高等数学(下)练习题及答案

第九章 多元函数的微分法及其应用§ 1 多元函数概念一、设]),,([:,),(,),(22222y y x f y x y x y x y x f ϕϕ求-=+=.二、求下列函数的定义域：1、2221)1(),(y x y x y x f ---= };1|),{(22≠+x y y x 2、xyz arcsin = };0,|),{(≠≤x x y y x三、求下列极限：1、222)0,0(),(sin lim y x yx y x +→ （0） 2、x y x x y3)2,(),()1(lim+∞→ (6e )四、证明：当沿着x 轴趋于（0，0）时，极限为零，当沿着2x y =趋于（0，0）时，极限为21, 二者不相等，所以极限不存在五、证明：当)0,0(),(≠y x 时，为初等函数，连续),(y x f 。

当)0,0(),(=y x 时，)0,0(01sin lim 22)0,0(),(f y x xy y x ==+→，所以函数在（0，0）也连续。

所以函数 在整个xoy 面上连续。

六、设)(2y x f y x z +++=且当y=0时2x z =，求f(x)及z 的表达式. 解：f(x)=x x -2，z y xy y x -++=222242244222222)()),,((y y x x y y x y y x f +-=+-=ϕ答案：§ 2 偏导数1、设z=xyxe xy + ,验证 z x y +=∂∂+∂∂yz y x z x证明：x yx yx ye x ,e x y e y +=∂∂-+=∂∂y z x z ，∴z xy xe xy xy x y+=++=∂∂+∂∂yzy x z x2、求空间曲线⎪⎩⎪⎨⎧=+=Γ21:22y y x z 在点（1,21,23）处切线与y 轴正向夹角(4π)3、设yxy xy y x f arcsin )1(),(2-+=, 求)1,(x f x ( 1)4、设yz x u =, 求x u ∂∂ ，yu ∂∂ ，z u ∂∂ 解：1-=∂∂y zx y z x u ，x x yz y u y zln 2-=∂∂ x x y z u y zln 1=∂∂5、设222z y x u ++=，证明 : u zu y u x u 2222222=∂∂+∂∂+∂∂6、判断下面的函数在(0,0) 处是否连续？是否可导（偏导）？说明理由⎪⎩⎪⎨⎧≠+≠++=0,00,1sin ),(222222y x y x yx x y x f )0,0(0),(lim 00f y x f y x ==→→ 连续； 201sin lim )0,0(xf x x →= 不存在， 0000lim )0,0(0=--=→y f y y7、设函数 f(x,y)在点（a,b ）处的偏导数存在，求 xb x a f b x a f x ),(),(lim--+→（2f x (a,b)）§ 3 全微分1、单选题（1）（D ）既非充分又非必要条件（2）（B ）偏导数连续，则全微分必存在2、求下列函数的全微分：1）xy e z = )1(2dy x dx xy e dz x y+-=2）)sin(2xy z = 解：)2()cos(22xydy dx y xy dz +=3）zy x u = 解：xdz x zyxdy x z dx x z y du z yz y z y ln ln 121-+=-3、设)2cos(y x y z -=， 求)4,0(πdz解：dy y x y y x dx y x y dz ))2sin(2)2(cos()2sin(-+-+--=∴)4,0(|πdz =dy dx 24ππ-4、设22),,(yx zz y x f += 求：)1,2,1(df )542(251dz dy dx +--5、解：)0,0(01sin )(lim 2222)0,0(),(f yx y x y x ==++→ 所以),(y x f 在（0，0）点处连续。

0)0,0(),0(lim )0,0(,0)0,0()0,(lim)0,0()0,0(),()0,0(),(=∆-∆==∆-∆=→→yf y f f x f x f f y x y y x x0)()(0),(22→∆+∆-∆∆y x y x f ，所以可微。

§4 多元复合函数的求导法则1、设t v e v t u u z ===,sin ,，求dtdz 2、解：dtdz=1cos .(sin )lnsin (sin )t t e t e t t t e t t e -⋅+⋅⋅ 3、设,)(32y x y x z -+=，求yzx z ∂∂∂∂,23123(23)()3()ln(),x y x y zx y x y x y x y y ---∂=-+-++∂4、设)(2xyf x z n =，f 可微，证明nz y z yx z x =∂∂+∂∂25、设)2,(22xy y x f z -=，其中f 具有二阶连续偏导数，求22x z ∂∂，y x z∂∂∂2， 22yz ∂∂解：1222zxf yf x∂''=+∂ ,1222zyf xf y∂''=-+∂ ,21112221222((2)2)22((2)2)z x f y f x f y f y f x x y ∂'''''''''=-+++-+∂∂ =221111222244()4f xyf x y f xyf '''''''-+-+222111122222484z f x f xyf y f x ∂'''''''=+++∂,222111122222484z f y f xyf x f y ∂'''''''=-+-+∂6、设)(),(yxg x y xy f z +=，其中f 具有二阶连续偏导数、g 具有二阶连续导数，求y x z ∂∂∂2 解：1221z y f y f g x x y ∂'''=-+∂ ，2111122122222231111∂'''''''''''''=++--+--∂∂()()z y xf y f x f f f x fg g x y x x x x y y7、设),,(z y x F u =，),(y x f z =，)(x y ϕ=，求dxdu解：dxdu ))(()(321x f f F x F F y x ϕϕ''+''+''+'=。

7、证明：v zu z x z ∂∂+∂∂=∂∂ v z a u z y z ∂∂+∂∂-=∂∂2 2222222v u v u z uz x z ∂∂+∂∂∂+∂∂=∂∂ 2222222244v u a v u z a u zy z ∂∂+∂∂∂-∂∂=∂∂ 222222)2(2vu a v u z a u z y x z ∂∂+∂∂∂-+∂∂-=∂∂∂ 得：0)6()510(2222=∂∂-++∂∂∂+vu a a v u z a a=38、设函数f(x,y)具有连续的一阶偏导数，f(1,1)=1,a f =)1,1(/1,b f =)1,1(/2 又，{})],(,[,)(x x f x f x f x =ϕ 求 ).1(ϕ和)1(/ϕ (1) , (a+ab+ab 2+b 3)§ 5 隐函数的求导公式1、设y x y y +=ln ，求dxdy解：令(,)ln F x y y y x y =--，11,ln ,ln x y dy F F y dx y=-=∴=2、设),(y x z z =由方程)(222yzyf z y x =++确定，其中f 可微，证明xz yzxy x z z y x 22)(222=∂∂+∂∂--3、设),(y x z z =由方程zy e z x +=所确定，其中f 可微，求y x z ∂∂∂2,1,)1(z z y z z x z x z +-=∂∂+=∂∂ y x z∂∂∂23)1(z x z +-=4、设⎩⎨⎧+==++222221y x z z y x ，求dx dy，dx dz ( dy x dx y =-，0dz dx =)5、设),(y x z z =由方程0),,(=+xz z y xy F 所确定，F 可微，求yzx z ∂∂∂∂,解：令(,,)F x y z =(,,)F xy y z xz + ，则13122323,y x z zF F F y zF F x F zz x F y F F xF F xF ''''++∂∂=-=-=-=-∂∂''''++ 6、 设),(y x f z =由方程0=-++++y x z e y x z 所确定，求dz (dy dx dz --=)7、设z=z(x,y)由方程 y z yz x xy =-+3)cos(3所确定，求xz ∂∂, y z ∂∂ ,)sin(3)cos(3ln .32yz xy z yz y x z xy ++=∂∂ , )sin(31)sin(3ln 3.2yz xy z yz xz x y z xy +--=∂∂§ 6 微分法在几何中的应用1、 求螺旋线t z t y t x 3,sin 2,cos 2=== 在对应于4π=t 处的切线及法平面方程343z π-== 法平面方程0)43(3)2(2)2(2=-+-+--πz y x2、解：切线方程为 053443-=--=-z y x ，法平面方程：034=-y x3、求曲面932222=++z y x 在（1，-1，2）处的切平面及法线方程 解：切平面方程为0)2(2)1(3)1(2=-++--z y x及法线方程223121-=-+=-z y x4、证明：令),(),,(bz ay bz ax f z y x F --=，则),,(,,,21212121'-'-''=∴'-'-='='=bf bf a f a f n bf bf F a f F a f F z y x0),,(=⋅∴a b b n ，所以在（000,,z y x ）处的切平面与定向量（a b b ,,）平行。