正四面体的性质
正四面体的杂化轨道类型
正四面体的杂化轨道类型正四面体是一种四面体，也是一种重要的几何形体。
正四面体的杂化轨道类型是一种非常有趣的化学概念，它是现代化学中的一个重要理论。
本文将介绍正四面体的杂化轨道类型的相关知识，包括其定义、性质以及应用。
定义正四面体的杂化轨道类型指的是正四面体分子中每个中心原子的电子在化学键形成过程中的杂化轨道类型。
正四面体的杂化轨道类型是四种等效的sp^3轨道，其中每个原子有两个轴向sp^3轨道和两个轴向dz^2轨道。
性质正四面体的杂化轨道类型具有以下几个性质：1. 等效性：四个sp^3轨道等效，同时四个dz^2轨道也等效，这是一种结构上的等效性，使得正四面体具有高度的对称性。
2. 方向性：由于sp^3轨道具有方向性，因此正四面体分子中的每个中心原子的sp^3轨道的方向是相同的，即使它们在空间中的位置不同。
3. 成键能力：正四面体分子中每个中心原子的sp^3轨道参与化学键形成过程中，它们的成键能力非常强，这是由于它们具有合适的轨道叠加能力。
4. 非等代码性：dz^2轨道与其他轨道相比，其能级更高，因此在化学键形成过程中dz^2轨道不参与成键，这是一种非等代码性。
应用正四面体的杂化轨道类型是化学中一个重要的概念，其应用非常广泛，例如：1. 化学键形成过程：正四面体分子中每个中心原子的sp^3轨道参与化学键形成过程，贡献了化学键的强度。
2. 分子结构预测：根据正四面体的杂化轨道类型理论，可以快速预测正四面体分子的结构和性质。
3. 化学反应：正四面体分子中的dz^2轨道的非等代码性质使得在一些化学反应中可以选择性地进行。
结论正四面体的杂化轨道类型是一种非常有趣的化学概念，它是化学中一个非常重要的理论。
通过对正四面体的杂化轨道类型的了解，我们可以更好地理解正四面体分子的结构和性质，加深对化学的认识，推动化学的发展。
30.四面体
四面体与平行六面体一、一般四面体的性质性质1.任意四面体六个二面角的平分面交于一点，这点到四面体四个面的距离相等，称该点为四面体内切球球心（简称四面体的内心）。
内切球与四面体四个面内切。
若四面体ABCD 的体积为V ，顶点A 所对的侧面面积为A S ，类似的有,,B C D S S S ,则内切球半径3A B C DVr S S S S =+++.性质2.任意四面体六条棱的垂直平分面交于一点，这点到四面体顶点的距离相等，该点称为四面体外接球球心（简称四面体外心）。
外接球通过四面体四顶点。
性质3.任意四面体的四条中线（每一顶点与其对面重心的连线）交于一点，而且该点是中线的四等分点。
性质4.四面体体积公式一：11113333A A B B C C D D V S h S h S h S h ==== 性质5.四面体体积公式之二：1||||sin ,6V AB CD d AB CD =⋅⋅⋅<> （其中d 为AB 、CD 距离）性质6.四面体体积公式二：2sin 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin 333333C D AB A D BC A B CD B C DA B D AC A C BDS S S S S S S S S S S S V AB BC CD DA AC BDθθθθθθ======二、特殊四面体的性质（1） 正四面体：各边均相等；（2） （3） 等腰四面体：三组对边分别相等。
三、平行面体像平行四边形是平面图几何的基础一样， 平行六面体是立体几何的基本图形。
性质1.平行六面体的四条体对角线交于一点，且在这一点互相平分，称该点为平行六面体的中心； 性质2.平行六面体的所有体对角线的平方和等于所有棱的平方和。
推论1:平行六面体的所有侧面对角线的平方和等于其所有体对角线平方和的两倍。
推论2：平行六面体的每一侧棱的平方和等于等于与这一侧共面的两侧面四条对角线的平方减去与这一侧棱不共面而共端点的两条侧面对角线平方和所得差的14。
两种特殊四面体的有趣的性质
两种特殊四面体的有趣的性质作者：李文磊来源：《中学课程辅导高考版·学生版》2009年第02期三棱锥是高中阶段重要的数学模型，正四面体和直角四面体是两种非常特殊的三棱锥，它们和最基本的正方体模型与长方体模型关系密切，有很多有趣、具有数学美感的的性质.加强对它们的研究，熟悉它们的性质，不仅可以使学生熟悉很多立体几何问题的研究方法、拓展思维空间，还可以轻松地解决相关问题.一、性质探究(1) 正四面体正四面体的四个侧面都是正三角形，它是特殊的正三棱锥，是一个具有对称美的几何体.正四面体与正方体关系密切，将一个棱长为l的正方体沿相邻三个面的对角线截去四个棱锥,剩余部分为棱长为a正四面体(a=2l)，我们称这个四面体为这个正方体的内接正四面体.在这里我们利用这个正方体模型探究正四面体一些有趣性质.性质一正四面体的对棱互相垂直.正四面体的对棱就是这个正方体相对两面的两条异面的对角线，显然垂直.性质二正四面体的高h=63a.正四面体的任意侧面都与穿过它的这个正方体的体对角线垂直，并且将它分割为1:2的两段.正方体的体对角线为3l=3×22a=62a，所以正四面体的高为h=23×62a=63a，这个常数应该熟记.性质三正四面体的外接球的球心为正四面体的中心，是正四面体高的四等分点，其半径为R=34h.正四面体的中心与其外接正方体的中心重合，正四面体的外接球即为其外接正方体面体的外接球.又这个正方体的外接球半径为其体对角线的一半，正方体的体对角线为3l=3×22a=62a，所以正四面体的外接球半径R=12×62a=64a；又R:h=64a:63a=3:4，所以正四面体的外接球的球心是其高的四等分点.这是一条非常优美的性质：在正四面体中依次出现了各线段的二等分点、三等分点、四等分点.具体地说，如图：在正四面体S－ABC中，作SO⊥底面ABC,O为垂足,连接AO并延长交BC与D,O′为正四面体的中心:D为BC二等分点，O为AD的三等分点，O′为SO四等分点.性质四正四面体的内切球球心与其外接球球心重合，也是高的四等分点，其半径r=14h.正四面体的中心到底面的距离即为内切球的半径r，显然r=14h.性质五与正四面体各棱都相切的球即是其外接正方体的内切球，半径R′=12l=24a.性质六正四面体的侧棱与底面所成角的正切值为2.性质七正四面体的侧面与底面所成二面角的正切值为22.(2) 直角四面体若四面体共某一顶点三条棱互相垂直，我们称之直角四面体.如图，四面体O－ABC在点O处的三个二面角都是直角.所以四面体O－ABC是直角四面体.直角四面体与长方体关系密切，我们可以将它补形为长方体(如上图)，它的有些性质我们可以借助长方体模型进行探究.性质一直角四面体的对棱互相垂直.在长方体中，显然AO⊥底面BC，所以AO⊥BC;同理:BO⊥AC,CO⊥AB,所以，直四面体的对棱互相垂直.性质二直角顶点O在底面上的射影H是△ABC的垂心.连接AH并延长，交BC与D点，连结OD,因为OH⊥面ABC,所以OH⊥BC,易证BC⊥面AOD,所以BC⊥AH.同理可证：AC⊥BH，AB⊥CH.所以H为△ABC的垂心.性质三不含直角的底面△ABC是锐角三角形.设OA=a,OB=b,OC=c，则AB=a2+b2,AC=a2+c2,BC=b2+c 2.在△ABC中，由余弦定理：cos∠BAC=AB2+AC2－BC22 AB AC=a2(a2+b2)(a2+c2)>0.所以∠BAC是锐角.同理可得：∠ABC、∠ACB均为锐角，所以△ABC是锐角三角形.性质四外接球半径R=12a2+b2+c 2.将直角四面体补形为长方体即得.性质五内切球半径r=3VS△OAB+S△OAC+S△OBC+S△ABC.由等体积原理：V=13rS△OAB+13rS△OAC+13rS△OBC+13rS△ABC可得.性质六 S2△ OBC = S△ HBC • S△ ABC .性质七 S2△ OAB + S2△ OAC + S2△ OBC = S2△ABC .由性质六可推得.性质八 1OH2=1OA2+1OB2+1OC 2.因为V棱锥A－OBC=V棱锥O－ABC，所以13OA•S△OBC=13OH•S△ABC，所以a•12bc=OH•12a2b2+b2c2+c2a2，所以a2b2c2=OH2•(a2b2+b2c2+c2a2)，所以1OH2=a2b2+b2c2+c2a2a2b2c2，即1OH2=1OA2+1OB2+1OC 2.二、应用举例例1 (苏教版必修二P36例4改编)PA、PB、PC是从空间一点P出发的三条射线，且∠APB=∠APC=∠BPC=60°,则射线PA与PB、PC所在平面所成角的正切值为.【分析】这个几何体可以看成正四面体的一角，所求角是其侧棱与地面所成角，由正四面体性质六，其正切值为2.例2 (2006•山东［理］)如图，在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2，∠DAB=60°,E为AB的中点，将△ADE与△BEC分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合与点P,则三棱锥P-DCE的外接球体积为 .注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。
正四面体外接球内切球半径
解析正四面体外接球内切球半径正四面体是一种非常特殊的多面体，其四个面都是等边三角形，相互之间都是等角的。
正四面体有个很有意思的性质，就是它的外接球和内切球的半径是相等的。
这个性质可以通过以下步骤进行证明：首先，我们需要知道正四面体外接球和内切球的半径分别为r和R。
我们可以画出如下的图形：正四面体的四个顶点分别为A、B、C、D。
正四面体外接球的圆心为O，内切球的圆心为I。
现在我们来证明r=R。
步骤1：连接OI，这条线段的长度为r+R。
步骤2：连接AB、AC、AD、BC、BD、CD，将正四面体分成四个小正三角形。
步骤3：我们知道正四面体每个小正三角形的面积都相等，设为S。
步骤4：我们可以通过三角形的面积公式求出AO、BO、CO、DO的长度。
AO=BO=CO=DO=√(3S)/3步骤5：再通过余弦定理求出角AOI的大小。
cos(AOI)=（OI²+AO²-AI²）/(2×OI×AO)=（r+R）/（2r）步骤6：由于AOI是一个等腰三角形，所以角OAI也等于角OIA。
因此，我们可以用余弦定理求出AI的长度。
cos(OAI)=（OI²+AI²-OA²）/(2×OI×AI)=cos(AOI)AI=√(OI²+OA²-2×OI×OA×cos(AOI))步骤7：我们可以用同样的方法求出BI、CI、DI的长度。
BI=√(OI²+OB²-2×OI×OB×cos(BOI))CI=√(OI²+OC²-2×OI×OC×cos(COI))DI=√(OI²+OD²-2×OI×OD×cos(DOI))步骤8：根据勾股定理，我们可以求出AB、AC、AD、BC、BD、CD 的长度。
正四面体的常用结论公式
正四面体的常用结论公式正四面体是我们生活中常见的一种几何图形，它的结构和性质一直以来都是数学家们研究的重点。
在这篇文章中，我将从理论和实践两个方面来探讨正四面体的常用结论公式。
我们来看一下正四面体的定义和性质。
正四面体是一个由四个边长相等的三角形组成的立体图形，它的每个面都是一个等边三角形。
正四面体的特点是它的六个顶点都在同一个球面上，这个球心被称为正四面体的外接球心。
由于正四面体的对称性，我们只需要知道其中一个面的面积和高，就可以计算出其他面的面积和高。
接下来，我将介绍一些常用的结论公式。
一、正四面体的体积公式1.1 底面积公式正四面体的底面积可以用以下公式表示：S = (a2 * b2) / (4 * GCD(a, b))其中，a和b分别是正四面体的两个相邻边的边长，GCD(a, b)表示a和b的最大公约数。
1.2 体积公式正四面体的体积可以用以下公式表示：V = S * h / 3其中，h是正四面体的高，可以通过勾股定理计算得出。
二、正四面体的表面积公式2.1 三个侧面的面积之和公式正四面体的三个侧面的面积分别为A1、A2和A3,它们可以表示为：A1 = a * b * sin60° = ab * √3 / 2A2 = a * c * sin60° = ac * √3 / 2A3 = b * c * sin60° = bc * √3 / 2所以，三个侧面的面积之和为：A_total = A1 + A2 + A3 = (ab + ac + bc) * √3 / 22.2 六个面的总面积公式正四面体的六个面的总面积为：A_total = 3 * (A1 + A2 + A3) = 3 * (ab + ac + bc) * √3 / 2三、正四面体的外接球半径公式3.1 外接球心到任意顶点的距离公式设正四面体的外接球心为O,任意一个顶点为P,那么OP就是外接球心到顶点P的距离。
正四面体_精品文档
正四面体正四面体是几何学中的一种多面体，也被称为正四面体体，是四面体中最简单的一种。
它有四个等边等面的三角形面和四个顶点，每个顶点相邻的边的夹角是109.47度。
正四面体在数学、物理学、化学等领域中具有重要的应用和意义。
正四面体的特点是每个面都是等边三角形，它有一些独特的性质。
首先，正四面体的所有面都是等边等角的三角形，这意味着每个面的边长和角度都相等。
其次，正四面体的对角线相交于一个点，这个点被称为正四面体的正中心，连结正中心与顶点的线段被称为正四面体的高，并且高的长度等于正四面体边长的根号3倍。
此外，正四面体的各个面都是相等的，并且任意两个面之间的夹角是立体角的二等分线。
正四面体的体积也可以通过公式来计算，公式为V = (a^3)/(6√2)，其中V表示体积，a表示正四面体的边长。
正四面体的表面积可以通过公式S = √3*a^2，其中S表示表面积。
通过这些公式，我们可以方便地计算正四面体的体积和表面积。
正四面体在数学中有很多重要的应用。
它是立体几何学中的一个重要研究对象，可以通过正四面体的性质探索其他多面体的性质。
在计算几何学中，正四面体是一个非常有用的模型，可以用来解决与几何形状相关的问题。
正四面体在物理学中也有广泛的应用。
例如，在分子结构研究中，正四面体经常用来表示一些分子的结构，例如硫酸四面体(SO4)。
此外，正四面体也可以用来表示晶体的结构，例如金刚石晶体的结构就是一个正四面体。
在化学中，正四面体也具有重要的意义。
正四面体分子的结构常常具有一定的稳定性，可以用来构建一些特殊的化学物质。
例如，正四面体结构的分子一般具有较高的对称性，这种对称性可以影响分子的性质和反应活性。
总之，正四面体是几何学中的一个重要概念，它具有独特的性质和特点，并在数学、物理学和化学等领域中具有广泛的应用。
通过研究正四面体的性质和应用，我们可以更好地理解立体几何学和其它相关学科的知识，为实际问题的解决提供更加可靠的理论基础。
正四面体 体积 表面积
正四面体体积表面积
正四面体，是一种四条棱和四个面都为三角形的几何体。
正四面体具
有很多特性，包括它的形状和体积以及表面积。
在本文中，我们将重
点讨论正四面体的体积和表面积。
首先，让我们来了解一下正四面体的体积。
正四面体的体积可以通过
以下公式来计算：
V = (a^3)/(6√2)
其中，V 表示正四面体的体积，a 表示正四面体的边长。
通过这个公式，我们可以计算出任何一个正四面体的体积。
例如，如果一个正四面体的边长为 5 厘米，则它的体积为：
V = (5^3)/(6√2) = 29.29厘米³
可以看出，正四面体的体积与边长的立方成正比。
因此，如果我们知
道正四面体的边长，就可以轻易地计算出它的体积。
接下来，让我们来谈一谈正四面体的表面积。
正四面体表面积的计算
更为复杂，但同样具有明确的公式：
S = √3a^2
其中，S 表示正四面体的表面积，a 表示正四面体的边长。
例如，如果一个正四面体的边长仍为 5 厘米，则它的表面积为：
S = √3×5² = 43.3 厘米²
值得一提的是，正四面体的表面积与边长的平方成正比。
因此，如果我们知道正四面体的边长，就可以轻易地计算出它的表面积。
总的来说，正四面体是一种非常有趣的几何体，拥有很多独特的特性和性质。
通过对其体积和表面积的计算，我们可以更好地了解这个几何体，并在实际生活中应用它们。
正四面体的常用结论公式
正四面体的常用结论公式正四面体的常用结论公式，你知道吗？今天我们就来聊聊这个有趣的话题，让你在轻松愉快的氛围中学习一些关于正四面体的知识。
让我们来了解一下什么是正四面体。
正四面体是指一个有四个等边三角形面的多面体。
它的每个面都是一个等边三角形，而且所有的边都相等。
你可能会想：“哇，这么厉害的多面体，一定很难构造吧？”其实，正四面体的构造方法有很多，但是最简单的方法就是用一个正方体和一个正四面体结合在一起。
这样一来，我们就可以得到一个既有正方形又有等边三角形面的多面体，而且所有的边都相等。
那么，正四面体有哪些常见的结论呢？下面我们就来总结一下：1. 正四面体的高：正四面体的高是指从一个顶点垂直于底面的距离。
这个距离可以通过勾股定理计算得出。
具体来说，如果我们把正四面体看作一个正方体切掉一个角，那么这个高就是切掉的部分的高度。
这个高度并不是唯一的，因为正四面体的形状可以有很多种变化。
2. 正四面体的体积：正四面体的体积可以通过下面的公式计算得出：V = (a3 * b3)/ (6 * h),其中a、b分别是正四面体的两条棱长，h是正四面体的高。
这个公式告诉我们，只要知道正四面体的棱长和高，就可以计算出它的体积。
不过，这个公式只适用于直角正四面体，对于其他类型的正四面体，我们需要使用更复杂的公式。
3. 正四面体的表面积：正四面体的表面积可以通过下面的公式计算得出：S = 4 *(a2 * b2 * sin^2(C)) / c^2,其中a、b、c分别是正四面体的三条棱长，C是它们之间的角度。
这个公式告诉我们，只要知道正四面体的棱长和它们之间的角度，就可以计算出它的表面积。
不过，这个公式同样只适用于直角正四面体。
4. 正四面体的外接球：如果我们把正四面体放在一个平面上，那么它就是一个六边形。
这个六边形可以被分成六个全等的小三角形，每个小三角形的顶点都在一个圆上。
这个圆就是正四面体的外接球的截面。
通过观察这个截面，我们可以知道正四面体的外接球的大小和形状。
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(1)全面积 S 全
2a ； (2)体积
3
； (3)对棱中点连线段的长
d=
2
a ；(此线段为对棱的距离，若一个球与正四面体的6条棱都相切，则此线段就是该球的直径。
)
(4)相邻两面所成的二面角 α=1
arccos 3
(5)对棱互相垂直。
(6)侧棱与底面所成的角为β=1
arccos 3
(7)外接球半径
a ； (8)内切球半径
r=
12
a . (9)正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值(等于正四面体的高). 直角四面体的性质
有一个三面角的各个面角都是直角的四面体叫做直角四面体.
如图，在直角四面体AOCB 中，∠AOB=∠BOC=∠COA=90°，OA=a ,OB=b ,OC=c .则
①不含直角的底面ABC 是锐角三角形；
②直角顶点O 在底面上的射影H 是△ABC 的垂心；
③体积 V= 1
6
a b c ；
④底面面积S △ABC
⑤S 2△BOC
=S △BHC ·S △ABC ；
⑥S 2
△BOC +S 2
△AOB +S 2
△AOC =S 2
△ABC
⑦
2222
1111
OH a b c =++; ⑧外接球半径
⑨内切球半径 r=AOB BOC AOC ABC
S S S S a b c
∆∆∆∆++-++
A
B
C
D
O H
(1)全面积 S 全
2a ； (2)体积
3
； (3)对棱中点连线段的长
d=
2
a ；(此线段为对棱的距离，若一个球与正四面体的6条棱都相切，则此线段就是该球的直径。
)
(4)相邻两面所成的二面角 α=1
arccos 3
(5)对棱互相垂直。
(6)侧棱与底面所成的角为β=1
arccos 3
(7)外接球半径
a ； (8)内切球半径
r=
12
a . (9)正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值(等于正四面体的高). 直角四面体的性质
有一个三面角的各个面角都是直角的四面体叫做直角四面体.
如图，在直角四面体AOCB 中，∠AOB=∠BOC=∠COA=90°，OA=a ,OB=b ,OC=c .则
①不含直角的底面ABC 是锐角三角形；
②直角顶点O 在底面上的射影H 是△ABC 的垂心；
③体积 V= 1
6
a b c ；
④底面面积S △ABC
⑤S 2△BOC
=S △BHC ·S △ABC ；
⑥S 2
△BOC +S 2
△AOB +S 2
△AOC =S 2
△ABC
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OH a b c =++; ⑧外接球半径
⑨内切球半径 r=AOB BOC AOC ABC
S S S S a b c
∆∆∆∆++-++
A
B
C
D
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(1)全面积 S 全
2a ； (2)体积
3
； (3)对棱中点连线段的长
d=
2
a ；(此线段为对棱的距离，若一个球与正四面体的6条棱都相切，则此线段就是该球的直径。
)
(4)相邻两面所成的二面角 α=1
arccos 3
(5)对棱互相垂直。
(6)侧棱与底面所成的角为β=1
arccos 3
(7)外接球半径
a ； (8)内切球半径
r=
12
a . (9)正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值(等于正四面体的高). 直角四面体的性质
有一个三面角的各个面角都是直角的四面体叫做直角四面体.
如图，在直角四面体AOCB 中，∠AOB=∠BOC=∠COA=90°，OA=a ,OB=b ,OC=c .则
①不含直角的底面ABC 是锐角三角形；
②直角顶点O 在底面上的射影H 是△ABC 的垂心；
③体积 V= 1
6
a b c ；
④底面面积S △ABC
⑤S 2△BOC
=S △BHC ·S △ABC ；
⑥S 2
△BOC +S 2
△AOB +S 2
△AOC =S 2
△ABC
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OH a b c =++; ⑧外接球半径
⑨内切球半径 r=AOB BOC AOC ABC
S S S S a b c
∆∆∆∆++-++
A
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C
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(1)全面积 S 全
2a ； (2)体积
3
； (3)对棱中点连线段的长
d=
2
a ；(此线段为对棱的距离，若一个球与正四面体的6条棱都相切，则此线段就是该球的直径。
)
(4)相邻两面所成的二面角 α=1
arccos 3
(5)对棱互相垂直。
(6)侧棱与底面所成的角为β=1
arccos 3
(7)外接球半径
a ； (8)内切球半径
r=
12
a . (9)正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值(等于正四面体的高). 直角四面体的性质
有一个三面角的各个面角都是直角的四面体叫做直角四面体.
如图，在直角四面体AOCB 中，∠AOB=∠BOC=∠COA=90°，OA=a ,OB=b ,OC=c .则
①不含直角的底面ABC 是锐角三角形；
②直角顶点O 在底面上的射影H 是△ABC 的垂心；
③体积 V= 1
6
a b c ；
④底面面积S △ABC
⑤S 2△BOC
=S △BHC ·S △ABC ；
⑥S 2
△BOC +S 2
△AOB +S 2
△AOC =S 2
△ABC
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OH a b c =++; ⑧外接球半径
⑨内切球半径 r=AOB BOC AOC ABC
S S S S a b c
∆∆∆∆++-++
A
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C
D
O H
(1)全面积 S 全
2a ； (2)体积
3
； (3)对棱中点连线段的长
d=
2
a ；(此线段为对棱的距离，若一个球与正四面体的6条棱都相切，则此线段就是该球的直径。
)
(4)相邻两面所成的二面角 α=1
arccos 3
(5)对棱互相垂直。
(6)侧棱与底面所成的角为β=1
arccos 3
(7)外接球半径
a ； (8)内切球半径
r=
12
a . (9)正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值(等于正四面体的高). 直角四面体的性质
有一个三面角的各个面角都是直角的四面体叫做直角四面体.
如图，在直角四面体AOCB 中，∠AOB=∠BOC=∠COA=90°，OA=a ,OB=b ,OC=c .则
①不含直角的底面ABC 是锐角三角形；
②直角顶点O 在底面上的射影H 是△ABC 的垂心；
③体积 V= 1
6
a b c ；
④底面面积S △ABC
⑤S 2△BOC
=S △BHC ·S △ABC ；
⑥S 2
△BOC +S 2
△AOB +S 2
△AOC =S 2
△ABC
⑦
2222
1111
OH a b c =++; ⑧外接球半径
⑨内切球半径 r=AOB BOC AOC ABC
S S S S a b c
∆∆∆∆++-++
A
B
C
D
O H
❤正三棱锥性质：底面是正三角形，侧面的三个三角形全等，且为等腰三角形。
底面是正三角形，侧面是三个全等的等腰三角形
顶点在底面的射影是底面三角形的中心（也是重心、垂心、外心、内心）
❤①任意底面半径为a，高为h的圆柱都有外接球，且满足4R²=4a²+h²
②当且仅当圆柱轴截面为正方形时，圆柱有内切球，满足r=a
❤任意母线长为l，底面半径为a的圆锥，均有外接球和内切球，它们分别满足（rl+ra)²=a²
（l²-a²），以及方程组R²（1-cos²α)=a²（1）cosα=2l²-4a²/2l²（2）
小结：①任意上底面半径为a1，下底面半径为a2（a1＜a2）的圆台均有内切球，半径r满足r²=a1a2
②任意上底面半径为a1，下底面半径为a2（a1＜a2）的圆台不一定有外接球，具体情况如下：
（1）当a1a2＞1/32时，圆台无外接球
（2）当0＜a1a2≤1/32时，圆台有外接球，特别的，当a1a2=1/32时，外接球半径R满足R²=a2²+（a1²-a2²+1/4）²。