第一章1.2.3空间中的垂直关系1教案教师版
2019_2020学年高中数学第一章立体几何初步1.2.3空间中的垂直关系第1课时直线与平面垂直学案新人教B版必修2
第1课时直线与平面垂直1．理解线线垂直、线面垂直的概念．2．掌握直线与平面垂直的判定定理及性质．3．能应用性质定理证明空间位置关系．1．直线与直线的垂直两条直线垂直的定义：如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点，并且交角为直角，则称这两条直线互相垂直．2．直线与平面垂直(1)直线与平面垂直的定义：如果一条直线和一个平面相交于点O，并且和这个平面内过交点O的任何直线都垂直，则称这条直线和这个平面互相垂直．这条直线叫做平面的垂线，这个平面叫做直线的垂面，交点叫做垂足，垂线上任意一点到垂足间的线段，叫做这个点到这个平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到平面的距离．(2)直线和平面垂直的判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线就垂直于这个平面． (简而言之：线线垂直，则线面垂直)(3)推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条也垂直于这个平面．3．直线与平面垂直的性质(1)由直线和平面垂直的定义知，直线与平面内的所有直线都垂直，除此以外还有性质定理．(2)垂直于同一个平面的两条直线平行．垂直于同一条直线的两个平面平行．1．下列命题正确的是( )A．垂直于同一条直线的两直线平行B．垂直于同一条直线的两直线垂直C．垂直于同一个平面的两直线平行D．垂直于同一条直线的一条直线和平面平行解析：选C．在空间中垂直于同一直线的两条直线，可能平行，可能相交，也可能异面，所以A，B错；垂直于同一直线的直线和平面的位置关系可以是直线在平面内，也可以是直线和平面平行，所以D错；注意分析清楚给定条件下直线和平面可能的位置关系，不要有遗漏．2．在三棱锥ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，求证：AC⊥BD．证明：如图取BD的中点E，连接AE，EC．因为AB＝AD，BE＝ED，所以AE⊥BD．又因为CB＝CD，BE＝ED，所以CE⊥BD．又AE∩EC＝E，所以BD⊥平面ACE，又AC⊂平面ACE，所以AC⊥BD．3．垂直于同一条直线的两条直线平行吗？解：不一定．平行、相交、异面都有可能．线面垂直的判定如图，AB为⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，M为圆周上任意一点，AN ⊥PM，N为垂足．(1)求证：AN⊥平面PBM；(2)若AQ⊥PB，垂足为Q，求证：NQ⊥PB．【证明】(1)因为AB为⊙O的直径，所以AM⊥BM．又PA⊥平面ABM，所以PA⊥BM．又因为PA∩AM＝A，所以BM⊥平面PAM．又AN⊂平面PAM，所以BM⊥AN．又AN⊥PM，且BM∩PM＝M，所以AN⊥平面PBM．(2)由第一问知AN⊥平面PBM，PB⊂平面PBM，所以AN⊥PB．又因为AQ⊥PB，AN∩AQ＝A，所以PB⊥平面ANQ．又NQ⊂平面ANQ，所以PB⊥NQ．在本例中若条件不变，在四面体PAMB的四个面中共有多少个直角三角形．解：由本例第一问的证明过程知，BM⊥平面PAM，又PM⊂平面PAM，所以BM⊥PM．所以∠PAM＝∠PAB＝∠AMB＝∠BMP＝90°．所以四个面都是直角三角形．证明线面垂直的方法(1)线线垂直证明线面垂直①定义法(不常用，但由线面垂直可得出线线垂直)；②判定定理法：要着力寻找平面内哪两条相交直线(有时作辅助线)；结合平面图形的性质(如勾股定理逆定理、等腰三角形底边中线等)及一条直线与平行线中一条垂直也与另一条垂直等结论来论证线线垂直．(2)平行转化法(利用推论)①a∥b，a⊥α⇒b⊥α；②α∥β，a⊥α⇒a⊥β．如图所示，S为Rt△ABC所在平面外一点，且SA＝SB＝SC．点D为斜边AC的中点．(1)求证：SD⊥平面ABC；(2)若直角边BA＝BC，求证：BD⊥平面ASC．证明：(1)法一：在等腰三角形SAC中，D为AC的中点，所以SD⊥AC，取AB的中点E，连接DE、SE．则ED∥BC，又AB⊥BC，所以DE⊥AB．又SE⊥AB，SE∩DE＝E，所以AB⊥平面SED，所以AB⊥SD，又AB∩AC＝A，所以SD⊥平面ABC．法二：因为D为AC中点，△ABC为直角三角形．所以AD＝BD，又SA＝SB，SD＝SD，所以△SAD≌△SBD，所以∠SDB＝∠SDA．又SA＝SC，所以SD⊥AC，即∠SDA＝90°，所以∠SDB＝90°，即SD⊥BD，又BD∩AC＝D，所以SD⊥平面ABC．(2)因为BA＝BC，所以BD⊥AC，又SD⊥平面ABC，所以SD⊥BD，因为SD∩AC＝D，所以BD⊥平面ASC．线面垂直的性质的应用如图，已知矩形ABCD，过A作SA⊥平面AC，再过A作AE⊥SB于点E，过E作EF⊥SC于点F．(1)求证：AF⊥SC；(2)若平面AEF交SD于点G，求证：AG⊥SD．【证明】(1)因为SA⊥平面AC，BC⊂平面AC，所以SA⊥BC，因为四边形ABCD为矩形，所以AB⊥BC．所以BC⊥平面SAB，所以BC⊥AE．又SB⊥AE，SB∩BC＝B，所以AE⊥平面SBC，所以AE⊥SC．又EF⊥SC，AE∩EF＝E，所以SC⊥平面AEF．所以AF⊥SC．(2)因为SA⊥平面AC，所以SA⊥DC．又AD⊥DC，AD∩SA＝A，所以DC⊥平面SAD．所以DC⊥AG．又由(1)有SC⊥平面AEF，AG⊂面AEF，所以SC ⊥AG ，所以AG ⊥平面SDC ，所以AG ⊥SD ．证明线线垂直的常用思路线面垂直――→推出定义线线垂直――→推出判定定理线面垂直――→推出定义线线垂直．如图所示，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，M 是AB 上一点，N 是A 1C 的中点，MN ⊥平面A 1DC ． 求证：(1)MN ∥AD 1； (2)M 是AB 的中点．证明：(1)因为四边形ADD 1A 1为正方形，所以AD 1⊥A 1D ． 又因为CD ⊥平面ADD 1A 1，所以CD ⊥AD 1． 因为A 1D ∩CD ＝D ， 所以AD 1⊥平面A 1DC ． 又因为MN ⊥平面A 1DC ， 所以MN ∥AD 1．(2)如图，连接ON ，在△A 1DC 中，A 1O ＝OD ，A 1N ＝NC ． 所以ON ═∥12CD ．因为CD ═∥AB ， 所以ON ∥AM ． 又因为MN ∥OA ，所以四边形AMNO 为平行四边形． 所以ON ＝AM ．因为ON ＝12CD ，所以AM ＝12DC ＝12AB ．所以M 是AB 的中点．线面垂直的综合应用如图所示，在直四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1中，已知DC ＝DD 1＝2AD ＝2AB ，AD ⊥DC ，AB∥DC ．(1)求证：D 1C ⊥AC 1；(2)设E 是DC 上一点，试确定E 的位置，使D 1E ∥平面A 1BD ，并说明理由． 【解】 (1)证明：连接C 1D ．因为DC ＝DD 1，所以四边形DCC 1D 1是正方形，所以DC 1⊥D 1C ． 因为AD ⊥DC ，AD ⊥DD 1，DC ∩DD 1＝D ， 所以AD ⊥平面DCC 1D 1，D 1C ⊂平面DCC 1D 1，所以AD ⊥D 1C ．又AD ∩DC 1＝D ，所以D 1C ⊥平面ADC 1． 又AC 1⊂平面ADC 1，所以D 1C ⊥AC 1．(2)如图，当E 是CD 的中点时满足条件，连接BE 、D 1E ，因为AB ═∥12CD ， 所以四边形ABED 为平行四边形． 所以BE ∥AD ∥A 1D 1．所以四边形BED 1A 1为平行四边形， 所以D 1E ∥A 1B ．又D 1E ⊄面A 1BD ，A 1B ⊂A 1BD ， 所以D 1E ∥平面A 1BD ．综上所述，当E 是DC 的中点时，可使D 1E ∥平面A 1BD ．线面垂直与平行的相互转化(1)空间中直线与直线垂直、直线与平面垂直、直线与直线平行可以相互转化，每一种垂直与平行的判定都是从某种垂直与平行开始转化为另一种垂直与平行，最终达到目的的．(2)转化关系：线线垂直判定定理定义线面垂直性质判定定理推论线线平行．如图所示，侧棱垂直于底面的三棱柱ABC A 1B 1C 1中，底面ABC 为等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，CE ⊥AB 1，D 为AB 的中点．求证：(1)CD ⊥AA 1； (2)AB 1⊥平面CED ．证明：(1)由题意，得AA 1⊥平面ABC ，CD ⊂平面ABC ，所以CD ⊥AA 1．(2)因为D 是AB 的中点，△ABC 为等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，所以CD ⊥AB ． 又CD ⊥AA 1，AB ∩A 1A ＝A ，所以CD ⊥平面A 1B 1BA ，因为AB 1⊂平面A 1B 1BA ，所以CD ⊥AB 1． 又CE ⊥AB 1，CD ∩CE ＝C ， 所以AB 1⊥平面CED ．1．直线与直线垂直如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点，并且交角为直角，则称这两条直线互相垂直．两条直线垂直包括相交垂直和异面垂直． 2．线面垂直、线线垂直的证明方法 (1)线面垂直的证明方法：①定义法；②判定定理法；③判定定理的推论．(2)线线垂直的证明方法：①定义法；②线面垂直的性质． (3)线线垂直与线面垂直可相互转化．1．直线与平面垂直的定义，应注意：①定义中的“任何直线”这一条件，②直线与平面垂直是相交中的特殊情况，③利用定义可得直线和平面垂直则直线与平面内的所有直线垂直．2．直线与平面垂直应注意两点：①定理中的条件，是“平面内的两条相交直线”既不能说是“两条直线”，也不能说“无数条直线”．②应用定理的关键是在平面内，找到两条相交直线与已知直线垂直．3．“垂直于同一条直线的两条直线平行”要求涉及到的三条直线在同一个平面内，否则不正确．这告诉我们平面几何中的一些结论推广到空间时不一定成立，需要多加注意．1．一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是( )A．平行B．垂直C．相交不垂直D．不确定解析：选B．一条直线垂直于三角形的两条边，那么这条直线必垂直于这个三角形所在的平面，因而必与第三边垂直．2．l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是( )A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面解析：选B．A答案还有异面或者相交的情况，C、D不一定．3．已知PA垂直于平行四边形ABCD所在平面，若PC⊥BD，平行四边形ABCD一定是．解析：因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD．又因为PC⊥BD，PA∩PC＝P，所以BD⊥平面PAC，所以BD⊥AC，所以平行四边形ABCD一定是菱形．答案：菱形4．点P是等腰三角形ABC所在平面外一点，PA⊥平面ABC，PA＝8，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，则点P到BC的距离是．答案：4 5[学生用书P97(单独成册)])[A 基础达标]1．已知直线a⊥平面α，b∥α，则a与b的关系为( )A．a⊥b，且a与b相交B．a⊥b，且a与b不相交D．a与b不一定垂直解析：选C．过b作平面β，β∩α＝b′，则b∥b′，因为a⊥平面α，所以a⊥b′，所以a⊥b．2．已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是( ) A．m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β⇒α∥βB．α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥nC．m⊥α，m⊥n⇒n∥αD．m∥n，n⊥α⇒m⊥α解析：选D．由直线与平面垂直的判定定理的推论可知D正确．3．E、F分别是正方形ABCD中AB、BC的中点，沿DE、DF及EF把△ADE、△CDF和△BEF 折起，使A、B、C三点重合于一点P，则有( )A．DP⊥平面PEF B．DE⊥平面PEFC．EF⊥平面PEF D．DF⊥平面PEF解析：选A．如图所示，A、B、C三点重合于点P，则PD⊥PE，PD⊥PF，又PE∩PF＝P，所以PD⊥平面PEF．4．如图，设平面α∩平面β＝PQ，EG⊥平面α，FH⊥平面α，垂足分别为G，H．为使PQ⊥GH，则需增加的一个条件是( )A．EF⊥平面αB．EF⊥平面βC．PQ⊥GE解析：选B ．因为EG ⊥平面α，PQ ⊂平面α，所以EG ⊥PQ ．若EF ⊥平面β，则由PQ ⊂平面β，得EF ⊥PQ ．又EG 与EF 为相交直线，所以PQ ⊥平面EFHG ，所以PQ ⊥GH ，故选B ．5．在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，点P 在侧面BCC 1B 1及其边界上运动，并且总保持AP ⊥BD 1，则动点P 的轨迹是( )A ．线段B 1C B ．线段BC 1C ．BB 1中点与CC 1中点连成的线段D ．BC 中点与B 1C 1中点连成的线段解析：选A ．如图，由于BD 1⊥平面AB 1C ，故点P 一定位于B 1C 上．6．如图，▱ADEF 的边AF ⊥平面ABCD ，AF ＝2，CD ＝3，则CE ＝．解析：因为AF ⊥平面ABCD ，AF ∥DE ，所以DE ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以DE ⊥CD ，因为DE ＝AF ＝2，CD ＝3，所以CE ＝22＋33＝13．答案：137．α、β是两个不同的平面，m 、n 是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：①m ∥n ；②α∥β；③m ⊥α；④n ⊥β．以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题： ．答案：⎭⎪⎬⎪⎫m ∥n α∥βm ⊥α⇒n ⊥β 8．如图所示，在矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝a (a ＞0)，PA ⊥平面AC ，且PA ＝1，若BC 边上存在点Q ，使得PQ ⊥QD ，则a 的最小值为 ．解析：因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA ⊥QD ． 若BC 边上存在一点Q ，使得QD ⊥PQ ， 则有QD ⊥平面PAQ ，从而QD ⊥AQ ．在矩形ABCD 中，当AD ＝a <2时，直线BC 与以AD 为直径的圆相离，故不存在点Q ，使PQ ⊥DQ ．所以当a ≥2时，才存在点Q ，使得PQ ⊥QD ．所以a 的最小值为2． 答案：29．如图，在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，AP ＝AB ＝2，BC ＝22，E ，F 分别是AD ，PC 的中点．证明：PC ⊥平面BEF ．证明：如图所示，连接PE ，EC ， 在Rt △PAE 和Rt △CDE 中，因为PA ＝AB ＝CD ，AE ＝DE ，所以PE ＝CE ，即△PEC 是等腰三角形． 又因为F 是PC 的中点，所以EF ⊥PC ． 又因为BP ＝ AP 2＋AB 2＝22＝BC ，F 是PC 的中点，所以BF ⊥PC ．又因为BF ∩EF ＝F ，所以PC ⊥平面BEF ． 10．侧棱垂直于底面的三棱柱ABC A ′B ′C ′满足∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝12AA ′＝2，点M ，N 分别为A ′B ，B ′C ′的中点．(1)求证：MN ∥平面A ′ACC ′； (2)求证：A ′N ⊥平面BCN ； (3)求三棱锥C MNB 的体积． 解：(1)证明：如图，连接AB ′，AC ′，因为四边形ABB ′A ′为矩形，M 为A ′B 的中点，所以AB ′与A ′B 交于点M ，且M 为AB ′的中点，又点N 为B ′C ′的中点，所以MN ∥AC ′， 又MN ⊄平面A ′ACC ′，且AC ′⊂平面A ′ACC ′， 所以MN ∥平面A ′ACC ′．(2)证明：因为A ′B ′＝A ′C ′＝2，点N 为B ′C ′的中点， 所以A ′N ⊥B ′C ′．又BB ′⊥平面A ′B ′C ′，所以A ′N ⊥BB ′， 所以A ′N ⊥平面B ′C ′CB ，所以A ′N ⊥平面BCN ． (3)由图可知V C MNB ＝V M BCN ， 因为∠BAC ＝90°， 所以BC ＝AB 2＋AC 2＝22，S △BCN ＝12×22×4＝42．由(2)及∠B ′A ′C ′＝90°可得A ′N ＝2， 因为M 为A ′B 的中点， 所以M 到平面BCN 的距离为22， 所以V C MNB ＝V M BCN ＝13×42×22＝43．[B 能力提升]11．在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，若E 为A 1C 1的中点，则直线CE 垂直于( ) A ．AC B ．BD C ．A 1DD ．A 1A解析：选B．如图所示，连接AC，BD，因为BD⊥AC，A1C1∥AC，所以BD⊥A1C1，因为BD⊥A1A，A1A∩A1C1＝A1，所以BD⊥平面ACC1A1，因为CE⊂平面ACC1A1，所以BD⊥CE．12．如图所示，PA⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E，F分别是点A在PB，PC上的正投影，给出下列结论：①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC．其中，正确结论的序号是．解析：对于①、③，因为PA⊥平面ABC，故PA⊥BC．又BC⊥AC，故BC⊥平面PAC，从而BC⊥AF．故③正确．又AF⊥PC，故AF⊥平面PBC，所以AF⊥PB，故①正确．对于②，由①知AF⊥PB，而AE⊥PB，从而PB⊥平面AEF，故EF⊥PB．故②正确．对于④，AE与平面PBC不垂直，故④不正确．答案：①②③13．如图，四棱锥PABCD中，O是底面正方形ABCD的中心，侧棱PD⊥底面ABCD，PD ＝DC，E是PC的中点．(1)证明：EO∥平面PAD；(2)证明：DE⊥平面PBC．证明：(1)连接AC，因为点O是底面正方形ABCD的中心，所以点O是AC的中点，又因为E是PC的中点，所以在△PAC中，EO是中位线，所以PA∥EO．因为EO⊄平面PAD，PA⊂平面PAD，所以EO∥平面PAD．(2)因为PD⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以PD⊥BC，因为底面ABCD是正方形，有BC⊥DC，所以BC⊥平面PDC．而DE⊂平面PDC，所以BC⊥DE．因为PD＝DC，可知△PDC是等腰直角三角形，而DE是斜边PC的中线，所以DE⊥PC．又BC，PC⊂平面PBC，且BC∩PC＝C，所以DE⊥平面PBC．14．(选做题)如图，A、B、C、D为空间四点，在△ABC中，AC＝BC，等边三角形ADB 以AB为轴转动，问是否总有AB⊥CD？证明你的结论．解：当△ADB以AB为轴转动时，总有AB⊥CD．证明如下：①当点D在平面ABC内时，因为AC＝BC，AD＝BD，所以C、D都在线段AB的垂直平分线上．所以CD⊥AB．②当点D不在平面ABC内时，取AB中点O，连DO，CO．因为AC＝BC，AD＝BD，所以CO⊥AB，DO⊥AB．又CO∩DO＝O，所以AB⊥平面COD．因为CD⊂平面COD，所以AB⊥CD．综上所述，总有AB⊥CD．。
高中数学垂直关系图解教案
高中数学垂直关系图解教案
目标：学生能够理解和应用垂直关系的相关知识，解决与垂直关系相关的问题。
教学内容：垂直关系
教学步骤：
1.引入：通过展示一幅包含垂直关系的图形，引出垂直关系的概念。
让学生观察图形并讨
论其中的垂直关系。
2.讲解：介绍垂直角、垂直平分线、垂直线段等概念，并通过示意图和实例进行讲解。
帮
助学生理解这些概念在几何问题中的应用。
3.实例演练：提供一些垂直关系的练习题，让学生尝试解答并讨论解题思路。
引导他们通
过观察图形特点、运用几何知识来解决问题。
4.拓展应用：引导学生思考垂直关系在日常生活中的应用，并设计相关问题进行讨论。
鼓
励他们灵活运用垂直关系的知识解决实际问题。
5.总结：通过回顾学习内容和解题思路，总结垂直关系的重要性和应用方法。
同时鼓励学
生在今后的学习中注重观察图形特点，灵活使用垂直关系的知识。
扩展阅读：推荐一些相关的数学教材和参考书籍，帮助学生深入了解垂直关系的更多知识。
注：教师应根据实际教学情况和学生水平调整教学内容和步骤，确保教学效果。
高二第4讲 空间中的垂直关系(教师版)
第4讲空间中的垂直关系（教师版）一．学习目标：1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理.2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题．二．重点难点：重点：线面与面面垂直的判定．难点：线面与面面垂直的证明，特别是通过计算证明垂直关系．三．知识梳理：1．直线与平面垂直(1)直线和平面垂直的定义直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．(2)直线与平面垂直的判定定理及性质定理一条直线与平面内的两条相交直线都垂直，则该直垂直于同一个平面的两条[探究] 1.若两条平行线中的一条垂直于一个平面，那另一条与此平面是否垂直？提示：垂直2.平面与平面垂直的判定定理一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平[探究] 2..垂直于同一平面的两平面是否平行？提示：不一定．可能平行，也可能相交．3．垂直于同一条直线的两个平面一定平行吗？提示：平行．可由线面垂直的性质及面面平行的判定定理推导出．四．典例剖析：题型一线面、面面垂直判断题例1（1）下列命题中，正确的序号是________．①若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；②若直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线；③若直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直；④若平面α内有一条直线与直线l不垂直则直线l与平面α不垂直．[思路探索] 利用线面垂直的定义并结合反例法，反证法判断．解析当l与α内的一条直线垂直时，不能保证l与平面α垂直，所以①不正确；当l与α不垂直时，l可能与α内的无数条平行直线垂直，所以②不正确，③正确．根据线面垂直的定义，若l⊥α则l与α的所有直线都垂直，所以④正确．答案③④（2）(2012·浙江省名校新高考研究联盟第二次联考)下列错误的是( )A．如果平面α⊥平面γ，如果平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥γB．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线垂直于平面βC．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βD．如果平面α⊥平面β，过α内任意一点作交线的垂线，那么此垂线必垂直β解析：D中当过交线上任意一点作交线的垂线不在平面α内时，此垂线不垂直β，故选D.（3）(教材习题改编)PD垂直于正方形ABCD所在的平面，连接PB、PC，PA、AC、BD，则一定互相垂直的平面有( )A．8对B．7对C．6对D．5对解析：选B 由于PD⊥平面ABCD.故平面PAD⊥平面ABCD，平面PDB⊥平面ABCD，平面PDC⊥平面ABCD，平面PDA⊥平面PDC，平面PAC⊥平面PDB，平面PAB⊥平面PAD，平面PBC⊥平面PDC，共7对．课堂小结：(1)线面垂直的定义不易用来判定线面垂直，但能利用它判定线面不垂直．(2)要注意定义的等价性．课堂练习1：（1）下列命题中正确的个数是( )①如果直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α；②如果直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；③如果直线l不垂直于α，则α内没有与l垂直的直线；④如果直线l不垂直于α，则α内也可以有无数条直线与l垂直．A．0 B．1 C．2 D．3答：B（2）下列命题错误的是________(填序号)．①若直线l与平面α内的两条直线垂直，则l⊥α；②若直线l与平面α内的两条相交直线垂直，则l与α的所有直线垂直；③过一点和已知直线垂直的平面有且只有一个；④a、b为异面直线，a∥α，b∥α，若l⊥a，l⊥b，则l⊥α.解析②③④正确，①不正确．答案①（3）(2012·金丽衢十二校第二次联考)已知平面α，β和直线m，给出条件：①m∥α；②m⊥α；③m⊂α；④α⊥β；⑤α∥β.当满足条件时，m⊥β.(填符合条件的序号)解析：当m⊥α且α∥β时，m⊥β，即应当填②⑤.题型二线面垂直的证明——————常运用线面垂直的判定定理证例2（等腰三角形中线即高证垂直）（2013年高考浙江卷（文））如图,在在四棱锥P-ABCD中,PA ⊥面ABCD,AB=BC=2,AD=CD=7,PA=3,∠ABC=120°,G 为线段PC 上的点.(Ⅰ)证明:BD ⊥面PAC ; （2）（3）（略）证明:(Ⅰ)由已知得三角形ABC 是等腰三角形,且底角等于30°,且6030AB CB AD CD ABD CBD ABD CBD BAC BD DB =⎫⎪=⇒∆≅∆⇒∠=∠=∠=⎬⎪=⎭且,所以;、BD AC ⊥,又因为PA ABCD BD PA BD PAC BD AC ⊥⇒⊥⎫⇒⊥⎬⊥⎭; 课堂练习2：（勾股定理证垂直）（2013年高考广东卷（文））如图4,在边长为1的等边三角形ABC 中,,D E 分别是,AB AC 边上的点,AD AE =,F 是BC 的中点,AF 与DE 交于点G ,将ABF ∆沿AF 折起,得到如图5所示的三棱锥A BCF -,其中BC =. (1) 证明:DE //平面BCF ;(2) 证明:CF ⊥平面ABF ;(3) 当23AD =时,求三棱锥F DEG -的体积F DEG V -.图 4【答案】(1)在等边三角形ABC中,AD AE=AD AEDB EC∴=,在折叠后的三棱锥A BCF-中也成立,//DE BC∴,DE⊄平面BCF,BC⊂平面BCF,//DE∴平面BCF;(2)在等边三角形ABC中,F是BC的中点,所以AF BC⊥①,12BF CF==.在三棱锥A BCF-中,2BC=,222BC BF CF CF BF∴=+∴⊥②BF CF F CF ABF⋂=∴⊥平面;(3)由(1)可知//GE CF,结合(2)可得GE DFG⊥平面.11111113232333F DEG E DFGV V DG FG GF--⎛∴==⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=⎝⎭题型三线线垂直的证明——————常转化为证线面垂直例3：（2013年高考课标Ⅰ卷（文））如图,三棱柱111ABC A B C-中,CA CB=,1AB AA=, 160BAA∠= .(Ⅰ)证明:1AB AC⊥;(Ⅱ)若2AB CB==,16AC=,求三棱柱111ABC A B C-的体积.【答案】(I)取AB的中点O,连接OC O、1OA O、1A B,因为CA=CB,所以OC AB⊥,由于AB=A A1,∠BA A1=600,故,AA B∆为等边三角形,所以OA1⊥AB.因为OC⨅OA1=O,所以AB⊥平面OA1C.又A1CC平面OA1C,故AB⊥AC. (II)由题设知12ABC AA B∆∆与都是边长为的等边三角形，12AA B都是边长为的等边三角形，所以2211111.OC OA AC AC OA OA OC ==+⊥又，故111111111,--= 3.ABC ABCOC AB O OA ABC OA ABC A B CABC S A B C V S OA=⊥∆⨯=因为所以平面，为棱柱的高，又的面积ABC的体积课堂练习3：（2013年高考大纲卷（文））如图,四棱锥902,P ABCD ABC BAD BC AD PAB PAD-∠=∠==∆∆中，，与都是边长为2的等边三角形.(I)证明:;PB CD⊥(II)（略）【答案】(Ⅰ)证明:取BC的中点E,连结DE,则ABED为正方形.过P作PO⊥平面ABCD,垂足为O. 连结OA,OB,OD,OE.由PAB∆和PAD∆都是等边三角形知PA=PB=PD, [来源:学科网]所以OA=OB=OD,即点O为正方形ABED对角线的交点, OE BD⊥,从而PB OE⊥.因为O是BD的中点,E是BC的中点, 所以OE//CD.因此,PB CD⊥.题型四面面垂直的证明——————常转化为证线面垂直例4（2013年高考山东卷（文））如图,四棱锥中,,,分别为的中点(Ⅰ)求证:;(Ⅱ)求证:课堂练习4：（2013年高考北京卷（文））如图,在四棱锥P ABCD -中,//AB CD ,AB AD ⊥,2CD AB =,平面PAD ⊥底面ABCD ,PA AD ⊥,E 和F 分别是CD 和PC 的中点,求证:(1)PA ⊥底面ABCD ;(2)//BE 平面PAD ;(3)平面BEF ⊥平面PCD【答案】(I)因为平面PAD⊥平面ABCD,且PA垂直于这个平面的交线AD所以PA垂直底面ABCD.(II)因为AB∥CD,CD=2AB,E为CD的中点，所以AB∥DE,且AB=DE所以ABED为平行四边形,所以BE∥AD,又因为BE⊄平面PAD,AD⊂平面PAD ，所以BE∥平面PAD.(III)因为AB⊥AD,而且ABED为平行四边形所以BE⊥CD,AD⊥CD,由(I)知PA⊥底面ABCD,所以PA⊥CD,所以CD⊥平面PAD[来源:学§科§网]所以CD⊥PD,因为E和F分别是CD和PC的中点所以PD∥EF,所以CD⊥EF,所以CD⊥平面BEF,所以平面BEF⊥平面PCD.题型五线面、面面垂直探究问题例5（2012北京文）如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,D,E分别是AC,AB上的中点, 点F为线段CD上的一点.将△ADE沿DE折起到△A 1DE的位置,使A1F⊥CD,如图2.(1)求证:DE∥平面A1CB;(2)求证:A1F⊥BE;(3)线段A1B上是否存在点Q,使A1C⊥平面DEQ?说明理由.【考点定位】本题第二问是对基本功的考查,对于知识掌握不牢靠的学生可能不能顺利解决.第三问的创新式问法,难度比较大.解:(1)因为D,E分别为AC,AB的中点,所以DE∥BC.又因为DE⊄平面A1CB,所以DE∥平面A1CB.(2)由已知得AC⊥BC且DE∥BC,所以DE⊥AC.所以DE⊥A1D,DE⊥CD.所以DE⊥平面A1DC.而A1F⊂平面A1DC,所以DE⊥A1F.又因为A1F⊥CD,所以A1F⊥平面BCDE.所以A1F⊥BE(3)线段A1B上存在点Q,使A1C⊥平面DEQ.理由如下:如图,分别取A1C,A1B的中点P,Q,则PQ∥BC.又因为DE∥BC,所以DE∥PQ.所以平面DEQ即为平面DEP.由(2)知DE⊥平面A1DC,所以DE⊥A1C.又因为P是等腰三角形DA1C底边A1C 的中点,所以A1C⊥DP,所以A1C⊥平面DEP,从而A1C⊥平面DEQ.故线段A1B上存在点Q,使得A1C⊥平面DEQ.课堂练习5：（2012北京理）如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3,AC=6,D,E分别是AC,AB 上的点,且DE∥BC,DE=2,将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使A1C⊥CD,如图2.(1)求证:A1C⊥平面BCDE;(2)（略）(3)线段BC上是否存在点P,使平面A1DP与平面A1BE垂直?说明理由.、、【考点定位】此题第二问是对基本功的考查,对于知识掌握不牢靠的学生可能不能顺利解答.第三问的创新式问法,难度非常大.解:(1) CD DE ⊥,1A E DE ⊥∴DE ⊥平面1A CD , 又 1AC ⊂平面1A CD , ∴1AC ⊥DE 又1AC CD ⊥, ∴1AC ⊥平面BCDE (3)设线段BC 上存在点P ,设P 点坐标为()00a ，，,则[]03a ∈，则(10A P a =- ，，,()20DP a = ，，设平面1A DP 法向量为()1111n x y z = ，，,则1111020ay x ay ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩∴111112z x ay ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴()136n a =- ， 假设平面1A DP 与平面1A BE 垂直,则10n n ⋅=,∴31230a a ++=,612a =-,2a =-∵03a << ∴不存在线段BC 上存在点P ,使平面1A DP 与平面1A BE 垂直五．品味高考（家庭作业）：1.（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷）设,m n 是两条不同的直线,,αβ是两个不同的平面,下列命题中正确的是（ ）yCA ．若αβ⊥,m α⊂,n β⊂,则m n ⊥B ．若//αβ,m α⊂,n β⊂,则//m nC ．若m n ⊥,m α⊂,n β⊂,则αβ⊥D ．若m α⊥,//m n ,//n β,则αβ⊥ 【答案】D2．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理））已知为异面直线,平面,平面.直线满足,,,l m l n l l αβ⊥⊥⊄⊄,则 （ ）A ．,且B ．,且C ．与相交,且交线垂直于 D ．与相交,且交线平行于【答案】D3.（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题）在空间中,过点A 作平面π的垂线,垂足为B ,记)(A f B π=.设βα,是两个不同的平面,对空间任意一点P ,)]([)],([21P f f Q P f f Q βααβ==,恒有21PQ PQ =,则（ ）A ．平面α与平面β垂直B ．平面α与平面β所成的(锐)二面角为045C ．平面α与平面β平行D ．平面α与平面β所成的(锐)二面角为060【答案】A4.（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题）如图,AB 是圆的直径,PA 垂直圆所在的平面,C 是圆上的点.(I)求证:PAC PBC ⊥平面平面；(II) （略）【答案】（略）5.（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷）本小题满分14分.如图,在三棱锥ABC S -中,平面⊥SAB 平面SBC ,BC AB ⊥,AB AS =,过A 作SB AF ⊥,垂足为F ,点G E ，分别是棱SC SA ，的中点.求证:(1)平面//EFG 平面ABC ; (2)SA BC ⊥.【答案】证明:(1)∵AB AS =,SB AF ⊥∴F 分别是SB 的中点 ∵E.F 分别是SA.SB 的中点 ∴EF∥AB又∵EF ⊄平面ABC, AB ⊆平面ABC ∴EF∥平面ABC ，同理:FG∥平面ABC 又∵EF FG=F, EF.FG ⊆平面ABC∴平面//EFG 平面ABC(2)∵平面⊥SAB 平面SBC ，平面SAB 平面SBC =BCAF ⊆平面SABAF⊥SB ，∴AF⊥平面SBC 又∵BC ⊆平面SBC ∴AF⊥BC 又∵BC AB ⊥, AB AF=A, AB.AF ⊆平面SAB ∴BC⊥平面SAB 又∵SA ⊆平面SAB∴BC⊥SA6.（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷）如图1,在等腰直角三角形ABC中,90A ∠=︒,6BC =,,D E 分别是,AC AB 上的点,CD BE ==O 为BC 的中点.将ADE ∆沿DE 折起,得到如图2所示的四棱锥A BCDE '-,其中A O '=. (Ⅰ) 证明:A O '⊥平面BCDE ; (Ⅱ)（略）【答案】(Ⅰ) 在图1中,易得3,OC AC AD ===.COBDEC DO BE'A 图1 图2ABCSGFE连结,OD OE ,在OCD ∆中,由余弦定理可得OD ==，由翻折不变性可知A D '=所以222A O OD A D ''+=,所以A O OD '⊥,理可证A O OE '⊥, 又OD OE O = ,所以A O '⊥平面BCDE .7.（2013年高考陕西卷（理））如图, 四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形, O为底面中心, A 1O ⊥平面ABCD, 1AB AA ==证明: A 1C ⊥平面BB 1D 1D ; (Ⅱ) （略）解:(Ⅰ) BD O A ABCD BD ABCD O A ⊥∴⊂⊥11,,面且面 ;又因为, 在正方形ABCD中，BD C A AC A C A AC A BD A AC O A BD AC ⊥⊂⊥=⋂⊥11111,，故面且面所以；且在正方形AB CD 中,AO = 1 . .111=∆O A OA A RT 中，在O E C A OCE A E D B 1111111⊥为正方形，所以，则四边形的中点为设.，所以由以上三点得且，面面又O O BD D D BB O D D BB BD =⋂⊂⊂111111E .E ,D D BB C A 111面⊥.(证毕)8.（2013年高考江西卷（理））如图,四棱锥P ABCD -中,PA ,ABCD E BD ⊥平面为的中点,G PD 为的中点，3,12DAB DCB EA EB AB PA ∆≅∆====，1AC D OB E'A H,连接CE 并延长交AD 于F .(1) 求证:AD CFG ⊥平面;解:(1)在ABD ∆中,因为E 是BD 的中点,所以1EA EB ED AB ====, 故,23BAD ABE AEB ππ∠=∠=∠=,因为DAB DCB ∆≅∆,所以EAB ECB ∆≅∆, 从而有FED FEA ∠=∠,故,EF AD AF FD ⊥=,又因为,PG GD =所以FG ∥PA . 又PA ⊥平面ABCD ,所以,GF AD ⊥故AD ⊥平面CFG .。
空间中的垂直关系教案 -回复
空间中的垂直关系教案 -回复适用对象：中小学老师课时：1课时教学目标：1. 学生能够理解垂直关系的概念，并能准确使用相关的术语描述和解释。
2. 学生能够观察和辨别常见的垂直关系，并能在日常生活中找到实际的例子。
3. 学生能够通过小组合作，运用所学知识绘制和解读简单的垂直结构图。
教学准备：1. 黑板/白板和可擦笔2. 教学图片或实物，如墙壁、门、书架、长方体积木等3. 垂直结构图的示例教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入垂直关系的概念：让学生观察教室中的物体，例如桌子、椅子、黑板等，提问学生这些物体之间有什么关系。
2. 引导学生回答：这些物体之间存在一种特殊的关系，即垂直关系。
并解释垂直关系是指两个物体或平面相互正交或垂直交叉的关系。
二、学习和实践（15分钟）1. 呈现垂直关系的实例图片或实物，让学生观察并描述垂直关系。
2. 导入垂直术语：上下、左右、垂直、水平、垂直交叉等。
解释这些术语的意义和使用方法。
3. 学生小组活动：让学生分成小组，依次观察教室中的物体，找出并描述它们之间的垂直关系。
鼓励学生找到尽可能多的例子，并将其描述出来。
1. 引入垂直结构图：教师示范绘制一张简单的垂直结构图，解释结构图中的线段代表垂直关系。
然后让学生跟随示范练习绘图，并描述图中物体之间的垂直关系。
2. 学生个人活动：让学生自选一个日常生活场景，绘制一个垂直结构图，并描述图中物体之间的垂直关系。
3. 学生展示：让学生展示自己绘制的垂直结构图，并向同学们解释图中的垂直关系。
四、归纳总结（5分钟）1. 教师引导学生回顾本节课所学内容，包括垂直关系的定义、相关术语和结构图的绘制。
2. 教师总结学生对垂直关系的理解和应用能力，并强调其在日常生活中的重要性。
五、课堂作业（5分钟）布置课后作业：让学生观察并记录家庭或学校中的垂直关系，了解更多的实际例子，并在下节课上分享。
教学反思与延伸：本节课通过观察、描述、绘图等多种方式帮助学生理解和运用空间中的垂直关系。
小学数学教学教案设计：《认识垂直》
小学数学教学教案设计：《认识垂直》第一章：教学目标1.1 知识与技能：让学生能够识别和理解垂直的概念。
培养学生用垂直的视角观察和描述物体和图形的的能力。
1.2 过程与方法：通过实际操作和观察，让学生体验和理解垂直的特性。
运用图形和实物，培养学生的空间想象能力和思维能力。
1.3 情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣和好奇心，培养学生的探索精神。
培养学生的合作意识和交流能力。
第二章：教学内容2.1 教材分析：教材中应包含有关垂直的定义、特点和示例。
教材应提供丰富的实际问题和图片，帮助学生理解和应用垂直的概念。
2.2 学情分析：学生可能对垂直的概念有一定的了解，但需要进一步的引导和培养。
学生应具备基本的观察和描述能力，能够通过实际操作和观察来理解和应用垂直的概念。
第三章：教学过程3.1 导入：通过引入实际生活中的例子，如墙壁、电线杆等，引发学生对垂直的兴趣和好奇心。
引导学生观察和描述这些例子中的垂直关系，激发学生的思考和交流。
3.2 探究与实践：提供一些图形和实物，让学生通过实际操作和观察，探索和发现垂直的特点和规律。
引导学生用语言描述和解释垂直的关系，培养学生的观察和描述能力。
3.3 巩固与拓展：提供一些练习题，让学生运用垂直的概念进行解答。
引导学生通过实际操作和观察，发现和解决生活中的垂直问题，培养学生的应用能力和解决问题的能力。
第四章：教学评价4.1 课堂评价：在课堂上，通过提问和回答，观察学生的理解和掌握情况。
通过学生的实际操作和描述，评估学生对垂直的概念的理解和应用能力。
4.2 作业评价：对学生提交的练习题进行评分，评估学生对垂直的概念的理解和应用能力。
鼓励学生对自己的作品进行自我评价和反思，培养学生的自我评估和反思能力。
第五章：教学资源5.1 教材：选择适合学生年龄和水平的数学教材，包含有关垂直的定义、特点和示例。
教材应提供丰富的实际问题和图片，帮助学生理解和应用垂直的概念。
5.2 教学工具：使用直尺、量角器等工具，帮助学生观察和测量垂直关系。
《空间中的垂直关系：直线与平面垂直》参考教案
βαm la αaα 1.2.3 直线与平面垂直教学目的：1.理解直线与平面垂直的定义；2.掌握直线与平面垂直的判定、性质定理内容及其应用；3.应用直线与平面垂直的判定、性质定理解决问题 .教学重点：直线与平面垂直的判定、性质定理内容及其应用. 教学难点：直线与平面垂直的判定、性质定理内容及论证过程教学过程：一、复习引入：1.直线和平面的位置关系是什么?观察空间直线和平面可知它们的位置关系有：（1）直线在平面内（无数个公共点）；（2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）；（3）直线和平面平行（没有公共点）它们的图形分别可表示为如下，符号分别可表示为a ⊂α，a ⋂α=A ，a//α.2.线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.推理模式：,,////l m l m l ααα⊄⊂⇒ 3.线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.推理模式：//,,//l l m l αβαβ⊂⋂=⇒ 引入新课:在直线和平面相交的位置关系中,有一种相交是很特殊的,我们把它叫做垂直相交,这节课我们重点来探究这种形式的相交----引出课题.二、研探新知1.观察实例,发现新知现实生活中线面垂直的实例:旗杆与地面的关系，大桥的桥柱与水面的位置关系，房屋的屋柱与地面的关系，都给人以直线与平面垂直的形象。
2.实例研探,定义新知探究:什么叫做直线和平面垂直呢?当直线与平面垂直时，此直线与平面内的所有直线的关系又怎样呢?变换时间观察现实生活中线面垂直的实例:在阳光下观察直立于地面的旗杆及它在地面的影子，随着时间的变化，尽管影子的位置在移动，但是旗杆所在的直线始终与影子所在的直线垂直，就是说，旗杆AB所在直线与地面上任意一条过点B的直线垂直（如图），事实上，旗杆AB所在直线与地面内任意一条不过点B的直线也是垂直的。
1.2.3空间中的垂直关系----平面与平面垂直
C
A
B D
例5：已知Rt ABC中，AB AC a, AD是斜边BC 上的高，以AD为折痕使BDC 成直角（如图）
A A
D B D （1） C B C
（2）
1平面ABD 平面BDC, 平面ACD 平面BDC 求证：
小结
定义：如果两个相交平面的交线与第三个平面 垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的 两条交线互相垂直，就称这两个平面互相垂直。
求证： 平面A1C1FE⊥平面B1D (3) 若G是BB1的中点 求证：平面A1C1G⊥平面B1D
A
D
C
F
E Ｂ G G G G C1 B1
D1
A1
应用举例，强化所学
例1：如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平
面，C是圆周一不同于A，B的任意一点，求证：平面 P PAC⊥平面PBC 证明：设⊙O所在平面为α ， 由已知条件，有 C PA⊥α ，BC在α 内， 所以，PA⊥BC， A O 因为，点C是不同于A，B的任意 一点，AB为⊙O的直径， 所以，∠BCA＝90°，即BC⊥CA 又因为PA与AC是△PAC所在平面内的两条相交直线， 所以，BC⊥平面PAC， 探究：你还能发现哪些面互 又因为BC在平面PBC内， 相垂直？ 所以，平面PAC⊥平面PBC。
例2.求证:如果两个平面互相垂直,那么经过第一个平面 内的一点垂直于第二个平面的直线,在第一个平面内.
已知 : , P , P a, a .求证 : a .
P b a
b a
c
c P
例3. AB是圆O的直径, 点C是圆O上的动点, 过动点 C 的直线VC 垂直于圆O所在平面, D, E分别是 VA,VC的 中点.直线DE与平面VBC 有什么关系 ? 试说明理由.
第一章1.2.3空间中的垂直关系2教案教师版
1.2.3空间中的垂直关系(二)【学习要求】1．理解面面垂直的定义，并能画出面面垂直的图形．2．掌握面面垂直的判定定理及性质定理，并能进行空间垂直的相互转化．3．掌握面面垂直的证明方法，并能在几何体中应用．【学法指导】借助对实例、图片的观察，提炼平面与平面垂直的定义；通过直观感知，操作确认，归纳平面与平面垂直的判定定理及性质定理；通过运用两定理感悟和体验面面垂直转化为线线垂直的思想方法.填一填：知识要点、记下疑难点1．两平面垂直的定义：如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直，就称这两个平面互相垂直．两个平面α，β互相垂直，记作：α⊥β .2．面面垂直的判定定理：如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直．3．面面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．研一研：问题探究、课堂更高效[问题情境]在第一大节，我们曾直观地看到，当一个平面通过另一个平面的垂线时，就给我们两个平面垂直的形象．这一小节我们将进一步研究平面与平面垂直的判定与性质．探究点一两平面垂直的定义及判断问题1如图，已知α∩β＝CD，BA⊥CD, BE⊥CD.那么直线CD与平面ABE有怎样的关系？为什么？答：CD⊥平面ABE.因为AB∩BE＝B，所以AB与BE确定平面ABE，又BA⊥CD, BE⊥CD，所以CD⊥平面ABE.问题2在问题1的图中，当∠ABE是什么角时，给我们两平面互相垂直的印象？答：当∠ABE为直角时；给我们两平面互相垂直的印象．问题3由问题2，你能总结出两平面垂直的定义吗？答：如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条直线互相垂直，就称这两个平面互相垂直．两个平面α，β互相垂直，记作：α⊥β.问题4在问题1的图形中，已知∠ABE为直角，那么直线BA与平面β有怎样的关系？为什么？答：BA⊥β，因为∠ABE为直角，可知BA⊥BE，又BA⊥CD，所以BA⊥β.问题5在问题1的图中，如果平面α过平面β的垂线BA，那么这两个平面是否相互垂直呢？说明理由．答两个平面垂直．理由如下：在平面β内过点B作BE⊥CD，由于BA⊥β，所以BA⊥BE，因此∠ABE为直角．问题6由问题5你能得出怎样的结论？答：平面与平面垂直的判定定理：如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直．问题7如何画两个平面互相垂直的直观图？答：画两个互相垂直的平面，把直立平面的竖边画成和水平面的横边垂直，如图所示，平面α和平面β垂直.例1如图，已知：平面α⊥平面β，在α与β的交线上取线段AB＝4 cm，AC，BD分别在平面α和平面β内，它们都垂直于交线AB，并且AC＝3 cm，BD＝12 cm，求CD的长．解：连接BC，因为BD⊥AB，直线AB是两个互相垂直的平面α 和β的交线，所以BD⊥α，BD⊥BC，所以△CBD是直角三角形，在直角△BAC中，BC＝32＋42＝5；在直角△CBD中，CD＝122＋52＝13.所以CD的长为13 cm.小结：证明面面垂直需根据面面垂直的判定定理转化为证明线面垂直进而转化为证明线线垂直．此外还可用定义法．跟踪训练1如图，在三棱锥V－ABC中，VC⊥底面ABC，D是AB的中点，且AC＝BC，求证：平面V AB⊥平面VCD.证明：因为AC＝BC，所以△ABC是等腰三角形．又D是AB的中点，所以CD⊥AB.又VC⊥底面ABC，AB⊂底面ABC，所以VC⊥AB.因为CD∩VC＝C，CD⊂平面VCD，VC⊂平面VCD，所以AB⊥平面VCD.又AB⊂平面V AB，所以平面V AB⊥平面VCD.例2已知Rt△ABC中，AB＝AC＝a，AD是斜边BC上的高，以AD为折痕使∠BDC成直角(如图)．求证：(1)平面ABD⊥平面BDC，平面ACD⊥平面BDC；(2)∠BAC＝60°.证明： (1)因为AD ⊥BD ，AD ⊥DC, 所以AD ⊥平面BDC.因为平面ABD 和ACD 都过AD ， 所以平面ABD ⊥平面BDC ，平面ACD ⊥平面BDC ；(2)如图(1)中，在直角△BAC 中，因为AB ＝AC ＝a ，所以BC ＝2a, 所以 BD ＝DC ＝22a, 如图(2)，△BDC 是等腰直角三角形， 所以BC ＝2BD ＝a, 所以AB ＝AC ＝BC ，因此∠BAC ＝60°.小结：对于由平面图形折叠而成的几何体，要注意利用平面图形折叠前后有些线段的长度及角的大小不变的性质． 跟踪训练2 如图，在四面体ABCD 中，BD ＝2a ，AB ＝AD ＝BC ＝CD ＝AC ＝a.求证：平面ABD ⊥平面BCD.证明：取BD 中点E ，连接AE ，CE ，则AE ⊥BD ，BD ⊥CE.在△ABD 中，AB ＝a ，BE ＝12BD＝22a ，∴AE ＝22a ，同理，CE ＝22a. 在△AEC 中，AE ＝EC ＝22a ，AC ＝a ，∴AC 2＝AE 2＋EC 2，即AE ⊥EC. 又∵BD∩EC ＝E ，∴AE ⊥平面BCD.又∵AE ⊂平面ABD ，∴平面ABD ⊥平面BCD.探究点二 两平面垂直的性质问题1 设平面α与平面β垂直，α∩β＝CD ，BA ⊂α，BA ⊥CD ，那么BA 是否垂直平面β？答：BA ⊥β，证明如下：如下图，在平面β内过点B 作BE ⊥CD ，因为α⊥β，所以BA ⊥BE ， 又因为BA ⊥CD ，CD∩BE ＝B ，所以BA ⊥β.问题2 由问题1你能归纳出怎样的结论？答：面面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面． 例3 如图所示，P 是四边形ABCD 所在平面外的一点，ABCD 是∠DAB ＝60°且边长为a 的菱形．侧面PAD 为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.(1)若G 为AD 边的中点，求证：BG ⊥平面PAD ；(2)求证：AD ⊥PB.证明：(1)连接PG ，BD ，由题知△PAD 为正三角形，G 是AD 的中点，∴PG ⊥AD.又平面PAD ⊥平面ABCD ，∴PG ⊥平面ABCD ，∴PG ⊥BG .又∵四边形ABCD 是菱形且∠DAB ＝60°，∴△ABD 为正三角形．∴BG ⊥AD.又AD∩PG ＝G ，∴BG ⊥平面PAD.(2)由(1)可知BG ⊥AD ，PG ⊥AD.∴AD ⊥平面PBG ，又∵PB ⊂面PBG ，∴AD ⊥PB.小结：证明线面垂直，除利用定义和判定定理外，另一种重要的方法是利用面面垂直的性质定理证明，应用时应注意：(1)两平面垂直；(2)直线必须在一个平面内；(3)直线垂直于交线．跟踪训练3 如图，已知平面PAB ⊥平面ABC ，平面PAC ⊥平面ABC ，AE ⊥平面PBC ，E 点为垂足．(1)求证：PA ⊥平面ABC ；(2)当E 为△PBC 的垂心时，求证：△ABC 是直角三角形．证明：(1)在△ABC 内取一点D ，作DF ⊥AC 于点F ，因为平面PAC ⊥平面ABC ，且交线为AC ，所以DF ⊥平面PAC ，又PA ⊂平面PAC ，所以DF ⊥AP.作DG ⊥AB 于点G ，同理可证DG ⊥AP.因为DG 、DF 都在平面ABC 内，且DG∩DF ＝D ，所以PA ⊥平面ABC.(2)连接BE 并延长，交PC 于点H.因为E 是△PBC 的垂心，所以PC ⊥BE.又已知AE 是平面PBC 的垂线，所以PC ⊥AE.又BE∩AE ＝E ，所以PC ⊥平面ABE.因为AB ⊂平面ABE ，所以PC ⊥AB.又因为PA ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，所以PA ⊥AB.又PC∩PA ＝P ，所以AB ⊥平面PAC.又AC ⊂平面PAC ，所以AB ⊥AC ，即△ABC 是直角三角形.练一练：当堂检测、目标达成落实处1．下列命题中正确的是(C)A．平面α和β分别过两条互相垂直的直线，则α⊥βB．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条平行直线，则α⊥βC．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条相交直线，则α⊥βD．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β2．设两个平面互相垂直，则(B)A．一个平面内的任何一条直线都垂直于另一个平面B．过交线上一点垂直于一个平面的直线必在另一个平面内C．过交线上一点垂直于交线的直线必垂直于另一个平面D．分别在两个平面内的两条直线互相垂直3．已知四边形ABCD是平行四边形，直线SC⊥平面ABCD，E是SA的中点，求证：平面EBD⊥平面ABCD.证明：连接AC，BD，交点为F，连接EF，EF是△SAC的中位线，∴ EF∥SC.∵SC⊥平面ABCD，∴EF⊥平面ABCD，又EF⊂平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABCD.课堂小结：1．判定面面垂直的方法主要有：(1)面面垂直的定义(使用较少)；(2)面面垂直的判定定理(使用最多)．在证明两个平面垂直时，一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线在现有的图中不存在，则可通过作辅助线来解决．2．空间中的垂直关系相互转化图：3．运用两个平面垂直的性质定理时，一般需作辅助线，基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线，这样把面面垂直转化为线面垂直或线线垂直．。
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1.2.3空间中的垂直关系(一)【学习要求】1．理解直线与平面垂直的定义．2．掌握直线与平面垂直的判定定理及其性质定理．3．会应用两定理解决问题．【学法指导】借助对实例、图片的观察，提炼直线与平面垂直的定义；通过直观感知，操作确认，归纳直线与平面垂直的判定定理及性质定理；通过运用两定理感悟和体验线面垂直转化为线线垂直的思想方法.填一填：知识要点、记下疑难点1．如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点，并且交角为直角，则称这两条直线互相垂直．2．如果一条直线AB和一个平面α相交于点O，并且和这个平面内过交点O的任何直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面互相垂直．这条直线叫做平面的垂线，这个平面叫做直线得垂面，交点叫做垂足，垂线上任意一点到垂足间的线段，叫做这个点到这个平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到平面的距离．3．线面垂直的判定定理：如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直．4．线面垂直的性质定理：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行 .研一研：问题探究、课堂更高效[问题情境]生活中处处都有直线和平面垂直的例子，如旗杆和地面、路灯与地面等等．在判断线面平行时我们有判定定理，那么判断线面垂直又有什么好办法呢？本节我们就来研究这一问题．探究点一直线与平面垂直的定义问题1你能举出在日常生活中给人以直线与平面垂直的例子吗？答：旗杆与地面的关系，给人以直线与平面垂直的形象；大桥的桥柱与水面的位置关系，给人以直线与平面垂直的形象．问题2在平面内，如果两条直线互相垂直，则它们一定相交．在空间中，两条互相垂直的直线也一定相交吗？你能举例说明吗？答：不一定．在空间中，两条互相垂直相交的直线中，如果固定其中一条，让另一条平移到空间的某一个位置，就可能与固定的直线没有公共点，这时两条直线为异面直线，它们同样是互相垂直．小结：空间两直线垂直的定义：如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点，并且交角为直角，则称这两条直线互相垂直．问题3在平面中，到线段AB两端距离相等点的集合是线段的垂直平分线，在空间中，线段AB的垂直平分线有多少条？AB的这些垂直平分线构成的集合是怎样的图形？答：容易发现，空间中线段AB的垂直平分线有无数多条，它们构成的集合是一个平面．问题4结合对下列问题的思考，试着说明直线和平面垂直的意义．(1)如图，阳光下直立于地面的旗杆AB与它在地面上的影子BC的位置关系是什么？随着太阳的移动，旗杆AB与影子BC所成的角度会发生改变吗？答：垂直关系，所成的角度不变，都为90°.(2)旗杆AB与地面上任意一条不过旗杆底部B的直线B′C′的位置关系又是什么？依据是什么？由此得到什么结论？答：垂直关系，依据是空间两直线垂直的定义．得到的结论是：如果一条直线与平面垂直，则这条直线垂直于该平面内的任意一条直线．问题5通过上述分析，你认为应该如何定义一条直线与一个平面垂直？答：直线与平面垂直的定义：如果一条直线AB和一个平面α相交于一点O，并且和这个平面内过交点O的任何直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面垂直．这条直线叫做平面的垂线，这个平面叫做直线的垂面，交点叫做垂足，垂线上一点到垂足间的线段叫做这个点到这个平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到平面的距离．问题6如何画直线与平面垂直？如何用符号表示直线与平面垂直？答：画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直．直线l和平面α互相垂直，记作l⊥α.问题7若直线与平面内的无数条直线垂直，则直线垂直于平面吗？如不是，直线与平面的位置关系如何？答：不一定垂直，有可能平行或者相交．探究点二直线与平面垂直的判定定理问题1通常定义可以作为判定的依据，那么用上述定义判定直线与平面垂直是否方便？为什么？答：不方便，因为要验证直线垂直平面内所有的直线，这实际上是很困难的．问题2请同学们准备一块三角形的纸片，我们一起来做如图所示的试验：过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD、DC与桌面接触)，问：折痕AD与桌面垂直吗？如何翻折才能保证折痕AD与桌面所在平面垂直？答： 从实验可知：当AD 与BC 不垂直时，翻折后的纸片竖起放置在桌面上折痕AD 与桌面不垂直；当AD 与BC 垂直时，翻折后的纸片竖起放置在桌面上折痕AD 与桌面垂直．问题3 由折痕AD ⊥BC ，翻折之后垂直关系不变，即AD ⊥CD ，AD ⊥BD.由此你能得到什么结论？答：若平面外一条直线与平面内两条相交直线垂直且相交，则该直线垂直这个平面．问题4 如图，把AD 、BD 、CD 抽象为直线l 、m 、n ，把桌面抽象为平面α，l 与α垂直的条件是什么？ 答：条件是l 与平面α内的两条相交直线m ，n 垂直且相交．问题5 如图，若α内两条相交直线m 、n 与l 无公共点且l ⊥m 、l ⊥n ，我们可以把直线l 平移到交点处，由此你能给出判定直线与平面垂直的方法吗？答：线面垂直的判定定理：如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直．问题6 如何用符号语言表示直线与平面垂直的判定定理？答： ⎭⎪⎬⎪⎫m ⊂αn ⊂αm∩n ＝P l ⊥m l ⊥n⇒l ⊥α即：线线垂直⇒线面垂直． 例1 已知：a ∥b ，a ⊥α.求证：b ⊥α.证明 在平面α内作两条相交直线m ，n.因为直线a ⊥α，根据直线与平面垂直的定义知a ⊥m ，a ⊥n.又因为b ∥a ，所以b ⊥m ，b ⊥n.又因为m ⊂α，n ⊂α，m ，n 是两条相交直线，所以b ⊥α.小结：推论1：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．跟踪训练1 已知：直线l ⊥平面α，直线m ⊥平面α，垂足分别为A 、B ，如图，求证：l ∥m.证明：假设直线m 不与直线l 平行，过直线m 与平面α的交点B ，作直线m′∥l ，由直线与平面垂直的判定定理的推论可知m′⊥α，设m 和m′确定的平面为β，α与β的交线为a ，因为直线m 和m′都垂直于平面α. 所以直线m 和m′都垂直于交线a.因为在同一平面内，通过直线上一点与已知直线垂直的直线不可能有两条，所以直线m 和m′必重合，即l ∥m.小结：推论2：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行．例2 过一点和已知平面垂直的直线只有一条．已知：平面α和一点P(如下图)．求证：过点P 与平面α垂直的直线只有一条．证明：不论点P 在α外或内，设PA ⊥α，垂足为A(或P)．如果过点P ，除直线PA ⊥α外，还有一条直线PB ⊥α，设PA ，PB 确定的平面为β，且α∩β＝a ，于是在平面β内过点P 有两条直线PA ，PB 垂直于交线a ，这是不可能的．所以过点P 与α垂直的直线只有一条．小结：如果直接证明比较难或感觉无从下手，可以假设结论不成立，然后设出成立的结论，由此推理得出矛盾，从而说明原结论成立．跟踪训练2 已知：直线l ⊥平面α，垂足为A ，直线AP ⊥l. 求证：AP 在平面α内．证明：设AP 与l 确定的平面为β，假设AP 不在平面α内，则设平面β与平面α交于直线AM ，如下图所示：因为l ⊥α，AM ⊂α，所以l ⊥AM ，又因为AP ⊥l ，所以在平面β内过一点A 存在两条直线垂直于l ，这是不可能的，所以AP 在平面α内．例3 有一根旗杆高8 m(如图)，在它的顶点处系两条长10 m 的绳子，拉紧绳子并把它们的下端固定在地面上的两点(与旗杆脚不在同一条直线上)．如果这两点与旗杆脚距 6m ，那么旗杆就与地面垂直，为什么？解：如题图，旗杆PO ＝8，两绳子长PA ＝PB ＝10，OA ＝OB ＝6，A ，O ，B 三点不共线，因此A ，O ，B 三点确定平面α，因为PO 2＋AO 2＝PA 2，PO 2＋BO 2＝PB 2，所以PO ⊥OA ，PO ⊥OB ，又OA∩OB ＝O.所以OP ⊥α，因此旗杆与地面垂直．小结：证明线面垂直的一般思路是依据线面垂直的判定定理，寻找满足定理的条件，当条件满足了，也就证明了线面垂直；线面垂直的定义说明了直线垂直平面，则直线垂直这个平面内的任意直线，常用此性质证，线面垂直线线垂直．跟踪训练3如图，直四棱柱A′B′C′D′—ABCD中，底面四边形满足什么条件时，A′C⊥B′D′？为什么？解：四边形ABCD的两条对角线互相垂直时，A′C⊥B′D′.因A′A⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以A′A⊥BD，又因AC⊥BD，A′A∩AC＝A，所以BD⊥A′C.由B′D′∥BD，得A′C⊥B′D′.练一练：当堂检测、目标达成落实处1．直线a⊥直线b，b⊥平面β，则a与β的关系是(D)A．a⊥β B．a∥βC．a⊂β D．a⊂β或a∥β2．直线l⊥平面α，直线m⊂α，则l与m不可能(A)A．平行B．相交C．异面D．垂直3．如图所示，AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，且AF＝DE，AD＝6，则EF＝________.解析：∵AF、DE垂直于同一平面ABCD，∴AF∥DE，又∵AF＝DE，∴四边形ADEF为矩形，∴EF＝AD＝6.课堂小结：1．直线和平面垂直的判定方法(1)利用线面垂直的定义．(2)利用线面垂直的判定定理．(3)利用下面两个结论：①若a∥b，a⊥α，则b⊥α；②若α∥β，a⊥α，则a⊥β.2．直线和平面垂直的性质定理可以作为两条直线平行的判定定理，可以并入平行推导链中，实现平行与垂直的相互转化，即线线垂直⇒线面垂直⇒线线平行⇒线面平行．3．“垂直于同一平面的两条直线互相平行”、“垂直于同一直线的两个平面互相平行”都是真命题．但“垂直于同一直线的两条直线互相平行”、“垂直于同一平面的两个平面互相平行”都是假命题．。