分式运算(4)
分式的四则运算
分式的四则运算
（１）同分母分式加减法则:同分母的分式相加减,分母不变，把分
子相加减.
（２）异分母分式加减法则:异分母的分式相加减,先通分,化为同分母的分式,然后再按同分母分式的加减法法则进行计算.
（３）分式的乘法法则:两个分式相乘,把分子相乘的积作为积的分子,把分母相乘的积作为积的分母.
（４）分式的除法法则:
①两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.
②除以一个分式，等于乘以这个分式的倒数:
（5）分式方程:分母中含有未知数的方程叫做分式方程.
（6）分式方程的解法:
①去分母(方程两边同时乘以最简公分母,将分式方程化为整式方程);
②按解整式方程的步骤求出未知数的值;
③验根(求出未知数的值后必须验根,因为在把分式方程化为整式方程的过程中,扩大了未知数的取值范围,可能产生增根)。
第4课 分式及其运算
x －3 －3 时，分式 (2)当x＝________ 的值为0. x－3 解析：当|x|－3＝0，|x|＝3，x＝±3，
而x－3≠0，x≠3，故x＝－3. (3)若分式 A．1
x－2 的值为0，则x的值为( D ) 2 x －1 B．－1 C．±1 D．2
解析：当x－2＝0，x＝2时，x2－1≠0，故选D.
3．分式的运算法则：
(1)符号法则：分子、分母与分式本身的符号，改变其中 任何两个，分式的值不变． 用式子表示为：a ＝－ a ＝ －a ＝－ －a ， b －b －b b － a ＝ a ＝ －a . b －b b (2)分式的加减法： a b a± b ± ＝ 同分母加减法： c c ； c b d bc± ad ± ＝ 异分母加减法： a c ac .
x－2 的值为0. x＋2 解析：当x－2＝0，x＝2时，分母x＋2＝4，分式的值是0.
2 时，分式 (2)(2011· 泉州)当x＝_______
知能迁移1
x 有意义的x的取值范围是________． x≠2 2x－4 解析：当2x－4≠0，x≠2时，分式有意义，
(1)使分式
故x的取值范围是x≠2.
A．x＝－2 C．x＝1
2x－5 3 ＝ 的解是( C ) 2－x x－2 B．x＝2
D．x＝1或x＝2
1－5＝ －3＝3， 解析：当x＝1时，方程左边＝ 2× 1－2 －1 右边＝ 3 ＝3，∴x＝1是原方程的解. 2－1
题型分类 深度剖析
题型一 分式的概念，求字母的取值范围 1 【例1】 (1)当x＝_______ 时，分式 2 无意义； x－1 解析：当x－1＝0，x＝1时，分式无意义．
这种变形叫做分式的通分，通分的根据是分式的基本性
分式的运算PPT课件(沪科版)
；
(3)
a－1 ＋
1 1－a
解： (1)
32x2－
5 6x
=
4 6x2
－
5x 6x2
=4－6x52x
4.计算：
(1)
2 3x2
－
5 6x
；
(2) a2－2a4b2－a－1 2b .
解：(2)
a2－2a4b2－
1 a－2b
=
(a＋2b2)(aa－2b)－
a＋2b (a＋2b)(a－2b)
=(a＋2a－2b()a(a＋－22bb) )=
1 x
D.
x＋2 x
2.计算
a3－a b－
3b a－b
的结果是(
A
).
A.3 B.3a＋3b C.1
D.
6a a－b
练习巩固
3.计算：
(1)
3 x
－
1 2x
；
解：(1)
3 x
－
1 2x
=
26x－
1 2x
=
6－1 2x
=
5 2x
4.计算：
(1)
2 3x2
－
5 6x
；
(2)
a2－2a4b2－
1 a－2b
9.2 分式的运算(4)
教学目标： 1.探究同分母分式加减法的运算法则及简单的 异分母分式加减法的运算法则。
2.会运用法则进行分式的加减运算，体会化归 思想．
教学重点： 同分母分式及简单的异分母分式加减法的运 算法则.
教学难点： 运用运算法则正确求解分式计算问题.
复习旧知
(1)什么是分式的通分？ 把几个异分母的分式分别化成与本来的分式相等 的同分母的分式，叫做分式的通分.
第4讲 分式及其运算
【点评】
准确、灵活、简便地运用法则进行化
简，注意在取x的值时，要考虑分式有意义，不能
取使分式无意义的0与〒2.
1 3．(1)(2014· 十堰)已知 a －3a＋1＝0，则 a＋a－2 的值为
2
( B) A. 5＋1 B．1 C．－1 D．－5
x2－4 1 (2)(2014· (1－ )， 娄底)先化简 2 ÷ 再从不等式 2x－3 x －9 x－3 ＜7 的正整数解中选一个使原式有意义的数代入求值 ．
（x＋2）（x－2） x－3－1 解：原式＝ ÷ ＝ （x＋3）（x－3） x－3 （x＋2）（x－2） x－3 （x＋2）（x－2） · ＝ ， （x＋3）（x－3） x－4 （x＋3）（x－4）
不等式 2x－3＜7，解得 x＜5，其正整数解为 1，2，3，4， 1 当 x＝1 时，原式＝ 4
分式方程的解法
|x|－3 (2)当 x＝__-3 __时，分式 的值为 0. x－3
分式的性质
【例 2】 (1)(2014· 贺州)先化简，再求值： a ＋2a＋1 (a b＋ab)÷ 其中 a＝ 3＋1，b＝ 3－1. ， a＋1
22ຫໍສະໝຸດ a＋1 解：原式＝ab(a＋1)· 2 ＝ab，当 a＝ 3＋1， （a＋1） b＝ 3－1 时，原式＝3－1＝2
杂的计算题，可应用逆向思维，把要求的算式和
已知条件由两头向中间凑的方式来求代数式的值
．
2．(1)(2012· 义乌)下列计算错误的是( A ) 0.2a＋b 2a＋b A. ＝ 0.7a－b 7a－b a－b C. ＝－1 b－a x3y2 x B. 2 3＝ xy y 1 2 3 D. ＋ ＝ c c c
x2 x 3．(2012· 安徽)化简 ＋ 的结果是( D ) x－1 1－x A．x＋1 B．x－1 C．－x D． x m－1 m－1 4．(2014· 济南)化简 m ÷ m2 的结果是( A ) 1 1 A．m B. m C． m－1 D. m－1 4x－12 5．(2014· 安徽)方程 ＝3 的解是 x＝__6__． x－2
分式的加法运算
分式的加法运算分式是数学中常见的表达形式，用于表示两个数的比值或一个数的部分。
在分式中，分子表示被除数，分母表示除数，分子与分母之间用横线隔开。
分式的加法运算是指将两个分式进行相加，得到一个新的分式。
一、分式的基本形式分式的基本形式为：$\frac{a}{b}$，其中a表示分子，b表示分母。
分式也可以是一个整数，例如：$\frac{3}{1}$表示整数3。
二、相同分母的分式相加当两个分式的分母相同的时候，可以直接将它们的分子相加，分母保持不变。
例如：$\frac{2}{3}+\frac{4}{3}=\frac{2+4}{3}=\frac{6}{3}$。
三、不同分母的分式相加当两个分式的分母不相同的时候，需要通过通分将它们的分母变为相同的，然后再进行相加。
通分是指找到一个新的分母，使得原来的两个分母都能整除这个新的分母。
1. 找到两个分母的最小公倍数（简称最小公倍数，LCM），作为新的分母。
2. 对于每个分式，需要乘以一个适当的数使得分母变为最小公倍数。
3. 将新的分母作为公共分母，将分子相加。
例如：$\frac{1}{2}+\frac{2}{3}$，最小公倍数为6。
需要将$\frac{1}{2}$的分子乘以3，将$\frac{2}{3}$的分子乘以2，得到$\frac{3}{6}+\frac{4}{6}=\frac{3+4}{6}=\frac{7}{6}$。
四、分式的加法运算规则1. 分母相同的分式直接相加，分母不变。
2. 分母不同的分式，需要进行通分，使得分母相同后再相加。
3. 通分时，分子按照分母的比例进行相应倍数的扩展。
五、分式的加法运算示例1. $\frac{1}{4}+\frac{2}{5}$通分，最小公倍数为20。
$\frac{1}{4}$的分子乘以5，$\frac{2}{5}$的分子乘以4。
$\frac{1}{4}+\frac{2}{5}=\frac{1\times5}{4\times5}+\frac{2\times4}{5\ti mes4}=\frac{5}{20}+\frac{8}{20}=\frac{13}{20}$2. $\frac{3}{8}+\frac{2}{3}$通分，最小公倍数为24。
分式的乘除运算讲解
分式的乘除运算讲解1.引言1.1 概述分式是数学中重要且常见的概念，在解决实际问题中具有广泛的应用。
分式的乘除运算是我们在求解分式相关问题时必须掌握和应用的基础运算。
分式的乘法运算是指将两个分式相乘，得到一个新的分式。
而分式的除法运算则是将一个分式除以另一个分式，同样得到一个新的分式。
在实际生活中，我们经常遇到需要对分式进行乘除运算的情况，比如在购物中打折优惠、计算比例和比率等等。
为了正确进行分式的乘除运算，我们需要先了解分式的定义与性质。
分式可以看作是分子和分母之间带有分数线的数学表达式。
在分式中，分子表示分数的分子部分，而分母表示分数的分母部分。
分式的分子和分母都可以是整数、变量、或两者的组合。
在乘法运算中，我们将两个分式相乘，只需将它们的分子相乘，分母相乘，得到的积即为乘法结果的分子与分母。
而在除法运算中，我们将一个分式除以另一个分式，需要将被除数的分子与除数的分母相乘，被除数的分母与除数的分子相乘，从而得到商的分子与分母。
通过了解分式乘除运算的步骤和性质，我们可以更加灵活地对分式进行运算，解决实际问题中的各种分式运算题目。
分式的乘除运算不仅是数学中重要的基础知识，也是我们日常生活中的实际运用。
掌握了分式的乘除运算，我们能够更好地理解和应用数学知识，提高数学解题的能力和运算的准确性。
综上所述，本文将详细介绍分式的乘除运算的定义、性质以及运算步骤，并总结其应用与拓展。
通过学习与掌握分式的乘除运算，我们可以在数学解题中更加得心应手，为日常生活中的计算和问题解决提供帮助。
1.2 文章结构本文将按照以下结构进行分析和讲解分式的乘除运算。
2. 正文2.1 分式的乘法运算2.1.1 定义与性质2.1.2 乘法运算的步骤2.2 分式的除法运算2.2.1 定义与性质2.2.2 除法运算的步骤3. 结论3.1 总结分式的乘除运算在本章节中，我们通过详细解释分式的乘法与除法运算，掌握了其定义、性质以及实际操作步骤。
分式的运算
a
b
c
12、若 1 + 1 = 5 ，则分式 2x − 3xy + 2 y = _______
xy
x + 2xy + y
13、计算：
第4页共6页
（1） ( 2x − 3 −1) ÷ x2 − 9
x
x
E you education
（2）
1 − 1 ÷ x +1 x +1 x2 −1 x2 − 2x +1
遇到括号时，要先算括号里面的。
（2）注意事项：（1）分式的混合运算关键是弄清运算顺序；（2）有理数的运算顺序和运算
规律对分式运算同样适用，要灵活运用交换律、结合律和分配律；（3）分式运算结果
必须化到最简，能约分的要约分，保证运算结果是最简分式或整式。
5、例题解析： 例题 1：将分式 x +1 化成分母分别为下列整式的分式：
⎞n ⎟⎠
=
an bn
（其中
n
为正整数，a≠0）；
（3）注意事项：（1）乘方时，一定要把分式加上括号；（2）在一个算式中同时含有乘方、
乘法、除法时，应先算乘方，再算乘除，有多项式时应先因式分解，再约分；（3）最
后结果要化到最简。
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E you education
4、分式的混合运算：
（1）运算规则：分式的加、减、乘、除、乘方混合运算，先乘方，再乘除，最后算加减。
后进行通分。（3）当分子的次数高于或等于分母的次数时，应将其分离为整式与真分
式之和的形式参与运算，可使运算简便。
3、分式的乘方：
（1）规定 a− p
=
1 ap
（其中 a
≠
0 ，p
分式的运算及题型讲解
分式的运算及题型讲解在分式乘除法中，要注意分子分母的符号法则和多项式的因式分解，化简结果到最简形式；（3）分式的乘方要加上括号，同时在算式中含有乘方、乘法、除法时，先算乘方，再算乘除，有多项式时先进行因式分解，再约分；（4）同分母分式相加减，分母不变，分子相加减，结果化到最简分式或整式；异分母分式相加减，先通分，再化为同分母分式相加减；（5）在分式的混合运算中，先乘方，再乘除，最后算加减，注意括号的运算顺序。
有理数的运算顺序和运算规律同样适用于分式运算。
在计算过程中，需要灵活运用交换律、结合律和分配律。
另外，分式运算结果必须化到最简，能约分的要约分，保证运算结果是最简分式或整式。
例1：计算 x^2a^2-41 ÷ (a^-2) × (-x^-2)；分析：根据分式的乘法和除法运算规则，先进行除法运算，再进行乘法运算。
解：x^2a^2-41 ÷ (a^-2) × (-x^-2) = x^2a^2(-a^2) × (-1/x^2) = -a^2/x^2例2：计算 (a+2a-2x-2)/(a-2)；分析：将分子展开，然后进行合并同类项和约分。
解：(a+2a-2x-2)/(a-2) = (3a-2x-2)/(a-2)例3：计算 [1+(2x+1)/(x+4)]/[(2x)/(x-2)x];分析：先将分子中的括号内的分式化简，然后进行除法和乘法运算。
解：[1+(2x+1)/(x+4)]/[(2x)/(x-2)x] =[(x+4)/(x+4)+(2x+1)/(x+4)]/[(2x)/(x-2)x] = [(3x+5)/(x+4)] × [(x-2)/2x] = (3x+5)/(2x^2+8x)在分式运算中，有一些技巧可以帮助简化计算：1、先约分后通分技巧：如果分式中的分子和分母都有公因数，可以先约分后再通分，这样可以减少计算量。
例如：计算 x^2+3x+2+x^2-4 / x(x-2)解：x^2+3x+2+x^2-4 / x(x-2) = (2x^2-2) / x(x-2) = 2(x+1) / (x-2)2、分离整数技巧：如果分式的分子和分母不能约分，可以将分子中的整数部分和分母分开计算，然后再进行减法运算。
分式及其运算(完整版)
❖分母中字母的取值不能使分 母值为零，否则分式无意义 ❖当分子为零且分母不为零时， 分式值为零。
.
第2课时
.
（一）问题情景
问题1 小学学过分数计算，请你快 速计算下列各式，并说出计算根据：
（ 1）6 8
（2） 240 3600
复习分数的基本性质
分数的分子与分母同时乘以（或除以）一个不 等于零的数，分数的值不变.
表示成 A 形式。如果B中含有字母，式 AB
子 就叫做分式。其中，A叫做分式的
B
分子，B叫做分式的分母。
分式的特征是: ①分子、分母 都是 整式 ； ②分母中含有 字母 。
.
思考： 1、两个整式相除叫做分式，对吗？请举 例说明。 A 2、在式子 B 中，A、B可为任意整式，是 吗？请举例说明。
.
分类：
.
（二）类比归纳
1.下列从左到右的变形成立吗？为什么？
① 11 3,② 1 1 b,③ 1 1 (a 3 ) aa 3 a1 b a1 (a 3 )
2.你能归纳出以上所体现的变形吗？ 3.会用字母表达式表示吗？
（类比分数的基本性质，得出分式的基本性质）
.
分式的基本性质
分式的分子与分母同乘（或除以）一个 不等于０的整式，分式的值不变。
5, x , a xy
y , 2004 xy x 2004 x 30
。
。。。。
.
被除数
被除数÷ 除数 = 除数
3÷4= 3
4 整数 整数 分数
（商数）
类比
被除式
被除式÷除式 = 除式 （商式） t ÷ (a-x) = t a-x 整式 整式 分式.
分式的概念:
八年级-人教版-数学-上册-第4课时-分式的混合运算
算乘方，除法变乘法．
＝
1 a
1 9a
约分，做乘法
＝ 8．
9a
异分母分式相加减
归纳
式与数的混合运算有相同的运算顺序，即先算乘方，再算乘除， 最后算加减．
有括号时，按照小括号、中括号、大括号的顺序，先做括号内 的运算，再做括号外的运算．
在运算的过程中，我们也可以适当地运用一些运算律，从而达 到简化运算的目的．
例3
先化简，再求值：
x2
x2 1 2x 1
x
1
x x
1 ，其中
1
x＝－2．
分析：先根据分式的运算法则进行化简，再代入求值．
解：
x2 1
x 1
x2
2x
1
x
1
x
1
＝
(x
1)(x 1) (x 1)2
(x
1)
x x
1 1
＝1－(x－1) ＝2－x．
当x＝－2时，原式＝2－(－2)＝4．
结果要化成最简分式或整式
例2 计算：
（1）
m
2
2
5 m
2m 4 3m
；
（2）
x x2
2 2x
x2
x 1 4x
4
x
x
4．
将其分母视为 1，然后进行通分．
解：（1）
m
2
2
5
m
2m 4 3m
＝ (m 2)(2 m) 5 2m 4
2m
3m
＝ 9 m2 2(m 2) ＝ (3 m)(3 m) 2(2 m)
b d b c bc
3．分式的乘方法则： 分式乘方要把分子、分母分别乘方．
上述法则可以用式子表示为
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15.2 分式的运算（4）
学习目标：
1．理解分式的加减法法则，体会类比思想。
．
2．会运用法则进行分式的加减运算，体会化归思想。
学习重点：
分式的加减法法则。
自主学习
1、阅读课P139—140问题3、4感受学习分式加减法的必要性 问题3： 甲工程队完成一项工程需n 天，乙工程队要:比甲队多用3天才能完成这项工程，两队共同工作一天完成这项工程的几分之几？
（1）甲工程队一天完成这项工程的几分之几？
（2）乙工程队一天完成这项工程的几分之几？
（3）甲乙两队共同工作一天完成这项工程的几分之几？ 问题2 2009年、2010年、2011年某地的森林面积
（单位：km2）分别是S1，S2，S3，2011年与2010年相比，森林面积增长率提高了多少？
（1）什么是增长率？
（2）2010年、2011年的森林面积增长率分别是多少？
（3）2011年与2010年相比，森林面积增长率提高了多少？
2、自主探索分式的加减法法则
分式的加减法与分数的加减法类似，它们实质相同．观察下列分数加减运算的式子，你能将它们推广，得出分式的加减法法则吗？
类比分数加减法运算法则可以得出分式的加减法法则： 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；
异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减． 上述法则用式子表示为
1231215
555551132511321236
6623666+=-=-+=+=-=-=； ；； ．===a b a b c c c a c ad bc ad bc b d bd bd bd ±±±±±，．
学以致用
仿照课本P140例题6的解题方法与步骤完成下列练习
（1）x
x x 11-+ （2）13121+-+++b a b a b a
（3）2231
21
cd d c +
（4）()22223n m n m n m ----
（5）b a b a a
+--122
（6）112---a a a
学习反思：。