2013年高考数学(理科)一轮复习课件第29讲：函数 y=asin(ωx+φ)的图象
1．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象的两种作法是五 点作图法和图象变换法．
2．用“五点法”作函数 y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象，
π 3π 关键是点的选取，通常令 ωx＋φ 分别等于 0，2，π， 2 ，2π，求
应的 x，y，即可得到所画图象上关键点的坐标． 3．求一个关于 sinx、cosx 二次齐次式的周期、值域等问题时， 首先要降次化为 y＝Asin(ωx＋φ)函数问题．
1．把函数 解析式为( D )
π π 2x＋ 的图象向左平移 ，所得图象的函数 y＝sin 6 6
π A．y＝sin2x＋3
B．y＝－cos2x D．y＝cos2x
C．y＝sin2x
2．函数
π y＝3sin2x＋3的图象可以由函数
y＝3sin2x 的图象经
【互动探究】
1．要得到函数 y＝sinx 的图象，只需将函数 象( A ) π A．向右平移6个单位 π C．向左平移3个单位 π B．向右平移3个单位 π D．向左平移6个单位
π y＝cosx－3的图
考点2 根据三角函数图象求解析式
π ω＞0，|φ|＜ ， 例2：①(2011年辽宁)已知函数f(x)＝Atan(ωx＋φ) 2 π y＝f(x)的部分图象如图6－4－1，则f24＝( B )
期为π，为了得到函数g(x)＝cosx的图象，只要将y＝f(x)的图象 ( )
π π A．向左平移— 个单位长度 B．向右平移— 个单位长度 8 8 π π C．向左平移—个单位长度 D．向右平移—个单位长度 4 4
解析： 由题知 ω＝2， 所以
π π cos2x－4＝cos2x－8.
象的最高点和最低点，点 P 的坐标为(1，A)． (1)求 f(x)的最小正周期及φ的值； (2)若点 R 的坐标为(1,0)，
2π ∠PRQ＝ 3 ，求 A 的值．
图 6－4－3
2π 解析：(1)由题意得，T＝ π ＝6. 3 因为 P(1，A)在 所以
π y＝Asin3x＋φ的图象上，
∴sinα＝± 1－cos α＝±
2
9 4 1－25＝± . 5
【互动探究】 3．已知函数f(x)＝ 3sin2x＋2cos2x＋3. π (1)当x∈(0，2)时，求函数f(x)的值域； 28 π 5π π (2)若f(x)＝ 5 ，且x∈(6，12)，求cos(2x－12)的值．
解：(1)由已知 f(x)＝ 3sin2x＋2cos2x＋3 π ＝ 3sin2x＋cos2x＋4＝2sin2x＋6＋4. π π π 7π 当 x∈0，2时，2x＋6∈6， 6 ， π 1 则 sin2x＋6∈－2，1，故函数 f(x)的值域是(3,6]．
28 π 28 (2)由 f(x)＝ 5 ，得 2sin(2x＋6)＋4＝ 5 ， 即
π 4 sin2x＋6＝5， π 5π x∈6，12，所以 π 3 2x＋ ＝－ . cos 6 5
因为 故
π π π cos2x－12＝cos2x＋6－4
例 3： (2010 年广东)设函数 π ＋∞)，且以2为最小正周期． (1)求 f(0)； (2)求 f(x)的解析式； (3)已知
α π 9 f4＋12＝5，求
sinα 的值．
π 3 解析：(1)f(0)＝3sin0＋6＝2. π 2π π (2)∵T＝ ω ＝2，∴ω＝4.∴f(x)＝3sin4x＋6. α α π π π (3)f4＋12＝3sin44＋12＋6 π 9 3 ＝3sinα＋2＝5⇒cosα＝5，
3 C. 3
D．2－ 3
3.
图6－4－1
②已知 a 是实数，则函数 f(x)＝1＋asinax 的图象不可能是(
)
A
B
C
D
2π 解析：当振幅大于 1 时，三角函数的周期为 T＝ |a| ，∵|a|>1， ∴T<2π，而 D 不符合要求，它的振幅大于 1，但周期反而大于 2π.
答案：D
根据图象求函数的表达式时，一般先求周期、振 幅，最后求φ.最高(低)点决定着 A 的值，周期决定着ω的值，求
A．2＋ 3
B. 3
3π π π T π π 解析： 8 －8＝4＝2 ，∴T＝2＝ω，ω＝2，
3π 3π π ＝Atan ＋φ＝0，∴φ＝ . f 8 4 4 π f(0)＝Atan4＝1， π π π π ＝tan2× ＋ ＝tan ＝ ∴A＝1.f 24 24 4 3
4．正弦型函数问题往往转化为正弦函数问题，熟练掌握正弦 函数的图象和性质是学好本节的关键．
1．在进行图象变换时，通常是按先相位变换，再周期变换， 振幅变换的顺序可先可后．如果先进行周期变换再进行相位变换，
往往容易出错．
2．根据函数 y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象，利用“代点法”求
φ的值时，应尽量选择图象的最高点或最低点，选择函数值为零的
点要分清是第几个零点． 2 π 2 2 2x＋ · ＋sin2x＋ · ＝ ＝cos 6 2 6 2 10 .
考点4
函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的应用
π f(x)＝Asin 3x＋φ ，x∈R，
例 4：(2011 年浙江)已知函数
π A>0,0<φ<2.y＝f(x)的部分图象，如图 6－4－3，P，Q 分别为该图
图6－4－4
【互动探究】
4．如果函数
4π y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点 3 ，0中心对称，
那么|φ|的最小值为( A ) π A.6 π B.4 π C.3 π D.2
解析：∵函数
4π y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点 3 ，0中心对称，
4π π 13π π ∴2· ＋φ＝kπ＋2.∴φ＝kπ－ 6 (k∈Z)．由此易得|φ|min＝6. 3
y＝sin(－2x)
π π 解析：y＝sin－2x＋4＝sin－2x－8，只需将
π π 的图象向右平移8个单位，即可得到 y＝sin－2x＋4的图象．
三角函数图象进行平移变换时注意提取 x 的系数，
进行周期变换时，需要将 x 的系数变为原来的，要特别注意相位 变换，周期变换的顺序，顺序不同，其结果也不同．
过下列哪种变换得到( D ) π A．向右平移3个单位 π C．向左平移3个单位 3．函数 π B．向右平移6个单位 π D．向左平移6个单位 )
5 y＝sin2x＋2π的图象的一条对称轴为( A
π A．x＝－2
π B．x＝－4
π C．x＝8
5 D．x＝4π
4．函数
π y＝sin3x－4的图象的一个对称中心是( 7π B.－12，0 11π D. 12 ，0
B)
π A.－12，0 7π C.12，0
5． 函数
π 1 π 2 周期是___， π 频率是____， y＝2sin2x＋4的振幅是___，
1
1
π 4 初相是___.
考点1
三角函数的图象及变换
π 例1：①已知函数f(x)＝sinx＋4(x∈R，>0)的最小正周
π sin3＋φ＝1.
π 又因为 0<φ<2， π 所以 φ＝6.
(2)如图 6－4－4，设点 Q 的坐标为(x0，－A)． π π 3π 由题意可知3x0＋6＝ 2 ，得 x0＝4，所以 Q(4，－A)． 2π 连接 PQ，在△ PRQ 中，∠PRQ＝ 3 .由余弦定理得 RP2＋RQ2－PQ2 cos∠PRQ＝ 2RP· RQ A2＋9＋A2－9＋4A2 1 ＝ ＝2，解得 A2＝3. 2A· 9＋A2 又 A＞0，所以 A＝ 3.
1．函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象 一般地，函数y＝Asin(ωx＋φ)，(A>0，ω>0)，x∈R的图象可
以看作是用下面的方法得到的：先把 y＝sinx 的图象上所有的点向
左(φ>0)或向右(φ<0)平行移动|φ|个单位，再把所得各点的横坐标缩 1 短(ω>1)或伸长(0<ω<1)到原来的—倍(纵坐标不变)，再把所得各点 ω 的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0<A<1)到原来的 A 倍(横坐标不变)．
φ必须将点代入计算．
【互动探究】 2．已知函数 f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的图象如图6－4－2，则 3 ω ＝____. 2
图 6－4－2
4π 2π 4π 3 解析：由图象可得最小正周期为 3 ，∴T＝ ω ＝ 3 ⇒ω＝2.
考点3
函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质的应用
π f(x)＝3sinωx＋6， ω>0， x∈(－∞，
2．振幅、周期频率、相位 (1)当函数 y＝Asin(ωx＋φ)，(A>0，ω>0)，x∈[0，＋∞)表示
一个振动量时，A 就表示这个量振动时离开平衡位置的最大距离，
通常把它叫做这个振动的振幅．
2π (2)往复振动一次所需要的时间 T＝ ω 叫做振动的周期． 1 ω (3)单位时间内往复振动的次数 f＝T＝2π，叫做振动的频率． (4)ωx＋φ 叫做相位，φ 叫做初相(即当 x＝0 时的相位)．
π π π f(x)＝sin2x＋4＝cos2－2x＋4＝
答案：A
②要得到 ( D )
π y＝sin－2x＋4的图象，只需将
y＝sin(－2x)的图象
π A．向左平移4个单位 π C．向左平移8个单位
π B．向右平移4个单位 π D．向右平移8个单位
函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象
高考数学苏教版理科一轮复习配套课件3.4函数y=Asin(ωx+φ)的图像及三角函数模型的简单应用
函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图像及三角函数模型的简单应用
1．y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
y＝Asin(ωx＋ φ)(A>0，ω>0)， x∈[0，＋∞)表 示一个振动量
振幅
周期
频率
相位
初相
A
2π T＝ ω
1 ω ωx＋φ f＝T＝ 2π
φ
时
2．用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图 用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五 个关键点，如下表所示：
11π 5π 解析：由图知最小正周期 T＝2 － ＝π，∴ω＝2，将图像最高 12 12
5π 点的坐标 12，2代入
f(x)＝2sin(2x＋φ)， 得
π 答案：2－ 3
5π π sin 6 ＋φ ＝1， φ＝－ . 3
2．(2013· 苏北四市三调)若函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的 部分图像如图所示，则 ω 的值为________．
π 点”(即图像的“峰点”)时 ωx＋φ＝ ；“第三点”(即图像下降时与 x 2 轴的交点)时 ωx＋φ＝π；“第四点”(即图像的“谷点”)时 ωx＋φ＝ 3π ；“第五点”时 ωx＋φ＝2π. 2
[典例]
已知函数
1 π f(x)＝3sin2x－4 ，x∈R.
(1)画出函数 f(x)在长度为一个周期的闭区间上的简图；
(2)图像变换法： 由函数 y＝sin x 的图像通过变换得到 y＝Asin(ωx ＋ φ) 的图像，有两种主要途径“先平移后伸缩”与“先伸缩后平 移”．
(2)将函数 y＝sin x 的图像作怎样的变换可得到 f(x)的图像？
高考一轮复习理数课件第四章第四节函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用
(2)由题图可知 A＝ 2，
法一：T4＝71π2－π3＝π4，所以 T＝π，故 ω＝2，因此 f(x)＝
2sin(2x＋φ)，又π3，0对应五点法作图中的第三个点，因此
2×π3＋φ＝π，所以 φ＝π3，故 f(x)＝ 2sin2x＋π3.
法二：以π3，0为第二个“零点”，71π2，－
2为最小值点，
根据 tan A＝tan π6＝ 33＝CADD＝M3 ，得 M＝ 3，
∴f(x)＝
3sin
π 6x.
(2)将函数 f(x)＝
3sin
π 6x
的图象向左平移
1
个单位，纵坐标不
变，可得 y＝ 3sinπ6x＋1＝ 3sinπ6x＋π6的图象；再把横坐标伸长
为原来的π3倍，得到函数 g(x)＝ 3sinπ3·π6x＋π6＝ 3sin12x＋π6的图象．
(3)把 y＝sin x 的图象上所有的点向右平移π6个单位长度， 得到 y＝sinx－π6的图象，再把 y＝sinx－π6的图象上的点的 横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到 y＝sin2x－π6的 图象，最后把 y＝sin2x－π6上所有点的纵坐标伸长到原来的 5 倍(横坐标不变)，即可得到 y＝5sin2x－π6的图象．
4.[考点二、三](2017·银川二模)已知函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞ 0，ω＞0,0＜φ＜π)的图象与 x 轴的一个交点－1π2，0到其相邻 的一条对称轴的距离为π4，若 f1π2＝32，则函数 f(x)在0，π2上的 最小值为________．
解析：由题意得，函数 f(x)的最小正周期 T＝4×π4＝π＝2ωπ，解得 ω
[方法技巧]
三角函数图象变换的两个要点
主要有两种：先平移后伸缩；先伸缩后平移．值得注意
第一方案高三一轮复习(文理通用)第4章课件三角函数、解三角形第五节函数y=Asin(ωx φ)的图象及三角函数
•3．青岛第一海水浴场位于汇泉湾畔，拥有长 580米，宽40余米的沙滩，是亚洲较大的海水 浴场．这里三面环山，绿树葱茏，现代的高层 建筑与传统的别墅建筑巧妙地结合在一起，景 色非常秀丽．海湾内水清浪小，滩平坡缓，沙 质细软，自然条件极为优越．
•(2)白昼时间最长的一天，即f(t)取得最大值的 一天，此时t＝170，对应的是6月20日(闰年除 外12)月．2类(03日)f似(t)白>地10昼，.5，时t＝即间33s最5in33短2时6π5．(，t－f7(9t))＋取1得2>1最0.5小， 值，即
则 sin326π5(t－79)>－12，t∈[0,365]，
•3．在必修1中学过图象的变换，至此你总结 一下，一般地，如何由y＝f(x)的图象变换得到 y＝Af(ωx＋φ)的图象呢？
•提示：由y＝sinx的图象变换得到y＝Asin(ωx ＋φ)的图象的方法步骤具有一般性，完全推广 得到由y＝f(x)的图象变换得到y＝Af(ωx＋φ)的 图象．
3．函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象的对称问题
②五点法：确定 φ 值时，往往以寻找“五点法”中的第 一零点(－ωφ ，0)作为突破口，具体如下：
“第一点”(即图象上升时与 x 轴的交点)为 ωx＋φ＝0； “第二点”(即图象的“峰点”)为 ωx＋φ＝π2；“第三点”(即 图象下降时与 x 轴的交点)为 ωx＋φ＝π；“第四点”(即图象 的“谷点”)为 ωx＋φ＝32π；“第五点”为 ωx＋φ＝2π.
(1)求 A，b，确定函数的最大值 M 和最小值 m， 则 A＝M－2 m，b＝M＋2 m. (2)求 ω，确定函数的周期 T，则 ω＝2Tπ. (3)求 φ，常用方法有：
①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时，A，ω，b 已知)或代入图象与直线 y＝b 的交点求解．(此时要注意交点 在上升区间上还是在下降区间上)
高考数学一轮复习函数y=Asin(ωx+φ)与y=Acos(ωx+φ)的图象与性质(一) 复习讲义
第四节 函数y=Asin(ωx+φ)与y=Acos(ωx+φ)的图象与性质(一)一、y=Asin(ωx+ϕ)(A>0,ω>0)的有关概念二、用“五点法”作函数y=Asin(ωx+ϕ)(A>0,ω>0)的图象的一般步骤 1.定点:如表.2.作图,在坐标系中描出这五个关键点,用光滑的曲线顺次连接这些点,就得到y=Asin(ωx+ϕ)在一个周期内的图象.3.扩展:将所得图象,按周期向两侧扩展可得y=Asin(ωx+ϕ)在R 上的图象. 三、由函数y=sin x 的图象变换得到y=Asin(ωx+ϕ)(A>0,ω>0)的图象的步骤 法一法二1.法则理解(1)无论哪种变换,每一个变换总是针对“自变量x ”而言的. 即图象变换要看“自变量x ”发生什么变化,而不是看角“ωx+ϕ”的变化.(2)在图象变换时运用“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”两种途径,左右平移的单位长度个数是不一样的.前者平移|ϕ|个单位长度,后者平移|ϕω|个单位长度,原因在于相位变换和周期变换都是针对变量x 而言的,因此在用这样的变换法作图象时一定要注意平移与伸缩的先后顺序,否则会出现错误. (3)平移的法则是“左+右-,上+下-”.2.与确定解析式y=Asin(ωx+ϕ)+b 中参数相关的结论 (1)求ϕ①代入法.把图象上的一个已知点代入(此时A,ω,b 已知)或代入图象与直线y=b 的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上).②五点法.确定ϕ值时,往往寻找“五点法”中的第一个点为突破口,具体如下: 选“第一点”(即图象上升时与x 轴的交点)时,令ωx+ϕ=0; 选“第二点”(即图象的“峰点”)时,令ωx+ϕ=π2; 选“第三点”(即图象下降时与x 轴的交点)时,令ωx+ϕ=π; 选“第四点”(即图象的“谷点”)时,令ωx+ϕ=3π2; 选“第五点”时,令ωx+ϕ=2π. (2)求ω:因为T=2πω,所以求ω即求T.①图象上相邻的两个最高点(或最低点)之间的距离为T,相邻的一个最高点与最低点之间的距离是2T.②图象的相邻的对称轴(中心)之间的距离为2T,相邻的一个对称中心与对称轴之间的距离为2T.1.设函数f(x)=cos ωx(ω>0),将y=f(x)的图象向右平移π3个单位长度后,所得的图象与原图象重合,则ω的最小值等于( C )(A)13(B)3 (C)6 (D)9解析:由题意可知,nT=π3(n∈N*),所以n·2πω=π3(n∈N*),所以ω=6n(n∈N*),所以当n=1时,ω取得最小值6.故选C.2.为了得到函数y=sin(2x-π3)的图象,只需把函数y=sin(2x+π6)的图象( B )(A)向左平移π4个单位长度(B)向右平移π4个单位长度(C)向左平移π2个单位长度(D)向右平移π2个单位长度解析:y=sin(2x+π6)=sin[2(x+π12)],y=sin(2x-π3)=sin[2(x-π6)]=sin[2(x-π4+π12)],所以将y=sin(2x+π6)的图象向右平移π4个单位长度得到y=sin(2x-π3)的图象.故选B.3.如图是函数y=Asin(ωx+ϕ)+2(A>0,ω>0)的图象的一部分,它的振幅、周期、初相各是( C )(A)A=3,T=4π3,ϕ=-π6(B)A=1,T=4π3,ϕ=3π4(C)A=1,T=4π3,ϕ=-3π4(D)A=1,T=4π3,ϕ=-π6解析:由图象知,A=312-=1,2T = 5π6-π6=2π3,则T=4π3,ω=32,由5π6×32+ϕ=π2+2k π,k ∈Z,得ϕ=-3π4+2k π,k ∈Z,令k=0,得ϕ=-3π4.故选C.4.函数f(x)=Asin(ωx+ϕ)(A>0,ω>0,|ϕ|<π)的部分图象如图所示,则函数f(x)的解析式为 .解析:由图可知4T=7π12-π3=π4,所以T=π,故ω=2, 因此ϕ).又函数图象过点(π3,0) 因此2×π3+ϕ=π+2k π,k ∈Z, 又根据|ϕ|<π,所以ϕ=π3,故π3).答案π3)5.将函数∈R)的图象向左平移m(m>0)个单位长度后,所得到的图象关于y 轴对称,则m 的最小值是 .解析12sin x)=2sin(x+π3)的图象向左平移m 个单位长度后,得到y=2sin(x+m+π3)的图象,此图象关于y 轴对称,则x=0时,y=±2,即2sin(m+π3)=±2,所以m+π3=π2+k π,k ∈Z,即m=π6+k π,k ∈Z,由于m>0,所以m min =π6. 答案:π6(对应学生用书第66～68页)考点一 五点法作图【例1】 设x ∈R,函数y=f(x)=cos(ωx+ϕ)(ω>0,- π2<ϕ<0)的最小正周期为π,且f(π4.(1)求ω和ϕ的值;(2)在给定坐标系中作出函数f(x)在[0,π]上的图象;(3)若,求x 的取值范围.解:(1)因为函数f(x)的最小正周期T=2πω=π, 所以ω=2,因为f(π4)=cos(2×π4+ϕ)=cos(π2+ϕ)=-sin ϕ且-π2<ϕ<0, 所以ϕ=-π3. (2)由(1)知f(x)=cos(2x-π3),列表如下:图象如图:(3)因为,即cos(2x-π3,所以2k π-π4<2x-π3<2k π+π4,k ∈Z, 则2k π+π12<2x<2k π+7π12,k ∈Z,即k π+π24<x<k π+7π24,k ∈Z. 所以x 的取值范围是{x|k π+π24<x<k π+7π24,k ∈Z}.用“五点法”作y=Asin(ωx+ϕ)或y=Acos(ωx+ϕ)的简图,主要是通过列表,计算得出五点的坐标,描点后得到,由于表中“五点”相邻两点的横向距离均为4T ,因此可以通过“定两端,分中间”的方法快速写出“五点”的坐标.某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(ωx+ϕ),ω>0,|ϕ|<π2在某一个周期内的图象时,列表并填入了部分数据,如下表:(1)请将上表数据补充完整,并直接写出函数f(x)的解析式;(2)将y=f(x)图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度,得到y=g(x)的图象.若y=g(x)图象的一个对称中心为(5π12,0),求θ的最小值;(3)说明函数f(x)的图象可由y=sin x 的图象经过怎样的变换而得到. 解:(1)根据表中已知数据,解得A=5,ω=2,ϕ=- π6,数据补全如下表:且函数解析式为f(x)=5sin(2x-π6). (2)由(1)知f(x)=5sin(2x-π6), 则g(x)=5sin(2x+2θ-π6). 因为函数y=sin x 图象的对称中心为(k π,0),k ∈Z,令2x+2θ-π6=k π,k ∈Z,解得x=π2k +π12-θ,k ∈Z. 由于函数y=g(x)的图象关于点(5π12,0)成中心对称,所以令π2k +π12-θ=5π12,解得θ=π2k -π3,k ∈Z. 由θ>0可知,当k=1时,θ取得最小值π6. (3)把y=sin x 的图象上所有的点向右平移π6个单位长度,得到y=sin(x-π6)的图象,再把y=sin(x-π6)的图象上的点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变),得到y=sin(2x-π6)的图象,最后把y=sin(2x-π6)上所有点的纵坐标伸长到原来的5倍(横坐标不变),即可得到f(x)=5sin(2x-π6)的图象. 考点二 函数y=Asin(ωx+ϕ)(A>0,ω>0)的图象变换【例2】 (1)将函数f(x)=2sin(2x+π4)的图象向右平移ϕ(ϕ>0)个单位,再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变),所得图象关于直线x=π4对称,则ϕ的最小值为( )(A)18π (B)12π (C)34π (D)38π(2)将函数y=cos(2x+ϕ)的图象沿x 轴向右平移π6后,得到的图象关于原点对称,则ϕ的一个可能取值为( )(A)-π3 (B)π6 (C)π3 (D)5π6解析:(1)将函数f(x)=2sin(2x+π4)的图象向右平移ϕ(ϕ>0)个单位,可得函数y=2sin[2(x-ϕ)+π4]=2sin(2x+π4-2ϕ)的图象,再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变),可得函数y=2sin(4x+π4-2ϕ)的图象;再根据所得图象关于直线x=π4对称,可得π+π4-2ϕ=k π+π2(k ∈Z),即ϕ=3π8-π2k ,k ∈Z,所以ϕ的最小值为3π8,故选D.(2)将函数y=cos(2x+ϕ)的图象沿x 轴向右平移π6后,得到的图象对应的解析式为y=cos[2(x-π6)+ϕ]=cos(2x-π3+ϕ).再根据得到的图象关于原点对称,则-π3+ϕ=k π+π2,k ∈Z,即ϕ=k π+5π6,k ∈Z.结合所给的选项,故选D.(1)解决三角函数图象变换问题,应先把变换前后两个函数化为同名函数,然后找出它们的不同,指出实施的变换.(2)平移变换要注意平移量和平移方向,其实质是点的坐标的变换,横坐标的变换对应着图象的左右平移,纵坐标的平移变换对应着图象的上下平移.将函数f(x)=sin(2x+θ)(-π2<θ<π2)的图象向右平移ϕ(ϕ>0)个单位长度后得到函数g(x)的图象,若f(x),g(x)的图象都经过点),则ϕ的值可以是( B )(A)5π3 (B)5π6 (C)π2 (D)π6解析:因为函数f(x)的图象过点P,所以θ=π3,所以f(x)=sin(2x+π3).又函数f(x)的图象向右平移ϕ个单位长度后,得到函数g(x)=sin[2(x-ϕ)+π3]的图象,所以sin(π3-2ϕ所以ϕ可以为5π6.故选B.考点三求函数y=Asin(ωx+ϕ)+b的解析式【例3】 (1)函数f(x)=Asin(ωx+θ)(A>0,ω>0)的部分图象如图所示,则f(x)等于( )π6)π3)π3)π6)(2)已知函数f(x)=Asin(ωx+ϕ),x∈R(其中A>0,ω>0,0<ϕ<π2)的图象与x轴的交点中,相邻两个交点之间的距离为π2,且图象上一个最低点为M(2π3,-2),则f(x)的解析式为.解析:(1)由题图知f(x)在x=512π且最小正周期T满足34T=512π+π3.故34×2πω=3π4,ω×5π12+θ5π6+θ)=1,5π6+θ=2kπ+π2,k∈Z,θ=2kπ-π3,k∈Z.所以f(x)的解析式可为π3).故选B.(2)由最低点为M(2π3,-2)得A=2.由题意得2T=π2,即T=π,ω=2πT=2ππ=2, 由点M(2π3,-2)在图象上得2sin(2×2π3+ϕ)=-2, 即sin(4π3+ϕ)=-1,故4π3+ϕ=2k π-π2,k ∈Z, 所以ϕ=2k π-11π6,k ∈Z,又ϕ∈(0,π2), 所以ϕ=π6, 故f(x)=2sin(2x+π6). 答案:(1)B (2)f(x)=2sin(2x+π6)确定y=Asin(ωx+ϕ)+b(A>0,ω>0)的解析式的步骤(1)求A,b,确定函数的最大值M 和最小值m,则A=2M m -,b=2M m+.(2)求ω,确定函数的周期T,则ω=2πT. (3)求ϕ,常用方法有:①代入法:把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入.②五点法:确定ϕ值时,往往寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.已知函数f(x)=Atan(ωx+ϕ)(ω>0,|ϕ|<π2),y=f(x)的部分图象如图,则f(π24)等于( B )解析:由图象可知T=2(3π8-π8)=π2,所以ω=2,所以2×π8+ϕ=k π+π2,k ∈Z,得ϕ=π4+k π,k ∈Z, 又|ϕ|<π2, 所以ϕ=π4. 又f(0)=1,所以Atan π4=1,得A=1, 所以f(x)=tan(2x+π4), 所以f(π24)=tan(π12+π4)=tan π3.考点四 易错辨析【例4】 (2018·浙江金华十校模拟)已知函数f(x)=sin(ωx+π3)(x ∈R,ω>0)与g(x)=cos(2x+ϕ)的对称轴完全相同,为了得到h(x)=cos(ωx+π3)的图象,只需将y=f(x)的图象( ) (A)向左平移π4个单位长度 (B)向右平移π4个单位长度 (C)向左平移π2个单位长度 (D)向右平移π2个单位长度 解析:因为对称轴一样,所以两个三角函数的周期必定一样,即ω=2,所以f(x)=sin(2x+π3),h(x)=cos(2x+π3)=sin[2(x+π4)+π3],故得到h(x)的图象仅需将y=f(x)的图象向左平移π4个单位长度,故选A.(1)忽略函数名称的不同,误以为同名三角函数之间的变换;(2)忽略系数ω的存在,误将x 的变换认为是ωx 的变换.已知函数f(x)=sin(ωx+ϕ)(ω>0,|ϕ|< π2)的最小正周期是π,若将f(x)的图象向右平移π3个单位后得到的图象关于原点对称,则函数f(x)的图象( B )(A)关于直线x=π12对称(B)关于直线x=5π12对称(C)关于点(π12,0)对称(D)关于点(5π12,0)对称解析:因为f(x)的最小正周期为π, 所以2πω=π,ω=2,所以f(x)的图象向右平移π3个单位后得到g(x)=sin[2(x-π3)+ϕ]=sin(2x-2π3+ϕ)的图象,又g(x)的图象关于原点对称, 所以-2π3+ϕ=kπ,k∈Z,所以ϕ=2π3+kπ,k∈Z,又|ϕ|<π2,所以ϕ=-π3,所以f(x)=sin(2x-π3).当x=π12时,2x-π3=-π6,所以A,C错误;当x=5π12时,2x-π3=π2,所以B正确,D错误.故选B.(对应学生用书第68～69页)三角函数图象【例题】已知函数f(x)的图象是由函数g(x)=cos x的图象经如下变换得到:先将g(x)图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变),再将所得到的图象向右平移π2个单位长度.(1)求函数f(x)的解析式,并求其图象的对称轴方程;(2)已知关于x的方程f(x)+g(x)=m在[0,2π)内有两个不同的解α,β.a.求实数m 的取值范围;b.证明:cos(α-β)=225m -1. (1)解:将g(x)=cos x 的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)得到y=2cos x 的图象,再将y=2cos x 的图象向右平移π2个单位长度后得到y=2cos(x-π2)的图象,故f(x)=2sin x. 从而函数f(x)=2sin x 图象的对称轴方程为x=k π+π2(k ∈Z). (2)a.解:f(x)+g(x)=2sin x+cossin cos ϕ)(其中sinϕϕ依题意知,sin(x+ϕ[0,2π)内有两个不同的解α,β,当且仅当故m 的取值范围是b.证明:因为α,βϕ)=m 在[0,2π)内的两个不同的解,所以sin(α+ϕβ+ϕ当1≤,α+β=2(π2-ϕ), 即α+ϕ=π-(β+ϕ); 当时,α+β=2(3π2-ϕ),即α+ϕ=3π-(β+ϕ). 所以cos(α+ϕ)=-cos(β+ϕ). 于是cos(α-β)=cos[(α+ϕ)-(β+ϕ)] =cos(α+ϕ)cos(β+ϕ)+sin(α+ϕ)sin(β+ϕ) =-cos 2(β+ϕ)+sin(α+ϕ)sin(β+ϕ)22=225m -1.规范要求:(1)根据图象变换规律求出函数解析式,再根据对称轴的特点求对称轴方程.(2)通过三角变换将f(x)+g(x)化为一个角的一种三角函数形式.(3)分离参数法转化为求函数的值域,从而解绝对值不等式求得参数范围.(4)利用三角函数相等,求得α,β的关系,从而判定cos(α+ϕ)与cos(β+ϕ)的关系,进而利用两角和与差公式求值.(5)解决给值求值问题的关键是找出未知角与已知角关系,从而选择对应公式求解.【规范训练1】如图为y=Asin(ωx+ϕ)(A>0,ω>0)的图象的一段.(1)求其解析式;(2)若将y=Asin(ωx+ϕ)的图象向左平移π6个单位长度后得y=f(x),求f(x)的对称轴方程.解:(1)由图象知由“五点法”列方程组π0,35ππ,6ωϕωϕ⎧⋅+=⎪⎪⎨⎪⋅+=⎪⎩解之2,2π,3ωϕ=⎧⎪⎨=-⎪⎩得所以所求解析式为2π3 ).π6)-2π3sin(2x-π3),令2x-π3=π2+kπ(k∈Z),则x=512π+π2k(k∈Z),所以f(x)的对称轴方程为x=512π+π2k (k ∈Z).【规范训练2】 设关于x在区间(0,2π)内有相异的两个实根α,β. (1)求实数a 的取值范围; (2)求α+β的值.解:(1)原方程可化为sin(x+π3)=-2a ,作出函数y=sin(x+π3)(x ∈(0,2π))的图象.由图知,方程在(0,2π)内有相异实根α,β的充要条件是11,2a a ⎧-<-<⎪⎪⎨⎪-⎪⎩ 即(2)由图知,当即-2a∈)时,直线 y=-2a 与三角函数y=sin(x+π3)的图象交于C,D 两点,它们中点的横坐标为76π, 所以2αβ+=7π6, 所以α+β=7π3. 当即-2a∈,1)时,直线y=-2a 与三角函数y=sin(x+π3)的图象有两交点A,B,由对称性知,2αβ+=π6, 所以α+β=π3. 综上所述,α+β=π3或73π.(对应学生用书第69页)类型一 三角函数图象变换1.把函数y=cos 2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),然后向左平移1个单位长度,再向下平移1个单位长度,得到的图象是( A )解析:把函数y=cos 2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到函数y=cos x+1的图象,然后把所得函数图象向左平移1个单位长度,再向下平移1个单位长度,得到函数y=cos(x+1)的图象.故选A.2.(2018·浙江镇海中学期中)将函数f(x)=3sin(4x+π6)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,再向右平移π6个单位长度,得到函数y=g(x)的图象,则y=g(x)图象的一条对称轴是( C )(A)x=π12 (B)x=π6 (C)x=π3 (D)x=2π3解析:将函数f(x)=3sin(4x+π6)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,得到函数y=3sin(2x+π6)的图象,再向右平移π6个单位长度,得g(x)=3sin[2(x-π6)+π6]=3sin(2x-π6)的图象,令2x-π6=k π+π2,k ∈Z,则y=g(x)图象的对称轴是x=π2k +π3,k ∈Z,故选C. 类型二 求函数y=Asin(ωx+ϕ)+b 的解析式3.如图是函数y=Asin(ωx+ϕ)(A>0,ω>0)在一个周期内的图象,此函数的解析式可为( B ) (A)y=2sin(2x+π3) (B)y=2sin(2x+2π3)(C)y=2sin(2x -π3)(D)y=2sin(2x-π3)解析:由题图可知A=2,2T =5π12-(-π12)=π2, 所以T=π,ω=2, 所以f(x)=2sin(2x+ϕ),又f(-π12)=2sin(-π6+ϕ)=2, 即-π6+ϕ=π2+2k π,k ∈Z, 所以ϕ=2π3+2k π(k ∈Z),结合选项知选B.4.已知函数f(x)=Asin(ωx+ϕ)(A>0,ω>0,|ϕ|<π)图象的最高点的纵坐标是4,相邻的两对称中心距离为π2,图象经过点(π6,0),则函数f(x)的解析式为 .解析:由题意知A=4,T=2×π2=π, 所以2πω=π,则ω=2, 所以f(x)=4sin(2x+ϕ). 又函数图象经过点(π6,0), 所以4sin(2×π6+ϕ)=0, 所以ϕ+π3=k π(k ∈Z), 所以ϕ=k π-π3(k ∈Z),又|ϕ|<π, 所以ϕ=-π3或ϕ=2π3. 所以f(x)=4sin(2x-π3)或f(x)=4sin(2x+2π3). 答案:f(x)=4sin(2x-π3)或f(x)=4sin(2x+2π3)5.如图所示,为了研究钟表与三角函数的关系,建立如图所示的坐标系,设秒针尖位置P(x,y).若初始位置为P 012),当秒针从P 0(注:此时t=0)正常开始走时,那么点P 的纵坐标y 与时间t 的函数关系为 .解析:由题意可得,函数的初相位是π6,又函数周期是60秒且秒针按顺时针旋转,即T=2πω=60,所以|ω|=π30,即ω=-π30,故y=sin(-π30t+π6). 答案:y=sin(-π30t+π6) 类型三 函数y=Asin(ωx+ϕ)与y=Acos(ωx+ϕ)图象的应用6.函数y=f(x)=Asin(ωx+ϕ)(A>0,ω>0,|ϕ|< π2)的部分图象如图所示,若x 1,x 2∈(-π6,π3),且f(x 1)=f(x 2),则f(x 1+x 2)等于( D )(A)1 (B)12解析:观察图象可知,A=1,T=π, 所以ω=2,f(x)=sin(2x+ϕ).将(-π6,0)代入上式得sin(-π3+ϕ)=0, 由|ϕ|<π2,得ϕ=π3, 则f(x)=sin(2x+π3). 函数图象的一条对称轴为x=ππ632-+=π12.又x 1,x 2∈(-π6,π3),且f(x 1)=f(x 2),所以122xx +=π12,所以x 1+x 2=π6,所以f(x 1+x 2)=sin(2×π6+π3.故选D.7.已知直线y=b(b<0)与曲线y=f(x)=sin(2x+π2)在y 轴右侧依次的三个交点的横坐标成等比数列,则b 的值是 . 解析:设三个横坐标依次为x 1,x 2,x 3,由图及题意有12232213π,2π,,x x x x x x x ⎧+=⎪+=⎨⎪=⎩解得x 2=2π3,所以b=f(2π3)=-12. 答案:-12。
高考数学一轮总复习课件：函数y=Asin(ωx+φ)
sin
π
x＋
4
图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y＝
sin12x＋π4 的图象；再将图象上各点的纵坐标都伸长到原来的2倍(横坐标
不变)，得到y＝2sin12x＋π4 的图象，即y＝2cos－12x＋π4 的图象．
【答案】 见解析
(2)如何由y＝13sin2x＋π3 的图象得y＝sinx的图象．
例1
用五点法作出y＝2sin
2x＋π3
在[－
π 3
，
2π 3
]内的图
象．
【解析】 2·－π3 ＋π3 ＝－π3 ，2·2π 3 ＋π3 ＝5π 3 ，
令2x＋π3 ＝0，解得x＝－π6 .
ππ
π
2x＋ 3 ＝ 2 ，解得x＝12.
π
π
2x＋ 3 ＝π，解得x＝ 3 .
2x＋π3 ＝3π 2 ，解得x＝71π2 .
(2)变换作图．
相位
周期
振幅
①y＝sinx―变―换→y＝sin(x＋φ)―变―换→y＝sin(ωx＋φ)―变―换→y＝
Asin(ωx＋φ)
周期
相位
振幅
②y＝sinx―变―换→y＝sinωx―变―换→y＝sin(ωx＋φ)―变―换→
y＝Asin(ωx＋φ)
【说明】 前一种方法第一步相位变换是_向_左__(φ_>_0_)_或_向__右_(_φ_<_0_)
π
π
则ω＝ 3 －2kπ(k∈Z)，结合0<ω<2，得ω＝ 3 ，
所以f(x)＝sinπ3 x＋π6 ＝cosπ2 －π3 x－π6
＝cosπ3 （x－1），
所以只需将函数g(x)＝cos
π 3
高三数学一轮复习 第3章 三角函数第4课时 函数y=Asin(ωx+φ)的图象精品课件
解析： (1)由图象可知，函数的最大值 M＝3，最小值 m＝－1， 则 A＝3－2－1＝2，b＝3－2 1＝1， 又 T＝223π－π6＝π，∴ω＝2Tπ＝2ππ＝2， ∴f(x)＝2sin(2x＋φ)＋1， 将 x＝π6，y＝3 代入上式，得 sinπ3＋φ＝1，
答案：
4π
1 4π
10
12t－π4
－π4
5．函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)其中A＞0，ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如 图所示，则 f(x)的解析式为________．
解析： 由图知：T＝8， ∴2ωπ＝8.∴ω＝π4，A＝2. ∴f(x)＝2sinπ4x＋φ，令 x＝2， ∴2＝2sinπ2＋φ. ∴sin2π＋φ＝1. ∵|φ|＜π2， ∴φ＝0，∴f(x)＝2sinπ4x.
列表，并描点画出图象：
x
－π6
π 12
π 3
7π 12
5π 6
X
0
π 2
π
3π 2
2π
y＝sin X 0
1
0
－1
0
y＝
2sin
0
2
0
－2
0
2x＋π3
(3)方法一：把 y＝sin x 的图象上所有的点向左平移π3个单位，得到 y ＝sinx＋π3的图象，再把 y＝sinx＋π3的图象上的点的横坐标缩短到原来 的12倍(纵坐标不变)，得到 y＝sin2x＋π3的图象，最后把 y＝sin2x＋π3上 所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐标不变)，即可得到 y＝ 2sin2x＋π3的图象．
3 2.
方法二：因区间0，34关于 x＝1 对称区间为23，2， 且 y＝g(x)与 y＝f(x)的图象关于 x＝1 对称，
【全程复习方略】2013版高中数学 (主干知识+典例精析)3.4正弦型函数y=Asin(ωx+φ)课件 理 新人教B版
φ=kπ(k∈Z)时，函数y=Asin(ωx+φ)为奇函数；φ=kπ+
2
(k∈Z)时，函数y=Asin(ωx+φ)为偶函数.
(2)周期性
2 y=Asin(ωx+φ)存在周期性，其最小正周期为T= .
(3)单调性
根据y=sint和t=ωx+φ的单调性来研究，由
- +2kπ≤ωx+φ≤ +2kπ,k∈Z得单调增区间；由 2 2 3 +2kπ≤ωx+φ≤ +2kπ,k∈Z得单调减区间. 2 2
纵坐标伸长 A 1或缩短 0A1 y=sinx的图象 y=Asinx的图象 A 为原来的 ____ 倍 ( 横坐标不变 )
横坐标伸长 01或缩短 1 向左 ( 0)或向右 ( 0) y=Asinωx的图象 1
(1)先平移后伸缩
向左 ( 0)或向右 ( 0) y=sinx的图象 y=sin(x+φ)的图象 |φ| 平移 ____ 个单位长度
y=sin(ωx+φ)的图象 1
横坐标伸长 01 或缩短 1
到原来的 ____( 纵坐标不变 )
y=Asin(ωx+φ)的图象 A 倍 ( 横坐标不变 ) 为原来的 ____
纵坐标伸长 A 1 或缩短 0A1
向上 k 0 或向下 k 0 y=Asin(ωx+φ)+k的图象． 平移 k 个单位长度
(2)先伸缩后平移
2
2
来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象.
(2)图象变换法：由函数y=sinx的图象通过变换得到 y=Asin(ωx+φ)的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”
高考数学一轮复习函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用课件文
基础诊断 考点突破
课堂总结
知识梳理 1．“五点法”作函数 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的简图
“五点法”作图的五点是在一个周期内的最高点、最低点 及与 x 轴相交的三个点，作图时的一般步骤为：
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• (1)定点：如下表所示.
x
－ωφ
π2－φ ω
π－φ ω
32π－φ ω
• 第5讲函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象 及应用
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最新考纲 1.了解函数 y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义；能画出 y＝Asin(ωx＋φ)的图象，了解参数 A，ω，φ 对函数图象变化 的影响；2.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模 型，会用三角函数解决一些简单实际问题．
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【训练 1】 设函数 f(x)＝cos(ωx＋φ)ω＞0，－π2＜φ＜0的最小
正周期为
π，且
f4π＝
3 2.
(1)求 ω 和 φ 的值； (2)在给定坐标系中作出函数 f(x)在[0，π]上的图象．
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解 (1)∵T＝2ωπ＝π，ω＝2， 又 fπ4＝cos2×4π＋φ＝ 23， ∴sin φ＝－ 23， 又－π2＜φ＜0，∴φ＝－3π.
• 答案 A
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3．(2014·安徽卷)若将函数 f(x)＝sin 2x＋cos 2x 的图象向右平移
φ 个单位，所得图象关于 y 轴对称，则 φ 的最小正值是
()
π
π
3π
5π
A.8
B.4
C. 8
D. 4
江苏高考数学理一轮复习课件4.4函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质及三角函数模型的简单应用
ห้องสมุดไป่ตู้
考点梳理
1．用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找 五个特征点 如下表所示
x ωx＋φ y＝Asin(ωx ＋φ)
0－φ ω ______
0 0
π －φ 2 _______ ω
π 2 A
π－ φ ω π 0
答案
π 4
π φ＝ . 4
2 ． (2012· 盐 城 摸 底 考 试 ) 若 函 数 y ＝ Asin(ωx ＋ π φ)A>0，ω>0，|φ|<2 的最小值为－ 2，其图象上相邻 π 最高点与最低点的横坐标之差为 ，且图象过点 (0， 2 3)，则其解析式是________． T π 解析 由题意，得 A＝2， ＝ ，所以 T＝π，ω＝2，所以 2 2
5．(2013· 金陵中学月考)如果若干个函数的图象经过平移
后能够重合，则称这些函数为“同簇函数”．给出下列
函数：
①f(x)＝sin xcos
π x；②f(x)＝2sinx＋4；③f(x)＝sin
x
＋ 3cos x； ④f(x)＝ 2sin 2x＋1.其中“同簇函数”的 是________．
1 解析 因为 f(x)＝sin xcos x＝ sin 2x， 2 π f(x)＝sin x＋ 3cos x＝2sinx＋ 3 . π π 所以仅 f(x)＝2sinx＋ 4 与 f(x)＝2sinx＋ 3 图象经过平移 可以重合，所以“同簇函数”是②③.
5．三角函数模型的应用 (1)根据图象建立解析式或根据解析式作出图象．
(2)将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型．
2013届高考数学一轮复习课件(文科)6.4《函数y=asin(ωx+φ)的图象》新人教版必修4
B.－71π2，0
C.71π2，0
D.1112π，0
1
1
5．函数 y＝12sin2x＋4π的振幅是__2_，周期是__π_，频率是__π__，
π 初相是_4__.
考点1 三角函数的图象及变换
例 1：①已知函数 f(x)＝sinωx＋π4(x∈R，ω>0)的最小正周期 为π，为了得到函数 g(x)＝cosωx 的图象，只要将 y＝f(x)的图象 ()
幅，最后求φ.最高(低)点决定着 A 的值，周期决定着ω的值，求φ 必须将点代入计算．
【互动探究】 2．已知函数 f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的图象如图6－4－2，则 3
ω ＝__2__.
图 6－4－2 解析：由图象可得最小正周期为43π，∴T＝2ωπ＝43π⇒ω＝32.
考点3 函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质的应用 例 3：(2010 年广东)设函数 f(x)＝3sinωx＋π6，ω>0，x∈(－∞， ＋∞)，且以π2为最小正周期． (1)求 f(0)； (2)求 f(x)的解析式； (3)已知 fα4＋1π2＝95，求 sinα 的值．
1．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象的两种作法是五 点作图法和图象变换法．
2．用“五点法”作函数 y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象， 关键是点的选取，通常令 ωx＋φ 分别等于 0，π2，π，32π，2π，求
应的 x，y，即可得到所画图象上关键点的坐标． 3．求一个关于 sinx、cosx 二次齐次式的周期、值域等问题时，
2．了解三角函数是描述周期变
换、振幅变换和对称变换得到另 一个三角函数的图象．利用三角
化现象的重要函数模型，会用三 角函数解决一些简单实际问题.