宁夏银川市唐徕回民中学2018-2019学年高二上学期期末考试数学(文)试卷Word版含答案
宁夏银川市唐徕回民中学2018-2019学年上学期期末考试
高二数学（文）试卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的．
1．抛物线214x y =的焦点坐标是 （ ）
A.()0,1
B.()1,0
C. 10,16⎛⎫ ⎪⎝⎭
D. 1,016⎛⎫ ⎪⎝⎭
2．双曲线14
22
2-=-y x 的渐近线方程为 （ ） A ．x y 2±=
B ．y x 2±=
C ．x y 21±=
D ．y x 21±= 3．命题2",210"x R x x ∀∈-+≥的否定是 （ ）
A. 2",210"x R x x ∃∈-+≤
B. 2",210"x R x x ∃∈-+<
C. 2",210"x R x x ∃∈-+≥
D. 2",210"x R x x ∀∈-+< 4. 抛物线22(0)y px p =->的焦点恰好与椭圆22
195
x y +=的一个焦点重合，则p =（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
5．ABC ∆的周长是8，B （﹣1，0），C （1，0），则顶点A 的轨迹方程是 （ ） A.22
1(3)98
x y x +=≠± B. 221(0)98x y x +=≠ C.22
1(0)43
x y y +=≠ D. 221(0)34x y y +=≠ 6．曲线3232y x x =++在点（1，6）处的切线方程为
（ ） A ．930x y +-=
B. 930x y --=
C. 9150x y +-=
D. 9150x y --= 7. 双曲线122
22=-b
y a x 的两条渐近线互相垂直，那么它的离心率为 A ．2 B. 2
3 C. 2 D. 3 8. 设()f x '是函数()x f 的导函数，()y f x '=的图象如图所示，
则=y ()x f 图象可能为
( )
9．如下四个命题：其中错误．．
的命题是 （ ） A.命题“若2320x x -+=，则1x =“的逆否命题为“若21,320x x x ≠-+≠则”
B.若命题2:R,10p x x x ∃∈++=，则10p x R x x ⌝∀∈++≠2
为:,
C.若p q ∧为假命题，则p ，q 均为假命题
D.“2x >”是“2320x x -+>”的充分不必要条件 10. 椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左、右顶点分别是A ，B ，左、右焦点分别是12,F F .若 1121||,||,||AF F F F B 成等比数列，则此椭圆的离心率为
（ ）
B. 14
C. 12
2- 11．如果方程12
1||2
2=---m y m x 表示双曲线，那么实数m 的取值范围是 （ ） A.2>m B. 11<<-m 或2>m C. 21<<-m D. 1<m 或2>m
12. 已知21()ln (0)2f x a x x a =+
>若对任意两个不等的正实数12,x x ，都有 1212
()()2f x f x x x ->-恒成立，则a 的取值范围是 （ ） A. (0,1]
B. (1,)+∞
C. (0,1)
D. [1,)+∞ 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)
13．若“[1,5]x ∈或{|23}x x x x ∈<->或”是假命题,则x 的取值范围是_________.
14．双曲线22
136
x y -=的右焦点到渐近线的距离是_________. 15．与圆22
(2)1x y -+=外切，且与直线10x +=相切的动圆圆心的轨迹方程是_________.
16．若函数32()31f x x x ax =-+++在(,1]-∞上单调递减，则实数a 的取值范围是_________.
三、解答题：本大题6小题, 共70分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17. (本小题满分10分) 已知函数321()22
f x x x x c =--+ （1）求函数()f x 的极值； （2）求函数()f x 的单调区间。
18．(本小题满分12分)
已知0a >，命题:0,2a p x x x ∀>+≥
恒成立；命题q ：“直线0=-+a y x 与圆1)1(22=+-y x 有公共点”， 若命题q p ∧为真命题，求实数a 的取值范围。
19. (本小题满分12分)
已知椭圆的两焦点是12(1,0),(1,0)F F -, 离心率12e =
. （1）求椭圆方程；
（2）若P 在椭圆上，且12||||1PF PF -=, 求12cos F PF ∠。
20.(本小题满分12分) 设函数21()2
x f x x e =. （1）求()f x 的单调区间；
（2）若当[2,2]x ∈-时，不等式()f x m >恒成立，求实数m 的取值范围。
21.（本小题满分12分）
如图，点P 是圆2225x y +=上的动点，点D 是P 在x 轴上的
射影，M 是PD 上一点，且4||||5
MD PD =
（1）当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程；
（2）求过点(3,0),且斜率为
45的直线被C 所截线段的长度。
22．（本题满分12分）
已知R a ∈，函数x a x a x x f )14(2
1121)(23++++=． （1）如果函数)()(x f x g '=是偶函数，求)(x f 的极大值和极小值； （2）如果函数)(x f 是),
(∞+-∞上的单调递增函数，求a 的取值范围。
宁夏银川市唐徕回民中学高二数学上学期12月月考试题
数学（文）试题一、选择题:（本大题共12题，每小题5分，共60分） 1．下列命题是真命题的为（ ） A ．若12=x ，则1=xB. 若y x =，则y x =C ．若y x <，则22y x <D. 若yx 11=，则y x = 2．命题“若A 是钝角，则△ABC 是钝角三角形”及其逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是（ ） A ．1B. 2C. 3D. 43. 使不等式2x -3x <0成立的一个必要不充分条件是（ ） A ．0<x <3B. 0<x <4C. 0<x <2D. x <0或x >34．已知命题P ：R x ∈∃0，210+x ≤0，则命题P 的否定是（ ） A ．R x ∈∃0，210+x >0B. R x ∈∀，2x +1>0 C ．R x ∈∃0，210+x ≥0D. R x ∈∀，2x +1≥05. 已知F 1，F 2是椭圆192522=+y x 的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点，若|AB|=8，则|AF 2|+|BF 2|= （ ） A ．10B. 12C. 14D. 166. 已知焦点在x 轴上的椭圆的离心率为21，长轴长为8，则椭圆的标准方程为（ ） A ．141622=+y xB. 1422=+y x C ．1121622=+y xD. 13422=+y x 7．已知双曲线C ： 12222=-by a x （0>a ，0>b ）的离心率为25，则C 的渐近线方程为（ ） A ．x y 4±=B. x y 41±=C. x y 2±=D. x y 21±=8．过抛物线x y 42=的焦点作直线l 交抛物线于A （1x ，1y ），B （2x ，2y ）两点，若1x +2x =4，则|AB|=（ ）A ．2B. 4C. 6D. 89．已知F 1、F 2是双曲线C ：222=-y x 的两个焦点，P 在双曲线上，且满足|PF 1|=2|PF 2|， 则cos ∠F 1PF 2=（ ） A ．41B.43 C.53 D.54 10．已知F 、A 分别为双曲线12222=-by a x （0>a ，0>b ）的左焦点，右顶点，点B （0，b ）满足0=⋅，则双曲线的离心率为（ ） A ．2B. 3C.231+ D.251+ 11．过双曲线15422=-y x 右焦点F 的直线l 与双曲线交于A ，B 两个不同点，若|AB|=5， 则直线l 有（ ）A ．1条B. 2条C. 3条D. 4条12．已知双曲线12222=-by a x （0>a ，0>b ）的两条渐近线与抛物线()022>=p px y的准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若双曲线的离心率为2，△AOB 的面积为3，则P=（ ）A ．1B.23C. 2D. 3二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分．将正确答案填在题中横线上) 13．抛物线x y 42-=的焦点到准线的距离是________.14. 动圆M 与⊙O 1：()4322=++y x 外切，与⊙O 2：()100322=+-y x 内切，则动圆圆心M 的轨迹方程为___________.15. 已知F 是抛物线x y 42=的焦点，M 是这条抛物线上的一个动点，P （3，1）是一个定点，则|MP|+|MF|的最小值是________. 16. 已知下列几个命题：①已知F 1，F 2为两个定点，|F 1F 2|=4，动点M 满足|MF 1|+|MF 2|=4，则动点M 的轨迹是椭圆； ②若R c b a ∈,,，则“ac b =2”是“c b a ,,成等比数列”的充要条件； ③命题“若b a =，则ab a =2”的逆命题为假命题；④双曲线116922-=-y x 的离心率为45. 其中正确的命题的序号为_______.三、解答题(本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17. (本题满分10分)已知命题p ：方程012=++mx x 有两个不等的实数根，命题q ：方程()012442=+-+x m x 无实数根，若q p ∨为真，q p ∧为假，求实数m 的取值范围.18. (本题满分12分)已知△ABC 中，B （-1，0），C （1，0），c b a ,,为A ，B ，C 所对的三条边，若c a b ,,成等差数列，求顶点A 的轨迹方程.19．（本题满分12分）已知椭圆193622=+y x ，求以P （4，2）为中点的椭圆的弦所在的直线方程.20.（本题满分12分）已知焦点在坐标轴上的双曲线E 过点P （23-，4），它的渐近线方程为x y 34±=， （1）求双曲线E 的标准方程；（2）若直线1+=x y 与E 交于A ，B 两点，求|AB|.（要求结果化到最简）21.（本题满分12分）已知抛物线方程为x y 82=，直线l 过定点P （-3，1），斜率为k ，当k 为何值时，直线l与抛物线只有一个公共点，并写出相应直线l 的方程.22．（本题满分12分）已知抛物线x y 42=，点M （1，0）关于y 轴的对称点为N ，直线l 过点M 交抛物线于A ，B 两点，（1）证明：直线NA ，NB 的斜率互为相反数； （2）求△ANB 面积的最小值.高二数学答题卷（文科）成绩：____________一、选择题（每小题5分，共60分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案二、填空题（每小题5分，共20分）13． 14． 15． 16．三、解答题：17．(10分)18．（12分）级班19.(12分)20．（12分）21.（12分）22．（12分）: ]。
宁夏银川市唐徕回民中学2018-2019学年高二上学期期中考试数学(文)试题Word版含答案
宁夏银川市唐徕回民中学2018-2019学年上学期期中考试高二数学（文）试题一、选择题（5分⨯12=60分）1、登上一个四级的台阶，可以选择的方式共有（ ）种。
A 、3B 、4C 、5D 、8 2、不等式x x x 2522>--的解集是（ ）。
A 、{}1x 5-≤≥或x xB 、{}1x 5-<>或x xC 、{}51<<-x xD 、{}51≤≤-x x 3、设数列{}n a 的前n 项和2n S n =，则8a 的值为（ ）。
A 、15B 、16C 、49D 、644、如图，矩形ABCD 中，点E 为边CD 的中点，若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q ，则点Q 取自∆ABE 内部的概率等于（ ）。
A 、41 B 、31C 、21D 、32 5、甲、乙两个数学兴趣小组各有5名同学，在一次数学测试中，成绩统计用茎叶图表示如图，若甲、乙小组的平均成绩分别是甲x ，乙x ，则下列结论正确的是（ ）。
A 、甲x >乙x ,甲比乙成绩稳定B 、甲x >乙x , 乙比甲成绩稳定。
C 、甲x <乙x , 甲比乙成绩稳定。
D 、甲x <乙x , 乙比甲成绩稳定。
6、在∆ABC 中，B=450，C=600，c =1，则最短边的长等于（ ）A 26B 、36C 、21D 、23 7、设x ，y 满足的条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥-+≤-022010y x y x y x 若m y x z ++=3的最小值为4，则m =（ ）。
A 、1B 、2C 、3D 、48、将参加夏令营的编号为1、2、3、…，52的52名学生，采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知6号，32号，45号学生在样本中，则样本中还有一名学生的编号为（ ）。
A 、12B 、13C 、18D 、199、当x >0时，函数()x f =x 12+x 3的最小值是（ ）。
A 、10 B 、11C 、12D 、13 10、袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球，2个白球和3个黑球，从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于（）。
宁夏唐徕回中2018--2019年高二上学期十月月考文科数学(无答案)
宁夏唐徕回中2018--2019年高二上学期十月月考文科数学一．选择题（本题共12小题，每小题只有一项是符合题目要求的，每小题5分） 1. 函数122-+=x x y 的定义域为 A. }{34≥-≤x x x 或 B. }{34≤≤-x x C. }{34>-<x x x 或 D. }{34<<-x x 2. 设c b a ,,，且0<<a b ，则A. bc ac >B. 22bc ac >C. b a 11<D. 1>ba 3. 在等比数列}{n a 中，若21=a ，164=a ，则}{n a 的前5项的和5S 等于A. 30B. 31C. 62D. 634. 若实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤--≤-+101042x y x y x ，则22y x +的最大值为A. 1B. 4C. 6D. 55. 数列, (16)14,813,412,211前n 项的和为 A. 2212n n n ++ B. 12212+++-n n n C. 2212n n n ++- D. 22121n n n -+-+ 6. 设等比数列}{n a 的前n 项和n S ，若2:1:36=S S ，则=39:S SA. 2:1B. 3:2C. 4:3D. 3:17. 不等式211<x 的解集为 A. )2,(-∞ B. ),2(+∞ C. )2,0( D. )2()0,(∞+-∞ 8. 在ABC ∆中，B c a cos 2=，则该三角形的形状为A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 直角三角形D. 等腰或直角三角形 9. 已知等比数列}{n a 中，各项都为正数，且2312,21a a a ，成等差数列，则=++12111413a a a a A. 12+ B. 322+ C. 21- D. 223-10. 已知数列}{n a 的通项πn a n n cos 2=，则=+++++10099321.....a a a a aA. 0B. 322101- C. 10122- D. )12(32100- 11. 若关于x 的不等式08222<--a ax x 的解集为),(21x x ，且1512=-x x ，则=aA. 25B. 25-C. 415±D. 25± 12. 定义np p p n +++...21为n 个正数n p p p ,...,21的“均倒数”，已知数列}{n a 的前n 项的“均倒数”为121+n ，又41+=n n a b ，则=+++111032211...11b b b b b b A.111 B. 109 C. 1110 D. 1211 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
2017-2018学年宁夏银川市唐徕回民中学高二(下)9月月考数学试卷(文科) Word版含解析
2017-2018学年宁夏银川市唐徕回民中学高二（下）月考数学试卷（文科）一、选择题（共60分）1．有这样一段演绎推理“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”结论显然是错误的，是因为（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．非以上错误2．作直线运动的某物体，其位移s与时间t的关系为s=3t﹣t2，t∈[0，+∞），则其初速度为（）A．0 B．3 C．﹣2 D．3﹣2t3．函数y=x4﹣2x2+5的单调减区间为（）A．（﹣∞，﹣1）及（0，1）B．（﹣1，0）及（1，+∞）C．（﹣1，1）D．（﹣∞，﹣1）及（1，+∞）4．执行如图所示的程序框图，则输出的S值为（）A．3 B．6 C．7 D．105．设复数z1=2﹣i，z2=1﹣3i，则复数+的虚部等于（）A．1 B．﹣1 C．D．﹣6．定义A*B，B*C，C*D，D*A的运算分别对应下图中的（1），（2），（3），（4），那么，图中A，B可能是下列（）的运算的结果．A．B*D，A*D B．B*D，A*C C．B*C，A*D D．C*D，A*D7．某公司要在某一规划区域内筹建工厂，拆迁与工程设计可同时进行，如果工程设计分为土建设计与设备采购两个部分，两者可同时进行；拆迁和土建设计进行完才能进行厂房建设，厂房建设和设备采购进行完才能进行设备安装调试，最后才能进行试生产．上述过程的工序流程图如图．则设备采购，厂房建设，土建设计，设备安装与图中①②③④处正确的对应次序应为（）A．①②③④B．①④②③C．②③①④D．①③②④8．利用独立性检验来考虑两个分类变量X和Y是否有关系时，通过查阅下表来确定断言“X 和Y有关系”的可信度，如果k＞5.024，那么就有把握认为“X和Y有关系”的百分比为（）P（K2＞k）0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.0050.001k 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.87910.828A．25% B．75% C．2.5% D．97.5%9．已知函数f（x）=ax3﹣x2+x﹣5在（﹣∞，+∞）上既有极大值，也有极小值，则实数a 的取值范围为（）A．a＞B．a≥C．a＜且a≠0 D．a≤且a≠0 10．如果圆柱的轴截面周长为定值4，则圆柱体积的最大值为（）A．πB．πC．πD．π11．函数f（x）=lnx﹣x2的极值情况为（）A．无极值B．有极小值，无极大值C．有极大值，无极小值D．不确定12．某考察团对全国10大城市进行职工人均工资水平x（千元）与居民人均消费水平y（千元）统计调查发现，y与x具有相关关系，回归方程为=0.66x+1.562．若某城市居民人均消费水平为7.675（千元），估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为（）A．83% B．72% C．67% D．66%二、填空题（共20分）13．在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：y=x3﹣10x+3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线斜率为2，则点P的坐标为．14．若a1，a2，a3，a4∈R+，有以下不等式成立：，，．由此推测成立的不等式是．（要注明成立的条件）15．在同一坐标系中，将曲线4x2+9y2=36变为曲线x′2+y′2=1的伸缩变换是．16．已知函数f（x）=﹣x3+ax在区间（﹣1，1）上是增函数，则实数a的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知复数z1满足（z1﹣2）（1+i）=1﹣i（i为虚数单位），复数z2的虚部为2，且z1•z2是实数，求z2．18．已知x∈R，a=x2﹣1，b=2x+2．求证a，b中至少有一个不小于0．1）求直线与圆ρ=2ccosθ（c＞0）相切的条件；（2）求曲线θ=0，和ρ=4所围成图形的面积．20．在2013年春节期间，某市物价部门，对本市五个商场销售的某商品一天的销售量及其价格进行调查，五个商场的售价x元和销售量y件之间的一组数据如下表所示：价格x 9 9.5 10 10.5 11销售量y 11 10 8 6 5通过分析，发现销售量y对商品的价格x具有线性相关关系．（1）求销售量y对商品的价格x的回归直线方程；（2）欲使销售量为12，则价格应定为多少．附：在回归直线中，=﹣．21．若函数f（x）=ax3﹣bx+4，当x=2时，函数f（x）有极值为，（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若f（x）=k有3个解，求实数k的取值范围．22．已知函数f（x）=x2+lnx．（1）求函数f（x）在[1，e]上的最大值和最小值；（2）求证：当x∈（1，+∞）时，函数f（x）的图象在g（x）=x3+x2的下方．2014-2015学年宁夏银川市唐徕回民中学高二（下）3月月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共60分）1．有这样一段演绎推理“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”结论显然是错误的，是因为（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．非以上错误考点：进行简单的演绎推理．专题：阅读型．分析：本题考查的知识点是演绎推理的基本方法及整数的，在使用三段论推理证明中，如果是错误的，则可能是“大前提”错误，也可能是“小前提”错误，也可能是推理形式错误，我们分析的其大前提的形式：“有些…”，不难得到结论．解答：解：∵大前提的形式：“有些有理数是真分数”，不是全称，∴不符合三段论推理形式，∴推理形式错误，故选C．点评：演绎推理的主要形式就是由大前提、小前提推出结论的三段论推理．三段论推理的依据用集合论的观点来讲就是：若集合M的所有元素都具有性质P，S是M的子集，那么S 中所有元素都具有性质P．三段论的公式中包含三个判断：第一个判断称为大前提，它提供了一个一般的原理；第二个判断叫小前提，它指出了一个特殊情况；这两个判断联合起来，揭示了一般原理和特殊情况的内在联系，从而产生了第三个判断结论．演绎推理是一种必然性推理，演绎推理的前提与结论之间有蕴涵关系．因而，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论必定是真实的，但错误的前提可能导致错误的结论．2．作直线运动的某物体，其位移s与时间t的关系为s=3t﹣t2，t∈[0，+∞），则其初速度为（）A．0 B．3 C．﹣2 D．3﹣2t考点：实际问题中导数的意义．专题：计算题．分析：因为物体运动的瞬时速度是位移s与时间t的函数的导数，所以对位移公式求导，而初速度就是时间取第一个值0时的瞬时速度，所以只需求出t等于0时的瞬时速度即可．解答：解：∵位移s与时间t的关系为s=3t﹣t2，∴s′=3﹣2t，当t=0时，s′=3，∴物体的初速度为3故选B点评：本题主要考查导数的物理意义，物体运动的瞬时速度是位移s与时间t的函数的导数．3．函数y=x4﹣2x2+5的单调减区间为（）A．（﹣∞，﹣1）及（0，1）B．（﹣1，0）及（1，+∞）C．（﹣1，1）D．（﹣∞，﹣1）及（1，+∞）考点：利用导数研究函数的单调性．专题：导数的概念及应用．分析：先求出函数的导数，通过讨论x的范围，从而求出函数的递减区间．解答：解：y′=4x3﹣4x=4x（x+1）（x﹣1），x∈（﹣∞，﹣1）时，y′＜0，x∈（﹣1，0）时，y′＞0，x∈（0，1）时，y′＜0，x∈（1，+∞）时，y′＞0，∴函数的递减区间是（﹣∞，﹣1），（0，1），故选：A．点评：本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，是一道基础题．4．执行如图所示的程序框图，则输出的S值为（）A．3 B．6 C．7 D．10考点：程序框图．专题：操作型．分析：根据已知的框图，可知程序的功能是利用循环累加循环变量n的值到累加变量S，并在循环变量n值大于3时，输出累加结果．解答：解：当n=0时，S=0，不满足退出循环的条件，n=1；当n=1时，S=1，不满足退出循环的条件，n=2；当n=2时，S=3，不满足退出循环的条件，n=3；当n=3时，S=4，不满足退出循环的条件，n=4；当n=1时，S=10，满足退出循环的条件，故输出的S值为10故选D点评：本题考查的知识点是程序框图，当程序的运行次数不多时，我们多采用模拟程序运行的方法得到程序的运行结果．5．设复数z1=2﹣i，z2=1﹣3i，则复数+的虚部等于（）A．1 B．﹣1 C．D．﹣考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：根据复数的基本运算进行化简即可．解答：解：∵z2=1﹣3i，∴，则+==+==，则复数+的虚部等于1，故选：A．点评：本题主要考查复数的基本运算，比较基础．6．定义A*B，B*C，C*D，D*A的运算分别对应下图中的（1），（2），（3），（4），那么，图中A，B可能是下列（）的运算的结果．A．B*D，A*D B．B*D，A*C C．B*C，A*D D．C*D，A*D考点：进行简单的合情推理．专题：探究型．分析：根据已知图象与运算的关系，进行必要的分析归纳，找出规律，猜想未知的图象与运算的关系．解答：解：通过观察可知：A表示“﹣”，B表示“□”，C表示“|”，D表示“○”，图中的（A）、（B）所对应的运算结果可能是B*D，A*C，故选B．点评：本题考查的是归纳推理的应用，方法是根据已知图象与运算的关系，进行必要的分析归纳，找出规律，猜想未知的图象与运算的关系，属于中档题．归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性（猜想）．7．某公司要在某一规划区域内筹建工厂，拆迁与工程设计可同时进行，如果工程设计分为土建设计与设备采购两个部分，两者可同时进行；拆迁和土建设计进行完才能进行厂房建设，厂房建设和设备采购进行完才能进行设备安装调试，最后才能进行试生产．上述过程的工序流程图如图．则设备采购，厂房建设，土建设计，设备安装与图中①②③④处正确的对应次序应为（）A．①②③④B．①④②③C．②③①④D．①③②④考点：流程图的作用．专题：算法和程序框图．分析：根据题意，得出该工程的工序流程图是设备采购→土建设计→厂房建设→设备安装→设备调试→试生产，由此得出正确的选项．解答：解：根据题意知，工程设计分为土建设计与设备采购两个部分；拆迁和土建设计进行完才能进行厂房建设，厂房建设和设备采购进行完才能进行设备安装，进行设备调试，最后才能进行试生产；所以，上述过程的工序流程图是设备采购→土建设计→厂房建设→设备安装→设备调试→试生产．故选：D．点评：本题考查了工序流程图的应用问题，是基础题目．8．利用独立性检验来考虑两个分类变量X和Y是否有关系时，通过查阅下表来确定断言“X 和Y有关系”的可信度，如果k＞5.024，那么就有把握认为“X和Y有关系”的百分比为（）P（K2＞k）0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.0050.001k 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.87910.828A．25% B．75% C．2.5% D．97.5%考点：独立性检验的应用．专题：计算题．分析：根据所给的观测值，与所给的临界值表中的数据进行比较，而在观测值表中对应于5.024的是0.025，有1﹣0.025的把握认为“X和Y有关系”，得到结果．解答：解：∵k＞5、024，而在观测值表中对应于5.024的是0.025，∴有1﹣0.025=97.5%的把握认为“X和Y有关系”，故选D．点评：本题考查独立性检验的应用，是一个基础题，这种题目出现的机会比较小，但是一旦出现，就是我们必得分的题目．9．已知函数f（x）=ax3﹣x2+x﹣5在（﹣∞，+∞）上既有极大值，也有极小值，则实数a 的取值范围为（）A．a＞B．a≥C．a＜且a≠0 D．a≤且a≠0考点：利用导数研究函数的极值．专题：导数的概念及应用．分析：先求导函数，根据函数在区间（﹣∞，+∞）内既有极大值，又有极小值，故导函数为0的方程有不等的实数根，可求实数a的取值范围．解答：解：求导函数：f′（x）=3ax2﹣2x+1，∵函数f（x）=ax3﹣x2+x﹣6既有极大值又有极小值，∴a≠0，且△=4﹣12a＞0，∴a＜且a≠0．故选：C．点评：本题的考点是函数在某点取得极值的条件，主要考查学生利用导数研究函数极值的能力，关键是将问题转化为导函数为0的方程有不等的实数根．10．如果圆柱的轴截面周长为定值4，则圆柱体积的最大值为（）A．πB．πC．πD．π考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：空间位置关系与距离．分析：设圆柱的底面半径为r，高为h，则4r+2h=4，即2r+h=2，利用基本不等式，可求圆柱体积的最大值．解答：解：设圆柱的底面半径为r，高为h，则4r+2h=4，即2r+h=2，∴2r+h=r+r+h≥3，∴r2h≤（）3，∴V=πr2h≤π，∴圆柱体积的最大值为π，故选：A．点评：本题考查圆柱的体积，考查基本不等式的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．11．函数f（x）=lnx﹣x2的极值情况为（）A．无极值B．有极小值，无极大值C．有极大值，无极小值D．不确定考点：利用导数研究函数的极值．专题：导数的概念及应用．分析：求出函数定义域，在定义域内解方程y′=0，再判断方程根左右两侧导数的符号，据极值定义可作出判断．解答：解：函数的定义域为（0，+∞），y′=﹣2x=，令y′=0，得x=，当0＜x＜时，y′＞0，当x＞时，y′＜0，所以当x=时函数取得极大值，没有极小值，故选：C．点评：本题考查利用导数研究函数函数的极值，属基础题，正确理解导数与函数极值的关系是解决问题的基础．12．某考察团对全国10大城市进行职工人均工资水平x（千元）与居民人均消费水平y（千元）统计调查发现，y与x具有相关关系，回归方程为=0.66x+1.562．若某城市居民人均消费水平为7.675（千元），估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为（）A．83% B．72% C．67% D．66%考点：线性回归方程．专题：阅读型．分析：把y=7.675代入回归直线方程求得x，再求的值．解答：解：当居民人均消费水平为7.675时，则7.675=0.66x+1.562，即职工人均工资水平x≈9.262，∴人均消费额占人均工资收入的百分比为×100%≈83%．故选：A．点评：本题考查了回归直线方程的应用，熟练掌握回归直线方程变量的含义是解题的关键．二、填空题（共20分）13．在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：y=x3﹣10x+3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线斜率为2，则点P的坐标为（﹣2，15）．考点：导数的几何意义．专题：导数的概念及应用．分析：先设切点P（x0，y0）（x0＜0），根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=x0处的导数，从而求出切线的斜率，建立方程，解之即可．解答：解：设P（x0，y0）（x0＜0），由题意知：y′|x=x0=3x02﹣10=2，∴x02=4．∴x0=﹣2，∴y0=15．∴P点的坐标为（﹣2，15）．故答案为：（﹣2，15）点评：本题考查了导数的几何意义，以及导数的运算法则和已知切线斜率求出切点坐标，本题属于基础题．14．若a1，a2，a3，a4∈R+，有以下不等式成立：，，．由此推测成立的不等式是（当且仅当a1=a2=…=a n时取等号）．（要注明成立的条件）考点：归纳推理．专题：推理和证明．分析：根据所给的几个不等式归纳出左边、右边的规律，根据此规律可归纳出第n个不等式．解答：解：由题意得，，，，…，观察可得：每个不等式的左边是n个数的平均数，右边n次根号下n个数之积，∴可归纳出第n个不等式：，故答案为：（当且仅当a1=a2=…=a n时取等号）．点评：本题考查归纳推理，难点是根据能够找出式子之间的内在规律，考查观察、分析、归纳的能力，是基础题．15．在同一坐标系中，将曲线4x2+9y2=36变为曲线x′2+y′2=1的伸缩变换是．考点：伸缩变换．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：曲线4x2+9y2=36可化为，利用将曲线4x2+9y2=36变为曲线x′2+y′2=1，即可得出结论．解答：解：曲线4x2+9y2=36可化为，∵将曲线4x2+9y2=36变为曲线x′2+y′2=1，∴，故答案为：．点评：本题考查函数的图象变换，曲线4x2+9y2=36化为，是解题的关键．16．已知函数f（x）=﹣x3+ax在区间（﹣1，1）上是增函数，则实数a的取值范围是a≥3．考点：利用导数研究函数的单调性．专题：计算题．分析：根据函数f（x）=﹣x3+ax在区间（﹣1，1）上是增函数，转化成f′（x）=﹣3x2+a≥0，在区间（﹣1，1）上恒成立，然后利用参数分离法将a分离得a≥3x2，使x∈（﹣1，1）恒成立即可求出a的范围．解答：解：由题意应有f′（x）=﹣3x2+a≥0，在区间（﹣1，1）上恒成立，则a≥3x2，x∈（﹣1，1）恒成立，故a≥3．故答案为：a≥3．点评：函数在开区间上的单调增可转化成其导函数恒大于等于0，单调减可转化成其导函数恒小于等于0，属于基础题．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知复数z1满足（z1﹣2）（1+i）=1﹣i（i为虚数单位），复数z2的虚部为2，且z1•z2是实数，求z2．考点：复数代数形式的混合运算．专题：计算题．分析：利用复数的除法运算法则求出z1，设出复数z2；利用复数的乘法运算法则求出z1•z2；利用当虚部为0时复数为实数，求出z2．解答：解：∴z1=2﹣i设z2=a+2i（a∈R）∴z1•z2=（2﹣i）（a+2i）=（2a+2）+（4﹣a）i∵z1•z2是实数∴4﹣a=0解得a=4所以z2=4+2i点评：本题考查复数的除法、乘法运算法则、考查复数为实数的充要条件是虚部为0．18．已知x∈R，a=x2﹣1，b=2x+2．求证a，b中至少有一个不小于0．考点：反证法与放缩法．专题：反证法．分析：假设a＜0，b＜0，则a+b＜0，又a+b=x2﹣1+2x+2=x2+2x+1=（x+1）2≥0，这与假设所得结论矛盾，故假设不成立．解答：证明：假设a，b中没有一个不小于0，即a＜0，b＜0，所以a+b＜0．又a+b=x2﹣1+2x+2=x2+2x+1=（x+1）2≥0，这与假设所得结论矛盾，故假设不成立，所以，a，b中至少有一个不小于0．点评：本题考查用反证法证明数学，推出矛盾是解题的关键．1）求直线与圆ρ=2ccosθ（c＞0）相切的条件；（2）求曲线θ=0，和ρ=4所围成图形的面积．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（1）直线，化为ax+by=1，圆ρ=2ccosθ（c＞0）化为ρ2=2cρcosθ，利用可得直角坐标方程．利用直线与圆相切的充要条件、点到直线的距离公式即可得出．（2）曲线θ=0，和ρ=4所围成图形是如图所示的扇形．利用扇形的面积计算公式即可得出．解答：解：（1）直线，化为ax+by=1，圆ρ=2ccosθ（c＞0）化为ρ2=2cρcosθ，化为x2+y2=2cx，配方为：（x﹣c）2+y2=c2．可得圆心（c，0），半径r=c．∵直线与圆相切，∴=c，化为b2c2+2ac=1．（2）曲线θ=0，和ρ=4所围成图形是如图所示的扇形．∴=．点评：本题考查了圆的极坐标方程、直线的极坐标方程、直线与圆相切的充要条件、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．在2013年春节期间，某市物价部门，对本市五个商场销售的某商品一天的销售量及其价格进行调查，五个商场的售价x元和销售量y件之间的一组数据如下表所示：价格x 9 9.5 10 10.5 11销售量y 11 10 8 6 5通过分析，发现销售量y对商品的价格x具有线性相关关系．（1）求销售量y对商品的价格x的回归直线方程；（2）欲使销售量为12，则价格应定为多少．附：在回归直线中，=﹣．考点：线性回归方程．专题：计算题；概率与统计．分析：（1）首先做出两组数据的平均数，利用最小二乘法得到线性回归方程的系数，写出线性回归方程；（2）令y=﹣3.2x+40=12，可预测销售量为12件时的售价．解答：解：（1）由题意知=10，=8，∴b==﹣3.2，a=8﹣（﹣3.2）×10=40，∴线性回归方程是y=﹣3.2x+40；（2）令y=﹣3.2x+40=12，可得x=8.75，∴预测销售量为12件时的售价是8.75元．点评：本题考查求线性回归方程，考查学生的计算能力，是一个基础题．21．若函数f（x）=ax3﹣bx+4，当x=2时，函数f（x）有极值为，（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若f（x）=k有3个解，求实数k的取值范围．考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．专题：计算题；综合题．分析：（1）先对函数进行求导，然后根据f（2）=﹣．f'（2）=0可求出a，b的值，进而确定函数的解析式．（2）根据（1）中解析式然后求导，然后令导函数等于0求出x的值，然后根据函数的单调性与其导函数的正负之间的关系确定单调性，进而确定函数的大致图象，最后找出k的范围．解答：解：（Ⅰ）f′（x）=3ax2﹣b由题意；，解得，∴所求的解析式为（Ⅱ）由（1）可得f′（x）=x2﹣4=（x﹣2）（x+2）令f′（x）=0，得x=2或x=﹣2，∴当x＜﹣2时，f′（x）＞0，当﹣2＜x＜2时，f′（x）＜0，当x＞2时，f′（x）＞0因此，当x=﹣2时，f（x）有极大值，当x=2时，f（x）有极小值，∴函数的图象大致如图．由图可知：．点评：本题主要考查函数的单调性、极值与其导函数之间的关系．导数是高等数学下放到高中的内容，是高考的热点问题，每年必考，要给予充分重视．22．已知函数f（x）=x2+lnx．（1）求函数f（x）在[1，e]上的最大值和最小值；（2）求证：当x∈（1，+∞）时，函数f（x）的图象在g（x）=x3+x2的下方．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（1）求出导数f′（x），易判断x＞1时f′（x）的符号，从而可知f（x）的单调性，根据单调性可得函数的最值；（2）令F（x）=f（x）﹣g（x）=﹣+lnx，则只需证明F（x）＜0在（1，+∞）上恒成立，进而转化为F（x）的最大值小于0，利用导数可求得F（x）的最大值．解答：（1）解：∵f（x）=x2+lnx，∴f′（x）=2x+，∵x＞1时，f′（x）＞0，∴f（x）在[1，e]上是增函数，∴f（x）的最小值是f（1）=1，最大值是f（e）=1+e2；（2）证明：令F（x）=f（x）﹣g（x）=﹣+lnx，则F′（x）=x﹣2x2+===，∵x＞1，∴F′（x）＜0，∴F（x）在（1，+∞）上是减函数，∴F（x）＜F（1）==﹣＜0，即f（x）＜g（x），∴当x∈（1，+∞）时，函数f（x）的图象总在g（x）的图象下方．点评：本题考查利用导数研究函数在闭区间上的最值及恒成立问题，考查转化思想，恒成立问题往往转化为函数最值解决．。
宁夏银川唐徕回民中学2019_2020学年高二数学12月试题理(含解析)
宁夏银川唐徕回民中学2019-2020学年高二数学12月试题 理（含解析）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1.已知关于x 的不等式101ax x -<+的解集是11,2，则a 的值为（ ） A. 2 B. 2-C.12D. 12-【答案】A 【解析】 【分析】由方程与不等式关系可求得a 值. 【详解】由方程与不等式关系得：1-和12为方程()()110-+=ax x 的两根， 1102a ∴-=，解得2a =， 故选：A【点睛】本题主要考查了分式不等式的解集，不等式与方程的关系，属于基础题. 2.抛物线24x y =的焦点是 A. (1,0)- B. (1,0)C. (0,1)-D. (0,1)【答案】D 【解析】 【分析】先判断焦点的位置，再从标准型中找出p 即得焦点坐标.【详解】焦点在y 轴上，又2p =，故焦点坐标为()0,1，故选D.【点睛】求圆锥曲线的焦点坐标，首先要把圆锥曲线的方程整理为标准方程，从而得到焦点的位置和焦点的坐标.3.已知等比数列{}n a 中，31174a a a =，数列{}n b 是等差数列，且77b a =，则59b b +=（ ） A. 2 B. 4C. 16D. 8【答案】D 【解析】利用等比数列性质求出a 7，然后利用等差数列的性质求解即可． 【详解】等比数列{a n }中，a 3a 11＝4a 7， 可得a 72＝4a 7，解得a 7＝4，且b 7＝a 7， ∴b 7＝4，数列{b n }是等差数列，则b 5+b 9＝2b 7＝8． 故选D ．【点睛】本题考查等差数列以及等比数列的通项公式以及简单性质的应用，考查计算能力． 4.下列说法中，正确的是（ ）A. 命题“若22am bm <，则a b <”的逆命题是真命题B. 命题“p 或q ”为真命题，则命题“p ”和命题“q ”均为真命题C. 命题“x R ∃∈，”的否定是：“x R ∀∈，”D. 已知，则“1x >”是“2x >”的充分不必要条件【答案】C 【解析】【详解】试题分析：因为命题“若22am bm <，则a b <”的逆命题“若a b <，则22am bm <”是假命题,所以选项A 不正确;命题“p 或q ”为真命题，则命题“p ”和命题“q ”至少有一个为真命题,所以选项B 不正确；命题“x R ∃∈，”的否定是：“x R ∀∈，”，选项C 正确；已知，则“1x >”是“2x >”的必要不充分条件，所以选项D 不正确；故选C.考点：命题与充要条件.5.若向量(0,2)m =-，(3,1)n =，则与2m n +共线的向量可以是（ ） A. 3,1)-B. (3)-C. (3,1)-D.(1,3)--【答案】B【分析】先利用向量坐标运算求出向量2m n +,然后利用向量平行的条件判断即可. 【详解】()()0,2,3,1m n =-=()23,3m n ∴+=-(()333-=-故选B【点睛】本题考查向量的坐标运算和向量平行的判定,属于基础题,在解题中要注意横坐标与横坐标对应,纵坐标与纵坐标对应,切不可错位. 6.设0,0a b >>3a 与23b 的等比中项，则21a b+的最小值为（ ） A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】D 【解析】3a 与23b 的等比中项，∴2223333a b a b +⨯===， ∴21a b +=， ∴21214(2)()448b a a b a b a b a b +=++=++≥+=，当且仅当4b a a b =且21a b +=，即11,24a b ==时等号成立．选D ．7..某汽车公司的A,B 两个装配厂可装配甲、乙两种不同型号的汽车,若A 厂每小时可装配1辆甲型车和2辆乙型车,B 厂每小时可装配3辆甲型车和1辆乙型车.现要装配40辆甲型车和40辆乙型车,若要使所费的总工作时数最少,则这两个装配厂的工作时数分别为( ) A. 16,8 B. 15,9 C. 17,7 D. 14,10【答案】A 【解析】 【分析】根据条件列可行域与目标函数，结合图象确定最小值取法，即得结果【详解】设A 厂工作x 小时， B 厂工作y 小时，总工作时数为z ，则目标函数为z x y =+，约束条件为340,240,0,0.x y x y x y +≥⎧⎪+≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩作出可行域如图所示，由图知当直线y x z =-+经过Q 点时，z 取得最小值，由340,240,x y x y +=⎧⎨+=⎩可得()16,8Q ，故A 厂工作16小时，B 厂工作8小时，可使所费的总工作时数最少.选A.【点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.8.已知双曲线2212y x -=的焦点为F 1、F 2， 点M 在双曲线上且120,MF MF ⋅=则点M 到x轴的距离为( ) A.43B.53233【答案】C 【解析】 不妨1212,2,MF MF MF MF >-=1223;F F =又12;MF MF ⊥所以2221212||||MF MF F F +=，即22121212()2||MF MF MF MF F F -+⨯=；所以12124212,4,MF MF MF MF +⨯=∴⨯=则M 到x 轴的距离12 1223. 23MF MFF F⨯==故选C9.过抛物线22(0)y px p=>的焦点F作斜率为3的直线，与抛物线在第一象限内交于点A，若4AF=，则p=（）A. 2B. 1C. 3D. 4【答案】A【解析】【分析】过A作AB⊥x轴于B点，Rt△ABF中，作斜率为3的直线，由∠AFB3π=且|AF|＝4，得|BF|＝2，从而求得A的横坐标．再由抛物线的焦半径公式可得p的值即可．【详解】解：过A作AB⊥x轴于B点，过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F作斜率为3的直线，则在Rt△ABF中，∠AFB3π=，|AF|＝4，∴|BF|12=|AF|＝2，则x A＝22p+，∴|AF|＝x A2p+=2+p＝4，得p＝2．故选A．【点睛】本题考查了抛物线的标准方程和简单几何性质等知识，属于中档题．10.已知双曲线的方程为()222210,0x ya ba b-=>>，过左焦点1F3的直线交双曲线的右支于点P ，且y 轴平分线段1F P ，则双曲线的离心率是（ ） A. 3 B. 23+C. 13+D. 23【答案】B 【解析】 【分析】由题意知：212PF F F ⊥，1260PF F ∠=，算出2123,4PF c PF c ==，由双曲线定义得出关于,a c 的等式，求解出离心率.【详解】设直线1F P 与y 轴交点Q ，则点Q 为线段1F P 的中点，则2//OQ PF ，212PF F F ∴⊥，直线1F P 的斜率为3，1260PF F ∴∠=，12212,23,4F F c PF c PF c ∴===，由双曲线的定义知：4232c c a -=，解得离心率23ce a==+. 故选：B【点睛】本题主要考查双曲线的定义，双曲线离心率的计算，属于基础题.11.三棱柱111ABC A B C -中，底面边长和侧棱长都相等，1160BAA CAA ︒∠=∠=，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为（ ）363 D.36【答案】B 【解析】 【分析】设1AA c =，AB a =，AC b =，根据向量线性运算法则可表示出1AB 和1BC ；分别求解出11AB BC ⋅和1AB ，1BC ，根据向量夹角的求解方法求得11cos ,AB BC <>，即可得所求角的余弦值.【详解】设棱长为1，1AA c =，AB a =，AC b = 由题意得：12a b ⋅=，12b c ⋅=，12a c ⋅= 1AB a c =+，11BC BC BBb ac =+=-+()()22111111122AB BC a c b a c a b a a c b c a c c ∴⋅=+⋅-+=⋅-+⋅+⋅-⋅+=-++= 又()222123AB a c a a c c =+=+⋅+=()222212222BC b a cb ac a b b c a c =-+=++-⋅+⋅-⋅=11111116cos ,6AB BC AB BC AB BC ⋅∴<>===⋅ 即异面直线1AB 与1BC所成角的余弦值为：本题正确选项：B【点睛】本题考查异面直线所成角的求解，关键是能够通过向量的线性运算、数量积运算将问题转化为向量夹角的求解问题.12.已知抛物线28x y =的焦点为F ，点P 为抛物线上的动点，点(0,2)K -，则PF PK的最小值为（ ） A. 2C.2D.12【答案】C 【解析】 【分析】先记点P 到抛物线准线的距离为d ，根据抛物线的定义，将PFPK化为dPK ，再设直线PK 的方程为2y kx =-，因此求dPK的最小值，即是求k 的最小值，由此可得，直线PK 与抛物相切时，k 最小，联立直线与抛物线方程，结合判别式，即可求出结果. 【详解】记点P 到抛物线准线的距离为d ， 由抛物线定义可得d PF =，因此求PFPK的最小值，即是求dPK 的最小值，设直线PK 的方程为2y kx =-，倾斜角为θ易知sin dPKθ=，tan θk ，因此当k 取最小值时，dPK最小；当直线PK 与抛物线相切时，k 最小；由282x y y kx ⎧=⎨=-⎩可得28160x kx -+=，由264640k -=得1k =，即tan 1θ=±，所以sin 2θ=，即1d PK =.因此，PF PK的最小值为2. 故选C【点睛】本题主要考查抛物线定义、以及直线与抛物线位置关系，熟记定义以及抛物线的简单性质即可，属于常考题型.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知函数2()(1)f x ax ab x b =+--，如果不等式()0f x >的解集为()1,3-，那么不等式()20f x -<的解集为________________.【答案】31{|}22x x x <->或 【解析】 【分析】先得到不等式()0f x <的解集为(,1)(3,)-∞-+∞，再确定()20f x -<的解为21x -<-或23x ->，解得答案.【详解】不等式()0f x >的解集为()1,3-，则不等式()0f x <的解集为(,1)(3,)-∞-+∞()20f x -<的解为：21x -<- 或23x ->解得答案：31{|}22x x x <->或 故答案为31{|}22x x x <->或【点睛】本题考查了解不等式，将2x -看成整体可以简化运算，是解题的关键. 14.命题“x R ∃∈，22390x ax -+<”为假命题，则实数a 的取值范围是________．【答案】-⎡⎣【解析】 【分析】由原命题为假可知其否定为真，结合二次函数性质知0∆≥，解不等式求得结果. 【详解】若原命题为假命题，则其否定“x R ∀∈，22390x ax -+≥”为真命题29720a ∴∆=-≤，解得：a -≤≤a ∴的取值范围为-⎡⎣故答案为：-⎡⎣【点睛】本题考查一元二次不等式在实数集上恒成立问题的求解，关键是能够利用原命题与其否定之间的真假关系将问题转化为恒成立的问题.15.一条渐近线方程是0x +=的双曲线，它的一个焦点与方程是216y x =的抛物线的焦点相同，此双曲线的标准方程是_______________ ；【答案】221124x y -=【解析】 分析】根据抛物线216y x =得到双曲线的焦点，即c 的值，然后根据渐近线，得到双曲线方程.【详解】因为抛物线216y x =， 所以其焦点为()4,0，因为双曲线的一条渐近线是0x +=，所以，设双曲线方程为2213x y λλ-=，所以316λλ+=，4λ=故所求的双曲线方程为221124x y -=.【点睛】本题考查通过双曲线的渐近线和焦点求标准方程，属于简单题.16.已知抛物线22(0)y px p =>，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为 ． 【答案】1x =- 【解析】试题分析：由222122{202422y pxy py p y y p p p y x =∴--=∴+==∴==-，准线1x =-考点：抛物线方程及性质 三、解答题（共70分）17.已知a R ∈，命题p ：“[]0,2,240xxx a ∀∈-+≤均成立”，命题q ：“函数()()2ln 2f x x ax =++定义域为R ”.（1）若命题p 为真命题，求实数a 的取值范围；（2）若命题“p q ∨”为真命题，命题“p q ∧”为假命题，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）0a ≤；（2）a ≤-或0a <<【解析】 【分析】（1）由条件转化得：42x x a ≤-在[]0,2x ∈上恒成立，只需求42x x -的最小值，即可得a 的范围；（2）由题目条件分析可得，命题,p q 一真一假，列出相应的不等式组求解即可. 【详解】（1）设[]2,1,4xt t =∈，则2a t t ≤-在[]1,4t ∈上恒成立，令()221124g t t t t ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，则()g t 在[]1,4单调递增， ()()min 10g t g ∴==，故0a ≤.（2）当命题q 为真命题时，220x ax ++>在R 上恒成立，280a ∴∆=-<，解得：a -<命题“p q ∨”为真命题，命题“p q ∧”为假命题，∴命题,p q 一真一假，0a a a ≤⎧⎪∴⎨≥≤-⎪⎩0a a >⎧⎪⎨-<<⎪⎩解得：a ≤-或0a <<.【点睛】本题主要考查了含有逻辑联结词的命题真假的判断，函数的定义域，不等式的恒成立问题，属于基础题.18.ABC ∆的内角、、A B C 的对边分别为a b c 、、，已知sin sin 2A Ca b A +=． （1）求B ；（2）若ABC ∆为锐角三角形，且b =ABC ∆面积的取值范围．【答案】(1) 60B =︒；(2) ⎝⎦【解析】 【分析】（1）根据正弦定理边角互化，将等式化简为sin sin 2A CB +=，再利用A BC π++=,以及二倍角公式化解求角B 的值； （2）根据正弦定理，sin sin sin a b cA B C ==，表示,a c ，再利用面积公式1sin 2S ac B =，利用两角和的正弦公式和降幂公式化简，最后根据角的范围求取值范围. 【详解】（1）由题设及正弦定理得sin sin sin sin 2A CA B A +=． 因为sin 0A ≠，所以sinsin 2A CB +=．由180A B C ++=︒，可得sincos 22A C B+=， 故cos2sin cos 222B B B=． 因为cos02B ≠，故1sin 22B =，因此60B =︒． （2）根据正弦定理2sin sin sin a c bA C B====，可得2sin ,2sin a A c C == 因为A B C π++=，所以()sin sin sin 3C A B A π⎛⎫=+=+⎪⎝⎭,这样11sin 2sin 2sin sin 22323S ac B A A A A ππ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯+⨯=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ,而1sin sin 32S A A A A A π⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭23sin cos 226A A A A π⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭ ABC ∆是锐角三角形，所以62A ππ<<,52,666A πππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭1sin 2,162A π⎛⎫⎛⎤∴-∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦,sin 24262A π⎛⎛⎫+-∈ ⎪ ⎝⎭⎝.【点睛】本题重点考查了正弦定理边角互化解三角形，以及利用边角互化把边转化为角，转化为三角函数给定区间求取值范围的问题，本题的易错点是忽略锐角三角形的条件，或是只写出02A π<<，这样即便函数化简正确，取值范围也错了.19.如图，已知直线与抛物线()220y px p =>交于,A B 两点，且,OA OB OD AB ⊥⊥交AB于点D ，点D 的坐标为()2,1，求p 的值.【答案】54【解析】 【分析】由题知，直线AB 的斜率为2-，从而求得直线AB 方程为25y x =-+；又OA OB ⊥，所以12120OA OB x x y y ⋅=+=，联立2225y px y x ⎧=⎨=-+⎩得250y py p +-=，利用根与系数关系代入计算求出p 值. 【详解】()2,1D ，12OD k ∴=， OD AB ⊥，2AB k ∴=-，则直线AB 的方程为：()122y x -=--，即25y x =-+，设A B 、两点的坐标分别为()()1122,,,A x y B x y ，联立2225y px y x ⎧=⎨=-+⎩，消x 得：250y py p +-=，125y y p ∴=-，OA OB ⊥，22121212122550224y y OA OB x x y y y y p p p ∴⋅=+=⋅+=-=， 54p ∴=. 【点睛】本题主要考查了直线的方程，直线与抛物线的位置关系，属于中档题.解决直线与抛物线的位置关系，一般利用根与系数的关系，采用“设而不求”、“整体代入”等解法. 20.已知数列{}n a 的前n 项和为1,2n S a =-，且满足()*1112n n S a n n N +=++∈. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若()3log 1n n b a =-+，求数列21n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ，并求证34nT <. 【答案】（1）13nn a =-；（2）见解析【解析】 【分析】（1）由n a 与n S 关系得：132n n a a +=-，构造新数列{}1n a -为等比数列，利用等比数列通项公式求出n a ；（2）由n a 求出n b n =，则()211111222n n b b n n n n +⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，再利用“裂项相消法”求出n T 即可证明【详解】（1）()*1112n n S a n n N +=++∈， ∴当1n =时，21222a -=+，解得28a =-，当2n ≥时，1111122n n n n n a S S a n a n -+⎛⎫=-=++-+ ⎪⎝⎭， 化简得：132n n a a +=-，()()11312n n a a n +∴-=-≥， 又()211931a a -=-=-，()()1131n n a a n N*+∴-=-∈，∴数列{}1n a -为等比数列，首项为3-，公比为3，13n n a ∴-=-，即13n n a =-；（2）()3log 1n n b a n =-+=，()211111222n n b b n n n n +⎛⎫∴==- ⎪++⎝⎭， 1111111111123243511211113122124n T n n n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎛⎫=+--< ⎪++⎝⎭…【点睛】本题主要考查了n a 与n S 的关系，等比数列的通项公式，裂项相消法求数列的和，考查学生的运算求解能力，属于中档题.21.在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为平行四边形，90ACB ∠=，EA ⊥平面ABCD ，//EF AB ，//FG BC ，//EG AC ，2AB EF =.（1）若M 是线段AD 的中点，求证：//GM 平面ABFE ； （2）若22AC BC AE ===，求二面角A BF C --的余弦值. 【答案】（1）详见解析；（2）12. 【解析】 【详解】（1）//EF AB ，//FG BC ，//EG AC ，90ACB ∠=，90EGF ∴∠=，ABC EFG ∆~∆，由于2AB EF =，因此2.BC FG =连接AF ，由于//FG BC ，12FG BC =，在平行四边形ABCD 中，M 是线段AD 的中点，则//AM BC ，且12AM BC =， 因此，//FG AM 且FG AM =，所以四边形AFGM 为平行四边形，//GM FA ∴， 又FA ⊂平面ABFE ，GM ⊄平面ABFE ，//GM ∴平面ABFE ； （2），90CAD ∴∠=，又EA ⊥平面ABCD ，AC ∴、AD 、AE 两两垂直．分别以AC 、AD 、AE 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，则()0,0,0A 、()2,2,0B -、()2,0,0C 、()0,0,1D ， 故()2,2,0AB =-，()0,2,0BC =，又12EF AB =，()1,1,1F ∴-，()1,1,1BF =-. 设平面BFC 的法向量()111,,m x y z =， 则0{m BC m BF ⋅=⋅=，1110{y x z =∴=，取11z =，得11x =，所以()1,0,1m =，设平面ABF 的法向量222(,,)n x y z =，则0{0n AB n BF ⋅=⋅=，∴222{0x y z ==，取21y =，得21x =，所以()1,1,0n =，所以1cos ,2m n m n m n ⋅〈〉==⋅ 故二面角A BF C --的余弦值为12. 考点：1.直线与平面平行；2.利用空间向量法求二面角22.已知椭圆2222:1x y C a b +=(0a b >>)的短轴长为2，离心率为22．过点M （2,0）的直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点,O 为坐标原点.（1）求椭圆C 的方程； （2）求OA OB ⋅的取值范围；（3）若B 点关于x 轴的对称点是N ，证明：直线AN 恒过一定点.【答案】（1）2212x y +=.（2）3[2,)2-.（3）直线l 过定点(1,0).【解析】【详解】（1）易知1b =，c e a ==得2222222a c a b ==-,故22a =. 故方程为2212x y +=.（2）设l ：(2)y k x =-，与椭圆C 的方程联立,消去y 得 2222(12)8820k x k x k +-+-=.由△＞0得2102k ≤<. 设1122(,),(,)A x y B x y ,则22121222882,1212k k x x x x k k-+==++. ∴1212OA OB x x y y ⋅=+222212121212(2)(2)(1)2()4x x k x x k x x k x x k =+--=+-++=222102751212k k k -=-++ 2102k ≤<，∴2777212k<≤+， 故所求范围是3[2,)2-.（3）由对称性可知N 22(,)x y -，定点在x 轴上. 直线AN ：121112()y y y y x x x x +-=--，令0y =得:22221121221121212121212216416()22()1212184412k k y x x x y x y x x x x k k x x k y y y y x x k ---+-+++=-====+++--+, ∴直线l 过定点(1,0).。
2017-2018年宁夏银川市唐徕回民中学高二(下)4月月考数学试卷(文科)(解析版)
2017-2018学年宁夏银川市唐徕回民中学高二（下）4月月考数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）1．（5分）正弦函数是奇函数，f（x）＝sin（x2+1）是正弦函数，因此f（x）＝sin（x2+1）是奇函数，以上推理（）A．小前提不正确B．大前提不正确C．结论正确D．全不正确2．（5分）复数Z＝，则|Z|等于（）A．25B．C．D．53．（5分）若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（）A．y＝±2x B．C．D．4．（5分）若f（x）＝﹣x3+ax在（0，1）上是增函数，则实数a的取值范围是（）A．[3，+∞）B．（﹣∞，3]C．（0，3]D．（﹣1，0）5．（5分）相关变量x、y的样本数据如下表：经回归分析可得y与x线性相关，并由最小二乘法求得回归直线方程为＝1.1x+a，则a＝（）A．0.1B．0.2C．0.3D．0.46．（5分）在极坐标系中，过点且垂直于极轴的直线方程为（）A．B．C．D．7．（5分）在同一平面直角坐标系中，经过坐标伸缩变换后，曲线C变为曲线2x′2+8y′2＝1，则曲线C的方程为（）A．50x2+72y2＝1B．9x2+100y2＝1C．25x2+36y2＝1D．8．（5分）下面是关于复数Z＝的四个命题P1：|Z|＝2 P2：Z2＝2iP3：＝1+iP4：Z的虚部为﹣1其中的真命题为（）A．P2，P3B．P2，P4C．P1，P2D．P3，P49．（5分）已知点A（﹣2，3）在抛物线C：y2＝2px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为（）A．﹣B．﹣1C．﹣D．﹣10．（5分）若数列{a n}是等差数列，则数列也为等差数列．类比这一性质可知，若正项数列{∁n}是等比数列，且d n也是等比数列，则d n的表达式应为（）A．B．C．D．11．（5分）参数方程（t为参数）表示的曲线是（）A．圆的一部分B．椭圆的一部分C．双曲线的一部分D．抛物线的一部分12．（5分）若f（x）是定义在R上的可导函数，且满足（x﹣1）f′（x）≥0，则必有（）A．f（0）+f（2）＜2f（1）B．f（0）+f（2）＞2f（1）C．f（0）+f（2）≤2f（1）D．f（0）+f（2）≥2f（1）二、填空题（本题共4题，每小题5分，共20分）13．（5分）双曲线（φ是参数）的渐近线方程为．14．（5分）过椭圆＝1内一点P（3，1），且被这点平分的弦所在直线的方程是．15．（5分）已知正整数对按如下规律排成一列：（1，1），（1，2），（2，1），（1，3），（2，2），（3，1），（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），…，则第60个数对是．16．（5分）若直线l与曲线C满足下列两个条件：（i）直线l在点P（x0，y0）处与曲线C相切；（ii）曲线C在点P附近位于直线l的两侧，则称直线l在点P处“切过”曲线C．下列命题正确的是（写出所有正确命题的编号）．①直线l：y＝0在点P（0，0）处“切过”曲线C：y＝x3②直线l：x＝﹣1在点P（﹣1，0）处“切过”曲线C：y＝（x+1）2③直线l：y＝x在点P（0，0）处“切过”曲线C：y＝sin x④直线l：y＝x在点P（0，0）处“切过”曲线C：y＝tan x⑤直线l：y＝x﹣1在点P（1，0）处“切过”曲线C：y＝lnx．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）（1）复数Z 1＝+（10﹣a2）i，Z2＝+（2a﹣5）i，若+Z2是实数，求实数a的值；（2）已知复数Z1满足（Z1﹣2）i＝1+i，复数Z2的虚部为2，且Z1•Z2是实数，求Z2．18．（12分）已知椭圆C：4x2+y2＝1 及直线l：y＝x+m．（1）当m为何值时，直线l与椭圆C有公共点？（2）若直线l与椭圆C交于两点A，B，线段AB的长为，求直线l的方程．19．（12分）（1）已知a、b、c是不全相等的正数，且0＜x＜1．求证：log x+log x+log x＜log x a+log x b+log x c．（2）用反证法证明：若函数f（x）在区间[a，b]上是增函数，则方程f（x）＝0在区间[a，b]上至多只有一个实数根．20．（12分）在极坐标系中，曲线C：ρsin2θ＝2cosθ过点A（5，α）（α为锐角，且tanα＝）作平行于直线θ＝（ρ∈R）的直线l，且l与曲线C交于B，C两点．（1）以极点为原点，极轴为x轴正半轴，相同的单位长度建立平面直角坐标系，写出曲线C和直线l的直角坐标方程；（2）求|BC|．21．（12分）某高校共有学生15000人，其中男生10500人，女生4500人．为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：小时）．（1）应收集多少位女生的样本数据？（2）根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据的分组区间为：[0，2]，（2，4]，（4，6]，（6，8]，（8，10]，（10，12]．估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率．（3）在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，请完成每周平均体育运动时间与性别列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．附：K2＝．22．（12分）已知f（x）＝ax﹣lnx，x∈（0，e]，g（x）＝，其中e是自然常数，a∈R．（1）讨论a＝1时，函数f（x）的单调性和极值；（2）求证：在（1）的条件下，f（x）＞g（x）+；（3）是否存在实数a使f（x）的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．2017-2018学年宁夏银川市唐徕回民中学高二（下）4月月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）1．（5分）正弦函数是奇函数，f（x）＝sin（x2+1）是正弦函数，因此f（x）＝sin（x2+1）是奇函数，以上推理（）A．小前提不正确B．大前提不正确C．结论正确D．全不正确【解答】解：大前提：正弦函数是奇函数，正确；小前提：f（x）＝sin（x2+1）是正弦函数，因为该函数为复合函数，故错误；结论：f（x）＝sin（x2+1）是奇函数，因为该函数为偶函数，故错误．故选：A．2．（5分）复数Z＝，则|Z|等于（）A．25B．C．D．5【解答】解：∵Z＝＝，∴|Z|＝．故选：D．3．（5分）若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（）A．y＝±2x B．C．D．【解答】解：由双曲线的离心率，可知c＝a，又a2+b2＝c2，所以b＝a，所以双曲线的渐近线方程为：y＝＝±x．故选：B．4．（5分）若f（x）＝﹣x3+ax在（0，1）上是增函数，则实数a的取值范围是（）A．[3，+∞）B．（﹣∞，3]C．（0，3]D．（﹣1，0）【解答】解：由题意应有f′（x）＝﹣3x2+a≥0，在区间（﹣1，1）上恒成立，则a≥3x2，x∈（﹣1，1）恒成立，故a≥3．故选：A．5．（5分）相关变量x、y的样本数据如下表：经回归分析可得y与x线性相关，并由最小二乘法求得回归直线方程为＝1.1x+a，则a＝（）A．0.1B．0.2C．0.3D．0.4【解答】解：由题意，＝＝3，＝＝3.6，∵回归直线方程为＝1.1x+a，∴3.6＝1.1×3+a，∴a＝0.3．故选：C．6．（5分）在极坐标系中，过点且垂直于极轴的直线方程为（）A．B．C．D．【解答】解：在直角坐标系中，过点（3，）且与极轴垂直的直线方程是x＝，其极坐标方程为ρcosθ＝，故选：A．7．（5分）在同一平面直角坐标系中，经过坐标伸缩变换后，曲线C变为曲线2x′2+8y′2＝1，则曲线C的方程为（）A．50x2+72y2＝1B．9x2+100y2＝1C．25x2+36y2＝1D．【解答】解：把代入曲线2x′2+8y′2＝1，可得2（5x）2+8（3y）2＝1，化为50x2+72y2＝1，即为曲线C的方程．故选：A．8．（5分）下面是关于复数Z＝的四个命题P1：|Z|＝2 P2：Z2＝2iP3：＝1+iP4：Z的虚部为﹣1其中的真命题为（）A．P2，P3B．P2，P4C．P1，P2D．P3，P4【解答】解：∵Z＝＝．∴|Z|＝，故P1为假命题；Z2＝（﹣1﹣i）2＝2i，故P2为真命题；，故P3为假命题；Z的虚部为﹣1，故P4为真命题．∴真命题是P2，P4．故选：B．9．（5分）已知点A（﹣2，3）在抛物线C：y2＝2px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为（）A．﹣B．﹣1C．﹣D．﹣【解答】解：∵点A（﹣2，3）在抛物线C：y2＝2px的准线上，∴﹣＝﹣2，∴F（2，0），∴直线AF的斜率为＝﹣．故选：C．10．（5分）若数列{a n}是等差数列，则数列也为等差数列．类比这一性质可知，若正项数列{∁n}是等比数列，且d n也是等比数列，则d n的表达式应为（）A．B．C．D．【解答】解：∵数列{a n}是等差数列，∴数列＝a1+d也为等差数列∵正项数列{∁n}是等比数列，设首项为c1，公比为q∴＝＝∴是等比数列故选：D．11．（5分）参数方程（t为参数）表示的曲线是（）A．圆的一部分B．椭圆的一部分C．双曲线的一部分D．抛物线的一部分【解答】解：∴参数方程（t为参数），∴，∴2x2+y2＝4，即＝1，x＞0，y＞0．∴参数方程（t为参数）表示的曲线是椭圆的一部分．故选：B．12．（5分）若f（x）是定义在R上的可导函数，且满足（x﹣1）f′（x）≥0，则必有（）A．f（0）+f（2）＜2f（1）B．f（0）+f（2）＞2f（1）C．f（0）+f（2）≤2f（1）D．f（0）+f（2）≥2f（1）【解答】解：∵（x﹣1）f'（x）≥0∴x＞1时，f′（x）≥0；x＜1时，f′（x）≤0∴f（x）在（1，+∞）为增函数；在（﹣∞，1）上为减函数∴f（2）≥f（1）f（0）≥f（1）∴f（0）+f（2）≥2f（1）故选：D．二、填空题（本题共4题，每小题5分，共20分）13．（5分）双曲线（φ是参数）的渐近线方程为x±y＝0．【解答】解：∵双曲线（φ是参数），sec2φ＝1+tan2φ，∴双曲线的直角坐标方程为y2﹣x2＝1，∴双曲线（φ是参数）的渐近线方程为x±y＝0．故答案为：x±y＝0．14．（5分）过椭圆＝1内一点P（3，1），且被这点平分的弦所在直线的方程是3x+4y ﹣13＝0．【解答】解：设以点P（3，1）为中点的弦两端点为P1（x1，y1），P2（x2，y2），则x1+x2＝6，y1+y2＝2．又＝1，①＝1，②①﹣②得：+＝0又据对称性知x1≠x2，∴以点P（3，1）为中点的弦所在直线的斜率k＝﹣＝﹣，∴中点弦所在直线方程为y﹣1＝﹣（x﹣3），即3x+4y﹣13＝0．故答案为：3x+4y﹣13＝0．15．（5分）已知正整数对按如下规律排成一列：（1，1），（1，2），（2，1），（1，3），（2，2），（3，1），（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），…，则第60个数对是（5，7）．【解答】解：按规律分组：第一组（1，1）；第二组（1，2），（2，1）；第三组（1，3），（2，2），（3，1）；…则前10组共有1+2+3+…+10＝55个有序实数对．第60项应在第11组中，即（1，11），（2，10），（3，9），（4，8），（5，7），…，（11，1）中的第5个，因此第60项为（5，7）．故答案为：（5，7）．16．（5分）若直线l与曲线C满足下列两个条件：（i）直线l在点P（x0，y0）处与曲线C相切；（ii）曲线C在点P附近位于直线l的两侧，则称直线l在点P处“切过”曲线C．下列命题正确的是①③④（写出所有正确命题的编号）．①直线l：y＝0在点P（0，0）处“切过”曲线C：y＝x3②直线l：x＝﹣1在点P（﹣1，0）处“切过”曲线C：y＝（x+1）2③直线l：y＝x在点P（0，0）处“切过”曲线C：y＝sin x④直线l：y＝x在点P（0，0）处“切过”曲线C：y＝tan x⑤直线l：y＝x﹣1在点P（1，0）处“切过”曲线C：y＝lnx．【解答】解：对于①，由y＝x3，得y′＝3x2，则y′|x＝0＝0，直线y＝0是过点P（0，0）的曲线C的切线，又当x＞0时y＞0，当x＜0时y＜0，满足曲线C在P（0，0）附近位于直线y＝0两侧，∴命题①正确；对于②，由y＝（x+1）2，得y′＝2（x+1），则y′|x＝﹣1＝0，而直线l：x＝﹣1的斜率不存在，在点P（﹣1，0）处不与曲线C相切，∴命题②错误；对于③，由y＝sin x，得y′＝cos x，则y′|x＝0＝1，直线y＝x是过点P（0，0）的曲线的切线，又x∈时x＜sin x，x∈时x＞sin x，满足曲线C在P（0，0）附近位于直线y＝x两侧，∴命题③正确；对于④，由y＝tan x，得，则y′|x＝0＝1，直线y＝x是过点P（0，0）的曲线的切线，又x∈时tan x＜x，x∈时tan x＞x，满足曲线C在P（0，0）附近位于直线y＝x两侧，∴命题④正确；对于⑤，由y＝lnx，得，则y′|x＝1＝1，曲线在P（1，0）处的切线为y＝x﹣1，设g（x）＝x﹣1﹣lnx，得，当x∈（0，1）时，g′（x）＜0，当x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0．∴g（x）在（0，+∞）上有极小值也是最小值，为g（1）＝0．∴y＝x﹣1恒在y＝lnx的上方，不满足曲线C在点P附近位于直线l的两侧，命题⑤错误．故答案为：①③④．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）（1）复数Z 1＝+（10﹣a2）i，Z2＝+（2a﹣5）i，若+Z2是实数，求实数a的值；（2）已知复数Z1满足（Z1﹣2）i＝1+i，复数Z2的虚部为2，且Z1•Z2是实数，求Z2．【解答】解：（1）复数Z 1＝+（10﹣a2）i，Z2＝+（2a﹣5）i，若+Z2是实数，则﹣（10﹣a2）+（2a﹣5）＝0，解得a＝﹣5或a＝3；经验证，a＝﹣5不满足题意，∴a的值是3；（2）复数Z1满足（Z1﹣2）i＝1+i，∴Z1＝+2＝3﹣i，设复数Z2＝a+2i，则Z1•Z2＝（3﹣i）（a+2i）＝（3a+2）+（6﹣a）i，令6﹣a＝0，解得a＝6，∴Z2＝6+2i．18．（12分）已知椭圆C：4x2+y2＝1 及直线l：y＝x+m．（1）当m为何值时，直线l与椭圆C有公共点？（2）若直线l与椭圆C交于两点A，B，线段AB的长为，求直线l的方程．【解答】解：（1）由，整理得：5x2+2mx+m2﹣1＝0，由已知△≥0，解得：﹣≤m≤；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），由（1）得：x1+x2＝﹣，x1x2＝，由|AB|＝＝＝，解得：m＝0，∴直线l的方程为y＝x．19．（12分）（1）已知a、b、c是不全相等的正数，且0＜x＜1．求证：log x+log x+log x＜log x a+log x b+log x c．（2）用反证法证明：若函数f（x）在区间[a，b]上是增函数，则方程f（x）＝0在区间[a，b]上至多只有一个实数根．【解答】证明：（1）要证log x+log x+log x＜log x a+log x b+log x c，只需证log x（••）＜log x（abc）．由已知0＜x＜1，得只需证••＞abc．由公式≥＞0，≥＞0，≥＞0．又∵a，b，c是不全相等的正数，∴••＞••＝abc．即••＞abc成立．∴log x+log x+log x＜log x a+log x b+log x c成立．（2）假设方程f（x）＝0在区间[a，b]上至少有两个不同的实数根α，β，即f（α）＝f（β）＝0．不妨设α＜β，由于函数f（x）在区间[a，b]上是增函数，故f（α）＜f（β），这与f（α）＝f（β）＝0矛盾，所以方程f（x）＝0在区间[a，b]上至多只有一个实数根．20．（12分）在极坐标系中，曲线C：ρsin2θ＝2cosθ过点A（5，α）（α为锐角，且tanα＝）作平行于直线θ＝（ρ∈R）的直线l，且l与曲线C交于B，C两点．（1）以极点为原点，极轴为x轴正半轴，相同的单位长度建立平面直角坐标系，写出曲线C和直线l的直角坐标方程；（2）求|BC|．【解答】解：（1）∵曲线C：ρsin2θ＝2cosθ，∴＝2ρcosθ，∴曲线C的直角坐标方程为y2＝2x．过点A（5，α）（α为锐角，且tanα＝）作平行于直线θ＝（ρ∈R）的直线l，∴x＝5cosα＝4，y＝5sinα＝3，∴A（4，3），且直线l的斜率为1，∴直线l的直角坐标方程为y﹣3＝x﹣4，即x﹣y﹣1＝0．（2）联立，得x2﹣4x+1＝0，△＝16﹣4＝12＞0，设B（x1，y1），C（x2，y2），则x1+x2＝4，x1x2＝1．∴|BC|＝＝2．21．（12分）某高校共有学生15000人，其中男生10500人，女生4500人．为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：小时）．（1）应收集多少位女生的样本数据？（2）根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据的分组区间为：[0，2]，（2，4]，（4，6]，（6，8]，（8，10]，（10，12]．估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率．（3）在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，请完成每周平均体育运动时间与性别列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．附：K2＝．【解答】解：（1）300×＝90，所以应收集90位女生的样本数据．（2）由频率分布直方图得1﹣2×（0.100+0.025）＝0.75，所以该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率的估计值为0.75．（3）由（2）知，300位学生中有300×0.75＝225人的每周平均体育运动时间超过4小时，75人的每周平均体育运动时间不超过4小时，又因为样本数据中有210份是关于男生的，90份是关于女生的，所以每周平均体育运动时间与性别列联表如下：每周平均体育运动时间与性别列联表结合列联表可算得K2＝＝≈4.762＞3.841所以，有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．22．（12分）已知f（x）＝ax﹣lnx，x∈（0，e]，g（x）＝，其中e是自然常数，a∈R．（1）讨论a＝1时，函数f（x）的单调性和极值；（2）求证：在（1）的条件下，f（x）＞g（x）+；（3）是否存在实数a使f（x）的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）因为，所以当0＜x＜1时，f'（x）＜0，此时函数f（x）单调递减．当1＜x≤e时，f'（x）＞0，此时函数f（x）单调递增．所以函数f（x）的极小值为f（1）＝1．（2）因为函数f（x）的极小值为1，即函数f（x）在（0，e]上的最小值为1．又，所以当0＜x＜e时，g'（x）＞0，此时g（x）单调递增．所以g（x）的最大值为g（e）＝，所以，所以在（1）的条件下，f（x）＞g（x）+．（3）假设存在实数a，使f（x）＝ax﹣lnx，x∈（0，e]，有最小值3，则，①当a≤0时，f'（x）＜0，f（x）在（0，e]上单调递减，，（舍去），此时函数f（x）的最小值不是3．②当0时，f（x）在（0，]上单调递减，f（x）在（，e]上单调递增．所以f，满足条件．③当时，f（x）在（0，e]上单调递减，，（舍去），此时函数f（x）的最小值是不是3．综上可知存在实数a＝e2，使f（x）的最小值是3．。
2014-2015年宁夏银川市唐徕回民中学高三上学期数学期末试卷(文科)与解析
2014-2015学年宁夏银川市唐徕回民中学高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）sin（﹣210°）的值为（）A．﹣B．C．﹣D．2．（5分）设全集U=R，A={x∈N|y=ln（2﹣x）}，B={x|x（x﹣2）≤0}，A∩B=（）A．{x|x≥1}B．{x|0≤x＜2}C．{1}D．{0，1}3．（5分）已知直线m n和平面α，则m∥n的一个必要条件是（）A．m∥α，n∥αB．m⊥α，n⊥αC．m∥α，n⊂αD．m，n与α成等角4．（5分）已知{a n}是以1为首项的等比数列，若a7•a11=100，则a9的值是（）A．﹣10B．10C．±10D．不确定5．（5分）已知a=0.20.3，b=log0.23，c=log0.24，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．c＞b＞a 6．（5分）设函数f（x）=ax2+bx+c，其中a是正数，对于任意实数x，等式f（1﹣x）=f（1+x）恒成立，则当x∈R时，f（2x）与f（3x）的大小关系为（）A．f（3x）＞f（2x）B．f（3x）＜f（2x）C．f（3x）≥f （2x）D．f（3x）≤f（2x）7．（5分）某几何体的三视图如图所示，则它的表面积为（）A．B．C．D．8．（5分）已知函数f（x）=x﹣﹣1，g（x）=x+2x，h（x）=x+lnx，零点分别为x1，x2，x3，则（）A．x1＜x2＜x3B．x2＜x1＜x3C．x3＜x1＜x2D．x2＜x3＜x1 9．（5分）某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图（1）、（2）、（3）、（4）为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣（小正方形的摆放规律相同），设第n个图形包含f（n）个小正方形．则f（6）=（）A．61B．62C．85D．8610．（5分）已知函数f（x）=3sin（2x﹣），则下列结论正确的是（）A．若f（x1）=f（x2）=0，则x1﹣x2=kπ（k∈Z）B．函数f（x）在区间[﹣，π]上是增函数C．函数f（x）的图象与g（x）=3cos（2x+）的图象相同D．函数f（x）的图象关于点（﹣，0）对称11．（5分）已知向量=（x﹣1，2），=（4，y），若⊥，则32x+3y的最小值为（）A．2B．C．6D．912．（5分）已知函数，若关于x的方程f（x2+2x）=a（a∈R）有六个不同的实根，则a的取值范围是（）A．（2，8]B．（2，9]C．（8，9]D．（8，9）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）已知点M（a，b）在由不等式确定的平面区域内，则2a+b 的最大值是．14．（5分）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中侧棱垂直于底面，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=1，且三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为3，则三棱柱ABC﹣A1B1C1的外接球的表面积为．15．（5分）向量在正方形网格中的位置如图所示．设向量=，若，则实数λ=．16．（5分）定义：如果函数y=f（x）在定义域内给定区间[a，b]上存在x0（a＜x0＜b），满足，则称函数y=f（x）是[a，b]上的“平均值函数”，x0是它的一个均值点．如y=x4是[﹣1，1]上的平均值函数，0就是它的均值点．现有函数f（x）=﹣x2+mx+1是区间[﹣1，1]上的平均值函数，则实数m的取值范围是．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）△ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量=（2sinB，﹣），=（cos2B，﹣1）且∥．（1）求锐角B的大小；的最大值．（2）如果b=2，求△ABC的面积S△ABC18．（12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，FC⊥平面ABCD，AE⊥BD，CB=CD=CF=1，（1）求证：BD⊥平面AED；（2）求B到平面FDC的距离．19．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a n+1=S n+1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=2log2a n+1﹣1，①若数列的前n项和为；②求数列{a n b n}的前n项和为M n．20．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1=AC=2，BC=1，E、F分别为A1C1、BC的中点．（1）求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；（2）求证：C1F∥平面ABE；（3）求三棱锥E﹣ABC的体积．21．（12分）已知函数f（x）=x3+2x2+ax+b，g（x）=e x（cx+d），且函数f（x）的导函数为f′（x），若曲线f（x）和g（x）都过点A（0，2），且在点A 处有相同的切线y=4x+2．（Ⅰ）求a，b，c，d的值；（Ⅱ）若x≥﹣2时，mg（x）≥f′（x）+2恒成立，求实数m的取值范围．请在第22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）选修4﹣1：几何证明选讲．如图，AB是⊙O的一条切线，切点为B，ADE、CFD、CGE都是⊙O的割线，已知AC=AB．证明：（1）AD•AE=AC2；（2）FG∥AC．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．已知曲线C的参数方程为（θ为参数），在同一平面直角坐标系中，将曲线C上的点按坐标变换得到曲线C′．（1）求曲线C′的普通方程；（2）若点A在曲线C′上，点B（3，0），当点A在曲线C′上运动时，求AB中点P的轨迹方程．【选修4-5：不等式选讲】24．（选做题）已知f（x）=|x+1|+|x﹣1|，不等式f（x）＜4的解集为M．（1）求M；（2）当a，b∈M时，证明：2|a+b|＜|4+ab|．2014-2015学年宁夏银川市唐徕回民中学高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）sin（﹣210°）的值为（）A．﹣B．C．﹣D．【解答】解：sin（﹣210°）=﹣sin210°=﹣sin（180°+30°）=sin30°=．故选：B．2．（5分）设全集U=R，A={x∈N|y=ln（2﹣x）}，B={x|x（x﹣2）≤0}，A∩B=（）A．{x|x≥1}B．{x|0≤x＜2}C．{1}D．{0，1}【解答】解：由A中y=ln（2﹣x），得到2﹣x＞0，即x＜2，∴A={x|x＜2，x∈N}={0，1}，由B中不等式解得：0≤x≤2，即B={x|0≤x≤2}，则A∩B={0，1}．故选：D．3．（5分）已知直线m n和平面α，则m∥n的一个必要条件是（）A．m∥α，n∥αB．m⊥α，n⊥αC．m∥α，n⊂αD．m，n与α成等角【解答】解：A．m、n可以都和平面垂直，不必要B．m、n可以都和平面平行，不必要C．n没理由一定要在平面内，不必要D．平行所以成的角一定相等，但反之如果两直线相交成等边三角形之势则不平行，所以是必要非充分故选：D．4．（5分）已知{a n}是以1为首项的等比数列，若a7•a11=100，则a9的值是（）A．﹣10B．10C．±10D．不确定【解答】解：（a9）2=a7•a11=100，∴a9=±10，∵a1=1＞0，当q＞0时，则a9＞0，当q＜0时，a9=a1•q8＞0，综上可知a9＞0，∴a9=10，故选：B．5．（5分）已知a=0.20.3，b=log0.23，c=log0.24，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．c＞b＞a【解答】解：由于函数y=log0.2x在（0，+∞）上是减函数，故有c＜b＜0．由a=20.3＞20=1，可得a＞b＞c，故选：A．6．（5分）设函数f（x）=ax2+bx+c，其中a是正数，对于任意实数x，等式f（1﹣x）=f（1+x）恒成立，则当x∈R时，f（2x）与f（3x）的大小关系为（）A．f（3x）＞f（2x）B．f（3x）＜f（2x）C．f（3x）≥f （2x）D．f（3x）≤f（2x）【解答】解：由函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0）对于任意的x∈R有f（1﹣x）=f（1+x）可得函数关于x=1对称由a＞0可得函数在（﹣∞，1]单调递减，在[1，+∞）单调递增当x＞0时，3x＞2x＞1，f（3x）＞f（2x）当x=0时，3x=2x=1，f（3x）=f（2x）当x＜0时，3x＜2x＜1，f（3x）＞f（2x）综上可得，f（3x）≥f（2x）故选：C．7．（5分）某几何体的三视图如图所示，则它的表面积为（）A．B．C．D．【解答】解：由三视图知几何体为半个圆锥，且圆锥的底面圆半径为1，高为2，∴母线长为，圆锥的表面积S=S底面+S侧面=×π×12+×2×2+×π×=2+．故选：A．8．（5分）已知函数f（x）=x﹣﹣1，g（x）=x+2x，h（x）=x+lnx，零点分别为x1，x2，x3，则（）A．x1＜x2＜x3B．x2＜x1＜x3C．x3＜x1＜x2D．x2＜x3＜x1【解答】解：∵f（x）=x﹣﹣1的零点为＞1，g（x）=x+2x的零点必定小于零，h（x）=x+lnx的零点必位于（0，1）内，∴x2＜x3＜x1．故选：D．9．（5分）某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图（1）、（2）、（3）、（4）为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣（小正方形的摆放规律相同），设第n个图形包含f（n）个小正方形．则f（6）=（）A．61B．62C．85D．86【解答】解：根据前面四个发现规律：f（2）﹣f（1）=4×1，f（3）﹣f（2）=4×2，f（4）﹣f（3）=4×3，…f（n）﹣f（n﹣1）=4（n﹣1）这n﹣1个式子相加可得：f（n）=2n2﹣2n+1．当n=6时，f（6）=61．故选：A．10．（5分）已知函数f（x）=3sin（2x﹣），则下列结论正确的是（）A．若f（x1）=f（x2）=0，则x1﹣x2=kπ（k∈Z）B．函数f（x）在区间[﹣，π]上是增函数C．函数f（x）的图象与g（x）=3cos（2x+）的图象相同D．函数f（x）的图象关于点（﹣，0）对称【解答】解：对于A．f（x1）=f（x2）=0，则=，∴=，k=2n﹣1（n∈Z）时，，k=2n时，x1﹣x2=nπ（n∈Z），因此不正确；对于B．x∈[﹣，π]，∈，因此函数f（x）在区间[﹣，π]上是增函数，正确；对于C．函数g（x）=3cos（2x+）=3=3=﹣≠f（x），因此图象不相同；对于D．∵==﹣3≠0，因此函数f（x）的图象关于点（﹣，0）不对称．故选：B．11．（5分）已知向量=（x﹣1，2），=（4，y），若⊥，则32x+3y的最小值为（）A．2B．C．6D．9【解答】解：∵⊥，∴•=0，∵向量=（x﹣1，2），=（4，y），∴•=4（x﹣1）+2y=0，即4x+2y=4，2x+y=2．则32x+3y，故32x+3y的最小值为6，故选：C．12．（5分）已知函数，若关于x的方程f（x2+2x）=a（a∈R）有六个不同的实根，则a的取值范围是（）A．（2，8]B．（2，9]C．（8，9]D．（8，9）【解答】解：令t=x2+2x=（x+1）2﹣1，则t≥﹣1，函数f（t）=．由题意可得，函数f（t）的图象与直线y=a 有3个不同的交点，且每个t值有2个x值与之对应，如图所示：由于当t=﹣1时，f（t）=8，此时，t=﹣1对应的x值只有一个x=﹣1，不满足条件，故a的取值范围是（8，9]，故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）已知点M（a，b）在由不等式确定的平面区域内，则2a+b 的最大值是4．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．设a=x，b=y，则z=2a+b=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点B（2，0）时，直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大．代入目标函数z=2x+y得z=2×2+0=4．即目标函数z=2x+y的最大值为4．故答案为：4．14．（5分）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中侧棱垂直于底面，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=1，且三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为3，则三棱柱ABC﹣A1B1C1的外接球的表面积为16π．【解答】解：∵三棱柱ABC﹣A1B1C1中侧棱垂直于底面，设侧棱长为H，又三棱柱的底面为直角三角形，BC=1，∠BAC=30°，∴AC=，AB=2，∴三棱柱的体积V=××H=3，∴H=2，△ABC的外接圆半径为AB=1，三棱柱的外接球的球心为上、下底面直角三角形斜边中点连线的中点O，如图：∴外接球的半径R==2，∴外接球的表面积S=4π×22=16π．故答案为：16π．15．（5分）向量在正方形网格中的位置如图所示．设向量=，若，则实数λ=3．【解答】解：设正方形的边长为1，则AB=1，AC=，∴cos∠CAB=，∵，=，∴，即，∴，解得λ=3．故答案为：3．16．（5分）定义：如果函数y=f（x）在定义域内给定区间[a，b]上存在x0（a＜x0＜b），满足，则称函数y=f（x）是[a，b]上的“平均值函数”，x0是它的一个均值点．如y=x4是[﹣1，1]上的平均值函数，0就是它的均值点．现有函数f（x）=﹣x2+mx+1是区间[﹣1，1]上的平均值函数，则实数m的取值范围是0＜m＜2．【解答】解：）∵函数f（x）=﹣x2+mx+1是区间[﹣1，1]上的平均值函数，∴关于x的方程﹣x2+mx+1=在（﹣1，1）内有实数根．由﹣x2+mx+1=⇒x2﹣mx+m﹣1=0，解得x=m﹣1，x=1．又1∉（﹣1，1）∴x=m﹣1必为均值点，即﹣1＜m﹣1＜1⇒0＜m＜2．∴所求实数m的取值范围是0＜m＜2．故答案为：0＜m＜2．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）△ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量=（2sinB，﹣），=（cos2B，﹣1）且∥．（1）求锐角B的大小；的最大值．（2）如果b=2，求△ABC的面积S△ABC【解答】解：（1）∵=（2sinB，﹣），=（cos2B，2cos2﹣1），且∥，∴2sinB•（2cos2﹣1）=﹣cos2B，即2sinBcosB=sin2B=﹣cos2B，∴tan2B=﹣，∵B∈（0，），∴2B∈（0，π），∴2B=，即B=；（2）∵B=，b=2，∴由余弦定理cosB=得：a2+c2﹣ac﹣4=0，又a2+c2≥2ac，代入上式得：ac≤4（当且仅当a=c=2时等号成立），=acsinB=ac≤（当且仅当a=c=2时等号成立），∴S△ABC的最大值为．则S△ABC18．（12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，FC⊥平面ABCD，AE⊥BD，CB=CD=CF=1，（1）求证：BD⊥平面AED；（2）求B到平面FDC的距离．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，∴∠ADC=∠BCD=120°．又CB=CD，∴∠CDB=30°，∴∠ADB=90°，AD⊥BD，又AE⊥BD且，AE∩AD=A，AE，AD⊂平面AED，∴BD⊥平面AED；解：（2）设点B到平面FDC的距离为h，=V B﹣FDC，∴则V F﹣CDB∵，∴h=．19．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a n+1=S n+1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=2log2a n+1﹣1，①若数列的前n项和为；②求数列{a n b n}的前n项和为M n．【解答】解：（1）∵a1=1，a n+1=S n+1，=S n+1+1，∴a n+2=a，=2a n+1，即a n+2∴，∴数列{a n}是首项为1，公比为2的等比数列，∴．（2）∵，∴b n=2log2a n+1﹣1=2n﹣1．①∵b n=2n﹣1，∴==，∴T n=（1﹣+…+）=．②∵，b n=2n﹣1，∴a n b n=（2n﹣1）•2n﹣1，∴M n=1×20+3×2+5×22+…+（2n﹣1）×2n﹣1，①2M n=1×2+3×22+5×23+…+（2n﹣1）×2n，②①﹣②，得﹣M n=1+2（2+22+23+…+2n﹣1）﹣（2n﹣1）•2n=1+2×﹣（2n﹣1）•2n=1+2•2n﹣4﹣（2n﹣1）•2n=﹣3﹣（2n﹣3）•2n，∴M n=3+（2n﹣3）•2n．20．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1=AC=2，BC=1，E、F分别为A1C1、BC的中点．（1）求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；（2）求证：C1F∥平面ABE；（3）求三棱锥E﹣ABC的体积．【解答】解：（1）证明：∵三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直于底面，∴BB1⊥AB，∵AB⊥BC，BB1∩BC=B，BB1，BC⊂平面B1BCC1，∴AB⊥平面B1BCC1，∵AB⊂平面ABE，∴平面ABE⊥平面B1BCC1；（Ⅱ）证明：取AB中点G，连接EG，FG，则∵F是BC的中点，∴FG∥AC，FG=AC，∵E是A1C1的中点，∴FG∥EC1，FG=EC1，∴四边形FGEC1为平行四边形，∴C1F∥EG，∵C1F⊄平面ABE，EG⊂平面ABE，∴C1F∥平面ABE；（3）解：∵AA1=AC=2，BC=1，AB⊥BC，∴AB=，=S△ABC•AA1=×（××1）×2=．∴V E﹣ABC21．（12分）已知函数f（x）=x3+2x2+ax+b，g（x）=e x（cx+d），且函数f（x）的导函数为f′（x），若曲线f（x）和g（x）都过点A（0，2），且在点A 处有相同的切线y=4x+2．（Ⅰ）求a，b，c，d的值；（Ⅱ）若x≥﹣2时，mg（x）≥f′（x）+2恒成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（I）由已知得f（0）=2，g（0）=2，f'（0）=4，g'（0）=4，而f'（x）=x2+4x+a，g'（x）=e x（cx+d+c）故b=2，d=2，a=4，c=2…（4分）（Ⅱ）令φ（x）=2me x（x+1）﹣x2﹣4x﹣2，则φ'（x）=2me x（x+2）﹣2x﹣4=2（x+2）（me x﹣1）因φ（0）≥0，则m≥1令φ'（x）=0得x1=﹣lnm，x2=﹣2…（6分）（1）若1≤m＜e2，则﹣2＜x1≤0，从而x∈（﹣2，x1）时φ'（x）＜0；当x∈（x1，+∞）时φ'（x）＞0，即φ（x）在（﹣2，x1）单调递减，在（x1，+∞）单调递增，故φ（x）在[﹣2，+∞）的最小值φ（x1），故当x≥﹣2时φ（x）≥0，即mg（x）≥f'（x）+2恒成立．…（8分）（2）若m=e2，则φ'（x）=2e2（x+2）（e x﹣e﹣2），从而当x≥﹣2时φ'（x）≥0，即φ（x）在[﹣2，+∞）单调递增，而φ（﹣2）=0，故当x≥﹣2时φ（x）≥0，即mg（x）≥f'（x）+2恒成立．（3）若m＞e2，则φ（﹣2）=﹣2me﹣2+2=﹣2e﹣2（m﹣e2）＜0，从而当x≥﹣2时，mg（x）≥f'（x）+2不可能恒成立．…（11分）综上：m的取值范围是[1，e2]…（12分）请在第22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）选修4﹣1：几何证明选讲．如图，AB是⊙O的一条切线，切点为B，ADE、CFD、CGE都是⊙O的割线，已知AC=AB．证明：（1）AD•AE=AC2；（2）FG∥AC．【解答】证明：（1）∵AB是⊙O的一条切线，切点为B，ADE，CFD，CGE都是⊙O的割线，∴AB2=AD•AE，∵AB=AC，∴AD•AE=AC2．（2）由（1）有=，∵∠EAC=∠DAC，∴△ADC∽△ACE，∴∠ADC=∠ACE，∵∠ADC=∠EGF，∴∠EGF=∠ACE，∴GF∥AC．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．已知曲线C的参数方程为（θ为参数），在同一平面直角坐标系中，将曲线C上的点按坐标变换得到曲线C′．（1）求曲线C′的普通方程；（2）若点A在曲线C′上，点B（3，0），当点A在曲线C′上运动时，求AB中点P的轨迹方程．【解答】解：（1）将代入，得C'的参数方程为∴曲线C'的普通方程为x2+y2=1．…（5分）（2）设P（x，y），A（x0，y0），又B（3，0），且AB中点为P所以有：又点A在曲线C'上，∴代入C'的普通方程得（2x﹣3）2+（2y）2=1∴动点P的轨迹方程为．…（10分）【选修4-5：不等式选讲】24．（选做题）已知f（x）=|x+1|+|x﹣1|，不等式f（x）＜4的解集为M．（1）求M；（2）当a，b∈M时，证明：2|a+b|＜|4+ab|．【解答】（Ⅰ）解：f（x）=|x+1|+|x﹣1|=当x＜﹣1时，由﹣2x＜4，得﹣2＜x＜﹣1；当﹣1≤x≤1时，f（x）=2＜4；当x＞1时，由2x＜4，得1＜x＜2．所以M=（﹣2，2）．…（5分）（Ⅱ）证明：当a ，b ∈M ，即﹣2＜a ，b ＜2，∵4（a +b ）2﹣（4+ab ）2=4（a 2+2ab +b 2）﹣（16+8ab +a 2b 2）=（a 2﹣4）（4﹣b 2）＜0，∴4（a +b ）2＜（4+ab ）2， ∴2|a +b |＜|4+ab |．…（10分）赠送—高中数学知识点【2.1.1】指数与指数幂的运算 （1）根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n a n 是偶数时，正数a 的正的n n a 表示，负的n 次方根用符号n a -0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n a n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：()n n a a =；当n 为奇数时，nn a a =；当n 为偶数时，(0)|| (0) nn a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩．（2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,mn m na a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 11()()0,,,m m m nn n aa m n N a a-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)rsr sa a aa r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)r r rab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质 （4）指数函数 函数名称指数函数定义函数(0xy a a =>且1)a ≠叫做指数函数图象1a >01a <<定义域R值域 (0,)+∞过定点 图象过定点(0,1)，即当0x =时，1y =．奇偶性 非奇非偶单调性在R 上是增函数在R 上是减函数函数值的 变化情况1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x >>==<< 1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x <>==>< a 变化对 图象的影响 在第一象限内，a 越大图象越高；在第二象限内，a 越大图象越低．〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫xa y =xy(0,1)O1y =xa y =xy (0,1)O 1y =做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a MM N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a Na N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质（5）对数函数函数 名称 对数函数定义函数log (0a y x a =>且1)a ≠叫做对数函数图象1a >01a <<定义域 (0,)+∞ 值域 R过定点 图象过定点(1,0)，即当1x =时，0y =．奇偶性 非奇非偶单调性在(0,)+∞上是增函数在(0,)+∞上是减函数x yO(1,0)1x =log a y x=xyO (1,0)1x =log a y x=函数值的变化情况log0(1)log0(1)log0(01)aaax xx xx x>>==<<<log0(1)log0(1)log0(01)aaax xx xx x<>==><<a变化对图象的影响在第一象限内，a越大图象越靠低；在第四象限内，a越大图象越靠高．。
宁夏银川市唐徕回民中学2018-2019学年高二下学期期中考试数学(理)试卷Word版含解析
宁夏银川市唐徕回民中学2018-2019学年下学期期中考试高二数学（理）试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数z满足iz=2，其中i为虚数单位，则z等于（）A．﹣2i B．2i C．﹣2 D．22．（理）积分（x2+sinx）dx=（）A．B．C．1 D．3．设（x）=xlnx，若f′（x0）=2，则x0=（）A．e2 B．ln2 C．D．e4．设P（1，f（1））是曲线C：f（x）=x2+2x+3上的一点，则曲线C过点P的切线方程是（）A．4x﹣y+10=0 B．4x﹣y+2=0 C．x﹣4y+10=0 D．x﹣4y+2=05．设f′（x）是函数f（x）的导函数，y=f′（x）的图象如图所示，则y=f（x）的图象最有可能的是（）A．B．C．D．6．设函数f（x）=xe x，则（）A．x=1为f（x）的极大值点B．x=1为f（x）的极小值点C．x=﹣1为f（x）的极大值点D．x=﹣1为f（x）的极小值点7．现有3名老师，8名男生和5名女生共16人，若需1名老师和1名学生参加，则不同的选法种数为（）A．39种B．24种C．15种D．16种8．（2x﹣）4的展开式中的常数项为（）A．6 B．﹣6 C．24 D．﹣249．观察下列各式：a+b=1，a2+b2=3，a3+b3=4，a4+b4=7，a5+b5=11，…，则a10+b10=（）A．28 B．76 C．123 D．19910．已知，P（A）=0.3，P（B|A）=0.4，P（A|B）=0.2，则P（A+B）=（）（其中P（A+B）=P（A）+P（B）﹣P（AB））A．0.90 B．0.78 C．0.60 D．0.4011．用数学归纳法证明：1﹣+﹣+…+﹣=++…+（n∈N*）时，在第二步证明从n=k到n=k+1成立时，左边增加的项数是（）A．1项B．2项C．3项D．4项12．设某批产品合格率为，不合格率为，现对该产品进行测试，设第ε次首次取到正品，则P（ε=3）等于（）A．C32（）2×（）B．C32（）2×（）C．（）2×（）D．（）2×（）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．由曲线y=cosx，x=，x=，y=0围成的封闭图形的面积为．14．设z=（i是虚数单位），则z的共轭复数对应的点位于第象限．15．已知实数a＞0且a≠1，函数f（x）=，若数列{a n}满足a n=f（n）（n∈N*），且{a n}是等差数列，则a=，b=．16．甲罐中有3个红球、2个白球，乙罐中有4个红球、1个白球，先从甲罐中随机取出一个球放入乙罐，分别以A1、A2表示由甲罐中取出的球是红球、白球的事件，再从乙罐中随机取出1球以B表示从乙罐中取出的球是红球的事件，则有：①P（B）=②事件B与事件A1相互独立③A1、A2互斥④P（B）的值不能确定，因为它与A1、A2中究竟哪一个发生有关正确的序号为．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）（2015春•银川校级期中）（本题用数字作答）（1）5人排成一排照相，①甲、乙、丙排在一起，共有多少种排法？②甲、乙之间恰有2人，共有多少种排法？（2）4女2男选出2人，①女生2人，男生2人，再安排4人不同的工作，共有多少种不同的方法？②至少有一女共有多少种选法？③男女都有共有多少种不同选法？18．（12分）（2015春•银川校级期中）关于△ABC有如下命题：在正三角形ABC内部（不包括边界）任取一点P，P点到三边的距离分别为h1，h2，h3，则h1+h2+h3为定值，证明如下：连接PB、PC、PA，设△PBC、△PCA、△PAB的面积分别为S1，S2，S3，△ABC的面积为S，则有：S=S1+S2+S3⇒h=h1+h2+h3（其中h 为△ABC的高），根据上述思维猜想在正四面体（四个面均为正三角形的三棱锥）中的结论，并对猜想进行证明．19．（12分）（2015春•银川校级期中）已知函数f（x）=x4﹣3x2+6，（1）求f（x）的极值；（2）当x∈[，]时，求函数的最大值．20．（12分）（2015春•银川校级期中）现有3位老师去参加学校组织的春季娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供选择，为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏，且每个人参加游戏互不影响，设X表示参加甲游戏的人数，求随机变量X的分布列．21．（12分）（2015春•银川校级期中）已知函数f（x）=e x﹣2x+a有零点，求a的取值范围．22．（12分）（2015春•银川校级期中）设sinα是sinθ，cosθ的等差中项，sinβ是sinθ，cosθ的等比中项，求证：cos4β﹣4cos4α=3．宁夏银川市唐徕回民中学2018-2019学年下学期期中考试高二数学（理）试卷参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数z满足iz=2，其中i为虚数单位，则z等于（）A．﹣2i B．2i C．﹣2 D．2考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则即可得出．解答：解：∵iz=2，∴﹣i•iz=﹣2i，∴z=﹣2i．故选：A．点评：本题考查了复数的运算法则，属于基础题．2．（理）积分（x2+sinx）dx=（）A．B．C．1 D．考点：定积分．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：根据积分计算公式，求出被积函数x2+sinx的原函数，再根据微积分基本定理加以计算，即可得到本题答案．解答：解：根据题意，可得（x2+sinx）dx=（x3﹣cosx）=（•13﹣cos1）﹣[•（﹣1）3﹣cos（﹣1）]=﹣cos1++cos1=．故选：B点评：本题求一个函数的原函数并求定积分值，考查定积分的运算和微积分基本定理等知识，属于基础题．3．设（x）=xlnx，若f′（x0）=2，则x0=（）A．e2 B．ln2 C．D．e考点：导数的运算；函数的零点．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：由题意求导f′（x）=lnx+1，从而得lnx0+1=2；从而解得．解答：解：∵f′（x）=lnx+1；故f′（x0）=2可化为lnx0+1=2；故x0=e；故选D．点评：本题考查了导数的求法及应用，属于基础题．4．设P（1，f（1））是曲线C：f（x）=x2+2x+3上的一点，则曲线C过点P的切线方程是（）A．4x﹣y+10=0 B．4x﹣y+2=0 C．x﹣4y+10=0 D．x﹣4y+2=0考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：由题意可得曲线C过点P的切线以点P为切点，从而利用导数求切线的斜率，从而解得．解答：解：∵f（x）=x2+2x+3是二次函数，且P（1，f（1））是其图象上的一点，∴曲线C过点P的切线以点P为切点；又∵f′（x）=2x+2，∴切线的斜率k=f′（1）=2+2=4，又∵f（1）=1+2+3=6；故切线方程为y﹣6=4（x﹣1），即4x﹣y+2=0；故选：B．点评：本题考查了导数的几何意义的应用及二次函数的性质应用，属于中档题．5．设f′（x）是函数f（x）的导函数，y=f′（x）的图象如图所示，则y=f（x）的图象最有可能的是（）A．B．C．D．考点：函数的单调性与导数的关系．专题：压轴题；数形结合．分析：先根据导函数的图象确定导函数大于0 的范围和小于0的x的范围，进而根据当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减确定原函数的单调增减区间．解答：解：由y=f'（x）的图象易得当x＜0或x＞2时，f'（x）＞0，故函数y=f（x）在区间（﹣∞，0）和（2，+∞）上单调递增；当0＜x＜2时，f'（x）＜0，故函数y=f（x）在区间（0，2）上单调递减；故选C．点评：本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．6．设函数f（x）=xe x，则（）A．x=1为f（x）的极大值点B．x=1为f（x）的极小值点C．x=﹣1为f（x）的极大值点D．x=﹣1为f（x）的极小值点考点：利用导数研究函数的极值．专题：导数的概念及应用．分析：由题意，可先求出f′（x）=（x+1）e x，利用导数研究出函数的单调性，即可得出x=﹣1为f（x）的极小值点解答：解：由于f（x）=xe x，可得f′（x）=（x+1）e x，令f′（x）=（x+1）e x=0可得x=﹣1令f′（x）=（x+1）e x＞0可得x＞﹣1，即函数在（﹣1，+∞）上是增函数令f′（x）=（x+1）e x＜0可得x＜﹣1，即函数在（﹣∞，﹣1）上是减函数所以x=﹣1为f（x）的极小值点故选：D点评：本题考查利用导数研究函数的极值，解题的关键是正确求出导数及掌握求极值的步骤，本题是基础题，7．现有3名老师，8名男生和5名女生共16人，若需1名老师和1名学生参加，则不同的选法种数为（）A．39种B．24种C．15种D．16种考点：排列、组合及简单计数问题．专题：排列组合．分析：先从3名老师选1名共有3种方法，再从13名学生中选一名共有13种选法，根据分步计数原理即可解决．解答：解：先从3名老师选1名共有3种方法，再从13名学生中选一名共有13种选法，根据分步计数原理，不同的选法有3×13=39种，故选：A．点评：本题考查了分步计数原理，关键是分步，属于基础题．8．（2x﹣）4的展开式中的常数项为（）A．6 B．﹣6 C．24 D．﹣24考点：二项式定理的应用．专题：二项式定理．分析：由题意可得，二项展开式的通项为T r+1=（2x）4﹣r（﹣）r，令x的幂指数为0，求出r代入即可．解答：解：由题意可得，二项展开式的通项为T r+1=（2x）4﹣r（﹣）r=（﹣1）r•24﹣r x4﹣2r令4﹣2r=0可得r=2∴T3=4×=24展开式中的常数项为24．故选：C．点评：本题主要考查了二项展开式的通项的应用，解题的关键是熟练应用通项，属于基础试题．9．观察下列各式：a+b=1，a2+b2=3，a3+b3=4，a4+b4=7，a5+b5=11，…，则a10+b10=（）A．28 B．76 C．123 D．199考点：归纳推理．专题：阅读型．分析：观察可得各式的值构成数列1，3，4，7，11，…，所求值为数列中的第十项．根据数列的递推规律求解．解答：解：观察可得各式的值构成数列1，3，4，7，11，…，其规律为从第三项起，每项等于其前相邻两项的和，所求值为数列中的第十项．继续写出此数列为1，3，4，7，11，18，29，47，76，123，…，第十项为123，即a10+b10=123，．故选C．点评：本题考查归纳推理，实际上主要为数列的应用题．要充分寻找数值、数字的变化特征，构造出数列，从特殊到一般，进行归纳推理．10．已知，P（A）=0.3，P（B|A）=0.4，P（A|B）=0.2，则P（A+B）=（）（其中P（A+B）=P（A）+P（B）﹣P（AB））A．0.90 B．0.78 C．0.60 D．0.40考点：条件概率与独立事件．专题：计算题；概率与统计．分析：利用条件概率公式，求出P（AB），P（B），利用P（A+B）=P（A）+P（B）﹣P（AB），即可得出结论．解答：解：∵P（A）=0.3，P（B|A）=0.4，∴P（AB）=P（B|A）P（A）=0.12，∵P（A|B）=0.2，∴P（B）=0.6，∴P（A+B）=P（A）+P（B）﹣P（AB）=0.3+0.6﹣0.12=0.78，故选：B．点评：本题考查条件概率，考查学生的计算能力，正确运用条件概率公式是关键．11．用数学归纳法证明：1﹣+﹣+…+﹣=++…+（n∈N*）时，在第二步证明从n=k到n=k+1成立时，左边增加的项数是（）A．1项B．2项C．3项D．4项考点：数学归纳法．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：当n=k成立，1﹣+﹣+…+﹣，当n=k+1时，写出对应的关系式，观察计算即可．解答：解：在用数学归纳法证明：左侧：1﹣，在第二步证明时，假设n=k时成立，左侧：1﹣+﹣+…+﹣，则n=k+1成立时，左侧：1﹣+﹣+…+﹣+，∴左边增加的项数是2．故选：B．点评：本题考查数学归纳法，考查n=k到n=k+1成立时左边项数的变化情况，考查理解与应用的能力，属于中档题．12．设某批产品合格率为，不合格率为，现对该产品进行测试，设第ε次首次取到正品，则P（ε=3）等于（）A．C32（）2×（）B．C32（）2×（）C．（）2×（）D．（）2×（）考点：n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．专题：计算题．分析：根据题意，P（ε=3）即第3次首次取到正品的概率，若第3次首次取到正品，即前两次取到的都是次品，第3次取到正品，由相互独立事件的概率计算可得答案．解答：解：根据题意，P（ε=3）即第3次首次取到正品的概率；若第3次首次取到正品，即前两次取到的都是次品，第3次取到正品，则P（ε=3）=（）2×（）；故选C．点评：本题考查相互独立事件的概率计算，解题的关键在于正确理解P（ε=3）的意义．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．由曲线y=cosx，x=，x=，y=0围成的封闭图形的面积为2．考点：定积分的简单应用．专题：导数的综合应用．分析：首先利用定积分表示封闭图形的面积，然后计算．解答：解：曲线y=cosx，x=，x=，y=0围成的封闭图形的面积为：=2；故答案为：2．点评：本题考查了利用定积分求封闭图形的面积；关键是利用定积分正确表示面积；注意积分的上限和下限．14．设z=（i是虚数单位），则z的共轭复数对应的点位于第四象限．考点：复数的代数表示法及其几何意义．专题：数系的扩充和复数．分析：根据复数的概念以及复数的几何意义进行判断．解答：解：z===1+i，则z的共轭复数=1﹣i，对应的点的坐标为（1，﹣1），位于第四象限，故答案为：四．点评：本题主要考查复数的基本运算和复数的几何意义，比较基础．15．已知实数a＞0且a≠1，函数f（x）=，若数列{a n}满足a n=f（n）（n∈N*），且{a n}是等差数列，则a=2，b=0．考点：分段函数的应用．专题：函数的性质及应用；等差数列与等比数列．分析：由条件得到a n=，根据等差数列的定义，即可得到a2﹣a=a，3a+b﹣a2=a，求出a，b 即可．解答：解：∵函数f（x）=，∴a n=，∴a1=a，a2=a2，a3=3a+b，a4=4a+b，a5=5a+b，…，a n=na+b，∵{a n}是等差数列，∴a2﹣a=a，即有a=0（舍去）或2，∴3a+b﹣a2=a，即b=0，故答案为：2，0．点评：本题考查函数与数列的关系，考查等差数列的定义，考查基本的运算能力，是一道基础题．16．甲罐中有3个红球、2个白球，乙罐中有4个红球、1个白球，先从甲罐中随机取出一个球放入乙罐，分别以A1、A2表示由甲罐中取出的球是红球、白球的事件，再从乙罐中随机取出1球以B表示从乙罐中取出的球是红球的事件，则有：①P（B）=②事件B与事件A1相互独立③A1、A2互斥④P（B）的值不能确定，因为它与A1、A2中究竟哪一个发生有关正确的序号为①③．考点：相互独立事件；命题的真假判断与应用．专题：概率与统计．分析：根据已知求出P（B），可判断①④；分析事件B与事件A1是否相互独立，可判断②；根据互斥事件的概念，可判断③．解答：解：∵罐中有3个红球、2个白球，乙罐中有4个红球、1个白球，先从甲罐中随机取出一个球放入乙罐，分别以A1、A2表示由甲罐中取出的球是红球、白球的事件，再从乙罐中随机取出1球，以B表示从乙罐中取出的球是红球的事件，则P（B）=P（A1|B）+P（A2|B）=×+×=，故①正确，④错误；事件B与事件A1不相互独立，故②错误；A1、A2不可能同时发生，故彼此互斥，故③正确；故正确命题的序号为：①③，故答案为：①③点评：本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了条件概率，相互独立事件，互斥事件，难度中档．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）（2015春•银川校级期中）（本题用数字作答）（1）5人排成一排照相，①甲、乙、丙排在一起，共有多少种排法？②甲、乙之间恰有2人，共有多少种排法？（2）4女2男选出2人，①女生2人，男生2人，再安排4人不同的工作，共有多少种不同的方法？②至少有一女共有多少种选法？③男女都有共有多少种不同选法？考点：排列、组合及简单计数问题．专题：应用题；排列组合．分析：利用排列、组合知识，分别求解即可得出结论．解答：解：（1）①甲、乙、丙排在一起，利用捆绑法，共有A33A33=36种排法；②甲、乙之间恰有2人，共有A22A32A22=24种排法；（2）4女2男选出2人，①女生2人，男生2人，再安排4人不同的工作，先选后排，共有C42C22A44=144种不同的方法；②至少有一女共有C41C21+C42C20=14种选法；③男女都有共有C41C21=8种不同选法．点评：本题考查排列、组合知识，考查学生的计算能力，比较基础．18．（12分）（2015春•银川校级期中）关于△ABC有如下命题：在正三角形ABC内部（不包括边界）任取一点P，P点到三边的距离分别为h1，h2，h3，则h1+h2+h3为定值，证明如下：连接PB、PC、PA，设△PBC、△PCA、△PAB的面积分别为S1，S2，S3，△ABC的面积为S，则有：S=S1+S2+S3⇒h=h1+h2+h3（其中h 为△ABC的高），根据上述思维猜想在正四面体（四个面均为正三角形的三棱锥）中的结论，并对猜想进行证明．考点：归纳推理．专题：推理和证明．分析：由平面图形的性质向空间物体的性质进行类比时，常用的思路有：由平面图形中点的性质类比推理出空间里的线的性质，由平面图形中线的性质类比推理出空间中面的性质，由平面图形中面的性质类比推理出空间中体的性质．固我们可以根据已知中平面几何中，关于线的性质“正三角形内任意一点到三边距离之和是一个定值”，推断出一个空间几何中一个关于面的性质解答：解：类比在正三角形ABC内部（不包括边界）任取一点P，P点到三边的距离分别为h1，h2，h3，则h1+h2+h3为定值，可得：P是棱长为a的空间正四面体ABCD内的一点，则P点到四个面的距离之和h1+h2+h3+h4为定值，如图：连接PA，PB，PC，PD，则三棱锥P﹣ABC，P﹣ABD，P﹣ACD，P﹣BCD的体积分别为：V1，V2，V3，V4，由棱长为a可以得到BF=a，BE=BF=a，在直角三角形ABE中，根据勾股定理可以得到AE2=AB2﹣BE2，即AE=a，即h=a，（其中h为正四面体A﹣BCD的高），故正四面体的体积V=××a=，正四面体的四个面△ABC，△ACD，△ABD，△BCD的面积均为，则V=V1+V2+V3+V4=（h1+h2+h3+h4），解得：h1+h2+h3+h4=a，∴即P是棱长为a的空间正四面体ABCD内的一点，则P点到四个面的距离之和h1+h2+h3+h4为定值a．点评：本题考查的知识点是类比推理，类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．19．（12分）（2015春•银川校级期中）已知函数f（x）=x4﹣3x2+6，（1）求f（x）的极值；（2）当x∈[，]时，求函数的最大值．考点：利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．分析：（1）先求导，再令导数等于0，判断函数的单调区间，得到函数的极值；（2）由（1）可知，函数f（x）在（﹣，0）单调递增，在（0，）上单调递减，即可求出函数的最大值．解答：解：（1）f（x）=x4﹣3x2+6，∴f′（x）=4x3﹣6x，令f′（x）=0，解得x=0，或x=，或x=﹣，当f′（x）＞0，解得﹣＜x＜0，或x＞，函数f（x）单调递增，当f′（x）＜0，解得x＜﹣，或0＜x＜，函数f（x）单调递减，∴当x=±时，函数有极小值，极小值为f（±）=，当x=0时，函数有极大值；极大值为f（0）=6．（2）由（1）可知，函数f（x）在（﹣，0）单调递增，在（0，）上单调递减，∴当x=0时，函数有极大值，也是最大值，∴f（x）max=f（0）=6．点评：本题考查了导数和函数恩对极值最值的关系，关键是判断函数的单调性，属于基础题．20．（12分）（2015春•银川校级期中）现有3位老师去参加学校组织的春季娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供选择，为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏，且每个人参加游戏互不影响，设X表示参加甲游戏的人数，求随机变量X的分布列．考点：离散型随机变量及其分布列．专题：应用题；概率与统计．分析：根据题意，求出某位教师参加甲游戏的概率P，得出X的可能取值，计算对应的概率，列出分布列即可．解答：解：由题意知，某位教师去参加甲游戏的概率为P==，且X的可能取值分别为0，1，2，3；所以，P（X=0）=••=，P（X=1）=••=，P（X=2）=•=P（X=3）=••=；所以X的分布列如下；X 0 1 2 3P点评：本题考查了离散型随机变量的分布列的应用问题，是基础题目．21．（12分）（2015春•银川校级期中）已知函数f（x）=e x﹣2x+a有零点，求a的取值范围．考点：利用导数研究函数的极值．专题：导数的综合应用．分析：先讨论函数的单调性，得出函数的最值，由函数的最大值大于或等于零（或函数的最小值小于或等于零）得出a的取值范围．解答：解：f′（x）=e x﹣2，可得f′（x）=0的根为x0=ln2，当x＜ln2时，f′（x）＜0，可得函数在区间（﹣∞，ln2）上为减函数；当x＞ln2时，f′（x）＞0，可得函数在区间（ln2，+∞）上为增函数，∴函数y=f（x）在x=ln2处取得极小值f（ln2）=2﹣2ln2+a，并且这个极小值也是函数的最小值，由题设知函数y=f（x）的最小值要小于或等于零，即2﹣2ln2+a≤0，可得a≤2ln2﹣2，故答案为：（﹣∞，2ln2﹣2]．点评：利用导数工具讨论函数的单调性，是求函数的值域和最值的常用方法，本题可以根据单调性，结合函数的图象与x轴交点，来帮助对题意的理解．22．（12分）（2015春•银川校级期中）设sinα是sinθ，cosθ的等差中项，sinβ是sinθ，cosθ的等比中项，求证：cos4β﹣4cos4α=3．考点：同角三角函数基本关系的运用．专题：证明题；等差数列与等比数列．分析：所证明的式子中不含角θ，因此先由已知，考虑将θ作为桥梁，沟通α，β，得出4sin2α﹣2sin2β=1．再由降幂公式证明等式左边等于右边即可．解答：证明：∵由题意，sinθ+cosθ=2sinα①，sinθ•cosθ=sin2β②，…（2分）∴①2﹣2×②消去θ得4sin2α﹣2sin2β=1③．…（5分）∴可得：4×﹣2×（）=1，解得：2cos2α=cos2β，即4cos22α=cos22β，∴等式左边=2cos22β﹣1﹣4（2cos22α﹣1）=8cos22α﹣1﹣8cos22α+4=3=右边，故得证．点评：本题考查三角函数恒等式的证明，要求灵活运用同角三角函数间的基本关系，以及二倍角的正弦、余弦函数公式化简求值，考查了减元，转化思想，属于中档题．。
宁夏银川市唐徕回民中学高二数学上学期期末试卷 理(含
宁夏银川市唐徕回民中学2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（理科）一、选择题（每题5分，共60分）1．（5分）命题“设a、b、c∈R，若ac2＞bc2，则a＞b”的逆命题、否命题、逆否命题中真命题共有（）A．0个B．1个C．2个D．3个2．（5分）已知集合A，B，则“A⊆B”是“A∩B=A”的（）条件．A．充分不必要B．充要C．必要不充分D．既非充分又非必要3．（5分）命题“∀x＞1，log2x＞0”的否定形式是（）A．∃x0＞1，log2x≤0B．∃x0≤1，log2x≤0C．∀x＞1，log2x≤0D．∀x≤1，log2x＞04．（5分）直线y=x与曲线xy=1的交点坐标是（）A．（1，1）B．（1，1）和（﹣1，﹣1）C．（﹣1，﹣1） D．（0，0）5．（5分）椭圆方程为9x2+4y2=36，P为椭圆上任一点，F1，F2为焦点，则|PF1|+|PF2|=（）A．2 B．3 C．4 D．66．（5分）椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形，则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．7．（5分）双曲线焦点在y轴上，且a+c=9，b=3，则它的标准方程是（）A．B．C．D．8．（5分）已知F是抛物线y=x2的焦点，P是该抛物线上的动点，则线段PF中点的轨迹方程是（）A．x2=y﹣B．x2=2y﹣C．x2=2y﹣1 D．x2=2y﹣29．（5分）设P是△ABC所在平面内的一点，，则（）A．B．C．D．10．（5分）若=（1，5，﹣1），=（﹣2，3，5）且（）⊥（），则k=（）A．B．C．D．3511．（5分）若曲线y=ax2在点P（1，a）处的切线与直线2x+y﹣6=0平行，则a=（）A．B．1 C．D．﹣112．（5分）已知抛物线y2=mx与椭圆+=1有一个共同的焦点，则m=（）A．8 B．﹣8 C．8或﹣8 D．都不对二、填空题（每题5分，共20分）13．（5分）函数y=e的导函数是y′=．14．（5分）已知=（1﹣t，1﹣t，t），=（2，t，t），则|﹣|的最小值是．15．（5分）已知双曲线的离心率为2，焦点与椭圆的焦点相同，那么双曲线渐近线方程为．16．（5分）对任意实数x，（a2﹣1）x2+（a﹣1）x﹣1＜0都成立，则a的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）已知直线y=x+b是曲线y=lnx在点P（x0，y0）处的切线，（1）求切点P的坐标；（2）求b值．18．（12分）已知命题p：lg（x2﹣2x﹣2）≥0，命题q：x2＜16且x＞0，若p∧q为假，p∨q 为真，求实数x的取值范围．19．（12分）如图，平面直角坐标系中，动点P（x，y），PM⊥y轴，垂足为M，点N与点P 关于x轴对称，且•=4，（1）求动点P的轨迹方程；（2）若直线y=x﹣与上述曲线交于A，B两点，求|AB|．20．（12分）已知抛物线y2=2x，（1）设点A的坐标为，求抛物线上距离点A最近的点P的坐标及相应的距离|PA|；（2）在抛物线上求一点P，使P到直线x﹣y+3=0的距离最短，并求出距离的最小值．21．（12分）如图，在五面体ABCDEF中，FA⊥平面ABCD，AD∥BC∥FE，AB⊥AD，M为EC的中点，AF=AB=BC=FE=AD，（1）求异面直线BF与DE所成的角的大小；（2）证明平面AMD⊥平面CDE；（3）求二面角A﹣CD﹣E的余弦值．22．（12分）已知：P，Q是椭圆+=1（a＞b＞0）上两点，O为椭圆中心，OP⊥OQ，求证：（1）+=+；（2）O到直线PQ的距离为定值．宁夏银川市唐徕回民中学2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每题5分，共60分）1．（5分）命题“设a、b、c∈R，若ac2＞bc2，则a＞b”的逆命题、否命题、逆否命题中真命题共有（）A．0个B．1个C．2个D．3个考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；四种命题的真假关系；不等关系与不等式．专题：阅读型．分析：先看原命题，∵若ac2＞bc2，则c≠0，∴a＞b，由于等价命题同真同假，只要判断原命题和逆命题即可．解答：解：原命题：，∵若ac2＞bc2，则c≠0，∴a＞b，成立，由等价命题同真同假知其逆否命题也为真；逆命题：若a＞b，则ac2＞bc2，不正确，∵a＞b，∴关键是c是否为0，∴逆命题为假，由等价命题同真同假知否命题也为假，∴命题“设a、b、c∈R，若ac2＞bc2，则a＞b”的逆命题、否命题、逆否命题中有1个真命题．故选B点评：本题考查不等式的基本性质和等价命题．属于基础题．2．（5分）已知集合A，B，则“A⊆B”是“A∩B=A”的（）条件．A．充分不必要B．充要C．必要不充分D．既非充分又非必要考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据集合的关系，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．解答：解：由A∩B=A得A⊆B，即“A⊆B”是“A∩B=A”的充要条件，故选：B点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据集合关系是解决本题的关键．3．（5分）命题“∀x＞1，log2x＞0”的否定形式是（）A．∃x0＞1，log2x≤0B．∃x0≤1，log2x≤0C．∀x＞1，log2x≤0D．∀x≤1，log2x＞0考点：命题的否定．专题：简易逻辑．分析：命题是一个全称命题，把条件中的全称量词改为存在量词，结论的否定作结论即可得到它的否定，由此规则写出其否定即可．解答：解：命题“∀x＞1，log2x＞0”是一个全称命题，其否定是一个特称命题．故为：∃x0＞1，log2x≤0故选：A点评：本题考查命题否定，解题的关键是熟练掌握全称命题的否定的书写规则，本题易因为没有将全称量词改为存在量词而导致错误，学习时要注意准确把握规律．4．（5分）直线y=x与曲线xy=1的交点坐标是（）A．（1，1）B．（1，1）和（﹣1，﹣1）C．（﹣1，﹣1） D．（0，0）考点：曲线与方程．专题：综合题．分析：直接联立直线与曲线方程构成方程组求得交点坐标．解答：解：联立，解得或．∴直线y=x与曲线xy=1的交点坐标是（1，1）和（﹣1，﹣1）．故选：B．点评：本题考查了曲线与方程，考查了方程组的解法，是基础题．5．（5分）椭圆方程为9x2+4y2=36，P为椭圆上任一点，F1，F2为焦点，则|PF1|+|PF2|=（）A．2 B．3 C．4 D．6考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：通过将椭圆方程化为标准方程，利用定义直接可得结论．解答：解：∵椭圆方程为：9x2+4y2=36，∴椭圆的标准方程为：+=1，根据椭圆的定义可知|PF1|+|PF2|=2a=2=6，故选：D．点评：本题考查椭圆的定义，注意解题方法的积累，属于基础题．6．（5分）椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形，则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题．分析：由题意可得cos60°==，从而得到椭圆的离心率的值．解答：解：由题意可得cos60°==，∴椭圆的离心率是=，故选 B．点评：本题考查椭圆的标准方程，以及简单性质的应用，得到cos60°=，是解题的关键．7．（5分）双曲线焦点在y轴上，且a+c=9，b=3，则它的标准方程是（）A．B．C．D．考点：双曲线的标准方程．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设出双曲线方程，由a，b，c的关系，列方程，解出a，c，进而得到双曲线的方程．解答：解：设双曲线的方程为﹣=1（a＞0，b＞0）则b2=c2﹣a2=9，由a+c=9，即有c﹣a=1，解得c=5，a=4，则双曲线的方程为﹣=1．故选D．点评：本题考查双曲线的方程和性质，考查解方程的运算能力，属于基础题．8．（5分）已知F是抛物线y=x2的焦点，P是该抛物线上的动点，则线段PF中点的轨迹方程是（）A．x2=y﹣B．x2=2y﹣C．x2=2y﹣1 D．x2=2y﹣2考点：抛物线的简单性质．专题：计算题．分析：先把抛物线飞整理成标准方程，然后求得抛物线的焦点，设出P和Q的坐标，然后利用F和Q的坐标表示出P的坐标，进而利用抛物线方程的关系求得x和y的关系及Q的轨迹方程．解答：解：抛物线y=x2的标准方程是x2=4y，故F（0，1）．设P（x0，y0），PF的中点Q（x，y）∴⇒∴x02=4y0，即x2=2y﹣1．故选C点评：本题主要考查了抛物线的简单性质和求轨迹方程的问题．解题的关键是充分挖掘题设信息整理求得x和y的关系．9．（5分）设P是△ABC所在平面内的一点，，则（）A．B．C．D．考点：向量的加法及其几何意义；向量的三角形法则．专题：平面向量及应用．分析：根据所给的关于向量的等式，把等式右边二倍的向量拆开，一个移项一个和左边移来的向量进行向量的加减运算，变形整理，得到与选项中一致的形式，得到结果．解答：解：∵，∴，∴∴∴故选B．点评：本题考查了向量的加法运算和平行四边形法则，可以借助图形解答．向量是数形结合的典型例子，向量的加减运算是用向量解决问题的基础，要学好向量的加减运算．10．（5分）若=（1，5，﹣1），=（﹣2，3，5）且（）⊥（），则k=（）A．B．C．D．35考点：空间向量的数量积运算．专题：空间位置关系与距离．分析：利用向量垂直的性质求解．解答：解：∵=（1，5，﹣1），=（﹣2，3，5）且（）⊥（），∴=（k﹣2，5k+3，﹣k+5），=（7，﹣4，﹣16），∴（）•（）=7（k﹣2）﹣4（5k+3）﹣16（﹣k+5）=0，解得k=．故选：C．点评：本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量垂直的性质的合理运用．11．（5分）若曲线y=ax2在点P（1，a）处的切线与直线2x+y﹣6=0平行，则a=（）A．B．1 C．D．﹣1考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的概念及应用．分析：由求导公式函数的导数，与导数的几何意义和条件列出方程，求出a的值即可．解答：解：由题意得，y=ax2，则y′=2ax，因为在点P（1，a）处的切线与直线2x+y﹣6=0平行，所以2a=﹣2，解得a=﹣1，故选：D．点评：本题考查求导公式，以及导数的几何意义：过曲线上某点的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值．12．（5分）已知抛物线y2=mx与椭圆+=1有一个共同的焦点，则m=（）A．8 B．﹣8 C．8或﹣8 D．都不对考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：通过对m的正负进行分类讨论，结合焦点的概念计算即得结论．解答：解：椭圆+=1的焦点为（﹣2，0），（2，0），显然抛物线y2=mx的焦点在x轴上，当m＜0时，其焦点为（，0），∴=﹣2，即m=﹣8；当m＞0时，其焦点为（，0），∴=2，即m=8；综上所述，m=±8，故选：C．点评：本题考查椭圆与抛物线的焦点问题，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于基础题．二、填空题（每题5分，共20分）13．（5分）函数y=e的导函数是y′=（2x+2）e．考点：导数的运算．专题：导数的概念及应用．分析：求函数的导数，根据复合函数的导数公式，即可得到结论．解答：解：函数的f（x）的导数f′（x）=e•（x2+2x）′=（2x+2）e，故答案为：（2x+2）e．点评：本题主要考查导数的计算，要求熟练掌握常见函数的导数公式．14．（5分）已知=（1﹣t，1﹣t，t），=（2，t，t），则|﹣|的最小值是．考点：空间两点间的距离公式．专题：空间位置关系与距离．分析：求出空间距离的表达式，然后利用二次函数的最值求法即可．解答：解：∵=（1﹣t，1﹣t，t），=（2，t，t），∴﹣=（﹣1﹣t，1﹣2t，0）∴|﹣|===≥．故答案为：．点评：本题考查向量的模的求法，是基础题．解题时要认真审题，注意配方法的合理运用．15．（5分）已知双曲线的离心率为2，焦点与椭圆的焦点相同，那么双曲线渐近线方程为y=±x．考点：圆锥曲线的共同特征；双曲线的简单性质．专题：计算题．分析：先根据椭圆的方程求出焦点坐标，得到双曲线的c值，再由离心率求出a的值，最后根据b=得到b的值，可得到渐近线的方程．解答：解：∵椭圆的焦点为（4，0）（﹣4，0），故双曲线中的c=4，且满足=2，故a=2，b=，所以双曲线的渐近线方程为y=±=±x故答案为：y=x点评：本题主要考查圆锥曲线的基本元素之间的关系问题，同时双曲线、椭圆的相应知识也进行了综合性考查．16．（5分）对任意实数x，（a2﹣1）x2+（a﹣1）x﹣1＜0都成立，则a的取值范围是（﹣，1]．考点：二次函数的性质．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：讨论当a2﹣1=0，即a=±1，分别考虑a=1，a=﹣1，是否恒成立，再讨论当a2﹣1≠0时，由条件得，a2﹣1＜0且（a﹣1）2+4（a2﹣1）＜0，解出即可得到．解答：解：当a2﹣1=0，即a=±1，当a=1时，﹣1＜0恒成立，当a=﹣1时，﹣2x﹣1＜0不恒成立；当a2﹣1≠0时，由条件得，a2﹣1＜0且（a﹣1）2+4（a2﹣1）＜0，解得﹣1＜a＜1且﹣＜a＜1，则有﹣＜a＜1．综上，可得a的取值范围是：（﹣，1]．故答案为：（﹣，1]．点评：本题考查含参的二次不等式的恒成立问题，注意讨论二次项的系数是否为0，以及结合图象的开口方向和判别式小于0，同时考查二次不等式的解法，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）已知直线y=x+b是曲线y=lnx在点P（x0，y0）处的切线，（1）求切点P的坐标；（2）求b值．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的概念及应用．分析：（1）由求导公式求出函数的导数，由导数的几何意义和条件求出切点P的坐标；（2）将P的坐标（2，ln2）代入切线方程y=x+b，即可求出b的值．解答：解：（1）由题意得，，因为曲线y=lnx在点P（x0，y0）处的切线是y=x+b，所以，则x0=2，y0=ln2，则切点P的坐标（2，ln2）；（2）将P的坐标（2，ln2）代入切线方程y=x+b，有ln2=+b，则b=ln2﹣1．点评：本题考查求导公式，以及导数的几何意义：过曲线上某点的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，注意切点与曲线、切线的位置关系．18．（12分）已知命题p：lg（x2﹣2x﹣2）≥0，命题q：x2＜16且x＞0，若p∧q为假，p∨q 为真，求实数x的取值范围．考点：复合命题的真假．专题：简易逻辑．分析：通过解不等式分别求出p，q，￢p，￢q的x的范围，通过讨论p真q假，p假q 真，从而得到答案．解答：解：由x2﹣2x﹣2≥1，解得：x≥3或x≤﹣1，∴p：x≥3或x≤﹣1，￢p：﹣1＜x＜3，而q：0＜x＜4，￢q：x≤0或x≥4，若p∧q为假，p∨q为真，则p，q一真一假，p真q假时：，解得：x≥4或x≤﹣1，p假q真时：，解得：0＜x＜3，综上：x∈{x|0＜x＜3或x≤﹣1或x≥4}．点评：本题考查了复合命题真假的判断，本题属于基础题．19．（12分）如图，平面直角坐标系中，动点P（x，y），PM⊥y轴，垂足为M，点N与点P 关于x轴对称，且•=4，（1）求动点P的轨迹方程；（2）若直线y=x﹣与上述曲线交于A，B两点，求|AB|．考点：轨迹方程；平面向量数量积的运算．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）设出设点P的坐标，根据条件列方程，化简．（2）直线y=x﹣代入﹣=1可得x2﹣4x+16=0，利用韦达定理，结合先唱公式，即可得出结论．解答：解：（1）设点P（x，y），由已知M（0，y），N（x，﹣y）则•=（x，y）•（x，﹣2y）=x2﹣2y2=4，即﹣=1；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则直线y=x﹣代入﹣=1可得x2﹣4x+16=0，∴x1+x2=4，x1x2=16，∴|AB|=•=8．点评：本题考查轨迹方程，考查直线与双曲线的位置关系，考查韦达定理，正确求出轨迹方程是关键．20．（12分）已知抛物线y2=2x，（1）设点A的坐标为，求抛物线上距离点A最近的点P的坐标及相应的距离|PA|；（2）在抛物线上求一点P，使P到直线x﹣y+3=0的距离最短，并求出距离的最小值．考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）设抛物线上y2=2x上的点P（m，n），利用两点间的距离公式可求得|PA|2=+，（2）设P（x，y）为该抛物线上任一点，利用点到直线间的距离公式可求得点P到直线x ﹣y+3=0的距离d的关系式，并求得d min．解答：解：（1）设抛物线上y2=2x上的点P（m，n）（m≥0），则|PA|2=+n2=m2﹣m++2m=m2+m+=+，∵m≥0，∴当m=0时，|PA|2达到最小值，∴当点P的坐标为P（0，0）时，|PA|min=；（2）设P（x，y）为该抛物线上任一点，那么y2=2x，则点P到直线的距离d====≥，当且仅当y=1时，取“=”．此时点P（，1）．即抛物线上的点P的坐标为P（，1）时，点P到直线x﹣y+3=0的距离最短，最小值为．点评：本题考查抛物线的简单性质，左支考查点到直线间的距离公式与两点间的距离公式，属于中档题．21．（12分）如图，在五面体ABCDEF中，FA⊥平面ABCD，AD∥BC∥FE，AB⊥AD，M为EC的中点，AF=AB=BC=FE=AD，（1）求异面直线BF与DE所成的角的大小；（2）证明平面AMD⊥平面CDE；（3）求二面角A﹣CD﹣E的余弦值．考点：异面直线及其所成的角；平面与平面垂直的判定；与二面角有关的立体几何综合题．专题：空间位置关系与距离；空间角；立体几何．分析：（1）先将BF平移到CE，则∠CED（或其补角）为异面直线BF与DE所成的角，在三角形CED中求出此角即可；（2）欲证平面AMD⊥平面CDE，即证CE⊥平面AMD，根据线面垂直的判定定理可知只需证CE与平面AMD内两相交直线垂直即可，易证DM⊥CE，MP⊥CE；（3）设Q为CD的中点，连接PQ，EQ，易证∠EQP为二面角A﹣CD﹣E的平面角，在直角三角形EQP中求出此角即可．解答：（1）解：由题设知，BF∥CE，所以∠CED（或其补角）为异面直线BF与DE所成的角．设P为AD的中点，连接EP，PC．因为FE=∥AP，所以FA=∥EP，同理AB=∥PC．又FA⊥平面ABCD，所以EP⊥平面ABCD．而PC，AD都在平面ABCD内，故EP⊥PC，EP⊥AD．由AB⊥AD，可得PC⊥AD设FA=a，则EP=PC=PD=a，CD=DE=EC=，故∠CED=60°．所以异面直线BF与DE所成的角的大小为60°（2）证明：因为DC=DE且M为CE的中点，所以DM⊥CE．连接MP，则MP⊥CE．又MP∩DM=M，故CE⊥平面AMD．而CE⊂平面CDE，所以平面AMD⊥平面CDE．（3）解：设Q为CD的中点，连接PQ，EQ．因为CE=DE，所以EQ⊥CD．因为PC=PD，所以PQ⊥CD，故∠EQP为二面角A﹣CD﹣E的平面角．可得，．点评：本小题要考查异面直线所成的角、平面与平面垂直、二面角等基础知识，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想像能力、运算能力和推理论证能力．22．（12分）已知：P，Q是椭圆+=1（a＞b＞0）上两点，O为椭圆中心，OP⊥OQ，求证：（1）+=+；（2）O到直线PQ的距离为定值．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）通过设OP方程、OQ方程，分别与椭圆方程联立，利用两点间距离公式计算即得结论；（2）通过O到直线PQ的距离d即为△POQ斜边上的高，计算即得结论．解答：证明：（1）设OP方程为：y=kx（k≠0），则OQ方程为：y=﹣x，联立，可得：=，∴|OP|2=（1+k2）•=，同理可得：|OQ|2==，于是+===+；（2）O到直线PQ的距离d即为△POQ斜边上的高，∴d====（定值）．点评：本题考查椭圆的简单性质，涉及到两点间距离公式等基础知识，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．。
2018-2019宁夏银川高二上学期期末考试数学（文）试题
绝密★启用前宁夏银川一中2018-2019学年高二上学期期末考试数学（文)试题评卷人得分一、单选题1．复数满足（为虚数单位），则的虚部为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】分析：由已知等式变形得，再利用复数的四则运算法则求出z的代数形式，再写出虚部。
详解：由有，则z 的虚部为，故选B.点睛：本题主要考查了复数的四则运算以及复数的代数形式，属于容易题。
若复数，则复数的虚部为。
2．对于一组数据，如果将它们改变为，则下列结论正确的是（）A．平均数不变，方差变B．平均数与方差均发生变化C．平均数与方差均不变D．平均数变，方差保持不变【答案】D【解析】分析：先根据平均数的公式变化前后的平均数，再根据方差公式进行计算变化前后的方差，从而可得结果.详解：由平均数公式得，变化前的平均数为，变化后的平均数为；变化前方差，变化后方差可得平均数变，方差保持不变，故选D.点睛：本题考查了平均数和方差的公式，平均数是所有数据的和除以数据的个数，，方差是一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数.3．设实数a,b,c满足a+b+c=1,则a,b,c中至少有一个数不小于()A．0 B．13C．12D．1【答案】B【解析】∵三个数a，b，c的和为1，其平均数为1 3∴三个数中至少有一个大于或等于1 3假设a，b，c都小于13，则1a b c++<∴a，b，c中至少有一个数不小于1 3故选B.4．下列有关命题的说法正确的是()A．命题“若，则”的否命题为“若，则”B．“”是“”的必要不充分条件C．命题“，”的否定是“，”D．命题“若，则”的逆否命题为真命题【答案】D【解析】试题分析：根据否命题的概念可知选项A不正确，再由特称命题的否定为全称命题知选项C不正确，对于选项B，∵，∴x=-1或6，故“”是“”的充分不必要条件，不正确，故选D考点：本题考查了简易逻辑知识点评：近年全国和各省市高考对这部分内容的考查主要有：充分条件和必要条件的判断，四种命题的判断、全称命题、特称命题的否定等方面5．从2010名学生中选取50名学生参加数学竞赛，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2010人中剔除10人，剩下的2000人再按系统抽样的方法抽取50人，则在2010人中，每人入选的概率（）A．不全相等B．均不相等C ．都相等，且为D ．都相等，且为【答案】C【解析】试题分析：从人中剔除人，每人不被剔除的概率是，剩下的人抽取人，每人被抽到的概率是，因此在人中，每人入选的概率是，故选C.考点：抽样方法．6．根据如下样本数据得到的回归方程为，若=5.4，则x 每增加1个单位，估计y( )A ．增加0.9个单位B ．减少0.9个单位C ．增加1个单位D ．减少1个单位 【答案】B 【解析】由题意可得，，回归方程为，若，且回归直线过点，，解得每增加一个单位，就减少个单位，故选B.7．在区间[-1,1]上任选两个数x y 和，则221x y +≥的概率为（ ） A ．14π-B ．128π-C ．18π-D ．124π- 【答案】A【解析】由题意知，所有的基本事件构成的平面区域为()11,|{11x x y y -≤≤⎧⎫⎨⎬-≤≤⎩⎭，其面积为224=．设“在区间[-1,1]上任选两个数x y 和，则221x y +≥”为事件A ，则事件A包含的基本事件构成的平面区域为()2211,|{11 1x x y y x y -≤≤⎧⎫⎪⎪-≤≤⎨⎬⎪⎪+≥⎩⎭，其面积为224ππ-=-．由几何概型概率公式可得所求概率为()4144P A ππ-==-．选A ． 8．下列关于回归分析的说法中错误的是（ ） A ．回归直线一定过样本中心(),x yB ．残差图中残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适C ．两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好D ．甲、乙两个模型的2R 分别约为0.98和0.80，则模型乙的拟合效果更好 【答案】D【解析】对于A ，回归直线一定过样本中心，正确；对于B ，可用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适。