立体几何空间中的垂直关系及答案

空间中的垂直关系

1．线线垂直

如果两条直线所成的角是______(无论它们是相交还是异面)，那么这两条直线互相垂直．

2．直线与平面垂直

(1)定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说______________________，记作______．直线l叫做______________，平面α叫做______________．直线与平面垂直时，它们惟一的公共点P叫做______．垂线上任意一点到垂足间的线段，叫做这个点到这个平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到平面的________．

(2)判定定理：一条直线与一个平面内的______________都垂直，则该直线与此平面垂直．

推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．用符号表示：a∥b，a⊥α⇒b⊥α．

(3)性质定理：垂直于同一个平面的两条直线__________．

3．直线和平面所成的角

平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的________，叫做这条直线和这个平面所成的角．

一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是0°的角．任一直线与平面所成角θ的范围是____________．

4．二面角的有关概念

(1)二面角：从一条直线出发的______________________叫做二面角．

(2)二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作______________的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．二面角的范围是__________．

5．平面与平面垂直

(1)定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是____________，就说这两个平面互相垂直．

(2)判定定理：一个平面过另一个平面的________，则这两个平面垂直．

(3)性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于______的直线与另一个平面垂直．

自查自纠：

1．直角

2．(1)直线l与平面α互相垂直l⊥α平面α的垂线

直线l的垂面垂足距离(2)两条相交直线(3)平行

3．锐角[0°，90°]

4．(1)两个半平面所组成的图形(2)垂直于棱[0°，180°]

5．(1)直二面角(2)垂线(3)交线

(2018·广东清远一中月考)已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，给出下列命题：①α⊥β⇒l

∥m；②α∥β⇒l⊥m；③l⊥m⇒α∥β；④l∥m⇒α⊥β，其中正确命题的序号是() A．①②③B．②③④C．①③D．②④

．

(2017·全国卷Ⅲ)在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则() A．A1E⊥DC1B．A1E⊥BD

C．A1E⊥BC1D．A1E⊥AC

．

(2017·湖北武汉模拟)如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，连接AC，交EF

于点G，沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，那么在这个空间图形中必有()

A．AG⊥平面EFH B．AH⊥平面EFH

C．HF⊥平面AEF D．HG⊥平面AEF

(2018·临沂检测)设α，β是空间两个不同的平面，m，n是平面α及β外的两条不同直线．从

“①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α”中选取三个作为条件，余下一个作为结论，写出你认为正确的一个命题：____________．(用序号表示)

(2017重庆八中适应性考试)在正四面体P­ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中正确的是________．

(2017重庆八中适应性考试)在正四面体P­ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面

四个结论中正确的是________．

①BC∥平面PDF；

②DF⊥平面P AE；

③平面PDF⊥平面ABC；

④平面P AE⊥平面AB C．

类型一线线垂直问题

(2018·湖州模拟改编)如图所示，在四棱锥A­BCDE中，底面BCDE为菱形，

侧面ABE为等边三角形，且侧面ABE⊥底面BCDE，O，F分别为BE，DE的中点．求证：

(1)AO⊥CD；

(2)CE⊥AF．

点拨：

本题主要考查线线、线面位置关系．证明线线垂直，其实质是通过证明线面垂直，再化归为线线垂直．

(2017武汉市武钢第三子弟中学月考)如图，三棱柱ABC­A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°．

(1)证明：AB⊥A1C；

(2)若AB＝CB＝2，A1C＝6，求三棱柱ABC­A1B1C1的体积．

类型二线面垂直问题

如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，点E，F分别是边CD，CB的中点，AC交EF于点O，沿EF将△CEF翻折到△PEF，连接P A，PB，PD，得到五棱锥P­ABFED，且PB＝10．

(1)求证：BD⊥平面POA；

(2)求四棱锥P­BDEF的体积．

点拨：

证明线面垂直的基本思路是证明该直线和平面内的两条相交直线垂直，亦可利用面面垂直的性质定理来证明；题(2)的难点在于证明PO即是所求四棱锥的高．

(2017锦州市第二高级中学月考)如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F，P，Q，M，N

分别是棱AB，AD，DD1，BB1，A1B1，A1D1的中点．求证：

(1)直线BC1∥平面EFPQ；

(2)直线AC1⊥平面PQMN．

类型三面面垂直问题

如图所示，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M是棱CC1的中点．

(1)求异面直线A1M和C1D1所成的角的正切值；

(2)证明：平面ABM⊥平面A1B1M．