空间中的垂直关系(带答案)教学提纲
空间中的垂直关系(带答案)空间中的垂直关系专题训练知识梳理一、线线垂直：如果两条直线于一点或经过后相交于一点，并且交角为，则称这两条直线互相垂直.二、线面垂直：1.定义：如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的_________________，则称这条直线和这个平面垂直. 也就是说，如果一条直线垂直于一个平面，那么他就和平面内任意一条直线都 .直线l和平面α互相垂直，记作l⊥α.2.判定定理：如果一条直线与平面内的直线垂直，则这条直线与这个平面垂直.推论①：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也于这个平面.推论②：如果两条直线同一个平面，那么这两条直线平行.3.点到平面的距离：长度叫做点到平面的距离.三、面面垂直：1.定义：如果两个相交平面的交线与第三个平面，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线，就称这两个平面互相垂直.平面α，β互相垂直，记作α⊥β.2.判定定理：如果一个平面经过另一个平面的___________，则这两个平面互相垂直.3.性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于直线垂直于另一个平面.四、求点面距离的常用方法：1.直接过点作面的垂线，求垂线段的长，通常要借助于某个三角形.2.转移法：借助线面平行将点转移到直线上某一特殊点到平面的距离来求解.3.体积法：利用三棱锥的特征转换位置来求解.题型一线线垂直、线面垂直的判定及性质例1.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，A C⊥CD，∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中点.求证：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.【变式1】已知：正方体ABCD﹣A1B1C1D1 ，AA1=2，E为棱CC1的中点．（Ⅰ）求证：B1D1⊥AE；（Ⅱ）求证：AC∥平面B1DE．【解答】（Ⅰ）连接BD，则BD∥B1D1，∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD．∵CE⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴CE⊥BD．又∵AC∩CE=C，∴BD⊥面ACE．∵AE⊂面ACE，∴BD⊥AE，∴B1D1⊥AE．﹣﹣﹣（5分）（Ⅱ）证明：取BB1的中点F，连接AF、CF、EF．∵ E、F是C1C、B1B的中点，∴ CE∥B1F且CE=B1F，∴ 四边形B1FCE是平行四边形，∴ CF∥ B1E．∵ 正方形BB1C1C中，E、F是CC、BB的中点，∴ EF∥BC且EF=BC又∵ BC∥AD且BC=AD，∴ E F∥AD且EF=AD．∴ 四边形ADEF是平行四边形，可得AF∥ED，∵ AF∩CF=C，BE∩ED=E，∴ 平面ACF∥平面B1DE．又∵ AC⊂平面ACF，∴AC∥面B1DE．【变式2】如图，已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，点E、G分别是CD、PC的中点，点F在PD上，且PF：FD=2：1．（Ⅰ）证明：EA⊥ PB；（Ⅱ）证明：BG∥面AFC．【解答】（Ⅰ）证明：因为面ABCD为菱形，且∠ABC=60°，所以△ ACD为等边三角形，又因为E是CD的中点，所以EA⊥AB．又PA⊥平面ABCD，所以EA⊥PA．而AB∩PA=A所以EA⊥面PAB，所以EA⊥PB．（Ⅱ）取PF中点M，所以PM=MF=FD．连接MG，MG∥CF，所以MG∥面AFC．连接BM，BD，设AC∩BD=O，连接OF，所以BM∥OF，所以BM∥面AFC．而BM∩MG=M所以面BGM∥面AFC，所以BG∥面AFC．【变式3】如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB=，AA1=2．（1）证明：AA1⊥ BD（2）证明：平面A1BD∥平面CD1B1；（3）求三棱柱ABD﹣A1B1D1的体积．【解答】（1）证明：∵底面ABCD是正方形，∴BD⊥AC，又∵ A1O⊥平面ABCD且BD⊂面ABCD，∴A1O⊥BD，又∵ A1O∩AC=O，A1O⊂面A1AC，AC⊂面A1AC，∴BD⊥面A1AC，AA1⊂面A1AC，∴ AA1⊥BD．（2）∵ A1B1∥AB，AB∥CD，∴ A1B1∥CD，又A1B1=CD，∴四边形A1B1CD是平行四边形，∴ A1D∥B1C，同理A1B∥CD1，∵ A1B⊂平面A1BD，A1D⊂平面A1BD，CD1⊂平面CD1B1，B1C⊂平面CD1B，且A1B∩A1D=A1，CD1∩B1C=C，∴平面A1BD∥平面CD1B1．（3）∵ A1O⊥面ABCD，∴ A1O是三棱柱A1B1D1﹣ABD的高，在正方形ABCD中，AO=1．在Rt△A1OA中，AA1=2，AO=1，∴ A1O=，∴ V三棱柱ABD﹣A1B1D1=S△ABD•A1O=•（）2•=∴三棱柱ABD﹣A1B1D1的体积为．【变式4】如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB=BC=AC=AA1=4，点F在CC1上，且C1F=3FC，E是BC的中点．（1）求证：AE⊥平面BCC1B1（2）求四棱锥A﹣B1C1FE的体积；（3）证明：B1E⊥AF．【解答】（1）∵ AB=AC，E是BC的中点，∴AE⊥ BC．在三棱柱ABC﹣A1B1C1，中，BB1∥ AA1，∴ BB1⊥平面ABC，∵ AE⊂平面ABC，∴ BB1⊥ AE，…．（2分）又∵ BB1∩BC=B，…．（3分）BB1，BC⊂平面BB1C1C，∴AE⊥平面BB1C1C，…．（4分）（2）由（1）知，即AE为四棱锥A﹣B1C1FE的高，在正三角形ABC中，AE=AB=2，…在正方形BB1C1C，中，CE=BE=2，CF=1，∴=﹣﹣S△CFE=4×=11．…（6分）∴=•AE==…（7分）（3）证明：连结B1F，由（1）得AE⊥平面BB1C1C，∵ B1E⊂平面BB1C1C，∴AE⊥B1E，…．（8分）在正方形BB1C1C，中，B1F==5，B1E==2，EF==，∵ B1F2=B1E2+EF2，∴ B1E⊥EF…．（9分）又∵AE∩EF=E，…．（10分）AE，EF⊂平面AEF，∴ B1E⊥平面AEF，…．（11分）∵ AF⊂平面AEF，∴ B1E⊥AF．…．（12分）【变式5】如图，四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，BC=PD=2，E为PC的中点，G在BC上，且CG=CB（1）求证：PC⊥ BC；（2）求三棱锥C﹣DEG的体积；（3）AD边上是否存在一点M，使得PA∥平面MEG？若存在，求AM的长；否则，说明理由．【解答】（1）证明：∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥BC．又∵ABCD是正方形，∴BC⊥CD．又∵PD∩CD=D，∴BC⊥平面PCD．又∵PC⊂平面PCD，∴PC⊥BC．（2）∵BC⊥平面PCD，∴ GC是三棱锥G﹣DEC的高．∵ E是PC的中点，∴ S△EDC=S△PDC==×（×2×2）=1．V C﹣=V G﹣DEC=GC•S△DEC=××1=．DEG（3）连结AC，取AC中点O，连结EO、GO，延长GO交AD于点M，则PA∥平面MEG．证明：∵E为PC的中点，O是AC的中点，∴EO∥PA．又∵EO⊂平面MEG，PA⊄平面MEG，∴PA∥平面MEG．在正方形ABCD中，∵O是AC的中点，BC=PD=2，CG=CB．∴△OCG≌△OAM，∴AM=CG=，∴所求AM的长为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣【变式6】如图所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BB1⊥底面A1B1C1，A1B1⊥B1C1且A1B1=BB1=B1C1，D为AC的中点．（Ⅰ）求证：A1B⊥AC1（Ⅱ）在直线CC1上是否存在一点E，使得A1E⊥平面A1BD，若存在，试确定E点的位置；若不存在，请说明理由．【解答】（Ⅰ）证明：连接AB1∵ BB1⊥平面A1B1C1∴ B1C1⊥BB1∵ B1C1⊥A1B1且A1B1∩BB1=B1∴ B1C1⊥平面A1B1BA∴ A1B⊥B1C1 . 又∵ A1B⊥AB1且AB1∩B1C1=B1∴A1B⊥平面AB1C1∴A1B⊥AC1（Ⅱ）存在点E在CC1的延长线上且CE=2CC1时，A1E⊥平面A 1BD．设AB=a，CE=2a，∴，∴，，DE=，∴，∴A1E⊥A1D…∵BD⊥AC，BD⊥CC1，AC∩CC1=C，∴BD⊥平面ACC1A1，又A1E⊂平面ACC1A1∴ A1E⊥ BD. 又BD∩A1D=D ，∴ A1E⊥平面A1BD【变式7】如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，点D是AB的中点．（1）求证：AC⊥ BC1；（2）求证：AC1∥平面CDB1．【解答】证明：（1）因为三棱柱ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，所以C1C⊥平面ABC，所以C1C⊥AC．又因为AC=3，BC=4，AB=5，所以AC2+BC2=AB2，所以AC⊥BC．又C1C∩BC=C，所以AC⊥平面CC1B1B，所以AC⊥ BC1．（2）连结C1B交CB1于E，再连结DE，由已知可得E为C1B的中点，又∵D为AB的中点，∴DE为△BAC1的中位线．∴AC1∥DE。
又∵DE⊂平面CDB1，AC1⊄平面CDB1∴AC1∥平面CDB1．【变式8】如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=2AC=2BC，D是AA1的中点，CD⊥B1D．（1）证明：CD⊥ B1C1；（2）平面CDB1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比．【解答】（1）证明：由题设知，直三棱柱的侧面为矩形，由D为AA1的中点，则DC=DC1，又AA1=2AC，可得DC12+DC2=CC12，则CD⊥ DC1，而CD⊥ B1D，B1D∩DC1=D，则CD⊥平面B1C1D，由于B1C1⊂平面B1C1D，故CD⊥ B1C1；（2）解：由（1）知，CD⊥B1C1，且B1C1⊥C1C，则B1C1⊥平面ACC1A1，设V1是平面CDB1上方部分的体积，V2是平面CDB1下方部分的体积，则V1=V B1﹣CDA1C1=S CDA1C1•B1C1=וB1C13=B1C13，V=V ABC﹣A1B1C1=AC•BC•CC1=B1C13，则V2=V﹣V1=B1C13=V1，故这两部分体积的比为1：1．【变式9】如图所示，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知底面是边长为2的正方形，高为1，点E在B1B上，且满足B1E=2EB．（1）求证：D1E⊥A1C1；（2）在棱B1C1上确定一点F，使A、E、F、D1四点共面，并求此时B1F的长；（3）求几何体ABED1D的体积．【解答】（Ⅰ）证明：连结B1D1．因为四边形A1B1C1D1为正方形，所以A1C1⊥B1D1．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，DD1⊥平面A1B1C1D1，又A1C1⊂平面A1B1C1D1，所以DD1⊥A1C1．因为DD1∩B1D1=D1，DD1⊂平面BB1D1D，B1D1⊂平面BB1D1D，所以A1C1⊥平面BB1D1D．又D1E⊂平面BB1D1D，所以D1E⊥A1C1．…（4分）（Ⅱ）解：连结BC1，过E作EF∥BC1交B1C1于点F．因为AD1∥BC1，所以AD1∥EF．所以A、E、F、D1四点共面．即点F为满足条件的点．又因为B1E=2EB，所以B1F=2FC1，所以．…（8分）（Ⅲ）解：四边形BED1D为直角梯形，几何体ABED1D为四棱锥A﹣BED1D．因为==，点A到平面BED 1D的距离h=，所以几何体ABED 1D的体积为：=．…（13分）题型二面面垂直的判定例2.如图，在三棱锥P—ABC中，PA⊥底面ABC，△ABC为正三角形，D、E分别是BC、CA的中点.（1）求证：平面PBE⊥平面PAC；（2）如何在BC上找一点F，使AD∥平面PEF？并说明理由.【变式1】如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE⊥平面ABCD．证明：平面AEC⊥平面BED.【解答】证明：（Ⅰ）∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，∵BE⊥平面ABCD，∴AC⊥BE，则AC⊥平面BED，∵AC⊂平面AEC，∴平面AEC⊥平面BED；【变式2】如图，三棱台DEF﹣ABC中，AB=2DE，G，H分别为AC，BC的中点．（1）求证：BD∥平面FGH；（2）若CF⊥BC，AB⊥BC，求证：平面BCD⊥平面EGH．【解答】在三棱台DEF﹣ABC中，AB=2DE，G为AC的中点．∴，∴四边形CFDG是平行四边形，∴DM=MC．又BH=HC，∴MH∥BD，又BD⊄平面FGH，MH⊂平面FGH，∴BD∥平面FGH；证法二：在三棱台DEF﹣ABC中，AB=2DE，H为BC的中点．∴，∴四边形BHFE为平行四边形．∴BE∥HF．在△ABC中，G为AC的中点，H为BC的中点，∴GH∥AB，又GH∩HF=H，∴平面FGH∥平面ABED，∵BD⊂平面ABED，∴BD∥平面FGH．（II）证明：连接HE，∵G，H分别为AC，BC的中点，∴GH∥AB，∵AB⊥BC，∴GH⊥BC，又H为BC的中点，∴EF∥HC，EF=HC．∴EFCH是平行四边形，∴CF∥HE．∵CF⊥BC，∴HE⊥BC．又HE，GH⊂平面EGH，HE∩GH=H，∴BC⊥平面EGH，又BC⊂平面BCD，∴平面BCD⊥平面EGH．【变式3】如图所示，已知AB⊥平面BCD，M、N分别是AC、AD的中点，BC⊥CD．求证：平面BCD⊥平面ABC．【解答】因为AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，所以AB⊥CD．又CD⊥BC，AB∩BC=B，所以CD⊥平面ABC．又CD⊂平面BCD，所以平面BCD⊥平面ABC．【变式4】如图，已知在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，△PAD是正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E，F，G分别是PD，PC，BC的中点．（1）求证：平面EFG⊥平面PAD；（2）若M是线段CD上一点，求三棱锥M﹣EFG的体积．【解答】（1）∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，CD⊂平面ABCD，CD⊥AD∴CD⊥平面PAD…（3分）又∵△PCD中，E、F分别是PD、PC的中点，∴EF∥CD，可得EF⊥平面PAD∵EF⊂平面EFG，∴平面EFG⊥平面PAD；…（6分）（2）∵EF∥CD，EF⊂平面EFG，CD⊄平面EFG，∴CD∥平面EFG，因此CD上的点M到平面EFG的距离等于点D到平面EFG的距离，∴VM﹣EFG =VD﹣EFG，取AD的中点H连接GH、EH，则EF∥GH，∵EF⊥平面PAD，EH⊂平面PAD，∴EF⊥EH于是S△EFH =EF×EH=2=S△EFG，∵平面EFG⊥平面PAD，平面EFG∩平面PAD=EH，△EHD是正三角形∴点D到平面EFG的距离等于正△EHD的高，即为，…（10分）因此，三棱锥M﹣EFG的体积VM﹣EFG =VD﹣EFG=×S△EFG×=．…（12分）【变式5】如图，已知AB⊥平面ACD，DE∥AB，AD=AC=DE=2AB=2，且F是CD的中点，AF=．（1）求证：AF∥平面BCE；（2）求证：平面BCE⊥平面CDE；（3）求此多面体的体积．【解答】证明：（1）取CE中点P，连接FP、BP，∵PF∥DE，且FP=1又AB∥DE，且AB=1，∴AB∥FP，且AB=FP，∴ABPF为平行四边形，∴AF∥BP．（2分）又∵AF⊄平面BCE，BP⊂平面BCE，∴AF∥平面BCE（4分）（2）证明：∵AD=AC，F是CD的中点，．所以△ACD为正三角形，∴AF ⊥CD∵AB⊥平面ACD，DE∥AB，∴DE⊥平面ACD，又AF⊂平面ACD，∴DE⊥AF.又AF⊥CD，CD∩DE=D，∴AF⊥平面CDE.又BP∥AF，∴BP⊥平面CDE又∵BP平面BCE, ∴平面BCE⊥平面CDE.（3）此多面体是以C为顶点，以四边形ABED为底边的四棱锥，等边三角形AD边上的高就是四棱锥的高（12分）【变式6】如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面AA1B1B为正方形，侧面BB1C1C为菱形，∠CBB1=60°，AB⊥B1C．（I）求证：平面AA1B1B⊥平面BB1C1C；（II）若AB=2，求三棱柱ABC﹣A1B1C1体积．【解答】（Ⅰ）证明：由侧面AA1B1B为正方形，知AB⊥BB1．又∵AB⊥B1C，BB1∩B1C=B1，∴AB⊥平面BB1C1C，又∵AB⊂平面AA1B1B，∴平面AA1B1B⊥BB1C1C．（Ⅱ）由题意，CB=CB1，设O是BB1的中点，连接CO，则CO⊥BB1．由（Ⅰ）知，CO⊥平面AB1B1A，且CO=BC=AB=．连接AB1，则=•CO=×AB2•CO=．∵====，∴V三棱柱=2．【变式7】如图，四边形ABCD为梯形，AB∥CD，PD⊥平面ABCD，∠BAD=∠ADC=90°，DC=2AB=2a，DA=，E为BC中点．（1）求证：平面PBC⊥平面PDE；（2）线段PC上是否存在一点F，使PA∥平面BDF？若有，请找出具体位置，并进行证明；若无，请分析说明理由．【解答】（1）证明：连结BD，∠BAD=90°，；∴BD=DC=2a，E为BC中点，∴BC⊥DE；又PD⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD；∴BC⊥PD，DE∩PD=D；∴BC⊥平面PDE；∵BC⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PDE；（2）如上图，连结AC，交BD于O点，则：△AOB∽△COD；∵DC=2AB；∴；∴；∴在PC上取F，使；连接OF，则OF∥PA，而OF⊂平面BDF，PA⊄平面BDF；∴PA∥平面BDF．题型三：面面垂直性质应用例3.如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是∠DAB=60°且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，若G为AD边的中点.（1）求证：BG⊥平面PAD；（2）求证：AD⊥PB.【变式1】如图，已知在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，△PAD是正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E，F，G分别是PD，PC，BC的中点．（1）求证：平面EFG⊥平面PAD；（2）若M是线段CD上一点，求三棱锥M﹣EFG的体积．【解答】（1）∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，CD⊂平面ABCD，CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD。
高中三年级下学期数学《空间中的垂直关系》教学设计
《空间中的垂直关系》教学设计
一、教学目标
1、掌握直线与平面垂直的定义、断定定理和性质定理，并能运用它们进展论证和解决有关的问题；
2、掌握平面与平面垂直的概念和断定定理、性质定理，并能运用它们进展推理论证和解决有关问题；
二、教学重点、难点
在研究垂直问题时，要擅长应用“转化〞和“降维〞的思想，通过线线、线面、面面平行与垂直关系的转化，从而使问题获得解决。
三、教学过程
环节一：思维构建
环节二：线线垂直
【21年全国甲卷第19题】如图，直三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA BB 为正方形，2AB BC ==,,E F 分别是1,AC CC 的中点，D 为棱11A B 上的点
11BF A B ⊥.
证明：BF DE ⊥
环节三：线面垂直
【20年山东卷第20题】如图，四棱锥P ABCD -的底面为正方形，PD ⊥底面ABCD .设平面PAD 与平面PBC 的交线为l . 证明：l ⊥平面PDC
环节四：面面垂直
【17年全国Ⅲ卷第19题】如图，四面体ABCD 中，ABC ∆是正三角形，ACD ∆是直角三角形，AB BD =. 证明：平面ACD ⊥平面ABC。
第34讲 空间中的垂直关系(解析版)
第34讲 空间中的垂直关系一、 考情分析1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理；2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题.二、 知识梳理1.直线与平面垂直 (1)直线与平面垂直的定义如果一条直线和一个平面相交于点O ，并且和这个平面内过交点(O )的任何直线都垂直，就说这条直线和这个平面互相垂直.(2)直线与平面垂直的判定定理及其推论文字语言图形语言符号语言判定定理如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直⎭⎪⎬⎪⎫a ⊂αb ⊂αa ∩b ＝O l ⊥al ⊥b⇒l ⊥α推论1如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面⎭⎬⎫a ∥b a ⊥α⇒b ⊥α 推论2如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行⎭⎬⎫a ⊥αb ⊥α⇒a ∥b 2.(1)定义：一条斜线和它在平面内的射影所成的角叫做斜线和平面所成的角，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是0°的角. (2)范围：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.3.二面角(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；(2)二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角.(3)二面角的范围：[0，π].4.平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的定义如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得两条交线互相垂直，就称这两个平面互相垂直.(2)平面与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直⎭⎬⎫l⊥αl⊂β⇒α⊥β性质定理如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面⎭⎬⎫α⊥βl⊂βα∩β＝al⊥a⇒l⊥α[微点提醒]1.两个重要结论(1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.(2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法).2.使用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理，不要误解为“如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，就垂直于这个平面”.三、经典例题考点一线面垂直的判定与性质【例1】如图，在三棱锥P－ABC中，AB＝BC＝22，P A＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的中点.(1)证明：PO⊥平面ABC；(2)若点M在棱BC上，且MC＝2MB，求点C到平面POM的距离.(1)证明因为AP＝CP＝AC＝4，O为AC的中点，所以OP⊥AC，且OP＝2 3.连接OB.因为AB＝BC＝22AC，所以△ABC为等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB＝12AC＝2.由OP2＋OB2＝PB2知，OP⊥OB.由OP⊥OB，OP⊥AC且OB∩AC＝O，知PO⊥平面ABC.(2)解作CH⊥OM，垂足为H.又由(1)可得OP⊥CH，所以CH⊥平面POM.故CH的长为点C到平面POM的距离.由题设可知OC＝12AC＝2，CM＝23BC＝423，∠ACB＝45°.所以OM＝25 3，CH＝OC·MC·sin∠ACBOM＝455.所以点C到平面POM的距离为45 5.规律方法 1.证明直线和平面垂直的常用方法有：(1)判定定理；(2)垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)；(3)面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a ⊥β)；(4)面面垂直的性质(α⊥β，α∩β＝a，l⊥a，l⊂β⇒l⊥α).2.证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想.考点二面面垂直的判定与性质【例2】如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面P AD⊥底面ABCD，P A⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点，求证：(1)P A⊥底面ABCD；(2)BE∥平面P AD；(3)平面BEF⊥平面PCD.证明(1)∵平面P AD⊥底面ABCD，且P A垂直于这两个平面的交线AD，P A⊂平面P AD，∴P A⊥底面ABCD.(2)∵AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，∴AB∥DE，且AB＝DE.∴四边形ABED为平行四边形.∴BE∥AD.又∵BE⊄平面P AD，AD⊂平面P AD，∴BE∥平面P AD.(3)∵AB⊥AD，而且ABED为平行四边形.∴BE⊥CD，AD⊥CD，由(1)知P A⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴P A⊥CD，且P A∩AD＝A，P A，AD⊂平面P AD，∴CD⊥平面P AD，又PD⊂平面P AD，∴CD⊥PD.∵E和F分别是CD和PC的中点，∴PD∥EF.∴CD⊥EF，又BE⊥CD且EF∩BE＝E，∴CD⊥平面BEF，又CD⊂平面PCD，∴平面BEF⊥平面PCD.规律方法 1.证明平面和平面垂直的方法：(1)面面垂直的定义；(2)面面垂直的判定定理.2.已知两平面垂直时，一般要用性质定理进行转化，在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.考点三平行与垂直的综合问题角度1多面体中平行与垂直关系的证明【例3－1】如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，平面P AD⊥平面ABCD，P A⊥PD，P A＝PD，E，F分别为AD，PB的中点.(1)求证：PE⊥BC；(2)求证：平面P AB⊥平面PCD；(3)求证：EF∥平面PCD.证明(1)因为P A＝PD，E为AD的中点，所以PE⊥AD.因为底面ABCD为矩形，所以BC∥AD.所以PE⊥BC.(2)因为底面ABCD为矩形，所以AB⊥AD.又因为平面P AD⊥平面ABCD，平面P AD∩平面ABCD＝AD，所以AB⊥平面P AD.所以AB⊥PD.又因为P A⊥PD，且P A∩AB＝A，所以PD⊥平面P AB.又PD⊂平面PCD，所以平面P AB⊥平面PCD.(3)如图，取PC中点G，连接FG，DG.因为F，G分别为PB，PC的中点，所以FG∥BC，FG＝12BC.因为ABCD为矩形，且E为AD的中点，所以DE∥BC，DE＝12BC.所以DE∥FG，DE＝FG.所以四边形DEFG为平行四边形.所以EF∥DG.又因为EF⊄平面PCD，DG⊂平面PCD，所以EF∥平面PCD.规律方法 1.三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化. 2.垂直与平行的结合问题，求解时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用.角度2平行与垂直关系中的探索性问题【例3－2】如图，三棱锥P－ABC中，P A⊥平面ABC，P A＝1，AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60°.(1)求三棱锥P－ABC的体积；(2)在线段PC上是否存在点M，使得AC⊥BM，若存在点M，求出PMMC的值；若不存在，请说明理由.解(1)由题知AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60°，可得S△ABC ＝12·AB·AC·sin 60°＝32，由P A⊥平面ABC，可知P A是三棱锥P－ABC的高.又P A＝1，所以三棱锥P－ABC的体积V＝13·S△ABC·P A＝36.(2)在平面ABC 内，过点B 作BN ⊥AC ，垂足为N .在平面P AC 内，过点N 作MN ∥P A 交PC 于点M ，连接BM .由P A ⊥平面ABC 知P A ⊥AC ，所以MN ⊥AC . 由于BN ∩MN ＝N ，故AC ⊥平面MBN . 又BM ⊂平面MBN ，所以AC ⊥BM . 在Rt △BAN 中，AN ＝AB ·cos ∠BAC ＝12， 从而NC ＝AC －AN ＝32. 由MN ∥P A ，得PM MC ＝AN NC ＝13. 故存在满足条件的点M ，且PM MC ＝13.规律方法 1.求条件探索性问题的主要途径：(1)先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明；(2)先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性.2.涉及点的位置探索性问题一般是先根据条件猜测点的位置再给出证明，探索点存在问题，点多为中点或三等分点中某一个，也可以根据相似知识建点. 角度3 空间位置关系与几何体的度量计算【例3－3】 如图，在四棱锥P －ABCD 中，AD ⊥平面PDC ，AD ∥BC ，PD ⊥PB ，AD ＝1，BC ＝3，CD ＝4，PD ＝2.(1)求异面直线AP 与BC 所成角的余弦值； (2)求证：PD ⊥平面PBC ；(3)求直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值.(1)解 如图，由已知AD ∥BC ，故∠DAP 或其补角即为异面直线AP 与BC 所成的角.因为AD⊥平面PDC，PD⊂平面PDC，所以AD⊥PD.在Rt△PDA中，由已知，得AP＝AD2＋PD2＝5，故cos∠DAP＝ADAP＝55.所以，异面直线AP与BC所成角的余弦值为5 5.(2)证明由(1)知AD⊥PD，又因为BC∥AD，所以PD⊥BC.又PD⊥PB，BC∩PB＝B，所以PD⊥平面PBC.(3)解过点D作DF∥AB，交BC于点F，连接PF，则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角.因PD⊥平面PBC，故PF为DF在平面PBC上的射影，所以∠DFP为直线DF和平面PBC所成的角.由于AD∥BC，DF∥AB，故BF＝AD＝1.由已知，得CF＝BC－BF＝2.又AD⊥DC，故BC⊥DC.在Rt△DCF中，可得DF＝CD2＋CF2＝2 5.在Rt△DPF中，可得sin∠DFP＝PDDF＝55.所以直线AB与平面PBC所成角的正弦值为5 5.规律方法 1.本题证明的关键是垂直与平行的转化，如由AD∥BC，AD⊥PD，得PD⊥BC，进而利用线面垂直的判定定理证明PD⊥平面PBC.2.利用综合法求空间线线角、线面角、二面角一定注意“作角、证明、计算”是完整统一过程，缺一不可.(1)线面角的求法：找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线，找垂足，要把线面角转化到一个三角形中求解.(2)二面角的大小用它的平面角来度量.平面角的作法常见的有：①定义法；②垂面法.注意利用等腰、等边三角形的性质.[方法技巧]1.证明线面垂直的方法：(1)线面垂直的定义：a 与α内任何直线都垂直⇒a ⊥α； (2)判定定理1：⎭⎬⎫m ，n ⊂α，m ∩n ＝A l ⊥m ，l ⊥n ⇒l ⊥α； (3)判定定理2：a ∥b ，a ⊥α⇒b ⊥α；(4)面面垂直的性质：α⊥β，α∩β＝l ，a ⊂α，a ⊥l ⇒a ⊥β； 2.证明面面垂直的方法(1)利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角； (2)判定定理：a ⊂α，a ⊥β⇒α⊥β. 3.转化思想：三种垂直关系之间的转化4.证明线面垂直时，易忽视面内两条线为相交线这一条件.5.面面垂直的判定定理中，直线在面内且垂直于另一平面易忽视.6.面面垂直的性质定理在使用时易忘面内一线垂直于交线而盲目套用造成失误.7.在解决直线与平面垂直的问题过程中，要注意直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理的联合交替使用，即注意线线垂直和线面垂直的相互转化.四、 课时作业1．（2020·陕西高三其他（文））已知m ，n 表示两条不同的直线，α表示平面．下列说法正确的是（ ） A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥n B ．若m ⊥α，n ⊥α，则m ∥n C ．若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α D ．若m ∥α，m ⊥n ，则n ⊥α【答案】B【解析】对于A ，若m ∥α，n ∥α，则m ∥n 或m 与n 相交或m 与n 异面，故A 不正确； 对于B ，根据垂直于同一个平面的两条直线平行可知，B 正确； 对于C ，若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α或n ⊂α，故C 不正确；对于D ，若m ∥α，m ⊥n ，则n ⊥α或//n α或n ⊂α或n 与α相交但不垂直，故D 不正确.2．（2020·甘肃城关�兰州一中高三一模（理））如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M ､N 分别为AC ，A 1B 的中点，则下列说法错误的是（ ）A ．MN ∥平面ADD 1A 1B ．MN ⊥ABC ．直线MN 与平面ABCD 所成角为45° D ．异面直线MN 与DD 1所成角为60° 【答案】D【解析】如图，连结BD ，1A D ，由M ，N 分别为AC ，1A B 的中点知 1//MN A D ， 对A ，由1//MN A D ，从而MN ∥平面ADD 1A 1，A 正确；对B ，由AB ⊥面11ADD A ，可得AB ⊥1A D ，又1//MN A D ，得MN AB ⊥，B 正确； 对C ，由1//MN A D ，直线MN 与平面ABCD 所成角为145A DA ∠=︒，C 正确； 对D ，由1//MN A D ，直线MN 与DD 1所成角为11A DD ∠45=︒，D 错误；3．（2020·辽宁沈河�沈阳二中高三其他（理））已知m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列为真命题的是（ ） A ．若//m α，//n α，则//m nB ．若//n m ，n α⊥，则m α⊥C ．若//m α，//n β，m n ⊥，则αβ⊥D ．若//m α，n β⊥，//m n ，则//αβ 【答案】B【解析】解：对于选项A ，若//m α，//n α，则m 与n 平行，相交或者异面，故A 错误； 对于选项B ，若//n m ，n α⊥，则m α⊥，故B 正确；对于选项C ，若//m α，//n β，m n ⊥，则α与β也可以平行，故C 错误；对于选项D ，若n β⊥，//m n ，所以m β⊥，因为//m α，则α与β垂直，故D 错误.4．（2020·乌鲁木齐市第四中学高一期末）如图，空间四边形ABCD 中，平面ABD ⊥平面BCD ，90BAD ∠=︒，且AB ＝AD ，则AD 与平面BCD 所成的角是（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°【答案】B【解析】如图，过点A 作AE BD ⊥,垂足为E .因为平面ABD ⊥平面BCD ，AE BD ⊥，平面ABD ⋂平面BCD BD =,所以AE ⊥平面BCD ,所以AD 与平面BCD 所成的角是ADE ∠,因为90BAD ∠=︒，且AB ＝AD ，所以45ADE =∠.所以AD 与平面BCD 所成的角是45.5．（2020·全国高三（理））在三棱锥A BCD -中,AC ⊥底面，，BD DC =，，，则点C 到平面ABD 的距离是（ ）A ．55aB ．155aC ．35aD ．153a 【答案】B6．（2020·全国高一课时练习）如图，设平面PQ αβ⋂=，EG ⊥平面α，FH ⊥平面α，垂足分别为,G H .为使PQ GH ⊥，则需增加的一个条件是（ ）A ．EF ⊥平面αB ．EF ⊥平面βC ．PQ GE ⊥D ．PQ FH ⊥【答案】B 【解析】因为EG ⊥平面α，PQ ⊂平面α，所以EG PQ ⊥.若EF ⊥平面β，则由PQ ⊂平面β，得EF PQ ⊥.又EG 与EF 为相交直线，且EG ⊥平面α，FH ⊥平面α，则EG FH ，∴,,,E F H G 四点共面，所以PQ ⊥平面EFHG ，所以PQ GH ⊥，7．（2019·陕西武功�高三月考（理））已知直线l ⊥平面α，直线m ∥平面β，若αβ⊥，则下列结论正确的是A ．l β∥或l β⊂B ．//l mC ．m α⊥D ．l m ⊥ 【答案】A【解析】对于A ，直线l ⊥平面α，αβ⊥，则l β//或l β⊂，A 正确；对于B ，直线l ⊥平面α，直线//m 平面β，且αβ⊥，则//l m 或l 与m 相交或l 与m 异面，∴B 错误； 对于C ，直线l ⊥平面α，直线//m 平面β，且αβ⊥，则m α⊥或m 与α相交或m α⊂或//m α，∴C 错误；对于D ，直线l ⊥平面α，直线//m 平面β，且αβ⊥，则//l m 或l 与m 相交或l 与m 异面，∴D 错误． 8．（2019·营口市第二高级中学高一月考）在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为AB 的中点， 则点C 到平面A 1DM 的距离为 ( )A ．3aB ．6aC ．2aD ．12a 【答案】A【解析】画出图形如下图所示,设C 到平面1A DM 的距离为h ,则根据等体积法有11A CDM C A DM V V --=,即11113232a a a h ⋅⋅⋅⋅=⋅⋅,解得3h a =,故选A .9．（2020·四川雨城�雅安中学高二月考（理））已知正方形ABCD 的边长为4，E ､F 分别是AB ､AD 的中点，GC ⊥平面ABCD ，且2GC =，则点B 到平面EFG 的距离为（ ）A 211B 311C 210D 310 【答案】A【解析】设B 到平面EFG 的距离为h .1111422232323G BEF V BE AF CG -=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=. 2222422426GE GF ==++==2222822EF =+==. 所以22112222211222GEF EF S EF GE ∆⎛⎫=⨯-=⨯= ⎪⎝⎭由G BEF B EFG V V --=得1421121133h h ⨯=⇒=. 故选：A10．（2020·山东芝罘�烟台二中高一月考）如图，ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1为正方体，则以下结论：①BD ∥平面CB 1D 1；②AC 1⊥BD ；③AC 1⊥平面CB 1D 1其中正确结论的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D 【解析】解：由正方体的性质得BD ∥11B D ，所以结合线面平行的判定定理可得：BD ∥平面11CB D ；所以①正确.由正方体的性质得 AC ⊥BD ，1C C ⊥BD ，可得BD ⊥平面1CC A ，所以1AC ⊥BD ，所以②正确.由正方体的性质得 BD ∥11B D ，由②可得1AC ⊥BD ，所以1AC ⊥11B D ，同理可得11AC CB ，进而结合线面垂直的判定定理得到：1AC ⊥平面11CB D ，所以③正确.故选：D. 11．（2018·安徽花山�马鞍山二中高三月考（文））已知a ，b 是平面α内的两条直线，l 是空间中的一条直线.则“直线l a ⊥且l b ⊥”是“l α⊥”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】解：,,,l a b l a l b αα''''⊥⊂⇒⊥⊥，反之不一定成立，例如//a b 时．“直线l a ⊥且l b ⊥”是“l α⊥”的必要而不充分条件．12．（2020·全国高一课时练习）已知长方体1111ABCD A B C D -，在平面11AA B B 上任取点M ，作ME AB ⊥于点E ，则（ ）A ．ME ⊥平面ABCDB ．ME ⊂平面ABCDC ．ME 平面ABCD D ．以上都有可能【答案】A【解析】∵ME ⊂平面11AA B B ，平面11AA B B 平面ABCD AB =，且平面11AA B B ⊥平面,ABCD ME AB ，∴ME ⊥平面ABCD .13．（2020·全国高一课时练习）已知直线l ⊥平面α，直线m α⊂，则（ ）A ．l m ⊥B ．l mC ．,l m 异面D ．,l m 相交而不垂直 【答案】A【解析】根据线面垂直的定义，若直线与平面垂直，则直线垂直与该平面内的任意一条直线，因此 l m ⊥，故选A14．（2020·七台河市第一中学高一期末（理））已知m ，n 是空间中两条不同的直线，α，β为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题正确的是（ ）A ．若m α⊂，则m β⊥B ．若m α⊂，n β⊂，则m n ⊥C ．若m α⊄，m β⊥，则//m aD ．若m αβ=，n m ⊥，则n a ⊥【答案】C【解析】对于A ，直线m 与平面β可能垂直，也可能平行或m 在平面β内，故A 不正确；对于B ，直线m 与n 平行、异面或相交，故B 不正确；对于C ，m β⊥，则//m a 或m α⊂，又m α⊄，所以//m a ，故C 正确；对于D ，缺少条件n β⊂，故D 不正确；15．（2020·北京通州�高一期末）已知直线a ⊂平面α，直线b ⊂平面α，则“直线m α⊥”是“m a ⊥，且m b ⊥”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】直线a ⊂平面α，直线b ⊂平面α，则“直线m α⊥”能推出“m a ⊥，且m b ⊥”，是充分条件，反之“m a ⊥，且m b ⊥”，直线m 与平面α不一定垂直，不是必要条件，16．（2020·浙江高三其他）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体两两垂直的平面共有（ ）A ．4对B ．5对C ．6对D ．7对【答案】D 【解析】由三视图可知，该几何体为如图所示的四棱锥P ABCD -，其中ABCD 为边长为1的正方形，PA ⊥平面ABCD ，所以平面PAB ⊥平面ABCD ,平面PAD ⊥平面ABCD ,平面PAC ⊥平面ABCD ,又,,AD AB PA AD AB PA A ⊥⊥⋂=,所以AD ⊥平面PAB ,平面PAD ⊥平面PAB ,又AC BD ⊥,,PA BD PA AC A ⊥⋂=,所以BD ⊥平面PAC ,平面PBD ⊥平面PAC ,同理可证：CD ⊥平面PAD ，CB ⊥PAB ，故平面PBC ⊥平面PAB ，平面PCD ⊥平面PAD ，故该几何体两两垂直的平面共有7对.17．（2019·重庆高三三模（文））下列命题错误的是（ ）A ．若平面α⊥平面β，则平面α内所有直线都垂直于平面βB ．若平面α⊥平面β，则平面α内一定存在直线垂直于平面βC ．若平面α不垂直于平面β，则平面α内一定不存在直线垂直于平面βD ．若平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，l αβ=则l γ⊥ 【答案】A【解析】对于选项A ．若平面α⊥平面β，则平面α内存在直线不垂直于平面β，命题错误；B ．若平面α⊥平面β，则平面α内一定存在直线垂直于平面β，如平面α内垂直于两平面交线的直线，命题正确；C ．若平面α内存在直线垂直于平面β，根据面面垂直的判定有平面α垂直于平面β，与平面α不垂直于平面β矛盾，所以若平面α不垂直于平面β，则平面α内一定不存在直线垂直于平面β，命题正确；D ．若平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，l αβ=，如图，，设,a b αγβγ⋂=⋂=，在γ内直线a 、b 外任取一点O ，作OA a ⊥，交点为A ，作OB b ⊥，交点为B ， 因为平面α⊥平面γ，所以OA α⊥，又l α⊂，所以OA l ⊥，同理可得OB l ⊥，因为OA OB O =，且OA γ⊂,OB γ⊂，所以l γ⊥，D 选项正确.18．（2020·广东汕头�高三二模（文））在立体几何中，以下命题中假命题的个数为（ ）①若直线//a b ，b ⊂平面α，则//a α.②若平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，l αβ=，则l γ⊥.③有3个角是直角的四边形是矩形.④若平面α⊥平面β，a ⊂平面α，b ⊂平面β，且a b ⊥，则a β⊥.A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 【答案】D【解析】①若直线//a b ，b ⊂平面α，则//a α或a α⊂，所以不正确.②若平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，l αβ=,则l γ⊥，正确,证明如下. 如图设a αγ⋂=，b γβ=，在β内，直线,a b 外任取一点O ，作OA a ⊥，交点为A ，因为平面α⊥平面γ,则OA α⊥，所以OA l ⊥。
空间中的垂直关系教案 -回复
空间中的垂直关系教案 -回复适用对象：中小学老师课时：1课时教学目标：1. 学生能够理解垂直关系的概念，并能准确使用相关的术语描述和解释。
2. 学生能够观察和辨别常见的垂直关系，并能在日常生活中找到实际的例子。
3. 学生能够通过小组合作，运用所学知识绘制和解读简单的垂直结构图。
教学准备：1. 黑板/白板和可擦笔2. 教学图片或实物，如墙壁、门、书架、长方体积木等3. 垂直结构图的示例教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入垂直关系的概念：让学生观察教室中的物体，例如桌子、椅子、黑板等，提问学生这些物体之间有什么关系。
2. 引导学生回答：这些物体之间存在一种特殊的关系，即垂直关系。
并解释垂直关系是指两个物体或平面相互正交或垂直交叉的关系。
二、学习和实践（15分钟）1. 呈现垂直关系的实例图片或实物，让学生观察并描述垂直关系。
2. 导入垂直术语：上下、左右、垂直、水平、垂直交叉等。
解释这些术语的意义和使用方法。
3. 学生小组活动：让学生分成小组，依次观察教室中的物体，找出并描述它们之间的垂直关系。
鼓励学生找到尽可能多的例子，并将其描述出来。
1. 引入垂直结构图：教师示范绘制一张简单的垂直结构图，解释结构图中的线段代表垂直关系。
然后让学生跟随示范练习绘图，并描述图中物体之间的垂直关系。
2. 学生个人活动：让学生自选一个日常生活场景，绘制一个垂直结构图，并描述图中物体之间的垂直关系。
3. 学生展示：让学生展示自己绘制的垂直结构图，并向同学们解释图中的垂直关系。
四、归纳总结（5分钟）1. 教师引导学生回顾本节课所学内容，包括垂直关系的定义、相关术语和结构图的绘制。
2. 教师总结学生对垂直关系的理解和应用能力，并强调其在日常生活中的重要性。
五、课堂作业（5分钟）布置课后作业：让学生观察并记录家庭或学校中的垂直关系，了解更多的实际例子，并在下节课上分享。
教学反思与延伸：本节课通过观察、描述、绘图等多种方式帮助学生理解和运用空间中的垂直关系。
《空间中的垂直关系：直线与平面垂直》参考教案
βαm la αaα 1.2.3 直线与平面垂直教学目的：1.理解直线与平面垂直的定义；2.掌握直线与平面垂直的判定、性质定理内容及其应用；3.应用直线与平面垂直的判定、性质定理解决问题 .教学重点：直线与平面垂直的判定、性质定理内容及其应用. 教学难点：直线与平面垂直的判定、性质定理内容及论证过程教学过程：一、复习引入：1.直线和平面的位置关系是什么?观察空间直线和平面可知它们的位置关系有：（1）直线在平面内（无数个公共点）；（2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）；（3）直线和平面平行（没有公共点）它们的图形分别可表示为如下，符号分别可表示为a ⊂α，a ⋂α=A ，a//α.2.线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.推理模式：,,////l m l m l ααα⊄⊂⇒ 3.线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.推理模式：//,,//l l m l αβαβ⊂⋂=⇒ 引入新课:在直线和平面相交的位置关系中,有一种相交是很特殊的,我们把它叫做垂直相交,这节课我们重点来探究这种形式的相交----引出课题.二、研探新知1.观察实例,发现新知现实生活中线面垂直的实例:旗杆与地面的关系，大桥的桥柱与水面的位置关系，房屋的屋柱与地面的关系，都给人以直线与平面垂直的形象。
2.实例研探,定义新知探究:什么叫做直线和平面垂直呢?当直线与平面垂直时，此直线与平面内的所有直线的关系又怎样呢?变换时间观察现实生活中线面垂直的实例:在阳光下观察直立于地面的旗杆及它在地面的影子，随着时间的变化，尽管影子的位置在移动，但是旗杆所在的直线始终与影子所在的直线垂直，就是说，旗杆AB所在直线与地面上任意一条过点B的直线垂直（如图），事实上，旗杆AB所在直线与地面内任意一条不过点B的直线也是垂直的。
人教版高中必修2(B版)1.2.3空间中的垂直关系教学设计
人教版高中必修2(B版)1.2.3空间中的垂直关系教学设计一、教学目标1.了解空间中垂直关系的概念和性质，掌握相关的基本概念和定义；2.能够运用垂直关系的定义，判断两条直线、两个平面、线段和直线、线段和平面等是否垂直，解决与垂直相关的简单问题；3.通过垂直关系的学习，增强学生的空间想象能力和数学思维水平。
二、教学重点和难点1.垂直关系的定义和应用；2.掌握判断两条直线、两个平面、线段和直线、线段和平面等是否垂直的方法；3.解决与垂直相关的简单问题。
三、教学方法本课采用讲授、讨论和练习相结合的教学方法，倡导“启发式”教学，让学生在教师的引导下自主思考，发掘规律和方法，并通过课堂讨论和解决问题的过程中加深对知识的理解和记忆。
四、教学步骤1. 引入（10分钟）通过一个有趣的例子，激发学生对垂直关系的兴趣，引导学生了解垂直关系的概念和性质。
举例：小明在修建房屋时，需要确定柱子是否和地面垂直。
那么，垂直现象出现在我们生活中的哪些场合呢？2. 讲解垂直关系的基本概念和定义（20分钟）通过演示、讲解等方式，介绍垂直关系的定义和性质，如“两条直线垂直的条件是什么？两个平面垂直的条件是什么？”等等。
3. 探究垂直关系的应用（30分钟）带领学生探究判断两条直线、两个平面、线段和直线、线段和平面等是否垂直的方法和步骤，并通过练习，帮助学生巩固相关知识，增强应用能力。
4. 实际应用（30分钟）分组或个人作业，设计一些实际问题，让学生通过运用垂直关系的知识，解决实际问题。
举例：如何确定大型建筑物的每根柱子是否与地面垂直？5. 总结（10分钟）对本节课的重点知识、难点问题进行总结，并对学生问题进行答疑解惑，解决学生的困惑。
五、教学工具黑板、粉笔、几何模型、PPT等。
六、教学评价1.通过课堂练习，检验学生对垂直关系的掌握程度；2.通过实际应用的作业，检验学生对垂直关系的应用能力；3.通过教师观察、记录等方式，评价学生的表现和进步情况。
原创1：1.2.3 空间中的垂直关系（一）（讲授式）
（3）与直线 AD 垂直的平面有 平面DC 、平面AB ．
D
A
C
B
D
A
C
B
达标训练
2．下列命题是否正确，并说明理由：
①．如果直线a垂直于平面α内的两条直
线，则直线a就与平面α垂直；
×
②．过空间一点，可以作无数个平面与一
条直线垂直；
边形的一边垂直．
记法：直线 AB 与平面 互相垂直，记作 AB ．
新课讲授
直线与平面垂直的条件探求
试 一 试 将一张矩形纸片对折后略为展开，竖立在桌面上．
折
痕
桌
面
l
观察：直线 m 和 n 关系；
A
m
n
答：直线m和n相交.
直线 l 和 m 关系；直线 l 和 n 关系； 答：直线l与m和n均垂直.
b
a
证明：在平面α内作两条相交直线m，n．
A
α
Hale Waihona Puke 因为直线a⊥α ,m
n
根据直线与平面垂直的定义知a⊥m，a⊥n.
又因为b//a,
总结：直线与平面垂直的判定定理应用
所以b⊥m，b⊥n.
（1）定理的实质是：
又m⊂ ，n ⊂α，且m∩n=A，
所以b⊥α.
线线垂直 线面垂直；
（2）关键是在面内找两条相交直线都
(1)垂直于同一条直线的两条直线互相平行.
(
(2)垂直于同一个平面的两条直线互相平行.
(
×)
√)
(3)一条直线在平面内，另一条直线和这个平面垂直，则
这两条直线互相垂直.
(
空间的垂直关系(含答案)
空间的垂直关系一、基础梳理1．直线和平面垂直（1）直线和平面垂直的定义：如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的任何一条直线．．．．．．都垂直，我们就说这条直线和这个平面互相垂直。
其中直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面。
交点叫做垂足。
直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊情况。
直线与平面垂直简称线面垂直，记作：aα⊥。
说明：①“任何”表示“所有”，注意与“无数”的区别；②“a⊥α”等价于“对任意的直线m⊂α，都有a⊥m”；练习：（1）过空间任一点作直线的垂面有 __________个；垂线有 _______条。
（2）过空间任一点作该平面的垂线有 _________条；平行线有 ______条。
（2）直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线．．．．．．都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。
符号语言：若l⊥m，l⊥n，m∩n＝。
简称：“线线．．垂直⇒线面垂直”定理：“如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。
”已知：a∥b，a⊥α。
则：bα⊥。
（3）直线和平面垂直的性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行。
简称“线面垂直⇒线线平行”。
已知：,a bαα⊥⊥，则：//ab。
2.（1）平面的斜线、垂线、射影①垂线：自一点向平面引垂线,垂足叫这点在这个平面上的射影。
这个点和垂足间的线段叫做这点到这个平面的垂线段。
②斜线一条直线和一个平面相交,但不和这个平面垂直,这条直线叫做这个平面的斜线。
斜线和平面的交点叫斜足；斜线上一点与斜足间的线段叫这点到这个平面的斜线段。
③射影过斜线上斜足外的一点向平面引垂线,过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影。
垂足和斜足间线段叫这点到这个平面的斜线段在这个平面内的射影。
练习（1）判断正误：①一条直线在平面上的射影一定是直线；（）②两平行直线在同一平面内的射影是平行线；（）③两相交直线在同一平面内的射影是相交直线；（）④两异面直线在同一平面内的射影一定是相交直线。
空间中的垂直关系(优质课)教案
1.6空间中的垂直关系（优质课）教案教学目标：理解空间中三种垂直关系的定义；掌握空间中三种垂直关系判定及性质；用空间中三种垂直关系的定义、判定及性质解决垂直问题．教学过程：一、直线与平面垂直1.如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点，并且交角为直角，则称这两条直线互垂直．2.如果一条直线(AB)和一个平面(α)相交于点O，并且和这个平面内过点O的任何直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面互相垂直，记作AB⊥α，直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面，交点叫做垂足．垂线上任一点到垂足间的线段，叫做这点到这个平面的垂线段．垂线段的长度叫做这点到平面的距离3.直线和平面垂直的判定4.(1)判定定理：如果一条直线和一个平面内的任何两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．符号语言：l⊥a，l⊥b，a∩b＝A，a⊂α，b⊂α⇒l⊥α，如图：(2)如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面．符号语言：a∥b，a⊥α⇒b⊥α，如图：5．直线与平面垂直的性质(1)性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．符号语言：a⊥α，b⊥α⇒a∥b，如图：(2)一条直线垂直于一个平面，它就和平面内的任意一条直线垂直．符号语言：a⊥α，b⊂α⇒a⊥b，如图：6．设P是三角形ABC所在平面α外一点，O是P在α内的射影(1)若PA＝PB＝PC，则O为△ABC的外心．特别地当∠C＝90°时，O为斜边AB中点．(2)若PA、PB、PC两两垂直，则O为△ABC的垂心．(3)若P到△ABC三边距离相等，则O为△ABC的内心．7．(1)过一点有且只有一条直线与已知平面垂直．(2)过一点有且只有一个平面与已知直线垂直．二、直线和平面平行1．平面与平面垂直的定义：如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直，就称这两个平面互相垂直．平面α、β互相垂直，记作α⊥β.2．两个平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．符号表示：a⊥α，a⊂β⇒α⊥β，如图：3．两个平面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线，垂直于另一个平面．符号表示：α⊥β，α∩β＝CD，BA⊂α，BA⊥CD，B为垂足⇒BA⊥β，如图：推论：如果两个平面垂直，那么过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内．类型一线面垂直例1：如图，直角△ABC 所在平面外一点S ，且SA ＝SB ＝SC ，点D 为斜边AC 的中点． (1)求证：SD ⊥平面ABC ；(2)若AB ＝BC ，求证：BD ⊥平面SAC.解析：由于D 是AC 中点，SA ＝SC ，∴SD 是△SAC 的高，连接BD ，可证△SDB ≌△SDA .由AB ＝BC ，则Rt △ABC 是等腰直角三角形，则BD ⊥AC ，利用线面垂直的判定定理即可得证． 答案：(1)∵SA ＝SC ，D 为AC 的中点， ∴SD ⊥AC .在Rt △ABC 中，连接BD ，则AD ＝DC ＝BD ，又∵SB ＝SA ，SD ＝SD ， ∴△ADS ≌△BDS .∴SD ⊥BD .又AC ∩BD ＝D ， ∴SD ⊥面ABC .(2)∵BA ＝BC ，D 为AC 中点，∴BD ⊥AC . 又由(1)知SD ⊥面ABC ，∴SD ⊥BD .于是BD 垂直于平面SAC 内的两条相交直线， ∴BD ⊥平面SAC . 练习1：((2014·河南南阳一中高一月考)如图所示，在四棱锥P －ABCD 中， 底面ABCD 是矩形，侧棱P A ⊥平面ABCD ，E 、F 分别是AB 、PC 的中点， P A ＝AD .求证：EF ⊥平面PCD .答案：如图，取PD 的中点H ，连接AH 、HF .∴FH12CD ， ∴FH AE ，∴四边形AEFH 是平行四边形，∴AH ∥EF . ∵底面ABCD 是矩形，∴CD ⊥AD . 又∵PA ⊥底面ABCD ， ∴PA ⊥CD ，PA ∩AD ＝A ， ∴CD ⊥平面PAD .又∵AH ⊂平面PAD ，∴CD ⊥AH .又∵PA ＝AD ，∴AH ⊥PD ，PD ∩CD ＝D ， ∴AH ⊥平面PCD ，又∵AH ∥EF ，∴EF ⊥平面PCD .练习2：如右图，在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为1DD 的中点，O 为ABCD 的中心， 求证：1B O ⊥平面PAC 答案：连结111,,PO PB B D ,OP D 1C 1B 1A 1D CA由正方体的性质可知，1,AC BD AC BB ⊥⊥,且1BD BB B =∴AC ⊥面11BDD B 又∵BO ⊂面11BDD B ∴1B O AC ⊥ 设AB a =，则11121,2,2OB OD a B D a PD PD a ===== ∵2222222222221113113,22424OB OB BB a a a OP PD DO a a a =+=+==+=+= 222222111119244PB B D PD a a a =+=+=∴2221OB PO PB += ∴1B O PO ⊥ ∵PO AC O =∴1B O ⊥平面PAC练习3：在如右图，在空间四边形ABCD 中，,AB AD BC CD ==, 求证：AC BD ⊥答案：设E 为BD 的中点，连结,AE EC∵AB AD = ∴BD AE ⊥ 同理可证：BD EC ⊥ 又∵AEEC E = ∴BD ⊥面AEC∵AE ⊂面AEC ∴BD AC ⊥例2：如图在△ABC 中，∠B ＝90°，SA ⊥平面ABC ， 点A 在SB 和SC 上的射影分别是N 、M ，求证：MN ⊥SC . 解析：根据直线平面垂直的性质，找到所求垂直的线段中的 一条与另一条所在的平面垂直，即可证明这两条线段互相垂直． 答案：证明：∵SA ⊥平面ABC ， ∴SA ⊥BC ，又∠ABC ＝90°， ∴BC ⊥AB ，∴BC ⊥平面SAB ， ∴AN ⊥BC ，又AN ⊥SB ，∴AN ⊥平面SBC ， ∴AN ⊥SC ，又AM ⊥SC ， ∴SC ⊥平面AMN ， ∴MN ⊥SC .练习1：如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为A 1D 、AC 上的点，且EF ⊥A 1D ，EF ⊥AC .求证：EF ∥BD 1. 答案：如图所示，连接A 1C 1、C 1D 、BD 、B 1D 1. 由于AC ∥A 1C 1，EF ⊥AC ，∴EF ⊥A 1C 1. 又EF ⊥A 1D ，A 1D ∩A 1C 1＝A 1， ∴EF ⊥平面A 1C 1D .①E ABCD∵BB 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，A 1C 1⊂平面A 1B 1C 1D 1， ∴BB 1⊥A 1C 1.又∵四边形A 1B 1C 1D 1为正方形，∴A 1C 1⊥B 1D 1. ∵BB 1∩B 1D 1＝B 1，∴A 1C 1⊥平面BB 1D 1D . 而BD 1⊂平面BB 1D 1D ，∴BD 1⊥A 1C 1. 同理，DC 1⊥BD 1，DC 1∩A 1C 1＝C 1， ∴BD 1⊥平面A 1C 1D .②由①②可知EF ∥BD 1.练习2：在空间中，下列命题：①平行于同一条直线的两条直线平行；②垂直与同一直线的两条直线平行；③平行与同一平面的两条直线平行；④垂直于同一平面的两条直线平行．其中正确的由___ ． 答案：①④练习3：已知,,a b c 及平面β，则下列命题正确的是（ ）A 、////a a b b ββ⎫⇒⎬⊂⎭B 、a a b b ββ⊥⎫⇒⊥⎬⊥⎭C 、//a c a b b c ⊥⎫⇒⎬⊥⎭D 、//a a b b ββ⊂⎫⇒⎬⊂⎭ 答案：B例3：如图，在底面为直角梯形的四棱锥P －ABCD 中，AD ∥BC ， ∠ABC ＝90°，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝3，AD ＝2，AB ＝23，BC ＝6.求证：BD ⊥平面PAC .解析：通过计算得到直角，进而得到垂直． 答案：∵PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴BD ⊥PA .∵∠BAD 和∠ABC 都是直角，∴tan ∠ABD ＝AD AB ＝33，tan ∠BAC ＝BCAB＝3， ∴∠ABD ＝30°，∠BAC ＝60°.∴∠AEB ＝90°，即BD ⊥AC ， 又PA ∩AC ＝A ，∴BD ⊥平面PAC .练习1：在正方体中ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 为DD 1的中点， O 为底面ABCD 的中心．求证：B 1O ⊥平面PAC . 答案：如图所示，连接AB 1、CB 1、B 1D 1、PB 1、PO .设AB ＝a ，则AB 1＝CB 1＝B 1D 1＝2a ，AO ＝OC ＝22a ， ∴B 1O ⊥AC .∵B 1O 2＝OB 2＋BB 21＝⎝⎛⎭⎪⎫22a 2＋a 2＝32a 2，PB 21＝PD 21＋B 1D 21＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 2＋(2a )2＝94a 2，OP 2＝PD 2＋DO 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋⎝⎛⎭⎪⎫22a 2＝34a 2，∴B 1O 2＋OP 2＝PB 21，∴B 1O ⊥OP . 又PO ∩AC ＝O ，∴B 1O ⊥平面PAC .练习2: 如图，若测得旗杆PO ＝4，P A ＝PB ＝5，OA ＝OB ＝3，则旗杆PO 和地面α的关系是________．答案：∵PO ＝4，OA ＝OB ＝3，P A ＝PB ＝5，∴PO 2＋AO 2＝P A 2，PO 2＋OB 2＝PB 2， ∴PO ⊥OA ，PO ⊥OB .又OA ∩OB ＝O ，∴PO ⊥平面AOB ，∴PO ⊥地面α.类型二 平面与平面垂直例4：(2014·山东临沂高一期末测试)如图，在底面为正三角形的直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，点D 是BC的中点，求证：平面AC 1D ⊥平面BCC 1B 1. 解析：运用平面垂直的判定．答案：∵△ABC 为正三角形，D 为BC 的中点，∴AD ⊥BC .又∵CC 1⊥底面ABC ，AD ⊂平面ABC ， ∴CC 1⊥AD .又BC ∩CC 1＝C ， ∴AD ⊥平面BCC 1B 1. 又AD ⊂平面AC 1D ，∴平面AC 1D ⊥平面BCC 1B 1.练习1：三棱锥S －ABC 中，∠BSC ＝90°，∠ASB ＝60°，∠ASC ＝60°，SA ＝SB ＝SC . 求证：平面ABC ⊥平面SBC .答案：解法一：取BC 的中点D ，连接AD 、SD .由题意知△ASB 与△ASC 是等边三角形，则AB ＝AC . ∴AD ⊥BC ，SD ⊥BC .令SA ＝a ，在△SBC 中，SD ＝22a ， 又∵AD ＝AC 2－CD 2＝22a ，∴AD 2＋SD 2＝SA 2. 即AD ⊥SD .又∵AD ⊥BC ，∴AD ⊥平面SBC . ∵AD ⊂平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面SBC .解法二：∵SA ＝SB ＝SC ＝a ， 又∵∠ASB ＝∠ASC ＝60°，∴△ASB 、△ASC 都是等边三角形． ∴AB ＝AC ＝a .作AD ⊥平面SBC 于点D ，∵AB ＝AC ＝AS ，∴D 为△SBC 的外心． 又∵△BSC 是以BC 为斜边的直角三角形， ∴D 为BC 的中点，故AD ⊂平面ABC . ∴平面ABC ⊥平面SBC .练习2：如右图,在四面体ABCD 中，2,BD a AB AD CB CD a =====．求证：平面ABD ⊥平面BCD ． 答案：取BD 的中点E ，连结,AE EC∵AB AD = ∴AE BD ⊥ 同理CE BD ⊥ 在△ABD 中，12,2AB a BE BD a === ∴2222AE AB BE a =-=同理22CE a = 在△AEC 中，2,2AE CE a AC a === ∴222AC AE CE =+ ∴AE CE ⊥ ∵BDCE E = ∴AE ⊥平面BCD ∵AE ⊂平面ABD ∴平面ABD ⊥平面BCD练习3：空间四边形ABCD 中，若,AD BC BD AD ⊥⊥，那么有（ ） A 、平面ABC ⊥平面ADC B 、平面ABC ⊥平面ADBC 、平面ABC ⊥平面DBCD 、平面ADC ⊥平面DBC 答案：D例5：已知P 是△ABC 所在平面外的一点，且P A ⊥平面ABC ，平面P AC ⊥平面PBC ，求证：BC ⊥AC .解析：已知条件是线面垂直和面面垂直，要证明两条直线垂直，应将两条直线中的一条放入一平面中，使另一条直线与该平面垂直，即由线面垂直得到线线垂直．在空间图形中，高一级的垂直关系蕴含着低一级的垂直关系，通过本题可以看到：面面垂直⇒线面垂直⇒线线垂直． 答案：如图，在平面P AC 内作AD ⊥PC 于点D ，∵平面P AC ⊥平面PBC ，AD ⊂平面P AC ，且AD ⊥PC ， ∴AD ⊥平面PBC ，又BC ⊂平面PBC ，∴AD ⊥BC .∵P A ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， ∴P A ⊥BC ，∵AD ∩P A ＝A ，∴BC ⊥平面P AC ， 又AC ⊂平面P AC ，∴BC ⊥AC .练习1：已知三棱锥P －ABC 中，侧面PAC 与底面ABC 垂直，PA ＝PB ＝PC . (1)求证：AB ⊥BC ；(2)若AB ＝BC ，过点A 作AF ⊥PB 于点F ，连接CF ，求证：平面PBD ⊥平面AFC . 答案：如图所示：(1)取AC 的中点D ，连接PD 、BD ， ∵PA ＝PC ，∴PD ⊥AC ，又平面PAC ⊥平面ABC ，且平面PAC ∩平面ABC ＝AC ， ∴PD ⊥平面ABC ，D 为垂足． ∵PA ＝PB ＝PC ， ∴DA ＝DB ＝DC ，∴AC 为△ABC 的外接圆的直径，故AB ⊥BC . (2)∵PA ＝PC ，AB ＝BC ，PB ＝PB ， ∴△ABP ≌△CBP .ABCDE∵AF⊥PB，∴CF⊥PB，又AF∩CF＝F，∴PB⊥平面AFC，又PB⊂平面PBD，∴平面PBD⊥平面AFC.练习2：已知平面P AB⊥平面ABC，平面P AC⊥平面ABC，如图所示．求证：P A⊥平面ABC.答案：如图所示，在平面ABC内任取一点D，作DF⊥AC于点F，作DG⊥AB于点G，∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，∴DF⊥平面PAC，又∵PA⊂平面PAC，∴PA⊥DF，同理可证：DG⊥PA，∵DF∩DG＝D，且DF⊂平面ABC，DG⊂平面ABC，∴PA⊥平面ABC.1．一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是( ) A．平行B．垂直C．相交不垂直D．不确定答案：B2．若一条直线l上有两个点到平面α的距离相等，则l与α的关系是( )A．平行B．相交C．垂直D．不确定答案：D3．已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，给出下列四个命题：①α∥β，l⊄β⇒l⊥m②α⊥β⇒l∥m③l∥m⇒α⊥β④l⊥m⇒α∥β其中正确的两个命题是( )A．①②B．③④C．②④D．①③答案：D4．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A－BCD，则在三棱锥A－BCD中，下列命题正确的是( )A．平面ABD⊥平面ABCB．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDCD．平面ADC⊥平面ABC答案：D5．若有直线m、n和平面α、β，下列四个命题中，正确的是( )A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥βC．若α⊥β，m⊂α，则m⊥βD．若α⊥β，m⊥β，m⊄α，则m∥α答案：D6. Rt △ABC 所在平面α外一点P 到直角顶点的距离为24，到两直角边的距离都是610，那么点P 到平面α的距离等于__________．答案： 12_________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________基础巩固1．已知一平面平行于两条异面直线，一直线与两异面直线都垂直，那么这个平面与这条直线的位置关系是( )A ．平行B ．垂直C ．斜交D ．不能确定 答案：B2．直线a ⊥直线b ，a ⊥平面β，则b 与β的位置关系是( )A ．b ⊥βB ．b ∥βC ．b ⊂βD ．b ⊂β或b ∥β 答案：D 3．下列命题①⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αb ⊂α⇒a ⊥b ； ②⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αa ∥b ⇒b ⊥α； ③⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αb ∥α⇒a ⊥b; ④⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥ba ⊥b b ⊂αc ⊂α⇒a ⊥α； ⑤⎭⎪⎬⎪⎫a ∥αa ⊥b ⇒b ⊥α； ⑥⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αb ⊥a ⇒b ∥α. 其中正确命题的个数是( )A ．3B ．4C ．5D ．6 答案：A4.．若平面α∥平面β，直线a ⊂α，直线b ⊂β，那么a 、b 的位置关系是( )A ．无公共点B ．平行C ．既不平行也不相交D ．相交答案：A5．直线a 与平面α内的两条直线都垂直，则a 与α的位置关系是( )A ．垂直B ．平行C ．a 在平面α内D ．不确定 答案：D6．若平面α⊥平面β，且平面α内的一条直线a 垂直于平面β内的一条直线b ，则( )A ．直线a 必垂直于平面βB ．直线b 必垂直于平面αC ．直线a 不一定垂直于平面βD．过a的平面与过b的平面垂直答案：C7．长方体ABCD－A1B1C1D1中，MN在平面BCC1B1内，MN⊥BC于M，则MN与AB的位置关系为____________________．答案：MN⊥AB8．如图所示，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的面对角线A1B⊥B1C，求证B1C⊥C1A.答案：如图所示，连接A1C，交AC1于点D，则点D是A1C的中点．取BC的中点N，连接AN、DN，则DN∥A1B.又A1B⊥B1C，∴B1C⊥DN.又△ABC是正三角形，∴AN⊥BC.又平面ABC⊥平面BB1C1C，平面ABCD∩平面BB1C1C＝BC，AN⊂平面ABC，∴AN⊥平面BB1C1C.又B1C⊂平面BB1C1C，∴B1C⊥AN.又AN⊂平面AND，DN⊂平面AND，AN∩DN＝N，∴B1C⊥平面AND.又C1A⊂平面AND，∴B1C⊥AC1.能力提升9．若两直线a与b异面，则过a且与b垂直的平面()A．有且只有一个B．至多有一个C．有无数多个D．一定不存在答案：B10.已知三棱锥S－ABC的各顶点都在一个半径为r的球面上，球心O在AB上，SO⊥底面ABC，AC＝2r，则球的体积与三棱锥体积之比是()A．πB．2πC．3πD．4π答案：D11. (2014·浙江文，6)设m，n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面()A．若m⊥n，n∥α，则m⊥αB．若m∥β，β⊥α，则m⊥αC．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥αD．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α答案：C12.已知平面ABC外一点P，且PH⊥平面ABC于H.给出下列4个命题：①若P A⊥BC，PB⊥AC，则H是△ABC的垂心；②若P A、PB、PC两两互相垂直，则H是△ABC的垂心；③若∠ABC＝90°，H是AC的中点，则P A＝PB＝PC；④若P A＝PB＝PC，则H是△ABC的外心．其中正确命题的个数为()A．1B．2C．3D．4答案：D13. 平面α的斜线AB 交α于点B ，过定点A 的动直线l 与AB 垂直，且交α于点C ，则动点C 的轨迹为________．(填直线、圆、其它曲线)答案：直线14. 如图所示，已知矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝a ，P A ⊥平面ABCD ，若在BC 上只有一个点Q 满足PQ ⊥QD ，则a 的值等于________．答案：215. 如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD .底面各边都相等，M 是PC 上的一动点，当点M 满足________________时，平面MBD ⊥平面PCD .(注：只要填写一个你认为正确的即可)答案：BM ⊥PC （其它合理答案亦可）16. 如图所示，△ABC 为正三角形，CE ⊥平面ABC ，BD ∥CE ，且CE ＝AC ＝2BD ，M 是AE 的中点．(1)求证：DE ＝DA ；(2)求证：平面BDM ⊥平面ECA ；(3)求证：平面DEA ⊥平面ECA .答案：(1)取EC 的中点F ，连接DF .∵CE ⊥平面ABC ，∴CE ⊥BC .易知DF ∥BC ，∴CE ⊥DF .∵BD ∥CE ，∴BD ⊥平面ABC .在Rt △EFD 和Rt △DBA 中，EF ＝12CE ＝DB ，DF ＝BC ＝AB ， ∴Rt △EFD ≌Rt △DBA .故DE ＝DA .(2)取AC 的中点N ，连接MN 、BN ，则MN CF .∵BD CF ，∴MN BD ，∴N ∈平面BDM .∵EC ⊥平面ABC ，∴EC ⊥BN .又∵AC ⊥BN ，EC ∩AC ＝C ，∴BN ⊥平面ECA .又∵BN ⊂平面BDM ，∴平面BDM ⊥平面ECA .(3)∵DM ∥BN ，BN ⊥平面ECA ，∴DM ⊥平面ECA .又∵DM ⊂平面DEA ，∴平面DEA ⊥平面ECA .。
空间中的垂直关系教案
空间中的垂直关系教案空间中的垂直关系一. 教学内容：空间中的垂直关系二、学习目标1、掌握直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理，并能运用它们进行论证和解决有关的问题；2、掌握平面与平面垂直的概念和判定定理、性质定理，并能运用它们进行推理论证和解决有关问题；3、在研究垂直问题时，要善于应用“转化”和“降维”的思想，通过线线、线面、面面平行与垂直关系的转化，从而使问题获得解决。
三、知识要点1、直线与平面垂直的定义：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么就称这条直线和这个平面垂直。
2、直线与平面垂直的判定：常用方法有：①判定定理： .② b⊥α, a∥ba⊥α；（线面垂直性质定理）③α∥β,a⊥βa⊥α（面面平行性质定理）④α⊥β，α∩β=l，a⊥l，a a⊥α（面面垂直性质定理）3、直线与平面垂直的性质定理：①如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。
（a⊥α，b⊥α⇒a∥b）②直线和平面垂直时，那么该直线就垂直于这个平面内的任何直线（）4、点到平面的距离的定义：从平面外一点引这个平面的垂线，这个点和垂足间的线段的长度叫做这个点到平面的距离。
特别注意：点到面的距离可直接向面作垂线，但要考虑垂足的位置，如果垂足的位置不能确定，往往采取由点向面上某一条线作垂线，再证明此垂足即为面的垂足。
5、平面与平面垂直的定义及判定定理：（1）定义：如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直，就说这两个平面互相垂直。
记作：平面α⊥平面β（2）判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。
（简称：线面垂直，面面垂直）6、两个平面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。
（简称：面面垂直，线面垂直。
）思维方式：判定两相交平面垂直的常用方法是：线面垂直，面面垂直；有时用定义也是一种办法。
空间中的垂直关系
Ｆ
Ｄ Ｏ
Ｈ
Ｃ Ｅ
Ａ Ｂ
课堂小结
• 线面垂直：定义、判定定理、性质定理 • 面面垂直：定义、判定定理、性质定理 • 掌握好线线、线面、面面垂直之间的转换 关系 • 能熟练运用公理、定理和已获得的结论证 明一些空间图形的垂直关系的命题。
作业
• 整理好本节所讲的内容 • 完成课后巩固学案 • 画好本章知识结构图
D
A B
C
合作探究１ 在四棱锥 平面PAD⊥平面 合作探究１：在四棱锥P-ABCD中,平面 探究 中 平面 ⊥平面ABCD,AB∥CD,侧 ∥ 侧 为正三角形,已知 面PAD为正三角形 已知 为正三角形 已知BD=2AD=8,AB=2DC=4 . 5 (1)、设M为PC边上的一点 证明 平面 边上的一点,证明 平面MBD⊥平面 、 为 边上的一点 证明:平面 ⊥平面PAD (2)、求四棱锥 、求四棱锥P-ABCD的体积 的体积
P (1)、证明:在三角形ABD中, AD=4, BD=8, AB=4 5 满足 AD2+BD2=AB2 ∴AD ⊥ BD ∵平面PAD⊥平面ABCD于AD ∴BD ⊥平面PAD ∴平面MBD⊥平面PAD (2)、解:取AD中点O, ∵ PAD为正三角形 ∴PO ⊥AD ∵平面PAD⊥平面ABCD于AD ∴PO ⊥平面ABCD 故PO为四棱锥的高, PO = 2 3 四边形ABCD为梯形 AB=2DC=4 5 4×8 8 5 在直角三角形ABD中 AB边上的高 h = 4 5 = 5 梯形ABCD的面积 ∴ＶP-ABCD
2011年11月22日 主讲人：康海滨 康海滨
考纲要求
• 1、以立体几何的定义、公理和定理为出发 点，认识和理解空间中线面垂直关系的有 关性质和判定定理 • 2、能运用公理、定理和已获得的结论证明 一些空间图形的垂直关系的简单命题。