九年级数学一元二次方程(带答案解析)
第二章一元二次方程
第 1 讲一元二次方程概念及解法
知识要点】
. 知识结构网络
、一元二次方程的四种解法直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法
1. 直接开平方法是解一元二次方程的常用方法之一，适用于方程经过适当整理后，可化为x2 b b 0 或
2
x a 2 b的形式的方程求解。当b 0时，可两边开平方求得方程的解；当 b 0 时，方程无实数根。
2. 因式分解法解方程的步骤：（1）将方程一边化为0；（2）将方程另一边分解为两个一次因式的乘积；（3）令每
个一次因式等于0，得到两个一元一次方程后求解，它们的解就是原一元二次方程的解。
3. 配方法解一元二次方程的步骤为：（1）化二次项系数为1（2）移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数
项。（3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方（4）原方程变为（x m）2 n 的形式（5）如果右边是非负数，就可用直接开平方法求出方程的解。
4. 公式法解一元二次方程的基本步骤：（1）将方程化为一般形式ax2 bx c 0 ，确定a、b、c 的值；（2）计算
2
2 2 b b 4ac
b2 4ac的值并判别其符号；（3）若b2 4ac 0，则利用公式x 求方程的解，若2a
b 2 4a
c 0，则方程无实数解。
2
典型例题】
1）6x27x 3 0 （用因式分解法）
30
解：(3x 1)( 2x 3) 0
，x 2
经典练习】
、直接开方法
二、配方法注： （1） 2x 2
2x 30 0
二、公式法
1. 用求根公式法解下列方程
2
（1）x 2 2x 2 0；
∴ 3x 1 0或 2x
2)3x 2
4x 1（用公式
法）
解： 3x 2
4x 4)2
3×(
1) 28 0
x 1
3） 2x 2 解： x 2 x 2 (x ∴x ∴ x 1
28 2 × 3
( 4)
27
3 ，x 2
2x 30
27
3
用配方法）
2 x
2 22
4) 3 2，
15 ( 42
) 2
4
121 8
11 4
15
( 42
)2
x 2 5
2 2
1) (x 1)2 (1 2x)2
2)(x
a ) 2 b
x 1
2 2) 3x 2
4x 1
解：
2
(2) 2y2 8y 1 0 ；
解：
21
(3) 2x2 3x 0 ；
8
解：
(4) 3y2 2y 1；
解：
(5) 2x2 5x 1 0；
解：
2
(6) x2 2 5x 3 0 ；
解：
2
(7) 3x2 4x 5 0 ；
解：(7) 方程无实数根；
(8) 2x2 4 3x 2 2 0 ；
解：
2
(9) 0.02x2 0.03x 0.35；
解：(9) 先在方程两边同乘以100，化为整数系数，再代入求根公式，
(10) (1 2 3)x x2 3(1 3)
解：。
三、因式分解
1. 用因式分解法解下列各方程：
2
(1)x2－5x－24＝0；
解：；
(2)12x2＋x－6＝0；
解：；
2
(3)x2－4x－165＝0
解：；
2
（4）2x2－23x＋56＝0；
解：（2x 7）（x 8） 0，x1 7，x2 8；
2
（5）9x224x 16 4x 12；
解：
（6）3（x 3） 3（3 x）2；
解：
（7）x2（ 3 2）x 6 0 解：；
（8）（x 2）2 5x 10 6；
2
解：（x －2）2－5（x －2）＋6＝0，（x－2－2）（x －2－3）＝0，x1＝4，x2＝5；（9）t（t ＋3）＝28；
2
解：（9）t2＋3t －28＝0，（t ＋7）（t －4）＝0，t1＝－7，t2＝4；（10）（x ＋1）（x ＋3）＝15。
2 解：x
＋4x＋3＝15，（x ＋6）（x －2）＝0，x1＝－6，x2＝2
2. 用因式分解法解下列方程：
2
（1）（y－1）2＋2y（y －1）＝0；解：；
22
（2）（3x＋2）2＝4（x －3）2；
解：[( 3x 2) 2(x 3)][(3x2)2(x3)] 0
(5x4)( x 8) 0，x 14
5，
x28
（3）
22
9(2x ＋3) 2－4(2x －5)2＝0；
解：[3(2x ＋3) ＋2(2x －5)][3(2x＋3）
－
2(2x－5)]＝0，
(10x 1)( 2x 19) 0，x11
10
，
x219
2
（4）
2
(2y ＋1) 2＋3(2y ＋1)＋2＝0。
解：[(2y ＋1) ＋1][(2y ＋1)＋2]
＝
0，
三、综合练习
1. 下列方程中，有两个相等实数根的方程是（ B ）
A. 7x 2－x－1＝0
B. 9x 2＝4（3x －1）
C.
2
x 2 7x 15 0
3 2 2 D. x x 1 0 22
2. 若 a ，b ，c 互不相等，则方程 （a ＋ b ＋ c ）x ＋2（a ＋ b ＋ c ）x ＋ 3＝ 0（ C ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C.
没有实数根
D. 根的情况不确定
解析:
2
因为△＝ 4（a ＋ b ＋222
12（a 2＋ b 2＋ c 2
） 2 2 2
＝4（ －2a 2－2b 2－2c 2＋2ab ＋2ac ＋2bc ）
222
＝－ 4[（a －b ） ＋（b －c ） ＋（c －a ） ] <0
3. 若方程 m 2x 2 （2m 3）x 1 0的两个实根的倒数和是 S ，求： S 的取值围。
S 3
2
3
S 且S ≠ 3 。
2
4. 已知关于 x 的方程 x 2＋（2m ＋1）x ＋ （m － 2） 2＝ 0。 m 取什么值时， （1）方程有两个不相等的实数根？
（2）方程有两个相等的实数根？ （3）方程没有实数根？
解析: △＝ （2m ＋1）2－4（m －2） 2＝5（4m －3） 。
（1）当 ，即 时，原方程有两个不相等的实数根； （ 2）当 时，原方程有两个相等的实数根； （3）当
时，原方程没有实数根。
5. 已知关于 x 的方程 x 2 2（k 1）x k 2 2k 1 0 ①
（1）求证：对于任意实数 k ，方程①总有两个不相等的实数根。
实数根。
分析： 本题是二次方程与不等式的综合题，即利用方程有两个实根， 表示 m ，借助 m 的取值围就可求出 S 的取值围。
2m 3
解： 设方程的两个实根为 x 1，x 2，
则x 1
x 2
， x x
2 ， 1 2 m
∵方程有两个实根
∴ （2m 3）2
4m 2
且
m
2
≠0
∴ m 3
且 m ≠ 0 4
2m 3
11
∵S
x 1
x 2
x 1 x m 2
2m 3
x 1x 2
1
0 ，求出 m 的取值围，再用 S 的代数
式
1
2
m
S 3
2
3
4且
≠0
2）如果 a 是关于 y 的方程 y 2 （x 1
x 2 2k ）y （x 1 k ）（x 2 k ）
0 ②的根， 其中 x 1，x 2 为方程①的两个
2
m
2
求：代数式 （1
a
）÷ 4
· a 1
的值。 a a 1 a 1 a
分析： 第（ 1 ）题直接运用根的判别式即可得到结论，第（ 2 ）题首先利用根与系数关系可将方程②化成
2
2 2
y 2 2y 1 0，再利用根的定义得到 a 2
2a 1，将代数式化简后，把 a 2 2a 1整体代入即可求出代数
式的值。
（1）证明：
2 2 2 2
∵ 4（k 1）2 4（k 2 2k 1） 4k 2 8k 4 4k 2 8k 4 8 0
∴对于任意实数 k ，方程①总有两个不相等的实数根。
3与
a 2，c 2 时， m 4 是否成立，并说明理由；
∴ x 1 x 2 2(k 1)，x 1x 2
k 2
2k 1
∴ x 1 x 2 2k
2(k 1)
2k
2
(x 1 k )( x 2
k ) x 1x 2
k ( x 1
x 2) k 2
k 2 2k
1 2k (k
1) k
2
1
∴方程② 为 y 2 2y 1 0
∵a 是方程②的根，
2
∴ a 2a
1 0
∴ a ≠ 0， a 2
1 ≠ 0，a 2
2a 1
1a ÷
4 ·a 2 1
∴ ( )
a a 1 a 1a
2
a 1 a 2
a 1·a 2 1
(a
1 a
2 )( a 2
1) a (a 1) · 4 ·
a
4a 2
[a 1 (2a
1)]( 2a 1
1) ( a ·) 2a
1
4a 2
4a 2
2
2）解： ∵x 1，x 2是方程①的两个实数
根
注： 第（ 2）问中的整体代换在恒等变形中有广泛的应用。
6. 已知关于 x 的一元二次方程 ax 2
解： （1）
当a
1，c 3时，原方程化为 x 2 2x 3
0，则 x 1
1，x 2
3
∴
m
[1 (
3)] 2 16 4
即m 4成立
当a 2，c
2
时，
原方程化为 2x 2 4x
20
由
42
4 × 2 ×
2 0 ，可设方程的两根分别为 x 1，x 2
则
x 1
2
x 2
2
，
x 1x 2
2）若对于任意一个非零的实
数 a ，
m
4 总成立，数 c 及 m 的
值。
2ax c 0 的两个实数根之差的平方为 m 1）试分别判断当 a 1， c
2
1.关于x的一元二次方程（a c）x 2 bx ac
0有两个相等的实数根，那么以a、b、c 为三边长的三角形是
∴m
22
(x1 x2 ) (x1 x2) 4x1x2 4 2 2 4
即m4不成立
（2
）
设原方程两个实数根是x1，x2
则x1
c x 2 2，x 1x2
a
m (x1 x 2)2 (x1x2)2 4x1x 24 4c a
∵对于任意一个非零的实数
4c
a，都有4
a
4
∴ c 0
当c 0时，4a20
∴ c 0，m 4
第 2 讲根的判别式
【知识要点】
1. 根的判别式：
关于x 的一元二次方程ax2bx c 0(a≠ 0)
b24ac
当0 时，方程有两个不相等的实根
当0 时，方程有两个相等的实根
当0 时，方程无实根
【典型例题】
1. a ，b，c 是三角形的三条边，
求证：关于x 的方程b2x2＋（b 2＋ c 2－a2）x ＋c2＝0 没有实数根
分析：此题需证出△< 0。已知条件中a，b，c 是三角形的三边，所以有a>0，b> 0，c>0。还应注意有一个隐含关系“任意两边之和大于第三边” ，“任意两边之差小于第三边” 。
证明：因为△＝（b2＋c2－a2）2－4b2c2
2 2 2 2 2 2
＝[（b 2＋ c 2－a2）＋2bc][（b 2＋c2－a2）－2bc]
2 2 2 2
＝[（b ＋c）2－a2][（b －c）2－a2]
＝（b ＋c ＋a）（b ＋c－a）（b － c ＋a）（b －c－a）。
（要判断这个乘积是不是负的，应审查每个因式的正、负）
因为b＋c>a，即b＋c－a>0，
同理b－c＋a> 0，又c＋a>b，即b－c－a< 0。
又a＋b＋c>0，所以△＝（b ＋c＋a）（b ＋c－a）（b － c ＋a）（b －c－a）<0。所以，原方程没有实数根。
经典习题】
4
（）
A. 以 a 为斜边的直角三角形
B. 以 c 为斜边的直角三角形
C. 以 b 为底边的等腰三角形
D.
以 c 为底边的等腰三角形
1
2. 已知关于 x 的一元二次方程 x 2 （k 1）x k 2 1 0
4
（1）k 取什么值时，方程有两个实数根。 （2）如果方程的两个实数根 x 1，x 2满足 |x 1| x 2，求 k 的值。 解：（1）
[ （k 1）] 2 4（ 1
k 2 1） 2k 3 0
4
33
解得 k ，∴ 当 k
时，方程有两个实数根
22
（2）∵| x 1 | x 2 ，分两种情况
0，∴
由根与系数关系，
∴k
∴ (x 1 x 2)2
2
x 1x 2
11
[ (2k
1)] 2 2(k 2
2) 11 4k 2 4k 1
2k 2
4
11
2k 2
4k
6 0
k 2
2k 3 0
(k
3)( k 1) 0
11
2
x 12
2
x
22 ①当 x 1
0时，得 x 1 x 2 ，∴方程有两个相等的实数根。
2， ②当 x
0时， x 2
x 1，∴ x 1 x 2 0
∴k
1，由（1）知k
3
， 2，
矛盾 ∴k
1舍去
3. 已知方程 x 2 (2k
1)x
k 2
2 0 的两根的平方和为 11，求 k 的值。
解： 设方程的两根为 x 1，x 2
则有 x 1
x 2
(2k
1)， x 1x 2 k 2 2
4
∴ k 1
3， k 2 1 ∵
( 2k 1)2
4(k 2 2)
4k
9
∴当k 3时， 0，舍去 当k 1时， 0。 注： 用根与系数关系后，要计算判别式检验是否有实根。 4．含有绝对值的一元二次方程 （1）. 方程 x|x| －8|x| －4＝0 的实数根的个数是（
） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 解： 显然 x ＝0 不是方程的根。 当 x <0 时，x ｜x ｜－ 8｜x ｜－4<0。 ∴x < 0 的任何实数不可能是方程的根。 当 x >0 时，方程为 x 2－ 8x －4＝0。 此方程两根之积为－ 4< 0，可见两根为一正一负。又因 故负根舍去。所以方程只有一个实数根。应选 A 。 2）. 求方程 x 2－|2x －1| － 4＝0的实数根。
1
解： 令 2x 1 0得 x
2
x >0，
显然 x 2不是方程的解
当x
1
时
， 2
方程是 x 2 (2x
1) 4
2
即x 2
2x 3 0，解得 x
3或x
1
＝－ 1 舍去， ∴ x ＝3
当x
1
时， 2
方程是 x 2 (1
2x ) 4
即x 2 2x 5 0，解得 x 1 ± 6
x
1 6 舍去，∴ x
16
故方程的实数根是 x 1 3，x 2 16
。
1
5． a ， b ，c ，d 为有理数，先规定一种新的运
算：
ac
bd
ad bc ，那么 (21 x) 4x 5 =18时， x=
6. 已知 x 1,x 2 是方程 x 2 4x 19 0的两根，求代数式
3
x 1
35x 2 1 的值。
7. （， 19，10 分）已知关于 x 的一元二次方程 ax 2 bx 1 0（a
0） 有两个相等的实数
根，求
ab 2
(a
2) 2 b 2
值。
分析】由于这个方程有两个相等的实数根，因此⊿＝b2 4a 0，可得出a、b 之间的关系，然后
将
ab
2 (a 2)2b24
a，
化简后，用含b 的代数式表示a，即可求出这个分式的
值．
答案】解：∵ 2 ax bx 1 0（a 0）有两个相等的实数根，
2
∴⊿＝b2 4ac 0 ，即b
24a 0 ．全品中考网
(a
ab
2
2) 2b24
ab
2
a
2
4a 4 b24
ab
2
2
a
4a b
2
ab
2
2
a
22
0，∴ ab22 b2 4
a
2
a
8. （中考）若关于x 的一元二次方
程
x2 2(2 k)x k 2 12 0 有实数根1）数k 的取值
围；
设t k，求t 的最小值．
3）解：（1）∵一元二次方程x
2
2(2 k)x k 2 12 0有实数根4）0，
1）求2）设
（6）解得k 2 ．?????????（7）
（3
）
由根与系数的关系
得：（8）∴t
42k42
，
k k k
（9）∵k2，∴
24 k
20，（10
）442 k
2，
（11
）
即t的最小值为
－
4．
已知关于
x 的
一元二次方程x2 = 2( 1－
m
）
即4(2 k)2 4(k 2 12) 0 ，
5）
m的取值
围；
9. （中考）
x －m2的两实数根为x1，
x2．
[ 2(2 k)] 4 2k ，6分
7分
10 分
y = x1 + x2，当y 取得最小值时，求相应m的值，并求出最小
值．
答案】（1）将原方程整理为x2 + 2（m－1）x + m2 = 0 ．
原方程有两个实数根，
△= [ 2 （m－1）2－4m2 =－8m + 4 ≥0，得m≤1．
2
2 2
2）∵ x1，x2为x2 + 2（m－1）x + m2 = 0 的两根，
1∴ y = x1 + x2 = －2m + 2 ，且m≤．
2 1 因而y 随m的增大而减小，故当m = 1时，取得极小值1．
2
10. （中考）关于x 的一元二次方程x2 x p 1 0有两实数根x1、x2.
（1）求p的取值围；（ 4 分）
（2）若[2 x1（1 x1）][ 2 x2（1 x2）] 9,求p的值.（6分）
答案】解：( 1)由题意得：
( 1) 2 4(p 1) 0. ????2 分
5
解得：p ????4 分4
(2)由[2 x1(1 x1)][2 x2(1 x2)] 9得，
22
(2 x1x12 )( 2 x2x22) 9. ????6 分
x1,x2 是方程x2 x p 1 0的两实数根x12 x1p 1 0,x22 x2p 1 0,
22
x1 x1 p 1,x2 x2 p 1.
(2 p 1)(2 p 1) 9,即(p 1)2 9. ????8 分
p 2,或p 4. ????9 分
5
p , 所求p 的值为p 4. ????10分4
说明：1．可利用x1x21,得x11x2,
x2 1 x1 代入原求值式中求解；
11. （中考）已知关于x 的方程x2 2（k 3）x k2 4k 1 0．（1）若这个方程有实数根，求k 的取值
围；
（2）若这个方程有一个根为1，求k 的值；22
（3）若以方程x2 2（k 3）x k 2 4k 1 0的两个根为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数y m的图
象上，求满足条件的m的最小值．
x
【答案】解: （1）由题意得△＝ 2 k 3 2 4 k2 4k 1 ≥0
化简得2k 10≥0，解得k≤5．
（2）将1代入方程，整理得k2 6k 6 0 ，解这个方程得k1 3 3 ，k2 3 3.
（3）设方程x2 2（k 3）x k2 4k 1 0的两个根为x1，x2，
根据题意得m x1x2 ．又由一元二次方程根与系数的关系得x1x2 k2 4k 1，
22
那么 m k 2 4k 1 k 2 2
5 ，所以，当 k ＝2 时 m 取得最小值－ 5
a 1
解得： k
4 ．················································· 7分
第 3 讲 根与系数的关系
知识要点 】 1. 根与系数关系
关于 x 的一元二次方程 ax 2
bx c 0(a ≠ 0)
当
0时，有
x 1
x 2
bc
，
x 1x 2
aa
推论 1 ： 如果方程 x 2 px q 0 的两个实数根是 x 1 ， x 2，那么 x 1
x 2
p,x 1x 2
q.
推论 2 ： 以x 1,x 2为根的 一元
次方程（二次项系数为 1）是： x 2
(x 1
x 2 )
x x 1 x 2
典型例题】
1. 已知方程 x 2 3xm 0 的两个实根中，其中一个是另一个的 2 倍，求 m 的值。 解： 设方程的一个根
为 x ，另一根 2x
x 2x
3
1
由根系关系知
2
x
·2x m
2
2
x
1
解得： 2
m 1
12. （中考） 已知关
于
x 的一元二次方程 x 2 6x k 2 0（ k 为常数）．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）设 x 1， x 2为方程的两个实数根，且
x 1
2x 2 14 ，试求出方程的两个实数根和 k 的
值． 【答案】 解：（ 1）
b 2 4a
c ( 6)2
4 1(
k 2) 36 4k 2 0，·············
···· 2 分
因此方程有两个不相等的实数根 3分 ( 2)Q x 1 b6
x 2
6 ，
2
a 1
4分
又
Q x 1 2x 2 14 ，
解方程组 x 1 x 2 6, x 1 2x 2 14,
解
得：
x
1
2,
·····················
x 2 8.
5分
方法一：将 x 1
2 代入原方程得： （ 2)2
6 ( 2) k 2 0 ，···············
· 6 分
解得： k
4 ．
7分
c k
方法二：将 x 1和x 2代入 x 1x 2 ，得： 2 8 ，······················6 分
m1
2. 已知方程3x27x30的两根x1、x2 （x1 x2）不解方程，求x1x2和x12 x22的值。
2
解： 由题设条件 x 2
x 1 x 2
x 1 x 2
x 1x 2 1
2
x 1 x 2
4x
1 x
2
13
x 12 x 2
2
经典习题】 . 选择题。 1. 已知 x A. 2 ， -1 2. 已知方程 A. 4 3. 若方程 A. 4. 若方程 A. C. 5. A. 6.
A. C.
x 1 x 2
x 2
7
2
3 39 3
x 1 x 2
3是关
于
3x 2
x 2
x
2
，
方程 x 2
x 1 px
px
B.
5
，
x 2 x x 2 x
2 x 1x 2
x 2
7 13
x 的一元 次方程 B. -1 ， 2
4 xm 1
B. -4
B. 2p 2
k1 x 2 2kx 3
C. -2 ， 1
0的两根互为相反数，
则
C. 1
D. -1
0 的一个根，则 k
D. 1 ，-2 m 的值是
（
根分别为（ ）
0有两负根，
则
k 的取值围是（
k0
C. k 1
4
D. 0 k 1
4
0 的两根中，只有一个是
0 ，
B. p 0， q 0
D. 不能确定
那么（
0的大根与小根之差等于
（
C. 1
为根的，且二次项系数为
B. x 2 D. x 2
D. 2p 2 1
1 的一元二次方程是
（
x1 x1
9.
7. 8.
9. 10. 11. 填空题。
关于 x 的一元二次方程
已知一元二次方程 ax 2
已知方程 x 2
mx 已知
是方程 x 2
x 2 已知 2 2
13， 1 2m
1 x m
2 0 的两根互为倒数，则 m ＝
bx 0 两根比 2：3，则 a ，b ，c 之间的关系
是
0的两根 x 1、x 2 ，且 x 1 2 x 2
5x 20
三 . 解答题。
2 12. 已知方程 2x 2 3x 70 的两根 13. 设 x 1、x 2 是方程 x 2 试题答案】 . 选择题。 1. A 2. B 填空题。
2 9 ，则 m
7.
的两根，不解方程可
得：
2 ，则以
11
33
为根的一元二次方程是
，求作以 2 、 2 为两根的方程。 2m 1 x m 2 0 的两个实根，且两实根的倒数和等于 3. D 4. B 5. C 3，试求 m 的
值。 6. B
22
2 m 1 4m 2 0 2 m1 1 m
2 m 1 m1
8. 设
x 1 2t ， x 2 3t ，则 5t
6t 2
b
a c a
6b 2 25ac
x 1 x 2 m
1
x 1x 2 mm 4
1 2
3
x 1 2 x 2 2 9
10.
11.
m m 4 2m 5
3
m2 2m 150
5或m
5时，
由此
22
3 原方程
△<
5 25
24
185
8
1
23
8
6或
所求方程x2
三. 解答题。
13
13
5或
，
故舍
去，
25
13
33
2454 41
2
13
22
5x
12
0或2
x23x 2
3
12. 解： 由题意
7
2
2
即
22
3
9 2
22
2 2 2
5
2
2
9 7
2 2
8
故所求方程是 x 2
9
x 8 0，即 2x 2
9x 160 2
由 1 ：4m 1 0
1 m
4
由
4 ：x 1 x 2 3x 1x 2 2m 1 3m 2
2
3m 2
2m 1 0 m 1 3m 1 0 1 m 1 1， m 2
3
11
m 2 不符合题意， m 舍去 2
3 4 m1
第 4 讲 一元二次方程的应用
【知识要点 】
1. 列一元二次方程解实际问题的步骤：
（ 1） 设：设好未知数，根据实际问题，可直接设未知数，也可间接设未知数，不要漏泄单位。 （ 2） 列：根据题意，利用所蕴含的相等关系列出一元二次方程，注意等号两边的单位要一致。 （ 3） 解：解所列的一元二次方程。
（ 4） 验：检验所列方程的解是否符合实际问题情境，将不符合题意的方程的解舍去。 （ 5） 答：根据题意，写出答案。
【典型例题】
1. 某农户种植花生，原来种植的花生的亩产量为 200kg ，出油率为 50%（即每 100kg 花生可加工成花生油 50kg ），现在
2m 1 2 4m 2 0
x 1
x 2 2m 1
13. 解：
2
x 1x 2
m 1
1
3
x 1
x 2
1 2 3 4
1 种植新品种花生后，每亩收获的花生可加工成花生油132kg，其中花生出油率的增长率是亩产量的增长率的1，求：
2 新品种花生亩产量的增长率。
解：设新品种花生亩产量的增长率为x ，
1 则有200(1 x )·50%·(1 x) 132
2
解得x1 0.2，x2 3. 2(不合题意，舍去)
答：新品种花生亩产量的增长率是20%。
注：对于增长率问题，解这类问题的公式是a(1 x)n b ，其中，a是原来的量，x是平均增长率，n是增长的次数， b 为增长的量。
2. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20 件，每件赢利40 元，为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价 1 元，商场平均每天可多售出 2 件。
求：( 1)若商场平均每天要赢利1200 元，每件衬衫应降价多少元？
( 2)每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？
解： ( 1)设每件衬衫应降价x 元，则有
(40x)(20 2x)1200
30x2000
2 x
解得x110，x220
根据题意，取x=20，∴每件衬衫应降低20 元。
(2)商场每天赢利
(40 x)( 20 2x)
2
800 60x 2x 2
2(x 15)21250
当x 15 时，商场赢利最多，共1250 元∴每件衬衫降价15 元时，商场平均每天获利最多。
【经典习题】
1. 一个两位数，十位数字与个位数字之和是5，把这个数的个位数字与十位数字对调位置后，所得的新两位数与原来
的两位数的乘积为736，求原来的两位数。
2．一次会议上，每两个参加会议的人都相互握了一次手，有人统计一共握了66 次手。这次会议到会的有多少人？
3．某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克赢利10 元，每天可售出500 千克。经市场调查发现，在进货价格
不变的情况下，若每千克涨价 1 元，日销售量将减少20 千克。现该商场要保证每天赢利6000 元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元?
【模拟试题】
(一)填空题
2
1. 一元二次方程(3x 2)(2x 1) 2x 2 化为一般式后， a ______________________ ，b ____________ ，c ___________
2. 若方程x2x m有两个实数根，则m的值是____________ 。
3. 关于x 的一元二次方程kx26x 1 0 有两个不相等的实数根，则k 的取值围是______________ 。
4. 关于x 的一元二次方程2x2x m 0 的一个根是1，另一个根是______________ ，m= __________ 。
5. 若x1、x2是方程2x24x 3 0的两个根，则(x1 1)(x2 1) = _____________________ 。
2 2 1 1
6. 已知两不等实数a、b 满足条件2a2 7a 1 0，2b2 7b 1 0，则 1 1_____________________________
ab
7. 已知a、b 是方程x22x 7 0的两个实数根，则a23b24b ___________________ 。
(二)解下列方程
1. (2x 1)216 0
2
2. x28x 9 0
3. (x 1)22(1 x)
4. x25x 2 0
5. x(x 7) 60
(三)解答题
2m
1. 已知关于x 的方程x 2 (m 2)x 3 0
2
①求证无论m取什么实数值，这个方程总有两个不相同的实数根
②若这个方程的两个实数根x1 、x2满足2x1 x2 m 2，求m的值
2. 已知关于x 的方程x22mx 3m 0的两个实数根是x1、x2，且(x1 x2)2 16，如果关于x 的另一个方程x22mx 6m 9 0 的两个实数根都在x1和x2之间，求m的值。
第一次课后作业
经典练习】
1. 已知x=-1 是关于x 的方程2x2 ax 3a 0 的一个根，则a=
2
2. 若方程(m1)x m 12mx3 0 是关于x 的一元二次方程，求m的值。
2
3. 若(m 1)x m2 15x 3 0是关于x 的一元二次方程，则m= 。a2b2
4. 已知a≠0，a≠b，x=1 是方程ax2 bx 10 0的一个解，则的值是
2a 2b
5. 关于x 的一元二次方程(m 2)x2 3m2x m2 4 0 有一根为0，求2m2 4m 3的值。
2008
6．已知m是方程x2 2008x 1 0 的一个不为零的根，求m2 2007m 2的值。m21
7. 已知关于x 的方程2x2 kx 1 0的一个根与方程2x 14 的根相等。
1x
(1) 求k 的值.(2) 求方程2x2 kx 1 0的另一个根.
8．已知x=1 是一元二次方程x2 mx n 0的一个根，则m2 2mn n2的值为
9．已知方程x2 bx a 0 有一个根是-a ( a≠ 0)，则下列代数式的值恒为常数的是( )
A．ab B. a C.a+b D.a-b
b
第二次课后作业
1. 用配方法解方程：2x2 7x 4 0.
2. 将二次三项式2x2 4x 6进行配方，正确的结果是( )
A. 2(x 1)2 4
B. 2(x 1)2 4
C. 2(x 2)2 2
D. 2(x 2) 2 2
3. 求证：不论m取何值，2m2 4m 9 的值都不小于7.