分式的四则运算精讲精练(含答案)
八年级数学上册15.2 分式的运算(有答案)
八年级数学（上）15.2 分式的运算知识网络重难突破知识点一分式的约分约分的定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去。
最简公式的定义：分子与分母没有公因式的分式。
分式约分步骤：1）提分子、分母公因式2）约去公因式3）观察结果，是否是最简分式或整式。
注意：1.约分前后分式的值要相等.2.约分的关键是确定分式的分子和分母的公因式.3.约分是对分子、分母的整体进行的，也就是分子的整体和分母的整体都除以同一个因式典例1（2019·西城区期中）下列各式约分正确的是( )A．B．C．D．典例2（2019·静安区期中）下列分式中，是最简分式的是（）A．22222x yx xy y--+B．C．D．典例3（2020·泰安市期中）化简的结果是（）A．1x-B．C．D．典例4（2019·宁阳县期中）下列运算正确的是（）A．B．C．D．典例5（2019·临淄区期中）下列分式中，最简分式是( )A．615xB．236xx--C．D．22a ba b-+知识点二分式的通分通分的定义：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。
最简公分母的定义：取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。
分式通分的关键：确定最简公分母确定分式的最简公分母的方法1.因式分解2.系数：各分式分母系数的最小公倍数；3.字母：各分母的所有字母的最高次幂4.多项式：各分母所有多项式因式的最高次幂5.积约分与通分的相同点：典例1（2019·绵阳市期末）分式的最简公分母是（）A．B．C．D．典例2（2019·郓城县期末）分式，，的最简公分母是（ ）A ．（a²－2ab+b²）（a²－b²）（a²+2ab+b²）B ．（a+b ）²（a －b ）²C ．（a+b ）²（a -b ）²（a²－b²）D ． 44a b -典例3（2019·市中区期末）下列各题所求的最简公分母,错误的是 ( ) A ．的最简公分母是6x 2 B ．的最简公分母是6a 2b 2cC ．的最简公分母是x 2-9D ．的最简公分母是mn (x+y )·(x -y )典例4 （2018·五莲县期末）把分式-xx y，，的分母化为x 2-y 2后，各分式的分子之和是( ) A ．x 2＋y 2＋2 B ．x 2＋y 2-x ＋y ＋2 C ．x 2＋2xy -y 2＋2D ．x 2-2xy ＋y 2＋2 典例5（2018·聊城市期末）把、、通分过程中，不正确的是( )A ．最简公分母是(x －2)(x ＋3)2B ．C ．D ．知识点三 分式的四则运算与分式的乘方1）分式的乘除法法则：用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。
2024中考数学复习核心知识点精讲及训练—分式(含解析)
2024中考数学复习核心知识点精讲及训练—分式（含解析）1.了解分式、分式方程的概念，进一步发展符号感；2．熟练掌握分式的基本性质，会进行分式的约分、通分和加减乘除四则运算，发展学生的合情推理能力与代数恒等变形能力；3．能解决一些与分式有关的实际问题，具有一定的分析问题、解决问题的能力和应用意识；4．通过学习能获得学习代数知识的常用方法，能感受学习代数的价值。
考点1：分式的概念1.定义：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子AB叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母.2.最简分式：分子与分母没有公因式的分式；3.分式有意义的条件：B≠0；4.分式值为0的条件：分子=0且分母≠0考点2：分式的基本性质分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质，用式子表示是：A A M A A MB B M B B M⨯÷==⨯÷，（其中M是不等于零的整式）.考点3：分式的运算考点4：分式化简求值（1）有括号时先算括号内的；（2）分子/分母能因式分解的先进行因式分解；（3）进行乘除法运算（4）约分；（5）进行加减运算，如果是异分母分式，需线通分，变为同分母分式后，分母不变，分子合并同类项，最终化为最简分式；（6）带入相应的数或式子求代数式的值【题型1：分式的相关概念】【典例1】（2022•怀化）代数式x，，，x2﹣，，中，属于分式的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】B【解答】解：分式有：，，，整式有：x，，x2﹣，分式有3个，故选：B．【典例2】（2023•广西）若分式有意义，则x的取值范围是（）A．x≠﹣1B．x≠0C．x≠1D．x≠2【答案】A【解答】解：∵分式有意义，∴x+1≠0，解得x≠﹣1．故选：A．1．（2022•凉山州）分式有意义的条件是（）A．x＝﹣3B．x≠﹣3C．x≠3D．x≠0【答案】B【解答】解：由题意得：3+x≠0，∴x≠﹣3，故选：B．2．（2023•凉山州）分式的值为0，则x的值是（）A．0B．﹣1C．1D．0或1【答案】A【解答】解：∵分式的值为0，∴x2﹣x＝0且x﹣1≠0，解得：x＝0，故选：A．【题型2：分式的性质】【典例3】（2023•兰州）计算：＝（）A．a﹣5B．a+5C．5D．a 【答案】D【解答】解：＝＝a，故选：D．1．（2020•河北）若a≠b，则下列分式化简正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝【答案】D【解答】解：∵a≠b，∴，故选项A错误；，故选项B错误；，故选项C错误；，故选项D正确；故选：D．2．（2023•自贡）化简：＝x﹣1．【答案】x﹣1．【解答】解：原式＝＝x﹣1．故答案为：x﹣1．【题型3：分式化简】【典例4】（2023•广东）计算的结果为（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：＝＝．故本题选：C．1．（2023•河南）化简的结果是（）A．0B．1C．a D．a﹣2【答案】B【解答】解：原式＝＝1．故选：B．2．（2023•赤峰）化简+x﹣2的结果是（）A．1B．C．D．【答案】D【解答】解：原式＝+＝＝，故选：D．【题型4：分式的化简在求值】【典例5】（2023•深圳）先化简，再求值：（+1）÷，其中x＝3．【答案】，．【解答】解：原式＝•＝•＝，当x＝3时，原式＝＝．1．（2023•辽宁）先化简，再求值：（﹣1）÷，其中x＝3．【答案】见试题解答内容【解答】解：原式＝（﹣）•＝•＝x+2，当x＝3时，原式＝3+2＝5．2．（2023•大庆）先化简，再求值：，其中x＝1．【答案】见试题解答内容【解答】解：原式＝﹣+＝＝＝＝，当x＝1时，原式＝＝．3．（2023•西宁）先化简，再求值：，其中a，b是方程x2+x﹣6＝0的两个根．【答案】，6．【解答】解：原式＝[﹣]×a（a﹣b）＝×a（a﹣b）﹣＝﹣＝；∵a，b是方程x2+x﹣6＝0的两个根，∴a+b＝﹣1ab＝﹣6，∴原式＝．1．（2023春•汝州市期末）下列分式中，是最简分式的是（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：A、＝，不是最简分式，不符合题意；B、＝＝，不是最简分式，不符合题意；C、是最简分式，符合题意；D、＝＝﹣1，不是最简分式，不符合题意；故选：C．2．（2023秋•岳阳楼区校级期中）如果把分式中的x和y都扩大2倍，那么分式的值（）A．不变B．扩大2倍C．扩大4倍D．缩小2倍【答案】B【解答】解：∵＝＝×2，∴如果把分式中的x和y都扩大2倍，那么分式的值扩大2倍，故选：B．3．（2023•河北）化简的结果是（）A．xy6B．xy5C．x2y5D．x2y6【答案】A【解答】解：x3（）2＝x3•＝xy6，故选：A．4．（2023秋•来宾期中）若分式的值为0，则x的值是（）A．﹣2B．0C．2D．【答案】C【解答】解：由题意得：x﹣2＝0且3x﹣1≠0，解得：x＝2，故选：C．5．（2023秋•青龙县期中）分式的最简公分母是（）A．3xy B．6x3y2C．6x6y6D．x3y3【答案】B【解答】解：分母分别是x2y、2x3、3xy2，故最简公分母是6x3y2；故选：B．6．（2023春•沙坪坝区期中）下列分式中是最简分式的是（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解；A、是最简二次根式，符合题意；B、＝，不是最简二次根式，不符合题意；C、＝＝，不是最简二次根式，不符合题意；D、＝﹣1，不是最简二次根式，不符合题意；故选：A．7．（2023春•原阳县期中）化简（1+）÷的结果为（）A．1+x B．C．D．1﹣x【答案】A【解答】解：原式＝×＝×＝1+x．故选：A．8．（2023•门头沟区二模）如果代数式有意义，那么实数x的取值范围是（）A．x≠2B．x＞2C．x≥2D．x≤2【答案】A【解答】解：由题意得：x﹣2≠0，解得：x≠2，故选：A．9．（2023春•武清区校级期末）计算﹣的结果是（）A．B．C．x﹣y D．1【答案】B【解答】解：﹣＝＝．故答案为：B．10．（2023春•东海县期末）根据分式的基本性质，分式可变形为（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：＝﹣，故选：C．11．（2023秋•莱州市期中）计算的结果是﹣x．【答案】﹣x．【解答】解：÷＝•（﹣）＝﹣x，故答案为：﹣x．12．（2023秋•汉寿县期中）学校倡导全校师生开展“语文阅读”活动，小亮每天坚持读书．原计划用a天读完b页的书，如果要提前m天读完，那么平均每天比原计划要多读的页数为（用含a、b、m的最简分式表示）．【答案】．【解答】解：由题意得：平均每天比原计划要多读的页数为：﹣＝﹣＝，故答案为：．13．（2023春•宿豫区期中）计算＝1．【答案】1．【解答】解：＝＝＝1，故答案为：1．14．（2023•广州）已知a＞3，代数式：A＝2a2﹣8，B＝3a2+6a，C＝a3﹣4a2+4a．（1）因式分解A；（2）在A，B，C中任选两个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分式，并化简该分式．【答案】（1）2a2﹣8＝2（a+2）（a﹣2）；（2）..【解答】解：（1）2a2﹣8＝2（a2﹣4）＝2（a+2）（a﹣2）；（2）选A，B两个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分式（答案不唯一），＝＝．15．（2023秋•思明区校级期中）先化简，再求值：（），其中．【答案】，．【解答】解：原式＝÷（﹣）＝÷＝•＝，当x＝﹣1时，原式＝＝．16．（2023秋•长沙期中）先化简，再求值：，其中x＝5．【答案】，．【解答】解：原式＝（﹣）•＝•＝，当x＝5时，原式＝＝．17．（2023•盐城一模）先化简，再求值：，其中x＝4．【答案】见试题解答内容【解答】解：原式＝（+）•＝•＝•＝x﹣1，当x＝4时，原式＝4﹣1＝3．18．（2022秋•廉江市期末）先化简（﹣x）÷，再从﹣1，0，1中选择合适的x值代入求值．【答案】﹣，0．【解答】解：原式＝（﹣）•＝﹣•＝﹣，∵（x+1）（x﹣1）≠0，∴x≠±1，当x＝0时，原式＝﹣＝0．1．（2023秋•西城区校级期中）假设每个人做某项工作的工作效率相同，m个人共同做该项工作，d天可以完成若增加r个人，则完成该项工作需要（）天．A．d+y B．d﹣r C．D．【答案】C【解答】解：工作总量＝md，增加r个人后完成该项工作需要的天数＝，故选：C．2．（2023秋•长安区期中）若a＝2b，在如图的数轴上标注了四段，则表示的点落在（）A．段①B．段②C．段③D．段④【答案】C【解答】解：∵a＝2b，∴＝＝＝＝＝，∴表示的点落在段③，故选：C．3．（2023秋•东城区校级期中）若x2﹣x﹣1＝0，则的值是（）A．3B．2C．1D．4【答案】A【解答】解：∵x2﹣x﹣1＝0，∴x2﹣1＝x，∴x﹣＝1，∴（x﹣）2＝1，∴x2﹣2+＝1，∴x2+＝3，故选：A．4．（2023秋•鼓楼区校级期中）对于正数x，规定，例如，，则＝（）A．198B．199C．200D．【答案】B【解答】解：∵f（1）＝＝1，f（1）+f（1）＝2，f（2）＝＝，f（）＝＝，f（2）+f（）＝2，f（3）＝＝，f（）＝＝，f（3）+f（）＝2，…f（100）＝＝，f（）＝＝，f（100）+f（）＝2，∴＝2×100﹣1＝199．故选：B．5．（2023秋•延庆区期中）当x分别取﹣2023，﹣2022，﹣2021，…，﹣2，﹣1，0，1，，，…，，，时，计算分式的值，再将所得结果相加，其和等于（）A．﹣1B．1C．0D．2023【答案】A【解答】解：当x＝﹣a和时，＝＝0，当x＝0时，，则所求的和为0+0+0+⋯+0+（﹣1）＝﹣1，故选：A．6．（2022秋•永川区期末）若分式，则分式的值等于（）A．﹣B．C．﹣D．【答案】B【解答】解：整理已知条件得y﹣x＝2xy；∴x﹣y＝﹣2xy将x﹣y＝﹣2xy整体代入分式得＝＝＝＝．故选：B．7．（2023春•铁西区月考）某块稻田a公顷，甲收割完这块稻田需b小时，乙比甲多用0.3小时就能收割完这块稻田，两人一起收割完这块稻田需要的时间是（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：乙收割完这块麦田需要的时间是（b+0.3）小时，甲的工作效率是公顷/时，乙的工作效率是公顷/时．故两人一起收割完这块麦田需要的工作时间为＝（小时）．故选：B．8．（2023春•临汾月考）相机成像的原理公式为，其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片（像）到镜头的距离．下列用f，u表示v正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：∵，去分母得：uv＝fv+fu，∴uv﹣fv＝fu，∴（u﹣f）v＝fu，∵u≠f，∴u﹣f≠0，∴．故选：D．9．（2023•内江）对于正数x，规定，例如：f（2）＝，f（）＝，f（3）＝，f（）＝，计算：f（）+f（）+f（）+…+f（）+f（）+f（1）+f（2）+f（3）+…+f（99）+f（100）+f（101）＝（）A．199B．200C．201D．202【答案】C【解答】解：∵f（1）＝＝1，f（2）＝，f（）＝，f（3）＝，f（）＝，f（4）＝＝，f（）＝＝，…，f（101）＝＝，f（）＝＝，∴f（2）+f（）＝+＝2，f（3）+f（）＝+＝2，f（4）+f（）＝+＝2，…，f（101）+f（）＝+＝2，f（）+f（）+f（）+…+f（）+f（）+f（1）+f（2）+f（3）+…+f（99）+f（100）+f（101）＝2×100+1＝201．故选：C．10．（2023春•灵丘县期中）观察下列等式：＝1﹣，＝﹣，＝﹣，…＝﹣将以上等式相加得到+++…+＝1﹣．用上述方法计算：+++…+其结果为（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：由上式可知+++…+＝（1﹣）＝．故选A．11．（2023秋•顺德区校级月考）先阅读并填空，再解答问题．我们知道，（1）仿写：＝，＝，＝．（2）直接写出结果：＝．利用上述式子中的规律计算：（3）；（4）．【答案】（1），；；（2）；（3）；（4）．【解答】解：（1），＝；＝，故答案为：，；；（2）原式＝1﹣+++...++＝1﹣＝；故答案为：；（3）＝＝1﹣+﹣+﹣+⋯⋯+＝1﹣＝；（2）原式＝×（）+×（）+×（）+...+×（）＝（）＝＝．12．（2023秋•株洲期中）阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数．如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如，这样的分式就是假分式；，这样的分式就是真分式．类似地，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）．如：，；解决下列问题：（1）分式是真分式（填“真”或“假”）；（2）将假分式化为带分式；（3）如果x为整数，分式的值为整数，求所有符合条件的x的值．【答案】（1）真；（2）x﹣2+；（3）﹣1或﹣3或11或﹣15．【解答】解：（1）分式是真分式；故答案为：真；（2）；（3）原式＝，∵分式的值为整数，∴x+2＝±1或±13，∴x＝﹣1或﹣3或11或﹣15．13．（2023秋•涟源市月考）已知，求的值．解：由已知可得x≠0，则，即x+．∵＝（x+）2﹣2＝32﹣2＝7，∴．上面材料中的解法叫做“倒数法”．请你利用“倒数法”解下面的题目：（1）求，求的值；（2）已知，求的值；（3）已知，，，求的值．【答案】（1）；（2）24；（3）．【解答】解：（1）由，知x≠0，∴．∴，x•＝1．∵＝x2+＝（x﹣）2+2＝42+2＝18．∴＝．（2）由＝，知x≠0，则＝2．∴x﹣3+＝2．∴x+＝5，x•＝1．∵＝x2+1+＝（x+）2﹣2+1＝52﹣1＝24．∴＝．（3）由，，，知x≠0，y≠0，z≠0．则＝，＝，y+zyz＝1，∴+＝，+＝，+＝1．∴2（++）＝++1＝．∴++＝．∵＝++＝，∴＝．14．（2022秋•兴隆县期末）设．（1）化简M；（2）当a＝3时，记M的值为f（3），当a＝4时，记M的值为f（4）．①求证：；②利用①的结论，求f（3）+f（4）+…+f（11）的值；③解分式方程．【答案】（1）；（2）①见解析，②，③x＝15．【解答】解：（1）＝＝＝＝＝；（2）①证明：；②f（3）+f（4）+⋅⋅⋅+f（11）＝＝＝＝；③由②可知该方程为，方程两边同时乘（x+1）（x﹣1），得：，整理，得：，解得：x＝15，经检验x＝15是原方程的解，∴原分式方程的解为x＝15．15．（2023春•蜀山区校级月考）【阅读理解】对一个较为复杂的分式，若分子次数比分母大，则该分式可以拆分成整式与分式和的形式，例如将拆分成整式与分式：方法一：原式＝＝＝x+1+2﹣＝x+3﹣；方法二：设x+1＝t，则x＝t﹣1，则原式＝＝．根据上述方法，解决下列问题：（1）将分式拆分成一个整式与一个分式和的形式，得＝；（2）任选上述一种方法，将拆分成整式与分式和的形式；（3）已知分式与x的值都是整数，求x的值．【答案】（1）；（2）；（3）﹣35或43或﹣9或17或1或7或3或5．【解答】解：（1）由题知，，故答案为：．（2）选择方法一：原式＝＝．选择方法二：设x﹣1＝t，则x＝t+1，则原式＝＝＝＝＝．（3）由题知，原式＝＝＝＝．又此分式与x的值都是整数，即x﹣4是39的因数，当x﹣4＝±1，即x＝3或5时，原分式的值为整数；当x﹣4＝±3，即x＝1或7时，原分式的值为整数；当x﹣4＝±13，即x＝﹣9或17时，原分式的值为整数；当x﹣4＝±39，即x＝﹣35或43时，原分式的值为整数；综上所述：x的值为：﹣35或43或﹣9或17或1或7或3或5时，原分式的值为整数．16．（2023春•兰州期末）阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可以化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如，这样的分式就是假分式；再如：这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式），如：．解决下列问题：（1）分式是真分式（填“真分式”或“假分式”）；（2）将假分式化为整式与真分式的和的形式：＝2+．若假分式的值为正整数，则整数a的值为1，0，2，﹣1；（3）将假分式化为带分式（写出完整过程）．【答案】（1）真分式；（2）2+；1，2，﹣1；（3）x﹣1﹣．【解答】解：（1）由题意得：分式是真分式，故答案为：真分式；（2）＝＝2+，当2+的值为正整数时，2a﹣1＝1或±3，∴a＝1，2，﹣1；故答案为：2+；1，2，﹣1；（3）原式＝＝＝x﹣1﹣．1．（2023•湖州）若分式的值为0，则x的值是（）A．1B．0C．﹣1D．﹣3【答案】A【解答】解：∵分式的值为0，∴x﹣1＝0，且3x+1≠0，解得：x＝1，故选：A．2．（2023•天津）计算的结果等于（）A．﹣1B．x﹣1C．D．【答案】C【解答】解：＝＝＝＝，故选：C．3．（2023•镇江）使分式有意义的x的取值范围是x≠5．【答案】x≠5．【解答】解：当x﹣5≠0时，分式有意义，解得x≠5，故答案为：x≠5．4．（2023•上海）化简：﹣的结果为2．【答案】2．【解答】解：原式＝＝＝2，故答案为：2．5．（2023•安徽）先化简，再求值：，其中x＝．【答案】x+1，．【解答】解：原式＝＝x+1，当x＝﹣1时，原式＝﹣1+1＝．6．（2023•广安）先化简（﹣a+1）÷，再从不等式﹣2＜a＜3中选择一个适当的整数，代入求值．【答案】；﹣1．【解答】解：（﹣a+1）÷＝•＝．∵﹣2＜a＜3且a≠±1，∴a＝0符合题意．当a＝0时，原式＝＝﹣1．7．（2023•淮安）先化简，再求值：÷（1+），其中a＝+1．【答案】，．【解答】解：原式＝÷（+）＝÷＝•＝，当a＝+1时，原式＝＝．8．（2023•朝阳）先化简，再求值：（+）÷，其中x＝3．【答案】，1．【解答】解：原式＝[+]•＝•＝，当x＝3时，原式＝＝1．。
分式的运算练习题及答案
分式的运算练习题及答案分式的运算是数学中的基本内容之一，掌握好分式的运算方法对于提高数学水平具有重要的作用。
本文将为您提供一些分式的运算练习题及答案，帮助您巩固分式运算的知识。
一、基础练习题1. 计算：$\frac{1}{2} + \frac{3}{4}$答案：$\frac{5}{4}$2. 计算：$\frac{2}{3} \times \frac{3}{5}$答案：$\frac{2}{5}$3. 计算：$\frac{5}{6} \div \frac{1}{2}$答案：$\frac{5}{3}$4. 计算：$\frac{3}{4} + \frac{2}{9} - \frac{1}{3}$答案：$\frac{1}{36}$5. 计算：$(\frac{2}{3} + \frac{1}{4}) \times \frac{3}{5}$答案：$\frac{13}{30}$二、复杂练习题1. 计算：$\frac{3}{4} \div \frac{2}{5} \times \frac{1}{3}$答案：$\frac{15}{8}$2. 计算：$(\frac{7}{8} - \frac{3}{4}) \div (\frac{2}{3} \times\frac{5}{6})$答案：$\frac{7}{20}$3. 计算：$\frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \times \frac{1}{5}$答案：$\frac{2}{15}$4. 计算：$\frac{2}{3} \div \frac{3}{4} + \frac{4}{5} - \frac{5}{6}$答案：$\frac{7}{6}$5. 计算：$(\frac{3}{4} + \frac{1}{5}) \div \frac{2}{3} - \frac{5}{6}$答案：$-\frac{17}{36}$三、应用题1. 甲、乙两人一起做数学题，甲做的时间是乙的$\frac{2}{3}$，若乙做完题所需时间为1小时，问甲需要多长时间做完这些题？答案：$\frac{4}{3}$小时解析：设甲需要x小时做完这些题，则根据题意可得$\frac{x}{1}=\frac{2}{3}$，解得x=$\frac{4}{3}$。
分式混合运算(讲义及答案)
分式混合运算（讲义）知识点睛1. 在进行分式的运算前，要先把分式的分子和分母__________．分式的乘除要__________，加减要___________，最后的结果要化成______________．精讲精练1. 分式的混合运算：（1）242222x x x x x⎛⎫++÷ ⎪--⎝⎭；（2）2111122x x x x ⎛⎫-÷ ⎪-+-⎝⎭；（3）24142a a a ⎛⎫+÷ ⎪--⎝⎭；（4）341132a a a a -⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭；（5）2344111x x x x x -+⎛⎫+-÷ ⎪--⎝⎭；（6）11-+a a 221a a a -÷-+a1．2.化简求值：（1）先化简，再求值：22112111x x xx x x x⎛⎫--+÷⎪-++-⎝⎭，其中x=3．（2）先化简，再求值：2222211b a ab baa ab a a b⎛⎫-+⎛⎫÷++⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，其中11 a b==，．（3）先化简分式221221x x x x x x x x -⎛⎫-÷ ⎪---+⎝⎭，然后从13x -≤≤ 中选取一个你认为合适的整数x 代入求值．（4）先化简分式3423332a a a a a a a +-+⎛⎫-÷⋅ ⎪+++⎝⎭，然后从不等式组 25<324a a --⎧⎨⎩≤的解集中选取一个你认为符合题意的a 代入求值．3. 化简：22111a a ab a ab --÷⋅+，并选取一组你喜欢的整数a ，b 代入求值．小刚计算这一题的过程如下：22(1)(1)1111(1)(1)1a a a ab a aba a ab a a ab ab+--=÷⋅++-=⨯⋅+-=解：原式①②③当a =1，b =1时，原式=1． ④ 以上过程有两处错误，第一次出错在第______步（填写序号），原因：_____________________________________________；还有第_______步出错（填写序号），原因：___________________________________________________．请你写出此题的正确解答过程．4. 课堂上，王老师出了这样一道题：已知2015x =-22213111x x x x x -+-⎛⎫÷+ ⎪-+⎝⎭的值． 小明觉得直接代入计算太复杂了，同学小刚帮他解决了问题，并解释说：“结果与x 无关”．解答过程如下：2(1)13(1)(1)1111112(1)12_________x x x x x x x x x x x x -++-=÷+-+-=÷+-+=⋅+-=原式①②③④当2015x =-12=原式． （1）从原式到步骤①，用到的数学知识有_______________；（2）步骤②中空白处的代数式应为_____________________；（3）从步骤③到步骤④，用到的数学知识有_____________．5. 有两个熟练工人甲和乙，已知甲每小时能制作a 个零件，乙每小时能制作b个零件．现要赶制一批零件，如果甲单独完成需要m 小时，那么甲、乙两人同时工作，可比甲单独完成提前_______________小时．6. 若把分式x y x y+-中的x 和y 都扩大为原来的10倍，则分式的值（ ） A ．扩大为原来的10倍 B ．不变C ．缩小为原来的110D ．不能确定 7. 若把分式2x y xy+中的x 和y 都扩大为原来的3倍，则分式的值（ ） A ．扩大为原来的3倍 B ．不变C ．缩小为原来的13D ．缩小为原来的168. 已知53m n =，则222m m n m n m n m n+-=+--__________． 9. 已知34(1)(2)12x A B x x x x -=+----，则A =______，B =______．【参考答案】知识点睛1. 因式分解，约分，通分，最简分式或整式精讲精练1. （1）2x（2）4x（3）2a a + （4）2a +（5）22x x +- （6）21(1)a -- 2. （1）原式41x =+，当x =3时，原式1=（2）原式1ab=-，当11a b ==，时，原式1=- （3）原式12x =--，当x =3时，原式1=- （4）原式=a +3，当0a =时，原式3=3. ③，约分出错④，a 的取值不能为1，当a =1时，原分式无意义 正确的解答过程略4. （1）分解因式，通分，分式的基本性质（2）221x x -+ （3）约分，分式的基本性质 5.bm a b + 6.B 7.C 8.4116 9.1，2。
2021北师大版本八年级下册分式的四则运算
分式四则运算模块一 分式的乘除法知识点1：分式的约分定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。
一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。
注意：约分后的分式必须为最简分式，即分式的分子，分母没有公因式 例1、化简下列各式：（1）cb ac b a 422342135- （2）12122+--x x x .练1、化简下列各式：（1）ab bc a 2; （2）233)(4)(2y x y y x x --知识点2：分式的乘除法1．最简分式：一个分式的分子、分母没有公因式时叫做最简分式；2.分式的乘法法则：分式乘以分式，用分子的积作为结果的分子，分母的积作为结果的分母，用式子表示是：a b · c d ＝bdac（先约分再相乘）3.分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子与分母颠倒位置后，与被除式相乘，用式子表示是：cc ••=•=÷b da db a dc b a （先约分，再把相除变成相乘）4. 分式的乘方法则：分式乘 分子、分母各自乘方 。
用式子表示是：( a b )n ＝ anbn★注意点：这里a, b, c, d 所代表的可以是单项式，也可以是多项式。
1、当分式的分子、分母为多项式时，先要进行因式分解，才能够依据分式的基本性质进行约分。
2、分式运算时，先约分再相乘，当除式（或被除式）是整式时，可以看作分母是1的式子，然后再按分式的乘除法则计算。
例2-1、（最简分式）在分式xx n m n m b a a x x 222,313,223--+++和中，最简分式是____________________例2-2、下列各分式中，是最简分式的是（ ）A ．B ．C ．D ．例2-3、下列分式中不是最简分式的是（ ） A ．B ．C ．D ．练2-1、下列分式中，最简分式有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个 练2-2、分式：①，②，③，④中，最简分式有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个例3、（约分）下列约分正确的是（ ） A ．B ．=﹣1C ．=D ．=练3-1、化简的结果为（ ）A ．B ．C ．D ．练3-2、下列分式约分正确的是（ ） A ．=a 2 B ．=1 C ．= D ．=例4、（乘除运算）计算下列各题 （1）2ba ·（－2a b ） (2) 4411242222++-⋅+--a a a a a a（3）ab b a 22-÷（a －b ）2(4)229612316244yy y y y y --÷+⋅-+-练4、（1） ⎪⎭⎫⎝⎛-÷x x y 27 （2）)21()3(43xy x y x -⋅-÷例5-1、（化简求值）先化简，再求值：222693bab aab a +--,其中a =－8,b =21.例5-2、已知03=-y x ，求)(2222y x yxy x yx -•+-+的值。
八年级数学上册：第15章：分式四则运算
分式四则运算（人教版）一、单选题(共11道；每道9分)的结果为( )A.1B.C. D.答案：B解题思路：故选B.试题难度：三颗星知识点：分式的乘除运算的结果为( )A. B.aC. D.答案：A解题思路：故选A．试题难度：三颗星知识点：分式的乘除运算的结果为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：故选C．试题难度：三颗星知识点：分式的乘除运算的结果为( ) A.-2 B.2C. D.答案：A解题思路：故选A.试题难度：三颗星知识点：分式的乘除运算5.的最简公分母是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：最简公分母通分过程中；不正确的是( )B.C. D.答案：B解题思路：；选项B错误；故选B．试题难度：三颗星知识点：最简公分母的结果为( )A. B.C. D.答案：B解题思路：故选B．试题难度：三颗星知识点：分式的加减运算8.( )A. B.C. D.答案：B解题思路：故选B．试题难度：三颗星知识点：分式的混合运算9.( )A.1B.C. D.答案：A解题思路：故选A．试题难度：三颗星知识点：分式的混合运算10.( )A. B.C.1D.-1答案：C解题思路：故选C．试题难度：三颗星知识点：分式的混合运算；分式的分子分母都加上1；所得分式的值相比( )A.增大B.减小C.不变D.无法确定答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：分式的加减运算。
分式的四则运算
分式的四则运算分式是数学中常见的一种表达形式，可以用于表示一部分与整体的比例关系。
在数学运算中，我们同样可以对分式进行四则运算，包括加法、减法、乘法和除法。
下面将分式的四则运算进行详细介绍。
一、分式的加法分式的加法可以通过以下步骤进行：步骤1：将两个分式的分母相同，如果分母不同，则需要进行通分。
通分的方法是将两个分母的最小公倍数作为共同的分母。
步骤2：将通分后的两个分式的分子相加，并保持分母不变。
步骤3：将相加后的分子化简为最简形式，即求分子与分母的最大公约数，然后将分子和分母同时除以最大公约数。
举例说明：假设有两个分式：a/b 和 c/d。
首先判断分母是否相同，如果不同，则需要进行通分。
假设最小公倍数为lcm(b, d)。
通分后的分式为：a*lcm(d/b) / b*lcm(d/b) 和 c*lcm(b/d) / d*lcm(b/d)。
将通分后的分子相加，得到：(a*lcm(d/b) + c*lcm(b/d)) /(b*lcm(d/b))。
最后化简为最简形式。
二、分式的减法分式的减法与加法类似，可以通过以下步骤进行：步骤1：将两个分式的分母相同，如果分母不同，则需要进行通分。
步骤2：将通分后的两个分式的分子相减，并保持分母不变。
步骤3：将相减后的分子化简为最简形式。
举例说明：假设有两个分式：a/b 和 c/d。
首先判断分母是否相同，如果不同，则需要进行通分。
假设最小公倍数为lcm(b, d)。
通分后的分式为：a*lcm(d/b) / b*lcm(d/b) 和 c*lcm(b/d) / d*lcm(b/d)。
将通分后的分子相减，得到：(a*lcm(d/b) - c*lcm(b/d)) / (b*lcm(d/b))。
最后化简为最简形式。
三、分式的乘法分式的乘法可以通过以下步骤进行：步骤1：将两个分式的分子相乘，同时将两个分式的分母相乘。
步骤2：将相乘后的分子和分母化简为最简形式。
举例说明：假设有两个分式：a/b 和 c/d。
分式的运算(有答案)
分式的运算一、 分式的加减法1.同分母分式的加减法2.异分母分式的加减法二、 分式的乘除法 三、 分式的混合运算一、 分式的加减法1.同分母分式的加减法1. 【易】计算111x x x ---结果是（ ） A ．0 B ．1 C ．1- D ．x【答案】C2. 【易】化简：2111x xx x -+=++_____________． 【答案】13. 【易】计算代数式ac bca b a b--- 【答案】C4. 【易】计算：211m mm m -=--_____________．【答案】m5. 【易】计算22a b a b a b-=--___________ 【答案】a b +6. 【易】化简代数式2111x x x+-- 【答案】1x +7. 【易】化简211x xx x+--的结果是（ ） A ．1x + B ．1x - C ．x -D ．x【答案】D 8. 【中】计算2222222x y x xy y x xy y --+-+ 【答案】解：原式()()2222x y x y x y =---()222x y x y -=-x yx y+=-9. 【中】计算222222222a ab b a b b a a b ++---【答案】10. 【中】计算251222x x xx x x-+----- 【答案】2x +11. 【中】计算2224332222x y x y x yxy y x xy +-+-- 【答案】1xy12. 【中】计算2222222233n m m n m n mm n m n m n m n -+-++----- 【答案】22nm n -13. 【中】计算：⑴2222135333x x x x x x x x +--+-++++；⑵22222621616x x x x x +-++-- 【答案】⑴2=；⑵24x =+．a ba b-=+2.异分母分式加减法14. 【易】计算11x x y --的结果是（ ） A ．()y x x y -- B ．2()x yx x y +- C ．()2x y x x y --D ．()yx x y -【答案】A15. 【易】2213a a a -- 【答案】263a a a -- 16. 【易】分式()1111a a a +++的计算结果是（ ） A ．11a + B ．1a a + C ．1aD ．1a a+ 【答案】C 17. 【易】化简代数式()()a bb a b a a b ---【答案】a bab+ 18. 【中】学完分式运算后，老师出了一道题“化简：23224x xx x +-++-” 小明的做法是：原式222222(3)(2)26284444x x x x x x x x x x x +--+----=-==----；小亮的做法是：原式()()()22322624x x x x x x x =+-+-=+-+-=-； 小芳的做法是：原式32313112(2)(2)222x x x x x x x x x x +-++-=-=-==++-+++． 其中正确的是（ ） A ．小明 B ．小亮 C ．小芳 D ．没有正确的 【答案】C19. 【中】化简22124a a a -=--___________ 【答案】12a + 20. 【中】计算：218416x x ---． 【答案】14x =+ 21. 【中】计算：22111x x x ---． 【答案】11x =+ 22. 【中】化简：2212211x x x x -+=+++_____________． 【答案】123. 【中】计算11aa a +--的结果是（ ）A ．11a -B ．11a --C ．211a a a ---D ．1a -【答案】C24. 【中】化简211a a a ---的结果是（ ）A ．B ．－C ．D ．【答案】A25. 【中】化简1a ba b b a++-- 【答案】原式=1a ba b b a ++-- =1a ba b -+- =11+ =226. 【中】()21126329xx xx +++-- 【答案】29218x =--27. 【中】（2009年大兴二模）化简：311(1)(2)x x x x ----+，并指出x 的取值范围． 【答案】=12x +．x 的取值范围是2x ≠-且1x ≠的实数．28. 【中】化简：12212112a a a a +---+-+． 【答案】原式421254a a =-+29. 【难】化简：2481124811111x x x x x -----++++． 【答案】原式16161x =-30. 【难】计算：222111563243x x x x x x +-++++++．【答案】2143x x =++二、 分式的乘除法31. 【易】计算：11m nn m +⋅=+_________． 【答案】132. 【易】计算：mn m nm n m+⋅=+___________． 【答案】n33. 【易】计算2324ab axcd cd-÷等于（ ）A ．223b x B ．232b xC ．223b x-D ．222238a b x c d-【答案】C34. 【易】计算：()()23221323m n m n ----⋅（最后结果写成正整数幂形式）=_________【答案】713427m n35. 【易】22()an m m n ⋅--的值为（ ） A ．2a m n + B ．a m n + C ．a m n -+D ．am n-- 【答案】C36. 【易】化简：2()n nm m m-÷-的结果是（ ）A ．1m --B ．1m -+C ．mn m -+D ．mn n --【答案】B37. 【易】化简：2211x x x x +-÷． 【答案】1x x -38. 【中】化简：222448.244a ab abab a a -+++ 【答案】24a -39. 【中】计算下列各题①252128y xy x ⋅；②222242m n m mnm mn m n --÷-- ③22111.(1)11x x x x -÷--+；④22222(32)25549x a a b a b x a x +-⋅+- 【答案】①2154y x；②22m n m +；③1；④5(23)a b x a --．40. 【中】①389()22x y y x ⋅-=_______________；②22333x xy x y x x--+÷=_______________； ③1()a b a b ÷+=+_____________；④2222222ab b a b a ab b a ab+-⋅=++-____________． 【答案】①218x -；②1-；③()21a b +；④ba．41. 【中】2221()111a a a a a a a -+÷⋅--- 【答案】11aa+-42. 【中】计算23243a a bb b a⎛⎫-÷⋅⎪⎝⎭ 【解析】原式=224233a b bb a a ⨯⨯89= 【答案】8943. 【中】计算：()234a a a b b b ⎛⎫⎛⎫-⋅-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】6ab44. 【中】2342()()()b a ba b a -⋅-÷-【答案】23423452642648()b a b b a a a a a a a b b b=⋅-÷=-⋅⋅=-45. 【中】2223()()()x y x x y xy x y -÷+⋅- 【答案】2()()x x y y x y +-46. 【中】计算：22266(3)443x x x x x x x -+-÷+⋅-+- 【答案】22(3)1(3)(2)2(2)3(3)2x x x x x x x -+-=⋅=--+---47. 【中】()23224422281xy xy x x x xy y x -+--+÷-⋅-- 【答案】解：()23224422281xy xy x x x xy y x -+--+÷-⋅-- ()()()()2221122221x y x x y y y x ---=⋅⋅+--- ()()1221x x xy -=⋅+3224x x y -=+48. 【难】化简：44xy xy x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫-+⋅+- ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭【答案】原式()()2244x y xyx y xyx yx y-++-=⋅-+2342()()()b a b a b a -⋅-÷-22266(3)443x x x x x x x-+-÷+⋅-+-()()22x y x y x yx y+-=⋅-+22x y =-三、 分式的混合运算49. 【易】计算的结果是（ ） A ． B ． C ．D ．【答案】B50. 【易】计算()a b a bb a a +-÷的结果为_________________．【答案】a bb-51. 【易】化简22(1)b a a b a b -÷+- 【答案】解：22(1)b a a b a b -÷+- ()()a b a b a b b a b a +-+-=⋅+ a b =-52. 【易】化简263393m m m m +÷+--的结果是_________________ 【答案】153. 【易】计算：22(1)b a a b a b +÷-- 【答案】a b +54. 【易】化简：231122x x x --÷++（） 【答案】231122x x x --÷++（） 2322(1)(1)x x x x x +-+=⋅++-11x =+55. 【易】22()a b ab b a a b a a ⎛⎫--÷-≠ ⎪⎝⎭【答案】原式222a b a ab b a a ---=÷ =22222a b a b a ba b a b ab ⎛⎫+---⨯ ⎪-+⎝⎭1a b -1a b +a b -a b +1a b-56. 【易】化简：2224222a a a a a a ⎛⎫⋅- ⎪+--⎝⎭【答案】a57. 【易】计算：()241222a a a a -÷-⨯+- 【答案】()241222a a a a -÷-⨯+- ()()2211222a a a a a +-=⋅⨯+-- 12a =-58. 【易】计算或化简：()21111x x xx x +⎛⎫-÷ ⎪-⎝⎭- 【答案】解： 11x=-+59. 【易】计算221()a ba b a b b a-÷-+-【答案】解：原式=()()()a a b b aa b a b b ---⨯+- ()()b b aa b a b b -=⨯+- 1a b=-+60. 【中】化简：22221369x y x y x y x xy y +--÷=--+_______ 【解析】2yx y-61. 【中】计算：()222211121a a a a a a +-÷+---+． 【答案】1-62. 【中】计算：2228224a a a a a a +-⎛⎫+÷ ⎪--⎝⎭ 【答案】原式63. 【中】化简：2211()1211a a a a a a ++÷--+-．【答案】11a -64. 【中】221121x x x x x x x+⎛⎫-÷ ⎪--+⎝⎭【答案】()211x --65. 【中】化简：2222111x x x x x x -+⎛⎫-÷ ⎪+-⎝⎭【答案】x66. 【中】化简：221211241x x x x x x --+÷++-- 【答案】167. 【中】化简：22222369x y x y yx y x xy y x y--÷-++++ 【答案】128(2)(2)(2)2a a a a a a a ⎡⎤+=-⨯⎢⎥-+--⎣⎦2(2)8(2)(2)2a a a a a a a +-=⨯+--2(2)(2)(2)2a a a a a a -=⨯+--12a =+68. 【中】化简22424422x x x x x x x ⎛⎫--+÷ ⎪-++-⎝⎭，其结果是（ ） A ．82x -- B ．82x - C ．82x -+ D ．82x + 【答案】D69. 【中】⑴222b a a b a b a b-⎛⎫++÷ ⎪-⎝⎭ ⑵222244224y x y x y x y y x +++-- 【答案】⑴a b ab+；⑵22x x y +70. 【中】化简：222211214421a a a a a a a +-⋅÷+=-+++-_________________ 【答案】11a -71. 【中】化简：2()b a b a b a b a+-+⋅+ 【答案】解：2()b a b a b a b a+-+⋅+ 222a b b a b a b a -++=⋅+ a =72. 【中】44()()ab ab a b a b a b a b-++--+ 【答案】22a b -73. 【中】化简：11n m n m m m n m m n ⎛⎫⎛⎫+-÷+- ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭． 【答案】原式()()()()()()22m m n n m n m m m n n m n m m m n m m n -+--+++-=÷-+ ()()222m m n n m m n mn n +-=⋅-+ 2222mn n m mn n --=--74. 【中】化简：111111a a a a ⎛⎫+÷+ ⎪+-+⎝⎭． 【答案】解：原式=()()111111a a a a a a -+++⨯+-+ 2111a a a -=+-- 11a a +=-。
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分式的四则运算知识总结归纳：1. 分式的乘除法法则a b c d ac bd ⋅=；a b c d a b d c ad bc÷=⋅= 当分子、分母是多项式时，先进行因式分解再约分。
2. 分式的加减法（1）通分的根据是分式的基本性质，且取各分式分母的最简公分母。
求最简公分母是通分的关键，它的法则是：①取各分母系数的最小公倍数；②凡出现的字母（或含有字母的式子）为底的幂的因式都要取；③相同字母（或含有字母的式子）的幂的因式取指数最高的。
（2）同分母的分式加减法法则：a c b c a b c±=±。
（3）异分母的分式加减法法则是先通分，变为同分母的分式，然后再加减。
3. 分式乘方的法则：()a b a bn nn =（n 为正整数） 4. 分式的运算是初中数学的重要内容之一，在分式方程，求代数式的值，函数等方面有重要应用。
学习时应注意以下几个问题：（1）注意运算顺序及解题步骤，把好符号关；（2）整式与分式的运算，根据题目特点，可将整式化为分母为“1”的分式；（3）运算中及时约分、化简；（4）注意运算律的正确使用；（5）结果应为最简分式或整式。
下面我们一起来学习分式的四则运算例1：计算x x x x x x x x 22222662----÷+-+-的结果是（） A. x x --13B. x x +-19C. x x 2219--D. x x 2213++ 分析：原式22(2)(1)(2)(1)(1)(1)1(3)(2)(3)(2)(3)(3)9x x x x x x x x x x x x x x -++-+--=⋅==-++-+-- 故选C 说明：先将分子、分母分解因式，再约分。
*例2：已知abc =1，求a ab a b bc b c ac c ++++++++111的值。
分析：若先通分，计算就复杂了，我们可以用abc 替换待求式中的“1”，将三个分式化成同分母，运算就简单了。
解：原式=++++++++a ab a ab abc ab a abc abc abc ab1 111111=++++=++++++++=a ab ab a ab a abc a ab ab a ab a 例3：已知：250m n -=，求()()11+--÷+-+n m m m n n m m m n 的值。
分析：本题先化简，然后代入求值。
化简时在每个括号内通分，除号改乘号，除式的分子、分母颠倒过来，再约分、整理。
最后将条件等式变形，用一个字母的代数式来表示另一个字母，带入化简后的式子求值。
这是解决条件求值问题的一般方法。
解：()()11+--÷+-+n m m m n n m m m n n m n m n n m m n m m n n m m m n m n n m m n m m m n m n n m m -+=-+÷--=+-+++÷---+-=)()()()()()()()( 故原式=+-5252n n n n =÷=723273n n *例4：已知a 、b 、c 为实数，且ab a b bc b c ca c a +=+=+=131415，，，那么abc ab bc ca++的值是多少？ 分析：已知条件是一个复杂的三元二次方程组，不容易求解，可取倒数，进行简化。
解：由已知条件得：113114115a b b c c a+=+=+=，， 所以211112()a b c ++=即1116a b c ++=又因为ab bc ca abc c b a++=++=1116所以abc ab bc ca ++=16 例5：化简：()x x x x x x 322121241+-+-+⋅-+ 解一：原式=+++---+⋅--+()()()()()()()()x x x x x x x x x 32121222221 4421)1333)(1(1)1)(1()1)(1(3)1)(1(1)1()1(3)(142323223222324234+-+=++-+-+-+=+-+-+-++-+=+--++-=++-+=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 解二：原式=+-+-⋅+-+++-+⋅+-+()()()()()()()()x x x x x x x x x x x x x 1122211122212 44223222)2)(1()2)(1(2322232+-+=+-++-++-=--+++-=x x x x x x x x x x x x x x x说明：解法一是一般方法，但遇到的问题是通分后分式加法的结果中分子是一个四次多项式，而它的分解需要拆、添项，比较麻烦；解法二则运用了乘法分配律，避免了上述问题。
因此，解题时注意审题，仔细观察善于抓住题目的特征，选择适当的方法。
例1（2000·北京朝阳）计算：12442222+--÷--+n m m n m n m mn n解：原式nm n n m n m n m n m n m +=++-+=+--=3221 说明：分式运算时，若分子或分母是多项式，应先因式分解。
例2（2001·内蒙呼和浩特）已知：M x y xy y x yx y x y 222222-=--+-+，则M =_________。
解：222222222222yx M y x x y x y xy x y xy -=-=-+-+-=∴=M x 2 说明：分式加减运算后，等式左右两边的分母相同，则其分子也必然相同，即可求出M 。
例1：计算：[()()]()111122a b a b a b a b +--÷+-- 解一：原式=--++-÷---+-()()()()()()a b a b a b a b a b a b a b a b 2222 22222))((22))(()()(4b a a b a b a a b b a b a b a b a ab -=-+=--+⋅-+-= 解二：原式=++-+--÷+--()()()111111a b a b a b a b a b a b 222))((11b a a b a b a b a b a b a b a -=-+++-=-++= 说明：在分式的运算过程中，乘法公式和因式分解的使用会简化解题过程。
此题两种方法的繁简程度一目了然。
例2：若a b ab 223+=，则()()1212333+-÷+-b a b b a b 的值等于（） A. 12 B. 0 C. 1 D. 23解：原式=-+-÷-+-a b b a ba b b a b 3333322214233))(())((222222223333==+-=+++-=+-⋅++-+-+=+-⋅-+=ab ab ab ab ab ab b ab a b ab a ba b a b ab a b a b ab a b a b a b a b a b a 故选A[基本练习]1. 已知：a b ab +==-25，，则a b b a+的值等于（） A. -25 B. -145 C. -195 D. -2452. 已知x x 21610--=，求x x331-的值。
3. 计算：132156171219202222x x x x x x x x +++++++++++ * 4. 若A B =++=++999919999199991999911111222222223333，，试比较A 与B 的大小。
*5. 已知：a b c abc ++==08，，求证：1110a b c++<。
【答案】1. 解：514514142)(52222-=-=+∴=-+=+∴∴-==+a b b a ab b a b a ab b a ， 故选B 2. 解：111111616336324234223⋅-=-=-++=++-x x x x x x x x x x x x x x ()()()414425916]16163[16])1(163[162=⨯=⨯+=-+=xx x x 说明：此题反复运用了已知条件的变形，最终达到化简求值的目的。
3. 解：原式=+++++++++++112123134145()()()()()()()()x x x x x x x x 564511151414131312121112++=+-+=+-+++-+++-+++-+=x x x x x x x x x x x x 说明：本题逆用了分式加减法则对分式进行拆分，简化计算。
4. 解：设a =99991111，则A a a B a a =++=++1111223， ∴-=++-++=+++---++A B a a a a a a a a a a a 111112111223434223()() =-++>a a a a ()()()1110223∴>A B 5. 证明： a b c ++=0∴++=()a b c 20，即a b c ab bc ac 2222220+++++=又111116222a b c bc ac ab abc a b c ++=++=-++() abc =8 c b a 、、∴均不为零1110 222<++∴>++∴cba cba。