1994考研数学三真题及解析

1994年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.) (1)

2

222x x

dx x -+=+⎰_____________.

(2) 已知()1f x '=-,则0

00lim

(2)()

x x

f x x f x x →=---_____________.

(3) 设方程2

cos xy e y x +=确定y 为x 的函数,则

dy

dx

=_____________. (4) 设121000000,00000

0n n a a

A a a -⎡⎤⎢⎥⎢

⎥

⎢⎥=⎢

⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦

L

L M M M

M L L

其中0,1,2,,,i a i n ≠=L 则1A -=_____________.

(5) 设随机变量X 的概率密度为

2,01,

()0,x x f x <<⎧=⎨

⎩

其他， 以Y 表示对X 的三次独立重复观察中事件12X ⎧⎫

≤

⎨⎬⎩⎭

出现的次数,则{}2P Y == _____________.

二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)

(1) 曲线2

1

21

arctan (1)(2)

x x x y e x x ++=+-的渐近线有 ( )

(A) 1条 (B) 2条 (C) 3条 (D) 4条 (2) 设常数0λ>,而级数

21

n

n a

∞

=∑收敛,

则级数

1

(1)

n

n ∞

=-∑ ( )

(A) 发散 (B) 条件收敛 (C) 绝对收敛 (D) 收敛性与λ有关 (3) 设A 是m n ⨯矩阵,C 是n 阶可逆矩阵,矩阵A 的秩为r ,矩阵B AC =的秩为1r ,则

( )

(A) 1r r > (B) 1r r <

(C) 1r r = (D) r 与1r 的关系由C 而定

(4) 设0()1,0()1,()()1P A P B P A B P A B <<<<+=,则 ( )

(A) 事件A 和B 互不相容 (B) 事件A 和B 相互对立

(C) 事件A 和B 互不独立 (D) 事件A 和B 相互独立

(5) 设12,,,n X X X L 是来自正态总体2

(,)N μσ的简单随机样本,X 是样本均值,记

222

21

211

222

2341

1

11(),(),11

1

(),(),1n n i i i i n

n

i i i i S X X S X X n n S X S X n n μμ=====-=--=

-=

--∑∑∑∑

则服从自由度为1n -的t 分布的随机变量是 ( )

(A) X t S μ-=

(B) X t S μ

-=

(C) X t S μ-=

(D) X t S μ

-=

三、(本题满分6分)

计算二重积分

(),D

x y dxdy +⎰⎰

其中{}22

(,)1D x y x y x y =+≤++.

四、(本题满分5分)

设函数()y y x =满足条件440,

(0)2,(0)4,

y y y y y '''++=⎧⎨'==-⎩求广义积分0

()y x dx +∞⎰.

五、(本题满分5分)

已知2

2

(,)arctan arctan y x f x y x y x y

=-,求2f x y ∂∂∂.

六、(本题满分5分)

设函数()f x 可导,且10

(0)0,()()x

n n n f F x t f x t dt -==-⎰

,求20

()

lim

n

x F x x

→.

七、(本题满分8分)

已知曲线0)y a =>

与曲线ln y =00(,)x y 处有公共切线,求:

(1) 常数a 及切点00(,)x y ；

(2) 两曲线与x 轴围成的平面图形绕x 轴旋转所得旋转体的体积x V .

八、(本题满分6分)

假设()f x 在[,)a +∞上连续,()f x ''在(),a +∞内存在且大于零,记

()()

()()f x f a F x x a x a

-=

>-,

证明()F x 在(),a +∞内单调增加.

九、(本题满分11分) 设线性方程组

231121312312223223

132********

434,,

,.

x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a ⎧++=⎪++=⎪⎨++=⎪⎪++=⎩ (1) 证明:若1234,,,a a a a 两两不相等,则此线性方程组无解；

(2) 设1324,(0)a a k a a k k ====-≠,且已知12,ββ是该方程组的两个解,其中

12111,1,11ββ-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥

⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦

写出此方程组的通解.

十、(本题满分8分)

设0011100A x y ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦

有三个线性无关的特征向量,求x 和y 应满足的条件.

十一、(本题满分8分)

假设随机变量1234,,,X X X X 相互独立,且同分布

{}{}00.6,10.4(1,2,3,4)i i P X P X i =====,

求行列式123

4

X X X X X =

的概率分布.