2015年河北省地区中考数学总复习课件 第4讲 分式及其运算
河北省中考数学总复习课件：第1章 第3讲 分式及其运算
分式的性质
1．(2013·绵阳)下列各式从左到右的变形正确的是( A )
A.x12－x＋12yy＝2x＋x－2yy
பைடு நூலகம்
B.0a＋.2a0＋.2bb＝2aa＋＋2bb
C．－xx＋－1y＝xx－－1y
D.aa＋－bb＝aa－＋bb
2．(2014·泰州)已知 a2＋3ab＋b2＝0(a≠0，b≠0)，则代
【解析】第1题根据分式有意义的条件是分母不等于0；第2题 分式的值是0的条件是分子为0，分母不为0.
1．分式：形如BA(A，B 是整式，且 B 中含有字母， B≠0)的式子叫做分式．
2．与分式有关的结论：(1)分式AB无意义的条件是 B＝0； (2)分式AB有意义的条件是 B≠0；(3)分式AB值为 0 的条 件是 A＝0 且 B≠0.
(x－2 1＋x＋1 1)·(x2－1)，其中 x＝
3－1 3.
【解析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把 x 的值代入进 行计算即可．
解：原式＝2（（xx＋＋11））＋（（x－x－1）1）·(x2－1)＝2x＋2＋x－1＝3x＋1，当 x＝ 33－1时，原式＝ 3
2．(2014·菏泽)已知 x2－4x＋1＝0，求2（xx－－41）－x＋x 6 的值．
(3)分式的乘除法：ab·dc＝________；ab÷dc＝________.
(4)分式的乘方：(ab)n＝________.
3. 化简： (1)aa－－3bb＋aa＋ －bb.
原式＝a－3ab－＋ba＋b＝2aa－ －2bb＝2（aa－ －bb）＝2
(2)1－a a÷aa22－ ＋1a.
原式＝1－a a÷（a＋a（1）a＋（1a）－1）＝1－a a·（a＋a（1）a＋（1a）－1）＝－1
2015年河北中考数学总复习课件(第3课时_因式分解与分式)
x2 x 4． [2014· 河北] 化简： － ＝ x－1 x－1 x A．0 B．1 C．x D. x－1
( C )
解 析
根据同分母分式加减运算法则．
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第3课时┃ 因式分解与分式
5． [2013· 河北] 若 x＋y＝1， 且 x＋y 的值为________ ． 1 x
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B． 0
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C．± 1
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D． 1
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第3课时┃ 因式分解与分式
(1)判断一个代数式是否为分式，只看它的原形，绝对不能 以它变形之后的形式来判断．(2)要使一个分式有意义，只需要 具备一个条件：分母 ≠0；要使一个分式无意义，也是只需要 具备一个条件：分母＝ 0；分式值为 0 要同时具备两个条件： 分子＝ 0，分母≠ 0，两者缺一不可．同样，对分式意义的考查 也必须针对原式，而不能是化简后的式子．
定义 分 有意义 式 的条件 值为 0 的条件
A B 形如________( A，B 都是整式，且 B 含有字 母，B≠0)的代数式叫做分式
分母不为 0 分子为 0，但分母不为 0
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第3课时┃ 因式分解与分式
考点3 分式的基本性质
分式的基 A A×M A A÷M ＝ ， ＝ (M 是不等于 0 的整式) B B 本性质 B×M B÷M 适用范围 约分、通分
(a＋b)(a－b) a2－b2＝____________ (a± b)2 a2±2ab＋b2＝____________ ①因式分解与整式乘法互为逆运算； 整式乘积 的形式， ②因式分解的结果为____________ 且分解彻底
2015年河北中考数学总复习课件(第9课时_分式方程及其应用)
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第9课时┃ 分式方程及其应用
考点3 分式方程的应用
列分式方程解应用题与列其他方程解应用题的步骤基本 相同，但需要注意的是进行双验根，既要检验是不是原方程的 根，还要检验是不是使实际问题有意义．
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第9课时┃ 分式方程及其应用
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第9课时┃ 分式方程及其应用
考点2 分式方程的解法
基本 把分式方程转化为整式方程， 即分式方程去分母 ――→ 换元 分式 思想 整式方程 方程 的解 直接 方程两边同乘各分式的______________ 最简公分母 ， 约去分 法 去分 母，化为整式方程，再求根验根 母法
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x－1 1 4 1 1．下列关于 x 的方程：① ＝5；② ＝ ；③ (x－ 3 x x－1 x 1 x 1)＋x＝1； ④ ＝ 中， 是分式方程的有 a b－1 A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个 ( C )
解 析 由分式方程的定义：分母中含有未知数的方 程叫做分式方程，即可判断得出结果．
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第9课时┃ 分式方程及其应用
解 析
( C )
B．0
C．1
D．2
x－3 m 方程 ＝ 两边同时乘 x－2，得 x－3＝ x－2 2－x
－m.解得 x＝3－m.因为方程有增根，所以 x＝2，即 3－m ＝2，所以 m＝1.故选 C.
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第9课时┃ 分式方程及其应用
5．[2014· 唐山市古冶区二模] 某工程队铺设一条 480 米的 道路， 开工后， 由于引进先进设备， 工作效率比原计划提高 50%， 结果提前 4 天完成任务．若设原计划每天铺设 x 米，根据题意 可列方程为 ( C ) 480 480 A. － ＝4 x （1－50%）x 480 480 B. － ＝4 （1－50%）x x 480 480 C. － ＝4 x （1＋50%）x 480 480 D. － ＝4 （1＋50%）x x
初中数学复习第四讲——整式与分式
初中数学复习第四讲——整式与分式一、知识结构说明：在本局部，代数式分为整式和分式讨论。
在实数X围内，代数式分为有理式和无理式，有理式分为整式和分式，整式分为单项式和多项式。
二、知识点梳理1.代数式：用运算符号和括号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。
用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果叫做代数式的值。
2.单项式：由数与字母的积或字母与字母的积所组成的代数式叫做单项式〔单独一个数也是单项式〕；单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数〔包括符号〕；一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。
3.多项式：由几个单项式的和组成的代数式叫做多项式；在多项式中的每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项；次数最高项的次数就是这个多项式的次数。
4.整式：单项式、多项式统称为整式。
5.分式：两个整式A、B相除，即A÷B时，可以表示为AB.如果B中含有字母，那么AB叫做分式，A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。
6.同类项：所含的字母一样，且一样的字母的指数也一样的单项式叫做同类项。
把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项；一个多项式合并后含有几项，这个多项式就叫做几项式。
合并同类项的法如此：把同类项的系数相加的结果作为合并后的系数，字母和字母的指数不变〔合并同类项，法如此不能忘，只求系数代数和，字母指数不变样〕。
7.整式的加减：整式的加减就是单项式、多项式的加减，可利用去括号法如此和合并同类项来完成整式的加减运算。
去括号法如此：括号前面是“+〞号，去掉“+〞号和括号，括号里的各项不变号；括号前面是“—〞 号，去掉“—〞号和括号，括号里的各项都变号。
〔括号前面是“+〞 号，去掉括号不变号；括号前面是“—〞号，去掉括号都变号。
〕8.同底数幂的乘法：同底数的幂相乘，底数不变，指数相加。
m n m+n a a =a •.〔m 、n 都是正整数〕9.幂的乘方：幂的乘方，底数不变，指数相乘，即()n m mn a =a .〔m 、n 都是正整数〕10.积的乘方：积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘， 即()nn n ab =a b .〔n 为正整数〕11.整式的乘法：〔1〕单项式与单项式相乘：单项式与单项式相乘，把它们的系 数、同底数幂分别相乘的积作为积的因式，其余字母连同它 的指数不变，也作为积的因式。
2015年河北省地区中考数学总复习课件 第2讲 整式及其运算
1．(1)(2014· 威海)下列运算正确的是(
2 2
C )
1 2 3 1 6 3 A．2x ÷x ＝ 2x B．(－ a b) ＝－ a b 2 6 C． 3x2＋ 2x2＝5x2 D ．(x－ 3)3＝x3－9 1 (2)化简 (－4x＋8) －3(4－ 5x)， 可得下列哪一个结果( 4 D )
6．整式乘法 单项式与单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘作为积的因式，只 在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式． 单项式乘多项式：m(a＋b)＝__ma＋mb__； 多项式乘多项式：(a＋b)(c＋d)＝__ac＋ad＋bc＋bd__. 7．乘法公式 (1)平方差公式：__(a＋b)(a－b)＝a2－b2__； (2)完全平方公式：__(a±b)2＝a2±2ab＋b2__． 8．整式除法： 单项式与单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式， 对于只在被除式里含有的字母，连同它的指数作为商的一个因式．多 项式除以单项式，将这个多项式的每一项分别除以这个单项式，然后 把所得的商相加．
5．幂的运算法则 (1)同底数幂相乘： ＋ __am· an＝ am n( m， n 都是整数， a≠0)__； (2)幂的乘方： __(am)n＝amn( m， n 都是整数， a≠0)__； (3)积的乘方： __(ab)n＝ an·bn(n 是整数 ，a≠0，b≠0)__； (4)同底数幂相除： － __am÷ an＝ am n( m， n 都是整数， a≠0)__．
1 n－ 2m 4 2．(1)(2012· 毕节)已知 x y 与－x3y2n 是同类项， 则(mn)2010 2 的值为( C ) A．2010 B ．－ 2010 C． 1 D．－1
n－＝3， 解析：由题意得 2n＝4，
中考数学总复习课件：第4讲 分式
（2016·滨州市）下列分式中，最简分式是（A）
x2 1
A．
x
2
1
x 1
B．
x
2
1
C．x2 2xy y2 D．x2 36
x2 xy
2x 12
要使分式
5
有意义，则x的取值范围是(
x 1
A)
A.x≠1
B.x＞1
C.x＜1
D.x≠-1
（2015·浙江省）化简 x2 1
（A ）
【例题 2】（2015·上海市）先化简，再求值：
x2
x2 4x
4
xx 2源自x 1，其中x x2
2 1．
考点：分式的混合运算. 分析:解决这类问题，一般是将分式先化简，再代入 计算.化简时，有括号的先算括号内的，再将除法变 为乘法计算，有时还要先进行因式分解，约去分子 、分母中的公因式，变成最简分式.
x2 x 2 x 1
解:原式= (x 2)2
x
x2
x x 1 x2 x2
1. x2
当x 2 1时,原式
1 2 1 2
2 1.
小结:本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合 运算的法则是解答此题的关键.
5.分式运算的符号表达:
a c ac ; a d ad ; b d bd b c bc
( a )n b
an bn
; (n为整数)
a b ab; cc c
a c ad bc . b d bd
（2015·扬州市）化简：
a a2
1
(
a a
1 1
a
河北省中考数学复习课件：第1章第4讲 分式
类型3 求分式的值 【例3】[2016·巴中中考]先化简：
，然后再
从－2＜x≤2的范围内选取一个合适的x的整数值代入求值．
【思路分析】先化简，再根据分式有意义的条件和所给的 范围，把符合要求的x的值代入即可．
自主解答：
Hale Waihona Puke 解得x≠－1,0,1.又∵－2<x≤2且x为整数，∴x＝2. 将x＝2代入，得原式＝ ＝4.
思路分析：根据多项式乘以多项式法则计算得出新的乘法 公式；再利用乘法公式将原式分子、分母因式分解，再约 分即可得． 自主解答：(1)原式＝a3＋a2b＋ab2－a2b－ab2－b3＝a3－b3. (2)原式＝
＝(m－n)· ＝m＋n. 技法点拨►(1)分式计算或化简的顺序与整式运算相同，也可 以借助运算律来简化运算；(2)对于说理性问题，一般先进 行分式化简，再根据结果进行推理．
B．－2 D．任意实数
2．[2016·河北，4,3分]下列运算结果为x－1的是( )
3．[2014·河北，7,3分]化简： A．0 B．1 C．x D.
C 原式＝
＝x.
4．[2012·河北，10,3分]化简
＝( ) 的结果是( )
C 原式＝
5．[2015·河北，18,3分]若a＝2b≠0，则
的值为 .
第 一章 数与式 第4讲 分 式
考点梳理过关 考点1 分式的概念
考点2 分式的基本性质
归纳►通分的关键是确定最简公分母．求最简公分母的方法是： (1)将各分母分解因式；(2)找各分母系数的最小公倍数；(3)找 出各分母中不同的因式，相同因式中取次数最高的．满足(2)(3) 的因式之积即为各分式的最简公分母．
6．[2013·河北，18,3分]若x＋y＝1，且x≠0，则
配套K12中考数学 专题04 分式及其运算试题(含解析)
专题04 分式及其运算☞解读考点【2015年题组】1．（2015常州）要使分式23-x 有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．2x > B ．2x < C ．2x ≠- D ．2x ≠ 【答案】D ． 【解析】试题分析：要使分式23-x 有意义，须有20x -≠，即2x ≠，故选D ． 考点：分式有意义的条件．2．（2015济南）化简2933m m m ---的结果是（ ） A ．3m + B ．3m - C ．33m m -+ D ．33m m +- 【答案】A ．考点：分式的加减法．3．（2015百色）化简222624x x x x x --+-的结果为（ ） A ．214x - B ．212x x + C ．12x - D ．62x x --【答案】C ． 【解析】 试题分析：原式=262(2)(2)x x x x --++-=2(2)(6)(2)(2)x x x x ---+-=2(2)(2)x x x ++-=12x -．故选C ． 考点：分式的加减法．4．（2015甘南州）在盒子里放有三张分别写有整式a +1，a +2，2的卡片，从中随机抽取两张卡片，把两张卡片上的整式分别作为分子和分母，则能组成分式的概率是（ ） A ．13 B ．23 C ．16 D ．34【答案】B ． 【解析】试题分析：分母含有字母的式子是分式，整式a +1，a +2，2中，抽到a +1，a +2做分母时组成的都是分式，共有3×2=6种情况，其中a +1，a +2为分母的情况有4种，所以能组成分式的概率=46=23．故选B ． 考点：1．概率公式；2．分式的定义；3．综合题． 5．（2015龙岩）已知点P （a ，b ）是反比例函数1y x =图象上异于点（﹣1，﹣1）的一个动点，则1111a b+++=（ ）A ．2B ．1C ．32D ．12【答案】B ．考点：1．反比例函数图象上点的坐标特征；2．分式的化简求值；3．条件求值．6．（2015山西省）化简22222a ab b ba b a b++---的结果是（ ） A ．a ab - B ．b a b - C ．a a b + D ．ba b+ 【答案】A ． 【解析】试题分析：原式=2()()()a b b a b a b a b +-+--=a b b a b a b +---=a b b a b +--=aa b-，故选A ． 考点：分式的加减法．7．（2015泰安）化简：341()(1)32a a a a -+---的结果等于（ ） A ．2a - B ．2a + C ．23a a -- D ．32a a --【答案】B ． 【解析】试题分析：原式=(3)342132a a a a a a -+---⋅--=24332a a a a --⋅--=(2)(2)332a a a a a +--⋅--=2a +．故选B ． 考点：分式的混合运算．8．（2015莱芜）甲乙两人同时从A 地出发到B 地，如果甲的速度v 保持不变，而乙先用12v 的速度到达中点，再用2v 的速度到达B 地，则下列结论中正确的是（ ） A ．甲乙同时到达B 地 B ．甲先到达B 地C ．乙先到达B 地D ．谁先到达B 地与速度v 有关 【答案】B ．考点：1．列代数式（分式）；2．行程问题． 9．（2015内江）已知实数a ，b 满足：211a a +=，211b b+=，则2015a b -|= ． 【答案】1． 【解析】试题分析：∵2110a a +=>，2110b b+=>，∴0a >，0b >，∴()10ab a b ++>，∵211a a +=，211b b +=，两式相减可得2211a b a b -=-，()()b aa b a b ab-+-=，[()1]()0ab a b a b ++-=，∴0a b -=，即a b =，∴2015a b-=02015=1．故答案为：1．考点：1．因式分解的应用；2．零指数幂；3．条件求值；4．综合题；5．压轴题． 10．（2015黄冈）计算)1(22b a aba b +-÷-的结果是________． 【答案】1a b-． 【解析】 试题分析：原式=()()b a b a a b a b a b +-÷+-+=()()b a b a b a b b +⋅+-=1a b -．故答案为：1a b-．考点：分式的混合运算．11．（2015安徽省）已知实数a 、b 、c 满足a ＋b ＝ab ＝c ，有下列结论：①若c ≠0，则111a b+=；②若a ＝3，则b ＋c ＝9；③若a ＝b ＝c ，则abc ＝0；④若a 、b 、c 中只有两个数相等，则a ＋b ＋c ＝8． 其中正确的是 （把所有正确结论的序号都选上）． 【答案】①③④．考点：1．分式的混合运算；2．解一元一次方程． 12．（2015梅州）若1212)12)(12(1++-=+-n bn a n n ，对任意自然数n 都成立，则=a ，=b ；计算：=⨯++⨯+⨯+⨯=21191751531311 m ． 【答案】12；12-；1021． 【解析】 试题分析：1(21)(21)n n -+=2121a bn n +-+=(21)(21)(21)(21)a n b n n n ++-+-=(22)(21)(21)a b n a b n n ++-+-，可得(22)1a b n a b ++-=，即：01a b a b +=⎧⎨-=⎩，解得：a =12，b =12-； m =111111(1...)23351921-+-++-=11(1)221-=1021，故答案为：12；12-；1021．考点：1．分式的加减法；2．综合题． 13．（2015河北省）若02≠=b a ，则aba b a --222的值为 ．【答案】32． 【解析】试题分析：∵2a b =，∴原式=2222442b b b b --=32，故答案为：32． 考点：分式的化简求值．14．（2015绥化）若代数式25626x x x -+-的值等于0，则x =_________．【答案】2． 【解析】试题分析：由分式的值为零的条件得2560x x -+=，2x ﹣6≠0，由2560x x -+=，得x =2或x =3，由2x ﹣6≠0，得x ≠3，∴x =2，故答案为：2． 考点：分式的值为零的条件．15．（2015崇左）化简：2221(1)2a a a a +--÷． 【答案】12-a ．考点：分式的混合运算．16．（2015桂林）先化简，再求值：2269392x x x x -+-÷-，其中3x =．【答案】23x +． 【解析】试题分析：分解因式后，利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x 的值代入计算即可求出值．试题解析：原式=2(3)2(3)(3)3x x x x -⨯+--=23x +，当3x =时，原式．考点：分式的化简求值． 17．（2015南京）计算：22221()aa b a ab a b-÷--+．【答案】21a ． 【解析】试题分析：首先将括号里面通分运算，进而利用分式的性质化简求出即可．试题解析：原式=21[]()()()a b a b a b a a b a +-⨯+--=2[]()()()()a a b a ba ab a b a a b a b a++-⨯+-+-=2()()()a a b a b a a b a b a -++⨯+-=21a．考点：分式的混合运算．18．（2015苏州）先化简，再求值：2121122x x x x ++⎛⎫-÷⎪++⎝⎭，其中1x =．【答案】11x +．考点：分式的化简求值．19．（2015盐城）先化简，再求值：)()(131112+÷-+a aa ，其中a =4． 【答案】31aa -，4． 【解析】试题分析：根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再求出x 的值代入进行计算即可．试题解析：原式=2113(1)(1)(1)a a a a a -++⋅+-=23(1)(1)(1)a a a a a +⋅+-=31aa -；当a =4时，原式=3441⨯-=4． 考点：分式的化简求值． 20．（2015成都）化简：211()242a a a a a -+÷+-+．【答案】12a a --． 【解析】试题分析：括号内先通分，同时把除法转化为乘法，再用分式乘法法则计算机即可．试题解析：原式=()()()22221212214412212a a a a a a a a a a a a a -⎛⎫-++-+⨯=⨯= ⎪---+---⎝⎭． 考点：分式的加减法．21．（2015资阳）先化简，再求值：2112()111x x x x +-÷-+-，其中x 满足260x -=． 【答案】22x +，25．考点：1．分式的混合运算；2．分式的化简求值． 22．（2015达州）化简2221432a a a a a a+⋅----，并求值，其中a 与2、3构成△ABC 的三边，且a 为整数． 【答案】13a -，1． 【解析】试题分析：原式第一项约分后，两项通分并利用同分母分式的减法法则计算得到结果，把a 的值代入计算即可求出值． 试题解析：原式=21(2)(2)(3)2a a a a a a a +⋅++---=11(2)(3)2a a a +---=13(2)(3)a a a +---=2(2)(3)a a a ---=13a -，∵a 与2、3构成△ABC 的三边，且a 为整数，∴1＜a ＜5，即a =2，3，4，当a =2或a =3时，原式没有意义，则a =4时，原式=1． 考点：1．分式的化简求值；2．三角形三边关系．23．（2015广元）先化简：222222()1211x x x x xx x x x+--÷--++，然后解答下列问题：（1）当3x=时，求原代数式的值；（2）原代数式的值能等于1-吗？为什么？【答案】（1）2；（2）不能．考点：分式的化简求值．24．（2015凉山州）先化简：222122(1)1211x x x xx x x x++-+÷+--+-，然后从22x-≤≤的范围内选取一个合适的整数作为x的值代入求值．【答案】241xx-+；当x=2时，原式=0，当x=－2时，原式=8．【解析】试题分析：原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时根据除法法则变形，约分得到最简结果，将x=0代入计算即可求出值．试题解析：原式=211(1)2(1)1(1)(1)(1)x x x xx x x x x++---⋅+-++-=22(1)21(1)1x xx x x x-⋅--++=2(1)211xx x--++=241xx-+，∵满足22x-≤≤的整数有±2，±1，0，而x=±1，0时，原式无意义，∴x=±2，当x=2时，原式=22421⨯-=+，当x=－2时，原式=2(2)4821⨯--=-+．考点：分式的化简求值．25．（2015广州）已知A =222111x x xx x ++---．（1）化简A ；（2）当x 满足不等式组1030x x -≥⎧⎨-<⎩，且x 为整数时，求A 的值．【答案】（1）11x -；（2）1．考点：1．分式的化简求值；2．一元一次不等式组的整数解．26．（2015白银）有三张卡片（形状、大小、颜色、质地都相等），正面分别下上整式21x +，22x --，3．将这三张卡片背面向上洗匀，从中任意抽取一张卡片，记卡片上的整式为A ，再从剩下的卡片中任意抽取一张，记卡片上的整式为B ，于是得到代数式AB． （1）请用画树状图或列表的方法，写出代数式AB所有可能的结果； （2）求代数式AB恰好是分式的概率． 【答案】（1）答案见试题解析；（2）23．【解析】试题分析：（1）画出树状图，由树状图即可求得所有等可能的结果；（2）由（1）中的树状图，可求得抽取的两张卡片结果能组成分式的情况，利用概率公式求解即可求得答案．试题解析：（1）画树状图：（2）代数式A B 所有可能的结果共有6种，其中代数式A B是分式的有4种，所以P （是分式）=46=23．考点：1．列表法与树状图法；2．分式的定义．【2014年题组】1．（2014年无锡中考） 分式22x-可变形为（ ） A . 22x + B .22x -+ C . 2x 2- D .2x 2--【答案】D ．考点：分式的基本性质． 2.（2014年杭州中考）若241()w 1a 42a+⋅=--，则w =（ ） A .a 2(a 2)+≠- B . a 2(a 2)-+≠ C . a 2(a 2)-≠ D . a 2(a 2)--≠-【答案】D ． 【解析】 试题分析：∵()()()()()2414a 22a 1a 42a a 2a 2a 2a 2a 2a 2a 2+-+=-==---+--++-+， ∴w =a 2(a 2)--≠-．故选D ． 考点：分式的化简．3.（2014年温州中考）要使分式x 1x 2+-有意义，则x 的取值应满足（ ） A . x 2≠ B . x 1≠- C . x 2= D . x 1=-【答案】A ． 【解析】试题分析：根据分式分母不为0的条件，要使x 1x 2+-在实数范围内有意义，必须x 20x 2-≠⇒≠．故选A ． 考点：分式有意义的条件．4.（2014年牡丹江中考）若x ：y =1：3，2y =3z ，则的值是（ ）A ．﹣5B ． ﹣C ．D ． 5【答案】A ． 【解析】试题分析：∵x ：y =1：3，∴设x =k ，y =3k ，∵2y =3z ，∴z =2k ，∴532322-=-+=-+kk kk y z y x ．故选A ． 考点：比例的性质． 5.（2014年凉山中考）分式x 3x 3-+的值为零，则x 的值为（ ）A . 3B . ﹣3C . ±3D . 任意实数【答案】A ．考点：分式的值为零的条件． 6.（2014年常德中考）计算：2111aa a -=-- 【答案】211a -． 【解析】 试题分析：原式=1(1)(1)(1)(1)a aa a a a +-+-+-=1(1)(1)a a +-=211a -.考点：分式的加减法． 7.（2014年河池中考）计算：m 1m 1m 1-=-- ． 【答案】1．【解析】试题分析：根据分式加减法运算法则直接计算：m 1m 11m 1m 1m 1--==---． 考点：分式加减法．8.（2014年镇江中考）化简：1x 1x x 23x 6-⎛⎫+÷⎪--⎝⎭． 【答案】3x 3-．考点：分式的混合运算．9.（2014年苏州中考）先化简，再求值：22x 11x 1x 1⎛⎫÷+ ⎪--⎝⎭，其中x 1=．【解析】试题分析：先将括号里面的通分后，将除法转换成乘法，约分化简. 然后代x 的值，进行二次根式化简． 试题解析：原式=x x 11x x x x 11()(x 1)(x 1)x 1x 1(x 1)(x 1)x 1(x 1)(x 1)x x 1--÷+=÷=⋅=-+---+--++．当x 1=时，原式====．考点：1.分式的化简求值；2. 二次根式化简．10.（2014年抚顺中考）先化简，再求值：（1-11x +）÷221x x x ++，其中x =）0+（12）-1•tan 60°．【答案】． 【解析】试题分析：原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，利用零指数幂、负指数幂法则以及特殊角的三角函数值求出x 的值，代入计算即可求出值．试题解析：原式=2211(1)(1)111x x x x x x x x x+-++==+++，∵x =）0+（12）-1•tan 60°∴当．考点：1.分式的化简求值；2.零指数幂；3.负整数指数幂；4.特殊角的三角函数值． ☞考点归纳归纳 1：分式的有关概念 基础知识归纳：分式有意义的条件是分母不为零；分式无意义的条件是分母等于零；分式值为零的条件是分子为零且分母不为零． 注意问题归纳：1.分式有意义的条件是分母不为0，无意义的条件是分母为0．2.分式值为0要满足两个条件，分子为0，分母不为0． 【例1】使分式21x -有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．x ≠1 B ．x =1 C ．x ≤1 D ．x ≥1 【答案】A ．【解析】根据题意得：x -1≠0，解得：x ≠1．故选A ． 考点：分式的有关概念． 【例2】分式x 3x 3-+的值为零，则x 的值为（ ）A . 3B . ﹣3C . ±3D . 任意实数【答案】A ．考点：分式的有关概念． 归纳 2：分式的性质 基础知识归纳：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变．用式子表示为)0()0(≠÷÷=≠⋅⋅=C C B C A B A C CB C A B A注意问题归纳：1.分式的基本性质是分式变形的理论依据，所有分式变形都不得与此相违背，否则分式的值改变；2.将分式化简，即约分，要先找出分子、分母的公因式，如果分子、分母是多项式，要先将它们分别分解因式，然后再约分，约分应彻底；3.巧用分式的性质，可以解决某些较复杂的计算题，可应用逆向思维，把要求的算式和已知条件由两头向中间凑的方式来求代数式的值． 【例3】化简2244xy yx x --+的结果是（ ）A ．2x x + B ．2x x - C ．2y x + D ．2y x - 【答案】D ．考点：分式的性质．【例4】已知x +y =xy ，求代数式11x y+-（1-x ）（1-y ）的值． 【答案】0． 【解析】∵x +y =xy ，∴11x y +-（1-x ）（1-y ）=x y xy +-（1-x -y +xy ）=x y xy+-1+x +y -xy =1-1+0=0． 考点：分式的性质．归纳 3：分式的加减运算 基础知识归纳：加减法法则：① 同分母的分式相加减：分母不变,分子相加减 ② 异分母的分式相加减：先通分,变为同分母的分式,然后再加减 ． 注意问题归纳：1.分式加减运算的运算法则：同分母分式相加减，分母不变，分子相加减；异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后再加减．1.异分母分式通分的依据是分式的基本性质，通分时应确定几个分式的最简公分母.求最简公分母的方法是：①将各个分母分解因式；②找各分母系数的最小公倍数；③找出各分母中不同的因式，相同因式中取次数最高的，满足②③的因式之积即为各分式的最简公分母． 【例5】计算：1aa 11a+--的结果是 ． 【答案】1-．【解析】1a 1a 1a 1a 11a a 1a 1a 1-+=-==------． 考点：分式的加减法． 【例6】化简21639x x ++-的结果是 【答案】13x -．考点：分式的加减法．归纳 4：分式的乘除运算 基础知识归纳:1.乘法法则：分式乘分式,用分子的积作为积的分子,分母的积作为积的分母.乘方法则：分式的乘方,把分子、分母分别乘方．2.除法法则：分式除以分式,把除式的分子、分母颠倒位置后与被除式相乘．注意问题归纳：分式乘除法的运算与因式分解密切相关，分式乘除法的本质是化成乘法后，约去分式的分子分母中的公因式，因此往往要对分子或分母进行因式分解（在分解因式时注意不要出现符号错误），然后找出其中的公因式，并把公因式约去．【例7】计算：222x 1x x.x 1x 2x 1--⋅+-+ 【答案】x ． 【解析】原式()()()()2x 1x 1x x 1x x 1x 1+--=⋅=+-．考点：分式的乘除法．归纳5：分式的混合运算基础知识归纳：在分式的混合运算中，应先算乘方，再将除法化为乘法，进行约分化简，最后进行加减运算．若有括号，先算括号里面的．灵活运用运算律，运算结果必须是最简分式或整式． 注意问题归纳：注意运算顺序，计算准确． 【例8】化简：222x 2x 6x 3x 1x 1x 2x 1++-÷+--+【答案】2x 1+．考点：分式的混合运算．☞1年模拟1．（2015+x 应满足（ ） A ．12≤x ≤3 B ．x ≤3且x ≠12 C ．12＜x ＜3 D ．12＜x ≤3 【答案】D ． 【解析】试题分析：由题意得，32100x x --≥⎧⎨⎩①＞②，解不等式①得，x ≤3，解不等式②的，x ＞12，所以，12＜x ≤3．故选D ．考点：1．二次根式有意义的条件；2．分式有意义的条件． 2．（2015届山东省威海市乳山市中考一模）计算（-12）-1=（ ） A ．-12 B ．12C ．-2D ．2 【答案】C ． 【解析】试题解析：11()22--=．故选C ． 考点：负整数指数幂．3．（2015届山东省潍坊市昌乐县中考一模）分式211x x -+的值为0，则（ ）A ．x =-1B ．x =1C ．x =±1D ．x =0 【答案】B ．考点：分式的值为零的条件．4．（2015届广东省深圳市龙华新区中考二模）化简111xx x+--的结果是（ ） A ．-1 B ．1 C ．1+x D ．1-x 【答案】A ． 【解析】 试题分析：原式=11111111x x x x x x x ---==-=-----．故选A ． 考点：分式的加减法．5．（2015届江苏省南京市建邺区中考一模）计算a 3•（1a）2的结果是（ ） A ．a B ．a 5C ．a 6D ．a 8【答案】A ． 【解析】试题分析：原式=a 3•21a =a ，故选A ． 考点：分式的乘除法．6．（2015届河北省中考模拟二）已知a 2，b 2，则（22a bab b ab a ---）÷22a b ab +的值为（ ）A ．1B ．14C ．2D ．10【答案】B ．考点：分式的化简求值．7．（2015届北京市平谷区中考二模）分式2aa -有意义的条件是 ． 【答案】a ≠2． 【解析】试题分析：根据分式有意义的条件可知分母a -2≠0，所以a ≠2．考点：分式有意义的条件．8．（2015x+1）0都有意义，则x的取值范围为．【答案】x＞-1且x≠1．【解析】试题分析：根据题意得：101010 xxx+⎧≥-≠+≠⎪⎨⎪⎩解得：x＞-1且x≠1．故答案为：x＞-1且x≠1．考点：1．二次根式有意义的条件；2．分式有意义的条件；3．零指数幂．9．（2015届广东省佛山市初中毕业班综合测试）若分式||11xx--的值为零，则x的值为．【答案】x=-1．【解析】试题分析：根据题意，得|x|-1=0，且x-1≠0，解得x=-1．故答案为：x=-1．考点：分式的值为零的条件．10．（2015届江苏省南京市建邺区中考一模）在函数y=11x-中，自变量x的取值范围是．【答案】x≠1．【解析】试题分析：根据题意得1-x≠0，解得x≠1．故答案为：x≠1．考点：1．函数自变量的取值范围；2．分式有意义的条件．11．（2015届北京市门头沟区中考二模）已知1m，求222442111m m mm m m-+-+÷+--的值．【答案】．考点：分式的化简求值．12．（2015届四川省成都市外国语学校中考直升模拟）计算题（1）先化简，再求值：22222()2a ab a b a b a ab b b+---÷++，其中a =sin 45°，b =cos 30°； （2）若关于x 的方程311x a x x--=-无解，求a 的值． 【答案】（1）5；（2） a =1． 【解析】试题分析：（1）原式第二项利用除法法则变形，约分后利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果，把a 与b 的值代入计算即可求出值；（2）分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解求出x 的值，代入计算即可求出a 的值． 试题解析：（1）原式=2()()a a b a b ++-（a -b ）•()()b a b a b +-=a b a ba b a b a b--=+++，当a =si n45°=2，b =cos30°=2时，原式(55==--=； （2）去分母得：x 2-ax -3x +3=x 2-x ，解得：x =32a +，由分式方程无解，得到x （x -1）=0，即x =0或x =1，若x =0，a 无解；若x =1，解得：a =1．考点：1．分式的化简求值；2．分式方程的解；3．特殊角的三角函数值． 13．（2015届安徽省安庆市中考二模）先化简，再求值：（﹣）÷，其中x =．【答案】3+x x，1﹣3．考点：分式的化简求值．14．（2015届山东省威海市乳山市中考一模）化简代数式22112x x x x x--÷+，并判断当x 满足不等式组⎧⎨⎩x +2＜12(x -1)＞6时该代数式的符号． 【答案】负号．【解析】试题分析：做除法时要注意先把除法运算转化为乘法运算，而做乘法运算时要注意先把分子、分母能因式分解的先分解，然后约分化简为12x x ++；再分别求出一元一次不等式组中两个不等式的解，从而得到一元一次不等式组的解集，依此分别确定x +1＜0，x +2＞0，从而求解．试题解析：原式=(1)(1)(2)1x x x x x x +-⨯+-=12x x ++； 不等式组⎧⎨⎩x +2＜1①2(x -1)＞6②，解不等式①，得x ＜-1．解不等式②，得x ＞-2，∴不等式组⎧⎨⎩x +2＜12(x -1)＞6的解集是-2＜x ＜-1，∴当-2＜x ＜-1时，x +1＜0，x +2＞0，∴12x x ++＜0，即该代数式的符号为负号． 考点：1．分式的化简求值；2．解一元一次不等式组．15．（2015届山东省日照市中考模拟）先化简，再求值：2211()()x y x y x y x y x y+----+，其中2x =+2y =【答案】-4．考点：分式的化简求值．16．（2015届湖北省黄石市6月中考模拟）先化简再求值22213211143a a aa a a a+-+-⨯+-++，已知a2+2a﹣7=0．【答案】2221a a++，14．考点：分式的化简求值．。
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数 学
第四讲 分式及其运算
1．分式的基本概念 A (1)形如__ (A，B 是整式 ，且 B 中含有字母 ，B≠0)__的式子叫 B 分式； A A (2)当__B≠ 0__时， 分式 有意义；当__B＝0__时， 分式 无意义； B B A 当__A＝0 且 B≠ 0__时，分式 的值为零． B 2．分式的基本性质 分式的分子与分母都乘(或除以)__同一个不等于零的整式__，分式的 A A× M A A÷ M 值不变 ， 用式子表示为 __ ＝ ， ＝ (M 是不等于零的整 B B× M B B÷ M 式)__．
C
)
3 4．(2008·河北)当 x＝__1__时，分式 无意义． x－ 1
2xy＋y2 x＋y 5．(2013· 河北)若 x＋y＝ 1，且 x≠0，则(x＋ )÷ 的值 x x 为__1__． 1 x2－2x＋1 6．(2008· 河北)已知 x＝－2，求(1－ )÷ 的值． x x
1 － 3
x2 x 1．(2014· 河北)化简： － ＝( x－ 1 x－ 1 A．0 B ．1 C．x
C
) x D. x－ 1 B )
a2 b2 2．(2010· 河北)化简 － 的结果是( a－ b a－ b A．a2－ b2 B． a＋b C． a－ b D ．1 2 1 3．(2012· 河北)化简 2 ÷ 的结果是( x －1 x－ 1 2 A. x－ 1 B. 2 x3－1 C. 2 D． 2(x＋ 1) x＋ 1
3．分式的运算法则 (1) 符号法则：分子、分母与分式本身的符号， 改变其中任何两 个，分式的值不变． －a －a －a a a a a 用式子表示： ＝－ ＝ ＝－ ；－ ＝ ＝ . b b b －b －b －b b (2)分式的加减法： a b a± b 同分母加减法：__ ± ＝ __； c c c b d bc± ad 异分母加减法：__ ± ＝ __． a c ac (3)分式的乘除法： ac ac ·＝__ __； bd bd a c ad ÷ ＝__ __． b d bc
(4)分式的乘方： a n an ( ) ＝__ n(n 为正整数)__． b b
4．最简分式
如果一个分式的分子与分母没有公因式，那么这个分式叫做最简分式．
5．分式的约分、通分 把分式中分子与分母的公因式约去 ，这种变形叫做约分，约分的根据是
分式的基本性质．
把几个异分母分式化为与原分式的值相等的同分母分式，这种变形 叫做分式的通分，通分的根据是分式的基本性质．通分的关键是确定几
(
x 1．(1)(2013· 广州)若代数式 有意义，则实数 x 的取值范围是 x－ 1 D ) A．x≠ 1 B ．x≥0 C． x＞ 0 D ．x≥ 0 且 x≠ 1 解析： x≥ 0，x－1≠ 0，所以当 x≥ 0 且 x≠ 1 时分式有意义 |x|－3 (2)当 x＝__－3__时，分式 的值为 0. x－ 3 解析：当 |x|－3＝0， |x|＝3， x＝± 3， 而 x－3≠ 0，x≠ 3，故 x＝
个分式的最简公分母．
6．分式的混合运算
在分式的混合运算中，应先算乘方，再将除法化为乘法，
进行约分化简，最后进行加减运算．若有括号，先算括号 里面的．灵活运用运算律，运算结果必须是最简分式或整 式． 7．解分式方程，其思路是去分母转化为整式方程， 要特别注意验根．使分母为0的未知数的值是增根，需舍 去． 温馨提示 分式求值可根据所给条件和求值式的特征进行适当的变形 、转化．主要有以下技巧：①整体代入法；②参数法；③平 方法；④代入法；⑤倒数法．
约分，约分应彻底；(3)巧用分式的性质，可以解决某些较
复杂的计算题，可应用逆向思维，把要求的算式和已知条 件由两头向中间凑的方式来求代数式的值．
2．(1)(2012· 义乌)下列计算错误的是( 0.2a＋b 2a＋b A. ＝ 0.7a－b 7a－b a－b C. ＝－1 b－a x3y2 x B. x2y3＝y 1 2 3 D. ＋ ＝ c c c
x2－1 (2)(2014· 毕节)若分式 的值为零， 则 x 的值为( x－ 1 A．0 B ．1 C．－ 1 D．±1
解析：由x2－1＝0，得x＝±1.当x＝1时，x－1＝0，故x＝1不合题意 ；当x＝－1时，x－1＝－2≠0，所以x＝－1时分式的值为0.故选C
【点评】 (1)分式有意义就是使分母不为0，解不等式即可 求出，有时还要考虑二次根式有意义；(2)首先求出使分子 为0的字母的值，再检验这个字母的值是否使分母的值为0 ，当它使分母的值不为0时，这就是所要求的字母的值．
y＋ x x＋ y 1 1 解： ∵ x＋ y＝ xy，∴ ＋ －(1－x)(1－y)＝ －(1－x－ y＋ xy)＝ x y xy xy －1＋x＋ y－ xy＝1－1＋0＝0
【点评】 (1)分式的基本性质是分式变形的理论依据，所
有分式变形都不得与此相违背，否则分式的值改变；(2)将
分式化简，即约分，要先找出分子、分母的公因式，如果 分子、分母是多项式，要先将它们分别分解因式，然后再
－3
2 a ＋2a＋1 2 【例 2】 (1)(2014· 贺州)先化简，再求值：(a b＋ab)÷ ， a＋1 其中 a＝ 3＋1式＝ab(a＋1)· ＝ab，当 a＝ 3＋1，b＝ 3－1 时， （a＋1）2 原式＝3－1＝2 1 1 (2)(2014· 济宁)已知 x＋y＝xy，求代数式 ＋ －(1－x)(1－y)的值． x y
a2－b2 1 7．(2009· 河北)已知 a＝2，b＝－1，求 1＋ 2 ÷ 的值． a －ab a
1 1 ab 8．(2007· 河北)已知 a＝3，b＝－2，求( ＋ )·2 的值． a b a ＋2ab＋b2
2
1
分式的概念，求字母的取值范围
【例 1】 ( A ) A．x≠ 1 2 (1)(2014· 贺州)分式 有意义，则 x 的取值范围是 x－ 1 B． x＝ 1 C． x≠－ 1 D ．x＝－1 C )