5.6几何证明举例(1)
几何证明举例第6节第5课时
5.6.5几何证明举例---HL定理及已知一直角边和斜边作直角三角形的尺规作图学习目标1、进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力；2、能够证明直角三角形全等的“HL”判定定理及解决实际问题。
教学重点应用直角三角形全等的“HL”判定定理解决问题。
教学难点证明“HL”定理的思路的探究和分析。
教学过程（一）初步探究：HL的证明有两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等吗？如果其中一个角是直角呢？写出你的证明过程？（二）HL应用：用三角尺可以作角平线如图，在已知∠AOB的两边上分别取点M、N，使OM=ON，再过点M作OA的垂线，过点N作OB的垂线，两垂线交于点P，那么射线OP就是∠AOB的平分线，你能说出它的理由吗？（三）再次探究：三角形全等条件的探索如图，已知∠ACB=BDA=90°，要使△ACB≌△BDA，还需要什么条件？把它们分别写出来。
（四）尺规作图：已知线段l，m（l＜ｍ），求作：Ｒｔ△ＡＢＣ，使直角边ＡＣ等于ｌ，斜边ＡＢ等于ｍ。
（五）课堂练习1、判断下列命题的真假，并说明理由。
（1）两个锐角对应相等的两个直角三角形全等。
（2）斜边及一锐角对应相等的两个直角三角形全等。
（3）两条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
（4）一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形全等。
2.如右图，在Rt△ABC和Rt△DCB中，AB=DC，∠A=∠D=90°，AC与BD交于点O，则有△__________≌△__________，其判定依据是__________，还有△__________≌△__________，其判定依据是__________.（六）当堂检测1、已知：如图（1），AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E，F，AE=DF，AB=DC，则△__________≌△__________（HL）.（1）（2）（3）2、已知：如图（2），BE，CF为△ABC的高，且BE=CF，BE，CF交于点H，若BC=10，FC=8，则EC=__________.3、已知：如图（3），AB=CD，DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，且DE=BF，∠D=60°，则∠A=（_______）反思。
5.6几何证明举例(1)
，
• 则能使△ABD≌△ACD（任加一条件）
• （4）如图AB=CD,DE=AF,CF=BE,∠AFB=60°，
• ∠CDE=80°,那么∠ABC
。
D
（第3题）
小结
判定三角形全等的方法有:
“ASA”, “ AAS”,“SAS” “SSS”.
利用三角形全等可以得到线段相等或角相等.
再见
2021/6/20
证明：∵∠B=∠B′, ∠C=∠C′
（已知）
∴∠A=∠A′ （三角形内角和定理）
在△ABC与△ABC中， ∠A=∠A′ （已证） AB=A′B′ （已知） ∠B=∠B′ （已知）
∴△ABC≌△ABC （ASA）
已知：如图，AB=CB, AD=CD. 求知：∠A=∠C
2021/6/20
5
全全等全等三等三角三角形角形对形对应对应边应边上角上的的的高平中相分线等线相相等等
B(E)
F A
C
O Dபைடு நூலகம்
达标测评：
• 1、选择题：
• （1）（2011江西南昌）如图
• 下列条件中，不能证明△ABD≌△ACD的是（ ）
.
• A.BD=DC，AB=AC
B.∠ADB=∠ADC，BD=DC
• C.∠B=∠C，∠BAD=∠CAD D.∠B=∠C，BD=DC
• （2）下列各组条件中，可保证ΔABC与ΔA′B′C′全等的是（ ）
.
情境导入
• 如图，某同学把一把三角形的玻璃打碎成了三块， • 现在要到玻璃店去配一块大小形状完全一样的玻璃， • 那么最省事的办法是（ ） • (A)带①和②去 (B)带①去 • (C)带②去 (D)带③去 •
你还记得有关全等三角形的 几个公理吗?
《几何证明举例》教案 (公开课获奖)
§5.6 几何证明举例（2）教学目标：1. 学生能够证明等腰三角形的性质定理和判定定理。
2. 会运用等腰三角形的性质和判定进行有关的证明和计算。
3. 应用等腰三角形的性质和判定进一步认识等边三角形。
4. 培养学生分析问题和逻辑推理的能力。
教学重、难点：重点：会证明等腰三角形的性质定理和判定定理。
难点：等腰三角形的性质定理和判定定理的应用。
教学准备：电子白板、直尺、圆规、直角三角板教学过程一、情境导入、复习回顾1、等腰三角形的性质是什么，这个命题的逆命题是什么？二、交流展示(鼓励学生自己写出证明的过程，注意几何证明的三步)（1）“等腰三角形的两个底角相等”是真命题吗？怎样证明。
证明：等腰三角形的两个底角相等。
已知：如图，在△ABC中，AB=AC求证：∠B=∠C法1证明：过点A作∠BAC的角平分线交BC于点D∴∠BAD = ∠CAD (角平分线定义)在△BAD与△CAD中∵AB = AC (已知)∠BAD = ∠CAD (已证)AD = AD (公共边)∴△BAD≌△CAD(SAS)∴∠ B = ∠ C (全等三角形对应角相等)法2证明：作BC边上的中线 AD∴ BD = CD (中线定义)在△BAD与△CAD中∵AB = AC (已知)BD = CD （已证）AD = AD (公共边)∴△BAD≌△CAD( SSS )∴∠B = ∠ C (全等三角形对应角相等)（2）“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是真命题吗，怎样证明它的正确性？证明：有两个角相等的三角形是等腰三角形。
已知：如图，在如图，在△ABC中，∠B=∠C求证：AB=AC证明：作AD⊥BC,垂足为D则∠ADB=∠ADC=90°(垂直的定义)，在△ABD和△ACD中，∵∠B=∠C (已知)，∠ADB=∠ADC=90°(已证)AD=AD (公共边)∴△ABD≌△ACD (AAS)∴AB=AC(全等三角形的对应边相等)(3) 利用等腰三角形的性质定理和判定定理证明：(鼓励学生当老师讲给其他同学听)①等边三角形的每个内角都是60°②三个角都相等的三角形是等边三角形。
全国通用版中考数学：勾股定理有关的几何证明(一)—详解版
【例1】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AM是中线，MN⊥AB，垂足为点N，求证：AN2-BN2=AC2．证明：∵MN⊥AB于N，∴BN2=BM2-MN2，AN2=AM2-MN2，∴BN2-AN2=BM2-AM2，又∵∠C=90°，∴AM2=AC2+CM2 ，∴BN2-AN2=BM2-AC2-CM2，又∵BM=CM，∴BN2-AN2=-AC2，即AN2-BN2=AC2．【例2】四边形ABCD，AC⊥BD ，探究AB2，CD2，BC2，AD2之间的数量关系．【解析】AD2+BC2=AB2+CD2，设AC与BD的交点为E∵AC⊥BD，∴∠AED=∠AEB=∠BEC=∠CED=90°，由勾股定理得，AD2+BC2=AE2+DE2+BE2+CE2，AB2+CD2=AE2+BE2+CE2+DE2，∴AD2+BC2=AB2+CD2；故答案为：AD2+BC2=AB2+CD2，1.我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°，得到△DBE，连接AD，DC，∠DCB=30°．求证：四边形ABCD是以DC、BC为勾股边的勾股四边形．证明：连接CE，∵△DBE是由△ABC的顶点B按顺时针方向旋转60°而得，∴AC=DE，BC=BE，∠CBE=60°，∴△BCE是等边三角形，∴∠BCE=60°，EC=BC，又∵∠DCB=30°，∴∠DCE=90°，∴在Rt△DCE中，DE2=DC2+CE2∴AC2=DC2+BC2即四边形ABCD是以DC，BC为勾股边的勾股四边形．2.在△ABC中，AD⊥BC于D，求证：AB2+CD2=AC2+BD2．证明：在Rt△ABD中，根据勾股定理得：AB2-BD2=AD2；在Rt△ACD中，根据勾股定理得：AC2-CD2=AD2，∴AB2-BD2=AC2-CD2=AD2，则AB2+CD2=AC2+BD2．3.如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D是BC边上任意一点，求证：BD2+CD2=2AD2．证明：作AE⊥BC于E，如图所示：∵在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，1BC，∴BE=CE=AE=2∴BD2+CD2=（BE+DE）2+（CE-DE）2=2AE2+2DE2=2AD2．4.如图，在△ABC中，∠C=90°，点P、Q分别在BC、AC上，求证：AP2+BQ2=AB2+PQ2．证明：∵在RT△APC中，AP2=AC2+CP2，在RT△BCQ中，BQ2=BC2+CQ2，∴AP2+BQ2=AC2+CP2+BC2+CQ2，∵在RT△ABC中，AC2+BC2=AB2，在RT△APC中，PC2+CQ2=PQ2，∴AP2+BQ2=AC2+CP2+BC2+CQ2=AB2+PQ2．5.如图，在△ABC中，∠C=90°，D是AC的中点，DE⊥AB于点E．求证：BC2=BE2-AE2．证明：连接BD，∵D是AC的中点，∴CD=AD．∵∠C=90°，DE⊥AB，∴BE2-AE2=（BD2-DE2）-（AD2-DE2）=BD2-AD2=（BC2+CD2）-AD2=BC2．【例1】在△ABC中，以AB为斜边，作Rt△ABD，使点D落在△ABC内，∠ADB=90°，AD=BD，过点D的直线交AC于点E，交BC于点F，EF⊥AC，且AE=EC，请直接写出线段BF、FC、AD之间的关系（不需要证明）．证明：BF2+FC2=2AD2，理由：如图3，连接AF、CD．∵EF⊥AC，且AE=EC，∴FA=FC，∠FAC=∠FCA，∵EF⊥AC，且AE=EC，∴∠DAC=∠DCA，DA=DC，∵AD=BD，∴BD=DC，∴∠DBC=∠DCB，∵∠FAC=∠FCA，∠DAC=∠DCA，∴∠DAF=∠DCB，∴∠DAF=∠DBC，∴∠AFB=∠ADB=90°，在Rt△ADB中，DA=DB，∴AB2=2AD2，在Rt△ABF中，BF2+FA2=AB2=2AD2，∵FA=FC∴BF2+FC2=2AD2．【例2】如图，∠C=90°，AM=CM，MP⊥AB于点P，求证：BP2=AP2+BC2．证明：∵△ABC是直角三角形，∠C=90°，∴AB2=BC2+AC2，则AB2-AC2=BC2．又∵在直角△AMP中，AP2=AM2-MP2，∴AB2-AC2+（AM2-MP2）=BC2+（AM2-MP2）．又∵AM=CM，∴AB2-AC2+（AM2-MP2）=BC2+（MC2-MP2），①∵△APM是直角三角形，∴AM2=AP2+MP2，则AM2-MP2=AP2，②∵△BPM与△BCM都是直角三角形，∴BM2=BP2+MP2=MC2+BC2，MC2+BC2-MP2=BM2-MP2=BP2，③把②③代入①，得AB2-AC2+AP2=BP2，即BP2=AP2+BC2．1.如图，已知AM是△ABC的BC边上的中线，证明：AB2+AC2=2（AM2+MC2）．证明：过点A作AD⊥BC于点D，在Rt△ABD中，AB2=AD2+BD2①，在Rt△ACD中，AC2=AD2+CD2②，由①+②得：AB2+AC2=2AD2+BD2+CD2，在Rt△ADM中，AD2=AM2-DM2，则AB2+AC2=2AM2-2DM2+BD2+CD2，∵AM是△ABC的BC边上的中线，∴BM=MC，∴BD2=（BM+DM）2=（MC+DM）2=MC2+2MC•DM+DM2，CD2=（MC-DM）2=MC2-2MC•DM+DM2，∴AB2+AC2=2AM2-2DM2+MC2+2MC•DM+DM2+MC2-2MC•DM+DM2，∴AB2+AC2=2AM2+2MC2=2（AM2+MC2）．2.在△ABC中，AB=AC．（1）如图，若点P是BC边上的中点，连接AP．求证：BP•CP=AB2-AP2；（2）如图，若点P是BC边上任意一点，上面（1）的结论还成立吗？若成立，请证明、若不成立，请说明理由；（3）如图，若点P是BC边延长线上一点，线段AB，AP，BP，CP之间有什么样的数量关系？画出图形，写出你的结论．（不必证明）（1）证明：∵AB=AC，P是BC的中点，∴AP⊥BC，∴AB2-AP2=BP2=BP•CP；（2）成立，理由如下：如图所示，过点A作AD⊥BC于D，∵AB=AC，∴BD=CD在Rt△ABD中，AB2=AD2+BD2①在Rt△APD中，AP2=AD2+PD2②①-②得：AB2-AP2=BD2-PD2=（BD+PD）（BD-PD）=PC•BP；（3）结论：AP2-AB2=BP•CP．如图所示，理由如下：P是BC延长线任一点，连接AP，并做AD⊥BC，交BC于D，∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=CD，在Rt△ABD中，AB2=AD2+BD2，在Rt△ADP中，AP2=AD2+DP2，∴AP2-AB2=（AD2+BD2）-（AD2+DP2）=PD2-BD2，又∵BP=BD+DP，CP=DP-CD=DP-BD，∴BP•CP=（BD+DP）（DP-BD）=DP2-BD2，∴AP2-AB2=BP•CP．3.已知AM是△ABC的中线．（1）求证：AB2+AC2=2（AM2+BM2）；（2）若AD是高，求证：AB2-AC2=2BC•MD．证明：（1）在Rt△ABD中，AB2=AD2+BD2①，在Rt△ACD中，AC2=AD2+CD2②，由①+②得：AB2+AC2=2AD2+BD2+CD2，在Rt△ADM中，AD2=AM2-DM2，则AB2+AC2=2AM2-2DM2+BD2+CD2，∵AM是△ABC的BC边上的中线，∴BM=MC，∴BD2=（BM+DM）2=（MC+DM）2=MC2+2MC•DM+DM2，CD2=（MC-DM）2=MC2-2MC•DM+DM2，∴AB2+AC2=2AM2-2DM2+MC2+2MC•DM+DM2+MC2-2MC•DM+DM2，∴AB2+AC2=2AM2+2BM2=2（AM2+BM2）．（2）∵AD是高，∴△ABD和△ACD是直角三角形，∴AB2=BD2+AD2，AC2=AD2+DC2，∴AB2-AC2=BD2-DC2=（BD+CD）（BD-CD）=BC（BM+MD-CD），∵AM是中线，∴AB2-AC2=BC（CM+MD-CD）=BC（MD+MD）=2BC•MD．。
青岛版八年级数学上册同步练习附答案5.6 几何证明举例
5.6 几何证明举例1. 如图，在△ABC中，BC的垂直平分线交BC于点D，交AB的延长线于点E，连接CE. 求证：∠BCE=∠A +∠ACB .（第1题图）2. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB边的垂直平分线DE交BC于点E，垂足为D. 求证：∠CAB=∠AED.（第2题图）3. 如图，在△ABC中，分别作AB边，BC边的垂直平分线，两线相交于点P，分别交AB 边，BC边于点E，F．求证：AB，BC，AC的垂直平分线相交于点P．（第3题图）4. 如图，在△ABD中，∠BAC= 90°，AD⊥BC于点D，∠ABC的平分线BF交AD于点E，交AC于点F，FH⊥BC于点H. 求证：AE =FH.（第4题图）5. 如图，点D，E分别在△ABC的边AB，AC上，AB=AC.（1）如果DE∥BC，求证：AD=AE.（2）如果AD=AE，求证：DE∥BC.（第5题图）6. 如图，AB=AC，DB=DC. 求证：∠B=∠C.（第6题图）7. 如图，E，F是线段BC上两点，AB∥CD，AB=DC，CE=BF. 求证：AE=DF.（第7题图）8. 如图，DE∥BC，A是DE上一点，AD=AE，AB=AC. 求证：BE=CD.（第8题图）9. 如图，在△ABD中，AC⊥BD，垂足为C，AC=BC，点E在AC上，且CE=CD. 连接BE 并延长交AD于点F. 求证：BF⊥AD.（第9题图）10. 如图，AC与BD相交于点O，且AC=BD，AD=BC. 求证：OA=OB.（第10题图）答案1. 证明：∵BC 的垂直平分线交BC 于点D ， ∴BE =CE ， ∴∠BCE =∠CBE .∵∠CBE =∠A +∠ACB ，∴∠BCE =∠A +∠ACB .2. 证明：∵DE 是AB 的垂直平分线，∴EA =EB ， ∴∠EAB =∠B .∵∠C =90°，∴∠CAB +∠B =90°.又∵∠AED +∠EAB =90°，∴∠CAB =∠AED .3.证明：∵P 是AB 边的垂直平分线上的一点， ∴P A = PB ．同理可得，PB = PC ．∴P A =PC ．∴P 是AC 边的垂直平分线上的一点． ∴AB ，BC ，AC 的垂直平分线相交于点P ．4. 证明：∵BF 平分∠ABC ，F A ⊥AB ，FH ⊥BC ， ∴F A =FH ，∠ABF =∠EBD .又∵∠AFB +∠ABF = 90°，∠DEB +∠EBD = 90°， ∴∠AFB =∠DEB ，∴∠AFB =∠AEF .∴AF =AE .∴AE =FH .5. 证明：（1）∵AB =AC ，∴∠B =∠C .∵DE ∥BC ，∴∠B=∠ADE ，∠C=∠AED .∴∠ADE=∠AED ，∴AD =AE .（2）∵AD =AE ，∴∠ADE=∠AED=21（180°-∠A ）. ∵AB =AC ，∴∠B =∠C=21（180°-∠A ）. ∴∠B=∠ADE ，∴DE ∥BC .6. 证明：连接AD .在△ABD 和△ACD 中，⎪⎩⎪⎨⎧===，，，AD AD DC DB AC AB∴△ABD ≌△ACD （SSS ），∴∠B =∠C .7. 证明：∵CE =BF ，∴CE+EF =BF+EF ，即CF =BE .∵AB ∥CD ，∴∠B =∠C .在△ABE 和△DCF 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=，，，CF BE C B DC AB∴△ABE ≌△DCF （SSS ），∴AE =DF .8. 证明：∵AB =AC ，∴∠ABC =∠ACB .∵BC ∥DE ，∴∠DAB =∠ABC ，∠EAC =∠ACB ， ∴∠DAB =∠EAC ，∴∠DAC =∠EAB .在△DAC 和△EAB 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=，，，AC AB EAC DAC AE AD∴△DAC ≌△EAB （SAS ），∴BE =CD .9. 证明：∵AC ⊥DB ，∴∠BCE =∠ACD = 90°.在△BCE 和△ACD 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=，，，AC BC BCE ACD CD CE∴△BCE ≌△ACD （SAS ），∴∠CBE=∠CAD . ∵在△ACD 中，∠CAD +∠ACD +∠D= 180°， 在△BDF 中，∠CBE +∠BFD +∠D= 180°，∴∠CAD +∠ACD +∠D=∠CBE +∠BFD +∠D= 180°， ∴∠ACD=∠BFD=90°，即BF ⊥AD .10. 证明：连接AB .在△ABD 和△BAC 中，⎪⎩⎪⎨⎧===，，，BA AB BC AD AC BD∴△ABD ≌△BAC （SSS ），∴∠BDA=∠ACB .在△AOD 和△BOC 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠，，，BC AD OCB ODA BOC AOD∴△AOD ≌△BOC （AAS ），∴OA=OB .。
5.6几何证明举例(2)教案
青岛版八年级数学上册第五章《几何证明初步》《5.6几何证明举例》第二课时教学设计高唐县第二实验中学王春娥5.6几何证明举例（2）【教学目标】1．证明等腰三角形的性质定理及判定定理；等边三角形的性质定理及判定定理.理解上述定理的作用，并会运用上述定理，证明有关的命题.2．掌握基本的证明方法，会通过分析的方法探索证题的思路.3．进一步体会通过合情推理探索数学结论，运用演绎推理加以证明的过程，发展推理的能力.【教学重点】等腰三角形证明思路的分析和步骤的叙述.【教学难点】等腰三角形证明思路的分析和步骤的叙述.【教学措施】以多媒体为教学平台，采用启发式教学与师生互动式教学模式.通过精心设计的问题与活动，不断创造思维兴奋点，让学生在学习过程中探索证明的方式方法.教给学生多观察、勤动手、肯钻研的研讨式学习方法，使学生在动脑、动手、动口的过程中获得充足的体验与发展，从而提高学生的学习主动性与积极性.【教学过程】一、创设情境、导入新课播放微课视频前，向学生提出问题：从视频中可以知道哪些知识？提出问题：刚才视频中提到的“等边对等角”指的是什么？（等腰三角形的两个底角相等）你还记得这条性质是怎样得到的吗？不妨用你手中的等腰三角形卡纸再体验一下吧.你能用基本事实以及已有的定义和定理，对它的真实性进行证明吗？设计意图：向学生抛出问题，让学生在动脑、动手、动口的过程中感受合情推理获取结论的过程，为本节课演绎推理做好铺垫，以此激发学生的探究欲望，调动学生的学习兴趣.二、合作交流、探求新知【活动一】证明：等腰三角形的两个底角相等.思考：1.这个命题的条件和结论分别是什么？为了推理时叙述方便，我们还要把文字语言“翻译”成图形语言和数学符号语言，怎样画图？怎样写出已知和求证？（引导学生按着几何证明的三个步骤，先画出图形、写出已知和求证）2.由折叠的操作方法启发学生，让他们意识到折痕也就是我们要添加的辅助线，并在学生交流的基础上给出小莹的证法：已知：如图,在△ABC中,AB=AC.求证：∠B=∠C证明：作∠A的平分线AD，与BC交于点D则∠BAD= ∠CAD（角平分线的定义）在△ABD和△ACD中，∵AB=AC（已知）∠BAD= ∠CAD（已证）AD=AD（公共边）∴△ABD≌△ACD（SAS）∴∠B=∠C（全等三角形对应角的定义）你同意她的证法吗？你还能给出其他的证法吗？选学生代表发言.通过证明，我们得到等腰三角形的性质定理1 等腰三角形的两个底角相等.符号表示：在△ABC中，∵AB=AC（已知）∴∠B=∠C（等腰三角形的两个底角相等）设计意图：通过折纸引导学生回顾第2章探索“等腰三角形的两个底角相等”的过程，启示学生怎样添加辅助线.通过证明让学生感受演绎推理和利用轴对称性探索结论二者的不同，也为后面验证“等腰三角形的性质定理2”做好铺垫.【活动二】在刚才的证明方法中，分别是怎样添加辅助线的？请体会添加辅助线对于证明上面命题的结论起到了什么作用？小组简单交流后，选代表发言：这些证法都是通过添加辅助线，使等腰三角形的两个底角分别成为两个全等三角形的对应角.借助小莹的证明过程，师生共同完成等腰三角形的性质定理2的推理过程，得到CBADCBA等腰三角形的性质定理2：等腰三角形底边上的高、中线及顶角的平分线重合. 设计意图：在等腰三角形性质定理2的推理验证的过程中，进一步体会添加辅助线的作用，给学生证明方法的引领，感受几何证明的方式.【活动三】证明：有两个角相等的三角形是等腰三角形.思考：你能说出等腰三角形性质定理1的逆命题吗？你能证明它是真命题吗？教师引导学生说出等腰三角形性质定理1的逆命题，然后让学生独立写出已知、求证及证明过程.并借助投影仪展示学生的推理过程，得到等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形.符号表示：在△ABC中，∵∠B=∠C （已知）∴ AB=AC（有两个角相等的三角形是等腰三角形）教师结合性质定理1，说明两个定理的联系、区别和应用.设计意图：通过对判定定理的证明，让学生明确证明的思路及证明过程的表述.在证明完成后，教师再指出性质定理1与判定定理的联系、区别和应用，为后面的“学以致用”做好铺垫.三、巩固提升、学以致用1.利用等边三角形的定义和等腰三角形的性质定理证明：等边三角形的性质定理：等边三角形的每个内角都等于60°教师引导学生应用等边三角形的定义和等腰三角形的性质定理进行推理证明.2. 利用等边三角形的定义和等腰三角形的判定定理证明：等边三角形的性质定理：三个角都相等的三角形（或有一个角是60°的等腰三角形）是等边三角形让学生分别按演绎证明的格式完整、规范的写出它们的证明过程，小组进行交流，选代表发言.在此基础上，教师引导学生分析等边三角形两个判定定理的条件的区别，明确它们分别在什么情况下适用.设计意图：巩固等腰三角形的性质定理和判定定理，借助等边三角形性质定理和判定定理的证明，让学生进一步感受演绎推理的方式方法. CBA四、典例精析、提炼升华例2：已知：在△ABC中，AB=AC，D是AB上的一点，DE ⊥BC，交BC于点E，交CA的延长线于点F.求证：AD=AF教师引导学生利用等腰三角形的性质定理和判定定理进行证明.通过证明向学生提出问题思考：在证明角的相等或线段的相等时，除利用全等三角形外，还可利用什么图形和定理？设计意图：通过例2让学生体会等腰三角形的性质定理和判定定理在证明角相等和线段相等中的作用，提示学生克服一概依赖全等三角形证线段或两角相等的思维定势.五、反思梳理、画龙点睛回顾学习活动，形成自主反思，让学生总结交流本节课的收获.设计意图：鼓励学生积极大胆发言，培养学生的语言表达能力；引导、帮助学生建构起比较完善的知识结构.六、当堂测试、检查效果已知：如图所示,C为△ABD内一点，且有AB=AD, ∠ABC=∠ADC.求证：BC=DC设计意图：检测学生对本节课所学内容的掌握情况.七、分层作业、各有所得A层：P180第1、2题 P187第5题B层： P180挑战自我设计意图：通过分层作业的设置，对不同学生提出不同要求，使“不同的学生在数学上得到不同发展”.八、板书设计、规范细节5.6几何证明举例（2）。
八年级数学上册5.6几何证明举例教案(新版)青岛版.doc
5.6 几何证明举例具体设计内容1、经历探索直角三角形全等条件的过程，学会运用“HL”解决实际问题。
教学目的2、掌握“H L”定理并运用定理解决问题，体会证明的必要性。
3、感受数学思想，激发学生的求知欲，使学生体会到逻辑推理的应用价值。
重点：掌握判定直角三角形全等的特殊方法.难点：证明“H L”定理的思路探究和分析。
教学重点难点一、1、复习引入：舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量．(1) 如果他只带了一个卷尺，能完成这个任务吗？(2) 工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边，发现它们分别对应相等，于是他就肯定“两个直角三角形是全等的”，你相信他的结论吗？2、做一做：已知∠C=900; 线段a= 7cm, 线段b=12cm.求作：Rt △ABC，使∠C =∠1 ，CA=a=7cm,AB=b=12cm1、画∠MCN= ∠1=90°;2、在射线CN上截取CA=7cm;3、以A 为圆心，12cm为半径画弧，交射线CM于点B;教学4、连结AB;过程即△ABC为所求三角形二：探究解读：规律：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简写成“斜边、直角边”或“H L”）．A A'B'BC'C/ B/ C/中几何语言：在Rt△ABC和Rt△A∵AB= A/ / C/B/ ,AC =A/ B/ ,AC =A∴Rt △ABC ≌ Rt △ A/ B / C / （H L ）．定理证明：证明：在 Rt △ABC 中，∠ C=90°∴BC2=AB 2－AC 2( 勾股定理 ) ．同理 , B / C /2 = A / B /2 -A / C / 2∵AB=A/ B /， AC=A / C / / C/ ∴BC=B∴Rt △ABC ≌ Rt △ A/ B / C / (SSS)结，得。
中考几何证明与计算(1)
专题----<<几何>>证明与计算（1）1,在正方形ABCD中，AB=4 ,AC为对角线，E为AC上一点，连接EB、ED．（1）求证：△BEC≌△DEC；F，当∠BED=120°时，求△AEF的面积2, 如图,四边形ABCD是边长为2的正方形，点G是BC延长线上一点，连结AG，点E、F分别在AG上，连接BE、DF，∠1=∠2，∠3=∠4．（1）证明：△ABE≌△DAF；（2）若∠AGB=30°，求EF的长．3,已知：如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC和CD上，AE = AF．（1）求证：BE = DF；（2）连接AC交EF于点O，延长OC至点M，使OM = OA，连接EM、FM．判断四边形AEMF是什么特殊四边形？并证明你的结论．4, 如图，一个含45°的三角板HBE的两条直角边与正方形ABCD的两邻边重合，过E点作EF⊥AE交∠DCE的角平分线于F点，试探究线段AE与EF的数量关系，并说明理由。
125. 在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且∠BAE=30º,∠DAF=15 º.（1）求证： EF=BE+DF ； （2）若AB=3,求△AEF 的面积。
6,如图，已知在正方形ABCD 中，AB=2，P 是边BC 上的任意一点，E 是边BC 延长线上一点，E 是边BC 延长线上一点，连接AP ，过点P 作PF 垂直于AP ，与角DCE 的平分线CF 相交于点F ，连接AF ，于边CD 相交于点G ，连接PG 。
（1）求证：AP=FP（2）当BP 取何值时，PG//CFE7,如图，在ABC ∆中，点D 为射线BC 上一动点，连接AD ，以AD 为一边且在AD 的右侧作正方形ADEF ．如果,90,AB AC BAC =∠=//点D 在线段BC 上运动．且45BCA ∠= 时，①请你判断线段CF BD 、之间的位置．．关系，并说明理由(要求写出证明过程).②若,3,24==CF AC 求正方形ADEF 的边长(要求写出计算过程).8,如图，已知正方形ABCD 的边长是2，E 是AB 的中点，延长BC 到点F 使CF ＝AE ． （1）若把ADE △绕点D 旋转一定的角度时，能否与CDF △重合？请说明理由． （2）现把DCF △向左平移，使DC 与AB 重合，得ABH △，AH 交ED 于点G ．求证：AH ED ⊥，并求AG 的长FE D C B AF H E B C。
几何证明举例(HL)ppt
情境问题2:
如果工作人员只带了一条尺， 能完成这项任务吗？ 工作人员是这样做的，他测量了每个三角 形没有被遮住的直角边和斜边， 发现它们分 对于两个直角三角形，若满足 别对应相等，于是他就肯定“两个直角三角 一条直角边和一条斜边对应相等时， 形是全等的”。你相信他的结论吗？ 这两个直角三角形全等吗？ A
3. 如图， AB⊥BC，AD⊥DC，且 AD=AB ， 求证：BC=DC
A
B
D C
4. 如图：AC⊥BC，BD⊥AD，AC=BD. D 求证：OA=OB. C
O A B
如图， ∠ACB =∠ADB=90，要证明 △ABC≌ △BAD，还需一个什么条件？ 把这些条件都写出来，并在相应的括号内 填写出判定它们全等的理由。 （1） AD=BC （ HL ） （2） BD=AC （ HL ） （3）∠ DAB= ∠ CBA （ AAS ） （4）∠ DBA= ∠ CAB （ AAS ） D A
C B
判断两个直角三角形全等的方法有： (1)：SSS ； (2)：SAS ； (3)：ASA ； (4)：AAS ； (5)：HL ；
D
B
C
E
F
想一想
对于一般的三角形“S.S.A”可不可以 证明三角形全等? A
不可以.
B
D
C
但直角三角形作为特殊的三角形, 会不会有自身独特的判定方法呢 ?
请你动手画一画
任意画出一个Rt△ABC,∠C=90°。 再画一个Rt△A´B´C´，使得∠C´= 90°， B´C´=BC，A´B´= AB。
按照下面的步骤画Rt△A´B´C´ ⑴ 作∠MC´N=90°;
A
∟
B
C N
⑵ 在射线C´M上取段B´C´=BC; ⑶ 以B´为圆心,AB为半径画弧，交 射线C´N于点A´; ⑷ 连接A´B´. M B´
沪教版(五四学制)八年级上册第十九章几何证明：1证明举例(第2课时)课件
A
E
B
D
C
3、已知：如图，AB=AD，BE=DE，C是 AE延长线上一点. 求证：∠BCA=∠DCA.
A
E
B
D
C
课堂小结：
谈谈你在这节课上学到了哪些 证明线段或角相等的常用方法？
例1变式：已知：如图，AC与BD相交于点O， AB=DC ，∠ABC=∠DCB. 求证： OA=OD.
A
O
D
B
C
例2、 已知：如图，AB=AC，DB=DC. 求证：∠B=∠C.
A
B
C
D
例2变式（1）：图形变换成如图，能否证明？ 例2变式（1）： 已知：如图，AB=AC，DB=DC.
求证：∠B=∠C.
等边三角形的三条边都相等，三个内角都等于60 °。
例1、已知：如图，AC与BD相交于点O，
OA=OD，∠OBC=∠OCB.
求证：AB=DC.
A
标出已 知条件
O
D
两个三角形，能否
B
C
推理这两个三角形全
等来证明线段相等。
学会发掘图形中的隐含条 件，如：对顶角相等、公 共边、公共角等.
复习：
1、三角形的边、角的有关性质： 三角形的边的性质：三角形任意两边之和大
于第三边；任意两边之差小于第三边。 三角形的角的性质： 内角和性质：三角形的内角和为180度。 外角性质：1）三角形的一个外角等于与它
不相邻的两个内角的和。 2) 三角形的一个外角大于任何一个与它不相
邻的内角。
复习： 2、全等三角形判定方法：
（S、S、S）；（S、A、S）；（A、S、A）；（A、A、S）；
全等三角形的性质： 全等三角形对应边相等； 全等三角形对应角相等。
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1、如图,已知△ABC的六个元素,则下面甲、乙、丙三个三角形中和 △ABC全等的图形是 （ B ） A．甲和乙 Ｂ．乙和丙 Ｃ．只有乙 Ｄ．只有丙
2．如图,已知MB＝ND,∠MBA＝∠NDC,下列不能判定△ABM≌△CDN的 条件是（ D ） A．∠M＝∠N B．AB＝CD C．AM＝CN D．AM∥CN 3．某同学把一块三角形的玻璃打碎也成了三块, 现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃,那么 最省事的办法是 （C ） A．带①去 D．带①和②去 B．带②去
（1）要证明两条线段相等、两个角相等，可考察 它们是否在给出的两个全等三角形中。
（2）如不存在，则需添加辅助线，构造两个全等 的三角形。
合作与探究
已知：如图， ABC ABC, AD, AD分别是边BC, BC上的高。 求证：AD AD.
证明： AD BC, ADБайду номын сангаас BC
5.6几何证明举例
学习目标
1.证明并掌握定理：两角分别相等且其中一组 等角的对边也相等的两个三角形全等。 2.利用三角形全等的判定的知识判断三角形全 等，进而推断有关线段或角相等。
回顾与思考
☞
1.几何证明的步骤是什么？
（1）根据题意画出图形
（2）结合图形，根据条件、结论，写出已知、求 证
（3）找出由已知推出求证的途径，写出“证明”
A
A
A
C B
B
D C B
D C
B A
A
C B
D
D C
B
D
D C
小
结
1、判定三角形全等:
基本事实“SAS”, “ASA”, “SSS” 判定定理 “AAS”
2、利用三角形全等可以得到线段相等或角相等.
3、证明两条线段（或角）相等的方法：（1）先观察 要证明的线段（或角）在哪两个可能全等的三角形中， 再证明这两个三角形全等；（2）若图中没有全等三角 形，可以把要证明的线段（或角）用和它相等的线段 （或角）代换，再证明它们所在的三角形全等；（3） 如果没有相等的线段（或角）代换，可设法作辅助线 构造全等三角形。
2.全等三角形的判定方法有哪些？其中哪些是基本事实？ 全等三角形的性质是什么？ “SAS” “ASA” “AAS” “ASA” “SSS” “SSS”
基本事实：“SAS”
全等三角形的性质：对应边相等，对应角相等
全等三角形的判定定理
两角分别相等且其中一组等角的对边也相等的两个三角形全等。
已知：如图，在△ABC和△A′B′C′中，AB=A′B′， ∠B=∠B′ ∠C=∠C′ 求证：△ABC ≌ △A′B′C′。
ABC ABC
AB AB,
ADB ADB B B AB AB
在ABD和ABD中
A
A
ABD ABD
AD AD
B
D C B
D C
合作与探究
两个全等三角形的对应边上的高线、对应边上的 中线、对应角的平分线有什么性质呢？ A
AB=AC（已知）
DB=DC（已知）
AD=AD（公共边） (SSS)
D
△ABD≌ △ACD ∠B=∠C
我相信我能行
练 习
已知：如图，PB=PC，CE、BD相交于 点P，∠BDA=∠CEA. 求证：AB=AC. A
E
3
4
D
P B C
刚刚我们证明两条线段相等，或者两个 角相等，用了哪些方法？ 注意一些常用方法和规律性的总结
c
. 带③去
4：如图，AC和BD相交于点O,OA=OC,OB=OD 求证：DC∥AB
D C O
A
B
作
作 业
业
课后练习1，2
A
（ 已知
）
（ 三角形内角和定理 ） （等量代换 ）
在△ABC 和△A′B′C′中 ∠B=∠B′ （ 已知 ） AB=A′B′ ∵ （ 已知 ） ∠A=∠A′ （ 已证 ）
｛
（ ASA
）
例1 已知：如图，AB=AC，DB=DC. 求证：∠B=∠C.
A
证明
连接AD, 在△ABD和△ACD中，
B
C