数学建模之初等模型
初等模型
——贷款、税收等问题
一、房贷款
小李夫妇欲购一套价值10万元的房子，俩人现有积蓄4万元。
需向银行贷款6万元，准备25年还清，假定银行贷款利息为月息1%，每月还款数一定，一月还一次，问每月需还多少钱，给出一般数学模型。
1、重述问题（略） 2、符号及假设：
设总贷款额为M 元，n 个月还清，月息r ，每月还款额为定值x ，每月月底还钱。
3、模型的建立与求解：
第1月底还欠多少钱：()1M r x +-
第2月底还欠多少钱：()()()()2
1111M r x r x M r x r x +-+-=+-+-⎡⎤⎣⎦ 第3月底还欠多少钱：
()()()()()()232111111M r x r x r x M r x r x r x ⎡⎤+-+-+-=+-+-+-⎣⎦
… …
第n 月底还欠多少钱：
()()
()
()()
()1
2
11
11111n
n n n n
r M r x r x r x r x M r x
r
--+-+-+-+-
-+-=+-
由于n 个月还清，因此有()
()11
10n
n
r M r x
r
+-+-=
()()()11
11111n
n n
r x M r Mr r r ⎛⎫+∴=∙=+ ⎪ ⎪+-+-⎝⎭
将M =60000元，n =25×12=300，r =0.001 代入得 x =232 (231.5970) 将M =60000元，n =25×12=300，r =0.01 代入得 x =632 (631.9345) 将M =60000元，n =25×12=300，r =0.02 代入得 x =1203 (1203.1643) 将M =60000元，n =25×12=300，r =0.03 代入得 x =1800 (1800.2536)
前后一共交了多少钱
69479.1
189580.35
360949.29
540076.08 nx
⎧
⎪
⎪
=⎨
⎪
⎪⎩
其它不变，还款期限为10年
530.849563701.94
860.8257103299.08
1322.8858158746.30
1853.3951222407.41 x
→
⎧
⎪→
⎪
=⎨
→
⎪
⎪→
⎩
注：人民银行历次贷款利息调整对照表
1、建设银行“乐得家”个人住房贷款系列产品的贷款期限、贷款成数、利率
2、每万元借款还款对照表
3、示例说明
某客户购买面积为140平方米的商品住房，价格为2500元/平方米，需支付35万元。
如果他申请八成20年的商品住房个人贷款，则：
1、客户支付首期购房款：35×20%=7万元。
2、申请八成20年个人住房贷款：35×80%=28万元。
3、客户每月归还借款本息金额：28×66.22=1854.16元，即客户只需首期付款7万元，然后从借款的次月开始的二十年内，每月还款金额为1854.16元。
4、若客户在借款后的若干年内（如第五年）拟一次归还剩余的贷款本息，假设客户在前五年内每月按时支付1854.16元，已累计归还借款本金为46166.11元，累计归还利息65083.49元，该客户只需还剩余的借款本金为233833.89元，不再计息。
二、学费问题
某私立中学规定学生入学时应交费4万元，等三年后学生毕业时学校将把4万元如数归还。
试问在此规定下，学生念三年书实际交了多少学费？
考虑到个别学生交费4万元有困难，可以在入学时交给学校一万元，但毕业时不再归还，问学校的这一做法对学生是否公平？对学校自己是否划算？（银行存款利息三年期月息为9‰）
分析：假定这些钱收来后存入银行吃利息，不计税，到三年后，学校获得
①交4万元返还的：本利和为40000×（1+0.009×36）=52960
学生交了52960-40000=12960（元）
②交1万元不退的：
（1）三年后4万元现在值多少钱：
a（1+0.009×36）=40000,a=30211.48
所以学生实际应交：40000-30211.48=9788.52元
（2）1万元三年后本利和为10000×（1+0.009×36）=13240元
比较知学校用第二种方法合算，但学生不需要筹措一大笔（3万）资金；借钱不容易，贷款的话不仅需抵押，而且贷款利率是存款的2倍以上。
30000×（1+0.018×36）-30000=19440
三、小额贷款资助个体
某个体户一月初向银行贷款10万元作为开商店资金，每月底获得的利润是该月初投入资金的20%每月底需交房租和所得税为该月所得金额（含利润）的10%，每月生活费和其它开支3000元。
余额作为资金全部投入再营业。
如此继续下去，问到这一年年底，这位个体户有现款多少元？若银行贷款的年利率为7.5%，问这位个体户还清银行贷款后，纯收入有多少元？
分析：设第n个月底的余款为a n
a1=105×(1+20%)-105×(1+20%)×10%-3×103=1.05×105
a n+1=a n(1+20%)- a n×(1+20%)×10%-3×103=1.08 a n -3×103
如何导出递推公式？
a n+1-3.75×104=1.08(a n-3.75×104)
a n=1.08n-1(a1-3.75×104)+3.75×104=(6.75×1.08n-1+3.75) ×104将n=12代入a12=194885.63
欠银行105×(1+7.5%)=107500
四、怎样纳税合算
1、美国的商税收是世界出名的，以工薪阶层的所得税为例，以年收入17850美元为界，低于（含等于）这个数字的交纳15%的所得税，高于17850的交纳28%的所得税。
（1）年收入40000美元的公民交多少所得税？
（2）政府规定捐赠可以免税，即收入中捐赠部分在交税时予以扣除。
一位年收入20000美元的公民捐赠20200美元，问他的实际收入有没有因为捐赠而减少？
分析：（1）40000×20%=11200
（2）20000×（1-28%）=14400
（20000-2200）×（1-15%）=15130
2、我国（中国）个人收入调节税为
1500元及以下免征，超过部分征收比例随超过额的增加而分段增加。
不超过500为5%，超过500-2000为10%
超过2000-5000为15%，5000-20000为20%
20000-40000为25%，40000-60000为30%，
60000-80000为35%，80000-100000为40%，
大于100000为45%。
数学建模培训讲义-建模概论与初等模型
模型建立 建立t与n的函数关系有多种方法:
1. 右轮盘转过第 i 圈的半径为r+wi, m圈的总长度 等于录象带在时间t内移动的长度vt, 所以
m kn
模型建立
2. 考察右轮盘面积的 变化,等于录象带厚度 3. 考察t到t+dt录象带在 乘以转过的长度,即 右轮盘缠绕的长度,有
[(r wkn)2 r 2 ] wvt (r wkn)2kdn vdt
• 亲自动手，认真作几个实际题目
数学建模的论文结构
1、摘要——问题、模型、方法、结果
2、问题重述
3、模型假设
4、分析与建立模型
5、模型求解
6、模型检验
7、模型推广
8、参考文献
9、附录
谢 谢！
二、初等模型
例1 哥尼斯堡七桥问题
符号表示“一笔画问题”(抽象分析法) 游戏问题图论(创始人欧拉) 完美的回答连通图中至多两结点的度数为奇
3. 对于椅脚的间距和椅腿的长度而言，地面是相对平坦的，
使椅子的任何位置至少有三只脚同时着地。
A
y A
椅脚连线为正方形ABCD(如右图).
模 型
t ——椅子绕中心点O旋转角度
构 f(t)——A,C两脚与地面距离之和 D
B
t
x
成 g(t)——B,D两脚与地面距离之和
O
B
f(t), g(t) 0
D
C
模型构成 由假设1，f和g都是连续函数 A
实际上, 由于测试有误差, 最好用足够多的数据作拟合。
若现有一批测试数据：
t 0 20 40 60 n 0000 1153 2045 2800 t 100 120 140 160 n 4068 4621 5135 5619
数学建模实验报告
湖南城市学院数学与计算科学学院《数学建模》实验报告专业：学号：姓名：指导教师：成绩：年月日实验一 初等模型实验目的：掌握数学建模的基本步骤，会用初等数学知识分析和解决实际问题。
实验内容：A 、B 两题选作一题，撰写实验报告，包括问题分析、模型假设、模型构建、模型求解和结果分析与解释五个步骤。
A 题 飞机的降落曲线在研究飞机的自动着陆系统时，技术人员需要分析飞机的降落曲线。
根据经验，一架水平飞行的飞机，其降落曲线是一条S 形曲线。
如下图所示，已知飞机的飞行高度为h ，飞机的着陆点为原点O ，且在整个降落过程中，飞机的水平速度始终保持为常数u 。
出于安全考虑，飞机垂直加速度的最大绝对值不得超过g ／10，此处g 是重力加速度。
（1）若飞机从0x x 处开始下降，试确定出飞机的降落曲线； （2）求开始下降点0x 所能允许的最小值。
B 题 铅球的投掷问题众所周知，铅球的投掷运动是运动员单手托住7.264kg(16磅)重的铅球在直径为2.135m 的投掷圆内将铅球掷出并且使铅球落入开角为45o 的有效扇形区域内。
以铅球的落地点与投掷圆间的距离度量铅球投掷的远度，并以铅球投掷远度的大小评定运动员的成绩。
在铅球的训练和比赛中，铅球投掷距离的远与近是人们最关心的问题。
而对于教练和运动员最为关心的问题是如何使铅球掷得最远。
影响铅球投掷远度的因素有哪些？建立一个数学模型，将预测的投掷距离表示为初始速度和出手角度的函数。
最优的出手角度是什么？如果在采用你所建议的出手角度时，该运动员不能使初始速度达到最大，那么他应该更关心出手角度还是出手速度？应该怎样折中？哪些是影响远度的主要因素？在平时训练中，应该更注意哪些方面的训练？试通过组建数学模型对上述问题进行分析，给教练和运动员以理论指导。
参考数据资料如下：实验报告：一、问题分析在研究飞机下落过程中，需要分析飞机下降的降落曲线，根据经验应该是一条五次多项式。
以降落点为原点O建立直角坐标系。
初等数学模型PPT课件
• 另外，适当地设置状态和决策，并确定状态 转移律，是有效地解决很广泛的一类问题的 建模方法，在以后还可能要用到。
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人、狼、羊、菜渡河模型
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问题的提出
• 一摆渡人F希望用一条小船把一只狼W，一 头羊G和一篮白菜C从一条河的左岸渡到右 岸去，而船小只能容纳F、W、G、C中的 两个，决不能在无人看守的情况下，留下狼 和羊在一起，羊和白菜在一起，
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模型构成
• 记第k次渡河前此岸的商人数为xk，随从数为yk， k=l，2，…，xk,yk=0，1，2，3。
• 将二维向量sk=(xk,yk)定义为状态 • 安全渡河条件下的状态集合称为允许状态集合，
记作S。不难写出 S=｛(x,y)|x=0, y= 0，1，2，3; x=3, y=0，1，2，3; x=第y6页=/共144，页 2｝
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0，0) √
(1，0，1，0)
(0，0，
7) (1，0，1，0) 十 (1，1，0，0) → (0，1，1，0) ×
1，1) ×
(1，0，0，1)
(0，0，
1，0) √×
(1，0，0，0) (0，0，
• 第7步 已经出现(0，0，0，0)状态，说明经过7
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评注
• 用这种方法的优点易于在计算机上实现。由此可把一个数学游 戏问题转化成为一个在计算机上计算的数学问题(即建模)。
由状态(3，3)经n(奇数)步决策 转移到(0，0)的转移过程
• 具体转移步骤如下:
(0，1)
(3，2) √
数学建模第二章 初等模型
第二章 初等模型如果研究对象的机理比较简单，一般用静态、线性、确定性模型描述就能达到建模的目的时，我们基本上可以用初等数学的方法来构造和求解模型。
通过下面的几个实例我们能够看到，用很简单的数学方法就可以解决一些有趣的实际问题。
需要强调的是，衡量一个模型的优劣完全在于它的应用效果，而不是它看它采用了多么高深的数学方法。
进一步说，对于某个实际问题我们如果能够用初等方法和所谓的高等方法建立了两个模型，而它们的应用效果相差无几的话，那么受人们欢迎并采用的，一定是前者而非后者。
§2.1公平的席位分配设有A 、B 两个单位，各有人数1p 、2p 个，现在要求按人数选出q 个代表召开一次代表会议。
那么怎样分配这q 个席位呢？一般的方法是令：q p p p q 211*1+= q p p p q 212*2+= （2.1）若*1q ，*2q 恰好是两个整数，就以*1q ，*2q 分别作为A ，B 两个单位的席位数，即可以获得一个完全合理的分配方案。
当*1q ，*2q 不是两个整数时，那么怎样分配才合理呢？下面我们就来讨论这个问题。
首先给出一种自然的想法，也就是通常所执行的方法。
即由（2.1）式计算出的*1q ，*2q ，用][*i i q q =表示*i q 的整数部分。
当*1q －1q ＞*2q －2q 时，则用1q ＋1与2q 分别作为A ，B 两个单位的席位数；当*2q －2q ＞*1q －1q 时，则用1q 与2q ＋1分别作为A ，B 两个单位的席位数；而当*2q －2q ＝*1q －1q 时，就只能由A ，B 两个单位协商来确定那多余的一个席位了。
这个方法的优点是简单、方便，并被很多人所接受，同时也容易推广到m （m ＞2）个单位的席位分配问题。
但是这个分配方案是存在弊病的，它有明显的不合理性。
例1 某学校有3个系共200名学生，其中甲系100名，乙系60名，丙系40名。
若学生代表会议设20个席位，公平而又简单的席位分配办法是按学生人数的比例分配，显然甲乙丙三系分别应占有10、6、4个席位。
数学建模之初等模型
且
tn (n 1)T
S
0 n
(n
1)( L
D)
另外，汽车不会永远加速前进。我们设汽车在加速到某个给定速度 v*
后匀速前进，则加速的时间是
t* v * / a tn
综合上面的分析得到
Sn (0)
Sn
(t
)
Sn
(0)
Sn
(0)
a 2
(t
a 2
(tn
L1 v
L2 v
t2
(ni
1)d v
~ti
Li v
Li1 v
ti1
(ni 1)d v
~ti
Li v
Li1 v
ti1
向左疏散的总时间 Tl (x) 就是最后一个人离开的时间。 如果共l个房间，则
Tl (x) ~tl (xd l1 Li ) / v i 1
其中x是第i个 房间向左疏散的人数。 类似可以求出向右疏散的总时间Tr (nl 1 x) 。 求x使得
Tl (x) Tr (nl 1 x)
即得到疏散方案。
思考题： （1）对多层的楼房的疏散问题应如何分析？ （2）疏散时人与人之间的间距多大较好？
先考虑向左疏散的人用了多少时间。
设疏散队列中人与人间隔是d，行进速度v，房宽为 L1, L2,, Lm 。第i个 房间第一个人到门口的时间tis为 ，则第k个房间的人向左疏散的时间为
1
v
k i1
Li
nkd
tk
s
k l
问题：多个教室的学生可能出现重叠！
数学建模初等模型
数学建模初等模型
数学建模是将现实世界的问题抽象化为数学模型，并利用数学方法和技巧来分析和解决这些问题的过程。
在数学建模中，初等模型是指使用基本的数学概念和方法来描述和解决问题的模型。
常见的初等模型包括线性模型、指数模型、对数模型、多项式模型等。
线性模型是最简单的初等模型之一，它假设变量之间的关系是线性的，可以用直线来表示。
指数模型描述的是变量之间的指数关系，对数模型则描述的是变量之间的对数关系。
多项式模型可以用多项式函数来描述变量之间的关系。
使用初等模型进行数学建模时，我们需要确定问题中的关键变量和它们之间的关系，然后建立数学方程或函数来表示这些关系。
通过对这些方程或函数进行求解和分析，我们可以得到问题的解答或结论。
初等模型的优点是简单易懂，容易理解和应用。
它适用于一些简单的实际问题，例如人口增长、物体运动、投资收益等。
但初等模型也有一些限制，它对问题的描述和解决方法有一定的限制性，不能很好地处理复杂的问题。
总之，初等模型是数学建模中的一种简单模型，通过使用基本的数学
概念和方法来描述和解决问题。
它易于理解和应用，适用于一些简单的实际问题。
但在处理复杂问题时，可能需要借助更高级的数学模型和技巧来进行建模和分析。
数学建模初等模型ppt课件
61 1
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21
理学院
xx
2.5 经济问题中的初等模型
设产品产量为q,产品价格为p,固定成本c0，可变成 本为c1.
（1） 总成本函数： c cq c0 c1q
（2） 供给函数：
Qs f p
（3） 需求函数：
Q0 gp
（4） 价格函数：
p f 1Q0 pq
证明：存在0，使f(0) = g(0) = 0.
理学院 6
xx
模型求解
给出一种简单、粗糙的证明方法
将椅子旋转900，对角线AC和BD互换。 由g(0)=0， f(0) > 0 ，知f(/2)=0 , g(/2)>0.
令h()= f()–g(), 则h(0)>0和h(/2)<0.
由 f, g的连续性知 h为连续函数, 据连续函数的基本性
理学院 22
xx
（5） 收益函数：
R Rq qpq
（6） 利润函数： Lq Rq Cq
（7） 边际成本函数：
Cm C'q
（8） 边际收益函数：
Rm R'q
（9） 边际利润函数： Lm R'q C'q Rm Cm
23
理学院
xx
Q(t)=-t3+9t2+12t
个晶体管收音机。
问：在早上几点钟这个工工作人效的率工最作高效，率即最生高产？率最大， 此题中，工人在t时刻的生产率
解：工人的生产率为为Q’(产Rt)量t，Q则关Q问于' 题t时转间化t的3为t 2变求化Q1’8率(tt：)的12
R't Q''最t大值6t 18 0
数学建模第二章初等模型
市场稳定问题
在市场经济下，当商品“供不应求”时，价格逐渐长升高，经营者会 觉得有利可图而加大生产量。然而，一旦生产量达到使市场“供过于求”， 价格立即会下跌，生产者会立即减产以避免损失，这样又极有可能造成又 一轮新的供不应求。我们关心的问题是：如此循环，市场上的商品的数量 与价格是否会趋于稳定？ 所谓“需求”，指在一定条件下，消费者愿意购买并且有支付能力购 买的商品量。设p表示商品价格，q表示商品量，假设商品量q主要取决于 商品价格p，则称函数 q=f(p) 为需求函数。 需求函数q=f(p)一般是单调减少函数。因q=f(p)为单调减少函数，所 以存在反函数p=f-1(q)，我们也称它为需求函数，见下图。
a, b 模型求解：我们来求步长
(1) 由图
为何值，使式 (4) 最小。
所表示，重心离开 B 点上升到最高点所需时间为
t
b 2v
(5)
1 2 gb2 h gt 2 2 8v
由
(1),(2),(3)
及
(5)
式,
(4)
式化成
2 (a b）bmg 1 W m, v2 2 2 8v
又完成一个大步所需时间为
跑步时如何节省能量
• 问题的提出：我们每个人都有跑步的经历， 有人会因此而疲惫不堪，但是有谁会想：怎 样跑步能使我们消耗的能量最少？ • 模型假设：为解决上述问题，我们做下述假 设：
(1 )跑步所花费的时间分成两部分：第一部分为两 条腿同时离地的时间；在第二部分时间内一条腿 或两条腿同时落地。这样，人体重心的运动轨迹 如图(1)。
a b v
，因此单位时间内消耗的能量为
2 W bmg m, v3 P a b 8v 2(a b) v
(6)
概率论与数理统计在数学建模中的应用
概率论与数理统计在数学建模中的应用概率论与数理统计在数学建模中的应用——国 冰。
第一节 概率模型一、初等概率模型初等概率模型主要介绍了可靠性模型、传染病流行估计、常染色体遗传模型等三类问题：1、复合系统工作的可靠性问题的数学模型设某种机器的工作系统由N 个部件组成，各部件之间是串联的，即只要有一个部件失灵，整个系统就不能正常工作．为了提高系统的可靠性，在每个部件上都装有主要元件的备用件及自动投入装置(即当所使用元件损坏时，备用元件可自动替代之而开始工作)明显地，备用件越多，整个系统正常工作的可靠性就越大. 但是，备用件过多势必导至整个系统的成本、重量和体积相应增大，工作精度也会降低. 因此，配置的最优化问题便被提出来了：在某些限制性条件之下，如何确定各部件的备用件数量，使整个系统的工作可靠性最大? 这是一个整体系统的可靠性问题.我们假设第i 个部件上装有i x 个备用件(1,2,,)i N =,此时该部件正常工作的概率为()i p x ，那么整个系统正常工作的可靠度便可用1()ni i p p x ==∏ （9.1）来表示.又设第i 个部件上的每个备用件的费用为i C ，重量为i W ，并要求总费用不超过C ，总重量不超过W ，则问题的数学模型便写成为1max ()ni i p p x ==∏合理的决策必须具备三个条件：（1）目标合理；（2）决策结果满足预定目标的要求；（3）决策本身符合效率、满意、有限合理、经济性的原则。
所谓风险型决策是指在作出决策时，往往有某些随机性的因素影响，而决策者对于这些因素的了解不足，但是对各种因素发生的概率已知或者可估算出来，因此这种决策存在一定的风险.①风险决策模型的基本要素决策者——进行决策的个人、委员会或某个组织.在问题比较重大和严肃时，通常应以后者形式出现.方案或策略——参谋人员为决策者提供的各种可行计划和谋略. 如渔民要决定出海打鱼与否便是两个方案或称两个策略.准则——衡量所选方案正确性的标准.作为风险型决策，采用的比较多的准则是期望效益值准则，也即根据每个方案的数学期望值作出判断.对收益讲，期望效益值越大的方案越好；反之对于损失来讲，期望效益值越小的方案越好.事件或状态——不为决策者可控制的客观存在的且将发生的自然状态称为状态(事件)，如下小雨，下大雨和下暴雨即为三个事件或称三种状态，均为人所不可控因素.结果——某事件(状态)发生带来的收益或损失值.②风险决策方法•利用树形图法表示决策过程具有直观简便的特点，将其称为决策树的方法.•充分利用灵敏度分析(即优化后分析)方法对决策结果作进一步的推广和分析.决策树一般都是自上而下的来生成的。
数学建模-初等模型讲义
123
2083.3
1341.8
3425.2 256250.0 250365.4
237
2083.3
45.5
2128.8 493750.0 328794.3
238
2083.3
34.1
2117.4 495833.3 328828.5
239
2083.3
240
2083.3
22.7
2106.1 497916.7 328851.2
9
7
9
11.3
4
8.5
21
21 21
ai比惯例 分配的要小
第21席应该分配乙系, 标准1的分配方案：10, 7, 4.
可用列表方法解决标准1(类似可解决标准2与3) 计算 ni 成表, k 1,2, k
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 甲 103 51.5 34.3 25.8 20.6 17.2 14.7 12.9 11.4 10.3 9.4 乙 63 31.5 21.0 15.8 12.6 10.5 9.0 7.9 7.0 6.3 5.7 丙 34 17.0 11.3 8.5 6.8 5.7 4.9 4.3 3.8 3.4 3.1
2. 按揭还款
用房产在银行办理的贷款, 该贷款要按照银行规
定的利率支付利息。 贷款形式
商业贷款和公积金贷款. 还款形式
等额本息和等额本金.
如贷款50万, 分20年还清, 年利率r , 问月供是多少？
调整日期
2015.08.26 2015.06.28 2015.05.11 2015.03.01 2014.11.22 2012.07.07 2012.06.09 2011.07.07 2011.04.06 2011.02.09 2010.12.26 2010.10.20 2008.12.23