《高数》下册复习自测题及答案

第八章复习题一、下列情形中的向量终点各构成什么图形？1、把空间中一切单位向量归结到共同的起点；2、把平行于某一平面的一切单位向量归结到共同的起点；3、把平行于某一直线的一切向量归结到共同的起点；4、把平行于某一直线的一切单位向量归结到共同的起点.二、要使下列各式成立，向量,应满足什么条件？1、-=+2、+=+3、-=+4、+=- 5-=-三、试解下列各题．1、化简)()()()(→→→→-⋅+--⋅-b a y x b a y x ．2、 已知→→→→-+=3212e e e a ，→→→→+-=321223e e e b ，求→→+b a ，→→-b a 和→→+b a 23．四、已知向量, , 的分量如下：1、＝{0, －1, 2}，＝{0, 2, －4}，c ＝{1, 2, －1}；2、 ＝{1, 2, 3}，＝{2, －1, 0}，c ＝{0, 5, 6}.试判别它们是否共面？能否将表成，b 的线性组合？若能表示，写出表示式.五、证明：1、向量a垂直于向量b c a c b a )()(- ；2、在平面上如 果1m 2m ，且⋅a i m＝b ⋅i m (i=1,2)，则有=b .六、一动点移动时，与)0,0,4(A 及xoy 平面等距离，求该动点的轨迹方程。

七、指出下列曲面与三个坐标面的交线分别是什么曲线？1、6416222=++z y x ；2、64164222=-+z y x ；3、64164222=--z y x ；4、z y x 16922=+八、求下列各平面的方程：1、通过点)1,1,3(1-M 和点)0,1,1(2-M 且平行于向量}2,0,1{-的平面2、通过点)1,5,1(1-M 和)2,2,3(2-M 且垂直于xoy 坐标面的平面；3、已知四点)3,1,5(A ，)2,6,1(B ，)4,0,5(C )6,0,4(D 。

求通过直线AB 且平行于直线CD 的平面，并求通过直线AB 且与ABC ∆平面垂直的平面。

九、求下列各直线的方程：1、通过点)1,0,3(-A 和点)1,5,2(-B 的直线；2、通过点),,(0000z y x M 且平行于两相交平面i π：0=+++i i i i D z C y B x A )2,1(=i 的直线；十、试验证直线l ：21111-=-=-z y x 与平面π：032=--+z y x 相交，并求出它的交点和交角。

一、填空（5分⨯3=15分）1、平行于a ={1，1，1}的单位向量为_______；若向量}5,1,{λ=a 与向量}50,10,2{=b 平行，λ为_______.2、以点)2,3,1(--为球心，且过点)1,1,1(-的球面方程是__________3、过点(1,2,1)M -且与直线2341x t y t z t =-++⎧⎪=-⎨⎪=-⎩垂直的平面方程是____________二、证明向量 a b b a c a b+=+与向量a 和b 的夹角平分线同向.（15分）三、一向量与,x y 轴夹角相等为α，与z 轴夹角为2α，试确定该向量的方向.（15分）四、过点（-1，0，4），平行于平面3410x y z -+=且与直线132zx y +=-=相交的直线方程.（15分）五、已知椭圆抛物面的顶点在原点，对称面为xoz 面与yoz 面，且过点)6,2,1(和)1,1,31(-，求这个椭圆抛物面的方程。

（20分）六、求过点()1,1,2P -及直线212:320x y z L --+==-的平面。

（20分）一、选择（5分⨯3=15分）1、向量a 与b 的数量积b a ⋅=（ ）.A.a rj P b a ；B. ⋅a rj P a b ；C. a rj P a b ；D.b rj P a b ．2、设k j i,, 是三个坐标轴正方向上的单位向量，下列等式中正确的是（ ）.A.i j k =⨯；B. k j i=⋅； C. k k i i ⋅=⋅； D. k k k k ⋅=⨯3、设空间直线的对称式方程为210zy x ==则该直线必（ ）. A. 过原点且垂直于x 轴； B. 过原点且垂直于y 轴； C. 过原点且垂直于z 轴； D. 过原点且平行于x 轴.二、已知四边形ABCD 中，→→→-=c a AB 2，→→→→-+=c b a CD 865，对角线→AC 、→BD 的中点分别为E 、F ，求→EF ．（15分）三、已知c b a ,,两两垂直且3,2,1===c b a . 求c b a r ++=的长和它与c b a ,,的夹角.（15分）四、用向量方法证明三角形正弦定理A sin ＝B b sin ＝Ccsin.(15分)五、已知三角形三顶点分别为)2,2,2(),1,1,2(),70,0(C B A -，求平行于ABC ∆所在的平面且与其相距为2个单位的平面方程.(20分)六、求过点()1,0,4-P 且与直线⎩⎨⎧=-+=--⎩⎨⎧=--=++4423:,221:21z y x z y x l z y x z y x l 都相交的直线方程.（20分）第九章复习题一、选择题1、二重极限4220lim y x xy y x +→→的值为（ ）A.0B.1C.1/2D.不存在2、设函数f x y x y y xxy xy (,)sin sin=+≠=⎧⎨⎪⎩⎪1100，则极限lim (,)x y f x y →→0=（ ）A.不存在B.等于1C.等于0D.等于2 3、函数()()22,0f x y x ay a =->在()0,0处（ ）A.不取极值B.取极小值C.取极大值D.是否取极值依赖于a4、在曲线23,,x t y t z t ==-=的所有切线中，与平面24x y z ++=平行的切线（ ）A.只有1条B.恰有2条C.至少有3条D.不存在 二、求下列二元函数的定义域，并绘出定义域的图形.(1) z = (2)ln()z x y =+ (3)1ln()z x y =+ (4)ln(1)z xy =-三、求极限lim x y xxye xy→→-+0416 四、讨论函数()()()()()()⎪⎩⎪⎨⎧=≠++=0,0,00,0,1sin ,2222y x y x y x y x y x f 在()0,0点处的连续性，偏导数存在性，可微性.五、设yx y z 1tan⎪⎭⎫ ⎝⎛=，求xz∂∂及y z ∂∂. 六、设()z y x f u ,,=，()0,,2=z e x y ϕ，x y sin =，其中f ，ϕ都具有一阶连续偏导数，且0≠∂∂x ϕ，求dxdu. 七、设变换⎩⎨⎧+=-=ay x v y x u 2可把方程0622222=∂∂-∂∂∂+∂∂y zy x z x z 转化为02=∂∂∂v u z ，求常数a .八、求椭球面2132222=++z y x 上某点M 处的切平面π的方程，使π过已知直线L ：2121326--=-=-z y x . 九、设n 是曲面222y z x =+在点()1,2,3P 处指向外侧的法向量，求函数u =P 点处沿方向n 的方向导数。

十、求函数22y xy x z +-=在区域1≤+y x 的最大值，最小值.十一、试证光滑曲面(),0F z x y z --=的所有切平面恒与一固定非零向量平行。

十二、某工厂生产两种产品甲和乙，出售单价分别为10元与9元，生产x 单位的产品甲与生产y 单位的产品乙的总费用是)33(01.03240022y xy x y x +++++元， 求取得最大利润时，两种产品的产量各为多少？一、填空题（6分*5=30分） 1、函数yx z -=2arcsin 1的定义域是_____________2、设yx z =，则yx z∂∂∂2=3、设arctanx yz x y+=-，则dz = 4、已知x y z z ϕ⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中ϕ为可微函数，则z z x y x y ∂∂+=∂∂ 5、函数)2ln(y x z +=在点( 1，2)处沿从点(1，2)到点(3，4)的方向的方向导数为_______二、计算题（12分*5=60分） 6、已知函数 xz y yxu +=arctan，求 du . 7、设),sin (22y x y e f z x+=, 其中f 具有二阶连续偏导数, 求yx z∂∂∂2.8、设函数),(y x z z =由方程04e 2=-+++xz z y x 确定，求xz∂∂，y z ∂∂. 9、求过直线325:0x y z L x y z --=⎧⎨++=⎩且与曲面2252228x y z -+=相切之切平面方程.10、求原点到曲面24z xy x y =+-+的最短距离 三、证明题（10分）11、证明函数)ln(yxe e z +=满足方程0)(222222=∂∂∂-∂∂⋅∂∂yx z y z x z一、填空题1、函数41),(22-+-=y x y x f 的定义域是2、设yx z +=2e，则22xz∂∂=3、由方程2222=+++z y x xyz 确定的函数z=z (x , y ),在点(1,0,-1)处的全微分dz =4、设y x xy z ++=22)sin(，则dz =______5、曲线t a x cos =,t a y sin =,bt z =在2π=t 处的切线方程为二、计算题6、已知函数 xz y xy u +=arctan ，求 du .7、设,y x z xf yg x x y ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中,f g 均为二阶可微函数，求2z x y ∂∂∂8、设函数),(y x z z =由方程03=-+-xyz z y x 确定，求xz∂∂，y z ∂∂． 9、设函数 222ln ),,(z y x z y x f ++= ，求)3,2,1(f grad .10、已知某工厂生产A ，B 两种产品，产量分别为y x ,(单位：千件)时，利润（单位：百万元）函数为2382),(22--+-=y y x x y x L ，已知生产这两种产品时，每千件均需消耗某种原料1000kg ，现有该原料3000kg ，问两种产品各生产多少件时，利润最大，最大利润是多少？ 三、（10分）证明题 11、设)(2xyf x z n =,其中f 为可微分函数,试证：nz y z y x z x =∂∂+∂∂2第十章复习题一、设{}22(,)(2)4D x y x y =+-≤,试根据二重积分的几何意义求Dd σ⎰⎰.二、估计二重积分22I d xy De σ+=⎰⎰的值，其中2222(,)|1x y D x y a b ⎧⎫=+≤⎨⎬⎩⎭,(0).b a <<三、计算⎰⎰Ddxdy xxsin ，D 是由1,,0===x x y y 围成的闭区域.四、试更换()⎰⎰-2101,x xdy y x f dx 的积分次序.五、将二重积分dxdy y x f D ⎰⎰),(表示为极坐标形式的二次积分,其中区域D 为10,10≤≤-≤≤x x y .六、利用极坐标计算二重积分dxdy y x D⎰⎰+)(22,其中D 为 2242x y x x -≤≤-.七、计算Ω，其中Ω是222z y x =+和z =1围成的闭区域.八、设函数)(x f 具有连续的导数，且0)0(=f ，试求()⎰⎰⎰≤++→++222222240 1limt z y x t dv z y xft π.九、设平面薄片所占的闭区域D 由直线2=+y x ，x y =和x 轴所围成，它的面密度()22,y x y x +=μ，求该薄片的质量M .十、求球面2222a z y x =++含在圆柱面ax y x =+22内部的那部分面积.十一、求由平面0),0(,0=>==z k kx y y 以及球心在原点、半径为R 的上半球面所围成的在第一卦限内的立体的体积.一、填空（4分⨯5=20分） 1、221x y I +≤==⎰⎰_______.2、交换二次积分次序，则110(,)dx f x y dy =⎰__________3、22221()x y x y d σ+≤+=⎰⎰____________4、化二次积分为极坐标下的二次积分，则1220()dx f x y dy +=⎰______________5、设Ω是由曲面22z x y =+及平面4z =所围成的闭区域，则化三重积分(,,)I f x y z dxdydz Ω=⎰⎰⎰为直角坐标下三次积分为I =______二、设}0,0,2),{(22≥≥≤+=y x y x y x D ，]1[22y x ++表示不超过221y x ++的最大整数. 计算二重积分⎰⎰++Ddxdy y x xy .]1[22（20分） 三、设f (x )为连续函数，⎰⎰=t tydx x f dy t F 1)()(，求)2(F '.（20分）四、设(){}222,,1x y z xy z Ω=++≤，计算2z dxdydz Ω⎰⎰⎰.（20分）五、设函数f (x )连续且恒大于零，⎰⎰⎰⎰⎰+++=Ω)(22)(222)()()(t D t d y xf dvz y xf t F σ，⎰⎰⎰-+=t t D dxx f d y x f t G 12)(22)()()(σ，其中}),,{()(2222t z y x z y x t ≤++=Ω，}.),{()(222t y x y x t D ≤+= (1) 讨论F (t )在区间),0(+∞内的单调性；(2) 证明当t >0时,).(2)(t G t F π>（20分）一、选择（5分⨯4=20分）1、二重积分定义01(,)lim (,)ni i i i Df x y d f λσξησ→==∆∑⎰⎰中λ是（ ）.A.最大小区间长；B. 区域最大面积；C. 小区域直径；D.小区域最大直径 ．2、设D 为222x y R +≤，1D 为222x y R +≤，0,0x y ≥≥，2D 为222x y R +≤，0y ≥，则sin cos Dx ydxdy =⎰⎰（ ）.A. 14sin cos D x ydxdy ⎰⎰；B. 0；C. 12sin cos D x ydxdy ⎰⎰； D. 22sin cos D x ydxdy ⎰⎰3、设D 为222x y a +≤，则当a =（）时，Dπ=A. 1；B.C.D.4、计算I zdv Ω=⎰⎰⎰，其中Ω为222z x y =+， 1z =围成的立体，则正确的解法为（ ）和（ ）A. 2110I d d zdz πθρρ=⎰⎰⎰； B. 211I d d zdz πρθρρ=⎰⎰⎰；C. 2110I d dz d πθρ=⎰⎰⎰； D. 120zI dz d z d πθρρ=⎰⎰⎰.二、设()y x f ,在积分域上连续，试更换二次积分()⎰⎰---=yy dx y x f dy I 311102,的积分次序．（20分）三、设区域D 为221,0x y x +≤≥，计算2211DxyI dxdy x y+=++⎰⎰.（20分） 四、证明：dv du dt t f x v u⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛000)(＝⎰-x dt t f t x 02)()(21. (20分) 五、设函数)(t f 在),(+∞-∞上连续，且满足()()422222222)(t dxdy y xfy xt f ty x +++=⎰⎰≤+，求)(t f . (20分)十一章复习题1．已知曲线弧:L (01)y x ≤≤，计算Lxyds ⎰.2．设L 是曲线21,1x t y t =+=+上从点（1, 1）到点（2, 2）的一段弧，计算 2(2)LI ydx x dy =+-⎰3．计算 22Ly dx x dy +⎰，其中L 为圆周222x y R +=的上半部分，L 的方向为逆时针.4． 计算22Cxdy ydxI x y-=+⎰，其中C 是曲线22(2)x y =+上从点A (2)-到点B 2)的一段.5．把第二类曲线积分⎰+Ldy y x Q dx y x P ),(),(化为第一类曲线积分，其中L 为圆周122=+y x 在第一象限的部分，取逆时针方向．6．求微分方程0)cos 2()1(2=-+-dx x xy dy x 满足初始条件10==x y 的特解．7．计算4(2)3z x y dS ∑++⎰⎰，其中∑为平面1234x y z++=在第一卦限中的部分.8. 设()f u 具有连续导数，计算曲面积分33311[()][()]y yI x dydz f y dzdx f z dxdy z z y z∑=++++⎰⎰其中∑为0x >的锥面222x y z =+与两球面1222=++z y x 和4222=++z y x 所围立体表面的外侧.9．计算曲面积分⎰⎰∑-++=dxdy z dzdx y dydz x I )1(322233, 其中∑是曲面)0(122≥--=z y x z 的上侧.十一章自测题（A ）一、填空题（5分⨯6=30分）1. 设C 是以O(0,0),A(1,0),B(0,1)为顶点的三角形边界，则⎰+Cds y x )(=____2. 设曲线C 为圆周221x y +=,则曲线积分()223d Cxy x s +-=⎰3. 设L 是以(0, 0), (1, 0), (1, 1), (0, 1)为顶点的正方形边界正向一周，则曲线积分⎰=+-Ly dy x e ydx )(2______________4．设L 为从点)6,1(A 沿6=xy 至点)2,3(B 的曲线段，=+⎰)(Lxy xdy ydx e ____________5.⎰=++-12222y x yx xdyydx = _______________________6．设∑为半球面)0z z =≥，则()222ds y x z ∑++⎰⎰=________二、单项选择题（4分⨯5=20分） 1. 设I=⎰Lds y ,其中L 是抛物线2x y =上点（0, 0）与点(1, 1)之间的一段弧,则I= ( )A.655 B. 12155- C. 6155- D. 1255 2．设L 为圆周122=+y x ，1L 为该圆周在第一象限的部分，则正确的是( ) A. ⎰⎰=14L Lxds xds B. ⎰⎰=14L Lyds ydsC.⎰⎰=1sin 4sin 22L Lyds x yds xD.⎰⎰=1cos 4cos 22L L yds x yds x3. 如果简单闭曲线 l 所围区域的面积为 σ，那么 σ 是（ ）A.⎰-l ydy xdx 21 B.⎰-l xdx ydy 21C.⎰-l xdy ydx 21D.⎰-lydx xdy 214. 对于格林公式()LDQ PPdx Qdy dxdy x y∂∂+=-∂∂⎰⎰⎰，下述说法正确的（ ） A ． L 取逆时针方向，函数P ，Q 在闭区域D 上存在一阶偏导数且Q Px y∂∂=∂∂； B. L 取顺时针方向，函数P ，Q 在闭区域D 上存在一阶偏导数且Q Px y∂∂=∂∂；C ．L 为D 的正向边界，函数P ，Q 在闭区域D 上存在一阶连续偏导数； D. L 取顺时针方向，函数P ，Q 在闭区域D 上存在一阶连续偏导数.5．设L 为下列曲线所围有界闭区域的边界正向，则可直接使用格林公式计算曲线积分⎰++L y x ydyxdx 22的是（ ）A.122=+y x B.2)1(22=+-y x C.2)1(322=+-y x D.1||||=+y x 三、解答题（10分⨯5=50分） 1. 计算ds y x L⎰+)(22，其中L 为圆周y y x 222=+．2．计算 ⎰++++=Ldy y x xdx yx y I )2()2(22，其中L ：由点)0,4(A 沿上半圆周24x x y -=到点)0,0(O ．3．计算曲面积分：()[2sin()](3)x yS x y z dydz y z x dzdx z edxdy +++++++++⎰⎰，其中S +为曲面1x y z ++=的外侧.4. 证明积分()()()⎰++---1,20,122)(ydy xdx y x 在XOY 面上与路径无关，并求其值.5. 证明在整个XOY 平面上 (sin )(cos )xxe y my dx e y mx dy -+-是某个二元函数的全微分，求这样的一个函数并计算(sin )(cos )x xLe y my dx e y mx dy -+-⎰，其中L 为从(0,0)到(1,1)的任意一条路径.十一章自测题（B ）一、填空题（5分⨯6=30分） 1．设)(x f 是连续函数，21)1(=f ，则⎰=+=++12222))((y x ds y x f x _______2. cos ,sin ,0x t y t z t πΓ===设为螺旋线上相应于从到的一段弧，222()I x y z ds Γ=++=⎰则曲线积分_____________________3.设C 为依逆时针方向沿椭圆22221x y a b+=的一周路径，则()()C x y dx x y dy +--⎰=__4．设L 为从点)3,1(M 沿圆2)2()2(22=-+-y x 右行至点)1,3(N 的半圆，则=+⎰Ldy x dx y )sin()sin(22___________________________5.设有力场22()()(0)kF x y yi x j y =+->，已知质点在此力场内运动时，场力F 所作的功与路径的选择无关，则k =_____________________ 6. 设∑为半球面4z x y =--，则积分∑⎰⎰=__________二、单项选择题（4分⨯5=20分） 1．闭曲线C 为1x y +=的正向，则Cydx xdyx y-+=+⎰( )A. 0B. 2C. 4D. 62. 设L 为沿右半圆周21y x -=从点)1,0(-A 经点)0,1(B 到点)1,0(C 的路径，1L 为L 上从点B 到点C 的路径，则曲线积分⎰+Ldy y dx y 3||= ( )A.0B.⎰+132L dy y ydx C. ⎰1||2L dx y D. ⎰132L dx y3．已知2)()(y x ydydx ay x +++ 为某二元函数的全微分，则a 等于 ( ) A.1- B. 0 C. 1 D. 2 4. 设∑为球面 2222x y z a ++=在(0)z h h a ≥<<的部分，则zdS ∑⎰⎰=（）A. 22200a h d πθ-⎰⎰B. 20d πθ⎰C.20d πθ⎰D.20d πθ⎰5. 如果闭曲面∑（取外侧）所围立体的体积是V ，则下列曲面积分等于V 的是（ ）A ． xdydz ydzdx zdxdy ∑++⎰⎰B ． ()()()x y dydz y z dzdx z x dxdy ∑+++++⎰⎰C ．()()x y z dydz dzdx dxdy ∑++++⎰⎰D ．1()()3x y z dydz dzdx dxdy ∑++++⎰⎰三、解答题（10分⨯5=50分） 1. 计算⎰+-Lxdy y ydx x sin cos ，其中L 是由点A )0,0(到B )2,(ππ的直线段.2．计算⎜⎛-Ldx y dy x 33，其中L 为圆周222x y x +=沿逆时针方向.3. 设曲面S 为球面4222=++z y x 被平面z=1截出的顶部，计算I=dS z S⎰⎰1. 4．计算曲面积分2(2)xdydzydzdx zz dxdy ∑++-⎰⎰，其中∑为锥面z =与1z =所围的整个曲面的外侧.5．设函数(,)Q x y 在xoy 平面上具有一阶连续偏导数，曲线积分2(,)Lxydx Q x y dy +⎰在xoy 平面上与路径无关，且对任意 实数t 恒有(,1)(1,)(0,0)(0,0)2(,)2(,)t t xydx Q x y dy xydx Q x y dy +=+⎰⎰求(,)Q x y .十二章复习题一、已知级数1n n u ∞=∑的部分和2(1,2,3,)1n nS n n ==+，试求此级数的一般项n u ，并判断此级数的收敛性. 二、求级数11(21)(21)n n n ∞=-+∑的和.三、判断下列级数的收敛性：1.431ln n n n ∞=∑； 2.1(1)!2nn n ∞=+∑； 3. 13(21)!n n n ∞=+∑； 4. 13(1)2nnn ∞=+-∑； 5. 1(1)!n n a a n ∞=>∑；6. 11n n∞=∑；7.1(1)nn ∞=-∑ 8. 311(1)2n nn n ∞-=-∑；9.1(1)nn ∞=-∑.四、求下列级数的收敛域:1. 1n n n x n ∞=∑； 2. 12112n n n n x ∞+-=∑；3.1!(1)nn n x ∞=-∑； 4. 11ln(1)1n n n x n ∞+=++∑； 5. 11nn n n x n ∞=⎡⎤+⎛⎫⋅⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑； 6. 1(21)nn n x ∞=+∑.五、求下列级数的和函数：1. 02n n n x ∞=∑； 2. 21021n n x n +∞=+∑；3.1(21)nn n x∞=+∑； 4.21nn n x∞=∑；5.1(1)nn n n x∞=+∑； 6.求级数1(1)2nn n n ∞=+∑的和. 六、利用函数的幂级数展开式，求下列函数的高阶导数：1.21xy x=+在0x =的七阶导数；2.y x = 在0x =的五阶导数；3.6e xy x = 在0x =的十阶导数. 七、假设1nn a∞=∑与1nn c∞=∑收敛，且n n n a b c ≤≤，证明1nn b∞=∑收敛.八、设正项级数1n n a ∞=∑收敛，证明11nn na a ∞=+∑也收敛.十二章自测题（A ）一、单项选择题（4分⨯4=16分）1.级数121(1)n pn n -∞=-∑ . A .当12p >时，绝对收敛； B . 当12p >时，条件收敛； C . 当102p <≤时，绝对收敛； D. 当102p <<时，发散.2. 20(1)!n nn x n ∞=-∑在(,)-∞+∞的和函数是 .A .2e x -； B. 2e x ； C. 2e x -； D . 2e x--.3.若11lim 4n n nc c +→∞=，则幂级数20n n n c x ∞=∑ .A.在2x <时，绝对收敛；B.在14x >时，发散； C.在4x <时，绝对收敛； D. 在12x >时，发散.4.若级数1(2)nn n a x ∞=-∑在2x =-处收敛，此级数在5x =处 .A.发散； B .条件收敛； C .绝对收敛； D.收敛性不确定. 二、填空题（4分⨯4=16分）1.等式011n n x x∞==-∑成立的条件是 . 2.级数1(1)nn x ∞=-∑的和函数为 ，收敛域为 .3.已知幂级数1nnn a x ∞=∑的收敛半径2R =，则在下列X 值：12,2,1,1,0,e,e --中幂级数1(3)nn n a x ∞=-∑的收敛点是 （1） ，绝对收敛点是 （2） ，发散点是（3） ，不能确定敛散性的点是 （4） .4.周期为2π的函数()f x ，它在一个周期的表达式为：21,0(),0x x f x x x ππ+-≤<⎧=⎨≤<⎩，设它的傅里叶级数的和函数为()S x ，则()S π-= （1） ；(0)S = （2） ；()S π= （3） ；5()2S π= （4） .三、判断下列级数的收敛性：（6分⨯5=30分）1. 11arcsin nn n ∞=∑； 2. 111(1)1n n n ∞-=-+∑； 3. 311(1)2n nn n ∞+=-∑； 4. 21(1)22n n n n ∞=-++∑； 5. 221ln n n n∞=∑.四、求幂级数110nn n x ∞=∑的收敛区间. （8分）五、将()arctan f x x =展开成x 的幂级数，并求出收敛区间. （10分）六、设1nn n a x∞=∑的收敛半径为1R ，1nn n b x∞=∑的收敛半径为2R ，且120R R <<，试证明：1()n nn n ab x ∞=+∑的收敛半径也为1R .（10分）七、将0,0(),0x f x A x ππ-≤<⎧=⎨≤≤⎩展开成以2π周期的傅里叶级数. （10分）十二章自测题（B ）一、填空题（5分⨯5=25分）1.设40tan nn a xdx π=⎰，则211()n n n a a n∞+=+=∑ .2.111()2n n n ∞-==∑ .3.设40sin cos d ,0,1,2,nn I x x x n π==⎰，则nn I∞==∑ .4.幂级数211(3)2n nnn nx ∞-=-+∑的收敛半径R = .5.设幂级数1(1)nn n a x ∞=+∑在3x =处条件收敛，则该幂级数的收敛半径R = .二、设正项数列{}n a 单调减少，且1(1)nn n a ∞=-∑发散，试问级数11()1nn n a ∞=+∑是否收敛？并说明理由. （15分）三、将函数()1,(02)f x x x =-≤≤展开成周期为4的余弦级数. （15分）四、设有两条抛物线2211,(1)1y nx y n x n n =+=+++，记它们交点的横坐标的绝对值为n a .（1）求两条抛物线所围的平面图形的面积n s .（2）求级数1nn ns a ∞=∑的和. （15分） 五、判别级数2(1),(0)[(1)]nn pn p n ∞=->+-∑的收敛性. （15分）六、设级数468()242462468x x x x +++-∞<<+∞⋅⋅⋅⋅⋅⋅的和函数为()S x ，求：（1）()S x 所满足的一阶微分方程； （2）()S x 的表达式. （15分）第八章复习题及自测题参考答案复习题一、1、单位球面； 2、单位圆； 3、直线； 4、相距为2的两点二、1、,=+；2、,+=+3≥且,=+ 4、,+=-5、,≥-=-三、1、→→→→→→→→→→→→→→-=+-+---+=-⋅+--⋅-ay b x by a y b x a x b y a y b x a x b a y x b a y x 22)()()()(2、 →→→→→→→→→→+=+-+-+=+3132132142232e e e e e e e e b a→→→→→→→→→→→-+-=+---+=-321321321342)223(2e e e e e e e e e b a ，→→→→→→→→→→→-+-=+---+=-3213213217103)223(2)2(323e e e e e e e e e b a ．四、1、 因为 121420210---＝0,所以 , , 三矢量共面,又因为, 的对应坐标成比例，即//，但，故不能将表成, 的线性组合.2、 因为 650012321-＝0,所以 a , b , c 三矢量共面.又因为 a , b 的对应坐标不成比例，即a ，故可以将c 表成a ,b 的线性组合.设 c ＝λa+μb , 亦即{0, 5, 6}＝λ{1, 2, 3}+μ{2, －1, 0} 从而⎪⎩⎪⎨⎧==-=+.63,02,02λμλμλ 解得 λ＝2，μ＝－1,所以 c ＝2a －b.五、1、 ∵a .()()a b c ac b ⎡⎤⋅-⎣⎦()()a ab c a ac b =-()()ab ac ac ab =-=0∴向量a 垂直于向量()ab c ()ac b - .2、 因为 1m 2m ,所以，对该平面上任意矢量c＝λ1m ＋μ2m ,(－b )⋅c ＝(－b )(λ1m ＋μ2m )＝λ1m (－b )+μ2m(－b )＝λ(a 1m －b 1m )+μ(a 2m－b 2m )＝0, 故 (a －b )⊥c.由c的任意性知 a －b ＝0 .从而 a ＝b .六、设在给定的坐标系下，动点),,(z y x M ，所求的轨迹为C ，则z Cz y x M =⇔∈),,(亦即z z y x =++-222)4(0)4(22=+-∴y x由于上述变形为同解变形，从而所求的轨迹方程为0)4(22=+-y x七、1、曲面与xoy 面的交线为：⎩⎨⎧==+⇒⎩⎨⎧==++0640641622222z y x z z y x 此曲线是圆心在原点，半径8=R 且处在xoy 面上的圆。