数学建模培训-初等模型
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数学建模第五部分-初等模型及简单优化模型
记qi=Npi /P, i=1,2, … , m, 若qi 均为整数，显然应 ni=qi
5.1 公平席位分配
qi=Npi /P不全为整数时，ni 应满足的准则： 记 [qi]– =floor(qi) ~ 向 qi方向取整； [qi]+ =ceil(qi) ~ 向 qi方向取整. 1) [qi]– ni [qi]+ (i=1,2, … , m), 即ni 必取[qi]– , [qi]+ 之一 2) ni (N, p1, … , pm ) ni (N+1, p1, … , pm) (i=1,2, … , m) 即当总席位增加时， ni不应减少 ―比例加惯例”方法满足 1），但不满足 2） Q值方法满足 2）, 但不满足 1）。令人遗憾！
• 空右轮盘半径记作 r ；
• 时间 t=0 时读数 n=0 .
建模目的
建立时间t与读数n之间的关系 （设v,k,w ,r为已知参数）
5.2 录像机计数器的用途
模型建立 建立t与n的函数关系有多种方法
1. 右轮盘转第 i 圈的半径为r+wi, m圈的总长度 等于录像带在时间t内移动的长度vt, 所以
T1 T2 k1 l Q1 k1 , sh , h d ( s 2) k2 d
5.3 双层玻璃窗的功效
建模 记单层玻璃窗传导的热量Q2 T1 T2 T1 T2 Q1 k1 Q2 k1 d ( s 2) 2d
双层与单层窗传导的热量之比
室 内 T1
2d
室 外 T2
Q2
5.1 公平席位分配
应讨论以下几种情况 初始 p1/n1> p2/n2 1）若 p1/(n1+1)> p2/n2 ， 则这席应给 A
数学建模培训讲义-建模概论与初等模型
模型建立 建立t与n的函数关系有多种方法:
1. 右轮盘转过第 i 圈的半径为r+wi, m圈的总长度 等于录象带在时间t内移动的长度vt, 所以
m kn
模型建立
2. 考察右轮盘面积的 变化,等于录象带厚度 3. 考察t到t+dt录象带在 乘以转过的长度,即 右轮盘缠绕的长度,有
[(r wkn)2 r 2 ] wvt (r wkn)2kdn vdt
• 亲自动手，认真作几个实际题目
数学建模的论文结构
1、摘要——问题、模型、方法、结果
2、问题重述
3、模型假设
4、分析与建立模型
5、模型求解
6、模型检验
7、模型推广
8、参考文献
9、附录
谢 谢！
二、初等模型
例1 哥尼斯堡七桥问题
符号表示“一笔画问题”(抽象分析法) 游戏问题图论(创始人欧拉) 完美的回答连通图中至多两结点的度数为奇
3. 对于椅脚的间距和椅腿的长度而言，地面是相对平坦的，
使椅子的任何位置至少有三只脚同时着地。
A
y A
椅脚连线为正方形ABCD(如右图).
模 型
t ——椅子绕中心点O旋转角度
构 f(t)——A,C两脚与地面距离之和 D
B
t
x
成 g(t)——B,D两脚与地面距离之和
O
B
f(t), g(t) 0
D
C
模型构成 由假设1，f和g都是连续函数 A
实际上, 由于测试有误差, 最好用足够多的数据作拟合。
若现有一批测试数据：
t 0 20 40 60 n 0000 1153 2045 2800 t 100 120 140 160 n 4068 4621 5135 5619
数学建模之初等模型
情形3
p1 p2 ， 说明当对A 不公平时，给B 单 n1 n2 1 位增加1席，对A 不公平。
计算对A 的相对不公平值
r A (n 1 ,n 2 1 ) p 1n p 1 2 ( p n 2 2 (n 1 2 ) 1 ) p 1 (p n 2 2 n 11 ) 1
若 r B (n 1 1 ,n 2 ) r A (n 1 ,n 2 1 ),
取 r 4 参 m /s ,I 3 数 6 2 c/0 s , m p 1 0 .3 1 9 60
C 6 .9 5 1 4 0 (0 .8 sin 6c o 1 s.5 v)
v
可以看出：淋雨量与降雨的方向和行走的速度有关。
问题转化为给定 ，如何选择 v使得 C最小。
情形1 90
C6.95 1 04(0.81.5) v
结果表明：淋雨量是速度的减函数，当速度尽可能大时 淋雨量达到最小。 假设你以6米/秒的速度在雨中猛跑，则计算得
C 1.3 1 1 4 0 m 31.1升 3
情形2 60
C 6 .9 1 5 4 [ 0 1 .5 (0 .43 3 )/v ]
结果表明：淋雨量是速度的减函数，当速度尽可能大时 淋雨量达到最小。 假设你以6米/秒的速度在雨中猛跑，则计算得
你在雨中行度 走 v的 6米 /每 最秒 大， 速则计算 你在雨中 16行 秒 7 走 ， 2分 了 即 47 秒。
从而可以计算被淋的雨水的总量为2.041（升）。 经仔细分析，可知你在雨中只跑了2分47 秒，但被淋了 2 升的雨水，大约有4 酒瓶的水量。这是不可思议的。 表明：用此模型描述雨中行走的淋雨量不符合实际。
C t (I/36 ) 0 .0 S 1 0 (米 3 ) 1(D 0 /v ) I/36 S （ 00升
数学建模第二章 初等模型
第二章 初等模型如果研究对象的机理比较简单，一般用静态、线性、确定性模型描述就能达到建模的目的时，我们基本上可以用初等数学的方法来构造和求解模型。
通过下面的几个实例我们能够看到，用很简单的数学方法就可以解决一些有趣的实际问题。
需要强调的是，衡量一个模型的优劣完全在于它的应用效果，而不是它看它采用了多么高深的数学方法。
进一步说，对于某个实际问题我们如果能够用初等方法和所谓的高等方法建立了两个模型，而它们的应用效果相差无几的话，那么受人们欢迎并采用的，一定是前者而非后者。
§2.1公平的席位分配设有A 、B 两个单位，各有人数1p 、2p 个，现在要求按人数选出q 个代表召开一次代表会议。
那么怎样分配这q 个席位呢？一般的方法是令：q p p p q 211*1+= q p p p q 212*2+= （2.1）若*1q ，*2q 恰好是两个整数，就以*1q ，*2q 分别作为A ，B 两个单位的席位数，即可以获得一个完全合理的分配方案。
当*1q ，*2q 不是两个整数时，那么怎样分配才合理呢？下面我们就来讨论这个问题。
首先给出一种自然的想法，也就是通常所执行的方法。
即由（2.1）式计算出的*1q ，*2q ，用][*i i q q =表示*i q 的整数部分。
当*1q －1q ＞*2q －2q 时，则用1q ＋1与2q 分别作为A ，B 两个单位的席位数；当*2q －2q ＞*1q －1q 时，则用1q 与2q ＋1分别作为A ，B 两个单位的席位数；而当*2q －2q ＝*1q －1q 时，就只能由A ，B 两个单位协商来确定那多余的一个席位了。
这个方法的优点是简单、方便，并被很多人所接受，同时也容易推广到m （m ＞2）个单位的席位分配问题。
但是这个分配方案是存在弊病的，它有明显的不合理性。
例1 某学校有3个系共200名学生，其中甲系100名，乙系60名，丙系40名。
若学生代表会议设20个席位，公平而又简单的席位分配办法是按学生人数的比例分配，显然甲乙丙三系分别应占有10、6、4个席位。
数学建模之初等模型
且
tn (n 1)T
S
0 n
(n
1)( L
D)
另外，汽车不会永远加速前进。我们设汽车在加速到某个给定速度 v*
后匀速前进，则加速的时间是
t* v * / a tn
综合上面的分析得到
Sn (0)
Sn
(t
)
Sn
(0)
Sn
(0)
a 2
(t
a 2
(tn
L1 v
L2 v
t2
(ni
1)d v
~ti
Li v
Li1 v
ti1
(ni 1)d v
~ti
Li v
Li1 v
ti1
向左疏散的总时间 Tl (x) 就是最后一个人离开的时间。 如果共l个房间，则
Tl (x) ~tl (xd l1 Li ) / v i 1
其中x是第i个 房间向左疏散的人数。 类似可以求出向右疏散的总时间Tr (nl 1 x) 。 求x使得
Tl (x) Tr (nl 1 x)
即得到疏散方案。
思考题： （1）对多层的楼房的疏散问题应如何分析？ （2）疏散时人与人之间的间距多大较好？
先考虑向左疏散的人用了多少时间。
设疏散队列中人与人间隔是d，行进速度v，房宽为 L1, L2,, Lm 。第i个 房间第一个人到门口的时间tis为 ，则第k个房间的人向左疏散的时间为
1
v
k i1
Li
nkd
tk
s
k l
问题：多个教室的学生可能出现重叠！
数学建模初等模型
数学建模初等模型
数学建模是将现实世界的问题抽象化为数学模型，并利用数学方法和技巧来分析和解决这些问题的过程。
在数学建模中，初等模型是指使用基本的数学概念和方法来描述和解决问题的模型。
常见的初等模型包括线性模型、指数模型、对数模型、多项式模型等。
线性模型是最简单的初等模型之一，它假设变量之间的关系是线性的，可以用直线来表示。
指数模型描述的是变量之间的指数关系，对数模型则描述的是变量之间的对数关系。
多项式模型可以用多项式函数来描述变量之间的关系。
使用初等模型进行数学建模时，我们需要确定问题中的关键变量和它们之间的关系，然后建立数学方程或函数来表示这些关系。
通过对这些方程或函数进行求解和分析，我们可以得到问题的解答或结论。
初等模型的优点是简单易懂，容易理解和应用。
它适用于一些简单的实际问题，例如人口增长、物体运动、投资收益等。
但初等模型也有一些限制，它对问题的描述和解决方法有一定的限制性，不能很好地处理复杂的问题。
总之，初等模型是数学建模中的一种简单模型，通过使用基本的数学
概念和方法来描述和解决问题。
它易于理解和应用，适用于一些简单的实际问题。
但在处理复杂问题时，可能需要借助更高级的数学模型和技巧来进行建模和分析。
数学建模初等模型ppt课件
61 1
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理学院
xx
2.5 经济问题中的初等模型
设产品产量为q,产品价格为p,固定成本c0，可变成 本为c1.
（1） 总成本函数： c cq c0 c1q
（2） 供给函数：
Qs f p
（3） 需求函数：
Q0 gp
（4） 价格函数：
p f 1Q0 pq
证明：存在0，使f(0) = g(0) = 0.
理学院 6
xx
模型求解
给出一种简单、粗糙的证明方法
将椅子旋转900，对角线AC和BD互换。 由g(0)=0， f(0) > 0 ，知f(/2)=0 , g(/2)>0.
令h()= f()–g(), 则h(0)>0和h(/2)<0.
由 f, g的连续性知 h为连续函数, 据连续函数的基本性
理学院 22
xx
（5） 收益函数：
R Rq qpq
（6） 利润函数： Lq Rq Cq
（7） 边际成本函数：
Cm C'q
（8） 边际收益函数：
Rm R'q
（9） 边际利润函数： Lm R'q C'q Rm Cm
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理学院
xx
Q(t)=-t3+9t2+12t
个晶体管收音机。
问：在早上几点钟这个工工作人效的率工最作高效，率即最生高产？率最大， 此题中，工人在t时刻的生产率
解：工人的生产率为为Q’(产Rt)量t，Q则关Q问于' 题t时转间化t的3为t 2变求化Q1’8率(tt：)的12
R't Q''最t大值6t 18 0
数学建模---初等模型
数学建模竞赛的培训内容
1）建模的基本概念和方法（数学建模课程的主要内容）
2）建模过程中常用的数学方法(微积分、代数、概率外)， 主要有：计算方法(如数值微分和积分、微分方程数值解、 代数方程组解法)，优化方法(如线性、非线性规划)，数 理统计(如假设检验、回归分析)，图论(如最短路) ,组合 数学,排队论等。 只要求知道实际问题与这些数学知识之间的对应关系 （如哪些问题可用线性规划求解，或线性规划可解决 哪些问题），以及用它们建立模型的方法，基本上不 必涉及模型的求解。
二、双层玻璃窗的功效
问 双层玻璃窗与同样多材料的单层 题 玻璃窗相比，减少多少热量损失 假 设 T1,T2不变，热传导过程处于稳态 建 模 Q ~单位时间单位面积传导的热量
T~温差, d~材料厚度, k~热传导系数 材料均匀，热传导系数为常数
室 内 T1 室 内 T1 d l 墙 室 外 T2 d 室 外 T2
初等模型
一、选举中的席位分配 二、双层玻璃窗的功效
三、汽车刹车距离
四、划艇比赛的成绩 五、实物交换 六、核军备竞赛 七、启帆远航
一、选举中的席位分配
（一）比例代表制 例：有A、B、C、D四个政党，代表50万选民，各 政党的选民数为： A党：199,000 B党：127,500 C党：124,000 D党： 49,500 要选出5名代表： A党：2席 B党：1席 C党：1席 D党：0席 缺少1席，如何分配这最后一席呢？
2、洪德(dHondt)规则
分配办法是：把各党代表的选民数分别被1、2、3、… 除，按所有商数的大小排序，席位按此次序分配。由于A 党代表的选民数的三分之一比D党代表的选民的人数还多， 那么给A党3席、给D党0席也是合理的。
1）建模的基本概念和方法（数学建模课程的主要内容）
2）建模过程中常用的数学方法(微积分、代数、概率外)， 主要有：计算方法(如数值微分和积分、微分方程数值解、 代数方程组解法)，优化方法(如线性、非线性规划)，数 理统计(如假设检验、回归分析)，图论(如最短路) ,组合 数学,排队论等。 只要求知道实际问题与这些数学知识之间的对应关系 （如哪些问题可用线性规划求解，或线性规划可解决 哪些问题），以及用它们建立模型的方法，基本上不 必涉及模型的求解。
二、双层玻璃窗的功效
问 双层玻璃窗与同样多材料的单层 题 玻璃窗相比，减少多少热量损失 假 设 T1,T2不变，热传导过程处于稳态 建 模 Q ~单位时间单位面积传导的热量
T~温差, d~材料厚度, k~热传导系数 材料均匀，热传导系数为常数
室 内 T1 室 内 T1 d l 墙 室 外 T2 d 室 外 T2
初等模型
一、选举中的席位分配 二、双层玻璃窗的功效
三、汽车刹车距离
四、划艇比赛的成绩 五、实物交换 六、核军备竞赛 七、启帆远航
一、选举中的席位分配
（一）比例代表制 例：有A、B、C、D四个政党，代表50万选民，各 政党的选民数为： A党：199,000 B党：127,500 C党：124,000 D党： 49,500 要选出5名代表： A党：2席 B党：1席 C党：1席 D党：0席 缺少1席，如何分配这最后一席呢？
2、洪德(dHondt)规则
分配办法是：把各党代表的选民数分别被1、2、3、… 除，按所有商数的大小排序，席位按此次序分配。由于A 党代表的选民数的三分之一比D党代表的选民的人数还多， 那么给A党3席、给D党0席也是合理的。
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整理ppt
8
表3 车辆数量模拟（二）
n
0
1
2
3
4
5
6
7
甲地 5000 3600 3180 3054 3016.2 3004.86 3001.458 3000.437
乙地 2000 3400 3820 3946 3983.8 3995.14 3998.542 3999.563
表4 车辆数量模拟（三）
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Bri 27.0 23.7 20.7 17.9 15.3 12.9 10.6 8.5 6.5 4.5 2.7 Fra 33.0 30.3 27.9 25.9 24.1 22.5 21.3 20.2 19.3 18.7 18.2
整理ppt
2
B n 1 Fn 1
Bn Fn
0.1Fn 0.1Bn
B1 27, F1 33
但是，尼尔森将军成功的运用了逐个击破的策略，扭转劣 势转败为胜，还差一点全歼法军。经此一战，英国大大巩固了 它在海上的霸权。
当时法军舰队分在三处，分别为A处（3艘）、B处（17艘）、 C处（13艘），彼此相距很远。尼尔森将军收集了丰富的情报 以后，当机立断，制定以下作战方案：先派13艘战舰进攻法军 A队，胜利后尽快与留守港口的14艘战舰汇合，一起进攻法军B 队，最后，乘胜追击，集中所有剩余兵力，围攻法军C队。
数学建模培训
——初等模型
曹可
二○○九年四月
整理ppt
1
一、数列建模
数列是最基本的概念之一。
模型1：谁将是胜利者
1805年，英国和法国进行了一场惨烈的海战。其中，尼尔 森担任英国统帅，他的对手则是大名鼎鼎的拿破仑。尼尔森的 舰队有27艘战舰，而拿破仑的舰队却有33艘战舰。根据以往的 战争经验，若两军相遇，一方损失兵力大约是对方兵力的10％。 如果按照这一公式计算，显然人多势众的法军将获胜，而且在 第11次遭遇战中全歼英军，如表所示。
现保守估计，每一场遭遇战，法军损失兵力大约是英军的 5％，列表如下计算：
整理ppt
3
战役A情况
1
2
3
4
Bri
13.0
12.7
12.5
12.4
Fra
3.0
2.4
1.7
1.1
战役B情况（法军在战役A中逃脱的1艘战舰加入战斗）
n 1 2 3 4 … 13 14 15 16
Bri
26. 0
25. 1
24. 3
进一步分析：如果甲地、乙地的车辆不是3000和4000时， 甲地和乙地的车辆数量则每天都在变动，是否会出现不平衡， 是否需要进行调配？
表2 车辆数量模拟（一）
n
0
1
2
3
4
5
6
7
甲地 7000 4200 3360 3108 3032.4 3009.72 3002.916 3000.875
乙地 0 2800 3640 3892 3967.6 3990.28 3997.084 3999.125
点评：上述问题，如果没有进一步分析就略显平庸！数学 建模是一个迭代的过程，是一个螺旋上升的过程，通过不断的 迭代、不断的修正，最终得到更好、更接近现实情况的结果！
n
0
1
2
3
4
5
6
7
甲地 2000 2700 2910 2973 2991.9 2997.57 2999.271 2999.781
乙地 5000 4300 4090 4027 4008.1 4002.43 4000.729 4000.219
整理ppt
9
表5 车辆数量模拟（四）
n
0
1
2
3
4
5
6
7
甲地 0 2100 2730 2919 2975.7 2992.71 2997.813 2999.344
23. 5
…
19. 1
18. 8
18. 18. 65
Fra
18. 0
16. 7
15. 4
14. 2
…
4.7
3.8
2.8
1.9
整理ppt
4
战役C情况（法军剩余兵力全部参加战斗）
n
1
2
3
4 … 14 15 16 17
Bri 19.0 18.3 17.6 17.0 … 13.2 13.0 12.8 12.7
试对上述问题提出决策分析！
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6
40%
甲地
乙地
30%
60%
70%
分析：设Jn为第n天在甲地的出租车数量，Yn为第n天在乙 地的出租车数量，由历史统计规律可知
YJnn11
0.6 J n 0.4 J n
0.3Yn 0.7Yn
J n Yn 7000
如果存在平衡状态，即Jn= Jn＋1及 Yn= Yn＋1，解得
乙地 7000 4900 4270 4081 4024.3 4007.29 4002.187 4000.656
经过模拟（表2－表5），可以知道无论车辆如何分配，经 过有限天数后，最终都将达到平衡状态。｛Jn｝的极限是3000， ｛Yn｝的极限是4000。其中，（J，Y）=（3000，4000）为该 动态系统的平衡点，而且是稳定的平衡点（不动电）！
整理ppt
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模型2：动态系统中的平衡点
模型2.1：出租车的调配问题
一家出租车公司有出租车7000辆，在甲地和乙地各有一家 分支机构，专门负责为旅游公司提供出租车。由于甲地和乙地 距离不远，出租车每天可以往返两地。根据公司统计的历史数 据，每一天甲地的车辆有60%前往乙地后返回甲地，余下40% 前往乙地并留在乙地分支机构；而每一天乙地的车辆有70%前 往甲地后返回乙地，余下30%前往甲地并留在甲地分支机构。 现在公司担心出现甲、乙两地车辆分布越来越不平衡的情况， 如果出现，公司就必须考虑是否对甲乙两地车辆进行调配，这 就需要支付一定的调度费用。
Jn3 0 0 0, Y n4 0 0 0 这就说明，甲地分配3000辆车，乙地分配4000辆车，则此 后两地车辆数目不变，即达到平衡状态。（如表1）
整理ppt
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表1
n 1 2 3 4 ... n ... 甲地 3000 3000 3000 3000 ... 3000 ... 乙地 4000 4000 4000 4000 ... 4000 ...
Fra 14.0 13.1 12.1 11.3 … 3.8 3.1 2.4 1.8
最后英军战胜了法军，而且双方伤亡情况与历史事实也很 相近。当年，英军在战役A和战役B中战胜法军，但法军没有增 援C，而是选择了撤退，大约有13艘战舰退回法国海港。
点评：数学建模以解决某现实问题为目的，从问题中抽象 并归结出来的数学问题。从现象到模型，数学建模必须反映现 实，既然是一种模型，它就不是现实问题的全部复制，常常会 忽略一些次要因素，作一些必要的简化，但本质上必须反映现 实问题的数量规律。