八年级初二数学下学期二次根式单元 易错题难题同步练习试题
八年级初二数学下学期二次根式单元 易错题难题同步练习试题
一、选择题
1．下列运算中，正确的是 ( ) A ．53－23=3 B ．22×32=6 C ．33÷3=3
D ．23＋32=55
2．下列各式成立的是（ ） A ．2(3)3-= B ．633-=
C ．222()33
-
=- D ．2332-=
3．计算()
21
273632
÷+?--的结果正确的是( ) A ．3
B ．3
C ．6
D ．33-
4．下列运算中，正确的是( ) A ．1333??
+
? ???
=3 B ．(12-7)÷3=-1 C ．32÷
1
22
=2 D ．(2+3)×3=63+
5．若2()a b a b -=--则（ ） A ．0a b +=
B ．0a b -=
C ．0ab =
D ．2
2
0a b +=
6．下列各式中,正确的是（ ） A ．16=±4 B ．±16=4
C ．
26628
?= D ．4
2783+?=
- 4
7．下列说法中正确的是（ ） A ．25的值是±5 B ．两个无理数的和仍是无理数 C ．-3没有立方根. D ．22-a b 是最简二次根式.
8．已知：a=123-，b=1
23
+，则a 与b 的关系是（ ） A ．相等
B ．互为相反数
C ．互为倒数
D ．平方相等
9．下列二次根式中，与3是同类二次根式的是（ ） A ．18
B ．
1
3
C 24
D 0.3
10．751m +m 的值为（ ） A ．7
B ．11
C ．2
D ．1
11．下列运算一定正确的是( )
A ．2a a =
B ．ab a b =?
C ．222()a b a b ?=?
D ．()0n m
n
a
a m
=
≥ 12．下列属于最简二次根式的是( ) A ．8
B ．5
C ．4
D ．
13
二、填空题
13．已知2215x 19x 2+--=，则2219x 215x -++=________． 14．把1
m m
-
根号外的因式移到根号内，得_____________. 15．下面是一个按某种规律排列的数阵：
1
1第行
3
2
5 6
2第行
7
22
3
10 11 23
3第行 13
15
4
17
32 19
25
4第行
根据数阵排列的规律，第 5 行从左向右数第 3 个数是 ，第 n （n 3≥ 且 n 是整数）行从左向右数第 n 2- 个数是 （用含 n 的代数式表示）． 16．已知|a ﹣2007|+2008a -=a ，则a ﹣20072的值是_____．
17．将一组数2，2，6，22，10，…，251按图中的方法排列：
若2的位置记为（2，3），7的位置记为（3，2），则这组数中最大数的位置记为______．
18．若a 、b 为实数，且b 2211a a -+-+4，则a+b ＝_____． 19．4102541025-+++=_______． 20．函数y ＝
42
x
x --中，自变量x 的取值范围是____________． 三、解答题
21．2
-+
1 【分析】
先根据二次根式的乘除法法则计算乘除法，同时分别化简各加数中的二次根式，最后计算加减法. 【详解】
2
-+
=1)2(3+?
=12
1. 【点睛】
此题考查二次根式的混合运算，二次根式的化简，正确掌握二次根式的化简法则是解题的关键.
22．阅读下面问题： 阅读理解：
==1；
==
2
=
=-．
应用计算：（1
（2
（n 为正整数）的值．
归纳拓展：（3
98+
+
【答案】应用计算：（12 归纳拓展：（3）9． 【分析】
由阅读部分分析发现式子的分子、分母都乘以分母的有理化因式，为此（1）乘以7-6分母利用平方差公式计算即可，（2）乘以n 1-n +分母利用平方差公式计算即可，（3）根据分母的特点各项分子分母乘以各分母的有理化因式，分母用公式计算化去分母，分子合并同类项二次根式即可． 【详解】
（1）
(
)(
)
7-6
==7-67+6
7+6
7-6
．
（2）
(
)(
)
n 1-==n 1-n 1+n 1+n 1-n
n n
n
n
+++++．
（3）+++
+
+
1+22+33+498+9999+100，
()()(
)(
)(
)(
)
(
)(
)(
)()
2-1
3-24-399-98
100-99=
+
+
++
+
1+22-12+3
3-2
3+4
4-3
98+99
99-98
99+100
100-99，
=2-1+3-2+4-3++99-98+100-99，
=100-1， =10-1， =9． 【点睛】
本题考查二次根式化简求值问题，关键找到各分母的有理化因式，用平方差公式化去分母．
23．阅读下列材料，然后解答下列问题：
在进行代数式化简时，我们有时会碰上如3，31
+这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： (一5353
333
?==? (二231)
3131(31)(31)
-=++-（； (三22(3)1(31)(31)3131313131
-+-===++++.
以上这种化简的方法叫分母有理化． (1)5+3
：
①参照(二)式化简2
5+3
＝__________. ②参照(三)式化简5+3
＝_____________ (2)化简：
++++
315+37+5
99+97
+.
【答案】见解析. 【分析】
（1）原式各项仿照题目中的分母有理化的方法计算即可得到结果； （2）原式各项分母有理化，计算即可. 【详解】 解:(1)①
;
②; (2)原式
故答案为:(1)①;②
【点睛】
此题主要考查了二次根式的有理化，解答此题要认真阅读前面的分析，根据题目的要求选择合适的方法解题.
24．观察下列等式： 212121(21)(21)
-==++-；32
3232(32)(32)
==++-43
4343(43)(43)
==++- 回答下列问题：
（12322
+
（2）计算：12
+23+34+99100+
【答案】（1（2）9 【分析】
（1）根据已知的31
=-n=22代入即可
求解；（2）先利用上题的规律将每一个分数化为两个二次根式的差的形式，再计算即可． 【详解】
解：（1
=
（2+
99+
=1100++-
=1 =10-1 =9.
25．先化简，再求值：a ，其中
【答案】2a-1，【分析】
先根据二次根式的性质进行化简，再代入求值即可． 【详解】
解：
1a =-∴原式=1a a --=21a -
当1a =-
∴原式=(211-
=1-【点睛】
此题主要考查化简求值，正确理解二次根式的性质是解题关键．
26．计算
（1+（2+-
（3÷ （4）(
【答案】（1）23）
4
；（4）7．
【分析】
（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
（2）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
（3）根据二次根式的乘除法则运算；
（4）利用平方差公式计算；
【详解】
（1+
22
=+
=；
（2
=
=；
（3÷
2b
=
=；
（4）(
(22
=-
=7
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了平方差公式．
27．计算：
（1）
0 1 2?? ?
??
（2）(4
【答案】（1）-5;（2）9【分析】
（1）第一项利用算术平方根的定义计算，后一项利用零指数幂法则计算，即可得到结果； （2）利用平方差公式计算即可． 【详解】
（1）0
12?? ???
41=--， 5=-；
（2）(4
167=-
9=．
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算以及零指数幂，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
28．计算（11)1)?； （2）
【答案】（12+；（2）. 【解析】
分析：先将二次根式化为最简，然后再进行二次根式的乘法运算.
详解：（1)
1
1+；
＝()31-
2 ；
（2）原式＝(22
?,
＝
＝3?
＝
＝
点睛：此题考查了二次根式的混合运算，熟练化简二次根式后，在加减的过程中，有同类二次根式的要合并；相乘的时候，被开方数简单的直接让被开方数相乘，再化简；较大的也可先化简，再相乘，灵活对待．
29．观察下列各式．
====…… 根据上述规律回答下列问题． （1）接着完成第⑤个等式： _____；
（2）请用含(1)n n ≥的式子写出你发现的规律； （3）证明（2）中的结论．
【答案】（1=2(n =+3）见解析 【分析】
（1）当n=5=
（2(n =+ （3）直接根据二次根式的化简即可证明． 【详解】
解：（1=
（2(n =+
（3=(n ==+【点睛】
此题主要考查探索数与式的规律，熟练发现规律是解题关键．
30．（1|5-+；
（2）已知实数a 、b 、c 满足|3|a +=，求2(b a +的值．
【答案】（1）5；（2）4 【分析】
（1）先利用二次根式的乘法法则和绝对值的意义计算，再进行回头运算即可； （2）先根据二次根式有意义的条件确定b 的值，再根据非负数的和的意义确定a ，c 的值，然后再计算代数式的值即可． 【详解】
解：（15-+
5)=+
5=+
5=
（2）由题意可知：
50 50 b
b
-≥?
?
-≥?
,
解得5
b=
由此可化简原式得，30
a+=
30
a
∴+=，20
c-=
3
a
∴=-，2
c=
22
((534
b a
∴+=--=
【点睛】
可不是考查了二次根式的混合运算以及二次根式的化简求值，熟练掌握运算法则和运算顺序是解答此题的关键．
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一、选择题
1．C
解析：C
【分析】
根据二次根式的加减法对A、D进行判断；根据二次根式的乘法法则对B进行判断；根据二次根式的除法法则对C进行判断．
【详解】
A、A选项错误；
B、×=12，所以B选项错误；
C、3，所以C选项正确；
D、，不能合并，所以D选项错误；
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算，正确掌握运算法则是解题关键．
2．A
解析：A
【分析】
根据各个选项中的式子，可以计算出正确的结果，从而可以解答本题．
【详解】
解：A3
=，故A正确；
B-不能合并，故B错误；
C、22
(
3
=，故C错误；
D、=D错误；
故选：A．
【点睛】
本题考查二次根式的混合运算，解答本题的关键是明确二次根式混合运算的计算方法．3．A
解析：A
【分析】
分别根据二次根式的除法和乘法法则以及二次根式的平方计算每一项，再合并即可．【详解】
解：原式333
=+=
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了二次根式的混合运算，属于基础题型，熟练掌握二次根式的乘除法则是解题的关键．
4．D
解析：D
【分析】
根据二次根式的加减乘除法则逐项判断即可得．
【详解】
A314
=+=，此项错误
B、2
3
==-，此项错误
C2428
===?=，此项错误
D、3
=，此项正确
故选：D．
【点睛】
本题考查了二次根式的加减乘除运算，熟记二次根式的运算法则是解题关键．
5．C
解析：C
【分析】
直接利用二次根式的性质，将已知等式左边化简，可以得到a与b中至少有一个为0，进而分析得出答案即可．
解:∵a b =--， ∴a-b=-a-b ， 或b-a=-a-b
∴a= -a ，或b=-b, ∴a=0,或b=0, ∴ab=0, ∴0ab =． 故选：C ． 【点睛】
本题考查了二次根式的性质与化简，正确掌握二次根式的性质是解题的关键．
6．C
解析：C 【分析】
根据算术平方根与平方根的定义、二次根式的加法与乘除法逐项判断即可． 【详解】
A 4=，此项错误
B 、4=±，此项错误
C
2==，此项正确
D == 故选：C ． 【点睛】
本题考查了算术平方根与平方根的定义、二次根式的加法与乘除法，掌握二次根式的运算法则是解题关键．
7．D
解析：D 【分析】
根据算术平方根和平方根的概念，无理数的概念立方根的概念，和二次根式的概念逐一判断即可． 【详解】
5=，故A 选项错误；
0ππ-+=，故B 选项错误；
-3=，故C 选项错误；
D 选项正确；
故选D ． 【点睛】
本题考查了算术平方根和平方根的区别，无理数、二次根式和立方根的概念，题目较为综合，熟练掌握相关概念是本题的关键．
解析：C 【解析】 因为1
a b ?=
=,故选C. 9．B
解析：B 【详解】
A 不是同类二次根式，故此选项错误；
B
C =不是同类二次根式，故此选项错误；
D =10
不是同类二次根式，故此选项错误； 故选B ．
10．C
解析：C 【分析】
几个二次根式化为最简二次根式后，如果被开方数相同，则这几个二次根式即为同类二次根式. 【详解】
解=m=7时==，故A 错误；当m=11
时==B 错误；当m=1
时=
故D 错误；
当m=2时=故C 正确；
故选择C. 【点睛】
本题考查了同类二次根式的定义.
11．C
解析：C 【分析】
直接利用二次根式的性质与化简以及积的乘方运算法则分别计算即可得出答案． 【详解】
A |a |，故此选项错误；
B ．，则a ，b 均为非负数，故此选项错误；
C ．a 2?b 2=（a ?b ）2，正确；
D m n a（a≥0），故此选项错误．
故选C．
【点睛】
本题主要考查了二次根式的性质与化简以及积的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题的关键．
12．B
解析：B
【分析】
判断一个二次根式是否为最简二次根式主要方法是根据最简二次根式的定义进行，或直观地观察被开方数的每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2，且被开方数中不含有分母，被开方数是多项式时要先因式分解后再观察．
【详解】
解：A，不符合题意；
B
C=2，不符合题意；
D
故选B．
【点睛】
本题考查了最简二次根式的定义．在判断最简二次根式的过程中要注意：
（1）在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式；
（2）在二次根式的被开方数中的每一个因式（或因数），如果幂的指数大于或等于2，也不是最简二次根式．
二、填空题
13．【解析】
【分析】
用换元法代替两个带根号的式子，得出m、n的关系式，解方程组求m、n的值即可．
【详解】
设m＝，n＝，
那么m?n＝2①，
m2＋n2＝()2＋()2＝34②．
由①得，m＝2
解析：13
【解析】
【分析】
用换元法代替两个带根号的式子，得出m、n的关系式，解方程组求m、n的值即可．【详解】
设m n
那么m?n＝2①，
m2＋n2＝2＋2＝34②．
由①得，m＝2＋n③，
将③代入②得：n2＋2n?15＝0，
解得：n＝?5（舍去）或n＝3，
因此可得出，m＝5，n＝3（m≥0，n≥0）．
n＋2m＝13．
【点睛】
此题考查二次根式的减法，本题通过观察，根号里面未知数的系数为相反数，可通过换元法求解．
14．-
【解析】
【分析】
根据二次根式的性质，可得答案
【详解】
由题意可得：，即
∴
故答案为
【点睛】
本题考查了二次根式的性质与化简，利用了二次根式的性质．解答关键在于根据二次根式的性质确定
解析：
【解析】
【分析】
根据二次根式的性质，可得答案
【详解】
由题意可得：1
m
，即0
m
∴11m
m m m
m m
m
故答案为【点睛】
本题考查了二次根式的性质与化简，利用了二次根式的性质．解答关键在于根据二次根式的性质确定m的取值范围.
15．；．
【分析】
根据被开方数是连续的自然数写出即可；根据每一行的最后一个数的被开方数是所在的行数乘比行数大1的数写出第（n-
1）行的最后一个数，然后被开方数加上（n-2）即可求解．
【详解】
观察表
【分析】
根据被开方数是连续的自然数写出即可；根据每一行的最后一个数的被开方数是所在的行数乘比行数大1的数写出第（n-1）行的最后一个数，然后被开方数加上（n-2）即可求解．
【详解】
观察表格中的数据可得，第5行从左向右数第3=
∵第（n-1，
∴第n（n≥3且n是整数）行从左向右数第n-2个数是
．
．
【点睛】
本题是对数字变化规律的考查，观察出被开方数是连续自然数并且每一行的最后一个数的被开方数是所在的行数乘比行数大1的数是解题的关键．
16．2008
【解析】
分析：本题首先能够根据二次根式的被开方数为非负数的条件，得到a的取值范围；再根据a的取值范围，化简去掉绝对值；最后进行整理变形．
详解：∵|a﹣2007|+=a，∴a≥2008，
解析：2008
【解析】
分析：本题首先能够根据二次根式的被开方数为非负数的条件，得到a的取值范围；再根据a的取值范围，化简去掉绝对值；最后进行整理变形．
详解：∵|a﹣2007=a，∴a≥2008，∴a﹣2007=a，
=2007，两边同平方，得：a﹣2008=20072，∴a﹣20072=2008．
故答案为：2008．
点睛：解决此题的关键是能够得到a的取值范围，从而化简绝对值并变形．
17．（17,6） 【解析】
观察、分析这组数据可发现：第一个数是的积；第二个数是的积；第三个数是的积，的积.
∵这组数据中最大的数：， ∴是这组数据中的第102个数. ∵每一行排列了6个数，而 ∴是第1
解析：（17,6） 【解析】
的积，
.
∵这组数据中最大的数：
∴
102个数. ∵每一行排列了6个数，而1026=17÷ ∴
17行第6个数，
∴这组数据中最大的一个数应记为（17，6）.
点睛：（1）这组数据组中的第n 2）该组数据是按从左到右，从小到
大，每行6个数进行排列的；（3）6n ÷6n ÷的余数是
所在的列数.
18．5或3 【分析】
根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出a 的值，b 的值，根据有理数的加法，可得答案． 【详解】
由被开方数是非负数，得 ，
解得a ＝1，或a ＝﹣
解析：5或3 【分析】
根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出a 的值，b 的值，根据有理数的加法，可得答案． 【详解】
由被开方数是非负数，得
22
10
10
a a ?-≥?-≥?， 解得a ＝1，或a ＝﹣1，
b ＝4， 当a ＝1时，a +b ＝1+4＝5， 当a ＝﹣1时，a +b ＝﹣1+4＝3， 故答案为5或3． 【点睛】
本题考查了函数表达式有意义的条件，当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
19．【分析】
设，将等式的两边平方，然后根据完全平方公式和二次根式的性质化简即可得出结论． 【详解】
解：设，由算术平方根的非负性可得t≥0， 则 ．
故答案为：． 【点睛】 此题考查的是二
【分析】
t =，将等式的两边平方，然后根据完全平方公式和二次根式的性质化简即可得出结论． 【详解】
t =，由算术平方根的非负性可得t ≥0，
则244t =+
8=+
=+
8
=+
81)
=+
6
2
1)
=
∴=．
t
1
．
【点睛】
此题考查的是二次根式的化简，掌握完全平方公式和二次根式的性质是解题关键．20．x≤4且x≠2
【分析】
根据被开方数是非负数、分母不能为零，可得答案．
【详解】
解：由y=，得4-x≥0且x-2≠0．
解得x≤4且x≠2．
【点睛】
本题考查了函数自变量的取值范围，利用被开方
解析：x≤4且x≠2
【分析】
根据被开方数是非负数、分母不能为零，可得答案．
【详解】
解：由，得4-x≥0且x-2≠0．
解得x≤4且x≠2．
【点睛】
本题考查了函数自变量的取值范围，利用被开方数是非负数、分母不能为零得出4-x≥0且x-2≠0是解题关键．
三、解答题
21．无
22．无
23．无
24．无
25．无26．无27．无28．无29．无30．无