二次函数教学内容

二次函数

考点1：二次函数的图像与性质、图象与系数的关系

1. 二次函数的定义：如果y=ax 2+bx+c(a,b,c 是常数，a ≠0),那么，y 叫做x 的二次函数。当b=c=0时，y=ax 2（a ≠0）叫做最简二次函数。

2. 二次函数解析式的形式：

一般式：y=ax 2+bx+c （a ≠0）

顶点式：y=a(x-h)2+k （a ≠0）,其中（h ，k ）为抛物线的顶点。 交点式：y=a(x-x 1)(x-x 2) （a ≠0）,其中x 1，x2是一元二次方程

ax 2+bx+c=0的两个实数根。

3. 二次函数的图象与性质

（1）二次函数图象是一条抛物线。定点坐标为)44,2(2

a

b a

c a b --，对称轴是直线a

b x 2-=。 （2）画二次函数的图象通常是运用列表、描点、连线等步骤作图。

（3）二次函数中的a 、b 、c 与图象的关系。

① a 确定图象的开口方向和开口大小。a>0，图象开口向上，a<0，开口向下。|a|越大，则开口越小，反之，|a|越小，开口越大。

② c 决定了二次函数图象与y 轴的交点的位置。c>0，图象与y 轴交于y 轴的正半轴上；c<0，图象与y 轴交于y 轴的负半轴上；c=0，图象经过坐标原点。

③ 二次函数图象的对称轴的位置由a 和b 共同决定。a 和b 同号，对称轴在y 轴左侧；a 和b 异号，对称轴在y 轴右侧；b=0，对称轴为y 轴。即：左同右异

（4）二次函数图象与性质。

① 顶点坐标)44,2(2

a

b a

c a b --。 ②对称轴是直线a

b x 2-=。 ③最值：当a>0时，二次函数开口向上，有最小值，当a b x 2-

= 时y 取得最小值a

b a

c 442-；当a<0时，二次函数开口向下，有最大值，当a b x 2-= 时y 取得最大值a

b a

c 442-。 （5）二次函数的增减性。

① 当a>0时，在对称轴左侧，y 随x 的增大而减小；在对称轴右侧，y 随x 的增大而增大。

②当a<0时，在对称轴左侧，y 随x 的增大而增大；在对称轴右侧，y 随x 的增大而减小。

（6）二次函数的平移。

口诀：自变量左加右减，函数值上加下减。简称：左加右减，上加下减。

考点2：二次函数解析式的求法

1 .设一般式： y=ax 2+bx+c （a ≠0）。若已知图象上三个点的坐标，代入一般式解方程组即可求出三个待定系数a 、b 、c 。

2 .设顶点式：y=a(x-h)2+k （a ≠0）。若已知顶点坐标或对称轴方程与最大（小）值，代入即可求出待定系数a ，最后将解析式化为一般

式。

3 .设交点式：y=a(x-x 1)(x-x 2) （a ≠0）。若已知图象与x 轴的两个交点坐标（x 1，0）,（x 2，0），只需将第三点的坐标代入即可求出待定系数a ，最后将解析式化为一般式。

考点3：二次函数与一元二次方程的关系

1. 二次函数y=ax 2+bx+c 的图像与x 轴的两个交点的横坐标x 1，x 2是对应的一元二次方程ax 2+bx+c=0的两个实数根．抛物线与x ?轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定： ①有两个交点?△>0?抛物线与x 轴相交；

②有一个交点（顶点在x 轴上）?△=0?抛物线与x 轴相切；

③没有交点?△<0?抛物线与x 轴相离。

2. 与y 轴平行的直线x=h 与抛物线y=ax 2+bx+c 有且只有一个交点（h ，ah 2+bh+c ）。

3. 平行于x 轴的直线与抛物线的交点：可能有0个交点，1个交点，2个交点。当有2个交点时，?两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是ax 2+bx+c=k 的两个实数根。

4. 一次函数y=kx+n （k≠0）的图像L 与二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）

的图像G 的交点，由方程组2y kx n y ax bx c =+??=++?

的解的数目确定：①当方程组有两组不同的解时?L 与G 有两个交点；②方程组只有一组解时?L 与G 只有一个交点；③方程组无解时?L 与G 没有交点。

考点4：二次函数的实际应用

1. 二次函数的应用包括以下两个方面

（1）用二次函数表示实际问题中变量之间的关系；

（2）用二次函数解决实际问题中的最优化问题，其实质就是求二次函数的最大值或最小值。

2. 利用二次函数模型解决实际问题的基本思路

（1）理解实际问题；

（2）分析问题中的变量、常量以及变量之间的关系；

（3）用二次函数的模型表示出变量之间的关系；

（4）利用二次函数的有关性质对实际问题进行研究；

（5）回归实际问题本身，对解的合理性进行实验。