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3空间中的垂直关系 习题 中等

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空间中的垂直关系(带答案)教学提纲

空间中的垂直关系(带答案)教学提纲

空间中的垂直关系(带答案)空间中的垂直关系专题训练知识梳理一、线线垂直：如果两条直线于一点或经过后相交于一点，并且交角为，则称这两条直线互相垂直.二、线面垂直：1.定义：如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的_________________，则称这条直线和这个平面垂直. 也就是说，如果一条直线垂直于一个平面，那么他就和平面内任意一条直线都 .直线l和平面α互相垂直，记作l⊥α.2.判定定理：如果一条直线与平面内的直线垂直，则这条直线与这个平面垂直.推论①：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也于这个平面.推论②：如果两条直线同一个平面，那么这两条直线平行.3.点到平面的距离：长度叫做点到平面的距离.三、面面垂直：1.定义：如果两个相交平面的交线与第三个平面，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线，就称这两个平面互相垂直.平面α，β互相垂直，记作α⊥β.2.判定定理：如果一个平面经过另一个平面的___________，则这两个平面互相垂直.3.性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于直线垂直于另一个平面.四、求点面距离的常用方法：1.直接过点作面的垂线，求垂线段的长，通常要借助于某个三角形.2.转移法：借助线面平行将点转移到直线上某一特殊点到平面的距离来求解.3.体积法：利用三棱锥的特征转换位置来求解.题型一线线垂直、线面垂直的判定及性质例1.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，A C⊥CD，∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中点.求证：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.【变式1】已知：正方体ABCD﹣A1B1C1D1 ，AA1=2，E为棱CC1的中点．（Ⅰ）求证：B1D1⊥AE；（Ⅱ）求证：AC∥平面B1DE．【解答】（Ⅰ）连接BD，则BD∥B1D1，∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD．∵CE⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴CE⊥BD．又∵AC∩CE=C，∴BD⊥面ACE．∵AE⊂面ACE，∴BD⊥AE，∴B1D1⊥AE．﹣﹣﹣（5分）（Ⅱ）证明：取BB1的中点F，连接AF、CF、EF．∵ E、F是C1C、B1B的中点，∴ CE∥B1F且CE=B1F，∴ 四边形B1FCE是平行四边形，∴ CF∥ B1E．∵ 正方形BB1C1C中，E、F是CC、BB的中点，∴ EF∥BC且EF=BC又∵ BC∥AD且BC=AD，∴ E F∥AD且EF=AD．∴ 四边形ADEF是平行四边形，可得AF∥ED，∵ AF∩CF=C，BE∩ED=E，∴ 平面ACF∥平面B1DE．又∵ AC⊂平面ACF，∴AC∥面B1DE．【变式2】如图，已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，点E、G分别是CD、PC的中点，点F在PD上，且PF：FD=2：1．（Ⅰ）证明：EA⊥ PB；（Ⅱ）证明：BG∥面AFC．【解答】（Ⅰ）证明：因为面ABCD为菱形，且∠ABC=60°，所以△ ACD为等边三角形，又因为E是CD的中点，所以EA⊥AB．又PA⊥平面ABCD，所以EA⊥PA．而AB∩PA=A所以EA⊥面PAB，所以EA⊥PB．（Ⅱ）取PF中点M，所以PM=MF=FD．连接MG，MG∥CF，所以MG∥面AFC．连接BM，BD，设AC∩BD=O，连接OF，所以BM∥OF，所以BM∥面AFC．而BM∩MG=M所以面BGM∥面AFC，所以BG∥面AFC．【变式3】如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB=，AA1=2．（1）证明：AA1⊥ BD（2）证明：平面A1BD∥平面CD1B1；（3）求三棱柱ABD﹣A1B1D1的体积．【解答】（1）证明：∵底面ABCD是正方形，∴BD⊥AC，又∵ A1O⊥平面ABCD且BD⊂面ABCD，∴A1O⊥BD，又∵ A1O∩AC=O，A1O⊂面A1AC，AC⊂面A1AC，∴BD⊥面A1AC，AA1⊂面A1AC，∴ AA1⊥BD．（2）∵ A1B1∥AB，AB∥CD，∴ A1B1∥CD，又A1B1=CD，∴四边形A1B1CD是平行四边形，∴ A1D∥B1C，同理A1B∥CD1，∵ A1B⊂平面A1BD，A1D⊂平面A1BD，CD1⊂平面CD1B1，B1C⊂平面CD1B，且A1B∩A1D=A1，CD1∩B1C=C，∴平面A1BD∥平面CD1B1．（3）∵ A1O⊥面ABCD，∴ A1O是三棱柱A1B1D1﹣ABD的高，在正方形ABCD中，AO=1．在Rt△A1OA中，AA1=2，AO=1，∴ A1O=，∴ V三棱柱ABD﹣A1B1D1=S△ABD•A1O=•（）2•=∴三棱柱ABD﹣A1B1D1的体积为．【变式4】如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB=BC=AC=AA1=4，点F在CC1上，且C1F=3FC，E是BC的中点．（1）求证：AE⊥平面BCC1B1（2）求四棱锥A﹣B1C1FE的体积；（3）证明：B1E⊥AF．【解答】（1）∵ AB=AC，E是BC的中点，∴AE⊥ BC．在三棱柱ABC﹣A1B1C1，中，BB1∥ AA1，∴ BB1⊥平面ABC，∵ AE⊂平面ABC，∴ BB1⊥ AE，…．（2分）又∵ BB1∩BC=B，…．（3分）BB1，BC⊂平面BB1C1C，∴AE⊥平面BB1C1C，…．（4分）（2）由（1）知，即AE为四棱锥A﹣B1C1FE的高，在正三角形ABC中，AE=AB=2，…在正方形BB1C1C，中，CE=BE=2，CF=1，∴=﹣﹣S△CFE=4×=11．…（6分）∴=•AE==…（7分）（3）证明：连结B1F，由（1）得AE⊥平面BB1C1C，∵ B1E⊂平面BB1C1C，∴AE⊥B1E，…．（8分）在正方形BB1C1C，中，B1F==5，B1E==2，EF==，∵ B1F2=B1E2+EF2，∴ B1E⊥EF…．（9分）又∵AE∩EF=E，…．（10分）AE，EF⊂平面AEF，∴ B1E⊥平面AEF，…．（11分）∵ AF⊂平面AEF，∴ B1E⊥AF．…．（12分）【变式5】如图，四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，BC=PD=2，E为PC的中点，G在BC上，且CG=CB（1）求证：PC⊥ BC；（2）求三棱锥C﹣DEG的体积；（3）AD边上是否存在一点M，使得PA∥平面MEG？若存在，求AM的长；否则，说明理由．【解答】（1）证明：∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥BC．又∵ABCD是正方形，∴BC⊥CD．又∵PD∩CD=D，∴BC⊥平面PCD．又∵PC⊂平面PCD，∴PC⊥BC．（2）∵BC⊥平面PCD，∴ GC是三棱锥G﹣DEC的高．∵ E是PC的中点，∴ S△EDC=S△PDC==×（×2×2）=1．V C﹣=V G﹣DEC=GC•S△DEC=××1=．DEG（3）连结AC，取AC中点O，连结EO、GO，延长GO交AD于点M，则PA∥平面MEG．证明：∵E为PC的中点，O是AC的中点，∴EO∥PA．又∵EO⊂平面MEG，PA⊄平面MEG，∴PA∥平面MEG．在正方形ABCD中，∵O是AC的中点，BC=PD=2，CG=CB．∴△OCG≌△OAM，∴AM=CG=，∴所求AM的长为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣【变式6】如图所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BB1⊥底面A1B1C1，A1B1⊥B1C1且A1B1=BB1=B1C1，D为AC的中点．（Ⅰ）求证：A1B⊥AC1（Ⅱ）在直线CC1上是否存在一点E，使得A1E⊥平面A1BD，若存在，试确定E点的位置；若不存在，请说明理由．【解答】（Ⅰ）证明：连接AB1∵ BB1⊥平面A1B1C1∴ B1C1⊥BB1∵ B1C1⊥A1B1且A1B1∩BB1=B1∴ B1C1⊥平面A1B1BA∴ A1B⊥B1C1 . 又∵ A1B⊥AB1且AB1∩B1C1=B1∴A1B⊥平面AB1C1∴A1B⊥AC1（Ⅱ）存在点E在CC1的延长线上且CE=2CC1时，A1E⊥平面A 1BD．设AB=a，CE=2a，∴，∴，，DE=，∴，∴A1E⊥A1D…∵BD⊥AC，BD⊥CC1，AC∩CC1=C，∴BD⊥平面ACC1A1，又A1E⊂平面ACC1A1∴ A1E⊥ BD. 又BD∩A1D=D ，∴ A1E⊥平面A1BD【变式7】如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，点D是AB的中点．（1）求证：AC⊥ BC1；（2）求证：AC1∥平面CDB1．【解答】证明：（1）因为三棱柱ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，所以C1C⊥平面ABC，所以C1C⊥AC．又因为AC=3，BC=4，AB=5，所以AC2+BC2=AB2，所以AC⊥BC．又C1C∩BC=C，所以AC⊥平面CC1B1B，所以AC⊥ BC1．（2）连结C1B交CB1于E，再连结DE，由已知可得E为C1B的中点，又∵D为AB的中点，∴DE为△BAC1的中位线．∴AC1∥DE。

北师大版高中数学必修二8-4空间中的垂直关系同步练习(精品试题)

北师大版高中数学必修二8-4空间中的垂直关系同步练习(精品试题)

8-4空间中的垂直关系基础巩固一、选择题1．对于直线m、l和平面α、β，α⊥β的一个充分条件是( )A．m⊥l，m∥α，l∥β B．m⊥l，α∩β＝m，lαC．m∥l，m⊥α，l⊥βD．m∥l，l⊥β，mα[答案] D[解析] 本题考查空间线面位置关系的判定．A：与两相互垂直直线平行的平面的位置关系不能确定；B：平面内的一条直线与另一个平面的交线垂直，这两个平面的位置关系也不能确定；C：这两个平面也有可能重合可能平行；D是成立的，故选D.2．平面α垂直于平面β(α、β为不重合的平面)成立的一个充分条件是( )A．存在一条直线l，l⊥α，l⊥βB．存在一个平面γ，γ∥α，γ∥βC．存在一个平面γ，γ⊥α，γ⊥βD．存在一条直线l，l⊥α，l∥β[分析] 本题主要考查立体几何及简易逻辑的有关知识．由充分条件的含义可知本题就是要从四个选项中寻求使平面α⊥平面β成立的一个条件．[答案] D[解析] 对于选项A，l⊥α，l⊥β⇒α∥β；对于选项B，γ∥α，γ∥β⇒α∥β；对于选项C，当γ⊥α，γ⊥β成立时，平面α，β的关系是不确定的；对于选项D，当l⊥α，l∥β成立时，说明在β内必存在一条直线m，满足m⊥α，从而有α⊥β成立．3．(文)(教材改编题)“直线与平面α内无数条直线垂直”是“直线与平面α垂直的”( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件[答案] B[解析] 由直线与平面垂直的定义知，为必要不充分条件．(理)设平面α⊥β，α∩β＝l，直线aα，直线bβ，且a 不与l垂直，b不与l垂直，则a与b( )A．可能垂直，不可能平行B．可能平行，不可能垂直C．可能垂直，也可能平行D．不可能垂直，也不可能平行[答案] B[解析] 当a∥l，b∥l时，a∥b.假设a⊥b，如图，过a 上一点作c⊥l，则c⊥β.∴b⊥c.又b⊥a，∴b⊥α，∴b⊥l，与已知矛盾．4．(2012·浙江文，5)设l是直线，α，β是两个不同的平面( )A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l∥α，l⊥β，则α⊥βC．若α⊥β，l⊥α，则l⊥βD．若α⊥β，l∥α，则l ⊥β[答案] B[解析] 本题考查了空间中线面的垂直与平行，A中，α和β也可以相交，C中l应平行于β或在β内，D中l也可与β平行．5．下列命题中错误的是( )A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β[答案] D[解析] 本题主要考查空间中的线面、面面关系等基础知识．对于A、α内存在直线平行于α与β的交线，故α内必存在直线平行于β，正确；对于B，由于α不垂直于β，α内一定不存在直线垂直于β，否则α⊥β，正确；对于C，由平面与平面垂直的性质知正确，故D不正确，选D.6．在正四面体P－ABC中，D、E、F分别是AB、BC、的是( )CA的中点，下面四个结论中不成立．．．A．BC∥平面PDF B．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面ABC D．平面PAE⊥平面ABC[答案] C[解析] ∵D、F分别为AB、CA中点，∴DF∥BC.∴BC∥面PDF，故A正确．又∵P－ABC为正四面体，∴P在底面ABC内的射影O在AE上．∴PO⊥面ABC.∴PO⊥DF.又∵E为BC中点，∴AE⊥BC，∴AE⊥DF.又∵PO∩AE＝O，∴DF⊥面PAE，故B正确．又∵PO面PAE，PO⊥面ABC，∴面PAE⊥面ABC，故D正确．∴四个结论中不成立的是C.二、填空题7．(2012·太原调研)已知m，n是两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，下列四个命题：①若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β；②若m∥α，n∥β，m⊥n，则α∥β；③若m⊥α，n∥β，m⊥n，则α∥β；④若m⊥α，n∥β，α⊥β，则m⊥n.其中正确的命题是________(填上所有正确命题的序号)．[答案] ①④[解析] ②若m∥α，n∥β，m⊥n，则α∥β或α，β相交，所以②错误．③若m⊥α，n∥β，m⊥n，则α∥β或α，β相交，所以③错误．故填①④.8．在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，∠ABC＝60°，PC⊥平面ABC，PC＝4，M是AB上一个动点，则PM的最小值为________．[答案] 27[解析] 如图，∵PC⊥平面ABC，MC面ABC，∴PC⊥MC.故PM＝PC2＋MC2＝MC2＋16.又∵MC的最小值为4×438＝23，∴PM的最小值为27.三、解答题9．(2012·北京文，16)如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图2.(1)求证：DE∥平面A1CB；(2)求证：A1F⊥BE；(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？说明理由．[解析] (1)因为D，E分别为AC，AB的中点，所以DE∥BC.又因为DE平面A1CB，所以DE∥平面A1CB.(2)由已知得AC⊥BC且DE∥BC，所以DE⊥AC.所以DE⊥A1D，DE⊥CD.所以DE⊥平面A1DC.而A1F平面A1DC，所以DE⊥A1F.又因为A1F⊥CD，所以A1F⊥平面BCDE.所以A1F⊥BE.(3)线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ.理由如下：如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，则PQ∥BC.又因为DE∥BC，所以平面DEQ即为平面DEP.由(2)知，DE⊥平面A1DC，所以DE⊥A1C.又因为P是等腰直角三角形DA1C底边A1C的中点，所以A1C⊥DP.所以A1C⊥平面DEP.从而A1C⊥平面DEQ.故线段A1B上存在点Q，使得A1C⊥平面DEQ.能力提升一、选择题1．(2012·安徽理，6)设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] 本题考查了立体几何中垂直关系及充要条件的问题．①α⊥β，b⊥m⇒b⊥α⇒b⊥a.②如果a∥m，则a⊥b与b ⊥m条件相同．故选A.2．(文)a、b为不重合的直线，α，β为不重合的平面，给出下列4个命题：①a∥α且a∥b⇒b∥α；②a⊥α且a⊥b⇒b∥α；③a ⊥α且a ⊥b ⇒b ⊥α； ④a ⊥β且α⊥β⇒a ∥α. 其中正确命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3[答案] A[解析] ⎭⎬⎫a ∥αa ∥b ⇒b ∥α或b α，故①错；⎭⎬⎫a ⊥αa ⊥b ⇒b ∥α或b α，故②错；⎭⎬⎫a ⊥βα⊥β⇒a ∥α或a α，故③错；⎭⎬⎫a ⊥βα⊥β⇒a ∥α或a α，故④错．(理)棱长都为2的直平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，∠BAD ＝60°，则对角线A 1C 与侧面DCC 1D 1所成角的正弦值为( )A.12B.22C.34D.38[答案] C[解析] 过点A 1作直线A 1M ⊥D 1C 1，交C 1D 1延长线于点M ，可得A 1M ⊥平面DD 1C 1C ，∠A 1CM 就是直线A 1C 与面DD 1C 1C 所成的角．由于所有棱长均为2，及∠A 1D 1C 1＝120°，得A 1M ＝A 1D 1sin60°＝3，又A 1C ＝A 1C 21＋CC 21＝232＋22＝4， ∴sin ∠A 1CM ＝A 1M A 1C ＝34，故应选C. 二、填空题3．已知P 是△ABC 所在平面α外一点，O 是点P 在平面α内的射影(1)若P 到△ABC 的三个顶点的距离相等，则O 是△ABC 的________．(2)若平面PAB、PBC、PCA与平面α所成的角相等，且O 在△ABC的内部，则O是△ABC的________．(3)若PA、PB、PC两两垂直，则O是△ABC的________．[答案] (1)外心(2)内心(3)垂心4．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)[答案] DM⊥PC(或BM⊥PC)[解析] 由定理知，BD⊥PC.∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD，而PC平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.三、解答题5．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E、F、G分别是BC、SC和DC的中点，点P在线段FG上．(1)求证：平面EFG∥平面SDB；(2)求证：PE⊥AC.[解析] (1)∵E、F、G分别为BC、SC、CD的中点，∴EF∥SB，EG∥BD.∵EF平面SBD，EG平面SBD，∴EF∥平面SBD，EG∥平面SBD.∵EG∩EF＝E，∴平面EFG∥平面SDB.(2)∵B1B⊥底面ABCD，∴AC⊥B1B.又∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD.∴AC⊥平面B1BDD1，即AC⊥平面SBD.又平面EFG∥平面SBD，∴AC⊥平面EFG.∵PE平面EFG，∴PE⊥AC.6．(文)(2012·湖北文，19)某个实心零部件的形状是如图所示的几何体，其下部是底面均是正方形，侧面是全等的等腰梯形的四棱台A1B1C1D1－ABCD，上部是一个底面与四棱台的上底面重合，侧面是全等的矩形的四棱柱ABCD－A2B2C2D2.(1)证明：直线B1D1⊥平面ACC2A2；(2)现需要对该零部件表面进行防腐处理，已知AB＝10，A1B1＝20，AA2＝30，AA1＝13(单位：cm)，每平方厘米的加工处理费为0.20元，需加工处理费多少元？[解析] (1)∵四棱柱ABCD－A2B2C2D2的侧面是全等的矩形，∴AA2⊥AB，AA2⊥AD，又∵AB∩AD＝A，∴AA2⊥平面ABCD.连接BD，因为BD平面ABCD，所以AA2⊥BD.∵底面ABCD是正方形，∴AC⊥BD.根据棱台的定义可知，BD与B1D1共面．又已知平面ABCD∥平面A1B1C1D1，且平面BB1D1D∩平面ABCD＝BD，平面BB1D1D∩平面A1B1C1D1＝B1D1∴B1D1∥BD，∵AA2⊥BD，AC⊥BD，∴AA2⊥B1D1，AC⊥B1D1，又∵AA2∩AC＝A，∴B1D1⊥平面ACC2A2.(2)因为四棱柱ABCD－A2B2C2D2的底面是正方形，侧面是全等的矩形，所以S1＝(A2B2)2＋4AB·AA2＝102＋4×10×30＝1300(cm2)．又因为四棱台A1B1C1D1－ABCD的上、下底面均是正方形，侧面是全等的梯形，所以S2＝(A1B1)2＋4×12(AB＋A1B1)h斜高＝202＋4×12(10＋20)132－[1220－10]2＝1120(cm2)．于是该实心零部件的表面积为S＝S1＋S2＝1 300＋1 120＝2 420(cm2)，故所需加工处理费为0.2S＝0.2×2 420＝484(元)．(理)(2012·浙江文，20)如图，在侧棱垂直底面的四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AD∥BC，AD⊥AB，AB＝2，AD＝2，BC ＝4，AA1＝2，E是DD1的中点，F是平面B1C1E与直线AA1的交点．(1)证明：①EF∥A1D1；②BA1⊥平面B1C1EF；(2)求BC1与平面B1C1EF所成的角的正弦值．[解析] (1)①∵C1B1∥A1D1，C1B1⃘平面ADD1A1，∴C1B1∥平面A1D1DA.又∵平面B1C1EF∩平面A1D1DA＝EF，∴C1B1∥EF，∴A1D1∥EF.②∵BB1⊥平面A1B1C1D1，∴BB1⊥B1C1又∵B1C1⊥B1A1，∴B1C1⊥平面ABB1A1.∴B1C1⊥BA1.在矩形ABB1A1中，F是AA1的中点，tan∠A1B1F＝tan∠AA1B＝22，即∠A1B1F＝∠AA1B，故BA1⊥B1F.又∵BA1⊥B1C1，所以BA1⊥平面B1C1EF.(2)设BA1与B1F交点为H，连接C1H.由(1)知BA1⊥平面B1C1EF，所以∠BC1H是BC1与平面B1C1EF所成的角．在矩形AA1B1B中，AB＝2，AA1＝2，得BH＝4 6 .在Rt△BHC1中，BC1＝25，BH＝46，得sin∠BC1H＝BHBC1＝3015.所以BC1与平面B1C1EF所成角的正弦值是30 15.7．(文)如图，在四棱锥S－ABCD中，侧棱SA＝SB＝SC ＝SD，底面ABCD是菱形，AC与BD交于O点．(1)求证：AC⊥平面SBD；(2)若E为BC的中点，点P在侧面△SCD内及其边界上运动，并保持PE⊥AC，试写出动点P的轨迹，并证明你的结论．[分析] 本题考查了线线垂直和线面垂直关系的判定方法，旨在对推理论证能力、空间想象力和探究能力的考查．第(1)问要证线面垂直，根据线面垂直的判定定理，只要证明直线和平面内两条相交直线垂直即可；第(2)问要探究保持线线垂直的动点的轨迹，只要找出与AC垂直且过E点的平面即可得到动点P的轨迹．[解析] (1)∵底面ABCD是菱形，O为中心．∴AC⊥BD，又SA＝SC，∴AC⊥SO，而SO∩BD＝O，∴AC⊥平面SBD.(2)取棱SC的中点M，CD的中点N，连接MN，则动点P的轨迹即是线段MN.证明如下：连接EM、EN，∵E是BC的中点，M是SC的中点，∴EM∥SB，同理EN∥BD，∵AC⊥平面SBD，∴AC⊥SB，∴AC⊥EM.同理AC⊥EN，又EM∩EN＝E，∴AC⊥平面EMN，因此，当P点在线段MN上运动时，总有AC⊥PE，P点不在线段MN上时，不可能有AC⊥PE.[点评] 由于《考试说明》中对立体几何部分整体要求的下降，故高考对立体几何考查的难度不会太高．但在空间位置关系的证明上，还是会一如既往地重点考查，并且在方式上会寻求突破和创新，变传统证明为判断型、探究型问题，增加了难度，体现了能力立意，复习中需引起足够重视．(理)如图1，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD，∠ABC＝60°，E是BC的中点．将△ABE沿AE折起后如图2，使平面ABE⊥平面ADCE，设F是CD的中点，P是棱BC的中点．(1)求证：AE⊥BD；(2)求证：平面PEF⊥平面AECD；(3)判断DE能否垂直于平面ABC，并说明理由．[解析] (1)设AE中点为M，∵在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD，∠ABC＝60°，E是BC的中点，∴△ABE与△ADE都是等边三角形．∴BM⊥AE，DM⊥AE.∵BM∩DM＝M，BM、DM平面BDM，∴AE⊥平面BDM.∵BD平面BDM，∴AE⊥BD.(2)连接CM交EF于点N，∵ME綊FC，∴四边形MECF是平行四边形．∴N是线段CM的中点．∵P是BC的中点，∴PN∥BM.∵BM⊥平面AECD，∴PN⊥平面AECD.又∵PN平面PEF，∴平面PEF⊥平面AECD.(3)DE与平面ABC不垂直．证明：假设DE⊥平面ABC，则DE⊥AB，∵BM⊥平面AECD.∴BM⊥DE.∵AB∩BM＝B，AB、BM平面ABE，∴DE⊥平面ABE.∴DE⊥AE，这与∠AED＝60°矛盾．∴DE与平面ABC不垂直．。

立体几何空间中的垂直关系及答案

立体几何空间中的垂直关系及答案

空间中的垂直关系1．线线垂直如果两条直线所成的角是______(无论它们是相交还是异面)，那么这两条直线互相垂直．2．直线与平面垂直(1)定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说______________________，记作______．直线l叫做______________，平面α叫做______________．直线与平面垂直时，它们惟一的公共点P叫做______．垂线上任意一点到垂足间的线段，叫做这个点到这个平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到平面的________．(2)判定定理：一条直线与一个平面内的______________都垂直，则该直线与此平面垂直．推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．用符号表示：a∥b，a⊥α⇒b⊥α．(3)性质定理：垂直于同一个平面的两条直线__________．3．直线和平面所成的角平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的________，叫做这条直线和这个平面所成的角．一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是0°的角．任一直线与平面所成角θ的范围是____________．4．二面角的有关概念(1)二面角：从一条直线出发的______________________叫做二面角．(2)二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作______________的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．二面角的范围是__________．5．平面与平面垂直(1)定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是____________，就说这两个平面互相垂直．(2)判定定理：一个平面过另一个平面的________，则这两个平面垂直．(3)性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于______的直线与另一个平面垂直．自查自纠：1．直角2．(1)直线l与平面α互相垂直l⊥α平面α的垂线直线l的垂面垂足距离(2)两条相交直线(3)平行3．锐角[0°，90°]4．(1)两个半平面所组成的图形(2)垂直于棱[0°，180°]5．(1)直二面角(2)垂线(3)交线(2018·广东清远一中月考)已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，给出下列命题：①α⊥β⇒l∥m；②α∥β⇒l⊥m；③l⊥m⇒α∥β；④l∥m⇒α⊥β，其中正确命题的序号是() A．①②③B．②③④C．①③D．②④．(2017·全国卷Ⅲ)在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则() A．A1E⊥DC1B．A1E⊥BDC．A1E⊥BC1D．A1E⊥AC．(2017·湖北武汉模拟)如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，连接AC，交EF于点G，沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，那么在这个空间图形中必有()A．AG⊥平面EFH B．AH⊥平面EFHC．HF⊥平面AEF D．HG⊥平面AEF(2018·临沂检测)设α，β是空间两个不同的平面，m，n是平面α及β外的两条不同直线．从“①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α”中选取三个作为条件，余下一个作为结论，写出你认为正确的一个命题：____________．(用序号表示)(2017重庆八中适应性考试)在正四面体P­ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中正确的是________．(2017重庆八中适应性考试)在正四面体P­ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中正确的是________．①BC∥平面PDF；②DF⊥平面P AE；③平面PDF⊥平面ABC；④平面P AE⊥平面AB C．类型一线线垂直问题(2018·湖州模拟改编)如图所示，在四棱锥A­BCDE中，底面BCDE为菱形，侧面ABE为等边三角形，且侧面ABE⊥底面BCDE，O，F分别为BE，DE的中点．求证：(1)AO⊥CD；(2)CE⊥AF．点拨：本题主要考查线线、线面位置关系．证明线线垂直，其实质是通过证明线面垂直，再化归为线线垂直．(2017武汉市武钢第三子弟中学月考)如图，三棱柱ABC­A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°．(1)证明：AB⊥A1C；(2)若AB＝CB＝2，A1C＝6，求三棱柱ABC­A1B1C1的体积．类型二线面垂直问题如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，点E，F分别是边CD，CB的中点，AC交EF于点O，沿EF将△CEF翻折到△PEF，连接P A，PB，PD，得到五棱锥P­ABFED，且PB＝10．(1)求证：BD⊥平面POA；(2)求四棱锥P­BDEF的体积．点拨：证明线面垂直的基本思路是证明该直线和平面内的两条相交直线垂直，亦可利用面面垂直的性质定理来证明；题(2)的难点在于证明PO即是所求四棱锥的高．(2017锦州市第二高级中学月考)如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F，P，Q，M，N分别是棱AB，AD，DD1，BB1，A1B1，A1D1的中点．求证：(1)直线BC1∥平面EFPQ；(2)直线AC1⊥平面PQMN．类型三面面垂直问题如图所示，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M是棱CC1的中点．(1)求异面直线A1M和C1D1所成的角的正切值；(2)证明：平面ABM⊥平面A1B1M．点拨：求异面直线所成的角，一般方法是通过平移直线，把异面问题转化为共面问题，通过解三角形求出所构造的角；证明面面垂直，可转化为证明线面垂直，而线面垂直又可以转化为证明线线垂直，在证明过程中，需充分利用规则几何体本身所具有的几何特征简化问题，有时还需应用勾股定理的逆定理，通过计算来证明垂直关系，这在高考题中是常用方法之一．(2018·豫南九校质检)在四棱锥P­ABCD中，平面P AD⊥平面ABCD，AB∥CD，△P AD是等边三角形，已知AD＝2，BD＝23，AB＝2CD＝4．(1)设M是PC上一点，求证：平面MBD⊥平面P AD；(2)求四棱锥P­ABCD的体积．类型四垂直综合问题(2017大连经济技术开发区一中月考)如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝6，D，E分别是AC，AB上的点，CD＝BE＝2，O为BC的中点．将△ADE沿DE折起，得到如图2所示的四棱锥A′­BCDE，其中A′O＝3．(1)证明：A′O⊥平面BCDE；(2)求二面角A′­CD­B的平面角的余弦值．点拨：本题主要考查线面垂直及二面角的计算等．折叠要注意不变量；作二面角，往往要通过作垂线来实现．如图1，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，E为AD的中点，O为BE的中点．将△ABE 沿BE折起到A′BE，使得平面A′BE⊥平面BCDE(如图2)．图1图2(1)求证：A′O⊥CD；(2)求直线A′C与平面A′DE所成角的正弦值．1．判断(证明)线线垂直的方法(1)根据定义．(2)如果直线a∥b，a⊥c，则b⊥c．(3)如果直线a⊥面α，c⊂α，则a⊥c．(4)向量法：两条直线的方向向量的数量积为零．2．证明直线和平面垂直的常用方法(1)利用判定定理：两相交直线a，b⊂α，a⊥c，b⊥c⇒c⊥α．(2)a∥b，a⊥α⇒b⊥α．(3)利用面面平行的性质：α∥β，a⊥α⇒a⊥β．(4)利用面面垂直的性质：α⊥β，α∩β＝m ，a ⊂α，a ⊥m ⇒a ⊥β；α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝m ⇒m ⊥γ． 3．证明面面垂直的主要方法(1)利用判定定理：a ⊥β，a ⊂α⇒α⊥β．(2)用定义证明．只需判定两平面所成二面角为直二面角．(3)如果一个平面垂直于两个平行平面中的一个，则它也垂直于另一个平面：α∥β，α⊥γ⇒β⊥γ． 4．平面与平面垂直的性质的应用当两个平面垂直时，常作的辅助线是在其中一个面内作交线的垂线，把面面垂直转化为线面垂直，进而可以证明线线垂直(必要时可以通过平面几何的知识证明垂直关系)，构造(寻找)二面角的平面角或得到点到面的距离等．5．垂直关系的相互转化6．线面角、二面角求法 求这两种空间角的步骤：根据线面角的定义或二面角的平面角的定义，作(找)出该角，再解三角形求出该角，步骤是作(找)⇒证⇒求(算)三步曲．也可用射影法：设斜线段AB 在平面α内的射影为A ′B ′，AB 与α所成角为θ，则cos θ＝||A ′B ′||AB ；设△ABC 在平面α内的射影三角形为△A ′B ′C ′，平面ABC 与α所成角为θ，则cos θ＝S △A ′B ′C ′S △ABC ．1．(2017·唐山三模)已知平面α⊥平面β，则“直线m ⊥平面α”是“直线m ∥平面β”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．(2018·上饶质检)已知P 是△ABC 所在平面外一点，P 到AB ，AC ，BC 的距离相等，且P 在△ABC 所在平面的射影O 在△ABC 内，则O 一定是△ABC 的 ( ) A ．内心 B ．外心 C ．垂心 D ．重心3．(2018·福建泉州)如图，在下列四个正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G 均为所在棱的中点，过E ，F ，G 作正方体的截面，则在各个正方体中，直线BD 1与平面EFG 不垂直的是 ( )A BC D4．(2017沈阳市第一中学月考)设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．(2018·广东模拟)如图所示是一个几何体的平面展开图，其中ABCD为正方形，E，F分别为所在棱P A，PD的中点，在此几何体中，给出下面四个结论：①直线BE与直线CF异面；②直线BE与直线AF异面；③直线EF∥平面PBC；④平面BCE⊥平面P A D．其中正确结论的个数是()A．1 B．2 C．3 D．46．(2017瓦房店市高级中学月考)如图，在正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2，G2G3的中点，D是EF的中点，现沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个几何体，使G1，G2，G3三点重合于点G，这样，下列五个结论：①SG⊥平面EFG；②SD⊥平面EFG；③GF⊥平面SEF；④EF⊥平面GSD；⑤GD⊥平面SEF．正确的是()A．①和③B．②和⑤C．①和④D．②和④7．在正方体ABCD­A′B′C′D′中，过对角线BD′的一个平面交AA′于E，交CC′于F，则①四边形BFD′E一定是平行四边形；②四边形BFD′E有可能是正方形；③四边形BFD′E在底面ABCD内的投影一定是正方形；④平面BFD′E有可能垂直于平面BB′D．以上结论正确的为__________．(写出所有正确结论的编号)8．(教材改编)如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°．将△ADB沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A­BCD，则在三棱锥A­BCD中：①平面ADC⊥平面ABC；②平面ADC⊥平面ABD；③平面ADC⊥平面BD C．其中正确的是____________．(写出所有正确结论的编号)9．(2017钟祥市实验中学月考)如图，在四棱锥P­ABCD中，底面是边长为a的正方形，侧棱PD ＝a，P A＝PC＝2a．求证：(1)PD ⊥平面ABCD ；(2)平面P AC ⊥平面PB D ．10．(2018·河北石家庄联考)如图，四棱锥P ­ABCD 的底面ABCD 是边长为2的菱形， ∠BAD ＝60°．PB ＝PD ＝2，P A ＝6．(1)证明：PC ⊥BD ；(2)若E 为P A 上一点，记三棱锥P ­BCE 的体积和四棱锥P ­ABCD 的体积分别为V 1和V 2，当V 1∶V 2＝1∶8时，求EPAE的值．11．(2018·北京西城一模)如图1，在△ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，O 为DE 的中点，AB ＝AC ＝25，BC ＝4．将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使得平面A 1DE ⊥平面BCED ，F 为A 1C 的中点，如图2所示．(1)求证：EF ∥平面A 1BD ；(2)求证：平面A 1OB ⊥平面A 1OC ；(3)在线段OC 上是否存在点G ，使得OC ⊥平面EFG ？请说明理由．(2018·大连二模)如图所示，在几何体ABCDEF 中，底面ABCD 为矩形，EF ∥CD ，CD ⊥EA ，CD ＝2EF ＝2，ED＝3，M 为棱FC 上一点，平面ADM 与棱FB 交于点N ．(1)求证：ED ⊥CD ； (2)求证：AD ∥MN ；(3)若AD ⊥ED ，试问平面BCF 是否可能与平面ADMN 垂直？若能，求出FMFC 的值；若不能，请说明理由．空间中的垂直关系1．线线垂直如果两条直线所成的角是______(无论它们是相交还是异面)，那么这两条直线互相垂直． 2．直线与平面垂直(1)定义：如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说______________________，记作______．直线l 叫做______________，平面α叫做______________．直线与平面垂直时，它们惟一的公共点P 叫做______．垂线上任意一点到垂足间的线段，叫做这个点到这个平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到平面的________．(2)判定定理：一条直线与一个平面内的______________都垂直，则该直线与此平面垂直．推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．用符号表示：a∥b，a⊥α⇒b⊥α．(3)性质定理：垂直于同一个平面的两条直线__________．3．直线和平面所成的角平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的________，叫做这条直线和这个平面所成的角．一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是0°的角．任一直线与平面所成角θ的范围是____________．4．二面角的有关概念(1)二面角：从一条直线出发的______________________叫做二面角．(2)二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作______________的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．二面角的范围是__________．5．平面与平面垂直(1)定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是____________，就说这两个平面互相垂直．(2)判定定理：一个平面过另一个平面的________，则这两个平面垂直．(3)性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于______的直线与另一个平面垂直．自查自纠：1．直角2．(1)直线l与平面α互相垂直l⊥α平面α的垂线直线l的垂面垂足距离(2)两条相交直线(3)平行3．锐角[0°，90°]4．(1)两个半平面所组成的图形(2)垂直于棱[0°，180°]5．(1)直二面角(2)垂线(3)交线(2018·广东清远一中月考)已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，给出下列命题：①α⊥β⇒l ∥m；②α∥β⇒l⊥m；③l⊥m⇒α∥β；④l∥m⇒α⊥β，其中正确命题的序号是() A．①②③B．②③④C．①③D．②④解：①中l与m可能相交、平行或异面；②中结论正确；③中两平面α，β可能平行，也可能相交；④中结论正确．故选D．(2017·全国卷Ⅲ)在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则()A．A1E⊥DC1B．A1E⊥BDC．A1E⊥BC1D．A1E⊥AC解：由正方体的性质，得A1B1⊥BC1，B1C⊥BC1，所以BC1⊥平面A1B1CD，又A1E⊂平面A1B1CD，所以A1E⊥BC1，故选C．(2017·湖北武汉模拟)如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，连接AC，交EF于点G，沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，那么在这个空间图形中必有()A．AG⊥平面EFH B．AH⊥平面EFHC．HF⊥平面AEF D．HG⊥平面AEF解：根据折叠前AB⊥BE，AD⊥DF，得折叠后AH⊥HE，AH⊥HF，又HE∩HF＝H，所以AH⊥平面EFH，B正确；因为过点A只有一条直线与平面EFH垂直，所以A不正确；因为AG⊥EF，EF⊥AH，AG∩AH＝A，所以EF⊥平面HAG，又EF⊂平面AEF，所以平面HAG⊥平面AEF，过点H作直线垂直于平面AEF，所作直线一定在平面HAG内，所以C不正确；因为HG不垂直于AG，所以HG⊥平面AEF 不正确，所以D不正确．故选B．(2018·临沂检测)设α，β是空间两个不同的平面，m，n是平面α及β外的两条不同直线．从“①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α”中选取三个作为条件，余下一个作为结论，写出你认为正确的一个命题：____________．(用序号表示)解：若①②③成立，则m与α的位置关系不确定，故①②③⇒④错误；同理①②④⇒③也错误；①③④⇒②与②③④⇒①均正确．故填①③④⇒②(或②③④⇒①)．(2017重庆八中适应性考试)在正四面体P­ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中正确的是________．①BC∥平面PDF；②DF⊥平面P AE；③平面PDF⊥平面ABC；④平面P AE⊥平面AB C．解：由DF∥BC可得BC∥平面PDF，故①正确；若PO⊥平面ABC，垂足为O，则O在AE上，则DF⊥PO，又DF⊥AE，故DF⊥平面P AE，故②正确；由PO⊥平面ABC，PO⊂平面P AE，可得平面P AE⊥平面ABC，故④正确，平面PDF不过PO，故③不正确．故填①②④．类型一线线垂直问题(2018·湖州模拟改编)如图所示，在四棱锥A­BCDE中，底面BCDE为菱形，侧面ABE为等边三角形，且侧面ABE⊥底面BCDE，O，F分别为BE，DE的中点．求证：(1)AO⊥CD；(2)CE⊥AF．证明：(1)因为△ABE为等边三角形，O为BE 的中点，所以AO⊥BE．又因为平面ABE⊥平面BCDE，平面ABE∩平面BCDE＝BE，AO⊂平面ABE，所以AO⊥平面BCDE．又因为CD⊂平面BCDE，所以AO⊥C D．(2)连接BD，因为四边形BCDE为菱形，所以CE⊥B D．因为O，F分别为BE，DE的中点，所以OF∥BD，所以CE⊥OF．由(1)可知，AO⊥平面BCDE，因为CE⊂平面BCDE，所以AO⊥CE．因为AO∩OF＝O，所以CE⊥平面AOF．又AF⊂平面AOF，所以CE⊥AF．点拨：本题主要考查线线、线面位置关系．证明线线垂直，其实质是通过证明线面垂直，再化归为线线垂直．(2017武汉市武钢第三子弟中学月考)如图，三棱柱ABC­A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°．(1)证明：AB⊥A1C；(2)若AB＝CB＝2，A1C＝6，求三棱柱ABC­A1B1C1的体积．解：(1)证明：取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B．因为CA＝CB，所以OC⊥A B．由于AB＝AA1，∠BAA1＝60°，故△AA1B为等边三角形，所以OA1⊥A B．因为OC∩OA1＝O，所以AB⊥平面OA1C．又A1C⊂平面OA1C，故AB⊥A1C．(2)由题设知△ABC与△AA1B都是边长为2的等边三角形，所以OC＝OA1＝3．又A1C＝6，则A1C2＝OC2＋OA21，故OA1⊥O C．因为OC∩AB＝O，所以OA1⊥平面ABC，OA1为三棱柱ABC­A1B1C1的高．又△ABC的面积S△ABC＝3，故三棱柱ABC­A1B1C1的体积为V＝S△ABC×OA1＝3．类型二线面垂直问题如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，点E，F分别是边CD，CB的中点，AC交EF于点O，沿EF将△CEF翻折到△PEF，连接PA，PB，PD，得到五棱锥P­ABFED，且PB ＝10．(1)求证：BD⊥平面POA；(2)求四棱锥P­BDEF的体积．解：(1)证明：如图，因为点E，F分别是题图中菱形ABCD的边CD，CB的中点，所以BD∥EF．因为菱形ABCD的对角线互相垂直，所以BD⊥AC，所以EF⊥A C．所以EF⊥AO，EF⊥PO．因为AO⊂平面POA，PO⊂平面POA，AO∩PO ＝O，所以EF⊥平面POA，所以BD⊥平面PO A．(2)如图，设AO∩BD＝H，连接BO．因为∠DAB＝60°，所以△ABD为等边三角形．所以BD＝4，BH＝2，HA＝23，HO＝PO＝3．在Rt△BHO中，BO＝7．在△PBO中，BO2＋PO2＝10＝PB2，所以PO⊥BO．因为PO⊥EF，EF∩BO＝O，EF⊂平面BFED，BO⊂平面BFED，所以PO⊥平面BFE D．因为梯形BFED的面积为S＝12(EF＋BD)·HO＝33，所以四棱锥P­BFED的体积V＝13S·PO＝3．点拨：证明线面垂直的基本思路是证明该直线和平面内的两条相交直线垂直，亦可利用面面垂直的性质定理来证明；题(2)的难点在于证明PO即是所求四棱锥的高．(2017锦州市第二高级中学月考)如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F，P，Q，M，N分别是棱AB，AD，DD1，BB1，A1B1，A1D1的中点．求证：(1)直线BC1∥平面EFPQ；(2)直线AC1⊥平面PQMN．证明：(1)如图，连接AD1，由ABCD­A1B1C1D1是正方体，知AD1∥BC1，因为F，P分别是AD，DD1的中点，所以FP∥AD1，从而BC1∥FP．而FP⊂平面EFPQ，且BC1⊄平面EFPQ，故直线BC1∥平面EFPQ．(2)如图，连接AC，BD，则AC⊥B D．由CC1⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，可得CC1⊥B D．又AC∩CC1＝C，所以BD⊥平面ACC1A1．而AC1⊂平面ACC1A1，所以BD⊥AC1．因为M，N分别是A1B1，A1D1的中点，所以MN∥BD，从而MN⊥AC1．同理可证PN⊥AC1．又PN∩MN＝N，所以直线AC1⊥平面PQMN．类型三面面垂直问题如图所示，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M是棱CC1的中点．(1)求异面直线A1M和C1D1所成的角的正切值；(2)证明：平面ABM⊥平面A1B1M．解：(1)因为C1D1∥B1A1，所以∠MA1B1为异面直线A1M和C1D1所成的角，因为A1B1⊥平面BCC1B1，所以∠A1B1M＝90°．而A1B1＝1，B1M＝B1C21＋MC21＝2，故tan∠MA1B1＝B1MA1B1＝2．(2)证明：由A1B1⊥平面BCC1B1，BM⊂平面BCC1B1，得A1B1⊥BM．①由(1)知，B1M＝2，又BM＝BC2＋CM2＝2，B1B＝2，B1M2＋BM2＝B1B2，从而BM⊥B1M．②又A1B1∩B1M＝B1，由①②得BM⊥平面A1B1M．而BM⊂平面ABM，所以平面ABM⊥平面A1B1M．点拨：求异面直线所成的角，一般方法是通过平移直线，把异面问题转化为共面问题，通过解三角形求出所构造的角；证明面面垂直，可转化为证明线面垂直，而线面垂直又可以转化为证明线线垂直，在证明过程中，需充分利用规则几何体本身所具有的几何特征简化问题，有时还需应用勾股定理的逆定理，通过计算来证明垂直关系，这在高考题中是常用方法之一．(2018·豫南九校质检)在四棱锥P­ABCD中，平面P AD⊥平面ABCD，AB∥CD，△P AD是等边三角形，已知AD＝2，BD＝23，AB＝2CD＝4．(1)设M是PC上一点，求证：平面MBD⊥平面P AD；(2)求四棱锥P­ABCD的体积．解：(1)证明：在△ABD中，AD＝2，BD＝23，AB＝4，由勾股定理可得AD⊥B D．又平面P AD⊥平面ABCD，平面P AD∩平面ABCD＝AD，所以BD⊥平面P AD，又BD⊂平面MBD，所以平面MBD⊥平面P A D．(2)取AD的中点O，连接PO，则PO是四棱锥P­ABCD的高，易得PO＝3，底面四边形ABCD的面积是12×(2＋4)×2×234＝33，所以四棱锥P­ABCD的体积为13×33×3＝3．类型四垂直综合问题(2017大连经济技术开发区一中月考)如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝6，D，E分别是AC，AB上的点，CD＝BE＝2，O为BC的中点．将△ADE沿DE折起，得到如图2所示的四棱锥A′­BCDE，其中A′O＝3．(1)证明：A′O⊥平面BCDE；(2)求二面角A′­CD­B的平面角的余弦值．解：(1)证明：在图1中，易得OC＝3，AC＝32，AD＝22．如图示，连接OD，OE，在△OCD 中，由余弦定理可得OD＝OC2＋CD2－2OC·CD cos45°＝5．由翻折不变性可知A ′D ＝22，易得A ′O 2＋OD 2＝A ′D 2，所以A ′O ⊥O D ．同理可证A ′O ⊥OE ．又因为OD ∩OE ＝O ，所以A ′O ⊥平面BCDE ． (2)过O 作OH ⊥CD 交CD 的延长线于H ，连接A ′H ，因为A ′O ⊥平面BCDE ，易知A ′H ⊥CD ，所以∠A ′HO 为二面角A ′­CD ­B 的平面角．结合图1可知，H 为AC 中点，又O 为BC 中点，故OH ＝12AB ＝322，从而A ′H ＝OH 2＋OA ′2＝302， 所以cos ∠A ′HO ＝OH A ′H＝155．所以二面角A ′­CD ­B 的平面角的余弦值为155．点 拨：本题主要考查线面垂直及二面角的计算等．折叠要注意不变量；作二面角，往往要通过作垂线来实现．如图1，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝4，E 为AD 的中点，O 为BE 的中点．将△ABE 沿BE 折起到A ′BE ，使得平面A ′BE ⊥平面BCDE (如图2)．图1 图2 (1)求证：A ′O ⊥CD ；(2)求直线A ′C 与平面A ′DE 所成角的正弦值． 解：(1)证明：如图1，在矩形ABCD 中，因为AB ＝2，BC ＝4，E 为AD 中点，所以AB ＝AE ＝2，因为O 为BE 的中点，所以AO ⊥BE ．由题意可知，A ′O ⊥BE ，平面A ′BE ⊥平面BCDE ．因为平面A ′BE ∩平面BCDE ＝BE ，A ′O ⊂平面A ′BE ，所以A ′O ⊥平面BCDE ． 因为CD ⊂平面BCDE ，所以A ′O ⊥C D ． (2)取BC 中点为F ，连接OF ，由矩形ABCD 性质，可知OF ⊥BE ，由(1)可知，A ′O ⊥BE ， A ′O ⊥OF ，以O 为原点，建立如图所示空间直角坐标系，在Rt △BAE 中，由AB ＝2，AE ＝2，则BE ＝22，OA ＝2，所以A ′(0，0，2)，E (0，2，0)，F (2，0，0)，B (0，－2，0)，C (22，2，0)，D (2，22，0)，则A ′C →＝(22，2，－2)，ED →＝(2，2，0)，A ′E →＝(0，2，－2)．设平面A ′DE 的一个法向量为m ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧m ·A ′E →＝0，m ·ED →＝0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧2y －2z ＝0，2x ＋2y ＝0，令y ＝1，则x ＝－1，z ＝1，所以m ＝(－1，1，1)．设直线A ′C 与平面A ′DE 所成角为θ，sin θ＝|cos 〈A ′C →，m 〉|＝|A ′C →·m ||A ′C →|·|m |＝23，所以直线A ′C 与平面A ′DE 所成角的正弦值为23．1．判断(证明)线线垂直的方法(1)根据定义． (2)如果直线a ∥b ，a ⊥c ，则b ⊥c ． (3)如果直线a ⊥面α，c ⊂α，则a ⊥c ． (4)向量法：两条直线的方向向量的数量积为零． 2．证明直线和平面垂直的常用方法 (1)利用判定定理：两相交直线a ，b ⊂α，a ⊥c ，b ⊥c ⇒c ⊥α．(2)a ∥b ，a ⊥α⇒b ⊥α．(3)利用面面平行的性质：α∥β，a ⊥α⇒a ⊥β． (4)利用面面垂直的性质：α⊥β，α∩β＝m ，a ⊂α，a ⊥m ⇒a ⊥β；α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝m ⇒m ⊥γ．3．证明面面垂直的主要方法(1)利用判定定理：a ⊥β，a ⊂α⇒α⊥β．(2)用定义证明．只需判定两平面所成二面角为直二面角．(3)如果一个平面垂直于两个平行平面中的一个，则它也垂直于另一个平面：α∥β，α⊥γ⇒β⊥γ．4．平面与平面垂直的性质的应用当两个平面垂直时，常作的辅助线是在其中一个面内作交线的垂线，把面面垂直转化为线面垂直，进而可以证明线线垂直(必要时可以通过平面几何的知识证明垂直关系)，构造(寻找)二面角的平面角或得到点到面的距离等．5．垂直关系的相互转化6．线面角、二面角求法 求这两种空间角的步骤：根据线面角的定义或二面角的平面角的定义，作(找)出该角，再解三角形求出该角，步骤是作(找)⇒证⇒求(算)三步曲．也可用射影法：设斜线段AB 在平面α内的射影为A ′B ′，AB 与α所成角为θ，则cos θ＝||A ′B ′||AB ；设△ABC 在平面α内的射影三角形为△A ′B ′C ′，平面ABC 与α所成角为θ，则cos θ＝S △A ′B ′C ′S △ABC．1．(2017·唐山三模)已知平面α⊥平面β，则“直线m ⊥平面α”是“直线m ∥平面β”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 解：若α⊥β，且m ⊥α，则m ∥β或m ⊂β；若α⊥β，且m ∥β，则m ∥α或m 与α相交或m ⊂α．故选D ．2．(2018·上饶质检)已知P 是△ABC 所在平面外一点，P 到AB ，AC ，BC 的距离相等，且P 在△ABC 所在平面的射影O 在△ABC 内，则O 一定是△ABC 的 ( )A ．内心B ．外心C ．垂心D ．重心解：因为P 到AB ，AC ，BC 三边的距离相等，且P 在△ABC 所在平面的射影O 在△ABC 内，则O 到AB ，AC ，BC 三边的距离也相等，即点O 为△ABC 的内切圆的圆心，即△ABC 的内心．故选A ．3．(2018·福建泉州)如图，在下列四个正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G 均为所在棱的中点，过E ，F ，G 作正方体的截面，则在各个正方体中，直线BD 1与平面EFG 不垂直的是 ( )ABC D解：如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F，G，M，N，Q均为所在棱的中点，图形EFMNQG是一个平面图形，直线BD1与平面EFMNQG垂直，而选项A，B，C中的平面EFG与这个平面重合，D中EF∥BB1，而BB1与BD1不垂直，即BD1与平面EFG不垂直．故选D．4．(2017沈阳市第一中学月考)设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：当α⊥β时，由面面垂直的性质定理知b⊥α，则b⊥a．所以“α⊥β”是“a⊥b”的充分条件．而当a⊂α，且a∥m时，因为b⊥m，所以b⊥a，而此时平面α与平面β不一定垂直．所以“α⊥β”不是“a⊥b”的必要条件．故选A．5．(2018·广东模拟)如图所示是一个几何体的平面展开图，其中ABCD为正方形，E，F分别为所在棱P A，PD的中点，在此几何体中，给出下面四个结论：①直线BE与直线CF异面；②直线BE与直线AF异面；③直线EF∥平面PBC；④平面BCE⊥平面P A D．其中正确结论的个数是()A．1 B．2 C．3 D．4解：画出该几何体的直观图，如图所示，①因为E，F分别是P A，PD的中点，所以EF∥AD，所以EF∥BC，直线BE与直线CF是共面直线，故①不正确；②直线BE与直线AF满足异面直线的定义，故②正确；③由E，F分别是P A，PD的中点，可知EF∥AD，所以EF∥BC，因为EF⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，所以直线EF∥平面PBC，故③正确；④无法判定平面BCE⊥平面P AD，故④不正确．故选B．6．(2017瓦房店市高级中学月考)如图，在正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2，G2G3的中点，D是EF的中点，现沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个几何体，使G1，G2，G3三点重合于点G，这样，下列五个结论：①SG⊥平面EFG；②SD⊥平面EFG；③GF⊥平面SEF；④EF⊥平面GSD；⑤GD⊥平面SEF．正确的是()A．①和③B．②和⑤C．①和④D．②和④解：因为正方形中折叠前后都有SG⊥GE，SG ⊥GF，所以SG⊥平面EFG．①正确，②错误．因为SG⊥GF，SG⊥GD，所以GF并不垂直于SF，GD并不垂直于SD，即③⑤错误．因为EF⊥GD，EF⊥SG，GD∩SG＝G，所以EF⊥面GS D．④正确．故选C．7．在正方体ABCD­A′B′C′D′中，过对角线BD′的一个平面交AA′于E，交CC′于F，则①四边形BFD′E一定是平行四边形；②四边形BFD′E有可能是正方形；③四边形BFD′E在底面ABCD内的投影一定是正方形；④平面BFD′E有可能垂直于平面BB′D．以上结论正确的为__________．(写出所有正确结论的编号)解：根据两平面平行的性质定理可得BFD′E为平行四边形，①正确；若四边形BFD′E是正方形，则BE⊥ED′，又A′D′⊥EB，A′D′∩ED′＝D′，所以BE⊥面ADD′A′，与已知矛盾，②错；易知四边形BFD′E在底面ABCD内的投影是正方形ABCD，③正确；当E，F分别为棱AA′，CC′的中点时，EF ∥AC，又AC⊥平面BB′D，所以EF⊥面BB′D，④正确．故填①③④．8．(教材改编)如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°．将△ADB沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A­BCD，则在三棱锥A­BCD中：①平面ADC⊥平面ABC；②平面ADC⊥平面ABD；③平面ADC⊥平面BD C．其中正确的是____________．(写出所有正确结论的编号)解：在四边形ABCD中，由已知可得BD⊥C D．又平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BD，所以CD⊥平面ABD，所以平面ACD⊥平面ABD，所以CD⊥A B．又AD⊥AB，AD ∩CD＝D，所以AB⊥平面ADC，从而平面ABC⊥平面AD C．故填①②．9．(2017钟祥市实验中学月考)如图，在四棱锥P­ABCD中，底面是边长为a的正方形，侧棱PD＝a，P A＝PC＝2a．求证：(1)PD ⊥平面ABCD ；(2)平面P AC ⊥平面PB D ．证明：(1)因为PD ＝a ，DC ＝a ，PC ＝2a ， 所以PC 2＝PD 2＋DC 2，所以PD ⊥D C ． 同理可证PD ⊥AD ，又AD ∩DC ＝D ， 所以PD ⊥平面ABC D ． (2)由(1)知PD ⊥平面ABCD ，所以PD ⊥AC ，而四边形ABCD 是正方形， 所以AC ⊥BD ，又BD ∩PD ＝D ，所以AC ⊥平面PD B ．同时AC ⊂平面P AC ， 所以平面P AC ⊥平面PB D ．10．(2018·河北石家庄联考)如图，四棱锥P ­ABCD 的底面ABCD 是边长为2的菱形， ∠BAD ＝60°．PB ＝PD ＝2，P A ＝6．(1)证明：PC ⊥BD ；(2)若E 为P A 上一点，记三棱锥P ­BCE 的体积和四棱锥P ­ABCD 的体积分别为V 1和V 2，当V 1∶V 2＝1∶8时，求EPAE的值．解：(1)证明：连接AC 交BD 于点O ，连接PO ． 因为四边形ABCD 是菱形，所以BD ⊥AC ，且O 为BD 的中点，因为PB ＝PD ，所以PO ⊥BD ，又AC ∩PO ＝O ，所以BD ⊥平面P AC ，又 PC ⊂平面P AC ，所以BD ⊥P C ．(2)因为AB ＝PB ＝2，AD ＝PD ＝2，BD ＝BD ，所以△ABD ≌△PBD ，所以AO ＝PO ＝3，因为P A ＝6，所以P A 2＝OA 2＋OP 2，所以PO ⊥A C ．又PO ⊥BD ，AC ∩BD ＝O ，所以PO ⊥平面ABC D ．过点E 作EF ∥PO ，交AC 于点F ，所以EF ，PO 分别是三棱锥E ­ABC 和四棱锥P ­ABCD 的高．又V 1＝V P ­ABC －V E ­ABC ＝13S △ABC ·(PO －EF )，V 2＝13S 菱形ABCD ·PO ，由V 1V 2＝18，得S △ABC ·（PO －EF ）S 菱形ABCD ·PO ＝18，即4(PO －EF )＝PO ，所以PO EF ＝43．因为EF ∥PO ，所以△AEF ∽△APO ， 所以PO EF ＝AP AE ＝AE ＋EP AE ＝43，所以EP AE ＝13．11．(2018·北京西城一模)如图1，在△ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，O 为DE 的中点，AB ＝AC ＝25，BC ＝4．将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使得平面A 1DE ⊥平面BCED ，F 为A 1C 的中点，如图2所示．(1)求证：EF ∥平面A 1BD ；(2)求证：平面A 1OB ⊥平面A 1OC ；(3)在线段OC 上是否存在点G ，使得OC ⊥平面EFG ？请说明理由．解：(1)证明：如图，取线段A 1B 的中点H ，连接HD ，HF ．因为在△ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，所以DE ∥BC ，且DE ＝12B C ．因为H ，F 分别为A 1B ，A 1C 的中点，所以HF ∥BC ，且HF ＝12BC ，所以HF ∥DE ，且HF ＝DE ．所以四边形DEFH 为平行四边形，所以EF ∥H D ．因为EF ⊄平面A 1BD ，HD ⊂平面A 1BD ，所以EF ∥平面A 1B D ．(2)证明：因为在△ABC 中，AB ＝AC ，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，所以AD ＝AE ，所以A 1D ＝A 1E ，又O 为DE 的中点，所以A 1O ⊥DE ． 因为平面A 1DE ⊥平面BCED ，且平面A 1DE ∩平面BCED ＝DE ，A 1O ⊂平面A 1DE ， 所以A 1O ⊥平面BCED ，所以CO ⊥A 1O ． 又易求得OB ＝OC ＝22，所以OB 2＋OC 2＝BC 2，所以CO ⊥BO ， 又A 1O ∩BO ＝O ，A 1O ⊂平面A 1OB ，BO ⊂平面A 1OB ，所以CO ⊥平面A 1OB ，又CO ⊂平面A 1OC ，所以平面A 1OB ⊥平面A 1O C ．(3)在线段OC 上不存在点G ，使得OC ⊥平面EFG ．理由如下：假设在线段OC 上存在点G ，使得OC ⊥平面EFG ，连接GE ，GF ，则必有OC ⊥GF ，OC ⊥GE ．在Rt △A 1OC 中，由F 为A 1C 的中点，得G 为OC 的中点．在△EOC 中，因为OC ⊥GE ，所以EO ＝EC ，这显然与EO ＝1，EC ＝5矛盾． 所以在线段OC 上不存在点G ，使得OC ⊥平面。

【人教B版】数学必修2同步练习：1.2.3-空间中的垂直关系第1课时(含答案)

【人教B版】数学必修2同步练习：1.2.3-空间中的垂直关系第1课时(含答案)

1．将直线与平面垂直的判定定理“如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面”用集合符号语言表示为()．A．mα，m n＝B，l⊥n，l⊥m l⊥αB．mα，nα，m n＝B，l⊥m，l⊥n l⊥αC．mα，nα，m n＝B l⊥n，l⊥m，l⊥αD．mα，nα，l⊥m，l⊥n l⊥α2．过平面α外一点P，⊥存在无数条直线与平面α平行；⊥存在无数条直线与平面α垂直；⊥有且只有一条直线与平面α平行；⊥有且只有一条直线与平面α垂直．A．1 B．2 C．3 D．4⊥若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；⊥直线a不垂直于平面α，则α内与a垂直的直线有无数条；⊥垂直于同一直线的两条直线相互平行；⊥在空间中，过一点与已知直线垂直的直线有无数条．A．⊥和⊥ B．⊥和⊥C．⊥和⊥ D．⊥和⊥4．与空间四边形ABCD的四个顶点距离相等的平面共有()．A．1个B．5个C．6个D．7个5．如图，已知矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a，P A⊥平面ABCD，若在BC边上只有一个点Q满足PQ⊥QD，则a的值为______．6．如图所示，下列五个正方体图形中，l是正方体的一条体对角线，点M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出l⊥平面MNP的图形的序号是______．(写出所有符合要求的图形的序号)7．如图(1)，矩形纸片AA′A′1A1，B、C、B1、C1分别为AA′，A1A′1的三等分点，将矩形纸片沿BB1、CC1折成图(2)所示的三棱柱，若面对角线AB1⊥BC1，求证：A1C⊥AB1．8．如图所示，在矩形ABCD中，AB BC＝3，沿对角线BD将⊥BCD折起，使点C移到点C′，且C′O⊥平面ABD于点O，点O恰在AB上．(1)求证：BC′⊥平面ADC′；(2)求点A到平面BC′D的距离．9.如图所示的多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的顶点．正方体的一个顶点A在平面α内，其余顶点在α的同侧．正方体上与顶点A相邻的三个顶点到α的距离分别为1、2、4．P是正方体中不与A相邻的四个顶点中的一个，则P到平面α的距离可能是：⊥3；⊥4；⊥5；⊥6；⊥7．以上结果正确的为________.(写出所有正确结果的编号)参考答案1.答案：B2.答案：B解析：只有⊥⊥正确．3.答案：D4.答案：D解析：连接空间四边形的对角线，共有6条线，取这六条线的中点，由这六个中点所确定的平面即满足条件，它们共可确定7个平面．5.答案：2解析：⊥P A⊥平面ABCD，⊥P A⊥QD，又⊥PQ⊥QD，⊥QD⊥平面P AQ，⊥AQ⊥QD.即Q 在以AD为直径的圆上，当圆与BC相切时，点Q只有一个，故BC＝2AB＝2．6.答案：⊥⊥⊥解析：⊥正方体的体对角线与其不相交的面对角线垂直，⊥可得⊥中直线l垂直于平面MNP中的两条相交直线，⊥由⊥能得出l⊥平面MNP；但⊥⊥中平面MNP不与⊥中的平面MNP平行，这样由⊥⊥不能得到l⊥平面MNP；⊥中易得l⊥MP，而MN也与下底面对角线平行，所以⊥同样可得l⊥平面MNP；问题⊥不易判断，这里略证一下：如图，E、F、G是正方体棱的中点，则过P、M、N的截面就是六边形PGMENF.⊥l⊥PF，l⊥FN，⊥l⊥平面PFN，即l⊥平面PGMENF，即l⊥平面PMN.7.证明：分别取AB及A1B1的中点D和D1，连接CD、C1D1、BD1、A1D，由题设⊥ABC 及⊥A1B1C1为正三角形，故C1D1⊥A1B1，CD⊥AB，又AA1⊥A1B1，AA1⊥A1C1，A1B1A1C1＝A1，故AA1⊥平面A1B1C1，⊥C1D1平面A1B1C1，⊥AA1⊥C1D1，又AA1A1B1＝A1，⊥C1D1⊥平面ABB1A1，故C1D1⊥AB1．⊥AB1⊥BC1，又C1D1BC1＝C1，⊥AB1⊥平面BC1D1，又BD1平面BC1D1，⊥AB1⊥BD1，⊥A1D⊥BD1，C1D1平面BC1D1，⊥A1D⊥AB1，AB1⊥C1D1．⊥CD⊥C1D1，⊥AB1⊥CD，又A 1D CD ＝D ，⊥AB 1⊥平面A 1DC ，⊥A 1C平面A 1DC ，⊥A 1C ⊥AB 1． 8. 证明：(1)因为C ′O ⊥平面ABD ，AD 平面ABD ，所以C ′O ⊥AD ，又因为AD ⊥AB ，AB C ′O ＝O ，所以AD ⊥平面ABC ′，所以AD ⊥BC ′，又因为BC ′⊥DC ′，DC ′AD ＝D ，所以BC ′⊥平面ADC ′.(2)V A －BC ′D ＝V C ′－ABD ，即1111333232h CO ⨯⨯⨯=⨯⨯⋅' .所以h ＝C ′O ，在Rt⊥AC ′B 中，AB =BC ′＝3，故'AC ==⊥C'O ==h = 9.答案：⊥⊥⊥⊥解析：任何一个面都是平行四边形，对角线的交点都是该线段的中点．不与A 相邻的四个顶点到平面α的距离为如下结果1＋2＝3、1＋4＝5、2＋4＝6，还有一个是3＋4＝7．。

空间中的垂直关系(基础+复习+习题+练习)

空间中的垂直关系(基础+复习+习题+练习)

不会学会，会的做对. 让生活的句号 圈住的人，是无法前时半步的！351 课题：空间中的垂直关系考纲要求：①以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理.②能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题.教材复习1.直线和平面垂直()1直线和平面垂直的定义：直线l 与平面α的 直线都垂直，就说直线l α⊥.二面角的有关概念()1二面角：从一条直线出发的 所组成的图形叫做二面角.()2二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作 的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.基本知识方法1.证明线面垂直的方法(1)线面垂直的定义：a 与α内任何直线都垂直a α⇒⊥；(2)判定定理1：,,m n m n A l l m l n αα=⎫⇒⊥⎬⊥⊥⎭、Ü；(3)判定定理2：a ∥b ，a α⊥ ⇒b α⊥；(4)面面平行的性质：α∥β，a α⊥⇒a β⊥；(5)面面垂直的性质：αβ⊥，l αβ=，a αÜ，a l ⊥⇒a β⊥()6证明直线与平面的法向量平行.不会学会，会的做对. 让生活的句号 圈住的人，是无法前时半步的！352 2.证明线线垂直的方法(1)定义：两条直线所成的角为90︒； (2)平面几何中证明线线垂直的方法；(3)线面垂直的性质：a α⊥，b αÜa b ⇒⊥； (4)线面垂直的性质：a α⊥，b ∥αa b ⇒⊥. ()5证明两直线的方向向量互相垂直.3.证明面面垂直的方法(1)利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角； (2)判定定理：a αÜ，a β⊥ ⇒αβ⊥.()3证明两平面的法向量垂直.4.转化思想：垂直关系的转化(右图).在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决．典例分析：考点一 线线垂直 问题1． （2013天津）如图, 四棱柱1111ABCD A B C D -中, 侧棱1A A ⊥底面ABCD , AB ∥DC ,AB AD ⊥, 1AD CD ==, 12A A AB ==, E 为棱1A A 的中点.(Ⅰ)求证：11B C CE ⊥； (Ⅱ)略. (Ⅲ)略. 问题2011湖北文）如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为2，侧棱长为点侧棱1AA 上，点F 在侧棱1BB 上，且AE =BF =()1求证：1CF C E ⊥；()2 略. 考点二 线面垂直问题3． （07福建）如图，正三棱柱111ABC A B C - 的所有棱长都为2，D 为1CC 中点．()1求证：1AB ⊥平面1A BD ；()2略； ()3略. 问题4．（2010届高三福州八中第二次质检文）如图，四棱锥P ABCD -的 底面为正方形，PA ⊥平面ABCD ，2PA AB ==，F 为PA 上的点. ()1求证：无论点F 在PA 上如何移动，都有BD FC ⊥；()2若PC ∥平面FBD ，求三棱锥F BCD -的体积.考点三 面面垂直问题5．（08陕西文）三棱锥被平行于底面ABC 111A B C ，90BAC ∠=︒，1A A ⊥平面ABC ，112AB AC A C ==（Ⅰ）证明：平面1A AD ⊥平面11BCC B ；（Ⅱ）略．课后作业：1.（2010届高三福建“四地六校”第二次联考文）如图，在棱长为1111D C B A ABCD -E 、F 分别为1DD 、DB ()1求证：EF //平面11D ABC ；()2求证：EF C B 1⊥2.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 、G 分别是1A A ，1D C ，AD 的中点．求证：()1MN //平面ABCD ；()2MN ⊥平面1B BG ．B CD A CD A 1A C 1B 1 B D C直观图俯视图BC3.如右图所示，已知四棱锥P ABCD-，其正视图是等腰直角三角形，侧视图是底边长为4的等腰三角形，俯视图是矩形.（Ⅰ）求该四棱锥的体积；（Ⅱ）证明：平面PAE⊥平面PDE走向高考：4.（09江苏）如图，在直三棱柱111A B C-中，E,F分别是11A B,AC的中点，点D在11B C上，11A DB C⊥. 求证：()1EF∥平面ABC（这里不做）；()2平面1A FD⊥平面11BB C C.5.如图，在四棱锥P ABCD-中，平面PAD⊥面A B C，AB DC∥，PAD△是等边三角形，已知28BD AD==，2AB DC=（Ⅰ）设M是PC上的一点，证明：平面MBD⊥平面PAD；（Ⅱ）求四棱锥P ABCD-的体积．6.（08天津文）如图，在四棱锥ABCDP-中，底面ABCD是矩形．已知60,22,2,2,3=∠====PABPDPAADAB．（Ⅰ）证明⊥AD平面PAB；（Ⅱ）略；（Ⅲ）略．7.（07陕西）如图，在底面为直角梯形的四棱锥P ABCD-中，AD BC∥，90ABC∠=°，PA⊥平面ABCD．3PA=，2AD=，AB=6BC=()1求证：BD⊥平面PAC；()2略．8.（2013陕西）如图, 四棱柱1111ABCD A B C D-的底面ABCD是正方形, O为底面中心,1A O⊥平面ABC D,1AB AA==. ()1证明: 1A C⊥平面11BB D D；()2略.9.( 2013江苏) 如图，在三棱锥ABCS-中，平面⊥SAB平面SBC，BCAB⊥，ABAS=，过A作SBAF⊥，垂足为F，点GE，分别是棱SCSA，的中点.求证：()1平面//EFG平面ABC(这里不做)；()2SABC⊥.A BCMPD不会学会，会的做对. 让生活的句号圈住的人，是无法前时半步的！353。

第34讲 空间中的垂直关系(解析版)

第34讲 空间中的垂直关系(解析版)

第34讲 空间中的垂直关系一、 考情分析1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理；2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题.二、 知识梳理1.直线与平面垂直 (1)直线与平面垂直的定义如果一条直线和一个平面相交于点O ，并且和这个平面内过交点(O )的任何直线都垂直，就说这条直线和这个平面互相垂直.(2)直线与平面垂直的判定定理及其推论文字语言图形语言符号语言判定定理如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直⎭⎪⎬⎪⎫a ⊂αb ⊂αa ∩b ＝O l ⊥al ⊥b⇒l ⊥α推论1如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面⎭⎬⎫a ∥b a ⊥α⇒b ⊥α 推论2如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行⎭⎬⎫a ⊥αb ⊥α⇒a ∥b 2.(1)定义：一条斜线和它在平面内的射影所成的角叫做斜线和平面所成的角，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是0°的角. (2)范围：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.3.二面角(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；(2)二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角.(3)二面角的范围：[0，π].4.平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的定义如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得两条交线互相垂直，就称这两个平面互相垂直.(2)平面与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直⎭⎬⎫l⊥αl⊂β⇒α⊥β性质定理如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面⎭⎬⎫α⊥βl⊂βα∩β＝al⊥a⇒l⊥α[微点提醒]1.两个重要结论(1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.(2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法).2.使用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理，不要误解为“如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，就垂直于这个平面”.三、经典例题考点一线面垂直的判定与性质【例1】如图，在三棱锥P－ABC中，AB＝BC＝22，P A＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的中点.(1)证明：PO⊥平面ABC；(2)若点M在棱BC上，且MC＝2MB，求点C到平面POM的距离.(1)证明因为AP＝CP＝AC＝4，O为AC的中点，所以OP⊥AC，且OP＝2 3.连接OB.因为AB＝BC＝22AC，所以△ABC为等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB＝12AC＝2.由OP2＋OB2＝PB2知，OP⊥OB.由OP⊥OB，OP⊥AC且OB∩AC＝O，知PO⊥平面ABC.(2)解作CH⊥OM，垂足为H.又由(1)可得OP⊥CH，所以CH⊥平面POM.故CH的长为点C到平面POM的距离.由题设可知OC＝12AC＝2，CM＝23BC＝423，∠ACB＝45°.所以OM＝25 3，CH＝OC·MC·sin∠ACBOM＝455.所以点C到平面POM的距离为45 5.规律方法 1.证明直线和平面垂直的常用方法有：(1)判定定理；(2)垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)；(3)面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a ⊥β)；(4)面面垂直的性质(α⊥β，α∩β＝a，l⊥a，l⊂β⇒l⊥α).2.证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想.考点二面面垂直的判定与性质【例2】如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面P AD⊥底面ABCD，P A⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点，求证：(1)P A⊥底面ABCD；(2)BE∥平面P AD；(3)平面BEF⊥平面PCD.证明(1)∵平面P AD⊥底面ABCD，且P A垂直于这两个平面的交线AD，P A⊂平面P AD，∴P A⊥底面ABCD.(2)∵AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，∴AB∥DE，且AB＝DE.∴四边形ABED为平行四边形.∴BE∥AD.又∵BE⊄平面P AD，AD⊂平面P AD，∴BE∥平面P AD.(3)∵AB⊥AD，而且ABED为平行四边形.∴BE⊥CD，AD⊥CD，由(1)知P A⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴P A⊥CD，且P A∩AD＝A，P A，AD⊂平面P AD，∴CD⊥平面P AD，又PD⊂平面P AD，∴CD⊥PD.∵E和F分别是CD和PC的中点，∴PD∥EF.∴CD⊥EF，又BE⊥CD且EF∩BE＝E，∴CD⊥平面BEF，又CD⊂平面PCD，∴平面BEF⊥平面PCD.规律方法 1.证明平面和平面垂直的方法：(1)面面垂直的定义；(2)面面垂直的判定定理.2.已知两平面垂直时，一般要用性质定理进行转化，在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.考点三平行与垂直的综合问题角度1多面体中平行与垂直关系的证明【例3－1】如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，平面P AD⊥平面ABCD，P A⊥PD，P A＝PD，E，F分别为AD，PB的中点.(1)求证：PE⊥BC；(2)求证：平面P AB⊥平面PCD；(3)求证：EF∥平面PCD.证明(1)因为P A＝PD，E为AD的中点，所以PE⊥AD.因为底面ABCD为矩形，所以BC∥AD.所以PE⊥BC.(2)因为底面ABCD为矩形，所以AB⊥AD.又因为平面P AD⊥平面ABCD，平面P AD∩平面ABCD＝AD，所以AB⊥平面P AD.所以AB⊥PD.又因为P A⊥PD，且P A∩AB＝A，所以PD⊥平面P AB.又PD⊂平面PCD，所以平面P AB⊥平面PCD.(3)如图，取PC中点G，连接FG，DG.因为F，G分别为PB，PC的中点，所以FG∥BC，FG＝12BC.因为ABCD为矩形，且E为AD的中点，所以DE∥BC，DE＝12BC.所以DE∥FG，DE＝FG.所以四边形DEFG为平行四边形.所以EF∥DG.又因为EF⊄平面PCD，DG⊂平面PCD，所以EF∥平面PCD.规律方法 1.三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化. 2.垂直与平行的结合问题，求解时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用.角度2平行与垂直关系中的探索性问题【例3－2】如图，三棱锥P－ABC中，P A⊥平面ABC，P A＝1，AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60°.(1)求三棱锥P－ABC的体积；(2)在线段PC上是否存在点M，使得AC⊥BM，若存在点M，求出PMMC的值；若不存在，请说明理由.解(1)由题知AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60°，可得S△ABC ＝12·AB·AC·sin 60°＝32，由P A⊥平面ABC，可知P A是三棱锥P－ABC的高.又P A＝1，所以三棱锥P－ABC的体积V＝13·S△ABC·P A＝36.(2)在平面ABC 内，过点B 作BN ⊥AC ，垂足为N .在平面P AC 内，过点N 作MN ∥P A 交PC 于点M ，连接BM .由P A ⊥平面ABC 知P A ⊥AC ，所以MN ⊥AC . 由于BN ∩MN ＝N ，故AC ⊥平面MBN . 又BM ⊂平面MBN ，所以AC ⊥BM . 在Rt △BAN 中，AN ＝AB ·cos ∠BAC ＝12， 从而NC ＝AC －AN ＝32. 由MN ∥P A ，得PM MC ＝AN NC ＝13. 故存在满足条件的点M ，且PM MC ＝13.规律方法 1.求条件探索性问题的主要途径：(1)先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明；(2)先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性.2.涉及点的位置探索性问题一般是先根据条件猜测点的位置再给出证明，探索点存在问题，点多为中点或三等分点中某一个，也可以根据相似知识建点. 角度3 空间位置关系与几何体的度量计算【例3－3】 如图，在四棱锥P －ABCD 中，AD ⊥平面PDC ，AD ∥BC ，PD ⊥PB ，AD ＝1，BC ＝3，CD ＝4，PD ＝2.(1)求异面直线AP 与BC 所成角的余弦值； (2)求证：PD ⊥平面PBC ；(3)求直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值.(1)解 如图，由已知AD ∥BC ，故∠DAP 或其补角即为异面直线AP 与BC 所成的角.因为AD⊥平面PDC，PD⊂平面PDC，所以AD⊥PD.在Rt△PDA中，由已知，得AP＝AD2＋PD2＝5，故cos∠DAP＝ADAP＝55.所以，异面直线AP与BC所成角的余弦值为5 5.(2)证明由(1)知AD⊥PD，又因为BC∥AD，所以PD⊥BC.又PD⊥PB，BC∩PB＝B，所以PD⊥平面PBC.(3)解过点D作DF∥AB，交BC于点F，连接PF，则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角.因PD⊥平面PBC，故PF为DF在平面PBC上的射影，所以∠DFP为直线DF和平面PBC所成的角.由于AD∥BC，DF∥AB，故BF＝AD＝1.由已知，得CF＝BC－BF＝2.又AD⊥DC，故BC⊥DC.在Rt△DCF中，可得DF＝CD2＋CF2＝2 5.在Rt△DPF中，可得sin∠DFP＝PDDF＝55.所以直线AB与平面PBC所成角的正弦值为5 5.规律方法 1.本题证明的关键是垂直与平行的转化，如由AD∥BC，AD⊥PD，得PD⊥BC，进而利用线面垂直的判定定理证明PD⊥平面PBC.2.利用综合法求空间线线角、线面角、二面角一定注意“作角、证明、计算”是完整统一过程，缺一不可.(1)线面角的求法：找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线，找垂足，要把线面角转化到一个三角形中求解.(2)二面角的大小用它的平面角来度量.平面角的作法常见的有：①定义法；②垂面法.注意利用等腰、等边三角形的性质.[方法技巧]1.证明线面垂直的方法：(1)线面垂直的定义：a 与α内任何直线都垂直⇒a ⊥α； (2)判定定理1：⎭⎬⎫m ，n ⊂α，m ∩n ＝A l ⊥m ，l ⊥n ⇒l ⊥α； (3)判定定理2：a ∥b ，a ⊥α⇒b ⊥α；(4)面面垂直的性质：α⊥β，α∩β＝l ，a ⊂α，a ⊥l ⇒a ⊥β； 2.证明面面垂直的方法(1)利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角； (2)判定定理：a ⊂α，a ⊥β⇒α⊥β. 3.转化思想：三种垂直关系之间的转化4.证明线面垂直时，易忽视面内两条线为相交线这一条件.5.面面垂直的判定定理中，直线在面内且垂直于另一平面易忽视.6.面面垂直的性质定理在使用时易忘面内一线垂直于交线而盲目套用造成失误.7.在解决直线与平面垂直的问题过程中，要注意直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理的联合交替使用，即注意线线垂直和线面垂直的相互转化.四、 课时作业1．（2020·陕西高三其他（文））已知m ，n 表示两条不同的直线，α表示平面．下列说法正确的是（ ） A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥n B ．若m ⊥α，n ⊥α，则m ∥n C ．若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α D ．若m ∥α，m ⊥n ，则n ⊥α【答案】B【解析】对于A ，若m ∥α，n ∥α，则m ∥n 或m 与n 相交或m 与n 异面，故A 不正确； 对于B ，根据垂直于同一个平面的两条直线平行可知，B 正确； 对于C ，若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α或n ⊂α，故C 不正确；对于D ，若m ∥α，m ⊥n ，则n ⊥α或//n α或n ⊂α或n 与α相交但不垂直，故D 不正确.2．（2020·甘肃城关�兰州一中高三一模（理））如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M ､N 分别为AC ，A 1B 的中点，则下列说法错误的是（ ）A ．MN ∥平面ADD 1A 1B ．MN ⊥ABC ．直线MN 与平面ABCD 所成角为45° D ．异面直线MN 与DD 1所成角为60° 【答案】D【解析】如图，连结BD ，1A D ，由M ，N 分别为AC ，1A B 的中点知 1//MN A D ， 对A ，由1//MN A D ，从而MN ∥平面ADD 1A 1，A 正确；对B ，由AB ⊥面11ADD A ，可得AB ⊥1A D ，又1//MN A D ，得MN AB ⊥，B 正确； 对C ，由1//MN A D ，直线MN 与平面ABCD 所成角为145A DA ∠=︒，C 正确； 对D ，由1//MN A D ，直线MN 与DD 1所成角为11A DD ∠45=︒，D 错误；3．（2020·辽宁沈河�沈阳二中高三其他（理））已知m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列为真命题的是（ ） A ．若//m α，//n α，则//m nB ．若//n m ，n α⊥，则m α⊥C ．若//m α，//n β，m n ⊥，则αβ⊥D ．若//m α，n β⊥，//m n ，则//αβ 【答案】B【解析】解：对于选项A ，若//m α，//n α，则m 与n 平行，相交或者异面，故A 错误； 对于选项B ，若//n m ，n α⊥，则m α⊥，故B 正确；对于选项C ，若//m α，//n β，m n ⊥，则α与β也可以平行，故C 错误；对于选项D ，若n β⊥，//m n ，所以m β⊥，因为//m α，则α与β垂直，故D 错误.4．（2020·乌鲁木齐市第四中学高一期末）如图，空间四边形ABCD 中，平面ABD ⊥平面BCD ，90BAD ∠=︒，且AB ＝AD ，则AD 与平面BCD 所成的角是（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°【答案】B【解析】如图，过点A 作AE BD ⊥,垂足为E .因为平面ABD ⊥平面BCD ，AE BD ⊥，平面ABD ⋂平面BCD BD =,所以AE ⊥平面BCD ,所以AD 与平面BCD 所成的角是ADE ∠,因为90BAD ∠=︒，且AB ＝AD ，所以45ADE =∠.所以AD 与平面BCD 所成的角是45.5．（2020·全国高三（理））在三棱锥A BCD -中,AC ⊥底面，，BD DC =，，，则点C 到平面ABD 的距离是（ ）A ．55aB ．155aC ．35aD ．153a 【答案】B6．（2020·全国高一课时练习）如图，设平面PQ αβ⋂=，EG ⊥平面α，FH ⊥平面α，垂足分别为,G H .为使PQ GH ⊥，则需增加的一个条件是（ ）A ．EF ⊥平面αB ．EF ⊥平面βC ．PQ GE ⊥D ．PQ FH ⊥【答案】B 【解析】因为EG ⊥平面α，PQ ⊂平面α，所以EG PQ ⊥.若EF ⊥平面β，则由PQ ⊂平面β，得EF PQ ⊥.又EG 与EF 为相交直线，且EG ⊥平面α，FH ⊥平面α，则EG FH ，∴,,,E F H G 四点共面，所以PQ ⊥平面EFHG ，所以PQ GH ⊥，7．（2019·陕西武功�高三月考（理））已知直线l ⊥平面α，直线m ∥平面β，若αβ⊥，则下列结论正确的是A ．l β∥或l β⊂B ．//l mC ．m α⊥D ．l m ⊥ 【答案】A【解析】对于A ，直线l ⊥平面α，αβ⊥，则l β//或l β⊂，A 正确；对于B ，直线l ⊥平面α，直线//m 平面β，且αβ⊥，则//l m 或l 与m 相交或l 与m 异面，∴B 错误； 对于C ，直线l ⊥平面α，直线//m 平面β，且αβ⊥，则m α⊥或m 与α相交或m α⊂或//m α，∴C 错误；对于D ，直线l ⊥平面α，直线//m 平面β，且αβ⊥，则//l m 或l 与m 相交或l 与m 异面，∴D 错误． 8．（2019·营口市第二高级中学高一月考）在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为AB 的中点， 则点C 到平面A 1DM 的距离为 ( )A ．3aB ．6aC ．2aD ．12a 【答案】A【解析】画出图形如下图所示,设C 到平面1A DM 的距离为h ,则根据等体积法有11A CDM C A DM V V --=,即11113232a a a h ⋅⋅⋅⋅=⋅⋅,解得3h a =,故选A .9．（2020·四川雨城�雅安中学高二月考（理））已知正方形ABCD 的边长为4，E ､F 分别是AB ､AD 的中点，GC ⊥平面ABCD ，且2GC =，则点B 到平面EFG 的距离为（ ）A 211B 311C 210D 310 【答案】A【解析】设B 到平面EFG 的距离为h .1111422232323G BEF V BE AF CG -=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=. 2222422426GE GF ==++==2222822EF =+==. 所以22112222211222GEF EF S EF GE ∆⎛⎫=⨯-=⨯= ⎪⎝⎭由G BEF B EFG V V --=得1421121133h h ⨯=⇒=. 故选：A10．（2020·山东芝罘�烟台二中高一月考）如图，ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1为正方体，则以下结论：①BD ∥平面CB 1D 1；②AC 1⊥BD ；③AC 1⊥平面CB 1D 1其中正确结论的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D 【解析】解：由正方体的性质得BD ∥11B D ，所以结合线面平行的判定定理可得：BD ∥平面11CB D ；所以①正确.由正方体的性质得 AC ⊥BD ，1C C ⊥BD ，可得BD ⊥平面1CC A ，所以1AC ⊥BD ，所以②正确.由正方体的性质得 BD ∥11B D ，由②可得1AC ⊥BD ，所以1AC ⊥11B D ，同理可得11AC CB ，进而结合线面垂直的判定定理得到：1AC ⊥平面11CB D ，所以③正确.故选：D. 11．（2018·安徽花山�马鞍山二中高三月考（文））已知a ，b 是平面α内的两条直线，l 是空间中的一条直线.则“直线l a ⊥且l b ⊥”是“l α⊥”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】解：,,,l a b l a l b αα''''⊥⊂⇒⊥⊥，反之不一定成立，例如//a b 时．“直线l a ⊥且l b ⊥”是“l α⊥”的必要而不充分条件．12．（2020·全国高一课时练习）已知长方体1111ABCD A B C D -，在平面11AA B B 上任取点M ，作ME AB ⊥于点E ，则（ ）A ．ME ⊥平面ABCDB ．ME ⊂平面ABCDC ．ME 平面ABCD D ．以上都有可能【答案】A【解析】∵ME ⊂平面11AA B B ，平面11AA B B 平面ABCD AB =，且平面11AA B B ⊥平面,ABCD ME AB ，∴ME ⊥平面ABCD .13．（2020·全国高一课时练习）已知直线l ⊥平面α，直线m α⊂，则（ ）A ．l m ⊥B ．l mC ．,l m 异面D ．,l m 相交而不垂直 【答案】A【解析】根据线面垂直的定义，若直线与平面垂直，则直线垂直与该平面内的任意一条直线，因此 l m ⊥，故选A14．（2020·七台河市第一中学高一期末（理））已知m ，n 是空间中两条不同的直线，α，β为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题正确的是（ ）A ．若m α⊂，则m β⊥B ．若m α⊂，n β⊂，则m n ⊥C ．若m α⊄，m β⊥，则//m aD ．若m αβ=，n m ⊥，则n a ⊥【答案】C【解析】对于A ，直线m 与平面β可能垂直，也可能平行或m 在平面β内，故A 不正确；对于B ，直线m 与n 平行、异面或相交，故B 不正确；对于C ，m β⊥，则//m a 或m α⊂，又m α⊄，所以//m a ，故C 正确；对于D ，缺少条件n β⊂，故D 不正确；15．（2020·北京通州�高一期末）已知直线a ⊂平面α，直线b ⊂平面α，则“直线m α⊥”是“m a ⊥，且m b ⊥”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】直线a ⊂平面α，直线b ⊂平面α，则“直线m α⊥”能推出“m a ⊥，且m b ⊥”，是充分条件，反之“m a ⊥，且m b ⊥”，直线m 与平面α不一定垂直，不是必要条件，16．（2020·浙江高三其他）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体两两垂直的平面共有（ ）A ．4对B ．5对C ．6对D ．7对【答案】D 【解析】由三视图可知，该几何体为如图所示的四棱锥P ABCD -，其中ABCD 为边长为1的正方形，PA ⊥平面ABCD ，所以平面PAB ⊥平面ABCD ,平面PAD ⊥平面ABCD ,平面PAC ⊥平面ABCD ,又,,AD AB PA AD AB PA A ⊥⊥⋂=,所以AD ⊥平面PAB ,平面PAD ⊥平面PAB ,又AC BD ⊥,,PA BD PA AC A ⊥⋂=,所以BD ⊥平面PAC ,平面PBD ⊥平面PAC ,同理可证：CD ⊥平面PAD ，CB ⊥PAB ，故平面PBC ⊥平面PAB ，平面PCD ⊥平面PAD ，故该几何体两两垂直的平面共有7对.17．（2019·重庆高三三模（文））下列命题错误的是（ ）A ．若平面α⊥平面β，则平面α内所有直线都垂直于平面βB ．若平面α⊥平面β，则平面α内一定存在直线垂直于平面βC ．若平面α不垂直于平面β，则平面α内一定不存在直线垂直于平面βD ．若平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，l αβ=则l γ⊥ 【答案】A【解析】对于选项A ．若平面α⊥平面β，则平面α内存在直线不垂直于平面β，命题错误；B ．若平面α⊥平面β，则平面α内一定存在直线垂直于平面β，如平面α内垂直于两平面交线的直线，命题正确；C ．若平面α内存在直线垂直于平面β，根据面面垂直的判定有平面α垂直于平面β，与平面α不垂直于平面β矛盾，所以若平面α不垂直于平面β，则平面α内一定不存在直线垂直于平面β，命题正确；D ．若平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，l αβ=，如图，，设,a b αγβγ⋂=⋂=，在γ内直线a 、b 外任取一点O ，作OA a ⊥，交点为A ，作OB b ⊥，交点为B ， 因为平面α⊥平面γ，所以OA α⊥，又l α⊂，所以OA l ⊥，同理可得OB l ⊥，因为OA OB O =，且OA γ⊂,OB γ⊂，所以l γ⊥，D 选项正确.18．（2020·广东汕头�高三二模（文））在立体几何中，以下命题中假命题的个数为（ ）①若直线//a b ，b ⊂平面α，则//a α.②若平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，l αβ=，则l γ⊥.③有3个角是直角的四边形是矩形.④若平面α⊥平面β，a ⊂平面α，b ⊂平面β，且a b ⊥，则a β⊥.A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 【答案】D【解析】①若直线//a b ，b ⊂平面α，则//a α或a α⊂，所以不正确.②若平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，l αβ=,则l γ⊥，正确,证明如下. 如图设a αγ⋂=，b γβ=，在β内，直线,a b 外任取一点O ，作OA a ⊥，交点为A ，因为平面α⊥平面γ,则OA α⊥，所以OA l ⊥。

空间中的垂直关系习题

《空间中的垂直关系》习题1αβαβ() 与平面垂直的直线有不垂直，那么平面．若平面内能与平面A0 B1 条．．条C2 D ．无数条．条2lαlααβ分内无数条直线垂直，则直线；②平面⊥平面．给出下列四个命题：①若直线与与平面αβl αaαlaα内的别过两条互相垂直的直线，则∥⊥，则存在；③若直线，使⊥平面；④若平面?βαβ. ⊥一条直线垂直于平面内的两条相交直线，则() 其中正确命题的个数为A1 B2 ．．D C3 4．．3aαbc() 、．直线和平面都垂直，给出下列说法，正确的说法是内两条直线aαaααaaα相交．可能成立；②；④⊥；③平面有可能与平面①可能经过∥A B ．③④．①②③④C D ．①③④．①②④4ABCDABBCCDDAACBCEFGHABBC、＝、＝分别是＝、＝、＝、，．空间四边形中，若CDDAEFGH() 的形状是、的中点．则四边形A B ．长方形．平行四边形C D ．正方形．菱形5αβγωαγβγαωβω() ⊥⊥，．、、⊥、，则是四个不同平面，若，⊥，Aαβγω∥∥．且Bαβγω∥∥．或C ．这四个平面中可能任意两个都不平行D ．这四个平面中至多有一对平面平行6ab()是异面直线，下列命题正确的是．设、AabPab 都相交上的一点、一定可以作一条直线和．过不在、BabPab 都垂直一定可以作一个平面和．过不在、、上的一点Cab 垂直．过一定可以作一个平面与Dab 平行一定可以作一个平面与．过7 ．给出下列四个命题：①经过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面垂直；②如果一条直线和两个垂直平面中的一个垂直，它必和另一个平行；③过不在平面内的一条直线可作无数个平面与已知平面垂直；④如果两个平面互相垂直，经过一个平面内一点与另一个平面垂直的直线在这个平面内．其中正________ ．确的是8ABCDOPABCDPAPCPD，在平行四边形，点所在平面外，且＝．平行四边形的对角线交点为PBPOABCD________________ ．的位置关系是与平面，则＝9(2010·13)20cm3h＝如下图中的三个直角三角形是一个体积．的几何体的三视图，则湖南文，________ cm.10lαβlαlβlααβlβ中任取两个作为条?，②，?，③，若从①．已知：直线⊥和平面，⊥，且∥______________. 件，余下一个作为结论，在构成的诸命题中，写出你认为正确的一个命题：11SABCDABCDSBCABCD，已中，底面⊥底面．如右图所示，四棱锥为平行四边形，侧面－ABC45°SASB.SABC.⊥＝知∠＝求证：，12(2010·19)ABCA1B1C1BCC1B1B1CA1B.⊥辽宁文，如图，棱柱的侧面－是菱形，．(1)AB1CA1BC1 ；证明：平面⊥平面(2)DA1C1A1BB1CDA1DDC1 的值．∥平面：设，求是上的点，且13PABCDABCDDAB60°PAD为正三角是∠．如图所示，在四棱锥的菱形，侧面－中，底面＝ABCD. 形，其所在平面垂直于底面(1)ADPB ；求证：⊥(2)EBCPCFDEFABCD，并证明你的结上找到一点⊥平面若，使平面为边的中点，能否在棱论．14ABCDA1B1C1D1ECC1B1EBC1ABADAC1面⊥，求证：＝，⊥，∈中，－．在长方体．B1ED1.答案：1A．[]αlβαβαβα内不存在能不垂直矛盾，故平面假设平面解析内存在一条直线⊥，则⊥，这与与β垂直的直线．与平面．2A．[]lαlα垂直，①错误；与平面不一定与解析内的无数条平行直线垂直时，当αβαβ可能垂直，也可能不垂直，②错误；与，分别过两条互相垂直的直线时，当平面lαlα内的所有直线都垂直，不可能存在直线根据直线与平面垂直的定义，知直线时，⊥平面与lA. 平行的情况，③错误；根据线面垂直的判定定理知④正确．选与3D．[]aαbαcαabacD. ，故①正确，②不正确，故选，，⊥解析，如图所示，∥⊥，??4D．11[]EFGHABBCCDDAEFACHG綊、解析如图所示，∵綊、、、，、、分别为的中点，∴22ACEFGH 是平行四边形，，∴四边形1EHBDBDACEHEFEFGHBDMAMCM，＝，∴四边形，是菱形．取＝，连结，∴中点＝、又2ABADAMBD ，＝∵⊥，∴CBCDCMBD ，＝⊥，∴又AM∩CMMBDACM ，，∴＝⊥平面又BDAC.⊥∴EFACBDEH ，，∥又∥EFEHEFGH 是正方形．⊥，∴四边形∴5B．[]α∩βa.αγβγ.aγ. ⊥，解析⊥设∴＝∵⊥aω.γωαβγω相交或平行．同理⊥，则∴∥∥与；若αβγω. ∥∥∴或6D．[]APaαbαB不正确，确定平面时，满足条件的直线不存在；解析，当不正确，若点∥和直线ababCab 垂直时，才能作出满足条件，这与、、是异面直线矛盾；不正确，只有若存在，则有∥D 正确．的平面．只有7 ．④[]过平面外一点可作一条直线与平面垂直，过该直线的任何一个平面都与已知平面垂解析．αβaαaβaβ，②不对；当平面外的直线是平面的垂线时可以作，∥⊥⊥或，则直，①不对；若?无数个，否则只能作一个，③不对，故只有④对．8POABCD⊥平面．[]OABCDOAOCPAPC ＝如图所示，∵＝为平行四边形，又解析对角线的交点，∴POAPOC ，∴△≌△POAPOC90°，＝∠∴∠＝POAC.⊥∴POBDAC∩BDOPOABCD. ⊥面⊥，∴，又＝同理94．1[]V＝该几何体是一个底面是直角三角形，一条侧棱垂直于底面的三棱锥如图，解析31??×5×6??×h20h×4 cm.10()答案不惟一②．①③?[]lβlγ∩βala ，，∴过直线，∴∥作平面解析∥如图所示，∵＝lαaαaβαβ. ⊥，又⊥∵，∴⊥，∴?11SOBCOAOSBCABCDSOABCD. ⊥底面，∵侧面．作⊥⊥底面，垂足为，∴，连结SASBAOBO.＝＝∵，∴ABC45°AOBAOBOBCSOSO∩OAO ，⊥，又又∠＝＝，故为等腰直角三角形，即⊥，且△BCSOASABC.⊥⊥平面，∴∴12(1)BCC1B1B1CBC1 ，∵侧面．是菱形，∴⊥B1CA1BA1B∩BC1B ，＝，且⊥又∵．B1CA1BC1B1CAB1C平面∴，又⊥平面?AB1CA1BC1 .⊥平面∴平面(2)BC1B1CEDEDEA1BC1B1CD 的交线．设，则交与平面于点是平面，连结A1BB1CDA1BA1BC1A1BC1∩B1CDDEA1BDE. ∥，＝平面∥平面平面，平面∵，∴?EBC1DA1C1 的中点．的中点，∴是又为A1DDC11.＝即：13(1)GADPG ，为．的中点，连结设PADPGAD.⊥∵△为正三角形，∴ABCDDAB60°GADBGAD. ⊥中，∠为＝的中点，∴，在菱形BG∩PGGADPGB. ⊥平面＝又，∴PBPGBADPB.⊥平面∵，∴?(2)FPCDEFABCD. ⊥平面为当的中点时，满足平面PCFDEEFDFPBCEFPB.∥、、取的中点中，，连结，在△ABCDGBDEEFDEFDEDEFEF∩DEE ，∥平面，而中，＝平面，，在菱形??DEFPGB ，∴平面∥平面(1)PGABCDPGPGB ，，而由⊥平面得平面?PGBABCDDEFABCD. ⊥平面⊥平面，∴平面∴平面14[]ABCDA1B1C1D1 为长方体，．∵解析－ABBB1C1C ，∴⊥平面B1EBB1C1C ，又∴，平面?ABB1EB1EBC1AB∩BC1BB1EABC1 ，⊥，∴，又∵∴⊥＝，⊥平面B1EAC1A1C1ABADABCDA1B1C1D1 为正方形．，∵，∴长方体上、下底面，连结＝∴、⊥A1C1B1D1.⊥∴AA1A1B1C1D1AA1B1D1AA1∩A1C1A1 ，又∵，⊥平面，∴＝⊥B1D1AA1C1B1D1AC1B1E∩B1D1B1 ，＝∴⊥平面，∴⊥，AC1B1ED1.。

空间的垂直关系(含答案)

空间的垂直关系一、基础梳理1．直线和平面垂直（1）直线和平面垂直的定义：如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的任何一条直线．．．．．．都垂直，我们就说这条直线和这个平面互相垂直。

其中直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面。

交点叫做垂足。

直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊情况。

直线与平面垂直简称线面垂直，记作：aα⊥。

说明：①“任何”表示“所有”，注意与“无数”的区别；②“a⊥α”等价于“对任意的直线m⊂α，都有a⊥m”；练习：（1）过空间任一点作直线的垂面有 __________个；垂线有 _______条。

（2）过空间任一点作该平面的垂线有 _________条；平行线有 ______条。

（2）直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线．．．．．．都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。

符号语言：若l⊥m，l⊥n，m∩n＝。

简称：“线线．．垂直⇒线面垂直”定理：“如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。

”已知：a∥b，a⊥α。

则：bα⊥。

（3）直线和平面垂直的性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行。

简称“线面垂直⇒线线平行”。

已知：,a bαα⊥⊥，则：//ab。

2.（1）平面的斜线、垂线、射影①垂线：自一点向平面引垂线,垂足叫这点在这个平面上的射影。

这个点和垂足间的线段叫做这点到这个平面的垂线段。

②斜线一条直线和一个平面相交,但不和这个平面垂直,这条直线叫做这个平面的斜线。

斜线和平面的交点叫斜足；斜线上一点与斜足间的线段叫这点到这个平面的斜线段。

③射影过斜线上斜足外的一点向平面引垂线,过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影。

垂足和斜足间线段叫这点到这个平面的斜线段在这个平面内的射影。

练习（1）判断正误：①一条直线在平面上的射影一定是直线；（）②两平行直线在同一平面内的射影是平行线；（）③两相交直线在同一平面内的射影是相交直线；（）④两异面直线在同一平面内的射影一定是相交直线。

空间中的垂直关系(带答案)

空间中的垂直关系专题训练知识梳理一、线线垂直：如果两条直线于一点或经过后相交于一点，并且交角为，则称这两条直线互相垂直.二、线面垂直：1.定义：如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的_________________，则称这条直线和这个平面垂直. 也就是说，如果一条直线垂直于一个平面，那么他就和平面内任意一条直线都 .直线l和平面α互相垂直，记作l⊥α.2.判定定理：如果一条直线与平面内的直线垂直，则这条直线与这个平面垂直.推论①：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也于这个平面.推论②：如果两条直线同一个平面，那么这两条直线平行.3.点到平面的距离：长度叫做点到平面的距离.三、面面垂直：1.定义：如果两个相交平面的交线与第三个平面，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线，就称这两个平面互相垂直.平面α，β互相垂直，记作α⊥β.2.判定定理：如果一个平面经过另一个平面的___________，则这两个平面互相垂直.3.性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于直线垂直于另一个平面.四、求点面距离的常用方法：1.直接过点作面的垂线，求垂线段的长，通常要借助于某个三角形.2.转移法：借助线面平行将点转移到直线上某一特殊点到平面的距离来求解.3.体积法：利用三棱锥的特征转换位置来求解.题型一线线垂直、线面垂直的判定及性质例1.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中点.求证：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.【变式1】已知：正方体ABCD﹣A1B1C1D1 ，AA1=2，E为棱CC1的中点．（Ⅰ）求证：B1D1⊥AE；（Ⅱ）求证：AC∥平面B1DE．【解答】（Ⅰ）连接BD，则BD∥B1D1，∵ABCD是正方形，∴AC⊥ BD．∵CE⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴CE⊥BD．又∵AC∩CE=C，∴BD⊥面ACE．∵AE⊂面ACE，∴BD⊥AE，∴B1D1⊥AE．﹣﹣﹣（5分）（Ⅱ）证明：取BB1的中点F，连接AF、CF、EF．∵ E、F是C1C、B1B的中点，∴ CE∥B1F且CE=B1F，∴ 四边形B1FCE是平行四边形，∴ CF∥ B1E．∵ 正方形BB1C1C 中，E、F是CC、BB的中点，∴ EF∥BC且EF=BC又∵ BC∥AD且BC=AD，∴ E F∥AD且EF=AD．∴ 四边形ADEF是平行四边形，可得AF∥ED，∵ AF∩CF=C，BE∩ED=E，∴ 平面ACF∥平面B1DE．又∵ AC⊂平面ACF，∴AC∥面B1DE．【变式2】如图，已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，点E、G分别是CD、PC的中点，点F在PD上，且PF：FD=2：1．（Ⅰ）证明：EA⊥PB；（Ⅱ）证明：BG∥面AFC．【解答】（Ⅰ）证明：因为面ABCD为菱形，且∠ABC=60°，所以△ ACD为等边三角形，又因为E是CD的中点，所以EA⊥AB．又PA⊥平面ABCD，所以EA⊥PA．而AB∩PA=A所以EA⊥面PAB，所以EA⊥PB．（Ⅱ）取PF中点M，所以PM=MF=FD．连接MG，MG∥CF，所以MG∥面AFC．连接BM，BD，设AC∩BD=O，连接OF，所以BM∥OF，所以BM∥面AFC．而BM∩MG=M所以面BGM∥面AFC，所以BG∥面AFC．【变式3】如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB=，AA1=2．（1）证明：AA1⊥BD（2）证明：平面A1BD∥平面CD1B1；（3）求三棱柱ABD﹣A1B1D1的体积．【解答】（1）证明：∵底面ABCD是正方形，∴BD⊥AC，又∵ A1O⊥平面ABCD且BD⊂面ABCD，∴ A1O⊥BD，又∵ A1O∩AC=O，A1O⊂面A1AC，AC⊂面A1AC，∴BD⊥面A1AC，AA1⊂面A1AC，∴ AA1⊥BD．（2）∵ A1B1∥AB，AB∥CD，∴ A1B1∥CD，又A1B1=CD，∴四边形A1B1CD是平行四边形，∴ A1D∥B1C，同理A1B∥CD1，∵ A1B⊂平面A1BD，A1D⊂平面A1BD，CD1⊂平面CD1B1，B1C⊂平面CD1B，且A1B∩A1D=A1，CD1∩B1C=C，∴平面A1BD∥平面CD1B1．（3）∵ A1O⊥面ABCD，∴ A1O是三棱柱A1B1D1﹣ABD的高，在正方形ABCD中，AO=1．在Rt△A1OA中，AA1=2，AO=1，∴ A1O=，∴ V三棱柱ABD﹣A1B1D1=S△ABD•A1O=•（）2•=∴三棱柱ABD﹣A1B1D1的体积为．【变式4】如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB=BC=AC=AA1=4，点F在CC1上，且C1F=3FC，E是BC的中点．（1）求证：AE⊥平面BCC1B1（2）求四棱锥A﹣B1C1FE的体积；（3）证明：B1E⊥AF．【解答】（1）∵ AB=AC，E是BC的中点，∴AE⊥ BC．在三棱柱ABC﹣A1B1C1，中，BB1∥ AA1，∴ BB1⊥平面ABC，∵ AE⊂平面ABC，∴ BB1⊥ AE，…．（2分）又∵ BB1∩BC=B，…．（3分）BB1，BC⊂平面BB1C1C，∴AE⊥平面BB1C1C，…．（4分）（2）由（1）知，即AE为四棱锥A﹣B1C1FE的高，在正三角形ABC中，AE=AB=2，…在正方形BB1C1C，中，CE=BE=2，CF=1，∴=﹣﹣S△CFE=4×=11．…（6分）∴=•AE==…（7分）（3）证明：连结B1F，由（1）得AE⊥平面BB1C1C，∵ B1E⊂平面BB1C1C，∴AE⊥B1E，…．（8分）在正方形BB1C1C，中，B1F==5，B1E==2，EF==，∵ B1F2=B1E2+EF2，∴ B1E⊥EF…．（9分）又∵AE∩EF=E，…．（10分）AE，EF⊂平面AEF，∴ B1E⊥平面AEF，…．（11分）∵ AF⊂平面AEF，∴ B1E⊥AF．…．（12分）【变式5】如图，四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，BC=PD=2，E为PC的中点，G在BC上，且CG=CB（1）求证：PC⊥BC；（2）求三棱锥C﹣DEG的体积；（3）AD边上是否存在一点M，使得PA∥平面MEG？若存在，求AM的长；否则，说明理由．【解答】（1）证明：∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥BC．又∵ABCD是正方形，∴BC⊥CD．又∵PD∩CD=D，∴BC⊥平面PCD．又∵PC⊂平面PCD，∴PC⊥BC．（2）∵BC⊥平面PCD，∴ GC是三棱锥G﹣DEC的高．∵ E是PC的中点，∴ S△EDC=S△PDC==×（×2×2）=1．V C﹣DEG=V G=GC•S△DEC=××1=．﹣DEC（3）连结AC，取AC中点O，连结EO、GO，延长GO交AD于点M，则PA∥平面MEG．证明：∵E为PC的中点，O是AC的中点，∴EO∥PA．又∵EO⊂平面MEG，PA⊄平面MEG，∴PA∥平面MEG．在正方形ABCD中，∵O是AC的中点，BC=PD=2，CG=CB．∴△OCG≌△OAM，∴AM=CG=，∴所求AM的长为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣【变式6】如图所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BB1⊥底面A1B1C1，A1B1⊥B1C1且A1B1=BB1=B1C1，D为AC的中点．（Ⅰ）求证：A1B⊥AC1（Ⅱ）在直线CC1上是否存在一点E，使得A1E⊥平面A1BD，若存在，试确定E 点的位置；若不存在，请说明理由．【解答】（Ⅰ）证明：连接AB1∵ BB1⊥平面A1B1C1∴ B1C1⊥BB1∵ B1C1⊥A1B1且A1B1∩BB1=B1∴ B1C1⊥平面A1B1BA∴ A1B⊥B1C1 . 又∵ A1B⊥AB1且AB1∩B1C1=B1∴A1B⊥平面AB1C1∴A1B⊥AC1（Ⅱ）存在点E在CC1的延长线上且CE=2CC1时，A1E⊥平面A1BD．设AB=a，CE=2a，∴，∴，，DE=，∴，∴A1E⊥A1D…∵BD⊥AC，BD⊥CC1，AC∩CC1=C，∴BD⊥平面ACC1A1，又A1E⊂平面ACC1A1∴ A1E⊥BD. 又BD∩A1D=D ，∴ A1E⊥平面A1BD【变式7】如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，点D是AB的中点．（1）求证：AC⊥ BC1；（2）求证：AC1∥平面CDB1．【解答】证明：（1）因为三棱柱ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，所以C1C⊥平面ABC，所以C1C⊥AC．又因为AC=3，BC=4，AB=5，所以AC2+BC2=AB2，所以AC⊥BC．又C1C∩BC=C，所以AC⊥平面CC1B1B，所以AC⊥ BC1．（2）连结C1B交CB1于E，再连结DE，由已知可得E为C1B的中点，又∵D为AB的中点，∴DE 为△BAC1的中位线．∴AC1∥DE。

空间中的垂直关系练习题


【评析】线线垂直可由线面垂直的性质推得,直线和平 面垂直,这条直线就垂直于平面内所有直线,这是寻找线 线垂直的重要依据.
线面垂直问题
例2、平行四边形ABCD的对角线交点为O， 点P在平行四边形ABCD所在平面外， 且PA＝PC，PD＝PB，判断PO与平面 ABCD的位置关系，并加以证明。
证明：PO⊥平面ABCD. ∵O为平行四边形ABCD对角线的交点， ∴OA＝OC. 又∵PA＝PC,
【典例探讨】
例1、如图所示，在空间四边形 ABCD中，AB＝AD，CB＝CD， 求证BD⊥AC.
【典例探讨】
例1、如图所示，在空间四边形
ABCD中，AB＝AD，CB＝CD， 求证BD⊥AC. 证明：取BD的中点E， 连接AE、CE， ∵AB＝AD，∴AE⊥BD， 又∵CB＝CD∴CE⊥BD， 又∵AE∩CE＝E，AE ⊂平面ACE，CE ⊂平面ACE， ∴BD⊥平面ACE. 又∵AC 平面ACE, ∴BD⊥AC.
判定 性质
平面与平 面垂直
2、要证明想判定，由已知想性质
P
A
C
B
探究：如图，已知PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC， 求证：BC⊥平面PAB
探究：如图，已知PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC，
求证：BC⊥平面PAB 证明：过点A作AE⊥PB于E， P
∵平面PAB⊥平面PBC，
平面PAB∩平面PBC=PB，
面面垂直问题
例3．如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中， AB＝AD＝1，AA1＝2，点P为DD1的中
点．求证：平面PAC⊥平面BDD1.
证明：∵长方体ABCD－A1B1C1D1中， AB＝AD＝1， ∴底面ABCD是正方形， ∴AC⊥BD，
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空间中的垂直关系习题
一、选择题（共14小题；共70分）
1. “直线a经过平面α外一点P”用符号表示为( )
A. P∈a，a∥α
B. a∩α=P
C. P∈a，P∉α
D. P∈a，a⊂α
2. 直线l1，l2平行的一个充分条件是( )
A. l1，l2都平行于同一个平面
B. l1，l2与同一个平面所成的角相等
C. l1平行于l2所在的平面
D. l1，l2都垂直于同一个平面
3. 在正三棱锥P−ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，有下列三个论断：①AC⊥PB；②
AC∥平面PDE；③AB⊥平面PDE，其中正确论断的序号为( )
A. ①②
B. ①③
C. ②③
D. ①②③
4. P是平行四边形ABCD所在平面外的一点，若P到四边的距离都相等，则ABCD( )
A. 是正方形
B. 是长方形
C. 有一个内切圆
D. 有一个外接圆
5. 若平面α与平面β不垂直，那么平面α内能与平面β垂直的直线有( )
A. 0条
B. 1条
C. 2条
D. 无数条
6. 平面α内有无数条直线都与平面β平行，那么平面α与平面β的关系可能为( )
A. α∥β
B. α与β相交
C. α与β重合
D. α∥β或α与β相交
7. 如图，正三棱柱ABC−A1B1C1的各棱长都为2，E，F分别是AB，A1C1的中点，则EF的长是
( )
A. 2
B. √3
C. √5
D. √7
8. 下列命题正确的个数为( )
①经过三点确定一个平面；
②梯形可以确定一个平面；
③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；
④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
9. 若平面α⊥平面β，平面α∩平面β=直线l，则( )
A. 垂直于平面β的平面一定平行于平面α
B. 垂直于直线l的直线一定垂直于平面α
C. 垂直于平面β的平面一定平行于直线l
D. 垂直于直线l的平面一定与平面α，β都垂直
10. 在下列四个正方体图形中，A，B，C，D分别为正方体的顶点，其中不能推出AB⊥CD的图形
是( )
A. B.
C. D.
11. 如图所示，四边形ABCD中，AD∥BC，AD=AB，∠BCD=45∘，∠BAD=90∘．将△ADB沿
BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A−BCD，则在三棱锥A−BCD中，下列结论正确的是( )
A. 平面ABD⊥平面ABC
B. 平面ADC⊥平面BDC
C. 平面ABC⊥平面BDC
D. 平面ADC⊥平面ABC
12. 以下四个命题中，正确命题的个数是( )
①不共面的四点中，其中任意三点不共线；
②若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则A，B，C，D，E共面；
③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；
④依次首尾相接的四条线段必共面．
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
13. 若空间中有n(n≥5)个点，满足任意四点都不共面，且任意两点的连线与其余三点确定的平面
垂直，则这样的n值( )
A. 不存在
B. 有无数个
C. 等于5
D. 最大值为8
14. 在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与三条直线
A1D1，EF，CD都相交的直线( )
A. 不存在
B. 有且只有一条
C. 有且只有两条
D. 有无数条
二、填空题（共4小题；共20分）
15. 在斜三棱柱ABC−A1B1C1中，∠BAC=90∘，BC1⊥AC，则点C1在底面ABC上的射影H必在
直线上．
16. 等角定理：
空间中如果两个角的，那么这两个角相等或互补．
17. 平面与平面的位置关系有、两种情况．
18. 如图，在四面体D−ABC中，若AB=CB，AD=CD，E是AC的中点，则下列结论正确的
是．（填序号）
①平面ABC⊥平面ABD；
②平面ABD⊥平面BDC；
③平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDE；
④平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE．
三、解答题（共2小题；共26分）
19. 如图，平面内有一个△ABC，平面外有一点P．自点P到平面作斜线PA、PB、PC，且
PA=PB=PC．若点O是△ABC的外心，求证：PO⊥平面ABC．
20. 如图，四面体ABCD被一个平面所截，截面EFGH为平行四边形，求证：BC∥平面EFGH，
AD∥平面EFGH．
第一部分
1. C
2. D 【解析】对 A，l1，l2都平行于同一个平面，则l1与l2可能平行、相交或异面；对 B，l1，l2与同一个平面所成角相等，则l1与l2可能平行、相交或异面；对C，l1与l2可能平行，也可能异面，只有D满足要求．
3. A
4. C
5. A
【解析】若存在1条，则α⊥β，与已知矛盾．
6. D
7. C 【解析】取AC得中点G，连接EG，FG，
则FG∥C1C，C1C⊥底面ABC，
所以C1C⊥EG，
所以FG⊥EG .
则易得FG=2，EG=1，故EF=√5 .
8. C 【解析】①④错误，②③正确．
9. D 【解析】对于 A，垂直于平面β的平面与平面α平行或相交，故A错；
对于 B，垂直于直线l的直线与平面α垂直、斜交、平行或在平面α内，故B错误；
对于 C，垂直于平面β的平面与直线l平行或相交，故C错；
10. D
11. D 【解析】易证BD⊥CD．
因为平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD=BD，CD⊂平面BCD，故CD⊥平面ABD，则CD⊥AB．
又AD⊥AB，AD∩CD=D，AD⊂平面ADC，CD⊂平面ADC，故AB⊥平面ADC．
又AB⊂平面ABC，
所以平面ADC⊥平面ABC．
12. B 【解析】①显然是正确的，可用反证法证明；
②中若A，B，C三点共线，则A，B，C，D，E五点不一定共面；
③构造长方体或正方体，如图，
显然b，c异面，故不正确；
④中空间四边形中四条线段不共面．
故只有①正确．
13. C 【解析】当5个点为正四面体的四个顶点和中心时，符合任意四点都不共面，且任意两点的连线与其余三点所确定的平面垂直．.假设当n≥6时也满足题意，，不妨设其中的6个点为A，B，C，D，E，F，则AB⊥平面CDE，AB⊥平面CDF，又因为平面CDF∩平面CDE=CD，所以平面CDF与平面CDE重合，则C，D，E，F四点共面，与题意相矛盾，所以n=5．
14. D 【解析】如图，在A1D1上任取一点P，连接PC，PD，得到平面PCD，设EF与平面PCD交于点M，连接PM并延长，交CD于点N．
显然直线PN与三条直线A1D1，EF，CD都相交，由点P的任意性知，这样的直线有无数条．
第二部分
15. AB
【解析】根据题意可证AC⊥平面ABC1，从而可证平面ABC⊥平面ABC1，所以点C1在底面ABC上的射影H必在直线AB上．
16. 两边分别对应平行
17. 平行，相交
18. ③
【解析】因为AB=CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC，于是AC⊥
平面BDE．因为AC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面BDE．又由于AC⊂平面ACD，所以
平面ACD⊥平面BDE，所以③正确．
第三部分
19. 如图，取AB、BC的中点D、E，连接PD、PE、OD、OE．
因为PA=PB=PC，所以PD⊥AB，PE⊥BC . 又因为O为△ABC外心，
所以OD⊥AB，OE⊥BC．
又PD∩OD=D，PE∩OE=E，
所以AB⊥平面PDO，BC⊥平面PEO .
所以AB⊥PO，BC⊥PO．
又AB∩BC=B，
所以PO⊥平面ABC．
20. 因为截面EFGH为平行四边形，
所以EF∥GH．
又因为GH在平面DCB内，EF不在平面DCB内，所以EF∥平面DCB．
又因为平面ABC与平面DCB交于直线BC，
所以EF∥BC，
又EF在平面EFGH内，BC不在平面EFGH内，所以BC∥平面EFGH．
同理可证AD∥平面EFGH．。

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