分母有理化方法集锦

分母有理化方法集锦

吕广军

二次根式分母有理化是初中代数的重要内容，也是同学们的难点，本文介绍几种有理化方法。供同学们学习时参考。

一. 常规基本法

例1. 化简

解：原式

评注：这是最基本最常用的方法，解法的关键是准确判断分母的有理化因式。

二. 分解约简法

例2. 化简

解：原式

评注：分母提取“公因式”后可直接约分，避免分母有理化，从而简化运算。例3. 化简

解：原式

评注：由于的有理化因式可能为零，所以不能将分子分母同乘

以；若分两种情况讨论又比较繁琐。注意到本题的结构特征，故改用“分解因式”约简的方法，达到分母有理化而又避免讨论。

例4. 化简

解：

评注：注意到7可分拆为4+3，与可配成，从而与分母约分而获得巧解，避繁就简。

例5. 化简.

解：原式

评注：把1转化为，再用平方差公式“因式分解”即能约分。三. 巧用通分法

例6. 化简

解：原式

评注：注意到本题两“项”互为倒数，且分母互为有理化因式的结构特征，故采用直接通分，同时又达到了分母有理化的效果，使化简更为简捷。

四. 裂项约简法

例7. 化简

解：原式

评注：裂项是本题的关键，做题时要善于观察、分析，找到解题最佳途径。

例8. 化简

解：将原式分子、分母颠倒后就转化为例6。

故原式

评注：本题解法中，先计算原式的倒数，明显方便多了。

五. 等比性质法

例9. 化简

解：

评注：若用常规方法，分子、分母同乘以分母的有理化因式则计算比

较繁杂且易出错，注意到本题的结构特征，可用等比性质巧解。 年级 初中

学科 数学

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内容标题 分母有理化方法集锦

分类索引号 G.622.46

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辅导与自学 主题词

分母有理化方法集锦

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从前面的例子可以看出，函数

y sin(),A x x R ωϕ=+∈

及函数

y cos(),A x x R ωϕ=+∈

（其中A ，ω，ϕ 为常数，且A ≠0，0ω>）的周期仅与自变量的系数有关。那么，如何用自变量的系数表示上述函数的周期呢？

事实上，令z x ωϕ=+,那么x R ∈必须并且只需x R ∈，且函数sin ,y A z z R =∈的周期都是2π，由于

)()(2z 2x 2x πϕω

πωϕπω+++=++=，

所以自变量x 只要并且至少要增加到

2x πω

+，函数值才能重复出现，即 2T πω

=

是使等式

(),sin sin x x T A A ωϕωϕ⎡⎤

⎛⎫⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝

⎭

⎢⎥⎣

⎦

+++=

()cos cos x x T A A ωϕωϕ⎡⎤

⎛

⎫⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝

⎭

⎢⎥⎣⎦

+++=

成立的最小正数，从而，函数

sin(),y A x x R ωϕ=+∈ 及函数

cos(),y A x x R ωϕ=+∈

的周期 T 2πω

=。

根据这个结论，我们可以有这类函数的解析式直接写出函数的周期