考研量子力学量子力学

一、课程总体说明

1、课程性质

量子力学是近代物理两大支柱之一，是近代物理的重要基础。因而本课是物理专业最重要的一门专业基础必修课。

2、学习目的

（1）系统地了解微观世界的基本规律；

（2）理解掌握量子力学基本概念和基本原理，并能应用基本概念和规律解释微观现象；

（3）了解量子力学史上的重要物理思想，培养辩证唯物主义的世界观和科学方法。

3、主要内容

量子力学主要内容包括：量子力学发展简况，波函数，薛定谔方程，力学量和算符，态和力学量的表象，微扰论，自旋和全同粒子。

4、主要考核目标

（1）掌握波粒二象性是一切物质客体所具有的普遍属性。

（2）正确理解和熟练掌握描写微观粒子运动状态的波函数的意义及量子力学的基本方程—薛定谔方程的求解。

（3）熟练掌握力学量用算符表示后量子力学规律所取的形式及力学量与算符的关系。

（4）了解表象的物理意义和一些简单的表象变换。

（5）掌握用久期方程求解算符的本征值和本征函数的方法。

（6）正确理解定态微扰论的方法和使用条件,熟练掌握非简并情况下体系能级的二级近似值与一级近似波函数的计算方法,了解与时间有关的微扰理论。

（7）认识微观粒子的自旋角动量的性质,熟记自旋角动量算符与自旋波函数的表达方式。

（8）理解全同粒子的不可区分性、全同性原理以及波函数的对称性与统计法之间的关系。

二、章节说明:本课程重点阐述非相对论量子力学之波动力学的完整自洽的知识

体系。考虑到专业特点和学时要求，在保留量子力学完整知识结构的基础上，我

们删减了一些章节的内容。主要内容如下：

第一章 绪论

掌握§1-§4，重点和难点是§4。

1、 了解经典物理学的困难，黑体辐射、光电效应和原子的线状光谱及其规律。

2、 了解光的波粒二象性，理解Planck 能量子假设、Einstein 的光量子理论和Bohr

的原子量子论。

3、 掌握Compton 效应的内容和物理含义。

4、 理解德布罗意的物质波思想，熟练掌握德布罗意波的表示和波长的计算方法。

第二章 波函数和薛定谔方程

掌握§1-§8，重点是§5-§7，难点是§1和§4，主要内容如下：

1、 理解波函数),(t r 的统计解释；

2、 了解态迭加原理及其物理意义；

3、 理解薛氏方程的建立；

4、 理解几率流密度和粒子数守恒定率；熟练掌握几率连续性方程的数学表示和物

理含义；

5、 掌握定态薛氏方程；理解定态的定义和定态的特点；

6、 熟练掌握一维束缚态：无限深势阱和线性谐振子的求解过程和重要结论。

第三章 力学量和算符

掌握§1-§8，重点是§4-§7，难点是§7，主要内容如下：

1、掌握动量算符和角动量算符本征方程的求解；

2、理解电子在库仑场中的运动；了解氢原子（类氢原子）求解过程，熟练掌握其

结论；

3、 掌握力学量与算符的关系；

4、 熟练掌握计算力学量算符的对易关系；

5、 掌握厄密算符的本征值和本征函数的性质；掌握共同本征函数的性质；

6、 测不准关系，力学量完全集。

第四章态和力学量的表象

掌握§1-§6，重点是§1-§3，难点是§4－§6，具体要求如下：

1、理解态的表象和表象的物理含义；

2、理解坐标表象和动量表象间的变换关系，坐标表象和能量表象间的变换关系；

3、掌握算符的矩阵表示；

4、掌握量子力学公式的矩阵表示；熟练运用久期方程求解本征值的方法；

5、了解简单的表象变换。

6、了解如何使用Dirac符号表示态、力学量和量子力学公式，掌握占有数表象。

第五章微扰论

掌握§1-§9,重点是§1－§2，难点是§2和§6，主要内容如下：

1、熟练掌握非简并定态微扰论公式及其适用条件；利用公式计算量子体系的近似解；

2、了解简并微扰理论；

3、理解用简并微扰理论处理氢原子一级Stark效应的过程和结论；

4、了解近似求解量子体系的另外一种方法—变分法；

5、了解与时间有关的微扰论，跃迁几率。

第七章自旋和全同粒子

掌握§1-§2，§6-§7，了解§4-§5，§8-§9，重点是§1-§2，§6，难点是§6-§8，具体内容如下：

1、理解Stern-Gerlach实验；

2、熟练掌握单电子自旋，自旋算符与自旋波函数，完整波函数的概念；

3、理解光谱的精细结构及产生的原因；

4、理解全同粒子及其特性，全同性原理和泡利原理。

5、掌握两电子自旋波函数的构成及其应用。

四、自学指导及参考书

1． 强调对物理概念的理解，强调对量子力学知识体系的整体理解。

2． 注重量子力学基本原理的理解及其简单的应用，如：无限深势阱、谐振子和氢

原子等重要问题的求解及其结论，并与其对应的经典理论进行比较，力争把量子

力学理论融汇贯通。

3． 数学手段上，应多看示例，尽量避免陷入过多的、繁难的数学计算中。

4． 通过完成练习题，使自己加深对理论内容的理解，通过把实际物理过程用数学

模型求解，培养自己独立解决实际问题的能力。

(二) 填空题

https://www.360docs.net/doc/9113948259.html,pton 效应证实了 。

2.Bohr 提出轨道量子化条件的数

学表达式是 。

3.Sommerfeld 提出的广义量子

化条件

是 。 4.一质量为μ的粒子的运动速度远小于光速，其动能为E k ，其德布罗意波长

为 。

5.黑体辐射和光电效应揭示了 。

6.1924年,法国物理学家De Broglie 提出了微观实物粒子具

有 。

7.自由粒子的De Broglie 波函数为 。

8.用150伏特电压加速的电子，其De Broglie 波的波长

是 。

9.玻恩对波函数的统计解释是 。

10.一粒子用波函数Φ(,) rt 描写,则在某个区域dV 内找到粒子的几率

为 。

11.描写粒子同一状态

的波函数有 个 。

12.态迭加原理的内容是 。

13.一粒子由波函数ψ(,)(,)e x p ()x t c p t i p x d p =-∞

∞?12π 描写，则c p t (,)= 。

14.在粒子双狭缝衍射实验中，用ψ1和ψ2分别描述通过缝1和缝2的粒子的状态,

则粒子在屏上一点P 出现的几率密度为 。

15.一维自由粒子的薛定谔方程是 。

16.N 个粒子体系的薛定谔方程是 。

17.几率连续性方程是由 导出的。

18.几率连续性方程的数学表达式为 。

19.几率流密度矢量的定义式是 。

20.空间V 的边界曲面是S ，w 和 J 分别是粒子的几率密度和几率流密度矢量，则

???-=??V S S d J dV t w 的物理意义是 。

21.量子力学中的质量守恒定律是 。

22.量子力学中的电荷守恒定律是 。

23.波函数应满足的三个标准条件是 。

24.定态波函数的定义式是 。

25.粒子在势场Ur () 中运动，则粒子的哈密顿算符

为 。

26.束缚态的定义是 。

27.线性谐振子的零点能为 。

28.线性谐振子的两相邻能级间距为 。

29.当体系处于力学量算符 F

的本征态时,力学量F 有确定值，这个值就是相应该态的 。

30.表示力学量的算符都是 。

31.厄密算符的本征值必为 。

32.ψψτ p p r r d '*()()

?= 。 33.角动量平方算符的本征值为 。

34.角动量平方算符的本征

值的简并度

为 。

35.氢原子能级n =5的简并度为 。

36.氢原子的能级对角量子数l 简并，这是 场所特有的。

37.一般来说，碱金属原子的价电子的能级的简并度

是 。

38.氢原子基态的电离能为 。

39.氢原子体系n =2的能量是 。

40.处于ψθ?200

(,,)r 态的氢原子,其电子的角向几率分布是 。

41.厄密算符本征函数的正交归一性的数学表达式

是 。

42.厄密算符属于不同本征值的本征函数 。

43.力学量算符 F 的本征函数系为{()}φn x ，则本征函数系{()}φn x 的完全性

是 。

44.当体系处于ψφ()()x c x n n

n

=∑态时，其中{()}φn x 为 F 的本征函数系，在ψ()x 态中测量力学量F 为其本征值λn 的几率是 。

45.一力学量算符 F

既有分立谱又有连续谱，则 F 在任意态ψ()x 的平均值为 。

46.如果两个力学量算符有组成完全系的共同本征函数，则这两个算

符 。

47.完全确定三维空间的自由粒子状态需要三个力学量，它们

是 。

48.测不准关系反映了微观粒子的 。

49.若对易关系[ , ] A B i c

=成立，则 , A B 的不确定关系是 。

50.如果两个力学量算符对易，则在

中它们可同时具有确定值。

51.电子处于),(2

3),(211110?θ?θ--Y Y 态中，则电子角动量的z 分量的平均值为 。

52.角动量平方算符与角动量x 分量算符的对易关系等于 。

53. 角动量x 分量算符与动量的z 分量算符的对易关系等于 。

54. 角动量y 分量算符与坐标的z 分量算符的对易关系等于 。

55.=]?,?[y p y 。 56.粒子的状态由kx x cos )(=ψ描写，则粒子动量的平均值

是 。

57.一维自由粒子的动量本征函数是 。

58.角动量平方算符的本征值方程为 。

59.若不考虑电子的自旋，描写氢原子状态所需要的力学量的完全集合

是 。

60.氢原子能量是考虑了 得到的。

61.量子力学中， 称为表象。

62.动量算符在坐标表象的表达式是 。

63.角动量算符在坐标表象中的表示是 。

64.角动量y 分量的算符在坐标表象中的表示

是 。

65.角动量z 分量的算符在坐标表象中的表示

是 。

66.波函数),(t x ψ在动量表象中的表示

是 。

67.在动量表象中，具有确定动量p '的粒子，其动量算符的本征方程

是 。

68.已知 Q 具有分立的本征值{}Q n ，其相应本征函数为{()}u x n ，则任意归一化波

函数ψ(,)x t 可写为ψ(,)()()x t atux n

n n

=∑，则ψ(,)x t 在Q 表象中的表示是 。

69.量子力学中 Q 的本征函数为{()}u x n (n=1,2,3,...)有无限多, 称为Hilbert 空间。

70.接68题，力学量算符 (,)F x i x

??在Q 表象中的矩阵元的数学表达式为 。

71.量子力学中，表示力学量算符的矩阵是 矩阵。

72.接68题,力学量算符 (,)Q x i x

??在自身表象中的表示是 。

73.力学量算符在自身表象中的矩阵是 矩阵。

74.力学量算符 (,)F x i x

??在坐标表象中的矩阵元

为 。

75.幺正矩阵满足的条件是 。

76.幺正变换不改变力学量算符的 。

77.幺正变换不改变矩阵F 的 。

78.力学量算符 x

在动量表象中的微分形式

是 。 79.坐标表象中的薛定谔方程是),()](2[),(22

t r r U t r t i ψ+?-=ψμ

??，它在动量表象中的表示是 。

80.线性谐振子的哈密顿算符在动量表象中的微分形式

是 。

81.非简并定态微扰理论中，能量二级近似值为 。

82.非简并定态微扰理论中，波函数的一级近似表示

为 。

83.非简并定态微扰理论的适用条件是 。

84.Stark 效应是 。 85.氢原子处于弱电场 ε中，其体系的微扰哈密顿

是 。

86.在微扰作用下，t 时刻由Φk 态到Φm 态的跃迁几率

是 。

87.1925年，Ulenbeck 和Goudsmit 提出每个电子具有自旋角动量 S ，它在空间任

何方向的投影只能取两个数值，即是 。

88.Stern-Gerlach 实验证实了 。

89.Pauli 算符 , σ

σx z 的反对易关系式是 。 90.自旋角动量算符的定义式为 。

91.自旋角动量算符 S x 在z S 表象中的矩阵表示是 。

92.自旋角动量算符 S y 在z S 表象中的矩阵表示是 。

93.自旋角动量算符 S z 属于本征值- 2

的本征函数 在S z 表象中的矩阵表示是 。

94.Pauli 算符 , σ

σx z 的积算符在z σ表象中的矩阵表示是 。

95.全同性原理的内容是 。

96.全同粒子体系的哈密顿具有对称性。

97.全同粒子体系的波函数具有确定对称性，这种对称性不随改变。

98.如果全同粒子体系的波函数是反对称的，则组成该体系的全同粒子一定是。

99.Pauli原理的内容是。

100.自旋算符无经典对应力学量，这纯属于。

（三）判断题（说明必要的理由）

1.量子力学是18世纪20年代诞生的科学。

2.量子力学的建立始于人们对光的波粒二象性的认识。

3.量子的概念是由爱因斯坦提出的。

4.光量子的概念首先由普朗克引入。

5.按照光的电磁理论，光的强度与频率有关。

6.黑体必须是表面很黑的物体。

7.普朗克常数起重要作用的现象可称为量子现象。

8.按玻尔理论，谐振子不存在零点能。

9.玻尔理论认为微观粒子是质点。

10.微观实物粒子的波粒二象性由玻尔首先提出。

11.自由粒子的能级是简并的。

12.任意态的几率流密度都与时间无关。

13.波函数归一化后就完全确定。

14.波函数通常不可能是纯实数或纯虚数。

15.波函数就是描写系统状态的态函数。

16.波函数不是物理量。

17.由波函数可以确定微观粒子的轨道。

18.量子力学中自由粒子的概念比经典力学宽广的多。

19.量子力学中的物理量都是分立的。

20.无限深势阱越宽就越接近经典规律。

21.量子力学中用算符表示微观粒子的力学量。

22.量子力学仅讨论在经典物理中存在的力学量。

23.量子力学中的算符都是幺正算符。

24.角量子数为零的态称为s态。

25.角量子数为1的态称为p态。

26.当氢原子体系的能量大于零时，其电子的状态是束缚态。

27.辏力场就是库仑场。

28.库仑场一定是辏力场。

29.辏力场一定是库仑场。

30.约化质量又称为折合质量。

31.无论是属于相同本征值还是不同本征值的本征函数都必定相互正交。

?与B?对易，且B?与C?对易，则A?与C?对易。

32.若A

33.力学量的平均值一定是实数。

34.若两个算符不对易，则它们不可能同时有确定值。

35.正是由于微观粒子的波粒二象性才导致了测不准关系。

36.测不准关系只适用于不对易的物理量。

37.量子力学中力学量算符的对易关系没有传递性。

38.量子力学的矩阵力学首先由薛定谔建立。

39.对应一个本征值有几个本征函数就是几重简并。

40.归一化包括真实归一和归到δ函数。

41.泡利首次提出电子具有自旋的假设。

42.自旋角动量算符与轨道角动量算符的引入方式不同，因而不能满足同一个对易关系。

43.塞曼效应与电子的自旋有关。

44.电子是玻色子，光子是费米子。

45.全同粒子体系波函数的对称性将随时间发生改变。

46.泡利不相容原理仅适用于玻色子系统。

47.两电子的自旋反平行态为三重态。

48.对单电子来说，三个泡利矩阵相乘的结果为单位矩阵。

49.电子的波函数是三行一列的矩阵。

50.泡利矩阵的表示不因表象的改变而改变。

(四)名词解释

1.量子现象

2.光的波粒二象性

3.德布罗意公式

4.光子

5.脱出功

6.黑体

7.微观实物粒子的波粒二象性

8.Bohr的原子量子论9.态迭加原理10.波函数的标准条件

11.定态12.束缚态13.几率波14.归一化波函数

15.几率流密度矢量16.线性谐振子的零点能17.厄密算符

18.简并度19.力学量的完全集合20.箱归一化

21.函数的正交性22.角动量算符

23.力学量算符的本征函数的正交归一性

24.氢原子的赖曼线系25.表象26.希耳伯特空间

27.幺正变换28.狄喇克符号29.占有数表象

30.粒子的湮灭算符和产生算符31.厄密矩阵及其特点32.能量表象