分母有理化上课课件
《分母有理化》 讲义
《分母有理化》讲义一、什么是分母有理化在数学中，分母有理化是一种重要的运算技巧。
当我们面对一个分式，其中分母是含有根式的表达式时，通过一定的方法将分母中的根式去掉，把分母化为有理数，这个过程就叫做分母有理化。
比如说，对于分式\（＼frac{1}｛＼sqrt{2}｝＼），它的分母\（＼sqrt{2}＼）是一个无理数。
经过分母有理化后，我们可以将其化为\（＼frac{＼sqrt{2}｝｛2}＼），此时分母\（2\）就是一个有理数。
分母有理化的目的主要是为了简化计算和表达式，使得数学运算更加方便和清晰。
二、为什么要进行分母有理化分母有理化在数学中具有重要的意义和作用，主要体现在以下几个方面：1、简化运算当分式的分母中含有根式时，进行计算往往比较复杂。
通过分母有理化，可以将分母化为有理数，从而简化运算过程，提高计算的准确性和效率。
2、统一形式在数学问题中，为了便于比较和分析不同的表达式，常常需要将它们化为相同的形式。
分母有理化可以帮助我们将分式化为具有统一分母的形式，便于进行后续的运算和处理。
3、便于理解和分析有理化后的分母更容易被理解和直观地把握，有助于我们更深入地研究和分析数学问题。
三、分母有理化的基本方法分母有理化的方法主要有以下几种：1、乘法有理化对于形如\（＼frac{A}｛＼sqrt{B}｝＼）的分式，我们可以将分子分母同时乘以\（＼sqrt{B}＼），得到\（＼frac{A\sqrt{B}｝｛B}＼）。
例如，对于\（＼frac{1}｛＼sqrt{3}｝＼），分子分母同时乘以\（＼sqrt{3}＼），得到\（＼frac{＼sqrt{3}｝｛3}＼）。
2、平方差公式有理化当分母是形如\（a ＋＼sqrt{b}＼）或\（a ＼sqrt{b}＼）的式子时，我们可以利用平方差公式\（（a ＋ b)（a b) ＝ a^2 b^2\）来进行有理化。
例如，对于\（＼frac{1}｛2 ＋＼sqrt{3}｝＼），分子分母同时乘以\（2 ＼sqrt{3}＼），得到：＼＼begin{align}＼frac{1}｛2 ＋＼sqrt{3}｝＆＝＼frac{2 ＼sqrt{3}｝｛（2 ＋＼sqrt{3}）（2 ＼sqrt{3}）｝＼＼＆＝＼frac{2 ＼sqrt{3}｝｛2^2 （＼sqrt{3}）＾2}＼＼＆＝＼frac{2 ＼sqrt{3}｝｛4 3}＼＼＆＝2 ＼sqrt{3}＼end{align}＼四、分母有理化的实例下面通过一些具体的例子来进一步理解分母有理化的过程和方法。
分母有理化(根式)
1
49 47 47 49
解：观察： 1 3
3
3
6
3
1 2
3 3
3
1 2
1
3 3
,
5
1 33
5 5
3 3 30
5
15 2
3 3 15
5
1 23 35 5 (2) 1 1
1
3 3 5 3 3 5 7 5 5 7
......
1
49 47 47 49
解：考察一般情况：
1
(2n 1) 2n 1 (2n 1) 2n 1
3、一些特殊的方法供参考！
2x (4)
2x
3y 3y
(2 x 3 y )(2 x (2 x 3 y )(2 x (2 x 3 y )2 (2 x )2 (3 y )2
3 y) 3 y)
4x 9 y 12 xy 4x 9y
(1)观察下列计算找出规律： 1 2 1， 2 1
1 3 2， 1 4 3，............
（a （a
b）的有理化因式是（ a b）的有理化因式是（ a
b） b）
分母有理化的过程即是分子分母同时乘 以分母的有理化因式
m 的有理化因式是 m
1
ac
ac
ac
ac ac ac
a b 的有理化因式是 a b
知 识
1
23
23
2 3 (2 3)(2 3)
拓 展
x a y b 的有理化因式是 x a y b
2 ab
平方差公式
a b 乘以什么式子才能不含有根号呢？
（a
b）（ a
b）
2
a
2
b
最新分母有理化(八年级数学)幻灯片
10 6 2
计算 15 35 215
32 5 7
解 ： 原 式 ( 3 5)( 5 7) ( 3 5)( 5 7)
原 式 的 倒 数 1 1 73 57 35 2
原式 7 3 2
1 、分母有理化 2、有理化因式
（1）各种典型的有理化因式； （2）二次根式的除法运算 （3）化简分母较复杂的二次根式
胃轻瘫
胃轻瘫定义
是指无流出道机械性梗阻的胃排空延迟 ，伴有恶心、呕吐、腹胀、腹痛、早饱 等症状。
胃排空生理
• 胃排空是指胃内容物顺利排入十二指肠的过程，其依 赖于胃-十二指肠平滑肌的协调运动。
• 胃运动分为消化期运动和消化间期运动。食团进入胃 腔时产生的运动称为消化期运动；在胃排空后至下一 次进食间，胃会发生特征性的时相运动，称为消化间 期运动。正常情况下消化期运动持续约2h，将胃内食 团研磨成食糜，排入至十二指肠，此运动包含受纳、 混和、研磨、排空4个过程。
• 正常情况下，胃排空过程受自主神经（主要是迷走神 经）、胃肠激素等调节。
胃轻瘫的发病机制
胃排空过程任何环节出现障碍均可发生胃 轻瘫，如支配胃平滑肌的自主神经和肠神 经系统病变（多数是全身性病变的局部表 现）、胃平滑肌本身病变以及诸多累及这 两方面的系统或局部性因素等。
胃轻瘫的病因学
大部分胃轻瘫可明确病因，即继发性胃轻瘫， 而约1/3胃轻瘫的病因迄今未能阐明，称为原发 性或特发性胃轻瘫。在儿童胃轻瘫中，特发性 、药源性、手术后、病毒感染后和糖尿病性胃 轻瘫分别占70%、18%、12.5%、5.0%和4.0% ；在成人胃轻瘫中，特发性、糖尿病和手术后 胃轻瘫分别为36%、29%和13%。
• 9.病毒感染：18%的儿童胃轻瘫可能由病 毒感染所致。亦有报道HIV感染后可能会 发生胃轻瘫。
分母有理化ppt
2 3
前两个分母满足平方差,可通分相加.
2 1 3 2 1 3
1 3 1 3
1 4
3 1 3
2 2.
计算： [例8 ]
1 2 1 1 2
1 3 22 3 .
1 4 3 3 4
（1988年新 加坡中学数 学竞赛试题）
100 99 99 100
.
分母中被开方数较大， 7 7 11 6 11 7 可设原式为A， 能分解吗？ 11 5 7 4 6 1 11 7 7 6 先求出 ， A 11 7 4 7 6 盯住分子将分母分解。 再求A.
如果把原式的 分子、分母互 换，该如何化 简？
1 2 3
2 1 3
1 2 3 1 2 盯住分母将分子分组分解。
1 2.
（1995年四川省初中数学联赛试题）
[例5 ] 化简
解
6 4 3 3 2 ( 6 3 )( 3 2 )
.
6 3 3 3 2 能否看作 原式 能盯住分母将分子分组吗。 6 3 3 2 两分式之
k 1
解 原式 个分数之和 式子中有 99 , 2 1( 2 1) 3 2( 3 2) 4 3( 4 3) 1 一般要通过裂抵消方可化简 . 1 1 ( 100 99) 100 99
1
1
1
k k k 1
2 1
k 1 k 2 1 3 2 4 3 100 99 请看通式 1 1 1 1 k 1k 1 1 1 1 13 4 1 2 2 3 99 100 k k 1 1 1 . 10
二次根式的分母有理化PPT学习教案
化简二次根式
实际上就是使二次根式满足:
(1)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式;
(2)被开方数中不含分母;
(3)分母中不含有根号.
第12页/共16页
小 结
怎样化去被开方数中的分母
怎样化去分母中的根号
二次根式的最后结果应满足： (1)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式;
(2)被开方数中不含分母;
(1)
3
3
42
(2) 1 1 2 2 2 2 2 2 4 2
(3)
1
a
1 a
aa
a a a2 a
第3页/共16页
由此你能的得到一般结论吗?
当a≥0,b>0时,怎样化去 a 中的分母? b
a ab b bb
ab b2
ab b2
ab b
第4页/共16页
化去根号中的分母：
(1) 2 (2) 2 1 (3) 2y (x 0, y 0)
(3)分母中不含有根号.
第13页/共16页
若一个三角形的三边长分别为a、b、c,设 p 1 (a b c), 则这个三角形的面积
2
S p( p a)(p (海b)伦(p-秦c九) 韶公式)
当a=4、b=5、c=6时,求S的值.
第14页/共16页
知识象一艘船 让它载着我们
驶向理想的……
第15页/共16页
第13页共16页若一个三角形的三边长分别为abc设则这个三角形的面积海伦秦九韶公式第14页共16页知识象一艘船让它载着我们驶向理想的
二次根式的分母有理化
会计学
自主学习
1.想一想:
(1) a ?(a ___,b ___) b
(2) a ?(a ___,b ___) b
专题06 分母有理化(解析版)
专题06 分母有理化
1.分母有理化的概念：
把分母中的根号化去，叫做分母有理化。
2.常见类型： 常见类型一：a
a b a a a
b a b
=⋅⋅=． 常见类型二：b
a b a c b a b a b a c b a c
--=-+-⋅=+)())(()
(． 其中，我们称n n a 1-是n a 的“有理化因子”，b a -是b a +的“有理化因子”．分母有理化的关键是
找到分母的“有理化因子”．
3.有理化因式的概念：
两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。
注：二次根式的有理化因式不是唯一的，它们可以相差一个倍数。
4.熟记一些常见的有理化因式：
a 的有理化因式是a ；
b n a +的有理化因式是b n a -；
b a +的有理化因式是b a -；
b n a m +的有理化因式是b n a m -；
33b a ±的有理化因式是32332b ab a + 。
5.分母有理化十法。
人教版九年级数学上册分母有理化课件
分母有理化的过程即是分子分母同时乘 以分母的有理化因式
m 的有理化因式是 m
1
=
a- c = a- c
a- c a- c? a c a- c
a ± b 的有理化因式是 a b
1=
2- 3
2 + 3 (2 + 3)(2-
= 23)
3
x a ± y b 的有理化因式是 x a y b
巧妙地利用公式（平方差）找分母的有理化因式
例：把下列各式分母有理化
（1） a a+1
（2） 1
（3） 15
1+a2 - a
5 3- 3 5
练习：把下列各式分母有理化
2 x- 3 y (1)
2 x- 3 y 2 x - 3 y 分母有理化因式是 2 x + 3 y
2 x + 3 y (2 x + 3 y )(2 x + 3 y )
(1)
=
2 x - 3 y (2 x - 3 y )(2 x + 3 y )
(2 x + 3 y )2 4x + 9y + 6 xy
=
=
(2 x )2 - (3 y )2
4x- 9y
分母有理化的方法 １、分子分母同时乘以一个数（式） 将分母中根号下的被开方数写成完全平方数（式）
2、利用公式（平方差公式）找分母的有理化因式
分母有理化
化去下列各式中根号中的分母
(1) 7 5
(2) 3x (x > 0, y > 0) 4y
解：（1） 7 = 7´ 5 = 35 5 5´ 5 5
初二数学提高班-第06讲 分母有理化
第六讲 分母有理化【知识要点】1．分母有理化定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。
2.有理化因式（1）定义：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式.（2）确定方法：a =来确定． 如：a a 与，b a b a ++与，b a b a --与等分别互为有理化因式. ②两项二次根式：利用平方差公式22))((b a b a b a -=-+来确定． 如：b a b a -+与，b a b a -+与，y b x a y b x a -+与分别互为有理化因式。
3.分母有理化的方法与步骤：①先将分子、分母化成最简二次根式；②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；③最后结果必须化成最简二次根式或有理式。
【经典例题】【例1】把下列各式分母有理化 ①231 ②421 ③ 273④15362 ⑤50381- ⑥32121【例2】把下列各式分母有理化 ①1145- ② 1486-- ③ 3322-④322333- ⑤3535-+【例3】已知,325,325+=-=b a 求b a 11-的值。
【例4】已知121-=x ，求41412+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x x x 的值【例5】观察下列算式：【初试锋芒】1．下列各式：①y x +，②y b x a +，③y a x b -，④x y -的有理化因式是（ ）A.①②B.②③ C ．③④ D ．④①2．下面化简正确的是（ ） A.2328325a a a = B.b b 2323= C.212ba b a -=- D.xy y y x 156112523=3. 求4554452021515+-+的值（ ） A ．4 B ．52 C ．523-D ．529 4.下列式子运算正确的是（ ） A.123=- B.248= C. 331= D.4321321=-++ 5.化简253-时，甲的做法是：25)25)(25()25(3253+=-+-=- 乙的做法是：25)25()25)(25(253+=--+=-，以下判断正确的是（ ） A.甲的解法正确，乙的解法不正确 B.甲的解法不正确，乙的解法正确C.甲、乙的解法都正确D.甲、乙的解法都不正确.6.已知121,12-=+=b a ，则a 与b 的关系（ ） A ．a=b B.ab=1 C.a=-b D.ab=-1 7．)57(21+的倒数是 8.已知,132-=a 则222+-a a = 9.已知ab=1，其中2008)223(+=a ，则b= 10.23,23-=+=b a ，则b a 11+= 【大展身手】1.已知3=x 、31=y ，求xy x y x x +--431的值。
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(4) 7 5 7 5 7 5
(5) 2 x y 2 x y
6 a 2 a 2
a2 a2
【经典练习】
• 7．已知 x 2 3
2 3，y 2 32 3 Nhomakorabea，
求下列各式的值：（1）
x y x y
，
（2） x2 3xy y2
【分母有理化作业 】
• 1.把下列各式分母有理化：
(1) 2 3 10 2 3 10
【典型例题】
• 例1： 找出下列各式的有理化因式
(1) 12
(2) 5 2
(3) 7 10
(4)3 2 6
(5) a b
(6)a x2 a2 (x a)
【典型例题】
• 例2 把下列各式分母有理化
1 3
3 1
(2) 2 3 5
(3) 2 5 2 3
(4) 3 5 5 3 5 33 5
【典型例题】
• （2）化简并求值：a ab ab b ，其 ab b a ab
中 a 2 3 ，b 2 3
【经典练习】
• 1．找出下列各式的有理化因式
(1)5 2
(3) a a b (4)a 2 3 5
【经典练习】
• 2．把下列各式分母有理化
1 2
5 1
2 5
7 2
3 2 6
• ②两项二次根式：利用平方差公式来确 定。如 a b与 a b ，a b与 a b ， 1 a x b y与a x b y 分别互为有理化因式。
• 3．分母有理化的方法与步骤：
• （1）先将分子、分母化成最简二次根式；
• （2）将分子、分母都乘以分母的有理化 因式，使分母中不含根式；
• （3）最后结果必须化成最简二次根式或 有理式。
【典型例题】
• 例3 把下列各式分母有理化
1 a b
a b
(2) a b a b
3
1
4 b a2 b2
a2 a2
b a2 b2
【典型例题】
• 例4 计算
(1) 18 4
1 2
1 3
2
3
【典型例题】
• 例5（1）已知 x 1 ，y 1 ，
2 3
2 3
求10x2 xy 10 y2 的值
7
5
，b 1
2
7 5
，
求代数式 a2 5ab b2 的值。
分母有理化
• 1．分母有理化
定义：把分母中的根号化去，叫做分母 有理化。
• 2．有理化因式：两个含有二次根式的代 数式相乘，如果它们的积不含有二次根 式，就说这两个代数式互为有理化因式。 有理化因式确定方法如下：
• ①单项二次根式：利用 a a a来确定， 如： a与 a ，a b与 a b， a b 与 a b 等分别互为有理化因式。
2 3
6 5
• 2.化简
1
1
2
5 2
2 5 1 6 7 5
4 11 3 7 7 2 2
3 a 2 ab b
1
a 0,b 0
a b a 2 ab b
【分母有理化作业 】
•
4．已知
x 1 32
2
，y 1
32 2
，
求
11 x 1 y 1
的值.
5．已知 a 1 2