【清华 数学建模】第二章 初等模型
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数学建模第二章初等方法建模
Mathematical Modeling
第二章 初等方法建模
2.1 比例分析模型
2.2
2.3
代数模型
简单优化模型
节水洗衣机
2.4
Department of Mathematics
HUST
Mathematical Modeling
2.1
比例分析模型
2.1.1
包装成本问题
2.1.2
划艇比赛成绩
Department of Mathematics
d hW kS m
其中 S 是表面积， h 0, k 0, m 0 均为常数，
Department of Mathematics
HUST
2.1.1 包装成本问题
Mathematical Modeling
模型分析与建立
6）假设各种包装品在几何形状上是大致相似的,体积几乎
与线性尺度的立方成正比,表面积几乎与线性尺度的平 方成正比，
即v l , s l
3
2
所以S l 2/3. 由于v W , 有S W 2/3
Department of Mathematics
HUST
2.1.1 包装成本问题
Mathematical Modeling
模型分析与建立
现在将比例法中涉及的自变量化为一个自变量——重量。
a W , b fW g ( f 0, g 0) c W , d hW kS m 于是每克的批发成本是
（5）
本问题即是求满足（1）式条件下的（5）式的解。
Department of Mathematics
HUST
森林管理问题
Mathematical Modeling
第二章 初等方法建模
2.1 比例分析模型
2.2
2.3
代数模型
简单优化模型
节水洗衣机
2.4
Department of Mathematics
HUST
Mathematical Modeling
2.1
比例分析模型
2.1.1
包装成本问题
2.1.2
划艇比赛成绩
Department of Mathematics
d hW kS m
其中 S 是表面积， h 0, k 0, m 0 均为常数，
Department of Mathematics
HUST
2.1.1 包装成本问题
Mathematical Modeling
模型分析与建立
6）假设各种包装品在几何形状上是大致相似的,体积几乎
与线性尺度的立方成正比,表面积几乎与线性尺度的平 方成正比，
即v l , s l
3
2
所以S l 2/3. 由于v W , 有S W 2/3
Department of Mathematics
HUST
2.1.1 包装成本问题
Mathematical Modeling
模型分析与建立
现在将比例法中涉及的自变量化为一个自变量——重量。
a W , b fW g ( f 0, g 0) c W , d hW kS m 于是每克的批发成本是
（5）
本问题即是求满足（1）式条件下的（5）式的解。
Department of Mathematics
HUST
森林管理问题
Mathematical Modeling
第二章：初等模型习题解答
1 题目：生物学家认为，对于休息状态的热血动物消耗的能量主要用于维持体温，能量与从心脏到全身的血流量成正比，而体温主要通过身体表面散失，建立一个动物体重与心率之间关系的模型，并用下面的数据加以检验。
解：动物消耗的能量P 主要用于维持体温，而体内热量通过表面积S 散失，记动物体重为ω，则3/2-∝∝ωS P 。
P α正比于血流量Q ，而qr Q =，其中q 是动物每次心跳泵出的血流量，r 为心率。
合理地假设q 与ω成正比，于是r P ω∝。
综上可得3/1-∝ωr ，或3/1-=ωk r 。
由所给数据估计得310897.20⨯=k ，将实际数据与模型结果比较如下表：2 题目：一垂钓俱乐部鼓励垂钓者将钓上来的鱼放生，打算按照放生的鱼的重量给予奖励，俱乐部只准备了一把软尺用于测量，请你设计按照测量的长度估计鱼的重量的方法。
假定鱼池中只有一种鲈鱼，并且得到8条鱼的如下数据（胸围指鱼身的最大周长）：先用机理分析，再用数据确定参数。
问题分析本题为了知道鱼的重量，用估计法来通过估计鱼的长度而确定鱼的重量，这种方法只能针对同一种体形相似鱼，但是一般而言世界上没有两种完全相同的东西，所以对于同一种类的鱼也有可能肥瘦不一。
所以在此，我们应该先不妨假设同一种鱼它的整体形状是相似的，密度也大体上是相同的。
模型假设⑴设鱼的重量为；⑵语的身长记为；模型的构成与求解因为我们前面假设了鱼的整体形状是相似的，密度也相同，所以鱼的重量w 与身长l 的立方成正比，即，为这两者之间的比例系数。
即31v k w =，1k 为比例系数。
不过常钓得较肥的鱼的垂钓者不一定认可上面的模型，因为它对肥鱼和瘦鱼同等看待，如果只假定鱼的截面是相似的，则横截面积与鱼身最大周长的平方成正比，于是l d k w 22=，2k 为比例系数。
利用题中给的数据，估计模型中的系数可得：1k =0.0146，2k =0.0322,将实际数据与模型结果比较如下表：结果分析及评注通过上面的一系列分析，可见估计的两个模型基本上都能让垂钓者满意， 上表中我们可以看到，两个模型算得的结果与鱼的实际结果相差不大，所以，在同一种鱼整体形状相似的，密度也相同的情况下，用身体长度去估计它的体重和考虑鱼身的情况下估计鱼的体重都是可行的。
《数学模型》(第四版)第二章初等模型(2.3 划艇比赛的成绩 2.7 核军备竞赛)
• 利用模型对核军备竞赛中的一些现象作出合理解释.
第二章 初等模型
2.1 光盘的数据容量 2.2 双层玻璃窗的功效 2.3 划艇比赛的成绩 2.4 实物交换 2.5 污水均流池的设计 2.6 交通流与道路通行能力 2.7 核军备竞赛 2.8 扬帆远航 2.9 天气预报的评价
初等模型
• 研究对象的机理比较简单 • 用静态、线性、确定性模型即可达到建模目的 可以利用初等数学方法来构造和求解模型 如果用初等和高等的方法建立的模型，其应用效果 差不多，那么初等模型更高明，也更受欢迎.
其全部核导弹攻击己方的核导弹基地；
• 己方在经受第一次核打击后，应保存足够的 核导弹，给对方重要目标以毁灭性的打击.
在任一方实施第一次核打击时，假定一枚核 导弹只能攻击对方的一个核导弹基地.
摧毁这个基地的可能性是常数，它由一方的 攻击精度和另一方的防御能力决定.
图 y=f(x)~甲有x枚导弹,乙所需的最少导弹数(乙安全线) 的 x=g(y)~乙有y枚导弹,甲所需的最少导弹数(甲安全线) 模 当 x=0时 y=y0，y0~乙方的威慑值 型 y0~甲方实行第一次打击后已经没有导弹，乙方
v (n/s)1/3
建立 s1/2 A1/3, A W(=w0+nw) n
s n2/3
v n1/9
比赛成绩 t n – 1/9
模型检验
nt 1 7.21 2 6.88 4 6.32 8 5.84
t anb
利用4次国际大赛冠军的平均
成绩对模型 t n – 1/ 9 进行检验.
x<y 甲方以 x枚导弹攻击乙方 y个基地中的 x个, sx个基地未被摧毁，y–x个基地未被攻击.
x=y y<x<2y
第二章 初等模型
2.1 光盘的数据容量 2.2 双层玻璃窗的功效 2.3 划艇比赛的成绩 2.4 实物交换 2.5 污水均流池的设计 2.6 交通流与道路通行能力 2.7 核军备竞赛 2.8 扬帆远航 2.9 天气预报的评价
初等模型
• 研究对象的机理比较简单 • 用静态、线性、确定性模型即可达到建模目的 可以利用初等数学方法来构造和求解模型 如果用初等和高等的方法建立的模型，其应用效果 差不多，那么初等模型更高明，也更受欢迎.
其全部核导弹攻击己方的核导弹基地；
• 己方在经受第一次核打击后，应保存足够的 核导弹，给对方重要目标以毁灭性的打击.
在任一方实施第一次核打击时，假定一枚核 导弹只能攻击对方的一个核导弹基地.
摧毁这个基地的可能性是常数，它由一方的 攻击精度和另一方的防御能力决定.
图 y=f(x)~甲有x枚导弹,乙所需的最少导弹数(乙安全线) 的 x=g(y)~乙有y枚导弹,甲所需的最少导弹数(甲安全线) 模 当 x=0时 y=y0，y0~乙方的威慑值 型 y0~甲方实行第一次打击后已经没有导弹，乙方
v (n/s)1/3
建立 s1/2 A1/3, A W(=w0+nw) n
s n2/3
v n1/9
比赛成绩 t n – 1/9
模型检验
nt 1 7.21 2 6.88 4 6.32 8 5.84
t anb
利用4次国际大赛冠军的平均
成绩对模型 t n – 1/ 9 进行检验.
x<y 甲方以 x枚导弹攻击乙方 y个基地中的 x个, sx个基地未被摧毁，y–x个基地未被攻击.
x=y y<x<2y
第二章初等模型.ppt
1032
632
Q1
2
5304.5,Q2
1984.5, 2
Q3
342 2
578,
由此，第4个席位应该给甲系，此时n1 2, 再计算Q1
值:
2019-10-10
感谢你的欣赏
21
1032 Q1 2 3 1768.17,
而Q2 , Q3 值没有变化，因此得到第5个席位给乙系. 由
3.玻璃材料均匀，热传导系数是常数。
2019-10-10
感谢你的欣赏
28
建模
由假设，热传导过程遵从下面的物理定律:
厚度为d的均匀介质，两侧温度差为T ，则单位时间
由温度高的一侧流过单位面积的热量 Q与T 成正比，与
d 成反比，即
Q k T .
⑴
d
其中k 为热传导系数。
2019-10-10
都达到最小.
2019-10-10
感谢你的欣赏
14
解模
设 A单位已有席位nA ，B单位有席位 nB，并假定 A吃
亏，即kA kB，因而rA nA, nB 有意义.
现考虑下一个席位的分配:
⑴席位分配给 A仍然是 A 吃亏，即 pA pB , nA 1 nB
毫无疑问，该席位应该分配给 A.
感谢你的欣赏
29
记双层窗内层玻璃的外侧温度是 Ta，外层玻璃的内侧
温度是Tb，玻璃的热传导系数为 k1，空气的热传导系数
为
k
，则由⑴式，单位时间单位面积的热量传导（热
2
量流失）为
Q1
k1
T1
d
Ta
k2 Ta
Tb l
k1 Tb
第二章初等模型2
解 3个系的学生数所占学生总额的比例为 5 : 3: 2，由
此不难得到名额分配方案为10,6, 4 。 若丙系有6名学生转到他系，其中甲系3人，乙系3人， 此时应如何分配名额呢？
103 20 10.3； 甲系： 200 63 20 6.3； 乙系： 200 34 20 3.4。 丙系： 200
Q2
1984.5(5) 661.5(8) 330.75(12) 198.45(14) 132.3(18)
Q3
578.0(9) 192.67(15) 96.33(21)
7
198.45(16)
序号 8 9 10 席位个数 147.35(17) 117.88(19) 96.45(20) 11 6 4
上面的计算结果表明: 丙系最终保住了一个席位.
p A pB k B 时，A 吃亏，称 当kA n A nB
k A k B p A nB rA n A , nB 1 ⑶ kB pB n A 为 A的相对不公平度； p A pB 当 kA k B 时，B 吃亏，称 n A nB k B k A pB n A ⑷ rB n A , nB 1 kA p A nB 为 B 的相对不公平度。 r 在前例中，A nA , nB 0.2, rC nC , nD 0.02.
来分配的.
所谓公平原则指的是: 每个席位所代表的人员数希望 是相等的.
建模
为体现公平性，引入指标: 单位 人数 席位数 每席位代表的人数
A
B
PA
PB
nA
nB
PA nA PB nB
pA pB kA , kB . nA nB
显然，若 k A
⑴
数学建模初等模型ppt课件
61 1
61 1
21
理学院
xx
2.5 经济问题中的初等模型
设产品产量为q,产品价格为p,固定成本c0，可变成 本为c1.
（1） 总成本函数： c cq c0 c1q
（2） 供给函数：
Qs f p
（3） 需求函数：
Q0 gp
（4） 价格函数：
p f 1Q0 pq
证明：存在0，使f(0) = g(0) = 0.
理学院 6
xx
模型求解
给出一种简单、粗糙的证明方法
将椅子旋转900，对角线AC和BD互换。 由g(0)=0， f(0) > 0 ，知f(/2)=0 , g(/2)>0.
令h()= f()–g(), 则h(0)>0和h(/2)<0.
由 f, g的连续性知 h为连续函数, 据连续函数的基本性
理学院 22
xx
（5） 收益函数：
R Rq qpq
（6） 利润函数： Lq Rq Cq
（7） 边际成本函数：
Cm C'q
（8） 边际收益函数：
Rm R'q
（9） 边际利润函数： Lm R'q C'q Rm Cm
23
理学院
xx
Q(t)=-t3+9t2+12t
个晶体管收音机。
问：在早上几点钟这个工工作人效的率工最作高效，率即最生高产？率最大， 此题中，工人在t时刻的生产率
解：工人的生产率为为Q’(产Rt)量t，Q则关Q问于' 题t时转间化t的3为t 2变求化Q1’8率(tt：)的12
R't Q''最t大值6t 18 0
第二章 初等数学建模
如状态(2,3)是不可取的，
而状态(3,1)是可取的。
1)可取状态： 总共有10种可取状态具体如下： (3,3) (3,2) (3,1) (3,0) (0,3) (0,2) (0,1) (0,0) (1,1) (2,2) 其中(i,i)表示i对夫妻。 用S表示可取状态的集合，称为允许状态集合。 2)可取运载： (0,1) (0,2) (1,0) (2,0) (1,1) ， 35 其中(1,1)表示1对夫妻，
(3)有12个外表相同的硬币,已知其中一个 是假的(可能轻也可能重些).现要用无砝码的 天平以最少的次数找出假币,问应怎样称法.
22
§2 几何模拟问题
把一个复杂的问题，抽象成各种意义下的几何 问题加以解决，这种方法叫做几何模拟法。几何模 拟法常常在发现问题解答的同时，也就论证了解答 的正确性，这种方法当然是数学中的一种重要思维 方法。
(3,3) 去两女 (3,1) 回一女 (3,2)
第二章 初等数学方法建模
§1 几 种 简 单 的 数 学 方 法
一、观测实验和抽象分析法 欧拉多面体问题 问题：一般凸的多面体其面数F、顶 点数V和边数E之间有何关系？ 对此欧拉具体地观察了四面体、五 面体… 结果如下：
1
多面体 四面体
F 4
V 4
E 6
五面体
六面体 七面体 ……
5 (5 6 (6 7 (7 …
此问题可抽象成什么样的数学问题？
30
问题转化为：是否存在一个 0使得f 0 g ( 0 ) 0.
数学问题如下：
已知：f(θ)、g(θ)连续， g(0)＝0，f(0)>0， 且对任意的θ，有g(θ)·f(θ)＝0。
求证：存在0，使得g (0 ) f (0 ) 0.
第二章 初等数学建模
两个骰子朝上的面共有36 种可能，点数之和分别可为 2~12共11种。从图中可知， 7是最容易出现的和数，它 出现的概率是6次，卡当曾 予言说押7最好。
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
赌场如战场，有胜亦有败。 例5 常胜的赌徒 ，那么赌徒到底至少要 。但 要做到长胜， 要做到长胜 赌场如战场，有胜亦有败
假如每次赢的概率为p，则输的概率为q=1-p,显 k . = 2[ln(1−ξ )/ln q]+1 −1 然连输K次的概率为 q 因此开k次至少有一次赢 不难解出：QMIN k 的概率为 − q。不论“常胜的概率p0有多大，只 1 . k 要p0 >0且q <1,只要K充分大,必有 1− q > p0 。 即只要赌徒有足够多的本钱，则可百赌百胜。
是不是花6分钱 准可以得到 是不是花 分钱,准可以得到 粒红色的糖 分钱 准可以得到2粒红色的糖 或者她花去8分钱准可得到 粒白色的糖, 或者她花去 分钱准可得到2粒白色的糖 分钱准可得到 粒白色的糖 所以她需要花8分钱是吗 分钱是吗? 所以她需要花 分钱是吗 ---
如果出售机内有6粒红色的 粒白色 如果出售机内有 粒红色的,4粒白色 显然只要花4分钱即可 分钱即可. 显然只要花粒红色的 分钱即可 粒蓝色的.琼斯夫人最多要花多少 的,5粒蓝色的 琼斯夫人最多要花多少 粒蓝色的 如果琼斯夫人的孩子是三 钱? 胞胎 那该怎样呢 胞胎,那该怎样呢 那该怎样呢?
然应当把水池、 盘子大小相同， 然应当把水池、 ，你还应当调查 可见 ，假设条件 的提出不 ：盘子大小相同， 易回答了，当然， 易回答了，当然 假设我们了解到 空气等吸热的因 我们了解到： 假设我们了解到 仅和你 研的 洗过的， 洗过的，其后可能还会再用清水 （4） ，素都考虑进去，但餐馆老板的原 ） 均为瓷质菜盘， 是一 有关，素都考虑进去， 问题 有关每个盘子的洗涤时间 △T是一 、 还和 ，更换热水并非因为水太脏 你准备利用哪些知 识 一下一池水的质量是多少， 一下一池水的质量是多少，查一 均为瓷质菜盘，洗涤时先将一叠 冲洗， 冲洗 个常数。（ 。（这一假设甚至可以去掉 个常数。（这一假设甚至可以去掉 。 意只是想了解一下一池热水平均 准备建立什么样的模型以及你准 备研 一 下瓷盘的吸热系数和质量等。 下瓷盘的吸热系数和质量等 盘子浸泡在热水中， 盘子浸泡在热水中，然后 。 水不够热了。 了，而是因为 水不够热了 不要） 清洗。 即在你提出假设时， 不要） 清洗。 ，即在你提出假设时， 大约可以洗多少盘子， 大约可以洗多少盘子， 杀鸡 究的深入程度有关， 究的深入程度有关 焉用牛刀？ 焉用牛刀？ 你建模的框架已经基本搭好了。 你建模的框架已经基本搭好了。
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
赌场如战场，有胜亦有败。 例5 常胜的赌徒 ，那么赌徒到底至少要 。但 要做到长胜， 要做到长胜 赌场如战场，有胜亦有败
假如每次赢的概率为p，则输的概率为q=1-p,显 k . = 2[ln(1−ξ )/ln q]+1 −1 然连输K次的概率为 q 因此开k次至少有一次赢 不难解出：QMIN k 的概率为 − q。不论“常胜的概率p0有多大，只 1 . k 要p0 >0且q <1,只要K充分大,必有 1− q > p0 。 即只要赌徒有足够多的本钱，则可百赌百胜。
是不是花6分钱 准可以得到 是不是花 分钱,准可以得到 粒红色的糖 分钱 准可以得到2粒红色的糖 或者她花去8分钱准可得到 粒白色的糖, 或者她花去 分钱准可得到2粒白色的糖 分钱准可得到 粒白色的糖 所以她需要花8分钱是吗 分钱是吗? 所以她需要花 分钱是吗 ---
如果出售机内有6粒红色的 粒白色 如果出售机内有 粒红色的,4粒白色 显然只要花4分钱即可 分钱即可. 显然只要花粒红色的 分钱即可 粒蓝色的.琼斯夫人最多要花多少 的,5粒蓝色的 琼斯夫人最多要花多少 粒蓝色的 如果琼斯夫人的孩子是三 钱? 胞胎 那该怎样呢 胞胎,那该怎样呢 那该怎样呢?
然应当把水池、 盘子大小相同， 然应当把水池、 ，你还应当调查 可见 ，假设条件 的提出不 ：盘子大小相同， 易回答了，当然， 易回答了，当然 假设我们了解到 空气等吸热的因 我们了解到： 假设我们了解到 仅和你 研的 洗过的， 洗过的，其后可能还会再用清水 （4） ，素都考虑进去，但餐馆老板的原 ） 均为瓷质菜盘， 是一 有关，素都考虑进去， 问题 有关每个盘子的洗涤时间 △T是一 、 还和 ，更换热水并非因为水太脏 你准备利用哪些知 识 一下一池水的质量是多少， 一下一池水的质量是多少，查一 均为瓷质菜盘，洗涤时先将一叠 冲洗， 冲洗 个常数。（ 。（这一假设甚至可以去掉 个常数。（这一假设甚至可以去掉 。 意只是想了解一下一池热水平均 准备建立什么样的模型以及你准 备研 一 下瓷盘的吸热系数和质量等。 下瓷盘的吸热系数和质量等 盘子浸泡在热水中， 盘子浸泡在热水中，然后 。 水不够热了。 了，而是因为 水不够热了 不要） 清洗。 即在你提出假设时， 不要） 清洗。 ，即在你提出假设时， 大约可以洗多少盘子， 大约可以洗多少盘子， 杀鸡 究的深入程度有关， 究的深入程度有关 焉用牛刀？ 焉用牛刀？ 你建模的框架已经基本搭好了。 你建模的框架已经基本搭好了。