求卫星轨道的周长
卫星轨道参数
卫星轨道参数
（1）在地球坐标系中升交点与降交点卫星由南半球飞往北半球那⼀段轨道称为轨道的升段；卫星由北半球飞往南半球那⼀段轨道称为轨道的降段；把轨道的升段与⾚道的交点称为升交点。
轨道的降段与⾚道的交点称为降交点。
（2）轨道倾⾓：指的是⾚道平⾯与轨道平⾯间的（升段）夹⾓。
（3）周期（T）：指卫星绕地球运⾏⼀周的时间
（4）截距（L）：连续两次升交点之间的经度数。
L=T*15度/⼩时
（5）星下点：卫星与地球中⼼连线在地球表⾯的交点。
（6）轨道数：指卫星从⼀升交点开始到下⼀个升交点为⽌环绕地球运⾏⼀圈的轨道序数。
数值计算大作业
数值计算大作业题目一、非线性方程求根1.题目假设人口随时间和当时人口数目成比例连续增长，在此假设下人口在短期内的增长建立数学模型。
（1）如果令()N t 表示在t 时刻的人口数目，β表示固定的人口出生率，则人口数目满足微分方程()()dN t N t dt β=，此方程的解为0()=tN t N e β； （2）如果允许移民移入且速率为恒定的v ，则微分方程变成()()dN t N t vdt β=+， 此方程的解为0()=+(1)t t vN t N e e βββ-；假设某地区初始有1000000人，在第一年有435000人移入，又假设在第一年年底该地区人口数量1564000人，试通过下面的方程确定人口出生率β，精确到410-；且通过这个数值来预测第二年年末的人口数，假设移民速度v 保持不变。
4350001564000=1000000(1)e e βββ+-2.数学原理采用牛顿迭代法，牛顿迭代法的数学原理是，对于方程0)(=x f ，如果)(x f 是线性函数，则它的求根是很容易的，牛顿迭代法实质上是一种线性化方法，其基本思想是将非线性方程0)(=x f 逐步归结为某种线性方程来求解。
设已知方程0)(=x f 有近似根k x (假定0)(≠'x f )，将函数)(x f 在点k x进行泰勒展开，有.))(()()(⋅⋅⋅+-'+≈k k k x x x f x f x f于是方程0)(=x f 可近似地表示为))(()(=-'+k k x x x f x f这是个线性方程，记其根为1k x +，则1k x +的计算公式为)()(1k k k k x f x f x x '-==+，,,2,1,0⋅⋅⋅=k这就是牛顿迭代法，简称牛顿法。
3.程序设计作出函数的图像，大概估计出根的位置fplot('1000*exp(x)+(435*x)*(exp(x)-1)-1564',[0 3]);grid大概估计出初始值x=0.5function [p1,err,k,y]=newton(f,df,p0,delta,max1) % f 是非线性系数 % df 是f 的微商 % p0是初始值% dalta 是给定允许误差 % max1是迭代的最大次数 % p1是牛顿法求得的方程近似解 % err 是p0误差估计 % k 是迭代次数 p0,feval('f',p0) for k=1:max1p1=p0-feval('f',p0)/feval('df',p0); err=abs(p1-p0); p0=p1;p1,err,k,y=feval('f',p1) if(err<delta)|(y==0), break,endp1,err,k,y=feval('f',p1) endfunction y=f(x)y=1000000*exp(x)+435000*(exp(x)-1)/x-1564000; function y=df(x)y=1000000*exp(x)+435000*(exp(x)/x-(exp(x)-1)/x^2);4.结果分析与讨论newton('f','df',1.2,10^(-4),10) 运行后得出结果 p0 =0.5000p1 =0.1679 err =0.3321 k =1 y =9.2415e+004 p1 =0.1031 err =0.0648 k =2 y =2.7701e+003 p1 =0.1010 err =0.0021 k =3 y =2.6953p1 =0.1010 err =2.0129e-006 k =4 y = 2.5576e-006 ans =0.1010运算后的结果为1010.0=β，通过这个数值来预测第二年年末的人口数，0.10100.1010435000f(t)=1000000(1)0.1010t te e +-t=2时候对于f ()2187945.865x =实践表明，当初始值难以确定时，迭代法就不一定收敛了，因此要根据问题实际背景或者二分法先得一个较好的初始值，然后再进行迭代；再者迭代函数选择不合适的话，采用不动点迭代法也有可能出现不收敛的情况；因此我采用的是牛顿法。
卫星轨道参数详解
卫星轨道参数详解⽬录⼀.卫星根数1.1 六根数1.2 卫星星历两⾏根数（TLE(two line element)）tle1:tle2:1.3 航天器的运⾏轨道分类1.4轨道速度的计算⼀.卫星根数1.1 六根数⼈造卫星轨道六要素（也称为轨道六根数）是⽤于表征卫星轨道形状、位置及运动等属性的参数，可⽤来确定任意时刻卫星的轨道和位置。
通常的轨道六根数指的是：半长轴a、离⼼率e、轨道倾⾓i、近⼼点辐⾓ω、升交点经度Ω和真近点⾓φ。
六根数中，前2项确定了轨道形状，第3、4、5项确定了轨道平⾯所处的位置，第6项确定了卫星在轨道中当前所处位置（注意：第6项除了⽤真近点⾓来表征外，还常常⽤平近点⾓、过升交点时刻、过近地点时刻等参量表征，其效果是等价的。
六根数⽰意图半长轴a:这个根数决定了卫星轨道形成的椭圆长半轴的长度，及轨道的⼤⼩。
同时，这个根数也决定了发射卫星到这个轨道需要多少能量，因为根据活⼒公式，⼀个确定轨道的机械能是固定的。
不同任务类型的卫星，或者运载约束，⼯作在不同的轨道⾼度上。
发射到不同轨道所需要的能量都需要依靠半长轴来计算。
如下图所⽰，飞得越⾼的卫星速度越慢，也是依据半长轴计算⽽来的。
偏⼼率e:跟椭圆的扁率是⼀个意思，代表轨道偏⼼的程度。
偏⼼率近似等于0的轨道⼀般称为近圆轨道，此时地球的质⼼⼏乎与轨道⼏何中⼼重合。
偏⼼⼤于0⼩于1，轨道就呈椭圆状，偏⼼率越⼤轨道越扁。
轨道倾⾓i:即轨道平⾯与⾚道平⾯之间的夹⾓，⽤于描述轨道的倾斜程度，简单地说就是轨道平⾯相对于地球⾚道平⾯是躺着的还是⽴着的或者是斜着的。
卫星轨道的倾⾓决定了卫星星下点所能覆盖的地理⾼度，并对发射场和运载⽕箭的运⼒形成硬性约束。
具体⽽⾔，若想卫星⾏下点轨迹覆盖⾼纬度地区，则卫星轨道倾⾓不能⼩于该纬度；发射场的纬度不能⾼于卫星轨道倾⾓；在半长轴和发射场相同的情况下，运载⽕箭发射倾⾓更⾼的卫星需要提供更多的能量。
升交点⾚经Ω：理解这个轨道根数需要在称为惯性系的三维空间中进⾏。
数值分析课程第五版课后习题答案(李庆扬等)1之欧阳法创编
第一章 绪论（12）1、设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差。
[解]设0*>x 为x 的近似值，则有相对误差为δε=)(*x r ，绝对误差为**)(x x δε=，从而x ln 的误差为δδεε=='=*****1)()(ln )(ln x xx x x ，相对误差为****ln ln )(ln )(ln xxx x rδεε==。
2、设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。
[解]设*x 为x 的近似值，则有相对误差为%2)(*=x r ε，绝对误差为**%2)(x x =ε，从而nx 的误差为nn x x n x n x x n x x x **1***%2%2)()()()(ln *⋅=='=-=εε，相对误差为%2)()(ln )(ln ***n x x x nr==εε。
3、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：1021.1*1=x ，031.0*2=x ，6.385*3=x ，430.56*4=x ，0.17*5⨯=x 。
[解]1021.1*1=x 有5位有效数字；0031.0*2=x 有2位有效数字；6.385*3=x 有4位有效数字；430.56*4=x 有5位有效数字；0.17*5⨯=x 有2位有效数字。
4、利用公式（3.3）求下列各近似值的误差限，其中*4*3*2*1,,,x x x x 均为第3题所给的数。
（1）*4*2*1x x x ++；[解]3334*4*2*11***4*2*1*1005.1102110211021)()()()()(----=⨯=⨯+⨯+⨯=++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=++∑x x x x x f x x x e n k k kεεεε；（2）*3*2*1x x x ； [解]52130996425.010********.2131001708255.01048488.2121059768.01021)031.01021.1(1021)6.3851021.1(1021)6.385031.0()()()()()()()()(3333334*3*2*1*2*3*1*1*3*21***3*2*1*=⨯=⨯+⨯+⨯=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=-------=∑x x x x x x x x x x x f x x x e nk k kεεεε；（3）*4*2/x x 。
轨道周期计算公式
轨道周期计算公式轨道周期计算公式是用来研究双星轨道运动的必要公式，它可以帮助我们准确预测双星系统的运动轨道。
它的发展起源于十六世纪法国数学家埃米尔古斯塔夫卢梭，他认为轨道运动是规律性的，并建立了轨道周期计算公式。
卢梭认为，轨道运动可以用椭圆函数来表示，这种函数的一个重要特点是它的实质性参数“周期”，即本征周期，也就是双星系统一次运行完毕的所需的时间。
按照卢梭的计算方法，如果想知道双星系统的周期，可以通过以下公式计算出来：T = 2π * SQRT(a^3/k)其中，a为双星轨道的半长轴，k是引力常数。
由于卢梭的计算方法只能用于简单的双星系统，他的计算结果有一定的偏差，不能用于更复杂的系统中。
直到1772年，苏格兰数学家麦克尔尼科尔利用平方根和超越函数，构建出了更加精确的轨道周期计算公式，从而建立了现代力学的理论基础：T = 2π * SQRT((1/4) * a^3/k)公式中a^3/k称为“系数”，是现代力学中重要的概念，可以用来描述双星系统的运动状态。
麦克尔尼科尔的轨道周期计算公式在它发表以后，逐渐成为双星系统研究中的重要工具，更重要的是，它提供了一种新的、精确的研究双星运动轨道的方法。
随着科学技术的发展，轨道周期计算公式也在不断改进，从而使双星系统的研究变得更加精确。
例如，普朗克改进了轨道参数的表达，将原来的两个参数a和k改写成了三个参数：a、e和M，其中e表示双星轨道的离心率，M表示每个双星的质量。
而另外的一个重要的参数p，则用于描述双星系统的运动轨道。
在20世纪，牛顿力学发展到了令人惊奇的今天，轨道周期计算公式也在不断改进，以更加精确和准确地描述双星系统的运动轨道。
例如，现代轨道周期计算公式结合了平方根、超越函数和牛顿力学，可以用来精确计算双星系统的轨道周期，也就是说，当一个双星轨道在太空中绕太阳转一周所需要的时间。
轨道周期计算公式的发展为科学的发展提供了重要的动力，使人们能够更加准确地研究双星系统，而这对航天探索以及研究太阳系结构和其他复杂运动系统都有着至关重要的意义。
(完整版)数值分析第四版习题和答案解析
h 应取多少 ?
9. 若 yn 2 n , 求 4 yn 及 4 yn .
10. 如 果 f ( x) 是 m 次 多 项 式 , 记 f (x) f (x h) f ( x) , 证 明 f (x) 的 k 阶 差 分
k f (x)(0 k m) 是 m k 次多项式 , 并且 m l f ( x) 0(l 为正整数 ).
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11. 证明 ( f k g k ) fk g k gk 1 f k .
n1
fk gk
12. 证明 k 0
fngn
f0 g0
n1
gk 1 f k .
k0
n1
2 yj
13. 证明 j 0
14. 若 f (x) a0
yn y0. a1 x L an 1 xn 1
.
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18. f ( x) 、 g( x) C1 a,b , 定义
b
b
( a)( f , g) f (x) g (x)dx;( b)( f , g ) f ( x) g ( x) dx f (a) g (a);
a
a
问它们是否构成内积 ?
6
1 x dx
19. 用许瓦兹不等式 (4.5) 估计 0 1 x 的上界 , 并用积分中值定理估计同一积分的上下界
5. 计算球体积要使相对误差限为 1％ , 问度量半径 R时允许的相对误差限是多少 ?
6. 设 Y0 28, 按递推公式
1
Yn Yn 1
783
100
( n=1,2, … )
计算到 Y100 . 若取 783 ≈ 27.982( 五位有效数字 ), 试问计算 Y100 将有多大误差 ?
椭圆轨道卫星速度计算
椭圆轨道卫星速度计算椭圆轨道卫星是一种在地球上空运行的人造卫星，它的轨道形状呈现椭圆形。
在计算椭圆轨道卫星的速度时，需要考虑它所处的轨道高度、地球的质量、引力等因素。
下面将详细介绍椭圆轨道卫星速度计算的过程。
我们需要了解一些基本概念。
椭圆轨道是一种椭圆形状的轨道，其中地球位于椭圆的一个焦点上。
椭圆轨道上的卫星在不同位置具有不同的速度。
根据开普勒定律，卫星距离地球越近，速度越快；距离地球越远，速度越慢。
为了计算椭圆轨道卫星的速度，我们首先需要知道卫星所处的轨道高度。
轨道高度是指卫星距离地球表面的最短距离。
常见的轨道高度包括低地球轨道（LEO）、中地球轨道（MEO）和高地球轨道（GEO）。
低地球轨道的高度通常在100公里至2000公里之间，中地球轨道的高度通常在2000公里至35786公里之间，高地球轨道的高度大于35786公里。
在计算椭圆轨道卫星速度时，我们可以采用以下步骤：1. 确定卫星的轨道高度。
2. 根据轨道高度和地球的质量，计算地球表面的引力加速度。
地球的质量约为5.97×10^24千克，引力加速度约为9.8米/秒²。
3. 根据卫星所处位置距离地球的距离，计算卫星所受的引力大小。
根据引力定律，引力大小与距离的平方成反比。
4. 根据卫星所受的引力和地球的质量，计算卫星的运动加速度。
运动加速度是由地球的引力提供的，它决定了卫星的速度变化。
5. 根据卫星的运动加速度和轨道高度，计算卫星的速度。
速度可以通过加速度与时间的乘积来计算，其中时间可以通过轨道的周长和速度来计算。
需要注意的是，椭圆轨道卫星的速度是不断变化的。
在轨道的近地点，卫星的速度最快；在轨道的远地点，卫星的速度最慢。
卫星在轨道上运行时，速度会不断变化，但轨道高度和地球的引力决定了卫星的运动规律。
计算椭圆轨道卫星的速度需要考虑轨道高度、地球的质量、引力等因素。
通过计算地球表面的引力加速度、卫星所受的引力大小、卫星的运动加速度和轨道的周长，可以得出椭圆轨道卫星的速度。
卫星轨道高度速度计算公式
卫星轨道高度速度计算公式卫星是人类利用航天技术将人造物体送入地球轨道或其他天体轨道的一种人造天体。
卫星通常用于通信、导航、气象监测、科学研究等领域。
在卫星的设计和运行过程中，计算卫星轨道高度和速度是非常重要的一部分。
本文将介绍卫星轨道高度速度计算公式，并探讨其在卫星设计和运行中的应用。
卫星轨道高度速度计算公式是由牛顿引力定律和圆周运动定律推导而来的。
在地球的引力作用下，卫星绕地球运动。
根据牛顿引力定律，地球对卫星的引力与卫星的质量和地球的质量成正比，与卫星与地球的距离的平方成反比。
根据圆周运动定律，卫星绕地球运动的加速度与卫星的速度的平方和卫星与地球的距离成反比。
综合考虑这两个定律，可以得到卫星轨道高度速度计算公式。
首先，我们来推导卫星轨道高度速度计算公式。
假设卫星质量为m，地球质量为M，卫星与地球的距离为r，卫星的速度为v。
根据牛顿引力定律，地球对卫星的引力F可以表示为：F =G M m / r^2。
其中，G为万有引力常数。
根据牛顿第二定律，卫星的加速度a可以表示为：a = F / m = G M / r^2。
根据圆周运动定律，卫星的加速度a与卫星的速度v和卫星与地球的距离r之间的关系为：a = v^2 / r。
将上述两个式子联立，可以得到卫星轨道高度速度计算公式：v = sqrt(G M / r)。
这就是卫星轨道高度速度计算公式。
根据这个公式，我们可以通过已知的地球质量和卫星与地球的距离来计算卫星所需的速度。
同时，通过这个公式，我们也可以计算出卫星所需的轨道高度。
在卫星设计和运行中，卫星轨道高度速度计算公式有着重要的应用。
首先，对于通信卫星和气象卫星等需要稳定轨道的卫星来说，确定合适的轨道高度和速度是非常重要的。
通过卫星轨道高度速度计算公式，工程师可以根据卫星的任务需求和地球的引力场来确定卫星的轨道参数，从而保证卫星能够稳定运行并完成其任务。
其次，对于导航卫星来说，合适的轨道高度和速度也是至关重要的。
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数值分析实验报告
题目
一、 问题提出
地球卫星轨道是一个椭圆，椭圆周长的计算公式是
，这里a是椭圆的半长轴，c是地球中
心（椭圆中心）的距离，记h为近地点距离，H为远地点距离，R= 6371（km）
为地球半径，则a=（2R+H+h）/2,c=(H-h)/2.我国第一颗人找地球卫星近地点距
离h=439（km），远地点距离H=2384（km），试求卫星轨道的周长.
二、 模型建立
龙贝格求积算法公式为：
,2,1 , )(141)2(144 )(1)1(1)(khThTT
kmmkmmmk
m
椭圆周长的计算公式：
R= 6371（km），则a=（2R+H+h）/2,c=(H-h)/2. R= 6371（km）， h=439（km），
H=2384（km）
三、 求解方法
Matlab M文件：
function R = romberg(f,a,b,n)
format long
R = zeros([n + 1, n + 1]);
R(0+1, 0+1) = (b - a) / 2 * (feval(f, a) + feval(f, b));
for i = 1 : n, h = (b - a) / 2^i; s = 0;
for k = 1 : 2^(i-1),
s = s + feval(f, a + (2*k - 1)*h);
end
R(i+1, 0+1) = R(i-1+1, 0+1)/2 + h*s;
end
for j = 1 : n, fac = 1 / (4^j - 1);
for m = j : n,
R(m+1, j+1) = R(m+1, j-1+1) + fac*(R(m+1, j-1+1) - R(m-1+1, j-1+1));
end
end
function I=f(x)
R=6371;h=439;H=2384;
a=(2*R+H+h)/2;c=(H-h)/2;
I=sqrt(1-(c/a)^2*(sin(x)^2));
四、 输出结果
积分I输出结果：
ans =
0 0
0
即加速3次求得：
k
0
1
2
计算得：I =
所以卫星轨道的周长S = 4aI = 48708 km
五、 结果分析
由计算结果可知，利用龙贝格算法计算积分，利用外推法，提高了计算精度，
加快了收敛速度，求得的结果比较精确。