曲线运动与万有引力

曲线运动特点： 1． 曲线运动速度特点：质点在某一点（或某一时刻）的速度的方向是在轨迹曲线的这一点的切线方向。所以曲线运动中速度的方向是时刻改变的。因此任何一个曲线运动都是变速运动。 2． 质点在曲线运动中都具有加速度，质点一定受到合外力的作用。 3． 物体做曲线运动的条件：速度方向与合力的方向不在同一直线上；加速度的方向跟速度方向也不在同一直线上。 4． 3．运动的合成与分解：运动的合成和分解是指位移的合成与分解及速度、加速度的合成与分解。都遵循平行四边形法则。 ***一般说来，两个直线运动的合成运动，并不一定都是直线的。

5.1.2、平抛运动： ⑴ 物体只在重力作用下，初速度沿水平方向的抛体运动叫平抛运动。 ⑵ 平抛运动可以看作是水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动的合运动。 平抛运动的特点： （1）加速度a=g恒定，方向竖直向下。所以平抛运动是匀变速运动。 （2）运动轨迹是抛物线。

这是一个抛物线方程。 （3）平抛物体在t秒末时的水平分速度vx和竖直分速度vy分别为vx=v0，vy=gt a.求出合速度的大小和方向 θ角 v=)(22yxvv tanθ=xyvv b.求出合位移的大小和方向 φ角 位移公式：x=v0t y=21gt2

s=yx22 tanφ=xy c.平抛物体任意时刻瞬时速度方向的反向延长线与初速度延长线的交点到抛出点的距离

tanθ=2 tanφ

（轨迹方程） )(为转速其中n

都等于水平位移的一半（中点）。 证明：设时间t内物体的水平位移为s，竖直位移为h，则末速度的水平分量vx=v0=s/t，而竖

直分量vy=2h/t， shvv2tanxy， 所以有2tanshs

5.1.3、圆周运动： 质点运动轨迹为一个圆，即质点做圆周运动。 线速度：物体在某时间内通过的弧长与所用时间的比值，其方向在圆周的切线方向上。

表达式：tlv 角速度：物体在某段时间内通过的角度与所用时间的比值。

表达式：t，其单位为弧度每秒，srad/。 周期：匀速运动的物体运动一周所用的时间。 频率：Tf1，单位：赫兹(HZ)

线速度、角速度、周期间的关系：rvTTrv,/2,/.2。 ω=t=T2=2πn v=ts=Tr2=2πrn

向心加速度： a=ω2r=rv2=T

r224=ωv方向总与运动方向垂直。

向心力：Fn=ma=mω2r=mrv2=mT

r224=mωv 方向总与运动方向垂直。

8．匀速圆周运动：(1)质点沿圆周运动，如果在相等的时间里通过的圆弧长度都相等，这种运动就叫做匀速圆周运动。 注意：a.匀速圆周运动不是匀速运动, 是变速运动，是曲线运动,因为速度方向不断变化，大小不；b.不是匀加速运动，而是变加速运动，因为线速度方向时刻在变化，向心加速度方向时刻沿半径指向圆心，时刻变化。 速圆周运动中，角速度ω、周期T、转速n、速率、动能是不变的物理量。 线速度v、加速度a、合外力F、动量P是不断变化的物理量。 (2)做匀速圆周运动的物体，加速度方向指向圆心，这个加速度叫向心加速度。

大小：rTrrvan222.2 方向：指向圆心。 向心加速度是描述匀速圆周运动中物体线速度变化快慢的物理量 gRv0

向心力即产生向心加速度的力。 (3)向心力的方向：指向圆心，与线速度的方向垂直。

向心力的大小：做匀速圆周运动所需的向心力的大小为rmvrmF/22 向心力的作用：只改变速度的方向，不改变速度的大小。 向心力是效果力。在对物体进行受力分析时，不能认为物体多受了个向心力。向心力是物体受到的某一个力或某一个力的分力或某几个力的合力. 必须强调指出： 使物体做匀速圆周运动的向心力，不是什么特殊的力，任何一种力或几种力的合力，只要它能使物体产生向心的加速度，它就是物体所受的向心力。 8. 生活中的圆周运动 (1)凡是直接用皮带传动的两个轮子，两轮边缘上各点的线速度大小相等；凡是同一个轮轴上（各个轮都绕同一根轴同步转动）的各点角速度相等（轴上的点除外）。

(2)离心运动： F＜rm2(即实际提供的向心力小于需要的向心力，此时做离心运动) （3）竖直面内圆周运动最高点处的受力特点及分类 ⑴弹力只可能向下，如绳拉球。这种情况下有

mgRmvmgF2

即gRv，否则不能通过最高点。 ***只能提供拉力，物体通过最高点的条件：gRv

⑵弹力只可能向上，如车过桥。在这种情况下有：gRvmgRmvFmg,2，否则车将离开桥面，做平抛运动。 ***只能提供支持力，物体通过最高点的条件：

⑶弹力既可能向上又可能向下，如管内转（或杆连球、环穿珠）。这种情况下，速度大小v可以取任意值。但可以进一步讨论：①当gRv时物体受到的弹力必然是向下的；当gRv时物体受到的弹力必然是向上的；当gRv时物体受到的弹力恰好为零。②当弹力大小Fmg时，向心力只有一解：F +mg；当弹力F=mg时，向心力等于零。 ***既能提供支持力，又能提供拉力的物体通过最高点的条件：0v

绳 F G G

F ）常数（KTR2

3

5.2、万有引力 5.2.1、开普勒定律 开普勒第一定律：所有的行星分别在大小不同的椭圆轨道上围绕太阳运动，太阳是在这些椭圆的一个焦点上。 开普勒第二定律：对每个行星来说，太阳和行星的连线在相等的时间内扫过相等的面积。 开普勒第三定律：所有行星的椭圆轨道的长半轴的三次方跟公转周期的平方的比值都相等。 即：

5.2.2、万有引力定律： 1、内容：任何两个物体都是互相吸引的，引力的大小跟两个物体的质量的乘积成正比，跟它们的距离的平方成反比。这就是万有引力定律。

2、公式 FGmmR122 应注意： （1）公式中G称作万有引力恒量，经测定GNmKg667101122./·。 （2）公式中的R为质点间的距离。对于质量分布均匀的球体，可把它看做是质量集中在球心的一个点上。

（3）从GNmKg667101122./·可以看出，万有引力是非常小的，平时很难觉察，所以它的发现经历了对天体（质量特别大）运动的研究过程。 万有引力恒量的测定： 英国物理学家卡文迪用扭秤测出。 小结：

万有引力定律221rmmGF，2211kg/mN1067.6G 适用于两个质点、一个质点和一个均匀球、两个均匀球。

GrMm2= ma=mω2r=mrv2=mTr224 ==》 a=GrM2 v=rGM ω=rGM3 T=2πGM

r3

1用万有引力定律求中心星球的质量和密度 当一个星球绕另一个星球做匀速圆周运动时，设中心星球质量为M，半径为R，环绕星球质量为m，线速度为v，公转周期为T，两星球相距r，由万有引力定律有：

22

22TmrrmvrGMm

，可得出23224GTrGrvM

2 万有引力和重力的关系: 一般的星球都在不停地自转，星球表面的物体随星球自转需要向心力，因此星球表面上的物体所受的万有引力有两个作用效果：一个是重力，一个是向心力。星球表面的物体所受的万有引力的一个分力是重力，另一个分力是使该物体随星球自转所需

的向心力。即nfGF 3. 人造卫星（只讨论绕地球做匀速圆周运动的人造卫星）和星球表面上的物体不同，人造卫星所受的万有引力只有一个作用效果，就是使它绕星球做匀速圆周运动，因此万有引力等于向心力。 ⑴人造卫星的线速度和周期。人造卫星的向心力是由地球对它的万有引力提供的，因此有：

22

22TmrrmvrGMm

，由此可得到两个重要的结论：r1rGMv和

332rGMrT

。可以看出，人造卫星的轨道半径r、线速度大小v和周期T是一一对

应的，其中一个量确定后，另外两个量也就唯一确定了。离地面越高的人造卫星，线速度越小而周期越大。 ⑵近地卫星。近地卫星的轨道半径r可以近似地认为等于地球半径R，又因为地面附近

2R

GMg

，所以有min85101.52,/109.733sgRTsmgRv。它们分别是绕

地球做匀速圆周运动的人造卫星的最大线速度和最小周期。 ⑶同步卫星。“同步”的含义就是和地球保持相对静止（又叫静止轨道卫星），所以其周期等于地球自转周期，既T=24h，根据⑴可知其轨道半径是唯一确定的，经过计算可求得同步卫星离地面的高度为h=3.6×107m≈5.6R地（三万六千千米），而且该轨道必须在地球赤道的

正上方，卫星的运转方向必须是由西向东。 4. 第一宇宙速度（环绕速度）：skmv/9.7 ； 是指物体紧贴地球表面作圆周运动的速度(也是人造地球卫星的最小发射速度)。 第二宇宙速度（脱离速度）：skmv/2.11； 是指物体完全摆脱地球引力束缚，飞离地球的所需要的最小初始速度。 第三宇宙速度（逃逸速度）：skmv/7.16。 是指在地球上发射的物体摆脱太阳引力束缚，飞出太阳系所需的最小初始速度。 脱离速度是指物体达到11.2千米/秒的运动速度时能摆脱地球引力束缚的一种速度。在摆脱地球束缚的过程