第一讲 速算与巧算之四则运算~
小升初 数学 暑假课14讲 第1讲 四则运算及运算定律 讲义
1.掌握四则运算的意义及计算方法2.清楚四则混合运算顺序及运算定律【学习重难点】1.运算定律的简便计算2.有关分数的应用。
导学一：四则运算知识点一：四则运算的意义和计算方法（乘除）运算 意义 计算方法乘法 整数乘法 求几个相同加数的和的简便运算 从低位到高位分别用一个乘数的每一位去乘另一个乘数；用乘数的哪一位去乘，所得积的末位就要和哪一位对齐；把几次求得的积加起来小数乘法 一个数乘小数就是求这个数的十分之几、百分之几…是多少 先按照整数乘法的法则计算出积，再看乘数中一共有几位小数，就从积的右边数出几位点上小数点分数乘法 一个数乘分数就是求这个数的几分之几是多少 分数乘整数，用分数的分子和整数相乘的积作分子，分母不变；分数乘分数，分子和分子相乘的积作分子，分母和分母相乘的积作分母除法整数除法 整数、小数、分数除法的意义相同，都是已知两个数的积与其中一个乘数，求另一个乘数的运算从被除数的最高位除起，除数有几位就看被除数的前几位，如果前几位比除数小，就多取一位再除，除到哪一位，商就写到哪一位的上面；如果哪一位上不够商1，就在哪一位上写0，每次除得的余数必须比除数小小数除法 除数是整数时，按照整数除法的法则进行计算，商的小数点要与被除数的小数点对齐；除数是小数时，先把除数化成整数，同时把被除数扩大相同的倍数，再按照除数是整数的除法进行计算分数除法甲数除以乙数（0除外）等于甲数乘以乙数的倒数重点提示：1.有0参与运算的特殊情况：a+0=a a-0=a a-a=0 a ×0=0 0a=0（a 0）学生/课程 年级 小升初 学科 数学授课教师日期时段核心内容 四则运算及运算定律（第1讲）2.有1参与运算的特殊情况：a×1=a a 1=a a a=1（a0）知识点二：四则运算中各部分间的关系运算各部分间的关系加法加数十加数=和一个加数=和一另一个加数减法被减数一减数=差减数=被减数一差被减数=减数+差乘法乘数×乘数=积一个乘数=积另一个乘数除法没有余数的除法商=被除数除数除数=被除数商被除数=除数×商有余数的除法被除数÷除数=商……余数被除数=商×除数+余数商=（被除数-余数）除数除数=（被除数-余数）商余数=被除数-商×除数1.小数乘法转化为整数乘法，除数为小数的除法转化为除数为整数的除法，分数除法转化为分数乘法，都体现了转化的数学思想。
1.四则运算的速算和巧算(思维班 练习)
1.四则运算的速算和巧算（思维班练习）1.四则运算的速算和巧算（思维班练习）第一课：四个快速而熟练的计算年级姓名学号[知识要点]“巧算”是以算式整体以及其中的每个数进行观察，剖析算式的特点和各数之间可能存在的联系，恰当地利用运算定律和运算性质，改变运算顺序，使计算简便易行。
熟练计算的主要方法：1、凑成容易算的数进行简便计算（主要有“凑整法”和“基准数法”。
）2、利用运算定律、运算性质进行简便计算。
3、根据计算公式进行简便计算。
常用的定律和性质：1.五大基本运行规律（1）加法交换律：a+b=b+a（2）加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)（3）乘法交换律：a×b=b×a（4）乘法结合律：(a×b)×c=a×(b×c)（5）乘法分配律：(a±b)×c=a×c±b×c2、五个运算性质（1）分区分布特性：（a±b）÷C=a÷C±b÷C（2）商不变的性质：a÷b=(a×c)÷(b×c)=(a÷c)÷(b÷c)(b,c≠0)（3）加减法的运算性质：a+b-c=a-c+ba-b-c=a-c-b=a-(b+c)（4）乘除法的运算性质：a×b÷c=a÷c×ba÷b÷c=a÷c÷b=a÷(b×c)（5）去括号：a+(b-c)=a+b-ca-(b-c)=a-b+ca×(b÷c)=a×b÷ca÷(b÷c)=a÷b×c[经典示例]例1、计算（1）872+65+128+35（2）5207－1763－237运用熟练的计算技巧巧，可以使你的计它又快又对！赠送我们一起发现它们它的神秘性！例2、计算：（1）576－（76+48）（2）2500÷（100÷5）例3。
速算巧算之四则运算
《速算巧算之四则运算》专题一：加减法混合运算，我们主要针对的是数较多的情况，这一类题型往往涉及到多种巧算方法，最常见的是：找好朋友、打包扔垃圾、减同尾巴数。
那我们就把这些数都找一遍，能用哪个方法用那个方法，但是小朋友们往往会犯这种错误！抄错数！！！同一个数用了两次！！！有的数没有用到！！！因此我建议小朋友们每用一个数就划掉一个数，划完了数也就用完了！专题一加减法混合运算373+58-35-73+42298-（98+47）+36-53753+49+44+47+51789-132-568-19123+46-37-63+154-46543-257+135-143+22382-53-147-(82+36)395-283+174+26-17专题二：隐藏起来的好朋友。
简单的题型不足为虑，出错率较高的是同时隐藏起来两个或者三个好朋友，比如：25×125×64.需要同时找到25的好朋友和125的好朋友。
又因为同时都藏在了64中，在拆分64的时候极容易出错。
比如25×125×64我们需要把64拆成4×8×2。
拆完之后一定要检查一遍，看一下拆完的数乘积是不是等于原来的数！隐藏起来的好朋友有两种一种是藏在乘法中：比如125×32.我们把32拆成8×4.还有一种是藏在加法中比如125×18，我们拆成125×（10+8）。
小朋友们要注意到这两种题型！小朋友们常见的错误有125×32分成125×8+24或者把125×18拆成125×8×10这就是混淆了两类题型，多加练习，拆完之后检查一遍看看是不是等于原来的数。
专题二隐藏起来的好朋友1.同时藏起来两个好朋友25×125×64125×25×16×1632×25×（125÷10）2.藏在乘法中的好朋友125×32 125×46×16 36×253.藏在加法中的好朋友125×18 25×14 125×88专题三：提取公因数。
四则运算常用速算与巧算方法
一、“凑整”先算
1.计算：（1）24+44+56
（2）53+36+47
解：（1）24+44+56
= 24+（44+56）
= 24+100
= 124
44+56=100是个整百的数，所以先把它们的和算出来。
（2）53+36+47
= 53+47+36
=（53+47）+36
= 100+36
= 136
53+47=100是个整百的数，先把+47带着符号搬家，然后再把53+47的和算出来。
2.计算：（1）96+15
（2）52+69
解：（1）96+15
= 96+（4+11）
=（96+4）+11
= 100+11
= 111
把15分拆成15=4+11，这是因为96+4=100，可凑整先算。
（2）52+69
=（21+31）+69
= 21+（31+69）
= 21+100
= 121
69+31=100，所以把52分拆成21与31之和，再把31+69=100凑整先算。
=（1+10）×5 = 11×5 = 55 共10个数，个数的一半是5，首数是1，末数是10。 （2）计算：3+5+7+9+11+13+15+17 =（3+17）×4 = 20×4 =80 共8个数，个数的一半是4，首数是3，末数是17。
迎春杯数学竞赛指导讲座(一)
第一讲 速算与巧算（一）我们已经学过四则运算的定律和性质等基础知识。
这一讲主要介绍基本定律和性质在加减法中的灵活运用，以便提高计算的技能技巧。
一、运用加法运算定律巧算加法1．直接利用补数巧算加法如果两个数的和正好可以凑成整十、整百、整千，那么我们就可以说这两个数互为补数，其中的一个加数叫做另一个加数的补数。
如：28＋52＝80，49＋51＝100，936＋64＝1000。
其中，28和52互为补数；49和51互为补数；936和64互为补数。
在加法计算中，如果能观察出两个加数互为补数，那么根据加法交换律、结合律，可以把这两个数先相加，凑成整十、整百、整千，……再与其它加数相加，这样计算起来比较简便。
例1 巧算下面各题：（1）42＋39＋58；（2）274＋135＋326＋265。
解：（1）原式＝（42＋58）＋39＝100＋39＝139（2）原式＝（274＋326）＋（135＋265）＝600＋400＝10002．间接利用补数巧算加法如果两个加数没有互补关系，可以间接利用补数进行加法巧算。
例2 计算986＋238。
解法1：原式＝1000－14＋238＝1000＋238－14＝1238－14＝1224解法2：原式＝986＋300－62＝1286－62＝1224以上两种方法是把其中一个加数看作整十、整百、整千……，再去掉多加的部分（即补数），所以可称为“凑整去补法”。
解法3：原式＝（62＋924）＋238＝924＋（238＋62）＝924＋300＝1224解法4：原式＝986＋（14＋224）＝（986＋14）＋224＝1224以上方法是把其中一个加数拆分为两个数，使其中一个数正好是另一个加数的补数。
所以可称为“拆分凑补法”。
3．相接近的若干数求和下面的加法算式是若干个大小相接近的数连加，这样的加法算式也可以用巧妙的办法进行计算。
例3 计算71＋73＋69＋74＋68＋70＋69。
解：经过观察，算式中7个加数都接近70，我们把70称为“基准数”。
四则运算常用速算与巧算方法 (1)
四、基准数法
1.计算：23+20+19+22+18+21 解：仔细观察，各个加数的大小都接近20，所以可以把每个加数先按20相 加，然后再把少算的加上，把多算的减去。 23+20+19+22+18+21 = 20×6+3+0-1+2-2+1 = 120+3 = 123 2.计算：102+100+99+101+98 解：仔细观察，可知各个加数都接近100，所以选100为基准数，采用基准 数法进行巧算. 102+100+99+101+98 = 100×5+2+0-1+1-2 = 500
3.几种特殊因数的巧算。 ⑴ 一个数乘以10，数后添0； 一个数乘以100，数后添00； 一个数乘以1000，数后添000；……以此类推。 ⑵ 一个数乘以9，数后添0，再减此数； 一个数乘以99，数后添00，再减此数； 一个数乘以999，数后添000，再减此数；……以此类推。 如：12×9＝120-12＝108 12×99＝1200－12＝1188 12×999＝12000-12=11988 ⑶ 一个偶数乘以5，可以除以2添上0。 如： 6×5＝30 16×5＝80 116×5=580 ⑷ 一个数乘以11，“两头一拉，中间相加”。 如： 2222×11＝24442 2456×11＝27016 ⑸ 一个偶数乘以15，“加半添0”。 如：24×15 ＝（24+12）×10 ＝360 ⑹ 个位为5的两位数的自乘：十位数字×（十位数字加1）×100+25 如：15×15=1×（1+1）×100+25=225 25×25=2×（2+1）×100+25=625 35×35=3×（3+1）×100+25=1225 45×45=4×（4+1）×100+25=2025 55×55=5×（5+1）×100+25=3025 65×65＝6×（6+1）×100+25=4225 75×75=7×（7+1）×100+25＝5625
奥数第一讲速算与巧算
第一讲速算与巧算名师精讲：在四则运算中，有时需要应用运算定律和性质，或利用某些公式和其它方法可以使计算迅速简便．在这里我将讲授一些的乘法的速算与巧算的技巧，相信同学们在掌握这些技巧后，一定能使计算过程简洁，提高计算的正确率。
【名师精点1：乘法中的巧算】1. 几种特殊因数的巧算。
一个数×10，数后添0；一个数×100，数后添00；一个数×1000，数后添000；以此类推。
例 1: ①24×10 ② 52×100 ③ 99×1000一个数×9，数后添0，再减此数；一个数×99，数后添00，再减此数；一个数×999，数后添000，再减此数；以此类推。
例2：①12×9②12×99③12×999一个偶数乘以5，可以除以2添上0。
例3：①6×5②16×5③116×5一个数乘以11，“两头一拉，中间相加”。
例4：① 22×11② 123×11③ 2222×11一个偶数乘以15，“加半添0”.例5：①24×15② 142×152.两数的乘积是整十、整百、整千的，要先乘.为此，要牢记下面这三个特殊的等式：5×2=25×4=125×8=1例6: ①123×4×25②125×2×8×25×5×43.分解因数，凑整先乘。
例7: ①24×25②56×125③125×5×32×54.应用乘法分配律。
例8：①175×34＋175×66②123×101 ③123×99【名师精点2: 乘法中的速算】两个数之和等于10，则称这两个数互补。
在整数乘法运算中，常会遇到像72×78，26×86等被乘数与乘数的十位数字相同或互补，或被乘数与乘数的个位数字相同或互补的情况。
《速算与巧算》课件
学习乘方运算的基本法则和 运算规律，能够快速算出各 种数字及变量的幂值。
学习倍数相同的乘除法，能 够快速计算各种数字或变量 的倍数和。
大数的简便计算
1
快速求数字各位数之和
采用数位拆分法，令各位数之和等于原数字
简单计算任意两整数之积
2
加上各个位数上的数字，以此类推。
使用竖式计算法，将要相乘的各个数字交叉
四则运算的技巧
1
整数加减
学习使用不进位加减、凑整和逆运算等方法，
整数乘法
2
快速计算两数之和或差。
学习口诀和倍数法等技巧，能够免除繁琐的
乘法计算，快速得出正确结果。
3
整数除法
学习用近似值代替真值的方法，或者人工展 开除法计算，快速得出商和余数。
小数的加减法
小数相加
通过对齐小数点后的数字，使用竖 式计算法或逐位相加等方法，快速 计算小数的和。
小数相减
通过增补小数位或对齐小数点后的 数字，使用竖式计算法或逐位相减 等方法，快速计算小数的差。
小数乘法
学习对齐小数点后的数字，从左向 右逐个相乘，并最后加上个位数后 位置的小数点得到结果。
乘法口诀表的应用
1 简便乘法
2 乘方运算
3 倍数乘除
通过将两个乘数按照其各位 数字对位相乘，使用竖式计 算法或节约计算等方法，快 速得出两数之积。
通过考虑质因数的分解等方 法，简化根式的表示，从而 便于进行根式运算。
针对带有根号的算式，使用 四则运算的规则和方法，正 确得出最终结果。
针对实数和虚数的不同运算 和表示，学习有效的计算方 法，轻松解决各种根式运算 问题。
总结：速算和巧算索数学、计算的过 程中逐渐发展起来的。在古代，人们就通过各种方法 完成了日常计算；如今，计算机的出现和普及，也让 速算和巧算技巧的应用更加便捷和广泛。
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第一讲速算与巧算之四则运算一．加、减法速算与巧算：凑整法：凑整法就是将算式中的数分成若干组，使每组的运算结果都是整十、整百、整千……的数，再将各组的结果相加。
凑整法主要分为：⑴移数凑整法，⑵借数凑整法，⑶拆数凑整法，⑷找“基准数”法，⑸分组凑整法；例1.（一）同学们是不是很简单啦，都来试试吧！⑴34+53+66 ⑵679+27+321 ⑶63+294+37+54+6=34+66+53 =679+321+27 =63+37+294+6+54=100+53 =1000+27 =100+300+54=153 =1027 =454解析：同学们还记加法中的朋友数吗？1+9，2+8，3+7，4+6，5+5；通过运用移数凑整法（带号搬家）将朋友数组合在一起；（二）下面这道题的所有加数都是很有特点的，仔细观察，快速计算，其实并不难199999+19999+1999+199+19=200000-1+20000-1+2000-1+200-1+20-1=200000+20000+2000+200+20-5=222220-5=222215解析：此题采用借数凑整法，通过借加、还减的思想将加数转化成整数。
另外，此题还可拆小数补大数：199999+19999+1999+199+19=200000+20000+2000+200+19-4=222200+15=222215（补） 28+208+2008+20008+200008=20+8+200+8+2000+8+20000+8+200000+8=20+200+2000+20000+200000+5×8=222220+40=222260解析：此题采用拆数凑整法，通过拆减、补加的思想将加数转化成整数。
（三）计算： 801+802+805+798+807+808+795=7×800+1+2+5-2+7+8-5=5600+16=5616解析：观察发现这个几个数比较接近于同一个整数（800），所以选择这个整数（800）为“基准数”，把多加的数减去，把少加的数加上，称为找“基准数”法；（补） 100-99-98+97+96-95-94+93+…+4-3-2+1=（100-99-98+97）+（96-95-94+93）+…+（4-3-2+1）=0+0+…+0=0解析：此题采用分组凑整法，典型的分组有：⑴ + - - + ，⑵ - + + -，连续的自然数或等差数列结果等于0.观察发现此算式中恰好包含 + - - + = 0，则将100个数分成4个1组，每组结果为0，整体也为0，但需要注意的是，并不是没到题目都能正好分完，同学们在做题的时候要注意数字的个数.注：凑整看“数字”，分组看“符号”；二．乘法速算与巧算：⑴乘法交换律：两个数相乘，交换两个数的位置，其积不变，即：a×b=b×a⑵乘法结合律：三个数相乘，可以先把前两个数相乘后，再与后一个数相乘；或先把后两个相乘后，再与前一个数相乘，乘积不变，即：a×b×c=（a×b）×c=a×（b×c）⑶乘法分配律：两个数之和（或差）与数相乘，可用此数先分别乘和（或差）中的各数，然后再把这两个积相加（或减），即：（a+b）×c=a×c+b×c或（a-b）×c=a×c-b×c。
反向运用称为：提取公因数；⑷乘法朋友数：2×5=10 ， 4×25 =100 ，8×128 =1000 ，16×625 =10000 ；例2.（2008年“中国台湾小学数学竞赛”试题）16×16×25×125=（ 800000 ）。
（铺）24×25 25×16×125=6×4×25 =25×4×4×125=6×100 =100×1000=600 =100000此题通过25、125的朋友数为4、8，所以从另一个因数中拆出4、8后在与25、125重组成为整数，此方法为“因数拆分后重组”；解析：原式=2×8×4×4×25×125=2×4×（4×25）×（8×125）=8×100×1000=800000例3.大家动手试试吧！相信你是最棒的！巧用乘法分配律；⑴526×99 ⑵2004×25 ⑶123×99=526×（100-1） =（2000+4）×25 =123×（100-1）=526×100-526×1 =2000×25+4×25 =123×100-123×1=52600-526 =50000+100 =12300-123=51074 =50100 =12177练习：⑴ 713×101 ⑵71×1001 ⑶49×101=713×（100+1） =71×（1000+1） =49×（100+1）=713×100+713×1 =71×1000+71×1 =49×100+49×1=71300+713 =71000+71 =4900+49=72013 =71071 =4949巧用提取公因数【尖学4】计算：80×1995-3990+1995×22解析：原式=80×1995-2×1995+1995×22=1995×（80-2+22）=1995×100=199500例5.（2008年“春蕾杯”试题）199772×199911-199771×199912=（ 140 ）。
解析：观察此题发现两数较大分别乘积做差，该形式符合提取公因数，但没有相同因数，所以将199912转化成199911+1构造公因数；原式=199772×199911-199771×（199911+1）=199772×199911-199771×199911-199771=199911×（199772-199771）-199771=199911-199771=140例6.请你用简便方法计算：19961997×19971996-19961996×19971997解析：方法同例5；原式=19961997×19971996-19961996×（19971996+1）=19961997×19971996-19961996×19971996-19961996=19971996×（19961997-19961996）-19961996=19971996-19961996=10000同时对于此类数字较大的题目，同学们也可以用符号或字母代替运算，这样看起来比较简单不乱，但要求同学们有较强的等量代换的基本功，这也为我们以后学习方程做好铺垫。
同学们上面的方法你都掌握了吗？下面我们让计算变的更快些！三．巧算大综合:1.头“同”尾合“十”两个乘数头相同，尾相加等于十，如 47×43=20 21 ，20为“头乘（头+1）”，21为“两数尾相乘”，组合在一起就是最后的结果（要注意的是，尾巴相乘的积要占两位）。
64×66=4224 ， 71×79=5609 ， 91×99=9009例4.（200年三年级“迎春杯”初赛试题）计算：53×57-47×43=（ 1000 ）.解析：原式=3021-2021=10002.乘9的计算与9同宽：去“1”填“补”，48×99=4752 47为48-1（去“1”） 52为100-52（填“补”） 578×999=577422 577为578-1（去“1”）422为1000-578（填“补”）比9少1：去“1”填“补”，中间隔“9”，48×999=48 9 52 中间隔“9”比9多1：巧用乘法分配律，488×99=488×（100-1）=48800-488=483123.乘101的计算，田老师称为坐椅子同宽： 48×101=48 48 把1看成椅子背，0看成椅子面，有几个1就有几把椅子，再让48分别坐在椅子上。
48×101=48× 01 01=48 48大椅子： 48×1001=48× 001 001 =48 048 椅子在大也要靠着椅子背（1）坐；364×100010001=364× 0001 0001 0001=364 0364 0364小椅子：巧用乘法分配律，478×101=478×（100+1）=478×100+478=47800+478=482784.几个1自乘（不超过9个1），乘积的结果为一个金字塔数，有几个1，塔尖就是几11×11=121111×111=123211111×1111=1234321……111111111×111111111=123456789876543215.缺8数（同学们可以记成是没有嘴巴的数）：1234567912345679×9=111111111（9个1）6循环数：142857（郭老师的学生起名字叫做：女娲7天造人）女娲造人用的零件都相同，并且七天成功，所以这个循环数乘到7时，循环截止。
142857×1=142857142857×2=285714142857×3=428571142857×4=571428142857×5=714285142857×6=857142142857×7=999999同学们在记规律时可以先确定乘积的个位，个位数字是几，就从他后面的数字开始按顺序写即可。
7.同学们要记住的两个乘法算式（当然还有其他的）：37×3=1117×11×13=1001记住他们，对我们之后解决数字谜很有帮助哦~好啦，这一讲就先到这里，希望同学们的计算水平突飞猛进，但前提是要坚持练习啊！。