高中数学必修二（人教B版）：1.2.3《空间中的垂直关系》教案

高中数学必修二（人教B版）：1.2.3《空间中的垂直关系》教案《空间中的垂直关系》教案教学目标1、掌握直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理，并能运用它们进行论证和解决有关的问题；2、掌握平面与平面垂直的概念和判定定理、性质定理，并能运用它们进行推理论证和解决有关问题；3、在研究垂直问题时，要善于应用“转化”和“降维”的思想，通过线线、线面、面面平行与垂直关系的转化，从而使问题获得解决.教学重难点重点：理解空间中三种垂直关系的定义；掌握空间中三种垂直关系判定及性质；用空间中三种垂直关系的定义、判定及性质解决垂直问题.难点：空间中三种垂直关系的判定及性质综合应用.教学过程一、课前预习1、空间中三种垂直关系是哪三种？2、空间中三种垂直关系判定方法？3、列举现实生活中的垂直关系.二、定义与判定方法1、直线与平面垂直的定义：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么就称这条直线和这个平面垂直.2、直线与平面垂直的判定常用方法有：①判定定理：,,,P b a b a =αα α⊥?⊥⊥l b l a l ,.② b ⊥α, a ∥b ?a ⊥α；（线面垂直性质定理）③α∥β,a ⊥β?a ⊥α（面面平行性质定理）④α⊥β，α∩β=l ，a ⊥l ，a ?β?a ⊥α（面面垂直性质定理）3、直线与平面垂直的性质定理：①如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行.（a ⊥α，b ⊥α?a ∥b ）②直线和平面垂直时，那么该直线就垂直于这个平面内的任何直线（b a b a ⊥??⊥αα,）4、点到平面的距离的定义：从平面外一点引这个平面的垂线，这个点和垂足间的线段的长度叫做这个点到平面的距离.特别注意：点到面的距离可直接向面作垂线，但要考虑垂足的位置，如果垂足的位置不能确定，往往采取由点向面上某一条线作垂线，再证明此垂足即为面的垂足.5、平面与平面垂直的定义及判定定理：（1）定义：如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直，就说这两个平面互相垂直.记作：平面α⊥平面β（2）判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.（简称：线面垂直，面面垂直）6、两个平面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.（简称：面面垂直，线面垂直.）思维方式：判定两相交平面垂直的常用方法是：线面垂直，面面垂直；有时用定义也是一种办法.三、典型例题例1、（1）对于直线m、n和平面α、β，α⊥β的一个充分条件是（）A、m⊥n，m∥α，n∥βB、m⊥n，α∩β=m，n?αC、m∥n，n⊥β，m?αD、m∥n，n⊥β，m⊥α（2）设a、b是异面直线，给出下列命题：①经过直线a有且仅有一个平面平行于直线b；②经过直线a有且仅有一个平面垂直于直线b；③存在分别经过直线a和b的两个平行平面；④存在分别经过直线a和b的两个平面互相垂直.其中错误的命题为（）A、①与②B、②与③C、③与④D、仅②（3）已知平面α⊥平面β，m是α内一条直线，n是β内一条直线，且m⊥n，那么，甲：m⊥β；乙：n⊥α丙：m⊥β或n⊥α；丁：m⊥β且n⊥α.这四个结论中，不正确的三个是（）解：（1）对于A，平面α与β可以平行，也可以相交，但不垂直.对B，平面α内直线n垂直于两个平面的交线m，直线n与平面β不一定垂直，平面α、β也不一定垂直.对D，m⊥α，m∥n则n⊥α，又n⊥β，所以α∥β.只有C正确，m∥n，n⊥β则m⊥β又m?α，由平面与平面垂直的判定定理得α⊥β.故选C.（2）①正确，过a 上任一点作b 的平行线b′，则ab′确定唯一平面.②错误，假设成立则b ⊥该平面，而a ?该平面，∴a ⊥b ，但a 、b 异面却不一定垂直. ③正确，分别过a 、b 上的任一点作b 、a 的平行线，由各自相交直线所确定的平面即为所求.④正确，换角度思考两个垂直的平面内各取一直线会出现各种异面形式，综上所述：仅②错误选D（3）丙正确.举反例：在任一平面中作平行于交线的直线m （或n ），在另一平面作交线的垂线n （或m ）即可推翻甲、乙、丁三项.思维点拨：解决这类问题关键是注意这是在空间而非平面内.例2、如图，ABCD 为直角梯形，∠DAB=∠ABC =90°，AB=BC=a ，AD=2a ，PA ⊥平面ABCD.PA=a.（1）求证：PC ⊥CD.（2）求点B 到直线PC 的距离.（1）证明：取AD 的中点E ，连AC 、CE ，则ABCE 为正方形，ΔCED 为等腰直角三角形，∴AC ⊥ CD ，∵PA ⊥平面ABCD ，∴AC 为PC 在平面ABCD 上的射影，∴PC ⊥CD（2）解：连BE ，交AC 于O ，则BE ⊥AC ，又BE ⊥PA ，AC∩PA= A，∴ BE ⊥平面PAC过O 作OH ⊥PC 于H ，则BH ⊥PC ，∵PA=a ，AC=2a,PC=3a ，∴ OH=a aa a 663221=??，∵BO=22a ，∴BH=a OH BO 3622=+即为所求. 例3、在斜三棱柱A1B1C1—ABC 中，底面是等腰三角形，AB=AC ，侧面BB1C1C ⊥底面ABC（1）若D 是BC 的中点，求证AD ⊥CC1；（2）过侧面BB1C1C 的对角线BC1的平面交侧棱于M ，若AM=MA1，求证截面MBC1⊥侧面BB1C1C ；（3）AM=MA1是截面MBC1⊥平面BB1C1C 的充要条件吗？请你叙述判断理由.命题意图：本题主要考查线面垂直、面面垂直的判定与性质.知识依托：线面垂直、面面垂直的判定与性质.错解分析：（3）的结论在证必要性时，辅助线要重新作出.技巧与方法：本题属于知识组合题类，关键在于对题目中条件的思考与分析，掌握做此类题目的一般技巧与方法，以及如何巧妙地作辅助线.（1）证明：∵AB=AC ，D 是BC 的中点，∴AD ⊥BC∵底面ABC ⊥侧面BB1C1C ，∴AD ⊥侧面BB1C1C∴AD ⊥CC1（2）证明：延长B1A1与BM 交于N ，连结C1N∵AM=MA1，∴NA1=A1B1∵A1B1=A1C1，∴A1C1=A1N=A1B1∴C1N ⊥C1B1∵底面NB1C1⊥侧面BB1C1C ，∴C1N ⊥侧面BB1C1C∴截面C1NB ⊥侧面BB1C1C∴截面MBC1⊥侧面BB1C1C（3）解：结论是肯定的，充分性已由（2）证明，下面证必要性.过M 作ME ⊥BC1于E ，∵截面MBC1⊥侧面BB1C1C∴ME ⊥侧面BB1C1C ，又∵AD ⊥侧面BB1C1C∴ME ∥AD ，∴M 、E 、D 、A 共面∵AM ∥侧面BB1C1C ，∴AM ∥DE∵CC1⊥AD ，∴DE ∥CC1∵D 是BC 的中点，∴E 是BC1的中点∴AM=DE=21211=CC AA1，∴AM=MA1即1MA AM =是截面C C BB MBC 111平面⊥的充要条件例4、如图，在正三棱锥A —BCD 中，∠BAC=30°，AB=a,平行于AD 、BC 的截面EFGH 分别交AB 、BD 、DC 、CA 于点E 、F 、G 、H（1）判定四边形EFGH 的形状，并说明理由（2）设P 是棱AD 上的点，当AP 为何值时，平面PBC ⊥平面EFGH ，请给出证明（1）证明：∵AD//面EFGH,面ACD∩面EFGH ＝HG ，AD ?面ACD∴ AD//HG.同理EF ∥HG ，∴EFGH 是平行四边形∵A —BCD 是正三棱锥，∴A 在底面上的射影O 是△BCD 的中心，∴DO ⊥BC ，∴AD ⊥BC ，∴HG ⊥EH ，四边形EFGH 是矩形（2）作CP ⊥AD 于P 点，连结BP ，∵AD ⊥BC ，∴AD ⊥面BCP∵HG ∥AD ，∴HG ⊥面BCP ，HG ?面EFGH 面BCP ⊥面EFGH ，在Rt △APC 中，∠CAP=30°，AC=AB=a,∴AP=23a例5、如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ΔABC 是直角三角形，∠ABC=90°，2AB=BC=BB1=a ，且A1C∩AC1=D，BC1∩B1C=E，截面ABC1与截面A1B1C 交于DE.求证：（1）A1B1⊥平面BB1C1C；（2）A1C⊥BC1；（3）DE⊥平面BB1C1C.证明：（1）∵三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，∴侧面与底面垂直，即平面A1B1C1⊥平面BB1C1C，又∵AB⊥BC，∴A1B1⊥B1C1从而A1B1⊥平面BB1C1C.（2）由题设可知四边形BB1C1C为正方形，∴BC1⊥B1C，而A1B1⊥平面BB1C1C，∴ A1C在平面BB1C1C上的射影是B1C，由三垂线定理得A1C⊥BC1（3）∵直三棱柱的侧面均为矩形，而D、E分别为所在侧面对角线的交点，∴D为A1C的中点，E为B1C的中点，∴DE∥A1B1，而由（1）知A1B1⊥平面BB1C1C，∴DE⊥平面BB1C1C.思维点拨：选择恰当的方法证明线面垂直.四、小结1、直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊情况，应熟练掌握直线与平面垂直的定义、判定定理、性质定理，并能依据条件灵活运用.2、注意线面垂直与线线垂直的关系和转化.3、距离离不开垂直，因此求距离问题的过程实质上是论证线面关系（平行与垂直）与解三角形的过程，值得注意的是“作、证、算、答”是立体几何计算题不可缺少的步骤.在证明两平面垂直时，一般方法是先从现有的直线中寻找平面的垂线；若没有这样的直线，则可通过作辅助线来解决，而作辅助线则应有理论根据并要有利于证明，不能随意添加.在有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直.解决这类问题的关键是熟练掌握“线线垂直”“线面垂直”，“面面垂直”间的转化条件和转化应用.五、课后反思在证明两平面垂直时，一般方法是先从现有的直线中寻找平面的垂线；若没有这样的直线，则可通过作辅助线来解决，而作辅助线则应有理论根据并要有利于证明，不能随意添加.在有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直.解决这类问题的关键是熟练掌握“线线垂直”“线面垂直”，“面面垂直”间的转化条件和转化应用.六、课外作业课后练习A、B.。