河南省漯河市2021届新第二次高考模拟考试数学试卷含解析
2020-2021学年河南省郑州市漯河中学高三数学文模拟试题含解析
2020-2021学年河南省郑州市漯河中学高三数学文模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若存在，，使得成立，则实数的取值范围是( )A. B. C. D.参考答案：D2. 已知命题则A BC D参考答案：答案：C3. 函数的最大值与最小值之差为A B. 4 C. 3 D.参考答案：A4. 已知平面向量的夹角为，（）A． B． C． D．参考答案：D5. 设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a4，a6是方程x2﹣18x+p=0的两根，那么S9=（）A．9 B．81 C．5 D．45参考答案：B【考点】85：等差数列的前n项和．【分析】利用韦达定理求出a4+a6=18，再由等差数列通项公式和前n项和公式得S9==（a4+a6），由此能求出结果．【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，a4，a6是方程x2﹣18x+p=0的两根，那∴a4+a6=18，∴S9===81．故选：B．6. 函数在上零点的个数是（）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个参考答案：C【分析】令，即，即，解得，再由，即可求解，得到答案．【详解】由函数，令，即，即，所以，又由，所以，即函数在上有4个零点，故选C．【点睛】本题主要考查了函数与方程的应用，以及三角函数的化简求值问题，其中解答中熟记函数零点的定义，准确利用正切函数的性质求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．7. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）（A）（B）（C）8 （D）参考答案：B8. 已知直线⊥平面,直线平面,下面三个命题：（***）①∥⊥；②⊥∥；③∥⊥. 则真命题的个数为A. 0B. 1C. 2D. 3参考答案：C9. 已知函数（为常数），当时取极大值，当时取极小值，则的取值范围是（）参考答案：D略10. 已知直线和的倾斜角依次为，则下列结论中正确的是．．．．参考答案：，为锐角，为钝角，由倾斜角的定义知答案选．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 如图，在半径为r的定圆C中，A为圆上的一个定点，B为圆上的一个动点，若，且点D在圆C上，则_____．参考答案：【分析】由向量加法的概念以及可得四边形为菱形，且，再由向量数量积的定义即可得结果.【详解】∵，∴四边形为平行四边形，又∵，∴，∴，故答案为：.【点睛】本题主要考查了向量加法的平行四边形法则，向量数量积的运算，得到四边形为一个内角为的菱形是解题的关键，属于基础题.12. 若行列式，则. 参考答案：213. 执行如图所示的伪代码，则输出的S的值为_______．参考答案：17【分析】模拟执行程序代码，依次写出每次循环得到的i，S的值，即可得解输出的S的值．【详解】模拟执行程序代码，可得S＝3第1步：i＝2，S＝S＋i＝5；第2步：i＝3，S＝S＋i＝8；第3步：i＝4，S＝S＋i＝12；第4步：i＝5，S＝S＋i＝17；此时，退出循环，输出S的值为17．故答案为：17．【点睛】本题主要考查了循环结构的程序代码，正确依次写出每次循环得到的i，S的值是解题的关键，属于基础题．14. 定义在R上的函数的图像关于点对称，且，.参考答案：215. 如图，三棱柱ABC－A 1B 1C1的侧棱垂直于底面，且侧棱长为4，∠ABC=90o ，AB=BC=，点P、Q分别在侧棱AA1和CC1上，AP=C1Q=3，则四棱锥B--APQC的体积为。
河南省六市2021届高三第二次联考(二模)数学(文科)试题(word版 含答案)
河南省六市2021届高三第二次联考（二模）数学（文科）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}(2)(1)0A x x x =-+<，{}11B x Z x =∈-≤≤，则A B =（ ）A ．(]1,1-B ．{0,1}C ．{1,0}-D ．{1,2}-2．在复平面内，复数z 满足()()21i 1i 2i z -=++，则复数z 对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．在五场篮球比赛中，甲、乙两名运动员得分的茎叶图如图所示，下列说法正确的是（ ）A ．甲的平均得分比乙多，且甲比乙稳定B ．甲的平均得分比乙多，但乙比甲稳定C ．乙的平均得分比甲多，且乙比甲稳定D ．乙的平均得分比甲多，但甲比乙稳定4．“欲穷千里目，更上一层楼”出自唐朝诗人王之涣的《登鹳雀楼》，鹳雀楼位于今山西永济市，该楼有三层，前对中条山，下临黄河，传说常有鹳雀在此停留，故有此名．下面是复建的鹳雀楼的示意图，某位游客（身高忽略不计）从地面D 点看楼顶点A 的仰角为30°，沿直线前进79米到达E 点，此时看点C 的仰角为45°，若2BC AC =，则楼高AB 约为（ ）．A ．65米B ．74米C ．83米D ．92米5．《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术．得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟．”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：====.则按照以上规律，若=“穿墙术”，则n=（）A．7 B．35 C．48 D．636．给出一个如图所示的流程图，若要使输入的x 值与输出的y 值相等，则这样的x 值的个数是A．1 B．2 C．3 D．47．由射线43y x=（0x≥）逆时针旋转到射线512y x=-（0x≤）的位置所成角为θ，则cosθ=A．1665-B．1665±C．5665-D．5665±8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A ．246π-B ．86π-C ．246π+D ．86π+9．已知定义域为R 的函数()f x 在[)2,+∞单调递减，且(4)()0f x f x -+=，则使得不等式()2(1)0f x x f x +++<成立的实数x 的取值范围是（ ） A ．31x -<<B ．1x <-或3x >C ．3x <-或1x >D ．1x ≠-10．若a ，b 为正实数，且11122a b a b+=++，则+a b 的最小值为（ ）．A ．23B ．43C ．2D ．411．设点1F ，2F 分别为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点.点A ，B 分别在双曲线C 的左，右支上，若21225AB F A AF AB AF ==⋅，，且22AF BF <，则双曲线C 的离心率为（ ）A B 85 C ．135D ．17712．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，2AB =，PAD △为等边三角形，线段BC 的中点为E .若1PE =，则此四校锥的外接球的表面积为（ ）A．3B ．283πC ．9π D．27二、填空题13．已知a ，b 为单位向量，且()2a a b ⊥+，则向量a 与b 的夹角为______. 14．已知直线10ax y +-=与圆()()22:11C x y a -++=相交于A ，B 两点，且ABC ∆为等腰直角三角形，则实数a 的值为______15．已知ABC 内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin 2sin b A c B =，1cos 4B =，3b =，则ABC 面积为___________. 16．若0x ∀>，不等式ln 2(0)a x b a x ++≥>恒成立，则ba 的最大值为________.三、解答题17．设数列{}n a 是公差大于零的等差数列，已知13a =，22424a a =+.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设数列{}n b 满足sin ()cos ()n n n a n b a n ππ⎧=⎨⎩为奇数为偶数，求122021b b b ++⋅⋅⋅+.18．某商店销售某海鲜，统计了春节前后50天海鲜的需求量x ，（1020x ≤≤，单位：公斤），其频率分布直方图如图所示，该海鲜每天进货1次，商店每销售1公斤可获利50元；若供大于求，剩余的削价处理，每处理1公斤亏损10元；若供不应求，可从其它商店调拨，销售1公斤可获利30元.假设商店每天该海鲜的进货量为14公斤，商店的日利润为y 元.（1）求商店日利润y 关于需求量x 的函数表达式；（2）假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替. ①求这50天商店销售该海鲜日利润的平均数；②估计日利润在区间[]580760，内的概率. 19．四面体ABCD 中，平面ABC ⊥平面BCD ，ABC 是边长为1的等边三角形，DC BC ⊥，且DC DC 中点为M ，B 关于M 的对称点为E ，且F ､G分别为CE ，AD 的中点.（1）证明：平面⊥FGM 平面BCD ； （2）求四面体BGMF 的体积.20．已知点()0,1F-，直线:2l y =-，动点P 到直线l 的距离为d ，且2PFd=，记P 的轨迹为曲线C . （1）求C 的方程；（2）过点F 的直线m 与C 交于A 、B 两点，判断AF BF AF BF⋅+是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，说明理由.21．已知函数()22()2ln 3f x x ax x x ax =--+. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若()f x 极大值大于2，求a 的取值范围.·22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos 1sin x ty t αα=+⋅⎧⎨=+⋅⎩(t 为参数，0απ≤<).以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=.（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 交于A ､B 两点，求OAB 面积的最大值.23．已知函数()21f x x a =++.（1）当2a =时，解不等式()2f x x +<；（2）若存在1,13a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，使得不等式()22f x b x a ≥++的解集非空，求b 的取值范围.参考答案1．B 【分析】解不等式得到集合A ，再和B 求交集，即可求出结果. 【详解】{}{}(2)(1)012A x x x x x =-+<=-<<，{}{}111,0,1B x Z x =∈-≤≤=-所以{}0,1A B =.故选：B 2．C 【分析】结合复数的四则运算，可求出复数z ，进而可求出z 对应的点，从而可得出答案. 【详解】由已知得()()21i 1i 2i 3i z -=++=-+， 则()()()()3i 1i 3i 42i2i 1i 1i 1i 2z -++-+--====----+， 所以复数z 对应的点为()2,1--，位于第三象限. 故选：C. 【点睛】本题考查复数的四则运算，考查复数的几何意义，考查学生对基础知识的掌握. 3．C 【分析】根据茎叶图计算甲、乙两名运动员得分的平均数与方差，由此可得出结论. 【详解】由茎叶图可知，甲运动员的平均分为12103839185x ++++==甲，方差为()()()()()2222221182181018381839182905s -+-+-+-+-==甲，乙运动员的平均得分为1122232430225x ++++==乙，方差为()()()()()22222211222222232224223022385s -+-+-+-+-==乙.因此，乙的平均得分比甲多，且乙比甲稳定. 故选：C. 4．B 【分析】设AC 的高度为x ，在直角三角形中用x 表示出,BE BD ，由79ED =可求得x 得楼高． 【详解】设AC 的高度为x ，则由已知可得3AB x =，2BC BE x ==，tan ABBD ADB ==∠，所以279DE BD BE x =-=-=，解得24.7x =≈，所以楼高324.774.174AB ≈⨯=≈（米）． 故选：B ． 【点睛】本题考查解三角形的实际应用．属于基础题． 5．D 【分析】由题意结合所给的等式归纳推理得到规律即可确定n 的值. 【详解】考查所给的等式的特征，归纳其性质有：若等式左侧根号外面的数为m ，则根号内部的分子为m ，分母为21m -， 据此归纳推理可知：28163n =-=. 本题选择D 选项. 【点睛】归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理，由归纳推理所得的结论不一定正确，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法． 6．C试题分析：该程序的作用是计算并输出分段函数2 2{23? 251,? 5? x x y x x x x≤=-≤，，＜＞的值．又∵输入的x 值与输出的y 值相等 当2x ≤时2x x =，，解得0x ，=或1x = 当25x ≤＜时23x x =-，，解得3x =， 当5x ＞时，1x x=，解得1x =±（舍去） 故满足条件的x 值共有3个故选C ． 考点：程序框图 7．A 【详解】 分析：详解：设43y x =（0x ≥）的倾斜角为α，则43sin αcos α55==， 射线512y x =-（0x ≤）的倾斜角为β，512sin βcos β1313==-， ∴()3124516cos cos βαcos αcos βsin αsin β51351365θ=-=-=⨯-+⨯=- 故选A点睛：本题主要考查了三角函数的定义及两角差的余弦函数公式，考查了逻辑推理能力与运算求解能力，属于中档题. 8．B 【分析】根据给定的几何体的三视图可知，该几何体是圆锥内部挖去了一个棱柱，利用体积公式，即可求解． 【详解】由题意，根据给定的几何体的三视图可知，该几何体是底面半径为2，高为6的圆锥内部挖3的棱柱，利用体积公式可知，几何体的体积为221263863V ππ=⨯⨯-⨯=-，【点睛】方法点睛：本题考查了几何体的三视图及体积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线，求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应公式求解． 9．C 【分析】由(4)()0f x f x -+=得到()f x 关于(2,0)对称，再由()f x 在[)2,+∞单调递减得到()f x 在R 上单调递减，利用单调性可得答案. 【详解】(4)()0f x f x -+=，则()f x 关于(2,0)对称，因为()f x 在[)2,+∞单调递减，所以()f x 在R 上单调递减， 所以(1)(3)f x f x +=--，由()2(1)0f x x f x +++<得()2(3)0f x x f x +--<， 所以()2(3)f x x f x +<-，所以23x x x +>-，解得1x >或3x <-. 故选：C ． 【点睛】思路点睛：利用函数的单调性和奇偶性比较函数值大小的思路： （1）先根据奇偶性将自变量转变至同一单调区间； （2）根据单调性比较同一单调区间内的函数值的大小关系；（3）再结合奇偶性即可判断非同一单调区间的函数值大小，由此得到结果. 10．B 【分析】 由已知可得()()1223a b a b a b +=+++⎡⎤⎣⎦，再利用基本不等式计算可得； 【详解】解：由已知可得()()()11332233a b a b a b a b +=+=+++⎡⎤⎣⎦ ()()11122322a b a b a b a b ⎛⎫=+++⋅+⎡⎤ ⎪⎣⎦++⎝⎭ 1222322a b a b a b a b ++⎛⎫=++ ⎪++⎝⎭14233⎛≥+= ⎝， 当且仅当2222a b a b a b a b ++=++，即23b =时取等号，所以+a b 的最小值为43． 故选：B 【点睛】本题考查基本不等式及其应用，属于中档题． 11．B 【分析】由222AF AB AF =⋅及数量积的运算律可得22F B AF ⊥，设1F A m =，则5AB m =，16BF m =，利用双曲线的定义及直角三角形可求得m a =（23m a =不合题意舍去），然后求出cos BNM ∠，再用余弦定理得出,a c 关系求得离心率． 【详解】15AB F A =，∴1,,F A B 共线，且15AB F A =， 2222222222()AF AB AF AF F B AF AF F B AF =⋅=+⋅=+⋅，∴220F B AF ⋅=，则22F B AF ⊥，故有22222AF BF AB +=，设1F A m =，则5AB m =，16BF m =，由双曲线的定义可得222222226225AF m a m BF aAF BF m ⎧-=⎪⎪-=⎨⎪⎪+=⎩∴222(2)(62)25m a m a m ++-=，整理得()(32)0m a m a --=，解得：m a =或23m a =，若23m a =，则283AF a =，22BF a =，不满足22AF BF <，舍去；若m a =，2234AF a BF a =<=，符合题意，则16BF a =，5AB a =， 此时22cos 5||445a BF A a BF AB ∠===，在12F BF 中，22212121222cos F F BF BF BF BF ABF =+-⋅∠，即2224361664542c a a a a =+-⨯⨯⨯，得到222175c e a ==，即22175c a =，∴c e a ==． 故选：B ．【点睛】关键点点睛：本题主要考查双曲线的定义、双曲线的离心率及直线与双曲线的位置关系的应用，其中涉及到平面向量的线性运算和余弦定理，求解出22F B AF ⊥是本题的解题关键，属于中档题. 12．B 【分析】取AD 的中点F ，连接EF ，PF ，由题意可得PF PE ⊥，求出四棱锥的高，及底面外接圆的圆心到P 在底面的投影的距离，设正方形ABCD 的中心为M ，过M 作底面的垂线MO ，则四棱锥P ABCD -的外接球的球心在MO 上，分别在两个直角三角形中求出外接球的半径与直角边的关系求出外接球的半径，进而求得外接球的表面积. 【详解】取AD 的中点F ，连接EF ，PF ，由底面ABCD 为正方形，2AB =，PAD △为等边三角形，2PF EF ∴==又1PE =，PF PE ∴⊥设正方形ABCD 的对角线交于点M ，过P 作底面的投影N ，则由题意可得N 在EF 上，由射影定理得212PE NE EF ==，而1ME =，12MN ∴=，2PN ==122MB BD ===过M 作底面的垂线MO ，则四棱锥P ABCD -的外接球的球心在MO 上， 设O 为四棱锥P ABCD -的外接球球心，半径为R ，则OP OB R == 过O 作OH PN ⊥于H ，则四边形OMNH 为矩形，1,2OH MN HN OM ∴=== （1）若四棱锥P ABCD -的外接球球心在四棱锥内部，在PH △O 中，222()OP OH PN HN =+-，即222122R OM ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在OBM 中，222OB BM OM =+，即222R OM =+联立解得：OM =，不符合题意，舍去；（2）若四棱锥P ABCD -的外接球球心在四棱锥外部，在PH △O 中，222()OP OH PN HN =++，即222122R OM ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在OBM 中，222OB BM OM =+，即222R OM =+联立解得：OM =273R =，所以四棱锥的外接球的表面积为2284.3S R ππ== 故选：B 【点睛】方法点睛：空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解． (2)若球面上四点P ，A ，B ，C 构成的三条线段,,PA PB PC 两两互相垂直，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用22224PA PB PC R ++=求解． 13．23π 【分析】根据()2a a b ⊥+得到向量的数量积为0，再根据,a b 的模长以及向量数量积的计算公式cos ,a b a b a b ⋅=<>求解出cos ,a b <>，从而,a b <>可求.【详解】因为()2a a b ⊥+，所以()20a a b ⋅+=，所以22cos ,0a a b a b +<>=， 所以12cos ,0a b +<>=，所以1cos ,2a b <>=-，所以2,3a b π<>=，故答案为：23π. 14．1或-1 【详解】因为△ABC 是等腰直角三角形，所以圆心C (1，－a )到直线ax ＋y －1＝0的距离d ＝r sin 45°＝2，即2d ==，所以a ＝±1.15 【分析】利用正弦定理求得2a c =，结合余弦定理求出,a c ，再利用三角形的面积公式可求得结果. 【详解】sin 2sin b A c B =，由正弦定理得：2ba cb =，即2a c =由余弦定理得：222cos 2a c b B ac+-=，即22214944c c c +-=，解得：294c =， 又0c >，32c ∴=，3a =0B π<<，sin B ∴==所以ABC 的面积为113sin 3222ABC S ac B ==⨯⨯=△.. 【点睛】方法点睛：在解三角形题目中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则常用： （1）若式子含有sin x 的齐次式，优先考虑正弦定理，“角化边”； （2）若式子含有,,a b c 的齐次式，优先考虑正弦定理，“边化角”； （3）若式子含有cos x 的齐次式，优先考虑余弦定理，“角化边”； （4）代数变形或者三角恒等变换前置；（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理使用；（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到A B C π++=. 16．2e 【分析】先设()ln 2a f x x x =++，对其求导，求出其最小值为()min ln 3f x a =+，得到ln 3b a a a+≤，再令()ln 3a g a a+=，对其求导，导数的方法研究其单调性，得出最大值，即可得出结果.【详解】设()ln 2a f x x x =++，则()221a x a f x x x x'-=-=，因为0a >， 所以当()0,x a ∈时，()20x af x x -'=<，则函数()f x 单调递减； 当(),x a ∈+∞时，()20x a f x x '-=>，则函数()f x 单调递增； 所以()()min ln 3f x f a a b ==+≥， 则ln 3b a a a +≤，令()ln 3a g a a +=，则()221ln 32ln a a g a a a--+'==-； 由()0g a '=可得，2a e -=； 所以当()20,a e-∈时，()22ln 0a g a a +'=->，则函数()g a 单调递增；当()2,a e -∈+∞时，()22ln 0ag a a+'=-<，则函数()g a 单调递减； 所以()()2222max ln 3e g a g e e e---+===，即b a 的最大值为2e . 故答案为：2e 【点睛】 思路点睛：导数的方法研究函数最值时，通常需要先对函数求导，解对应的不等式，求出单调区间，得出函数单调性，得出极值，进而可得出最值. 17．（1）3n a n =；（2）1010. 【分析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由13a =，22424a a =+，即可求得答案；（2）因为sin ()cos ()n n n a n b a n ππ⎧=⎨⎩为奇数为偶数，求出当n 为奇数时，0n b =，当n 为偶数时，1n b =，可得{}n b 是以2为周期的周期数列，即可求得答案. 【详解】解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，22424a a =+∴()()211324a d a d +=++，又13a =，∴()()233324d d +=++解得6d =-或3d =，0d >，∴3d =，∴33(1)3n a n n =+-=.（2）sin ()cos ()n n n a n b a n ππ⎧=⎨⎩为奇数为偶数∴当n 为奇数时，sin 3sin 0n b n ππ===， ∴当n 为偶数时，cos3cos01n b n π===，故{}n b 是以2为周期的周期数列，且121b b +=，∴()1220211211010101001010b b b b b b ++⋅⋅⋅+=++=+=.18．(1) 30280,142060140,1014x x y x x +≤≤⎧=⎨-≤<⎩(2) ①698.8元 ②0.54【分析】（1）根据不同的需求量，整理出函数解析式；（2）①利用频率分布直方图估计平均数的方法，结合利润函数得到平均利润；②根据利润区间，换算出需求量所在区间，从而找到对应的概率. 【详解】（1）商店的日利润y 关于需求量x 的函数表达式为：()()50143014,1420501014,1014x x y x x x ⎧⨯+⨯-≤≤⎪=⎨-⨯-≤<⎪⎩化简得：30280,142060140,1014x x y x x +≤≤⎧=⎨-≤<⎩（2）①由频率分布直方图得：海鲜需求量在区间[)10,12的频率是20.080.16⨯=；海鲜需求量在区间[)12,14的频率是20.120.24⨯=； 海鲜需求量在区间[)14,16的频率是20.150.30⨯=； 海鲜需求量在区间[)16,18的频率是20.100.20⨯=； 海鲜需求量在区间[]18,20的频率是20.050.10⨯=； 这5050天商店销售该海鲜日利润y 的平均数为：()()()(116014100.16136014100.24153020140.301730⨯-⨯⨯+⨯-⨯⨯+⨯+⨯⨯+⨯+)()20140.20193020140.1083.2153.621915885698.8⨯⨯+⨯+⨯⨯=++++=（元）②由于14x =时，30142806014140700⨯+=⨯-= 显然30280,142060140,1014x x y x x +≤≤⎧=⎨-≤<⎩在区间[]10,20上单调递增，58060140y x ==-，得12x =； 76030280y x ==+，得16x =；日利润y 在区间[]580,760内的概率即求海鲜需求量x 在区间[]12,16的频率：0.240.300.54+=【点睛】本题考查利用频率分布直方图估计平均数的问题，关键在于能够熟练掌握统计中用样本估计总体的方法，平均数的估计方法为每组区间的中点值与每组区间对应的频率的乘积的总和. 19．（1）证明见解析；（2）132. 【分析】（1）由平面ABC ⊥平面BCD ，可得CD ⊥平面ABC ，CD AC ⊥，CD BC ⊥，再结三角形中位线定理可得GM CD ⊥，MF CD ⊥，从而可得CD ⊥平面GMF ，再由面面垂直的判定定理可得结论；（2）由（1）可得//BC 平面GMF ，则B 到平面GMF 的距离等于C 到平面GMF 的距离，可得其距离为122==CM CD ，由已知条件可求得212⎫==⎪⎝⎭GMN S △，进而得==GMF GMN S S △△，从而可求得答案 【详解】（1）证明：因为平面ABC ⊥平面BCD ，平面ABC 平面BCD BC =，CD BC ⊥，所以CD ⊥平面ABC ，因为AC ⊂平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以CD AC ⊥，CD BC ⊥， 又G ，M 分别为AD ，CD 的中点，所以//GM AC ， 所以GM CD ⊥，同理可得MF CD ⊥， 因为=MFGM M ，所以CD ⊥平面GMF ，因为CD ⊂平面BCD ，所以平面BCD ⊥平面FGM . （2）由（1）可知，//MF BC ，因为BC ⊄平面GMF ，MF ⊂平面GMF ， 所以//BC 平面GMF ， 故B 到平面GMF 的距离， 即为C 到平面GMF 的距离，由（1）可知122==CM CD ， 即为C 到平面GMF 的距离，取BD 中点N ，则F ，M ，N 三点共线， 连结GN ，1122MN BC ==，1122==GN AB ，1122==GM AC ，所以214216⎫==⎪⎝⎭GMNS △，因为M 为FN 的中点，所以==GMF GMN S S △△， 故11332-=⋅⋅=B GMF GMF V S CM △. 【点睛】关键点点睛：此题考查面面垂直的证明和几何体体积的求法，第（2）问解题的关键是将B 到平面GMF 的距离转化为C 到平面GMF 的距离，由M 为FN 的中点，得GMF GMN S S =△△，从而可求出其体积，考查推理能力和计算能力20．（1）2212y x +=；（2）4AF BF AF BF ⋅=+，理由见解析. 【分析】（1）设点(),P x y ，利用2PF d=可得出关于x 、y 所满足的等式，化简可得曲线C 的方程；（2）对直线m 的斜率是否存在进行分类讨论，在m x ⊥轴时，求出AF BF AF BF⋅+的值；在直线m 的斜率存在时，设直线m 的方程为1y kx =-，设点()11,A x y 、()22,B x y ，将直线m 的方程与椭圆C 的方程联立，列出韦达定理，结合两点间的距离公式计算出AF BF AF BF⋅+的值.综合可得出结论. 【详解】（1）设点(),P x y ，由PFd =2=，化简得2212yx +=， 因此，曲线C 的方程为2212y x +=；（2）在椭圆2212y x +=中，a =1b c ==.当直线m 垂直于x 轴时，()()2222AF BF a c a c a c AF BFaa⋅-+-====+当直线m 不垂直于x 轴时，设直线m 的方程为1y kx =-，设点()11,A x y 、()22,B x y ，联立22112y kx y x =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 并整理得()222210k x kx +--=，()()222442810k k k ∆=++=+>，由韦达定理得12222+=+kx x k ，12212x x k =-+，1AF y ====，12y -≤≤))11111222AF y kx kx ∴=+=-=+，同理可得)21BF kx =+， 所以，()()()()212121212111122kx kx k x x k x x AF BF AF BF k x x ++⎤+++⋅⎣⎦==+++⎡⎤⎣⎦)()2222222222112242812222k k k k k k k k k ⎫-+++⎪+⎝⎭+===⎛⎫++ ⎪++⎝⎭.综上所述，4AF BF AF BF ⋅=+（定值）.【点睛】本题考查动点轨迹方程的求解，同时也考查了椭圆中的定值问题，考查韦达定理设而不求法的应用，考查计算能力，属于难题.21．（1）答案见解析；（2）()⋃+∞.【分析】（1）先对函数求导得到1()2()ln 2f x x a x '⎛⎫=--⎪⎝⎭，导函数的正负跟a 的取值有关系，所以要对a 的取值进行分类讨论，进而求出函数的单调递增区间.(2)由（1）知，0a ≤和a =无极大值，不成立．再分析当a >极大值2f >，又a >a 的取值范围；当0a <<()2f a >，得222ln a a->，求解得a 的取值范围，最后两种情况取并集即可. 【详解】（1）求导1()2()ln 2232()ln 2f x x a x x a x a x a x '⎛⎫=-+--+=-- ⎪⎝⎭0x >,当0a ≤时，令()0f x '>，()0,x a ->1ln 02x ∴->，解得：x >，所以()f x 的单调递增区间为)+∞，递减区间为(当0a <<()0f x '>，解得：0x a <<或x >，所以()f x 的单调递增区间为(0,)a 和)+∞，()f x 的单调减区间为(a当a =()0f x '≥上恒成立，所以()f x 的单调递增区间为(0,)+∞；无递减区间当a >()0f x '>，解得：0x <<x a >，所以()f x 的单调递增区间为(和(,)a +∞，()f x 的单调减区间为)a .综上：当0a ≤时，()f x 的单调递增区间为)+∞；当0a <<()f x 的单调递增区间为(0,)a 和)+∞；当a =()f x 的单调递增区间为(0,)+∞；当a >()f x 的单调递增区间为和(,)a +∞；（2）由（1）知，当0a ≤和a =当a >()f x 的极大值为222e f=>，解得a >，3104e ⎫==-<⎪⎭，所以a >当0a <<()f x 的极大值为2()(2ln )2f a a a =->，得222ln a a->， 令2t a =，则12()2ln 2g t t t =--，22124()22t g t t t t'-=-+=， ()g t 在4t =取得极大值(4)0g >，且(1)0g =.因为a <所以t e <，而()g t 在(单增，所以()0g t >，解为(，则(a ∈.综上()a ∈⋃+∞.【点睛】方法点睛：本题考查不等式的恒成立问题，不等式恒成立问题常见方法：①分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥即可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）； ②数形结合(()y f x = 图像在()y g x = 上方即可)； ③讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立.22．（1）l 的普通方程为sin cos cos sin 0x y αααα⋅-⋅+-=，曲线C 的直角坐标方程为22(2)4x y -+=；（2）最大值是【分析】（ 1）将参数方程利用代入法消去参数可得直线l 的普通方程，利用222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==，即可得曲线C 的直角坐标方程；（ 2）把直线l 的参数方程代入到曲线C 的直角坐标方程得22(sin cos )20t t αα+--=，由参数t 的几何意义求出AB ，再由O 到直线l 的距离求得三角形的高，进而求得OAB 的面积然后求最值即可. 【详解】（1）将直线l 的参数方程1cos 1sin x ty t αα=+⋅⎧⎨=+⋅⎩(t 为参数，0απ≤<)中的参数消去， 得到直线l 的普通方程，为sin cos cos sin 0x y αααα⋅-⋅+-=，由曲线C 的极坐标方程4cos ρθ=，可得24cos ρρθ=⋅，又222x y ρ=+，cos x ρθ=⋅，∴曲线C 的直角坐标方程为2240x y x +-=，即22(2)4x y -+=. （2）把直线l 的参数方程1cos 1sin x t y tαα=+⋅⎧⎨=+⋅⎩代入到曲线C 的直角坐标方程22(2)4x y -+=得：22(sin cos )20t t αα+--=，设A ､B 对应的参数分别为1t ､2t ，则122(cos sin )t t αα⋅=-，122t t ⋅=-， 由参数t 的几何意义知：12AB t t =-===又点O 到直线l 的距离cos sin d αα==-，∴OAB 的面积：1cos sin 2S AB d αα=⋅=-=≤当sin 21α=-，即34πα=时等号成立，故OAB 的面积的最大值是. 【点睛】关键点点睛：本题考查参数方程和普通方程的转化、极坐标方程和直角坐标方程的转化，关键是能够根据参数t 的几何意义将已知弦长用韦达定理的形式表示，再利用点O 到直线l 的距离表示三角形的高.23．（1）1|33x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭；（2）13,9⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【分析】（1）将2a =代入函数解析式，去绝对值化简即可求解；（2）将函数解析式代入不等式，分离参数b ，并构造函数2()|2|21g x x a x a =+-++，根据不等式解集为非空，即可知max ()b g x ≤，由绝对值三角不等式性质可变形为21b a a ≤-+，结合1,13a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，即可求得b 的取值范围.【详解】（1）当2a =时，函数()221f x x =++， 解不等式()2f x x +<化为2212x x +++<， 即221x x +<-，∴1221x x x -<+<-，解得133x -<<-， ∴不等式的解集为1|33x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭. （2）由()22f x b x a ≥++，得2|2|21b x a x a ≤+-++， 设2()|2|21g x x a x a =+-++，则不等式的解集非空，等价于max ()b g x ≤； 由()22()(2)211g x x a x a aa ≤+-++=-+，∴21b a a ≤-+；由题意知存在1,13a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，使得上式成立；而函数2()1h a a a =-+在1,13a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上的最大值为11339h ⎛⎫-=⎪⎝⎭，∴139b ≤； 即b 的取值范围是13,9⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. 【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，分离参数并构造函数法求最值的应用，绝对值三角不等式性质及应用，属于中档题.。
河南省漯河市2021届新高考数学二月模拟试卷含解析
河南省漯河市2021届新高考数学二月模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在复平面内，31i i +-复数（i 为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【解析】【分析】将复数化简得=12z i +,12z i =-,即可得到对应的点为()1,2-,即可得出结果.【详解】 3(3)(1)12121(1)(1)i i i z i z i i i i +++===+⇒=---+，对应的点位于第四象限. 故选:D .【点睛】本题考查复数的四则运算,考查共轭复数和复数与平面内点的对应,难度容易.2．关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的浦丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请全校m 名同学每人随机写下一个都小于1的正实数对(),x y ；再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对(),x y 的个数a ；最后再根据统计数a 估计π的值，那么可以估计π的值约为（ ）A ．4a mB ．2a m +C ．2a m m +D ．42a m m+ 【答案】D【解析】【分析】由试验结果知m 对0～1之间的均匀随机数,x y ，满足0101x y <<⎧⎨<<⎩，面积为1，再计算构成钝角三角形三边的数对(,)x y ，满足条件的面积，由几何概型概率计算公式，得出所取的点在圆内的概率是圆的面积比正方形的面积，即可估计π的值．【详解】解：根据题意知，m 名同学取m 对都小于1的正实数对(),x y ，即0101x y <<⎧⎨<<⎩， 对应区域为边长为1的正方形，其面积为1，若两个正实数,x y 能与1构成钝角三角形三边，则有22110101x y x y x y ⎧+<⎪+>⎪⎨<<⎪⎪<<⎩， 其面积142S π=-；则有142a m π=-，解得42a m mπ+= 故选：D ．【点睛】本题考查线性规划可行域问题及随机模拟法求圆周率的几何概型应用问题. 线性规划可行域是一个封闭的图形，可以直接解出可行域的面积；求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到试验全部结果构成的平面图形，以便求解. 3．已知下列命题：①“2,56x R x x ∀∈+>”的否定是“2,56x R x x ∃∈+≤”；②已知,p q 为两个命题，若“p q ∨”为假命题，则“()()p q ⌝∧⌝”为真命题；③“2019a >”是“2020a >”的充分不必要条件；④“若0xy =，则0x =且0y =”的逆否命题为真命题.其中真命题的序号为（ ）A ．③④B ．①②C ．①③D ．②④ 【答案】B【解析】【分析】由命题的否定，复合命题的真假，充分必要条件，四种命题的关系对每个命题进行判断．【详解】“2,56x R x x ∀∈+>”的否定是“2,56x R x x ∃∈+≤”，正确；已知为两个命题，若“p q ∨”为假命题，则“()()p q ⌝∧⌝”为真命题，正确；“2019a >”是“2020a >”的必要不充分条件,错误；“若0xy =，则0x =且0y =”是假命题，则它的逆否命题为假命题，错误.故选：B ．【点睛】本题考查命题真假判断，掌握四种命题的关系，复合命题的真假判断，充分必要条件等概念是解题基础．4．下列判断错误的是( )A ．若随机变量ξ服从正态分布()()21,,40.78N P σξ≤=，则()20.22P ξ≤-=B ．已知直线l ⊥平面α，直线//m 平面β，则“//αβ”是“l m ⊥”的充分不必要条件C ．若随机变量ξ服从二项分布： 14,4B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭:， 则()1E ξ=D ．am bm >是a b >的充分不必要条件【答案】D【解析】【分析】根据正态分布、空间中点线面的位置关系、充分条件与必要条件的判断、二项分布及不等式的性质等知识，依次对四个选项加以分析判断，进而可求解.【详解】对于A 选项，若随机变量ξ服从正态分布()()21,,40.78N P σξ≤=，根据正态分布曲线的对称性，有()()()241410.780.22P P P ξξξ≤-=≥=-≤=-=，故A 选项正确，不符合题意；对于B 选项，已知直线l ⊥平面α，直线//m 平面β，则当//αβ时一定有l m ⊥，充分性成立，而当l m ⊥时，不一定有//αβ，故必要性不成立，所以“//αβ”是“l m ⊥”的充分不必要条件，故B 选项正确，不符合题意；对于C 选项，若随机变量ξ服从二项分布： 14,4B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭:， 则()114E np ξ==4⨯=，故C 选项正确，不符合题意；对于D 选项，am bm >Q ，仅当0m >时有a b >，当0m <时，a b >不成立，故充分性不成立；若a b >，仅当0m >时有am bm >，当0m <时，am bm >不成立，故必要性不成立.因而am bm >是a b >的既不充分也不必要条件,故D 选项不正确，符合题意.故选：D【点睛】本题考查正态分布、空间中点线面的位置关系、充分条件与必要条件的判断、二项分布及不等式的性质等知识，考查理解辨析能力与运算求解能力，属于基础题.5．已知集合{}2|3100M x x x =--<，{}29N x y x ==-，且M 、N 都是全集R （R 为实数集）的子集，则如图所示韦恩图中阴影部分所表示的集合为（ ）A ．{}35x x <≤B ．{3x x <-或}5x >C ．{}32x x -≤≤-D ．{}35x x -≤≤ 【答案】C【解析】【分析】 根据韦恩图可确定所表示集合为()R N M I ð，根据一元二次不等式解法和定义域的求法可求得集合,M N ，根据补集和交集定义可求得结果.【详解】由韦恩图可知：阴影部分表示()R N M I ð， ()(){}{}52025M x x x x x =-+<=-<<Q ，{}{}29033N x x x x =-≥=-≤≤，(){}32R N M x x ∴⋂=-≤≤-ð.故选：C .【点睛】本题考查集合运算中的补集和交集运算，涉及到一元二次不等式和函数定义域的求解；关键是能够根据韦恩图确定所求集合.6．从集合{}3,2,1,1,2,3,4---中随机选取一个数记为m ，从集合{}2,1,2,3,4--中随机选取一个数记为n ，则在方程221x y m n +=表示双曲线的条件下，方程221x y m n +=表示焦点在y 轴上的双曲线的概率为（ ）A ．917B ．817C ．1735D ．935【答案】A【解析】【分析】设事件A 为“方程221x y m n +=表示双曲线”，事件B 为“方程221x y m n+=表示焦点在y 轴上的双曲线”，分别计算出(),()P A P AB ，再利用公式()(/)()P AB P B A P A =计算即可. 【详解】 设事件A 为“方程221x y m n +=表示双曲线”，事件B 为“方程221x y m n+=表示焦点在y 轴上 的双曲线”，由题意，334217()7535P A ⨯+⨯==⨯，339()7535P AB ⨯==⨯，则所求的概率为 ()9(/)()17P AB P B A P A ==.故选：A.【点睛】本题考查利用定义计算条件概率的问题，涉及到双曲线的定义，是一道容易题.7．函数||1()e sin 28x f x x =的部分图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】C【解析】【分析】 判断函数的性质，和特殊值的正负，以及值域，逐一排除选项.【详解】()()f x f x -=-，∴函数是奇函数，排除D ，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x >，,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x <，排除B ， 当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()sin 20,1x ∈，2111,888x e e π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0,1⊂ 0,2x π⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭时，()()0,1f x ∈，排除A ， C 符合条件，故选C.【点睛】本题考查了根据函数解析式判断函数图象，属于基础题型，一般根据选项判断函数的奇偶性，零点，特殊值的正负，以及单调性，极值点等排除选项.8．已知()()11,101,012x f x f x x x ⎧--<<⎪+⎪=⎨⎪≤<⎪⎩，若方程()21f x ax a -=-有唯一解，则实数a 的取值范围是( )A ．{}()81,-⋃+∞B ．{}()116,12,2⎛⎤-⋃⋃+∞ ⎥⎝⎦C ．{}()18,12,2⎡⎤-⋃⋃+∞⎢⎥⎣⎦D ．{}[]()321,24,-⋃⋃+∞【答案】B【解析】【分析】 求出()f x 的表达式，画出函数图象，结合图象以及二次方程实根的分布，求出a 的范围即可．【详解】解：令10x -<<，则011x <+<， 则1(1)2x f x ++=， 故21,101(),012x x f x x x ⎧--<<⎪⎪+=⎨⎪<⎪⎩„，如图示：由()21f x ax a -=-，得()(21)1f x a x =+-，函数(21)1y a x =+-恒过1(2A -，1)-， 由1(1,)2B ，(0,1)C ， 可得1121112AB k +==+，2OA k =，11412AC k +==， 若方程()21f x ax a -=-有唯一解，则122a <„或24a >，即1a 12<„或2a >； 当22111ax a x +-=-+即图象相切时， 根据0∆=，298(2)0a a a --=，解得16(0a =-舍去），则a 的范围是{}()116,12,2⎛⎤-⋃⋃+∞⎥⎝⎦， 故选：B ．【点睛】本题考查函数的零点问题，考查函数方程的转化思想和数形结合思想，属于中档题．9．关于函数22tan ()cos 21tan x f x x x=++，下列说法正确的是（ ） A ．函数()f x 的定义域为RB ．函数()f x 一个递增区间为3,88ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C ．函数()f x 的图像关于直线8x π=对称 D ．将函数22y x =图像向左平移8π个单位可得函数()y f x =的图像 【答案】B【解析】【分析】化简到()224f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，根据定义域排除ACD ，计算单调性知B 正确，得到答案. 【详解】 22tan ()cos 2sin 2cos 2221tan 4x f x x x x x x π⎛⎫=+=+=+ ⎪+⎝⎭， 故函数的定义域为,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭，故A 错误； 当3,88x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，2,224x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，函数单调递增，故B 正确； 当4πx =-，关于8x π=的对称的直线为2x π=不在定义域内，故C 错误.平移得到的函数定义域为R ，故不可能为()y f x =，D 错误.故选：B .【点睛】本题考查了三角恒等变换，三角函数单调性，定义域，对称，三角函数平移，意在考查学生的综合应用能力.10．已知圆1C ：22(1)(1)1x y -++=，圆2C ：22(4)(5)9x y -+-=，点M 、N 分别是圆1C 、圆2C 上的动点，P 为x 轴上的动点，则PN PM -的最大值是（ ）A ．4B ．9C ．7D ．2【答案】B【解析】 试题分析：圆()()221111C x y -++=：的圆心(11)E -，，半径为1，圆()()222459C x y -+-=：的圆心(45)F ，，半径是3．要使PN PM -最大，需PN 最大，且PM 最小，PN 最大值为3,PF PM +的最小值为1PE -，故PN PM -最大值是()() 314PF PE PF PE +--=-+;(45)F ，关于x 轴的对称点(45)F '-，，5PF PE PF PE EF -='-≤'==，故4PF PE -+的最大值为549+=，故选B ．考点：圆与圆的位置关系及其判定． 【思路点睛】先根据两圆的方程求出圆心和半径，要使|PN PM -最大，需PN 最大，且PM 最小，PN 最大值为3,PF PM +的最小值为1PE -，故PN PM -最大值是()() 314PF PE PF PE +--=-+，再利用对称性，求出所求式子的最大值．11．甲乙丙丁四人中，甲说：我年纪最大，乙说：我年纪最大，丙说：乙年纪最大，丁说：我不是年纪最大的，若这四人中只有一个人说的是真话，则年纪最大的是（ ）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁【答案】C【解析】【分析】分别假设甲乙丙丁说的是真话，结合其他人的说法，看是否只有一个说的是真话，即可求得年纪最大者，即可求得答案.【详解】①假设甲说的是真话，则年纪最大的是甲，那么乙说谎，丙也说谎，而丁说的是真话，而已知只有一个人说的是真话，故甲说的不是真话，年纪最大的不是甲；②假设乙说的是真话，则年纪最大的是乙，那么甲说谎，丙说真话，丁也说真话，而已知只有一个人说的是真话，故乙说谎，年纪最大的也不是乙；③假设丙说的是真话，则年纪最大的是乙，所以乙说真话，甲说谎，丁说的是真话，而已知只有一个人说的是真话，故丙在说谎，年纪最大的也不是乙；④假设丁说的是真话，则年纪最大的不是丁，而已知只有一个人说的是真话，那么甲也说谎，说明甲也不是年纪最大的，同时乙也说谎，说明乙也不是年纪最大的，年纪最大的只有一人，所以只有丙才是年纪最大的，故假设成立，年纪最大的是丙.综上所述，年纪最大的是丙故选：C.【点睛】本题考查合情推理，解题时可从一种情形出发，推理出矛盾的结论，说明这种情形不会发生，考查了分析能力和推理能力，属于中档题.12．函数()2cos2cos221x x f x x =+-的图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】C【解析】【分析】根据函数奇偶性可排除AB 选项；结合特殊值，即可排除D 选项.【详解】∵()2cos221cos2cos22121x x x x f x x x +=+=⨯--， ()()()2121cos 2cos22121x x x x f x x x f x --++-=⨯-=-⨯=---， ∴函数()f x 为奇函数，∴排除选项A ，B ；又∵当04x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()0f x >， 故选：C.【点睛】本题考查了依据函数解析式选择函数图象，注意奇偶性及特殊值的用法，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
河南省漯河市2021届新高考二诊数学试题含解析
河南省漯河市2021届新高考二诊数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知直线x y t +=与圆()2222x y t tt R +=-∈有公共点，则()4t t -的最大值为（ ）A ．4B ．289 C ．329D ．327【答案】C 【解析】 【分析】根据()2222x y t tt R +=-∈表示圆和直线x y t +=与圆()2222x y t t t R +=-∈有公共点，得到403t ≤≤，再利用二次函数的性质求解. 【详解】因为()2222x y t tt R +=-∈表示圆，所以220->t t ，解得02t <<， 因为直线x y t +=与圆()2222x y t tt R +=-∈有公共点，所以圆心到直线的距离d r ≤， 即≤解得403t ≤≤， 此时403t ≤≤，因为()()()224424=-=-+=--+f t t t t t t ，在40,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦递增，所以()4t t -的最大值34329⎛⎫=⎪⎝⎭f . 故选：C 【点睛】本题主要考查圆的方程，直线与圆的位置关系以及二次函数的性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题.2．如果0b a <<，那么下列不等式成立的是（ ） A ．22log log b a <B ．1122b a⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．33b a >D ．2ab b <【答案】D 【解析】 【分析】利用函数的单调性、不等式的基本性质即可得出. 【详解】∵0b a <<，∴22log log b a >，1122b a⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，33b a <，2ab b <. 故选：D. 【点睛】本小题主要考查利用函数的单调性比较大小，考查不等式的性质，属于基础题. 3．若复数211iz i=++（i 为虚数单位），则z 的共轭复数的模为（ ） A ．5 B ．4C ．2D ．5【答案】D 【解析】 【分析】由复数的综合运算求出z ，再写出其共轭复数，然后由模的定义计算模． 【详解】()()()212112111i i iz i i i i -=+=+=+++-Q ，2,5z i z ∴=-∴=．故选：D ． 【点睛】本题考查复数的运算，考查共轭复数与模的定义，属于基础题．4．第24届冬奥会将于2022年2月4日至2月20日在北京市和张家口市举行，为了解奥运会会旗中五环所占面积与单独五个环面积之和的比值P ，某学生做如图所示的模拟实验：通过计算机模拟在长为10，宽为6的长方形奥运会旗内随机取N 个点，经统计落入五环内部及其边界上的点数为n 个，已知圆环半径为1，则比值P 的近似值为( )A ．8Nnπ B ．12nNπ C ．8nNπ D ．12Nnπ【答案】B【解析】 【分析】根据比例关系求得会旗中五环所占面积，再计算比值P . 【详解】设会旗中五环所占面积为S ，由于S 60n N =，所以60n S N=， 故可得5S P π==12n Nπ. 故选：B. 【点睛】本题考查面积型几何概型的问题求解，属基础题.5．在260202x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩条件下，目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为40，则51a b +的最小值是（ ） A ．74B ．94C ．52D ．2【答案】B 【解析】 【分析】画出可行域和目标函数，根据平移得到最值点，再利用均值不等式得到答案. 【详解】如图所示，画出可行域和目标函数，根据图像知：当8,10x y ==时，810z a b =+有最大值为40，即81040z a b =+=，故4520a b +=.()(511511254194525252020204b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 当254b a a b =，即104,33a b ==时等号成立. 故选：B .【点睛】本题考查了线性规划中根据最值求参数，均值不等式，意在考查学生的综合应用能力. 6．用数学归纳法证明，则当时，左端应在的基础上加上（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 【分析】首先分析题目求用数学归纳法证明1+1+3+…+n 1=时，当n=k+1时左端应在n=k 的基础上加上的式子，可以分别使得n=k ，和n=k+1代入等式，然后把n=k+1时等式的左端减去n=k 时等式的左端，即可得到答案． 【详解】当n=k 时，等式左端=1+1+…+k 1，当n=k+1时，等式左端=1+1+…+k 1+k 1+1+k 1+1+…+（k+1）1，增加了项（k 1+1）+（k 1+1）+（k 1+3）+…+（k+1）1． 故选：C ． 【点睛】本题主要考查数学归纳法，属于中档题./ 7．已知α、,22ππβ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，αβ≠，则下列是等式sin sin 2αβαβ-=-成立的必要不充分条件的是A ．sin sin αβ>B ．sin sin αβ<C ．cos cos αβ>D ．cos cos αβ<【答案】D 【解析】 【分析】构造函数()sin h x x x =-，()sin 2f x x x =-，利用导数分析出这两个函数在区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上均为减函数，由sin sin 2αβαβ-=-得出sin sin 2ααββ-=-，分0α=、02πα-<<、02πα<<三种情况讨论，利用放缩法结合函数()y h x =的单调性推导出02παβ-<<<或02πβα<<<，再利用余弦函数的单调性可得出结论. 【详解】构造函数()sin h x x x =-，()sin 2f x x x =-， 则()cos 10h x x '=-<，()cos 20f x x '=-<，所以，函数()y f x =、()y h x =在区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上均为减函数，当02x π-<<时，则()()00h x h >=，()()00f x f >=；当02x π<<时，()0h x <，()0f x <.由sin sin 2αβαβ-=-得sin sin 2ααββ-=-. ①若0α=，则sin 20ββ-=，即()00f ββ=⇒=，不合乎题意；②若02πα-<<，则02πβ-<<，则()()sin sin 2sin h h αααβββββ=-=->-=，此时，02παβ-<<<，由于函数cos y x =在区间,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，函数sin y x =在区间,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，则sin sin αβ<，cos cos αβ<；③若02πα<<，则02πβ<<，则()()sin sin 2sin h h αααβββββ=-=-<-=，此时02πβα<<<，由于函数cos y x =在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，函数sin y x =在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，则sin sin αβ>，cos cos αβ<.综上所述，cos cos αβ<.【点睛】本题考查函数单调性的应用，构造新函数是解本题的关键，解题时要注意对α的取值范围进行分类讨论，考查推理能力，属于中等题.8．造纸术、印刷术、指南针、火药被称为中国古代四大发明，此说法最早由英国汉学家艾约瑟提出并为后来许多中国的历史学家所继承，普遍认为这四种发明对中国古代的政治，经济，文化的发展产生了巨大的推动作用.某小学三年级共有学生500名，随机抽查100名学生并提问中国古代四大发明，能说出两种发明的有45人，能说出3种及其以上发明的有32人，据此估计该校三级的500名学生中，对四大发明只能说出一种或一种也说不出的有（ ） A ．69人 B ．84人C ．108人D ．115人【答案】D 【解析】 【分析】先求得100名学生中，只能说出一种或一种也说不出的人数，由此利用比例，求得500名学生中对四大发明只能说出一种或一种也说不出的人数. 【详解】在这100名学生中，只能说出一种或一种也说不出的有100453223--=人，设对四大发明只能说出一种或一种也说不出的有x 人，则10050023x=，解得115x =人. 故选：D 【点睛】本小题主要考查利用样本估计总体，属于基础题.9．设不等式组00x y x +≥⎧⎪⎨-≤⎪⎩表示的平面区域为Ω，若从圆C ：224x y +=的内部随机选取一点P ，则P取自Ω的概率为（ ） A ．524B ．724C ．1124D ．1724【答案】B 【解析】 【分析】画出不等式组表示的可行域，求得阴影部分扇形对应的圆心角，根据几何概型概率计算公式，计算出所求概率. 【详解】作出Ω中在圆C 内部的区域，如图所示， 因为直线0x y +=，30x -=的倾斜角分别为34π，6π， 所以由图可得P 取自Ω的概率为3746224πππ-=.故选：B 【点睛】本小题主要考查几何概型的计算，考查线性可行域的画法，属于基础题. 10．已知函数321()(0)3f x ax x a =+>．若存在实数0(1,0)x ∈-，且012x ≠-，使得01()()2f x f =-，则实数a 的取值范围为（ ） A ．2(,5)3B ．2(,3)(3,5)3⋃ C ．18(,6)7D ．18(,4)(4,6)7⋃ 【答案】D 【解析】 【分析】首先对函数求导，利用导数的符号分析函数的单调性和函数的极值，根据题意，列出参数所满足的不等关系，求得结果. 【详解】()22f x ax x '=+，令()0f x '=，得10x =，22x a=-．其单调性及极值情况如下：x2,a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ 2a -2,0a ⎛⎫- ⎪⎝⎭0 ()0,∞+()f x ' +_0 +()f xZ 极大值]极小值Z若存在0111,,022x ⎛⎫⎛⎫∈--⋃- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，使得()012f x f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()21221112a a f f ⎧-<-⎪⎪⎪->-⎨⎪⎪⎛⎫-<-⎪ ⎪⎝⎭⎩（如图1）或3122a a -<-<-（如图2）．（图1）（图2） 于是可得()18,44,67a ⎛⎫∈⋃ ⎪⎝⎭， 故选：D. 【点睛】该题考查的是有关根据函数值的关系求参数的取值范围的问题，涉及到的知识点有利用导数研究函数的单调性与极值，画出图象数形结合，属于较难题目.11．马林●梅森是17世纪法国著名的数学家和修道士，也是当时欧洲科学界一位独特的中心人物，梅森在欧几里得、费马等人研究的基础上对2p ﹣1作了大量的计算、验证工作，人们为了纪念梅森在数论方面的这一贡献，将形如2P ﹣1（其中p 是素数）的素数，称为梅森素数.若执行如图所示的程序框图，则输出的梅森素数的个数是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C 【解析】 【分析】模拟程序的运行即可求出答案． 【详解】解：模拟程序的运行，可得： p ＝1，S ＝1，输出S 的值为1，满足条件p≤7，执行循环体，p ＝3，S ＝7，输出S 的值为7， 满足条件p≤7，执行循环体，p ＝5，S ＝31，输出S 的值为31， 满足条件p≤7，执行循环体，p ＝7，S ＝127，输出S 的值为127， 满足条件p≤7，执行循环体，p ＝9，S ＝511，输出S 的值为511， 此时，不满足条件p≤7，退出循环，结束，故若执行如图所示的程序框图，则输出的梅森素数的个数是5， 故选：C ． 【点睛】本题主要考查程序框图，属于基础题．12．已知斜率为2的直线l 过抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点F ，且与抛物线交于A ，B 两点，若线段AB 的中点M 的纵坐标为1，则p ＝（ ）A ．1B ．C ．2D ．4【答案】C 【解析】 【分析】设直线l 的方程为x ＝12y 2p+，与抛物线联立利用韦达定理可得p ． 【详解】 由已知得F （2p，0），设直线l 的方程为x ＝12y 2p +，并与y 2＝2px 联立得y 2﹣py ﹣p 2＝0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），AB 的中点C （x 0，y 0）， ∴y 1+y 2＝p ，又线段AB 的中点M 的纵坐标为1，则y 012=（y 1+y 2）＝12p =，所以p=2,故选C ． 【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的相交弦问题，利用韦达定理是解题的关键，属中档题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
河南省漯河市数学高三理数第二次模拟考试试卷
河南省漯河市数学高三理数第二次模拟考试试卷姓名:________班级:________成绩:________一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)1. （2 分） 设 a 是实数，若复数 + （i 为虚数单位）在复平面内对应的点在直线 x+y=0 上，则 a 的值为 （）A . -1 B.0 C.1 D.22. （2 分） 已知非空集合 M 和 N，规定， 那么 M-(M-N)等于（ ）A.B.C.MD.N3. （2 分） 某学校有体育特长生 25 人，美术特长生 35 人，音乐特长生 40 人．用分层抽样的方法从中抽取 40 人，则抽取的体育特长生、美术特长生、音乐特长生的人数分别为（ ）A . 8，14，18B . 9，13，18C . 10，14，16D . 9，14，174. （2 分） (2019 高三上·郑州期中) 如果执行下边的程序框图，且输入，（），则输出的第 1 页 共 13 页A . 240 B . 120 C . 720 D . 3605. （2 分） (2019 高一下·中山月考) 已知点于平面对称，则线段 的长为（ ），点 与点 关于 轴对称，点 与点 关A. B.4C.D. 6. （2 分） (2014·浙江理) 已知甲盒中仅有 1 个球且为红球，乙盒中有 m 个红球和 n 个蓝球（m≥3，n≥3）， 从乙盒中随机抽取 i（i=1，2）个球放入甲盒中． （a）放入 i 个球后，甲盒中含有红球的个数记为 ξi（i=1，2）； （b）放入 i 个球后，从甲盒中取 1 个球是红球的概率记为 pi（i=1，2）． 则（ ） A . p1＞p2 ， E（ξ1）＜E（ξ2）第 2 页 共 13 页B . p1＜p2 ， E（ξ1）＞E（ξ2） C . p1＞p2 ， E（ξ1）＞E（ξ2） D . p1＜p2 ， E（ξ1）＜E（ξ2）7. （2 分） 已知﹣ ＜α＜ ， 且 sinα+cosα= ， 则 α 的值为（ ） A.B. C.D.8. （2 分） (2017·长沙模拟) 已知双曲线 C：的左、右焦点分别为 F1 ， F2 ， 两条渐近线分别为 l1 ， l2 ， 过 F1 作 F1A⊥l1 于点 A，过 F2 作 F2B⊥l2 于点 B，O 为原点，若△ABO 是边长为 的等边三角形，则双曲线的方程为（ ）A.B.C.D.9. （2 分） (2017 高二上·江门月考) 已知正实数 a ， b 满足，则A.1的最小值为（ ）B.C.第 3 页 共 13 页D.10. （2 分） (2019 高一上·汤原月考) 设函数A.的最小正周期为B.的图象关于直线对称C.的图象关于点对称D.在上单调递减，则下列结论错误的是（ ）11. （ 2 分 ） 已 知 点 ， 三角形， 则（ ）， 的外心轨迹为曲线， 直线上有两个动点， 始终使为曲线 在一象限内的动点，设，，A.B.C.D.12. （2 分） 已知函数 （注：e 为自然对数的底数）（ ）A. B. C. D.二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)则方程 f(x)=ax 恰有两个不同的实根时，实数 a 的取值范围是第 4 页 共 13 页13. （1 分） (2018·广东模拟) 已知，则 在 方向上的投影为________．14. （1 分） (2019 高三上·双鸭山月考) 二项式的展开式中 的系数是________.15. （1 分） 已知 a，b，c 分别是△ABC 的三个内角 A，B，C 的对边，若 c=2，b= ， A+C=3B，则 sinC=________ 16. （1 分） (2019·广州模拟) 有一个底面半径为 ，轴截面为正三角形的圆锥纸盒，在该纸盒内放一个 棱长均为 的四面体，并且四面体在纸盒内可以任意转动，则 的最大值为________.三、 解答题 (共 7 题；共 70 分)17. （10 分） (2017·上饶模拟) 已知公比不为 1 的等比数列{an}的前 5 项积为 243，且 2a3 为 3a2 和 a4 的 等差中项．（1） 求数列{an}的通项公式 an；（2） 若数列{bn}满足 bn=bn﹣1•log3an+2（n≥2 且 n∈N*），且 b1=1，求数列的前 n 项和 Sn．18. （10 分） (2018·广东模拟) 据某市地产数据研究院的数据显示，2016 年该市新建住宅销售均价走势如 图所示，为抑制房价过快上涨，政府从 8 月份采取宏观调控措施，10 月份开始房价得到很好的抑制．参考数据： 据），（说明：以上数据为 3 月至 7 月的数回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，第 5 页 共 13 页（1） 地产数据研究院研究发现，3 月至 7 月的各月均价 （万元/平方米）与月份 之间具有较强的线性 相关关系，试建立 关于 的回归方程（系数精确到 0.01），政府若不调控，依次相关关系预测第 12 月份该市 新建住宅销售均价；（2） 地产数据研究院在 2016 年的 12 个月份中，随机抽取三个月份的数据作样本分析，若关注所抽三个月份 的所属季度，记不同季度的个数为 X，求 X 的分布列和数学期望．19. （10 分） 如图，三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，侧面 BB1C1C 为菱形，B1C 的中点为 O，AC=AB1 ．（1）文字叙述平面与平面垂直判定定理； （2）求证：平面 ABO⊥平面 ACB1 ．20. （10 分） 在直角坐标系 xOy 中，点 P 到两点（0，﹣ ），（0， ）的距离之和等于 4，设点 P 的轨迹为 C，直线 y=kx+1 与 C 交于 A，B 两点．（1）写出 C 的方程；（2）若 ⊥ ， 求 k 的值． 21. （10 分） (2015 高二下·金台期中) 已知函数 f（x）=ln（x+1），g（x）=kx（k∈R）． （1） 证明：当 x＞0 时，f（x）＜x； （2） 证明：当 k＜1 时，存在 x0＞0，使得对任意的 x∈（0，x0），恒有 f（x）＞g（x）． 22. （10 分） 解答题 （1） 当且仅当 m 为何值时，经过两点 A（﹣m，6），B（1，3m）的直线的斜率为 12？ （2） 当且仅当 m 为何值时，经过两点 A（m，2），B（﹣m，2m﹣1）的直线的倾斜角为 60 度？23. （10 分） (2019 高一上·杭州期中) 已知函数．第 6 页 共 13 页（1） 若函数在上有最大值 ，求实数 的值；（2） 若方程在上有解，求实数 的取值范围．第 7 页 共 13 页一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、 9-1、 10-1、 11-1、 12-1、二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13-1、 14-1、 15-1、参考答案第 8 页 共 13 页16-1、三、 解答题 (共 7 题；共 70 分)17-1、 17-2、18-1、第 9 页 共 13 页18-2、第 10 页 共 13 页19-1、20-1、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、23-2、。
河南省漯河市2021届新高考数学第二次调研试卷含解析
河南省漯河市2021届新高考数学第二次调研试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数2()(2)g x f x x =+为奇函数，且(2)3f =，则(2)f -=（ ） A ．2 B ．5 C ．1 D ．3【答案】B 【解析】 【分析】由函数2()(2)g x f x x =+为奇函数,则有(1)(1)0(2)1(2)10g g f f -+=⇒-+++=,代入已知即可求得.【详解】(1)(1)0(2)1(2)10(2)5g g f f f -+=⇒-+++=⇒-=-.故选:B . 【点睛】本题考查奇偶性在抽象函数中的应用,考查学生分析问题的能力,难度较易.2．在平面直角坐标系xOy 中，锐角θ顶点在坐标原点，始边为x 轴正半轴，终边与单位圆交于点5P m ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则sin 24πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．10B ．10C ．10D 【答案】A 【解析】 【分析】根据单位圆以及角度范围，可得m ，然后根据三角函数定义，可得sin ,cos θθ，最后根据两角和的正弦公式，二倍角公式，简单计算，可得结果. 【详解】由题可知：2215m ⎛+= ⎝⎭，又θ为锐角所以0m >，m =根据三角函数的定义：sin 55θθ==所以4sin 22sin cos 5θθθ==223cos 2cos sin 5θθθ=-=-由sin 2sin 2cos cos 2sin 444πππθθθ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭所以43sin 24525210πθ⎛⎫+=⨯-⨯= ⎪⎝⎭ 故选：A 【点睛】本题考查三角函数的定义以及两角和正弦公式，还考查二倍角的正弦、余弦公式，难点在于公式的计算，识记公式，简单计算，属基础题.3．已知双曲线22122:1x y C a b -=与双曲线222:14y C x -=没有公共点，则双曲线1C 的离心率的取值范围是( )A ．(B ．)+∞C ．(D ．)+∞【答案】C 【解析】 【分析】先求得2C 的渐近线方程，根据12,C C 没有公共点，判断出1C 渐近线斜率的取值范围，由此求得1C 离心率的取值范围. 【详解】双曲线222:14y C x -=的渐近线方程为2y x =±，由于双曲线22122:1x y C a b -=与双曲线222:14y C x -=没有公共点，所以双曲线1C 的渐近线的斜率2b a ≤，所以双曲线1C 的离心率(e =.故选：C 【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线，考查双曲线离心率的取值范围的求法，属于基础题.4．过双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>左焦点F 的直线l 交C 的左支于,A B 两点，直线AO （O 是坐标原点）交C 的右支于点D ，若DF AB ⊥，且BF DF =，则C 的离心率是（ ）【解析】 【分析】如图，设双曲线的右焦点为2F ，连接2DF 并延长交右支于C ，连接FC ，设2DF x =，利用双曲线的几何性质可以得到2DF x a =+，4FC x a =+，结合Rt FDC ∆、2Rt FDF ∆可求离心率. 【详解】如图，设双曲线的右焦点为2F ，连接FC ，连接2DF 并延长交右支于C . 因为2,==FO OF AO OD ，故四边形2FAF D 为平行四边形，故2FD DF ⊥. 又双曲线为中心对称图形，故2F C BF =.设2DF x =，则2DF x a =+，故22F C x a =+，故4FC x a =+.因为FDC ∆为直角三角形，故()()()2224222x a x a x a +=+++，解得x a =. 在2Rt FDF ∆中，有22249c a a =+，所以5102c e a ===. 故选：D. 【点睛】本题考查双曲线离心率，注意利用双曲线的对称性（中心对称、轴对称）以及双曲线的定义来构造关于,,a b c 的方程，本题属于难题.5．已知复数z 满足(3)1i z i +=+，则z 的虚部为（ ） A ．i - B ．iC ．–1D ．1【答案】C 【解析】 【分析】∵(3)1i z i +=+，∴131iz i i++==-， ∴2z i =--，∴复数z 的虚部为1-. 故选：C. 【点睛】本题考查复数的四则运算、虚部概念，考查运算求解能力，属于基础题. 6．抛物线22y x =的焦点为F ，则经过点F 与点()2,2M 且与抛物线的准线相切的圆的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．0个D ．无数个【答案】B 【解析】 【分析】圆心在FM 的中垂线上，经过点F ，M 且与l 相切的圆的圆心到准线的距离与到焦点F 的距离相等，圆心在抛物线上，直线与抛物线交于2个点，得到2个圆． 【详解】因为点(2,2)M 在抛物线22y x =上， 又焦点1(2F ，0)，由抛物线的定义知，过点F 、M 且与l 相切的圆的圆心即为线段FM 的垂直平分线与抛物线的交点， 这样的交点共有2个，故过点F 、M 且与l 相切的圆的不同情况种数是2种． 故选：B ． 【点睛】本题主要考查抛物线的简单性质，本题解题的关键是求出圆心的位置，看出圆心必须在抛物线上，且在垂直平分线上．7．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23S =，410S =，则6S =（ ） A ．21 B ．22C ．11D ．12【答案】A 【解析】 【分析】由题意知24264,,S S S S S --成等差数列，结合等差中项，列出方程，即可求出6S 的值.解：由{}n a 为等差数列，可知24264,,S S S S S --也成等差数列，所以()422642S S S S S -=+- ，即()62103310S ⨯-=+-，解得621S =. 故选:A. 【点睛】本题考查了等差数列的性质，考查了等差中项.对于等差数列，一般用首项和公差将已知量表示出来，继而求出首项和公差.但是这种基本量法计算量相对比较大，如果能结合等差数列性质，可使得计算量大大减少.8．如图，将两个全等等腰直角三角形拼成一个平行四边形ABCD ，将平行四边形ABCD 沿对角线BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，则直线AC 与BD 所成角余弦值为（ ）A ．223B ．6 C 3D ．13【答案】C 【解析】 【分析】利用建系，假设AB 长度，表示向量AC u u u r 与BD u u u r，利用向量的夹角公式，可得结果. 【详解】由平面ABD ⊥平面BCD ，AB BD ⊥平面ABD ⋂平面BCD BD =，AB Ì平面ABD 所以AB ⊥平面BCD ，又DC ⊂平面BCD 所以AB DC ⊥，又DB DC ⊥所以作z 轴//AB ,建立空间直角坐标系B xyz - 如图设1AB =，所以1,1,2BD DC BC ===则()()()()0,1,1,0,1,0,1,0,0,0,0,0A B C D所以()()1,1,1,0,1,0AC BD =---u u u r u u u r所以3cos ,33AC BD AC BD AC BD⋅===u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r 故选：C 【点睛】本题考查异面直线所成成角的余弦值，一般采用这两种方法：（1）将两条异面直线作辅助线放到同一个平面，然后利用解三角形知识求解；（2）建系，利用空间向量，属基础题.9．如图所示是某年第一季度五省GDP 情况图，则下列说法中不正确的是（ ）A ．该年第一季度GDP 增速由高到低排位第3的是山东省B ．与去年同期相比，该年第一季度的GDP 总量实现了增长C ．该年第一季度GDP 总量和增速由高到低排位均居同一位的省份有2个D ．去年同期浙江省的GDP 总量超过了4500亿元 【答案】D 【解析】根据折线图、柱形图的性质，对选项逐一判断即可. 【详解】由折线图可知A 、B 项均正确，该年第一季度GDP 总量和增速由高到低排位均居同一位的 省份有江苏均第一.河南均第四.共2个.故C 项正确；4632.1(1 3.3%)44844500÷+≈<. 故D 项不正确. 故选：D. 【点睛】本题考查折线图、柱形图的识别，考查学生的阅读能力、数据处理能力，属于中档题.10．设1F ，2F 是双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的左，右焦点，O 是坐标原点，过点2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P．若1PF =，则C 的离心率为（ ） ABC ．2D ．3【答案】B 【解析】 【分析】设过点()2,0F c 作b y x a =的垂线，其方程为()a y x c b =--，联立方程，求得2a x c=，ab y c =，即2,a ab P c c ⎛⎫⎪⎝⎭，由1PF =，列出相应方程，求出离心率. 【详解】解：不妨设过点()2,0F c 作b y x a =的垂线，其方程为()ay x c b=--， 由()b y x a a y xc b ⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩解得2a x c =，ab y c =，即2,a ab P c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由1PF OP =，所以有22224222226a b a a a b c c c cc ⎛⎫⎛⎫++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 化简得223a c =，所以离心率==ce a． 故选：B. 【点睛】本题主要考查双曲线的概念、直线与直线的位置关系等基础知识，考查运算求解、推理论证能力，属于中11．若某几何体的三视图（单位:cm ）如图所示，则此几何体的体积是（ ）A ．36 cm 3B ．48 cm 3C ．60 cm 3D ．72 cm 3【答案】B 【解析】试题分析：该几何体上面是长方体，下面是四棱柱；长方体的体积，四棱柱的底面是梯形，体积为，因此总的体积.考点：三视图和几何体的体积.12．若复数z 满足2312z z i -=+，其中i 为虚数单位，z 是z 的共轭复数，则复数z =（ ） A ．35 B ．5C ．4D ．5【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的四则运算法则先求出复数z ，再计算它的模长． 【详解】解：复数z ＝a+bi ，a 、b ∈R ； ∵2z 312z i -=+，∴2（a+bi ）﹣（a ﹣bi ）＝312i +，即23212a a b b -=⎧⎨+=⎩，解得a ＝3，b ＝4， ∴z ＝3+4i ，∴|z|22345+=． 故选D ．本题主要考查了复数的计算问题，要求熟练掌握复数的四则运算以及复数长度的计算公式，是基础题． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021年河南省普通高中招生考试模拟考试数学试题(含答案解析)
7．利用如图1的二维码可以进行身份识别.某校建立了一个身份识别系统，图2是某个学生的识别图案，黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0.将第一行数字从左到右依次记为 ， ， ， ，那么可以转换为该生所在班级序号，其序号为 .如图2第一行数字从左到右依次为0，1，0，1，序号为 ，表示该生为5班学生.表示6班学生的识别图案是（）
（1）求此重物在水平方向移动的距离BC；
（2）求此重物在竖直方向移动的距离B′C．（结果保留根号）
20．如图1，同一直线上依次有 ， ， 三个车站，且 ， 间的距离为 千米，甲、乙两车分别从 ， 两地同时出发，匀速相向行驶，甲车 小时可到达图中 站，乙车需 小时到达 站，乙车的速度是甲车的 ，甲、两车距 站的距离与他们行驶的时间 （小时）之间的函数关系如图2所示．
A． B．4C．3D．
10．《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等．交易其一，金轻十三两．问金、银一枚各重几何？”．意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等．两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计）．问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意得（ ）
三、解答题
16．先化简，再求值： ，其中 ．
17．某校举行“汉字听写”比赛，每位学生听写汉字 个，比赛结束后随机抽查了部分学生听写的结果，并绘制成如下统计图表（均不完整）．
组别
听写正确的个数
人数
根据以上信息解决下列问题：
1）中的条形统计图；
（3）求出图（2）中 的度数；
2021年高三第二次模拟测试数学理试题 含答案
2021年高三第二次模拟测试数学理试题含答案本试卷共4页，21小题，满分150分. 考试用时120分钟.注意事项：１．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上. 用2B铅笔将试卷类型和考生号填涂在答题卡相应位置上.2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其他答案. 答案不能答在试卷上.３．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.４．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题组号的信息点，再作答.漏涂、错涂、多涂的，答案无效.５．考生必须保持答题卡的整洁.第Ⅰ卷(选择题共40分)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求．1．“”是“”的A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件2.已知是虚数单位，复数是纯虚数，则实数的值为A．B．C．1 D．23. 若集合，，则集合不可能是A． B． C． D．4．A． B． C． D．5．若函数，常数，则A．存在使是奇函数 B．存在使是偶函数C．在上是增函数 D．在上是减函数6. 动点在函数的图象上移动，动点满足，则动点的轨迹方程为A． B．C． D．Array 7．执行如图所示的程序框图，输出的值是A．8 B. 7 C. 6 D. 58. 设函数，则的图象A．在第一象限内B．在第四象限内C．与轴正半轴有公共点D．一部分在第四象限内，其余部分在第一象限内第II卷（非选择题共110分）二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9. 右图中阴影部分区域的面积 .10. 若命题“，”的否定为真命题，则实数的取值范围是 .11. 如右图，在四边形中，，为的中点，且，则 .12．在中，，则 .13．已知函数满足：①对任意，恒有；②当时，.则；方程的最小正数解为 .选做题（请考生在以下两小题中任选一题做答，若两小题都做，则按第14题记分）. 14．（几何证明选讲选做题）如图，已知点在圆直径的延长线上，过作圆的切线,切点为若,则圆的面积为 .15．(坐标系与参数方程选做题)在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数)；以原点为极点，以轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线的极坐标方程为 . 三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16.（本小题共12分） （1）若，，求；（2）已知，,求与夹角的值.17．（本小题满分13分）已知函数的部分图象如下图，其中分别是的角所对的边. （1）求的解析式； （2）若，求的面积.18． (本题满分13分)已知向量，向量，． (1) 若,且,求的值；（2）若，设，求函数的单调增区间. 19.（本小题共14分）设是定义在上且周期为2的函数，在区间上， 其中常数, 且 (1) 求的值； （2）设函数①求证：是偶函数； ②求函数的值域.20．（本题满分14分）设函数，其中为自然对数的底数.(1) 已知，求证：；（2）是否存在与函数，的图象均相切的直线？若存在，则求出所有这样的直线的方程；若不存在，则说明理由.21．(本小题满分14分)已知函数，其中常数.(1) 求的单调增区间与单调减区间；（2）若存在极值且有唯一零点，求的取值范围及不超过的最大整数.参考答案说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求．二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9． 10． 11. 12． 13. ，14. 15.,或三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16.（本小题共12分）（1）若，，求；（2）已知，,求与夹角的值.解：（1），，……………………………………………………………………2分则，……………………………………………4分，…………………………………………………………6分另解：（1），，………………………3分则，……………………………………………4分c====，……………………6分（2）a b +===……8分又,,,. .………………………………………10分 ,.………………………………………………………………………12分另解：（2）假设与方向相同，那么，这与矛盾；假设与方向相反，那么这与矛盾.故与不共线. .……………………………………………………………8分 如图,在中,,, 则,. 从而在中,,.……………………………………………10分 由,知故2ππ5π.366AOB AOC BOC θ=∠=∠+∠=+=……………………………12分 17．（本小题满分13分）已知函数的部分图象如下图，其中分别是的角所对的边. （1）求的解析式； （2）若，求的面积. max ()1,f x a b =-=解：（1）由图象可知：得，…………………………………………………………2分函数的最小正周期，得…………………3分 由得…………………4分 ，……………………………………………………………5分 故 …………………………………………………6分 （2）由得，，……7分即 ……………………………………………………………8分 又，得…………………………10分由得，，……………………………………………………11分 故……………………………………………………………13分 18． (本题满分13分) 已知向量，向量，． (1) 若,且,求的值；（2）若，设，求函数的单调增区间. 解：（1）,且， ………………………2分即 ……………………………………………………………3分……………………………………5分 （2），，得, …………7分即π()1cos 222sin(2) 1.6y f x x x x ==+=++………………………9分 ，.（没考虑这点不扣分）由得，………11分即. …………………………………………………12分 故的单调增区间为.………………………………13分 另解：（2），，得, ………7分即π()1cos 222sin(2) 1.6y f x x x x ==+=++………………………9分 ，.（没考虑这点不扣分）函数的单调增区间为,……………10分且函数是增函数, 由，得. …………………………………………………12分 故的单调增区间为.………………………………13分 19.（本小题共14分）设是定义在上且周期为2的函数，在区间上， 其中常数, 且 (1) 求的值； （2）设函数①求证：是偶函数； ②求函数的值域.(1)解： ， ……………………………………………………1分由函数的周期为，得3311()(2)()2()102222f f f =-=-=-+=……3分 ，……………………………………………………………4分 (2) ①证明：对，有且()()(())()()()g x f x f x f x f x g x -=-+--=-+=，是偶函数. …………………………………………………6分 ②解：由①知函数的值域与函数在上的值域相等(1)(1)(1)(1)(12)2(1)2,g f f f f f =+-=+-+==-…………………………………………………8分 当时, ,()()()(2)(2)g x f x f x f x f x =+-=-+-+4(2)26()2(2)127(2)13x g x x x x x --+=-++=---+-,………………………10分,在内是增函数, …………………………11分得,即…………………13分综上知,函数的值域为…………14分 20．（本题满分14分）设函数，其中为自然对数的底数.(1) 已知，求证：；（2）是否存在与函数，的图象均相切的直线？若存在，则求出所有这样的直线的方程；若不存在，则说明理由. (1)证明:…………………………………5分 ……………………………………………6分(2) 设直线与函数的图象相切,切点为,则直线的方程为即……………………9分直线与函数的图象相切的充要条件是关于的方程 即有两个相等的实数根, ………10分即……………………………………………11分 设,则,且,在上递增, 只有一个零点……………………………………13分 所以存在唯一一条直线与函函数与的图象均相切,其方程为……………………………………………………………………………14分 21．(本小题满分14分)已知函数，其中常数.(1) 求的单调增区间与单调减区间；（2）若存在极值且有唯一零点，求的取值范围及不超过的最大整数. 解:（1）……………………………………1分①当时，1()20f x x k k k x '=+-≥=-≥， 函数为增函数. …………………………………………………………………3分②当时，，其中…………………………………4分 的取值变化情况如下表：………………………………………………………………………………………6分综合①②知当时，的增区间为，无减区间； 当时，的增区间为与，减区间为…………………7分（2）由(1)知当时，无极值；…………………………………………………8分当时，知的极大值，的极小值，故在上无零点. ………………………………………………………………10分，又，故函数有唯一零点，且.………………………………………11分又，记，则，从而，…………………………………………13分故的取值范围是不超过的最大整数………………………14分U{L29185 7201 爁27483 6B5B 歛 19977 4E09 三- R24804 60E4 惤25613 640D 損37137 9111 鄑S。
河南省漯河市2021届新高考数学仿真第二次备考试题含解析
河南省漯河市2021届新高考数学仿真第二次备考试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设点A ，B ，C 不共线，则“()AB AC BC +⊥u u u r u u u r u u u r ”是“AB AC =u u u r u u u r ”（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】利用向量垂直的表示、向量数量积的运算，结合充分必要条件的定义判断即可. 【详解】由于点A ，B ，C 不共线，则()()0AB AC BC AB AC BC +⊥⇔+⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ()()22AB AC AC AB AC AB ⇔+⋅-=-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 22AC AB ⇔=⇔u u u r u u u r “AB AC =u u u r u u u r ”；故“()AB AC BC +⊥u u u r u u u r u u u r ”是“AB AC =u u u r u u u r”的充分必要条件.故选：C. 【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查向量垂直的表示，考查向量数量积的运算，属于基础题. 2．天干地支，简称为干支，源自中国远古时代对天象的观测.“甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸”称为十天干，“子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥”称为十二地支.干支纪年法是天干和地支依次按固定的顺序相互配合组成，以此往复，60年为一个轮回.现从农历2000年至2019年共20个年份中任取2个年份，则这2个年份的天干或地支相同的概率为（ ） A ．219B ．995C ．4895D ．519【答案】B 【解析】 【分析】利用古典概型概率计算方法分析出符合题意的基本事件个数,结合组合数的计算即可出求得概率. 【详解】20个年份中天干相同的有10组（每组2个），地支相同的年份有8组（每组2个），从这20个年份中任取2个年份，则这2个年份的天干或地支相同的概率2201089C 95P +==.【点睛】本小题主要考查古典概型的计算,考查组合数的计算,考查学生分析问题的能力,难度较易.3．等腰直角三角形BCD 与等边三角形ABD 中，90C ∠=︒，6BD =，现将ABD △沿BD 折起，则当直线AD 与平面BCD 所成角为45︒时，直线AC 与平面ABD 所成角的正弦值为（ ）A 3B ．22C 3D 23【答案】A 【解析】 【分析】设E 为BD 中点，连接AE 、CE ，过A 作AO CE ⊥于点O ，连接DO ，得到ADO ∠即为直线AD 与平面BCD 所成角的平面角，根据题中条件求得相应的量，分析得到CAE ∠即为直线AC 与平面ABD 所成角，进而求得其正弦值，得到结果. 【详解】设E 为BD 中点，连接AE 、CE ，由题可知AE BD ⊥，CE BD ⊥，所以BD ⊥平面AEC ， 过A 作AO CE ⊥于点O ，连接DO ，则AO ⊥平面BDC ， 所以ADO ∠即为直线AD 与平面BCD 所成角的平面角， 所以2sin AOADO AD∠==，可得32AO = 在AOE △中可得3OE =， 又132OC BD ==，即点O 与点C 重合，此时有AC ⊥平面BCD ， 过C 作CF AE ⊥与点F ，又BD AEC ⊥平面，所以BD CF ⊥，所以CF ⊥平面ABD ，从而角CAE ∠即为直线AC 与平面ABD 所成角，3sin 33CE CAE AE ∠===， 故选：A. 【点睛】空间角的平面角的定义，属于中档题目.4．已知定义在R 上的可导函数()f x 满足()()()'10x f x x f x -⋅+⋅>，若3(2)y f x e=+-是奇函数，则不等式1()20x x f x e +⋅-<的解集是（ ） A ．(),2-∞ B ．(),1-∞C ．()2,+∞D ．()1,+∞【答案】A 【解析】 【分析】 构造函数()()xx f x g x e ⋅=，根据已知条件判断出()g x 的单调性.根据()32y f x e =+-是奇函数，求得()2f 的值，由此化简不等式1()20x x f x e +⋅-<求得不等式的解集.【详解】构造函数()()x x f x g x e ⋅=，依题意可知()()()()''10xx f x x f x g x e-⋅+⋅=>，所以()g x 在R 上递增.由于()32y f x e =+-是奇函数，所以当0x =时，()320y f e =-=，所以()32f e =，所以()32222e g e e⨯==.由1()20x x f x e +⋅-<得()()()22xx f x g x e g e⋅=<=，所以2x <，故不等式的解集为(),2-∞. 故选：A 【点睛】本小题主要考查构造函数法解不等式，考查利用导数研究函数的单调性，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题. 5．已知双曲线的两条渐近线与抛物线22,(0)y px p =>的准线分别交于点、，O 为坐标原点．若双曲线的离心率为2，三角形AOB 3p=（ ）． A ．1 B ．32C ．2D ．3【答案】C 【解析】试题分析：抛物线22,(0)y px p =>的准线为x =-ｐ２，双曲线的离心率为2，则222221=4c b e a a==+，b a =y =，求出交点(,)22p A -，(,)22p B --，12AOB S ∆=⨯22p p ==2p =；选C 考点：1.双曲线的渐近线和离心率；2.抛物线的准线方程； 6．已知变量的几组取值如下表：若y 与x 线性相关，且ˆ0.8yx a =+，则实数a =（ ） A ．74B ．114C ．94D ．134【答案】B 【解析】 【分析】求出,x y ，把坐标(,)x y 代入方程可求得a ． 【详解】 据题意，得()()151191234, 2.4 4.3 5.374244x y =+++==+++=，所以1950.842a =⨯+，所以114a =． 故选：B ． 【点睛】本题考查线性回归直线方程，由性质线性回归直线一定过中心点(,)x y 可计算参数值．7．10212x ⎛ ⎝的展开式中有理项有（ ） A ．3项 B ．4项C ．5项D ．7项【答案】B 【解析】 【分析】由二项展开式定理求出通项，求出x 的指数为整数时r 的个数，即可求解. 【详解】720103110(1)2r r r rr T C x--+=-，010r ≤≤，当0r =，3，6，9时，1r T +为有理项，共4项.本题考查二项展开式项的特征，熟练掌握二项展开式的通项公式是解题的关键，属于基础题. 8．已知函数f （x ）＝sin 2x+sin 2（x 3π+），则f （x ）的最小值为（ ） A ．12B ．14C．4D．2【答案】A 【解析】 【分析】先通过降幂公式和辅助角法将函数转化为()11cos 223f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，再求最值. 【详解】已知函数f （x ）＝sin 2x+sin 2（x 3π+）， =21cos 21cos 2322x x π⎛⎫-+⎪-⎝⎭+，=1cos 2111cos 22223x x π⎛⎛⎫-=-+ ⎪ ⎝⎭⎝⎭， 因为[]cos 21,13x π⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭， 所以f （x ）的最小值为12. 故选：A 【点睛】本题主要考查倍角公式及两角和与差的三角函数的逆用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 9．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且443S a =+，则2a =( ) A ．2- B ．1-C ．1D ．2【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列的性质化简已知条件，求得2a 的值. 【详解】由于等差数列{}n a 满足443S a =+，所以123443a a a a a +++=+，1233a a a ++=，2233,1a a ==.本小题主要考查等差数列的性质，属于基础题. 10．执行程序框图，则输出的数值为（ ）A ．12B ．29C ．70D ．169【答案】C 【解析】 【分析】由题知：该程序框图是利用循环结构计算并输出变量b 的值，计算程序框图的运行结果即可得到答案. 【详解】0a =，1b =，1n =，022b =+=，5n <，满足条件，2012a -==，2n =，145b =+=，5n <，满足条件， 5122a -==，3n =，21012b =+=，5n <，满足条件，12252a -==，4n =，52429b =+=，5n <，满足条件，295122a -==，5n =，125870b =+=，5n =，不满足条件，输出70b =. 故选：C 【点睛】本题主要考查程序框图中的循环结构，属于简单题.11．已知函数()sin 3f x a x x =的图像的一条对称轴为直线56x π=，且12()()4f x f x ⋅=-，则12x x +的最小值为( )A ．3π-B ．0C ．3π D ．23π 【答案】D运用辅助角公式，化简函数()f x 的解析式，由对称轴的方程，求得a 的值，得出函数()f x 的解析式，集合正弦函数的最值，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，函数()sin )(f x a x x x θθ==+为辅助角)， 由于函数的对称轴的方程为56x π=，且53()622a f π=+，即322a +=1a =，所以()2sin()3f x x π=-， 又由12()()4f x f x ⋅=-，所以函数必须取得最大值和最小值，所以可设11152,6x k k Z ππ=+∈，2222,6x k k Z ππ=-∈， 所以1212222,3x x k k k Z πππ+=++∈， 当120k k ==时，12x x +的最小值23π，故选D.【点睛】本题主要考查了正弦函数的图象与性质，其中解答中利用三角恒等变换的公式，化简函数的解析式，合理利用正弦函数的对称性与最值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.12．已知实数,x y 满足不等式组10240440x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，则34x y +的最小值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B 【解析】 【分析】作出约束条件的可行域，在可行域内求34z x y =+的最小值即为34x y +的最小值，作34y x =-，平移直线即可求解. 【详解】作出实数,x y 满足不等式组10240440x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩的可行域，如图（阴影部分）令34z x y =+，则344z y x =-+， 作出34y x =-，平移直线，当直线经过点()1,0A 时，截距最小， 故min 3103z =⨯+=， 即34x y +的最小值为3. 故选：B 【点睛】本题考查了简单的线性规划问题，解题的关键是作出可行域、理解目标函数的意义，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021年河南省漯河市灵宝实验高级中学高三数学理模拟试卷含解析
2021年河南省漯河市灵宝实验高级中学高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知点，若函数的图象上存在两点到点的距离相等，则称该函数为“点距函数”，给定下列三个函数:①；②；③，其中“点距函数”的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3参考答案：C2. 定义在上的偶函数，其导函数为，若对任意的实数，都有恒成立，则使成立的实数的取值范围为（）A. B．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）C．（﹣1，1）D．（﹣1，0）∪（0，1）参考答案：3. 倾斜角为135 ，在轴上的截距为的直线方程是（）A. B.C. D.参考答案：D直线的斜率为，所以满足条件的直线方程为，即，选D.4. 已知双曲线的一条渐近线方程为，且经过点，则该双曲线的标准方程为（）A. B.C. D.参考答案：B【分析】对选项逐一分析排除，由此得出正确选项.【详解】对于A选项，双曲线的渐近线为，不符合题意.对于B选项，双曲线的渐近线为，且过点，符合题意.对于C选项，双曲线的渐近线为，但不过点，不符合题意.对于D选项，双曲线的渐近线为，不符合题意.综上所述，本小题选B.【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线方程，考查双曲线标准方程的求法，属于基础题.5. 如图是某工厂对一批新产品长度（单位：mm）检测结果的频率分布直方图．估计这批产品的中位数为（）A．20 B．25 C．22.5 D．22.75参考答案：C【考点】频率分布直方图．【专题】概率与统计．【分析】根据频率分布直方图中，中位数的左右两边频率相等，列出等式，求出中位数即可．【解答】解：根据频率分布直方图，得；∵0.02×5+0.04×5=0.3＜0.5，0.3+0.08×5=0.7＞0.5；∴中位数应在20～25内，设中位数为x，则0.3+（x﹣20）×0.08=0.5，解得x=22.5；∴这批产品的中位数是22.5．故选：C．【点评】本题考查了利用频率分布直方图求数据的中位数的应用问题，是基础题目．6. 已知函数，记集合，集合，若，且都不是空集，则的取值范围是（）A. [0,4)B.[－1,4)C. [－3,5]D. [0,7)参考答案：A【分析】设，代入集合得到，讨论和两种情况，得到无解，计算得到答案.【详解】都不是空集，设，则；，则.当时：方程的解为此时，满足；当时：的解为或，则或，则无解，综上所述：，故选：【点睛】本题考查了集合的关系，函数零点问题，综合性强，意在考查学生的综合应用能力.7. 已知，则( )A． B． C．D．参考答案：C略8. 下列函数中，在其定义域内，既是奇函数又是减函数的是（）A．f（x）=B．f（x）=C．f（x）=2﹣x﹣2x D．f（x）=﹣tanx参考答案：C【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】根据函数的解析式及基本初等函数的性质，逐一分析出四个函数的单调性和奇偶性，即可得到答案．【解答】解：A中，f（x）=是奇函数，但在定义域内不单调；B中，f（x）=是减函数，但不具备奇偶性；C中，f（x）2﹣x﹣2x既是奇函数又是减函数；D中，f（x）=﹣tanx是奇函数，但在定义域内不单调；故选C．9. 已知复数，则（）A．B． C．D．参考答案：A略10. 已知对R，函数都满足，且当时，，则（）2,4,6A． B． C． D．D二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知向量，满足，（﹣）⊥，向量与的夹角为 ．参考答案：【考点】数量积表示两个向量的夹角． 【分析】由题意可得 （）?=﹣=0，再利用两个向量的数量积的定义求得 cos ＜＞的值，即可求得向量与的夹角． 【解答】解：由题意可得 （）?=﹣=0，即 1﹣1××cos＜＞=0，解得 cos ＜＞=．再由＜＞∈[0，π]，可得＜＞=，故答案为．【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义，根据三角函数的值求角，属于中档题．12. 已知函数f (x )＝若f (2－a 2)>f (a )，则实数a 的取值范围是________．参考答案： (－2,1)13. 设菱形ABCD 的对角线AC 的长为4，则= ．参考答案：8【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据平面向量的数量积定义，写出?，再由菱形的对角线互相垂直平分，利用三角中余弦函数的定义， 得到||×cos ∠BAO=||=2，从而求出答案．【解答】解：设菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于O 点，则AC ⊥BD ，且AO=AC=2，由平面向量的数量积定义可知： ?=||×||×cos ∠BAC=4×||×cos ∠BAO =4×||=4×2=8．故答案为：8．14. 函数且在上，是减函数，则n=_______________.参考答案：1或2 略15. 在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，若，则∠C 的大小为 ．参考答案：∵∴根据正弦定理可得∵∴，即∴故答案为.16.已知一个球的内接正方体的表面积为S ，那么这个球的半径为 参考答案：答案：17. 在的展开式中，含有项的系数为．（用数字作答）参考答案：三、 解答题：本大题共5小题，共72分。
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河南省漯河市2021届新第二次高考模拟考试数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．某工厂只生产口罩、抽纸和棉签，如图是该工厂2017年至2019年各产量的百分比堆积图（例如：2017年该工厂口罩、抽纸、棉签产量分别占40%、27%、33%），根据该图，以下结论一定正确的是（）A．2019年该工厂的棉签产量最少B．这三年中每年抽纸的产量相差不明显C．三年累计下来产量最多的是口罩D．口罩的产量逐年增加【答案】C【解析】【分析】根据该厂每年产量未知可判断A、B、D选项的正误，根据每年口罩在该厂的产量中所占的比重最大可判断C选项的正误.综合可得出结论.【详解】由于该工厂2017年至2019年的产量未知，所以，从2017年至2019年棉签产量、抽纸产量以及口罩产量的变化无法比较，故A、B、D选项错误；由堆积图可知，从2017年至2019年，该工厂生产的口罩占该工厂的总产量的比重是最大的，则三年累计下来产量最多的是口罩，C选项正确.故选：C.【点睛】本题考查堆积图的应用，考查数据处理能力，属于基础题.2．如图是国家统计局于2020年1月9日发布的2018年12月到2019年12月全国居民消费价格的涨跌幅情况折线图.（注：同比是指本期与同期作对比；环比是指本期与上期作对比.如：2019年2月与2018年2月相比较称同比，2019年2月与2019年1月相比较称环比）根据该折线图，下列结论错误的是（）A ．2019年12月份，全国居民消费价格环比持平B ．2018年12月至2019年12月全国居民消费价格环比均上涨C ．2018年12月至2019年12月全国居民消费价格同比均上涨D ．2018年11月的全国居民消费价格高于2017年12月的全国居民消费价格 【答案】D 【解析】 【分析】先对图表数据的分析处理，再结简单的合情推理一一检验即可 【详解】由折线图易知A 、C 正确；2019年3月份及6月份的全国居民消费价格环比是负的，所以B 错误；设2018年12月份，2018年11月份，2017年12月份的全国居民消费价格分别为,,a b c ，由题意可知，b a =，1.9%a c c -=，则有1 1.9%ac a b =<=+，所以D 正确. 故选：D 【点睛】此题考查了对图表数据的分析处理能力及进行简单的合情推理，属于中档题.3．如图所示，网络纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某四棱锥的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．2B ．83C ．6D ．8【答案】A 【解析】先由三视图确定该四棱锥的底面形状，以及四棱锥的高，再由体积公式即可求出结果. 【详解】由三视图可知，该四棱锥为斜着放置的四棱锥，四棱锥的底面为直角梯形，上底为1，下底为2，高为2，四棱锥的高为2， 所以该四棱锥的体积为()11V 1222232=⨯⨯+⨯⨯=. 故选A 【点睛】本题主要考查几何的三视图，由几何体的三视图先还原几何体，再由体积公式即可求解，属于常考题型.4．已知集合U =R ，{}0A y y =≥，{}1B y y ==，则U A B =I ð( )A ．[)0,1B ．()0,∞+C ．()1,+∞D ．[)1,+∞【答案】A 【解析】 【分析】求得集合B 中函数的值域，由此求得U B ð，进而求得U A B ⋂ð. 【详解】由11y =≥，得[)1,B =+∞，所以()U ,1B =-∞ð，所以[)U 0,1A B =I ð.故选：A 【点睛】本小题主要考查函数值域的求法，考查集合补集、交集的概念和运算，属于基础题.5．若复数()()2a i 1i (i ++为虚数单位)在复平面内所对应的点在虚轴上，则实数a 为（ ） A ．2- B ．2C ．12-D ．12【答案】D 【解析】 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0求得a 值． 【详解】解：()()()()2a i 1i 2a 12a 1i ++=-++Q 在复平面内所对应的点在虚轴上，2a 10∴-=，即1a 2=． 故选D ．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题． 6．设数列{}()*n a n N ∈的各项均为正数，前n 项和为nS ，212log 1log n n a a +=+，且34a =，则6S =（ ）A ．128B ．65C ．64D ．63【答案】D 【解析】 【分析】根据212log 1log n n a a +=+，得到212log l g 2o n n a a +=，即12n n a a +=，由等比数列的定义知数列{}n a 是等比数列，然后再利用前n 项和公式求6S . 【详解】因为212log 1log n n a a +=+， 所以212log l g 2o n n a a +=， 所以12n n a a +=，所以数列{}n a 是等比数列， 又因为34a =， 所以312414a a q ===， ()()6616111263112a q S q-⨯-===--.故选：D 【点睛】本题主要考查等比数列的定义及等比数列的前n 项和公式，还考查了运算求解的能力，属于中档题.7．已知双曲线2222:1(0)x y M b a a b-=>>的焦距为2c ，若M 的渐近线上存在点T ，使得经过点T 所作的圆222()a c y x +=-的两条切线互相垂直，则双曲线M 的离心率的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 【分析】由b a >可得e >由过点T 所作的圆的两条切线互相垂直可得TF =,又焦点(c,0)F 到双曲线渐近线的距离为b ,则2TF a b =≥,进而求解.【详解】b a >Q ,所以离心率212c b e a a ⎛⎫==+> ⎪⎝⎭,又圆222()a c y x +=-是以(c,0)F 为圆心,半径r a =的圆,要使得经过点T 所作的圆的两条切线互相垂直,必有2TF a =,而焦点(c,0)F 到双曲线渐近线的距离为b ,所以2TF a b =≥,即2ba≤,所以213c b e a a ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭≤,所以双曲线M 的离心率的取值范围是(2,3]. 故选:B【点睛】本题考查双曲线的离心率的范围,考查双曲线的性质的应用.8．当输入的实数[]230x ∈，时，执行如图所示的程序框图，则输出的x 不小于103的概率是（ ）A ．914B ．514C ．37D ．928【答案】A 【解析】 【分析】根据循环结构的运行，直至不满足条件退出循环体，求出x 的范围，利用几何概型概率公式，即可求出结论. 【详解】程序框图共运行3次，输出的x 的范围是[]23247，， 所以输出的x 不小于103的概率为24710314492472322414-==-.故选:A. 【点睛】本题考查循环结构输出结果、几何概型的概率，模拟程序运行是解题的关键，属于基础题.9．某地区高考改革，实行“3+2+1”模式，即“3”指语文、数学、外语三门必考科目，“1”指在物理、历史两门科目中必选一门，“2”指在化学、生物、政治、地理以及除了必选一门以外的历史或物理这五门学科中任意选择两门学科，则一名学生的不同选科组合有（ ） A ．8种 B ．12种 C ．16种 D ．20种【答案】C 【解析】 【分析】分两类进行讨论：物理和历史只选一门；物理和历史都选，分别求出两种情况对应的组合数，即可求出结果. 【详解】若一名学生只选物理和历史中的一门，则有122412C C =种组合； 若一名学生物理和历史都选，则有144C =种组合；因此共有12416+=种组合. 故选C 【点睛】本题主要考查两个计数原理，熟记其计数原理的概念，即可求出结果，属于常考题型. 10．设复数z 满足12z zz +=+，z 在复平面内对应的点的坐标为(),x y 则（ ） A ．221x y =+ B ．221y x =+ C ．221x y =-D ．221y x =-【分析】根据共轭复数定义及复数模的求法，代入化简即可求解. 【详解】z 在复平面内对应的点的坐标为(),x y ，则z x yi =+，z x yi =-，∵12z zz +=+， 代入可得221x y x +=+， 解得221y x =+. 故选：B. 【点睛】本题考查复数对应点坐标的几何意义，复数模的求法及共轭复数的概念，属于基础题.11．20世纪产生了著名的“31x +”猜想：任给一个正整数x ，如果x 是偶数，就将它减半；如果x 是奇数，则将它乘3加1，不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1.如图是验证“31x +”猜想的一个程序框图，若输入正整数m 的值为40，则输出的n 的值是（ ）A ．8B ．9C ．10D ．11【答案】C列出循环的每一步，可得出输出的n 的值. 【详解】1n =，输入40m =，112n =+=，1m =不成立，m 是偶数成立，则40202m ==； 213n =+=，1m =不成立，m 是偶数成立，则20102m ==； 314n =+=，1m =不成立，m 是偶数成立，则1052m ==；415n =+=，1m =不成立，m 是偶数不成立，则35116m =⨯+=；516n =+=，1m =不成立，m 是偶数成立，则1682m ==； 617n =+=，1m =不成立，m 是偶数成立，则842m ==；718=+=n ，1m =不成立，m 是偶数成立，则224m ==；819n =+=，1m =不成立，m 是偶数成立，则212m ==；9110n =+=，1m =成立，跳出循环，输出n 的值为10.故选：C. 【点睛】本题考查利用程序框图计算输出结果，考查计算能力，属于基础题.12．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A ．若αβ⊥，m α⊂，n β⊂，则m n ⊥ B ．若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m n C ．若m n ⊥，m α⊂，n β⊂，则αβ⊥ D ．若m α⊥，//m n ，//n β，则αβ⊥ 【答案】D 【解析】试题分析：m α⊥Q ，,n βαβ∴⊥P ,故选D.考点：点线面的位置关系.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．成都市某次高三统考，成绩X 经统计分析，近似服从正态分布2(100,)X N σ～，且(86100)0.15P X <≤=，若该市有8000人参考，则估计成都市该次统考中成绩X 大于114分的人数为_____．【答案】2800. 【解析】 【分析】根据正态分布密度曲线性质，结合(86100)0.15P X <≤=求得()11140.150.352P X >=-=，即可得解. 【详解】根据正态分布2100,X N σ～（），且(86100)0.15P X ≤=＜，所以()11140.150.352P X >=-= 故该市有8000人参考，则估计成都市该次统考中成绩X 大于114分的人数为80000.352800⨯=． 故答案为：2800． 【点睛】此题考查正态分布密度曲线性质的理解辨析，根据曲线的对称性求解概率，根据总人数求解成绩大于114的人数.14．已知一个正四棱锥的侧棱与底面所成的角为60︒，侧面积为，则该棱锥的体积为__________．【解析】 【分析】如图所示，正四棱锥P ABCD -，O 为底面的中心，点M 为AB 的中点，则60PAO ∠=o ，设AB a =，根据正四棱锥的侧面积求出a 的值，再利用勾股定理求得正四棱锥的高，代入体积公式，即可得到答案. 【详解】如图所示，正四棱锥P ABCD -，O 为底面的中心，点M 为AB 的中点， 则60PAO ∠=o ，设AB a =，∴2OA a =，∴PA =，∴2PM ==，∴14()22a a ⨯⋅=⇒=，∴2PO a ==，∴2133V a PO =⨯⨯=.故答案为：463.【点睛】本题考查棱锥的侧面积和体积，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解能力. 15．已知函数()2e (e)ln exf x f x '=-，则函数()f x 的极大值为 ___________． 【答案】2ln 2 【解析】 【分析】对函数求导，通过赋值，求得()f e '，再对函数单调性进行分析，求得极大值. 【详解】()()21ef e f x x e '-'=，故()()21ef e f e e e'-'= 解得()1f e e '=，()2x f x Inx e =- ，()21f x x e='- 令()0f x '=，解得2x e =函数在()0,2e 单调递增，在()2,e +∞单调递减， 故()f x 的极大值为()222222f e In e In =-= 故答案为：22In . 【点睛】本题考查函数极值的求解，难点是要通过赋值，求出未知量()f e '. 16．等腰直角三角形ABC 内有一点P ，1PA =，2PB =2PC =，90A ∠=o ，则ABC ∆面积为______. 【答案】52【解析】利用余弦定理计算()cos ,cos 90PAB PAB ∠-∠o，然后根据平方关系以及三角形面积公式，可得结果. 【详解】 设AB AC x == 由题可知：222cos 2PA AB PB PAB PA AB+-∠=⋅ ()222cos 90sin 2PA AC PC PAB PAB PA AC+--∠==∠⋅o由22sin cos 1PAB PAB ∠+∠=，1PA =，PB =2PC =所以22222222112122x x x x ⎡⎤+-⎡⎤+-⎢⎥+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦化简可得：42650x x -+= 则25x =或21x =，即x =1x =由AB PA >，所以x =所以1522ABC S AB AC ∆=⋅⋅= 故答案为：52【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形，仔细观察，细心计算，属基础题. 三、解答题：共70分。