重庆专升本高等数学模拟试题一(各种题精心整理)

重庆市专升本高等数学模拟试卷（一）

一．选择题（本大题共5小题，每小题4分,共20分,每项只有一个正确答

案，请把所选项前的字母填在括号内）

1.)(2sin

lim =∞

→x

x x π

(A) 0 (B) 1 (C) ∞ (D) π2

2.设)(x F 是)(x f 在()+∞∞-,上的一个原函数，且)(x F 为奇函数，则

)(x f 是（ ）

(A) 奇函数 (B) 偶函数 (C) 非奇非偶函数 (D) 不能确定

3.⎰

=)(

tan xdx

(A) c x +cos ln (B) c x +-cos ln (C) c x +-sin ln (D) c x +sin ln

4.设)(x f y =为[]b a ,上的连续函数，则曲线)(x f y =，a x =，b x =及

x 轴所围成的曲边梯形面积为（ ）

(A) ⎰

b a dx x f )( (B) ⎰b

a

dx x f )(

(C)

⎰

b a

dx x f )( (D) ⎰-b

a

dx x f )(

5.下列级数发散的是（ ）

A ．21

34(1)(1)(2)n

n n n n ∞

=--++∑ B ．11(1)1n

n n ∞

=-+∑

C ．1

1

1

(1)

3n n n ∞

-=-∑ D ．3

1

2

1(21)

n n ∞

=+∑

二．填空题（本大题共5小题，每小题4分,共20分，请把正确结果填在划

线上）

1.方程 033

3

=-+axy y x 所确定的隐函数)(x y y =的导数为 2.)3(tan 3

1

2y x y +=

'的通解为 3..若lim n n nu k →∞

=（0k >），则正项级数

∑∞

=1

n n

u

的敛散性为 ．

4.积分⎰

-21

1

21

dx x ＝

5.二次积分⎰⎰

1

24x xdy dx ＝

三．计算题（本大题共10题，1-8题每题8分, 9题9分,10题7分）

1、求极限1

1

lim 3

1

--→x x x

2、已知x x xy y x sin )ln(2

2+=+，求0

=x dx dy

3.⎰

10

arctan xdx x

4、求方程2

2x y y y =-'+''的通解

5、求幂级数∑∞

=+-0

1)2(n n

n x 的收敛域．

6、.求二重积分

σd y

x D

⎰⎰

22

，其中D 是由直线2=x ，x y =及直线1=xy 所围成的闭合区域.

7

、求函数arc tan ln x

z y

=+

8、对于非齐次线性方程组⎪⎩⎪

⎨⎧=+++=--=-+0

)1(33314321

32321x x x x x x x x λλ，λ为何值时，（1）有

唯一值；（2）无解；（3）有无穷多个解并在有无穷多解时求其通解。

9、过点(3, 0)M 作曲线ln(3)y x =-的切线，该切线与此曲线及x 轴围成一平面图形D ．试求平面图形D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积．

10.设)(x f 在[]b a ,上连续，在()b a ,内二阶可导，且0)()(==b f a f ，且存在点()b a c ,∈使得0)(>c f ，试证明至少存在一点()b a ,∈ξ，使

0)(<''ξf

参考答案

一．选择题

1. D

2. B

3. B

4. C

5. A

二．填空题

1．ax

y x ay y --='22 2． c y x x y =++-)]3(2sin[31

2 3．发散

4．

3ln 2

1

5．1 三．计算题

1．解：用洛必塔法则

11

lim

3

1

--→x x x =2

3lim 2

13

21--

→x x

x = 32

2．解：x x xy y x sin )ln(2

2

+=+

两边同对x 求导 得

x x x y xy y y

x y x cos sin 2222

++'+=+'

+ 当0=x 时由原方程式可得1=y 于是解得()10='y 3．解：

⎰

10

arctan xdx x =

⎰102

arctan 21xdx =()

dx x

x x x 21022112101arctan 21+-⎰ =-8πdx x x ⎰+-+102211121=-8π21+01arctan 21x

=-8π21+8π=-4π2

1 4．解：对应的齐次方程的特征方程为022=-+λλ 得1,221=-=λλ

于是对应的齐次方程的通解为x x

e c e

c y 221+=-（其中21,c c 是任意

常数）

因为0=μ不是特征根，所以设特解为C Bx Ax y ++=*

2

代入原方程，得41,21,0-=-

==C B A ，4

1

21--=*x y 故原方程的通解为4

1

21221--++=+=-*x e c e c y y y x x （其中21,c c 是任

意常数）

5

．解：因为1

lim

lim 1n n n n n

a a ρ+→∞

→∞==== 所以原级数的收敛半径为 1

1R ρ

=

=

也就是，当121x -<-<，即13x <<时，原级数收敛．

当1x =时，原级数

为

n

n ∞

=是交错级数且满

足1n n u u +=

>=

，lim lim 0n n n u →∞→∞==，所以它是收敛的；

当3x =

时，原级数为0

n ∞

=∑

，这是一个1

12p =<的p -级数，所

以它是发散的；