矩阵知识点归纳

(一)二阶矩阵与变换

1．线性变换与二阶矩阵

在平面直角坐标系xOy 中，由?

????

x ′＝ax ＋by ，

y ′＝cx ＋dy ，(其中a ，b ，c ，d 是常数)构成的变换称为线

性变换．由四个数a ，b ，c ，d 排成的正方形数表???

a b c d 称为二阶矩阵，其中a ，b ，c ，d 称为矩

阵的元素，矩阵通常用大写字母A ，B ，C ，…或(a ij )表示(其中i ，j 分别为元素a ij 所在的行和列)．

2．矩阵的乘法

行矩阵[a 11a 12]与列矩阵????b 11b 21的乘法规则为[a 11a 12]????b 11b 21＝[a 11b 11＋a 12b 21]，二阶矩阵???

a b c d 与

列矩阵????x y 的乘法规则为????a b c d ????x y ＝??????ax ＋by cx ＋dy .矩阵乘法满足结合律，不满足交换律和消去律． 3．几种常见的线性变换

(1)恒等变换矩阵M ＝???

1 00 1；

(2)旋转变换R θ对应的矩阵是M ＝????

??cos θ －sin θsin θ cos θ； (3)反射变换要看关于哪条直线对称．例如若关于x 轴对称，则变换对应矩阵为M 1＝??????1 00 －1；若关于y 轴对称，则变换对应矩阵为M 2＝????

?－1 0 0 1；若关于坐标原点对称，则变换

对应矩阵M 3＝????

－1 0 0 －1；

(4)伸压变换对应的二阶矩阵M ＝???

k 1 00 k 2，表示将每个点的横坐标变为原来的k 1倍，纵坐标

变为原来的k 2倍，k 1，k 2均为非零常数；

(5)投影变换要看投影在什么直线上，例如关于x 轴的投影变换的矩阵为M ＝????

1 00 0；

(6)切变变换要看沿什么方向平移，若沿x 轴平移|ky |个单位，则对应矩阵M ＝???

1 k 0 1，若沿

y 轴平移|kx |个单位，则对应矩阵M ＝???

1 0k 1.(其中k 为非零常数)．

4．线性变换的基本性质

设向量α＝????x y ，规定实数λ与向量α的乘积λα＝????λx λy ；设向量α＝????x 1y 1，β＝????x 2

y 2，规定向量

α与β的和α＋β＝????

x 1＋x 2y 1＋y 2.

(1)设M 是一个二阶矩阵，α、β是平面上的任意两个向量，λ是一个任意实数，则①M (λα)＝λMα，②M (α＋β)＝Mα＋Mβ.

(2)二阶矩阵对应的变换(线性变换)把平面上的直线变成直线(或一点)．

(二)矩阵的逆矩阵、特征值与特征向量

1．矩阵的逆矩阵 (1)一般地，设ρ是一个线性变换，如果存在线性变换σ，使得σρ＝ρσ＝I ，则称变换ρ可逆．并且称σ是ρ的逆变换．

(2)设A 是一个二阶矩阵，如果存在二阶矩阵B ，使得BA ＝AB ＝E ，则称矩阵A 可逆，或称

矩阵A 是可逆矩阵，并且称B 是A 的逆矩阵．

(3)(性质1)设A 是一个二阶矩阵，如果A 是可逆的，则A 的逆矩阵是唯一的．A 的逆矩阵记为A －1．

(4)(性质2)设A ，B 是二阶矩阵，如果A ，B 都可逆，则AB 也可逆，且(AB )－1＝B －1A －

1. (5)已知A ，B ，C 为二阶矩阵，且AB ＝AC ，若矩阵A 存在逆矩阵，则B ＝C .

(6)对于二阶可逆矩阵A ＝????a b c d (ad －bc ≠0)，它的逆矩阵为A －

1＝????

??d ad －bc

－b ad －bc －c ad －bc

ad －bc

2．二阶行列式与方程组的解

对于关于x ，y 的二元一次方程组?

????

ax ＋by ＝m ，

cx ＋dy ＝n ，我们把????a b c d 称为二阶行列式，它的运算

结果是一个数值(或多项式)，记为det(A )＝???

?a b c d ＝ad －bc . 若将方程组中行列式????a b c d 记为D ，????m b n d 记为D x ，???

a m c n 记为D y ，则当D ≠0时，方

程组的解为?

x ＝D x D

，

y ＝D y D

3．二阶矩阵的特征值和特征向量 (1)特征值与特征向量的概念

设A 是一个二阶矩阵，如果对于实数λ，存在一个非零向量α，使得Aα＝λα，那么λ称为A 的一个特征值，α称为A 的一个属于特征值λ的一个特征向量．

(2)特征多项式

设λ是二阶矩阵A ＝????a b c d 的一个特征值，它的一个特征向量为α＝????x y ，则A ????x y ＝λ???

y ，即

????? ax ＋by ＝λx ，cx ＋dy ＝λy ，也即?

????

(λ－a )x －by ＝0，－cx ＋(λ－d )y ＝0.(*) 定义：设A ＝????a b c d 是一个二阶矩阵，λ∈R ，我们把行列式f (λ)＝????

??λ－a －b －c λ－d ＝λ2－(a ＋d )λ＋ad －bc 称为A 的特征多项式．

(3)矩阵的特征值与特征向量的求法

如果λ是二阶矩阵A 的特征值，则λ一定是二阶矩阵A 的特征多项式的一个根，即f (λ)＝0，

此时，将λ代入二元一次方程组(*)，就可得到一组非零解????x 0y 0，于是非零向量???

?x 0

y 0即为A 的属于

λ的一个特征向量

．

所有变换矩阵

单位矩阵：1001M ??

=????

，点的变换为(,)(,)x y x y →

伸压变换矩阵：001k M

=????

：1k >，将原来图形横坐标扩大为原来k 倍，纵坐标不变

01k <<，将原来图形横坐标缩小为原来k 倍，纵坐标不变

点的变换为(,)(,)x y kx y →

100M k ??

=????

： 1k >，将原来图形纵坐标扩大为原来k 倍，横坐标不变 01k <<，将原来图形纵坐标缩小为原来k 倍，横坐标不变

点的变换为(,)(,)x y x ky →

反射变换：

1001M ??

=??

-??：点的变换为(,)(,)x y x y →- 变换前后关于x 轴对称 1001M -??=????

：点的变换为(,)(,)x y x y →- 变换前后关于y 轴对称

1001M -??

=??

-??：点的变换为(,)(,)x y x y →-- 变换前后关于原点对称 0110M ??=????

：点的变换为(,)(,)x y y x → 变换前后关于直线y x =对称

旋转变换：cos sin sin cos M

θθθθ-??=????：逆时针090：0110M -??=????；顺时针0

90：0110M ??=??-??

旋转变化矩阵还可以设为：a b M b a -??

=????

投影变换：

1000M ??

=????

：将坐标平面上的点垂直投影到x 轴上点的变换为(,)(,0)x y x →

0001M ??

=????

：将坐标平面上的点垂直投影到y 轴上点的变换为(,)(0,)x y y →

1010M ??

=????

：将坐标平面上的点垂直于x 轴方向投影到y x =上

点的变换为(,)(,)x y x x →

0101M ??

=????

：将坐标平面上的点平行于x 轴方向投影到y x =上点的变换为(,)(,)x y y y →

11221122M ??

???????

：将坐标平面上的点垂直于y x =方向投影到y x =上点的变换为(,)(

,)22

x y x y

x y ++→ 切变变换：101k M

=????

：把平面上的点沿x 轴方向平移||ky 个单位点的变换为(,)(,)x y x ky y →+

101M k ??=????

：把平面上的点沿y 轴方向平移||kx 个单位

点的变换为(,)(,)x y x kx y →+