切线的斜率是3，切点的横坐标为n，则，解得，故答案为：2．求出函数的导数，通过切线的斜率，转化求解切点的横坐标即可．本题考查导数的运用：求切线方程，正确理解函数导数的几何意义以及转化求解是解题的关键．12.答案：解析：解：因为函数；故最小正周期等于．故答案为：先根据二倍角的余弦公式将函数化简为的形式，再由得到答案．本题主要考查三角函数最小正周期的求法，一般先将函数化简为的形式，再由可解题．13.答案：或解析：解：在中，设，由余弦定理可得，，，或．当时，的面积为，当时，的面积为，故答案为或．设，由余弦定理可得，解出x的值，代入的面积为，运算求得结果．本题考查余弦定理的应用，求得BC的长度或，是解题的关键．14.答案：解析：解：设等比数列的公比为q，由题知，，，；，．故填：，．先由，求出公比q，再求与，最后求．本题主要考查等比数列、等差数列的通项公式与前n项和的求法，属于基础题．15.答案：解析：解：根据题意，依次分析4个命题：对于、，定义域是R，且，是奇函数；故正确；对于、若，则，故在R递增；故正确；对于、，令，令可得，，即方程有一根，，，则方程有一根在之间，故错误；对于、如果对任意，都有，即恒成立，令，且，若恒成立，则必有恒成立，若，即恒成立，而，若有，故正确；综合可得：正确；故答案为：．根据题意，依次分析4个命题，对于、由奇函数的定义分析可得正确；对于、对函数求导，分析可得，分析可得正确；对于、，分析可得，即方程有一根，进而利用二分法分析可得有一根在之间，即方程至少有2跟，故错误，对于、由函数的恒成立问题的分析方法，分析可得正确，综合可得答案．本题考查函数的奇偶性、单调性的判定，以及方程的根与恒成立问题的综合应用，关键是利用二分法．16.答案：解析：解：不能使数列是等比数列，可以．由题意，即，可得，且，，由常数且，可得为非零常数，则是为首项、为公比的等比数列；由可得，当时，，，可得，前n项和．选，由和对数的运算性质，以及等比数列的定义，即可得到结论；运用等比数列的通项公式可得，进而得到，由数列的裂项相消求和可得所求和．本题考查等比数列的定义和通项公式，数列的裂项相消求和，考查化简运算能力，属于中档题．17.答案：证明：如图所示，0，，0，，0，，2，，1，，1，，2，，1，，由，，；Ⅱ解：，，．异面直线PC与BQ所成角的余弦值为．解析：建立空间直角坐标系，只要证明，即可证明结论．Ⅱ，，，利用向量夹角公式即可得出．本题考查了异面直线所成的角、向量夹角公式、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．18.答案：解：Ⅰ函数的定义域为，．由，可得或，当时，在上恒成立，的单调递增区间是，没有单调递减区间；当时，由，解得，函数单调递增，由，解得，函数单调递减，的单调递减区间是，单调递增区间是．当时，由，解得，函数单调递增，由，解得，函数单调递减，的单调递减区间是，单调递增区间是．Ⅱ当时，的单调递减区间是，单调递增区间是．在上有零点的必要条件是，即，．而，若，在是减函数，，在上没有零点．若，，在上是增函数，在上是减函数，在上有零点等价于，即，解得综上所述，实数a的取值范围是．解析：Ⅰ先求出函数的定义域，再求导，分类讨论，即可求出函数的单调区间，Ⅱ在上有零点等价于，解得即可本题考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数的零点问题，考查了运算能力和转化能力和分类讨论的能力，属于中档题．19.答案：解：在随机抽取的100名顾客中，年龄在且未使用自由购的共有人，所以随机抽取1名顾客，估计该顾客年龄在且未使用自由购的概率为．所有的可能取值为1，2，3，；；．所以X的分布列为X123P所以X的数学期望为．在随机抽取的100名顾客中，使用自由购的共有人，所以该超市当天至少应准备环保购物袋的个数估计为．解析：本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，考查转化思想以及计算能力．利用古典概型概率个数求解即可．求出X的可能值，求出概率得到分布列，然后求解期望即可．在随机抽取的100名顾客中，使用自由购的共有人，然后求解即可．20.答案：解：椭圆C：，即有标准方程为，可得，，，；假设存在过点的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且满足，可设直线l的方程为，联立椭圆方程，可得，，即，设，，可得，，由，可得，即，即，将代入可得，，消去，可得，解得，故存在这样的直线l，且方程为或．解析：将椭圆方程化为标准方程，可得a，b，c，由离心率公式可得所求值；假设存在过点的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且满足，可设直线l的方程为，联立椭圆方程，消去x可得y的二次方程，运用韦达定理和判别式大于0，再由向量共线的坐标表示，化简整理解方程，即可判断是否存在这样的直线．本题考查椭圆的方程和性质，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理，同时考查向量共线的坐标表示，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．21.答案：解：Ⅰ依题意可得，．Ⅱ由题意可知，是数阵的第j列的和，因此是数阵所有数的和．而数阵所有数的和也可以考虑按行相加．对任意的，不超过n的倍数有1i，2i，，．因此数阵的第i行中有个1，其余是0，即第i行的和为．所以．Ⅲ证明：由的定义可知，，所以所以．考查定积分，将区间分成等分，则的不足近似值为，的过剩近似值为所以．所以所以．所以．解析：Ⅰ依题意可得，．Ⅱ由题意可知，是数阵的第j列的和，因此是数阵所有数的和．而数阵所有数的和也可以考虑按行相加．对任意的，不超过n的倍数有1i，2i，，因此数阵的第i行中有个1，其余是0，即第i行的和为从而得到结果．Ⅲ由的定义可知，，所以所以再考查定积分，根据曲边梯形的面积的计算即可证得结论．本小题主要考查高阶矩阵、矩阵的应用、定积分等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．。
北京市2021年高考数学压轴卷含解析.doc
北京市2021年高考数学压轴卷（含解析）本试卷共5页，150分，考试时长120分钟．考试务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分（选择题 共40分）一、选择题10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合{(1)(2)0}M x x x =-+<|，{1}N x x =-|，则M N =（ ）A ．(2,1)-B ．[1,1)-C ．[1,)-+∞D ．(1,1)-2．设复数z 满足(1)1i z i -=+，则z 等于（ ） A ．i -B ．iC ．2i -D ．2i3．在61x ⎫⎪⎭的展开式中，常数项为（ ）A ．15B ．30C ．20D ．404．已知两条直线m ，n 和平面α，且//n α，则“m n ⊥”是“m α⊥”的（ ） A ．充分必要条件 B ．充分而不必要条件 C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件5．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为(1)3y k x =++，以点(1,1)为圆心且与直线l 相切的所有圆中，半径最大的圆的半径为（ ） A ．2B．C ．4D ．86．在ABC 中，90,4,3C AC BC =︒==，点P 是AB 的中点，则CB CP ⋅=（ ） A ．94B ．4C ．92D ．67．已知函数211,0,()221,0,x x f x x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪-++>⎩则不等式()20x f x ->的解集是（ ）A ．(1,0)(0,1)- B ．(1,1)- C ．(0,1) D ．(1,)-+∞8．将函数()sin f x x ω=（0>ω）的图象向左平移2π个单位长度后得到函数()g x 的图象，且()01g =，下列说法错误．．的是（ ） A ．()g x 为偶函数 B ．02g π-=⎛⎫⎪⎝⎭C ．当5ω=时，()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有3个零点D ．若()g x 在0,5π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则ω的最大值为9 9．数列{}n a 是等差数列，{}n b 是各项均为正数的等比数列，公比1q >，且44a b =，则（ ） A ．2635a a b b +>+ B ．2635a a b b +=+C ．2635a a b b +<+D ．26a a +与35b b +大小不确定10．形状､节奏､声音或轨迹，这些现象都可以分解成自复制的结构.即相同的形式会按比例逐渐缩小，并无限重复下去，也就是说，在前一个形式中重复出现被缩小的相同形式，依此类推，如图所示，将图1的正三角形的各边都三等分，以每条边中间一段为边再向外做一个正三角形，去掉中间一段得到图2，称为“一次分形”；用同样的方法把图2中的每条线段重复上述操作，得到图3，称为“二次分形”；依次进行“n 次分形”，得到一个周长不小于初始三角形周长100倍的分形图，则n 最小值是（ ）(取lg30.4771,lg 20.3010≈≈)A ．15B ．16C ．17D ．18第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
2021-2023北京高考真题数学汇编：压轴选择(第10题)
证明：当 n = 1 时， a1 − 6 =−3 ≤ −3 ，此时不等关系 an ≤ 3 成立；
设当 n = k 时， ak − 6 ≤ −3 成立，
则
ak +1
−
6
=
1 4
( ak
−
6)3
∈
−54, −
27 4
，故
ak +1
−
6
≤
−3
成立，
由数学归纳法可得 an ≤ 3 成立.
而 an+1 − a=n
2021-2023 北京高考真题数学汇编
压轴选择（第 10 题）
一、单选题
1．（2023·北京·统考高考真题）已知数列{an} 满足 an+1=
1 4
(
an
−
6)3
+
6(n=
1, 2,3,) ，则（
）
A．当 a1 = 3时，{an} 为递减数列，且存在常数 M ≤ 0 ，使得 an > M 恒成立
B．当 a1 = 5 时，{an} 为递增数列，且存在常数 M ≤ 6 ，使得 an < M 恒成立
1 4
x3
−
9 2
x2
+
26x
−
47 (
x
≤
3)
，判断得
an+1
<
an
−1，
进而取 m = −[M ] + 4 推得 an > M 不恒成立；对于 B，证明 an 所在区间同时证得后续结论；对于 C，记
m0
log3
2 log1
(M
− 6)
+ 1
，取=m
[m0 ] +1推得 an > M 不恒成立；对于 D，构造
高考数学压轴题100题汇总(含答案)
高考数学压轴题100题汇总(含答案)1. 设函数f(x) = x^3 3x + 1，求f(x)的极值点和极值。
答案：f(x)的极值点为x = 1和x = 1，极值分别为f(1) = 1和f(1) = 3。
2. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn = n^2 + n，求该数列的通项公式。
答案：an = 2n + 1。
3. 已知三角形ABC中，AB = AC = 5，BC = 8，求三角形ABC的面积。
答案：三角形ABC的面积为12。
4. 设直线y = kx + b与圆x^2 + y^2 = 1相切，求k和b的值。
答案：k = ±√3/3，b = ±√6/3。
5. 已知函数f(x) = log2(x^2 + 1)，求f(x)的导数。
答案：f'(x) = 2x/(x^2 + 1)ln2。
6. 已知向量a = (2, 3)，向量b = (1, 4)，求向量a和向量b的夹角。
答案：向量a和向量b的夹角为arccos(1/√5)。
7. 已知矩阵A = [1 2; 3 4]，求矩阵A的逆矩阵。
答案：矩阵A的逆矩阵为[4 2; 3 1]。
8. 已知函数f(x) = x^3 6x^2 + 9x + 1，求f(x)的零点。
答案：f(x)的零点为x = 1和x = 3。
9. 已知函数f(x) = sin(x) cos(x)，求f(x)在区间[0, π/2]上的最大值。
答案：f(x)在区间[0, π/2]上的最大值为√2。
10. 已知函数f(x) = x^2 + 4x + 4，求f(x)的顶点坐标。
答案：f(x)的顶点坐标为(2, 0)。
高考数学压轴题100题汇总(含答案)11. 已知函数f(x) = e^x 2x，求f(x)的导数。
答案：f'(x) = e^x 2。
12. 已知函数f(x) = x^2 4x + 4，求f(x)的极值点和极值。
答案：f(x)的极值点为x = 2，极值为f(2) = 0。
压轴14 平面向量基本定理及坐标表示 备战2021年高考数学二轮必刷压轴题精选精炼(解析版)
压轴14 平面向量基本定理及坐标表示一、单选题1. 如图所示，已知点G 是△ABC 的重心，过点G 作直线分别与AB ，AC 两边交于M ，N 两点(点N 与点C 不重合)，设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =y AN ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则1x +1y−1的最小值为A. 2B. 1+√2C. 32 D. 2+2√2【答案】A【解析】解：∵G 为△ABC 的重心，∴AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =23×12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=13(x AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +y AN ⃗⃗⃗⃗⃗ )，且x ≥1,y >1， 又∵G 在线段MN 上，∴13x +13y =1，∴x +y =3， ∴x +(y −1)=2，∴1x +1y −1=12[x +(y −1)](1x +1y −1) =12(1+1+x y −1+y −1x ) ≥12(2+2)=2，当且仅当{x =y −1x +(y −1)=2，即x =1,y =2时等号成立．故选A ．2. 在△ABC 中，点P 满足BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =3PC ⃗⃗⃗⃗ ，过点P 的直线与AB ，AC 所在的直线分别交于点M ，N.若，AN ⃗⃗⃗⃗⃗ =μAC⃗⃗⃗⃗⃗ ，(λ>0,μ>0)，则λ+μ的最小值为A.B.C. 32D. 52【答案】B【解析】解：如图所示，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ， PC ⃗⃗⃗⃗ =PA ⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 又BP⃗⃗⃗⃗⃗ =3PC ⃗⃗⃗⃗ ， ∴−AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =3(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AP ⃗⃗⃗⃗⃗ )， ∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +34AC⃗⃗⃗⃗⃗ =14λAM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +34μAN ⃗⃗⃗⃗⃗ ；又P 、M 、N 三点共线， ∴14λ+34μ=1， ∴λ+μ=(λ+μ)⋅(14λ+34μ) =(14+34)+(μ4λ+3λ4μ)≥1+2√μ4λ⋅3λ4μ=1+√32， 当且仅当μ4λ=3λ4μ，即λ=√3+14,μ=√3+34时取“=”， ∴λ+μ的最小值为1+√32． 故选B ．3. 在△ABC 中，D 为三角形所在平面内一点，且AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则S ▵BCD S ▵ACD= A. 16B. 12C. 13D. 23【答案】B【解析】解：设直线AD ，BC 交于点E ，且AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 3AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +x 2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 由E ，B ，C 三点共线，得x3+x2=1，∴x =65， ∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =65AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =25AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +35AC⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴25(AE ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=35(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AE ⃗⃗⃗⃗⃗ )， ∴2BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =3EC ⃗⃗⃗⃗ ，设S △CED =2y ，则S △BDE =3y ， 又∵AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =5DE⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴S △ACD =10y ，∴S △BCD S △ACD=2y+3y 10y=12．故选B ．4. 在直角三角形ABC 中，点D 是斜边AB 的中点，点P 为线段CD 的中点，则|PA|2+|PB|2|PC|等于A. 2B. 4C. 5D. 10【答案】D【解析】解：∵PA ⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ −CP ⃗⃗⃗⃗ ， ∴|PA⃗⃗⃗⃗ |2=CA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−2CP ⃗⃗⃗⃗ ·CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CP ⃗⃗⃗⃗ 2． ∵PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =CB ⃗⃗⃗⃗⃗ −CP ⃗⃗⃗⃗ ，∴|PB⃗⃗⃗⃗⃗ |2=CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−2CP ⃗⃗⃗⃗ ·CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CP ⃗⃗⃗⃗ 2． ∴|PA ⃗⃗⃗⃗ |2+|PB⃗⃗⃗⃗⃗ |2 =(CA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2)−2CP ⃗⃗⃗⃗ ·(CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )+2CP ⃗⃗⃗⃗ 2=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−2CP ⃗⃗⃗⃗ ·2CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +2CP ⃗⃗⃗⃗ 2．又AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=16CP ⃗⃗⃗⃗ 2，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2CP ⃗⃗⃗⃗ ， 代入上式整理得|PA ⃗⃗⃗⃗ |2+|PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=10|CP ⃗⃗⃗⃗ |2， 故所求值为|PA|2+|PB|2|PC|2=10．故选D5. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点P(4,0)，点A ，B 在双曲线C ：x 24−y 2=1上，且AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =3PB⃗⃗⃗⃗⃗ ，则直线AB 的斜率为A. ±32B. ± √52C. ±1D. ± √32【答案】B【解析】解：由题意，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，设直线AB 的方程为y =k(x −4)， 与双曲线C ：x 24−y 2=1联立，消去x 得，(1k 2−4)y 2+8k y +12=0， ∴y 1+y 2=−8k1k 2−4，y 1y 2=121k 2−4，又由AP⃗⃗⃗⃗⃗ =3PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得y 1=−3y 2，结合上式解得k =±√52． 故选B ．6. 已知P ，Q 是△ABC 所在平面内任意两个不同的点，△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =PA ⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +aCA ⃗⃗⃗⃗⃗+bCB ⃗⃗⃗⃗⃗a+b+c，则点Q 是△ABC 的 A. 外心B. 重心C. 垂心D. 内心【答案】D【解析】解：由PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =PA ⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +aCA ⃗⃗⃗⃗⃗ +bCB ⃗⃗⃗⃗⃗ a+b+c 得PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =PC ⃗⃗⃗⃗ +aCA ⃗⃗⃗⃗⃗ +bCB⃗⃗⃗⃗⃗a+b+c， 所以CQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =aCA ⃗⃗⃗⃗⃗ +bCB ⃗⃗⃗⃗⃗ a+b+c =ab a+b+c (CA ⃗⃗⃗⃗⃗ b +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ a )=ab a+b+c (CA ⃗⃗⃗⃗⃗|CA ⃗⃗⃗⃗⃗|+CB⃗⃗⃗⃗⃗ |CB⃗⃗⃗⃗⃗ |)， 因为CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |，CB⃗⃗⃗⃗⃗ |CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |分别为CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CB⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的单位向量， 所以点Q 在∠ACB 的角平分线上， 同理可得点Q 在∠ABC 的角平分线上， 故点Q 是△ABC 的内心． 故选D7. 过点Q(−2,√21)作圆O ：x 2+y 2=r 2(r >0)的切线，切点为D ，且QD =4.设P 是圆O 上位于第一象限内的任意一点，过点P 作圆O 的切线l ，且l 交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，设OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则|OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值为 A. 3√2B. 6C. 6√2D. 9【答案】B【解析】解：由题意，圆O ：x 2+y 2=r 2(r >0)的圆心为O(0,0)，∵过点Q(−2,√21) 作圆O ：x 2+y 2=r 2(r >0)的切线，切点为D ，且QD =4， ∴r =OD =√QO 2−QD 2=√4+21−16=3，设直线l 的方程为xa +yb =1(a >0,b >0)，即bx +ay −ab =0， 则A(a,0)，B(0,b)， ∵OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∴OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,b)， ∴|OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√a 2+b 2， ∵直线l 与圆O 相切， ∴√a 2+b 2=3，∵(a −b )2=a 2−2ab +b 2⩾0，当a =b 时等号成立， ∴a 2+b 2⩾2ab ， ∴3√a 2+b 2=ab ≤a 2+b 22，∴a 2+b 2≥36， ∴|OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |≥6， |OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值为6． 故选B ．8. 若直线MN 过△ABC 的重心G ，且AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =m AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AN ⃗⃗⃗⃗⃗ =n AC⃗⃗⃗⃗⃗ ，其中m >0，n >0，则m +2n 的最小值是A. 2√23−1 B. 2√23+1 C. 2 D. 2√3【答案】B【解析】解：设BC 的中点为D ，则AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =23AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =13m AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +13n AN ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∵M ，G ，N 三点共线， 故13m +13n =1．∴m +2n =(m +2n)(13m +13n )=1+2n3m +m3n ≥1+2√2n3m ·m3n =1+2√23． 当且仅当2n3m =m3n 时取等号． 所以m +2n 的最小值是1+2√23， 故选B．9. 在▵ABC 中，E 为AC 上一点，AC ⇀=3AE ⇀，P 为BE 上任一点，若AP⃗⃗⃗⃗⃗ =m AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +n AC ⃗⃗⃗⃗⃗ (m >0,n >0)，则3m+1n 的最小值是 A. 9B. 10C. 11D. 12【答案】D【解析】解：AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +t BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +t(AE ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =(1−t)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13t AC⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以m =1−t,n =13t ，得m +3n =1， 所以3m +1n =(m +3n)(3m +1n)=6+9n m+m n⩾6+2√9n m ·mn=12，等号当且仅当m =3n 时取得等号， 故选D ．10. 17世纪法国数学家费马曾提出这样一个问题：怎样在一个三角形中求一点，使它到每个顶点的距离之和最小？现已证明：在▵ABC 中，若三个内角均小于120∘，当点P 满足∠APB =∠APC =∠BPC =120∘时，则点P 到三角形三个顶点的距离之和最小，点P 被人们称为费马点根据以上性质，已知a ⃗ 为平面内任意一个向量，b ⃗ 和c 是平面内两个互相垂直的单位向量，则|a ⃗ −b ⃗ |+|a ⃗ +b ⃗ |+|a ⃗ −c |的最小值是A. 2−√3B. 2+√3C. √3−1D. √3+1【答案】D【解析】解：设a ⃗ =(x,y)，b ⃗ =(1,0)，c=(0,1)， 则|a ⃗ −b ⃗ |+|a ⃗ +b ⃗ |+|a ⃗ −c |=√(x −1)2+y 2+√(x +1)2+y 2+√x 2+(y −1)2， 即为点P(x,y)到A(1,0)，B(−1,0)和C(0,1)三个点的距离之和， 则△ABC 为等腰直角三角形，由费马点的性质可得，当点P 的坐标为(0,√33)时，距离之和最小为2√33+2√33+(1−√33)=1+√3，故选D ． 二、填空题11. 如图，在圆的内接四边形ABCD 中，已知对角线BD 为圆的直径，AB =AC =2√2，AD =1，则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为_______．【答案】−409【解析】解：以AB ，AD 所在直线为x ，y 轴建立直角坐标系，如图： 则A(0,0)B(2√2,0)，D(0,1)， 设C(x,y)则AC 2=x 2+y 2=8①BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·DC⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −2√2)x +y (y −1)=0② 联立①②得2√2x +y =8③ 将③代入①得x =14√29或x =2√2(舍)，所以C (14√29,169)，BD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2√2,1)，所以AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗ =14√29×(−2√2)+169×1=−409． 故答案为−409．12. 如图，在△ABC 中，已知AB =10，AC =5，，点M 是边AB 的中点，点N 在直线AC 上，且AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3AN ⃗⃗⃗⃗⃗ ，直线CM 与BN 相交于点P ，则线段AP 的长为 ．【答案】√21【解析】【解答】解：因为B ，P ，N 三点共线，所以存在实数x 满足AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−x)AN ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +1−x 3AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 因为C ，P ，M 三点共线，所以存在实数y 满足AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =y AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−y)AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =y 2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−y)AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 又AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 不共线，则{x =y 21−x 3=1−y ⇒{x =25y =45, 所以AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =25AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +15AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以|AP⃗⃗⃗⃗⃗ |2=125(4|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |2+4AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2) =125×(4×102+4×10×5×12+52)=21， 所以|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√21， 故答案为√21．13. 在△ABC 中，点O 在线段BC 的延长线上，且|BO ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3|CO ⃗⃗⃗⃗⃗ |，当AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则x −y =______ ． 【答案】−2【解析】解：如图所示，△ABC 中，，， ，即；；又，，y =32，．故答案为−2．14. 如图，在△ABC 的边AB 、AC 上分别取点M 、N ，使AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AN ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BN 与CM 交于点P ，若BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λPN ⃗⃗⃗⃗⃗ ，PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =μCP ⃗⃗⃗⃗ ，则λμ的值为______．【答案】6【解析】解：由题意得：AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ1+λBN ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ1+λ(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AN ⃗⃗⃗⃗⃗ )=11+λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ2+2λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μPC ⃗⃗⃗⃗ =13AB⃗⃗⃗⃗⃗ +μ1+μMC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB⃗⃗⃗⃗⃗ +μ1+μ(MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AC⃗⃗⃗⃗⃗ )=13+3μAB⃗⃗⃗⃗⃗ +μ1+μAC⃗⃗⃗⃗⃗ ． ∴11+λ=13+3μ，λ2+2λ=μ1+μ，解得μ=23，λ=4， ∴λμ=6 故答案为6． 三、解答题15. 如图，在△ABC 中，∠BAC =90°，AB =2，AC =3，D 是BC 的中点，点E 满足AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2EC ⃗⃗⃗⃗ ，BE 与AD交于点G ．(1)设AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAD⃗⃗⃗⃗⃗ ，求实数λ的值； (2)设H 是BE 上一点，且HA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅HB ⃗⃗⃗⃗⃗ =HC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅HA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求GH ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值． 【答案】解：(1)设AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ． 因为AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAD⃗⃗⃗⃗⃗ ，D 是BC 的中点， 所以AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2=λ2a ⃗ +λ2b ⃗ ，①设BG⃗⃗⃗⃗⃗ =t BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，0<t <1， 故AG ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =t(AE ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )， 整理得 AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =t AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−t )AB⃗⃗⃗⃗⃗ ，又AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2EC ⃗⃗⃗⃗ ，即AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =t ⋅23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−t)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2t 3a ⃗ +(1−t)b ⃗ ，② 联立①②，据平面向量基本定理，得{λ2=23t ,λ2=1−t ,解得λ=45，t =35， 所以实数λ的值为45． (2)因为HA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅HB ⃗⃗⃗⃗⃗ =HC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅HA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以HA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(HB ⃗⃗⃗⃗⃗ −HC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0，即AH ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0， 所以GH ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AH ⃗⃗⃗⃗⃗ −AG ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AH ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AG ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC⃗⃗⃗⃗⃗ =−AG ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−(25a ⃗ +25b ⃗ )⋅(a ⃗ −b ⃗ )=−25(a ⃗ 2−b ⃗ 2)=−25×(32−22)=−2．16. 在△ABC 中，D 是线段AB 上靠近B 的一个三等分点，E 是线段AC 上靠近A 的一个四等分点，DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =4FE ⃗⃗⃗⃗ ，设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =m ⃗⃗⃗ ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =n ⃗ ． (1)用m ⃗⃗⃗ ，n ⃗ 表示AF⃗⃗⃗⃗⃗ ； (2)设G 是线段BC 上一点，且使EG//AF ，求|CG⃗⃗⃗⃗⃗ ||CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |的值．【答案】解：(1)因为D 是线段AB 上靠近B 的一个三等分点，所以AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ． 因为E 是线段AC 上靠近A 的一个四等分点，所以AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =14AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AE ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =14AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ． 因为DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =4FE ⃗⃗⃗⃗ ，所以DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =45DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =15AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −815AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 则AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +15AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −815AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =215AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +15(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +15BC⃗⃗⃗⃗⃗ ． 又AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =m ⃗⃗⃗ ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =n ⃗ ，所以AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +15BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =13m ⃗⃗⃗ +15n ⃗ ; (2)因为G 是线段BC 上一点，所以存在实数λ，使得CG⃗⃗⃗⃗⃗ =λCB ⃗⃗⃗⃗⃗ (0⩽λ⩽1)， 而E 是线段AC 上靠近A 的一个四等分点，因此EC ⃗⃗⃗⃗=34AC ⃗⃗⃗⃗⃗所以EG ⃗⃗⃗⃗⃗ =EC ⃗⃗⃗⃗ +CG ⃗⃗⃗⃗⃗ =34AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λCB ⃗⃗⃗⃗⃗ =34(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )−λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ =34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(34−λ)BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =34m ⃗⃗⃗ +(34−λ)n ⃗ ， 因为EG//AF ，所以存在实数μ，使AF⃗⃗⃗⃗⃗ =μEG ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 而由(1)知：AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =13m ⃗⃗⃗ +15n ⃗ ， 因此13m ⃗⃗⃗ +15n ⃗ =μ[34m ⃗⃗⃗ +(34−λ)n ⃗ ]， 而m ⃗⃗⃗ ，n ⃗ 不共线，因此{34μ=13μ(34−λ)=15，解得λ=310， 所以|CG ⃗⃗⃗⃗⃗ ||CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=310． 17. 如图所示，△ABC 中，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，D 为AB 中点，E 为CD 上一点，且DC =3EC ，AE 的延长线与BC 的交点为F ．(1)用向量a ⃗ ，b ⃗ 表示AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ； (2)用向量a ⃗ ，b⃗ 表示AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，并求出AE ︰EF 和BF ︰FC 的值． 【答案】解：(1)AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +23(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )=13AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =13×12×AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =16a ⃗ +23b ⃗ ； (2)设AE:EF =λ，则AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =1+λλAE ⃗⃗⃗⃗⃗ =1+λλ(16a ⃗ +23b ⃗ )=1+λ6λa ⃗ +2(1+λ)3λb ⃗ ， 设BF ：FC =μ，则AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =11+μAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μ1+μAC ⃗⃗⃗⃗⃗ =11+μa ⃗ +μ1+μb ⃗ ， 所以{1+λ6λ=11+μ2(1+λ)3λ=μ1+μ，解得λ=5，μ=4，因此AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =15a ⃗ +45b ⃗ ，AE ：EF =5，BF ：FC =4．18. 如图在矩形ABCD 中，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ,N 是CD 的中点，M 是线段AB 上的点，|a⃗ |=2,|b ⃗ |=1。
北京高考数学压轴题试题集锦(含详细解析)
北京高考数学压轴题试题集锦第1讲 真题分析【例1】 （2007北京理）已知集合{}12(2)k A a a a k =，，，≥，其中(12)i a i k ∈=Z ，，，，由A 中的元素构成两个相应的集合：{}()S a b a A b A a b A =∈∈+∈，，，，{}()T a b a A b A a b A =∈∈-∈，，，．其中()a b ，是有序数对，集合S 和T 中的元素个数分别为m 和n ． 若对于任意的a A ∈，总有a A -∉，则称集合A 具有性质P ．（I ）检验集合{}0123，，，与{}123-，，是否具有性质P 并对其中具有性质P 的集合，写出相应的集合S 和T ； （II ）对任何具有性质P 的集合A ，证明：(1)2k k n -≤； （III ）判断m 和n 的大小关系，并证明你的结论．（I ）解：集合{}0123，，，不具有性质P ． 集合{}123-，，具有性质P ，其相应的集合S 和T 是{}(13)(31)S =--，，，， {}(21)23T =-()，，，．（II ）证明：首先，由A 中元素构成的有序数对()i j a a ，共有2k 个．因为0A ∉，所以()(12)i i a a T i k ∉=，，，，； 又因为当a A ∈时，a A -∉时，a A -∉，所以当()i j a a T ∈，时，()(12)j i a a T i j k ∉=，，，，，． 从而，集合T 中元素的个数最多为21(1)()22k k k k --=，即(1)2k k n -≤． （III ）解：m n =，证明如下：（1）对于()a b S ∈，，根据定义，a A ∈，b A ∈，且a b A +∈，从()a b b T +∈，．如果()a b ，与()c d ，是S 的不同元素，那么a c =与b d =中至少有一个不成立，从而a b c d +=+与b d =中也至少有一个不成立．故()a b b +，与()c d d +，也是T 的不同元素．可见，S 中元素的个数不多于T 中元素的个数，即m n ≤，（2）对于()a b T ∈，，根据定义，a A ∈，b A ∈，且a b A -∈，从而()a b b S -∈，．如果()a b ，与()c d ，是T 的不同元素，那么a c =与b d =中至少有一个不成立，从而a b c d -=-与b d =中也不至少有一个不成立，故()a b b -，与()c d d -，也是S 的不同元素．可见，T 中元素的个数不多于S 中元素的个数，即n m ≤， 由（1）（2）可知，m n =．【例2】 （2009北京文）设数列{}n a 的通项公式为(,0)n a pn q n N p *=+∈>. 数列{}n b 定义如下：对于正整数m ，m b 是使得不等式n a m ≥成立的所有n 中的最小值.（Ⅰ）若11,23p q ==-，求3b ； （Ⅰ）若2,1p q ==-，求数列{}m b 的前2m 项和公式；（Ⅰ）是否存在,p q 使得32()m b m m N *=+∈？如果存在，求,p q 的取值范围；如果不存在，请说明理由.本题主要考查数列的概念、数列的基本性质，考查运算能力、推理论证能力、分类讨论等数学思想方法．本题是数列与不等式综合的较难层次题.（Ⅰ）由题意，得1123n a n =-， 解11323n -≥，得203n ≥. Ⅰ11323n -≥成立的所有n 中的最小正整数为7，即37b =. （Ⅰ）由题意，得21n a n =-， 对于正整数m ，由n a m ≥，得12m n +≥. 根据m b 的定义可知当21m k =-时，()*m b k k N =∈； 当2m k =时，()*1m b k k N =+∈.Ⅰ()()1221321242m m m b b b b b b b b b -+++=+++++++()()1232341m m =++++++++++⎡⎤⎣⎦()()213222m m m m m m ++=+=+. （Ⅰ）假设存在p 和q 满足条件，由不等式pn q m +≥及0p >得m qn p-≥. Ⅰ32()m b m m N *=+∈,根据m b 的定义可知，对于任意的正整数m 都有3132m qm m p-+<≤+， 即()231p q p m p q --≤-<--对任意的正整数m 都成立. 当310p ->（或310p -<）时，得31p q m p +<--（或231p qm p +≤--），这与上述结论矛盾！当310p -=，即13p =时，得21033q q --≤<--，解得2133q -≤<-.（经检验符合题意） Ⅰ 存在p 和q ，使得32()m b m m N *=+∈；p 和q 的取值范围分别是13p =，2133q -≤<-. 【例3】 （2009北京理）已知数集{}()1212,,1,2n n A a a a a a a n =≤<<≥具有性质P ：对任意的(),1i j i j n ≤≤≤，i j a a 与j ia a 两数中至少有一个属于A .（Ⅰ）分别判断数集{}1,3,4与{}1,2,3,6是否具有性质P ，并说明理由； （Ⅰ）证明：11a =，且1211112nn na a a a a a a ---+++=+++； （Ⅰ）证明：当5n =时，12345,,,,a a a a a 成等比数列.本题主要考查集合、等比数列的性质，考查运算能力、推理论证能力、分类讨论等数学思想方法．本题是数列与不等式的综合题，属于较难层次题.（Ⅰ）由于34⨯与43均不属于数集{}1,3,4，Ⅰ该数集不具有性质P. 由于66123612,13,16,23,,,,,,231236⨯⨯⨯⨯都属于数集{}1,2,3,6，Ⅰ该数集具有性质P. （Ⅰ）Ⅰ{}12,,n A a a a =具有性质P ，Ⅰn n a a 与nna a 中至少有一个属于A ， 由于121n a a a ≤<<<，Ⅰn n n a a a >，故n n a a A ∉.从而1nna A a =∈，Ⅰ11a = Ⅰ121n a a a =<<<， Ⅰk n n a a a >，故()2,3,,k n a a A k n ∉=.由A 具有性质P 可知()1,2,3,,nka A k n a ∈=.又Ⅰ121n nn nn n a a a a a a a a -<<<<， Ⅰ121121,,,n nn n n n n n a a a aa a a a a a a a --====， 从而121121n nn nn n n n a a a a a a a a a a a a --++++=++++，Ⅰ1211112nn na a a a a a a ---+++=+++. （Ⅰ）由（Ⅰ）知，当5n =时，有552343,a a a a a a ==，即25243a a a a ==，Ⅰ1251a a a =<<<，Ⅰ34245a a a a a >=，Ⅰ34a a A ∉，由A 具有性质P 可知43a A a ∈. 由2243a a a =，得3423a a A a a =∈，且3321a a a <<，Ⅰ34232a aa a a ==， Ⅰ534224321a a a a a a a a a ====， 即12345,,,,a a a a a 是首项为1，公比为2a 成等比数列.【例4】 （2010北京理）已知集合12{|(,,),{0,1},1,2,,}(2)n n i S X X x x x x i n n ==∈=≥…，…对于12(,,,)n A a a a =…，12(,,,)n n B b b b S =∈…，定义A 与B 的差为 1122(||,||,||);n n A B a b a b a b -=---…A 与B 之间的距离为=1(,)||i i i d A B a b =-∑（Ⅰ）证明：,,,n n A B C S A B S ∀∈-∈有，且(,)(,)d A C B C d A B --=; （Ⅰ）证明：,,,(,),(,),(,)n A B C S d A B d A C d B C ∀∈三个数中至少有一个是偶数 (Ⅰ) 设P n S ⊆，P 中有m (m ≥2)个元素，记P 中所有两元素间距离的平均值为()P d，证明：()P d≤2(1)mnm -.证明：（I ）设12(,,...,)n A a a a =，12(,,...,)n B b b b =，12(,,...,)n C c c c =n S ∈因为i a ，{}0,1i b ∈，所以{}0,1i i a b -∈,(1,2,...,)i n = 从而1122(||,||,...,||)n n n A B a b a b a b S -=---∈ 又1(,)||||||niiiii d A C B C a c b c =--=---∑由题意知i a ，i b ，i c {}0,1∈(1,2,...,)i n =. 当0i c =时，|||||||||i i i i i i a c b c a b ---=-;当1i c =时，|||||||(1)(1)|||i i i i i i i i a c b c a b a b ---=---=- 所以1(,)||(,)niii d A C B C a b d A B =--=-=∑(II)设12(,,...,)n A a a a =，12(,,...,)n B b b b =，12(,,...,)n C c c c =n S ∈(,)d A B k =，(,)d A C l =，(,)d B C h =.记(0,0,...,0)n O S =∈，由（I ）可知(,)(,)(,)d A B d A A B A d O B A k =--=-= (,)(,)(,)d A C d A A C A d O C A l =--=-=(,)(,)d B C d B A C A h =--=所以||(1,2,...,)i i b a i n -=中1的个数为k ，||(1,2,...,)i i c a i n -=的1的个数为l 。