数学建模初等模型2
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数学建模实验报告
湖南城市学院数学与计算科学学院《数学建模》实验报告专业：学号：姓名：指导教师：成绩：年月日目录实验一 初等模型........................................................................ 错误！未定义书签。
实验二 优化模型........................................................................ 错误！未定义书签。
实验三 微分方程模型................................................................ 错误！未定义书签。
实验四 稳定性模型.................................................................... 错误！未定义书签。
实验五 差分方程模型................................................................ 错误！未定义书签。
实验六 离散模型........................................................................ 错误！未定义书签。
实验七 数据处理........................................................................ 错误！未定义书签。
实验八 回归分析模型................................................................ 错误！未定义书签。
实验一 初等模型实验目的：掌握数学建模的基本步骤，会用初等数学知识分析和解决实际问题。
实验内容：A 、B 两题选作一题，撰写实验报告，包括问题分析、模型假设、模型构建、模型求解和结果分析与解释五个步骤。
数学建模培训讲义-建模概论与初等模型
模型建立 建立t与n的函数关系有多种方法:
1. 右轮盘转过第 i 圈的半径为r+wi, m圈的总长度 等于录象带在时间t内移动的长度vt, 所以
m kn
模型建立
2. 考察右轮盘面积的 变化,等于录象带厚度 3. 考察t到t+dt录象带在 乘以转过的长度,即 右轮盘缠绕的长度,有
[(r wkn)2 r 2 ] wvt (r wkn)2kdn vdt
• 亲自动手，认真作几个实际题目
数学建模的论文结构
1、摘要——问题、模型、方法、结果
2、问题重述
3、模型假设
4、分析与建立模型
5、模型求解
6、模型检验
7、模型推广
8、参考文献
9、附录
谢 谢！
二、初等模型
例1 哥尼斯堡七桥问题
符号表示“一笔画问题”(抽象分析法) 游戏问题图论(创始人欧拉) 完美的回答连通图中至多两结点的度数为奇
3. 对于椅脚的间距和椅腿的长度而言，地面是相对平坦的，
使椅子的任何位置至少有三只脚同时着地。
A
y A
椅脚连线为正方形ABCD(如右图).
模 型
t ——椅子绕中心点O旋转角度
构 f(t)——A,C两脚与地面距离之和 D
B
t
x
成 g(t)——B,D两脚与地面距离之和
O
B
f(t), g(t) 0
D
C
模型构成 由假设1，f和g都是连续函数 A
实际上, 由于测试有误差, 最好用足够多的数据作拟合。
若现有一批测试数据：
t 0 20 40 60 n 0000 1153 2045 2800 t 100 120 140 160 n 4068 4621 5135 5619
数学建模第二章初等方法建模
Mathematical Modeling
第二章 初等方法建模
2.1 比例分析模型
2.2
2.3
代数模型
简单优化模型
节水洗衣机
2.4
Department of Mathematics
HUST
Mathematical Modeling
2.1
比例分析模型
2.1.1
包装成本问题
2.1.2
划艇比赛成绩
Department of Mathematics
d hW kS m
其中 S 是表面积， h 0, k 0, m 0 均为常数，
Department of Mathematics
HUST
2.1.1 包装成本问题
Mathematical Modeling
模型分析与建立
6）假设各种包装品在几何形状上是大致相似的,体积几乎
与线性尺度的立方成正比,表面积几乎与线性尺度的平 方成正比，
即v l , s l
3
2
所以S l 2/3. 由于v W , 有S W 2/3
Department of Mathematics
HUST
2.1.1 包装成本问题
Mathematical Modeling
模型分析与建立
现在将比例法中涉及的自变量化为一个自变量——重量。
a W , b fW g ( f 0, g 0) c W , d hW kS m 于是每克的批发成本是
（5）
本问题即是求满足（1）式条件下的（5）式的解。
Department of Mathematics
HUST
森林管理问题
Mathematical Modeling
第二章 初等方法建模
2.1 比例分析模型
2.2
2.3
代数模型
简单优化模型
节水洗衣机
2.4
Department of Mathematics
HUST
Mathematical Modeling
2.1
比例分析模型
2.1.1
包装成本问题
2.1.2
划艇比赛成绩
Department of Mathematics
d hW kS m
其中 S 是表面积， h 0, k 0, m 0 均为常数，
Department of Mathematics
HUST
2.1.1 包装成本问题
Mathematical Modeling
模型分析与建立
6）假设各种包装品在几何形状上是大致相似的,体积几乎
与线性尺度的立方成正比,表面积几乎与线性尺度的平 方成正比，
即v l , s l
3
2
所以S l 2/3. 由于v W , 有S W 2/3
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HUST
2.1.1 包装成本问题
Mathematical Modeling
模型分析与建立
现在将比例法中涉及的自变量化为一个自变量——重量。
a W , b fW g ( f 0, g 0) c W , d hW kS m 于是每克的批发成本是
（5）
本问题即是求满足（1）式条件下的（5）式的解。
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森林管理问题
Mathematical Modeling
《数学建模》第二章 初等模型
记qi=Npi /P, i=1,2, … , m, 若qi 均为整数，显然应 ni=qi
qi=Npi /P不全为整数时，ni 应满足的准则： 记 [qi]– =floor(qi) ~ 向 qi方向取整； [qi]+ =ceil(qi) ~ 向 qi方向取整.
1) [qi]– ni [qi]+ (i=1,2, … , m), 即ni 必取[qi]– , [qi]+ 之一
p1=150, n1=10, p1/n1=15 p2=100, n2=10, p2/n2=10
p1/n1– p2/n2=5
虽二者的绝对 不公平度相同
p1=1050, n1=10, p1/n1=105 p2=1000, n2=10, p2/n2=100
p1/n1– p2/n2=5
但后者对A的不公平 程度已大大降低!
器读数从0000变到6061。
在一次使用中录像带已经转过大半，计数器读数为 4450，问剩下的一段还能否录下1小时的节目？
思考 计数器读数是均匀增长的吗？ 要求 不仅回答问题，而且建立计数器读数与
录像带转过时间的关系。
观察 计数器读数增长越来越慢！ 问题分析 录像机计数器的工作原理
左轮盘
右轮盘 主动轮
刹车时间 （秒） 1.5 1.8 2.1 2.5 3.0 3.6 4.3
最小二乘法 k=0.06
计算刹车距ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ、刹车时间
模型
d t1v kv 2 0 .75 v 0 .06 v 2
车速 (英里/小时)
20 30 40 50 60 70 80
刹车时间 （秒） 1.5 1.8 2.1 2.5 3.0 3.6 4.3
“公平”分配方 将绝对度量改为相对度量 法若 p1/n1> p2/n2 ，定义
qi=Npi /P不全为整数时，ni 应满足的准则： 记 [qi]– =floor(qi) ~ 向 qi方向取整； [qi]+ =ceil(qi) ~ 向 qi方向取整.
1) [qi]– ni [qi]+ (i=1,2, … , m), 即ni 必取[qi]– , [qi]+ 之一
p1=150, n1=10, p1/n1=15 p2=100, n2=10, p2/n2=10
p1/n1– p2/n2=5
虽二者的绝对 不公平度相同
p1=1050, n1=10, p1/n1=105 p2=1000, n2=10, p2/n2=100
p1/n1– p2/n2=5
但后者对A的不公平 程度已大大降低!
器读数从0000变到6061。
在一次使用中录像带已经转过大半，计数器读数为 4450，问剩下的一段还能否录下1小时的节目？
思考 计数器读数是均匀增长的吗？ 要求 不仅回答问题，而且建立计数器读数与
录像带转过时间的关系。
观察 计数器读数增长越来越慢！ 问题分析 录像机计数器的工作原理
左轮盘
右轮盘 主动轮
刹车时间 （秒） 1.5 1.8 2.1 2.5 3.0 3.6 4.3
最小二乘法 k=0.06
计算刹车距ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ、刹车时间
模型
d t1v kv 2 0 .75 v 0 .06 v 2
车速 (英里/小时)
20 30 40 50 60 70 80
刹车时间 （秒） 1.5 1.8 2.1 2.5 3.0 3.6 4.3
“公平”分配方 将绝对度量改为相对度量 法若 p1/n1> p2/n2 ，定义
数学建模之初等模型
情形3
p1 p2 ， 说明当对A 不公平时，给B 单 n1 n2 1 位增加1席，对A 不公平。
计算对A 的相对不公平值
r A (n 1 ,n 2 1 ) p 1n p 1 2 ( p n 2 2 (n 1 2 ) 1 ) p 1 (p n 2 2 n 11 ) 1
若 r B (n 1 1 ,n 2 ) r A (n 1 ,n 2 1 ),
取 r 4 参 m /s ,I 3 数 6 2 c/0 s , m p 1 0 .3 1 9 60
C 6 .9 5 1 4 0 (0 .8 sin 6c o 1 s.5 v)
v
可以看出：淋雨量与降雨的方向和行走的速度有关。
问题转化为给定 ，如何选择 v使得 C最小。
情形1 90
C6.95 1 04(0.81.5) v
结果表明：淋雨量是速度的减函数，当速度尽可能大时 淋雨量达到最小。 假设你以6米/秒的速度在雨中猛跑，则计算得
C 1.3 1 1 4 0 m 31.1升 3
情形2 60
C 6 .9 1 5 4 [ 0 1 .5 (0 .43 3 )/v ]
结果表明：淋雨量是速度的减函数，当速度尽可能大时 淋雨量达到最小。 假设你以6米/秒的速度在雨中猛跑，则计算得
你在雨中行度 走 v的 6米 /每 最秒 大， 速则计算 你在雨中 16行 秒 7 走 ， 2分 了 即 47 秒。
从而可以计算被淋的雨水的总量为2.041（升）。 经仔细分析，可知你在雨中只跑了2分47 秒，但被淋了 2 升的雨水，大约有4 酒瓶的水量。这是不可思议的。 表明：用此模型描述雨中行走的淋雨量不符合实际。
C t (I/36 ) 0 .0 S 1 0 (米 3 ) 1(D 0 /v ) I/36 S （ 00升
数学建模第二章 初等模型
第二章 初等模型如果研究对象的机理比较简单，一般用静态、线性、确定性模型描述就能达到建模的目的时，我们基本上可以用初等数学的方法来构造和求解模型。
通过下面的几个实例我们能够看到，用很简单的数学方法就可以解决一些有趣的实际问题。
需要强调的是，衡量一个模型的优劣完全在于它的应用效果，而不是它看它采用了多么高深的数学方法。
进一步说，对于某个实际问题我们如果能够用初等方法和所谓的高等方法建立了两个模型，而它们的应用效果相差无几的话，那么受人们欢迎并采用的，一定是前者而非后者。
§2.1公平的席位分配设有A 、B 两个单位，各有人数1p 、2p 个，现在要求按人数选出q 个代表召开一次代表会议。
那么怎样分配这q 个席位呢？一般的方法是令：q p p p q 211*1+= q p p p q 212*2+= （2.1）若*1q ，*2q 恰好是两个整数，就以*1q ，*2q 分别作为A ，B 两个单位的席位数，即可以获得一个完全合理的分配方案。
当*1q ，*2q 不是两个整数时，那么怎样分配才合理呢？下面我们就来讨论这个问题。
首先给出一种自然的想法，也就是通常所执行的方法。
即由（2.1）式计算出的*1q ，*2q ，用][*i i q q =表示*i q 的整数部分。
当*1q －1q ＞*2q －2q 时，则用1q ＋1与2q 分别作为A ，B 两个单位的席位数；当*2q －2q ＞*1q －1q 时，则用1q 与2q ＋1分别作为A ，B 两个单位的席位数；而当*2q －2q ＝*1q －1q 时，就只能由A ，B 两个单位协商来确定那多余的一个席位了。
这个方法的优点是简单、方便，并被很多人所接受，同时也容易推广到m （m ＞2）个单位的席位分配问题。
但是这个分配方案是存在弊病的，它有明显的不合理性。
例1 某学校有3个系共200名学生，其中甲系100名，乙系60名，丙系40名。
若学生代表会议设20个席位，公平而又简单的席位分配办法是按学生人数的比例分配，显然甲乙丙三系分别应占有10、6、4个席位。
数学建模之初等模型
且
tn (n 1)T
S
0 n
(n
1)( L
D)
另外，汽车不会永远加速前进。我们设汽车在加速到某个给定速度 v*
后匀速前进，则加速的时间是
t* v * / a tn
综合上面的分析得到
Sn (0)
Sn
(t
)
Sn
(0)
Sn
(0)
a 2
(t
a 2
(tn
L1 v
L2 v
t2
(ni
1)d v
~ti
Li v
Li1 v
ti1
(ni 1)d v
~ti
Li v
Li1 v
ti1
向左疏散的总时间 Tl (x) 就是最后一个人离开的时间。 如果共l个房间，则
Tl (x) ~tl (xd l1 Li ) / v i 1
其中x是第i个 房间向左疏散的人数。 类似可以求出向右疏散的总时间Tr (nl 1 x) 。 求x使得
Tl (x) Tr (nl 1 x)
即得到疏散方案。
思考题： （1）对多层的楼房的疏散问题应如何分析？ （2）疏散时人与人之间的间距多大较好？
先考虑向左疏散的人用了多少时间。
设疏散队列中人与人间隔是d，行进速度v，房宽为 L1, L2,, Lm 。第i个 房间第一个人到门口的时间tis为 ，则第k个房间的人向左疏散的时间为
1
v
k i1
Li
nkd
tk
s
k l
问题：多个教室的学生可能出现重叠！
数学建模初等模型ppt课件
61 1
61 1
21
理学院
xx
2.5 经济问题中的初等模型
设产品产量为q,产品价格为p,固定成本c0，可变成 本为c1.
（1） 总成本函数： c cq c0 c1q
（2） 供给函数：
Qs f p
（3） 需求函数：
Q0 gp
（4） 价格函数：
p f 1Q0 pq
证明：存在0，使f(0) = g(0) = 0.
理学院 6
xx
模型求解
给出一种简单、粗糙的证明方法
将椅子旋转900，对角线AC和BD互换。 由g(0)=0， f(0) > 0 ，知f(/2)=0 , g(/2)>0.
令h()= f()–g(), 则h(0)>0和h(/2)<0.
由 f, g的连续性知 h为连续函数, 据连续函数的基本性
理学院 22
xx
（5） 收益函数：
R Rq qpq
（6） 利润函数： Lq Rq Cq
（7） 边际成本函数：
Cm C'q
（8） 边际收益函数：
Rm R'q
（9） 边际利润函数： Lm R'q C'q Rm Cm
23
理学院
xx
Q(t)=-t3+9t2+12t
个晶体管收音机。
问：在早上几点钟这个工工作人效的率工最作高效，率即最生高产？率最大， 此题中，工人在t时刻的生产率
解：工人的生产率为为Q’(产Rt)量t，Q则关Q问于' 题t时转间化t的3为t 2变求化Q1’8率(tt：)的12
R't Q''最t大值6t 18 0
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在任一方实施第一次核打击时，假定一枚核导弹只能 攻击对方的一个核导弹基地。
摧毁这个基地的可能性是常数，它由一方的攻击精 度和另一方的防御能力决定。
20
图 y=f(x)~甲方有x枚导弹，乙方所需的最少导弹数. 的 x=g(y)~乙方有y枚导弹，甲方所需的最少导弹数. 模 当 x=0时 y=y0，y0~乙方的威慑值
Q k T1 T2
2
1 2d
Q1
k1
T1 T2 d (s 2)
内 T1
双层与单层窗传导的热量之比
4
室 外 2d T2
Q2
Q1 2 , s h k1 , h l
墙
Q2 s 2
k2
d Q Q
1
2
k1=410-3 ~8 10-3, k2=2.510-4, k1/k2=16 ~32
反 反应时间
应
距
刹离
车速
司机 制动系统 状况 灵活性
常数
车 距
制 制动器作用力、车重、车速、道路、气候…
离
动 距
最大制动力与车质量成正比，
常数
离 使汽车作匀减速运动。
29
假设与建模
1. 刹车距离 d 等于反应距离 d1 与制动距离 d2 之和
d d1 d2
2. 反应距离 d1与车速 v成正比 k1为反应时间
问 甲有物品X, 乙有物品Y, 双方为满足更高的需要， 题 商定相互交换一部分。研究实物交换方案。
y
用x,y分别表示甲(乙)占有 yo•
X,Y的数量。设交换前甲占
有X的数量为x0, 乙占有Y的 数量为y0, 作图：
y
.p
0 若不考虑双方对X,Y的偏爱，则矩形内任一点
xp(x,y)•xo
x
都是一种交换方案：甲占有(x,y) ，乙占有(x0 -x, y0 -y)
汽车刹车距离
问 汽车行驶前方出现突发事件→紧急刹车； 题 车速越快，刹车距离越长；
刹车距离与车速之间是什么关系？(线性、…)
刹车距离：从司机决定刹车到车完全停止 这段时间内汽车行驶的距离。
27 实验数据：车速v (km/h)与刹车距离d (m)
用固定牌子的车，由同一司机驾驶，在不变的道路、 气候等条件下测得：
• 当一方采取加强防御、提高武器精度、发展多弹头导 弹等措施时，平衡状态会发生什么变化。
19
模 以双方(战略)核导弹数量描述核军备的大小。
型
假定双方采取如下同样的核威慑战略：
假
设 •1、 认为对方可能发起所谓第一次核打击，即倾其
全部核导弹攻击己方的核导弹基地；
• 2、乙方在经受第一次核打击后，应保存足够的核 导弹，给对方重要目标以毁灭性的打击。
k2 = 0.0853
31
模型结果 模型 d k1v k2v2
用实验数据对k1 , k2 的拟合结果:k1=0.6522, k2=0.0853
y –(x–y)=2y– x个被攻击1次，s(2y– x )个未摧毁
y0= s2(x–y)+ s(2y– x )
y y0 1 s x s(2 s) 2 s
y0=s2y
y=y0/s2
22
精细 模型
x=a y,
y
x<y, y= y0+(1-s)x
y<x<2y, y y0 1 s x s(2 s) 2 sx=yFra bibliotek y=y0/s
x=2y, y=y0/s2
y
y0 sa
y0 sx/ y
y0~威慑值
s~残存率
a~交换比(甲乙导弹数量比)
x=y
x=2y
y是一条上凸的曲线
y=f(x)
y0 0
y0变大，曲线上移、变陡
s变大，y减小，曲线变平
x
a变大，y增加，曲线变陡
23
模型解释
•1、 甲方增加经费保护及疏散工业、交通中心等目标
因此从生物学的角度可以假定，经过长期进化，对
于每种动物而言，b 已经达到其最合适的数值，换句话 说，b 应视为与这种l 动物的尺寸无关的常数。
l
10
由（2）式得
l3 d2
（3）
再从 f sl, s d 2 以（3）式代入得
f l4
（4）
即体重与躯干长度的4次方成正比。在根据统计数据 确定出上述比例系数后，就能从躯干长度估计出动物 的体重了。
1
第二章 初等模型
如果研究对象的机理比较简单，一般用静态、线性、 确定性模型描述就能达到建模目的时，基本上可以使 用初等数学的方法来构造和求解模型。
衡量一个模型的优劣全在于它的应用效果，而不是 采用了多么高深的数学方法。
2
双层玻璃窗的功效 室
室
问 双层玻璃窗与同样多材料的单层 内
外
题 玻璃窗相比，减少多少热量损失 T1 d l d T2
问 在夏季商品交易会上，冰淇淋销售者要预测其冰淇淋的销 题 售量，而他认为该量与下列因素有关
人数，温度，价格
1)与来参加交易会的人数成正比 2)与超过 15°C的温度成正比 3)与所售的价格成反比
假设 符号：冰淇淋销售量Y,人数为n，温度为t，价格为p
模型建立
Y kn(t 15) p
13
实物交换
乙方威慑值 y0变大 （其它因素不变） 乙安全线 y=f(x)上移
平衡点PP´
xm xm , ym ym
y
P(xm , ym )
y0 y=f(x)
0
x0
P(xm,ym) x=g(y)
x
甲方的被动防御也会使双方军备竞赛升级。
24
模型解释
• 2、甲方将固定核导弹基地改进为可移动发射架
型 y0~甲方实行第一次打击后已经没有导弹，乙方为毁灭
甲方工业、交通中心等目标所需导弹数.
y y y0 x
y 乙安全区
双方 安全区
y=f(x) 乙安全线
y1
y=f(x) P(xm,ym)甲 安
y0
x=g(y) 全
y0
区
0
x
y0 y f (x) y0 x
0
x0 x1
x
P~平衡点(双方最少导弹数)
x
x
• 互不相交
在p1点占有x少、y多， 宁愿以较多的 y换取
较少的 x;
在p2点占有y少、x多， 就要以较多的 x换取
较少的 y。
16
乙的无差别曲线族 g(x,y)=c2具有相同
y
性质（形状可以不同）
g(x,y)=c2 c2
双方的交换路径
甲的无差别曲线族 f=c1
O
x
两族曲线切点连线记作AB
设动物在自身体重 f 作用下躯干的最大下垂度为 b ， 即梁的最大弯曲，根据对弹性梁的研究:
fl 3 b
sd 2
因为 f sl ，所以
(1)
b l3
l d2
（2）
9
b 是动物躯干的相对下垂度，b 太大，四肢将无法
l 支撑；
b
l 太小，四肢的材料和尺寸超过了支撑躯
l
干的需要，无疑是一种浪费。
比例关系 几何模拟 图形方法
参数识别 量纲分析
第二章 初等模型
2.1 冰淇淋销售量 2.2 公平的席位分配 2.3 划艇比赛成绩 2.4 圆盘切割 2.5 爬山问题 2.6 实物交换 2.7 核军备竞赛 2.8 汽车刹车距离 2.9 录像机计数器的用途 2.10 量纲分析与无量纲化
2.1 冰淇淋的销售
交换路 径AB
AB与CD的 交点p
双方的无差别曲线族
等价交 换原则
X,Y用货币衡量其价值，设交换 前x0,y0价值相同，则等价交换原 则下交换路径为
(x0,0), (0,y0) 两点的连线CD
.y
yo D
p
0A
设X单价a, Y单价b, 则等价交换下ax+by=s (s=ax0=by0)
B
.C
xo x
乙的无差别曲线族 g=c2 (坐标 x’ y
系x’O’y’, 且反向）
yo
O‘
双方满意的交换方案必 在AB（交换路径）上
因为在AB外的任一点p’, (双方)满意度低于AB上的点p
•p
B
•
A
P’ f=c1
O g=c2
xo x
y’
17
交换方案的进一步确定
交换方案 ~ 交换后甲的占有量 (x,y)
0xx0, 0yy0矩 形内任一点
d1 k1v
3. 刹车使用最大制动力F，F F d2= m v2/2 F = ma 作功等于汽车动能的改变;
且F与车的质量m成正比
d k1v k2v2
d2 k2v2
k2 1 2a
参数估计 模型 d k1v k2v2
30 对k1 , k2 作拟合:
k1 = 0.6522
内
Ta Tb
室 外
Tb~外层玻璃的内侧温度
T1 d l d T2
k1~玻璃的热传导系数
Q1
k2~空气的热传导系数
墙
Q1
k1
T1
d
Ta
k2 Ta
Tb l
k1
Tb
T2 d
Q1
k1
T1 T2 d (s 2)
,
s h k1 , k2
h l d
建模 记单层玻璃窗传导的热量Q2 室
乙安全线y=f(x)不变 y 甲方残存率变大
威慑值x 0和交换比不变
x减小，甲安全线
y0
x=g(y)向y轴靠近