高考数学专题复习-函数的零点

【标题01】对零点这个概念没有理解清楚

【习题01】函数23)(2

+-=x x x f 的零点是 （ ） A ．()0,1 B ．()0,2 C ．()0,1，()0,2 D ．1,2 【经典错解】解方程2320x x -+=得1x =或x=2，所以函数的零点是()0,1，()0,2,故选

C .

【详细正解】由()0232

=+-=x x x f 得，x ＝１和２，故选D ．

【习题01针对训练】已知函数()?

?

?>+≤-=,1,log 2,1,222x x x x f x 则函数()f x 的零点为( ) A ．4

1

和1 B ．4-和0 C ．41 D ．1

【标题02】误认为()()0f a f b ?<时函数在区间(,)a b 至少有一个零点 【习题02】已知函数1

()f x x x

=+，且(1)2f -=-，(1)2f =，(1)(1)0f f -<，则()f x 在(1,1)-内____.

A ．有且只有一个零点

B ．至少有一个零点

C ．只有两个零点

D ．没有零点 【经典错解】由零点定理得()f x 在(1,1)-内至少有一个零点，故选B .

【详细正解】函数()f x 的定义域是{|0}x x ≠ ，所以它在区间(1,1)-上不是连续函数，所以不能利用零点定理，当0x < 时，()0f x < ，当0x >时，()0f x >，所以()f x 在(1,1)-内与x 轴没有交点，故选D .

【深度剖析】（1）经典错解错在误认为()()0f a f b ?<时函数在区间(,)a b 至少有一个零点.

（2）零点定理的使用必须满足两个条件：①函数在区间[,]a b 上连续；②()()0f a f b < ，才能得到一个结论：函数在区间(,)a b 内至少有一个零点.所以解答零点定理的题目时，一定要认真审题，认真分析，才能做出判断.错解就是没有注意到函数1

()f x x x

=+在(1,1)-不是连续函数,因为0x ≠,所以不能使用零点定理分析解答.

【习题02针对训练】单调函数()f x 在区间[,]a b 上的图象是连续不断的，且

()()0f a f b <，用二分法求零点时，取02

a b

x +=

，若计算得0()0f x =，则有______. A ．函数()f x 的零点在0(,)a x 内 B ．函数()f x 的零点在0(,)x b 内 C ．函数()f x 在(,)a b 内无零点 D ．函数()f x 的零点为0x

【标题03】误认为()()0f a f b ?>时函数在区间(,)a b 没有零点

【习题03】对于函数()2

f x x mx n =++，若()()0,0f a f b >>，则函数()f x 在区间

(),a b 内（ ）

A ． 一定有零点

B . 一定没有零点 C. 可能有两个零点 D. 至多有一个零点 【经典错解】由于不满足()()0f a f b ?<, 所以函数()f x 在区间(),a b 内没有零点，故选

B .

【详细正解】画出二次函数的草图，可以观察得到()f x 在区间(),a b 内可能有两个零点，也可能有一个零点，也可能没有零点，故选C .

【习题03针对训练】关于x 的方程32

30x x a --=有三个不同的实数解，则实数a 的取值

范围是________．

【标题04】误认为分段函数就没有零点

【习题04】下列函数图像与x 轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

【经典错解】由于选择支D 是一个分段函数，所以不能用二分法求图中函数的零点. 【详细正解】由于选择支C 中所有函数值()0f x ≥ 恒成立，所以不满足()()0f a f b <，所以不能利用二分法求图中函数的零点.

【习题04针对训练】下列函数图象与x 轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点近似值

的是（ ）

【标题05】对方程的类型判断错误导致漏解

【习题05】若关于x 的方程2210ax x --=只有一个实数根，则实数a 的取值是 .

【经典错解】由180a ?=+=.得18a =-. 故填1.8

-

【详细正解】当0a =时方程化为10x --=，1x =-，满足题意；当0a ≠时，由

180a ?=+=得18a =-. 所以a =18-或0. 故填1

0.8

-或

【深度剖析】（1）经典错解错在对方程的类型判断错误导致漏解.（2）错解误认为

20ax bx c ++=就是关于x 的一元二次方程，没有注意考查a 的范围.如果加上0a ≠，方

程20ax bx c ++=才是一元二次方程.（3）今后大家看到方程20ax bx c ++=，马上要想到看a 的范围，如果没有限制，该方程只能是“一元二次型”方程，如果加上0a ≠，方程

20ax bx c ++=才是一元二次方程.（4）类似的，不等式20ax bx c ++≥也不一定是二次

不等式，要分类讨论.

【习题05针对训练】已知集合{}{}

(2)(1)0,(1)()0A x x x B x ax x a =++≤=-+>，

,A B ?且 a 求的范围.

【标题06】对零点定理理解不透彻函数的图像分析错误

【习题06】已知210mx x ++=有且只有一根在区间(0,1)内，求m 的取值范围. 【经典错解】设2

()1f x mx x =++∵210mx x ++=有且只有一根在区间(0,1)内∴

(0)(1)0f f ?<

所以m ＜－2 .

【详细正解】设2

()1f x mx x =++，（1）当m ＝0时方程的根为1-，不满足条件.

（2）当m ≠0∵2

10mx x ++=有且只有一根在区间(0,1)内，又(0)f ＝1＞0 ∴有两种

可能情形①(1)0f <得m ＜－2或者②1

(1)02f m

=-且0<<1得m 不存在.综上所得m ＜－2 .

（4）对于二次函数的零点问题，一般从四个方面来考虑：抛物线开口方向、对称轴的位置、判别式的大小和端点的函数值大小.（5）对于二次函数的问题，一般都是通过图像分析，这样简洁快捷.

【习题06针对训练】已知函数2

()21(0)f x ax x a =-+≠． （1）若函数()f x 有两个零点，求a 的取值范围；

（2）若函数()f x 在区间(0,1)与(1,2)上各有一个零点，求a 的取值范围．

【标题07】研究二次函数的图像及性质忽略了对称轴位置导致出错

【习题07】是否存在这样的实数k ，使得关于x 的方程2

(23)(31)0x k x k +---=有两个实数根，且两根都在0与2之间？如果有，试确定k 的取值范围；如果没有，试说明理由. 【经典错解】令2

()(23)(31)f x x k x k =+---那么由条件得到

2(23)4(31)0(0)130

(2)42(23)(31)0k k f k f k k ??=-+-≥?

=->??=+--->?

即此不等式无解即不存在满足条件的k 值. 【详细正解】令2

()(23)(31)f x x k x k =+---那么由条件得到

2

(23)4(31)0(0)130(2)42(23)(31)0230

22

k k f k f k k k ??=-+-≥?=->???=+--->?

-?<

1313722

k k k k ?+≥??

>??<

【习题07针对训练】设函数()

f x 2(1)1x m x =+-+在区间[0,2]上有两个零点，则实数

m 的取值范围是________ .

【标题08】研究零点的策略选择错误 【习题08】函数()x

x x f 1

+

=的零点个数为 （ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【经典错解】由题得(1)2f = ,(1)2f -=-,所以,所以函数()y f x =零点的个数为1，故选B .

【详细正解】令()1

0f x x x

=+

=,由于方程没有实数解，所以函数的零点个数0，故选A. 【深度剖析】（1）经典错解错在研究零点的策略选择错误.（2）在利用零点存在定理进行判断时，一定要考虑函数的图象是不是连续的，并结合函数的图像及性质加以判断.这里函数

()x

x x f 1

+

=的图像是不连续的，所以不能用零点判定定理，只能通过解方程或画函数的图像来解决.

【习题08针对训练】设函数244,1()43,1

x x f x x x x -≤?=?-+>?，则函数1

()()2g x f x =+的零点个

数为__________个．

【标题09】分析图像考虑问题不严谨漏掉了零点

【习题09】已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且()()f x T f x +=（T 是非零常数），则方程()0f x =在区间[],T T -上根的个数可能是（ ）

A. 1

B.2

C. 3

D.5 【经典错解】由于函数()f x 是定义在R 上的奇函数，所以(0)0f =,所以

()()0f T f T =-=,所以方程()0f x =在区间[],T T -上根的个数可能是3，故选C .

【详细正解】由于函数()f x 是定义在R 上的奇函数，所以(0)0f =,所以

()()0f T f T =-=,因为()()

f x T f x +=，令x =,()()222

T T T

f T f -

∴-+=

()()()()()022222T T T T T f f f f f ∴-=∴-=∴=()()22T T

f f ∴-=，所以一共有5个零

点，故选D .

【习题09针对训练】若函数()()y f x x R =∈满足()()2f x f x +=，且[]1,1x ∈-时，

()21f x x =-；函数()lg g x x =，则函数()y f x =与()y g x =的图象在区间[]6,6-内

的交点个数共有 个.

【标题10】忽略了变量的范围和对数函数的真数的限制条件

【习题10】若方程2

lg(3)lg(3)x x m x -+-=-在(0,3)x ∈内有唯一解，求实数m 的取值范围.

【经典错解】原方程可以化为233x x m x -+-=-有唯一解，即2430x x m -++=有唯一解，所以164(3)01m m ?=-+=∴=

【详细正解】原方程可化为2

(2)1(03)x m x --+=<<，2

1(2)1(03),y x x =--+<<

2y m =，在同一坐标系下画出它们的图像，由于方程在(0,3)内有唯一的解，所以函数12

,y y 的图像只有一个公共点，可见m 的取值范围是30m -<≤或1m =.又2

30x x m -+->在

(0,3)x ∈内恒成立，所以23m x x <-+在(0,3)x ∈内恒成立，所以0m ≤，综合得m 的取

值范围为30m -<≤.

【习题10针对训练】设a 是实数，讨论关于x 的方程lg(1)lg(3)lg()x x a x -+-=-的实数解的个数．

【标题11】研究函数问题忽略了函数的定义域导致命题转化错误解答错误

【习题11】已知直线m x y l +=:与曲线21x y -=有两个公共点，则实数m 的取值范围是（ ）

A ．(2,2)-

B ．(1,1)-

C ．)2,1[

D ．(2,2)- 【经典错解】由题得2

22221()12210x m x x m x x mx m +=-∴+=-∴++-=

因为直线和曲线有两个公共点，所以2

2

2

2

48(1)0482m m m m ?=-->∴->-∴<

22m ∴-<< 所以选择D .

【详细正解】因为21x y -=，所以2

2

2211(11,0)y x

x y x y =-∴+=-≤≤≥，它表

示单位圆的上半圆.画出图象，当直线l 经过点A 、C 时，1m =，此时直线l 与曲线

21x y -=有两个公共点；当直线l 与曲线相切时，2m =．因此当12m ≤<时，直

线m x y l +=:与曲线21x y -=有两个公共点.

【习题11针对训练】直线y x b =+与曲线21x y =-有且只有一个公共点，则b 的取值范围是（ ） A ．||2b =

B ．112b b -<<=-或

C ．11b -<≤

D ．112b b -<≤=-或

高中数学经典错解深度剖析及针对训练第08讲：函数的零点参考答案 【习题01针对训练答案】D

【习题01针对训练解析】令220x

-=，∴1x =；令22log 0x +=，∴14x =

，而1

14

<，∴综上可知1x =，所以函数()f x 的零点为1.故选D . 【习题02针对训练答案】D

【习题02针对训练解析】根据零点定理和单调函数的性质，可以得到函数()f x 的零点为0x ，故选D

.

【习题04针对训练解析】由于选择支B 中所有函数值()0f x ≥恒成立，所以不满足

()()0f a f b <，所以不能利用二分法求图中函数的零点.

【习题05针对训练答案】112a a ?

?-

<

【习题05针对训练解析】由题意，得{}

21A x x =-≤≤- ①0a =时，{}

0B x x =<满足A B ?； ②0a >时，1B x x x a a ?

?

=>

<-???

?或，∵A B ?，∴10

a a ->-??>?01a ?<< ③0a <时，1B x x a a ??

=<<-????，∵A B ?∴1

210

a a a ?<-??->-??

102a ?-<<

综合①②③可知a 的取值范围是112a a ??-

<

． 【习题06针对训练答案】（1）(,0)

(0,1)-∞；

（2）3

14

a <<．

【习题07针对训练解析】由题得

216(1)

4031

1023122(0)103(2)42(1)102m m m m m m x R

f m f m ?<->?=-->???-<<-??<-

??-≤<-??∈??

=≥??≥-=+-+≥????

或 【习题08针对训练答案】3

【习题08针对训练解析】令()0g x =,所以1()02f x +

=,所以1

()2

f x =-.所以函数1()()2

g x f x =+

的零点个数即为()y f x =与1

2

y =-的交点个数，在平面直角坐标系中作出两函数图象，

如图可知，函数()y f x =与1

2

y =有3个交点，所以函数1()()2g x f x =+的零点有3个．

【习题09针对训练答案】10

【习题09针对训练解析】由题意知，函数()f x 是以2为周期的周期函数，且当

[]1,1x ∈-时，()21f x x =-，()lg g x x =()lg ,

0lg ,0

x x x x >?=?

-

()y g x =在区间[]6,6-内的图象如下图所示，由图象可知，个函数的图象在区间[]6,6-有

10个公共点.

y

x

O

-1

-3-55

3

1

y=g x ()

y=f x ()

【习题10针对训练答案】当13a <≤或134a =时，原方程只有一个实数解；当1334

a <<时，原方程有两个不同的实数解．

【习题11针对训练答案】D

【习题11针对训练解析】由21x y =-，可化简为2

2

1(0)x y x +=≥，所以表示的图形是以原点为圆心，半径为1的一个半圆，如图所示，要使得与直线y x b =+只有一个公共点，则当y x b =+过点(0,1)和(0,1)-时，此时11b -<≤，当直线y x b =+在第四象限与圆相

切时，此时2b =-b 的取值范围是

112b b -<≤=-或，故选D ．