数列的基本性质和常用结论

数列的基本性质和常用结论

一、等差数列 1.等差数列的判定方法

（1）用定义：对任意的n ，都有1n n a a d +-=（d 为常数）?{}n a 为等差数列（定义法） （2）122n n n a a a ++=+（n ∈*

N ）?{}n a 为等差数列（等差中项）

(3) n a =pn+q (p ， q 为常数且p ≠0)（即为关于n 的一次函数） ?{}n a 为等差数列

(4) 2

n S pn qn =+ (p ， q 为常数)（即为关于n 的不含常数项的二次函数） ?{}n a 为等差数列

2.常用性质

(1) 若数列{}n a ，{}n b 为等差数列，则数列{}n a k +，{}n k a ，{}n n a b ±，{}n ka b +(k ， b 为非零常数)

均为等差数列.

(2) 对任何m ，n ∈*

N ，在等差数列{}n a 中，有()n m a a n m d =+-，特别的，当m=1时，便得到等差数

列的通项公式。另外可得公差d=

11

n a a n --，或d=

n m a a n m

--

(3) 若m+n=p+q (m ，n ，p ，q ∈*

N )，则n m a a +=p q a a +.特别的，当n+m=2k 时，得n m a a +=2k a

(4) {}n a 是有穷等差数列，则与首末两项等距离的两项之和都相等，且等于首末两项之和，即

121321n n n i n i a a a a a a a a --+-+=+=+=??????=+=???。

(5) 在等差数列{}n a 中，每隔k(k ∈*

N )项取出一项，按原来的顺序排列，所得的数列仍为等差数列，且公

差为(k+1)d(例如：1a ，4a ，7a ，10a ??????仍为公差为3d 的等差数列)

(6) 如果{}n a 是等差数列，公差为d ，那么n a ，1n a -，??????2a ，1a 也是等差数列，其公差为d -. (7) 若数列{}n a 为等差数列，则记12k k S a a a =++??????+，2122k k k k k S S a a a ++-=++??????+，

3221223k k k k k S S a a a ++-=++??????+，则k S ，2k k S S -，32k k S S -仍成等差数列，且公差为2

k d

3.等差数列前n 项和公式：2

111()

(1)

()2

2

2

2

n n

n a a n n d d S n a d n a n +-=

=+

=

+-

4.等差数列前n 项和n S 常用的基本性质：

（1）在等差数列{}n a 中，当项数为2n (n ∈*

N )时，1

,

n n S a S S n d S a +-==

奇偶奇偶

(即中间两项之比)，

当项数为2n +1(n ∈*

N )时，11,

n S n S S a S n

++-==

奇偶奇偶

(即奇偶项数之比)

(2).若等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和为,n n S T (n 为奇数)，则

121

1212112112121

()

22()2

2

n n n n n n n

n a a n a a a S b b n b b b T ------++=

==++

(3)在等差数列{}n a 中.n S =a ，m S b =，则()n m n m S a b n m

++=

--，特别地， 当n m S S =时，0n m S +=， 当

n S =m ，m S =n 时()n m S n m +=-+

(4) 若n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，则数列{

}n S n

也为等差数列.

(5) 记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ：①若1a >0，公差d<0，则当100

n n a a +≥??

≤?时，则n S 有最大值；②若1a <0，

公差d>0，则当1

0n n a a +≤??≥?时，则n S 有最小值。求n S 最值的方法也可先求出n S ，再用配方法求解。

二、等比数列 1.等比数列的判定方法

（1）用定义：对任意的n ，都有1(0)n n n a qa a +=≠?

1n n

a q a +=(q ≠0) ?{}n a 为等比数列（定义法）

（2）2

11n n n a a a +-=（11n n a a +-≠0）?{}n a 为等比数列（等比中项） (3) 若数列通项公式为：1

(,0n n a aq

a q -=是不为的常数)?{}n a 为等比数列（通项公式法）

2.常用性质

(1).若数列{}n a ，{}n b 为等比数列，则数列1{}n

a ，{}n k a ，2

{}n a ，21{}n a -，{}n n a b {

}n n

a b (k 为非零常数)

均为等比数列.

(2) 对任何m ，n ∈*

N ，在等比数列{}n a 中，有n m

n m a a q

-=，特别的，当m=1时，便得到等比数列的通

项公式.因此，此公式比等比数列的通项公式更具有一般性.

(3) 若m+n=p+q (m ， n ， p ， q ∈*

N )，则n m a a =p q a a .特别的，当n+m=2k 时，得n m a a =2

k a (4) {}n a 是有穷等比数列，则与首末两项等距离的两项之积都相等，且等于首末两项之积，即

121321n n n i n i a a a a a a a a --+-===??????==??? 。

(5) 在等比数列{}n a 中，每隔k(k ∈*

N )项取出一项，按原来的顺序排列，所得的数列仍为等比数列，且公比为1

k q

+ (例如：1a ，4a ，7a ，10a ??????仍为公比3

q 的等比数列)

(6) 如果{}n a 是等比数列，公比为q ，那么n a ，1n a -，???2a ，1a 也是等比数列，其公比为

1q

(8) q>1且

11

0{}0{}{n n

a a a a ><，则为递增数列

，则为递减数列

，1q <0<且

11

0{}0{}{n n

a a a a ><，则为递减数列

，则为递增数列

当q=1时，该数列为常数列（此时数列也为等差数列）；当q<0时，该数列为摆动数列。

3.等比数列前n

项和公式：111(1)(1)11(1)n

n n a a q

a q q S q q na q ?--=≠?

=--??

=?

４.等比数列前n 项和n S 常用的基本性质：

(1) 在等比数列{}n a 中，当项数为2n (n ∈*

N )时，

1S S q

=

奇偶

，.

(2) 若数列{}n a 为等差数列，则记12k k S a a a =++??????+，2122k k k k k S S a a a ++-=++??????+，

3221223k k k k k S S a a a ++-=++??????+，则k S ，2k k S S -，32k k S S -仍成等比数列，且公差为k

q

三、通项公式n a 的求法

(1)观察法：各项的规律明显，对分式分别看分子和分母的规律。

(2)公式法：①利用等差数列或等比数列的通项公式.

②利用n a 与n S 的关系: 11n n n S a S S -?=?

-≥? n =1　n 2

特别注意：该公式对一切数列都成立。

(3)累加法：12132431()()()()n n n a a a a a a a a a a -=+-+-+-+??????+- (4)累乘法：32411

2

3

1

(

)()()(

)n n n a a a a a a a a a a -=??????

四、数列前n 项和n S 的求法

(1) 公式法：直接利用等差或等比数列求和公式

(2) 倒序相加法（参照等差数列前n 项和公式的推导） (3) 错位相减法（参照等比数列前n 项和公式的推导） (4) 分组求和法 (5) 裂项相消法