大学物理学-稳恒磁场教案

授课章节第10章稳恒磁场

教学目的

掌握运用毕奥-萨伐尔定律计算磁感应强度的方法．理解磁场的高斯定理．掌握安培环路定理及求解磁场分布的方法．

熟练使用安培定律计算载流导线或载流回路所受的磁力和磁力矩．掌握洛仑兹力公式，并能用此求解运动问题．

了解顺磁质、抗磁质和铁磁质的特点及磁化机理．掌握有磁介质时的安培环路定理，并能用其求解磁场分布．

教学重点、难点

毕奥-萨伐尔定律；安培环路定理；洛仑兹力；顺磁质、抗磁质的磁化

机理；

教学内容备注

§10.1磁场磁感应强度

一、基本磁现象

磁体有不可分割两个磁极，N极和S极;

1820年丹麦物理学家奥斯特发现电流的磁效应。

磁场和电场一样具有能量、动量和质量，是一种特殊的物质，叫场

物质。

二、磁感应强度

磁场对外的重要表现是：

(1)磁场对进入场中的运动电荷或载流导体有磁力的作用；

(2)载流导体在磁场中移动时，磁场的作用力将对载流导体作功，表明磁场具

有能量。

1.磁矩

设线圈的面积为ΔS，线圈中电流为

I，则线圈的磁矩定义为

m

P

=

IΔS n

磁矩

m

P

是矢量,电流I 的方向与n的方向成右手螺旋系.线圈的磁矩是表征

线圈本身特性的物理量。

2.试验线圈在磁场中受到的磁力矩：

当线圈转到一定位置时、线圈受到的磁力矩为零，这个位置叫平衡位置； 线圈从平衡位置转过90°时线圈受到的磁力矩最大；

m P M ∝max

在磁场中的一定点、比值m P M m ax 不变；在磁场中的不同点比值m

P M m ax

不同。 3.磁感应强度矢量B

大小为 B=m

P M m ax

； B 的单位 特斯拉， (T)．

三、磁通量 磁场中的高斯定理 1.磁力线 磁场中作一系列曲线，曲线上每一点的切线方向为磁场B

方向，垂直于该点B 矢量的单位面积的磁力线条数，为该点B

矢量的量值．

(1)磁力线都是环绕电流的闭合曲线，磁场是涡旋场．

(2)任何两条磁力线在空间不相交．

(3)磁力线的环绕方向与电流方向用右手定则．

2.磁通量

穿过磁场中某一曲面的磁力线总数，称为穿过该曲面的磁通量，用符号m Φ表示．

m d Φ=S d B

⋅ 而通过曲面S 的磁通量为

m Φ=⎰⋅S

S d B

磁通量的单位： 韦伯(Wb )，1Wb =12

m T ⋅。

四、磁场中的高斯定理

对闭合曲面S

⎰⋅S

S d B =0

称为磁场的高斯定理。

五、毕奥-萨伐尔定律

任一电流元l Id 在给定点P 所产生的磁感应强度B d

的大小与电流元的大小

成正比，与电流元和由电流元到P 点的矢径r

间的夹角的正弦成正比，而与电流

元到P 点的距离r

的平方成反比．B d 的方向垂直于l d 和r 所组成的平面，指向

为由l Id 经小于180°的角转向r

时右螺旋前进的方向.

B d =k 3

r

r

l Id

⨯；

其中k =π

μ40，0μ称为真空的磁导率,0μ=17104--⋅⋅⨯A m T π(或1

-⋅m H )

因此，有 B d =3

04r r

l Id ⨯πμ。

任意形状的载流导线在给定点P 产生的磁场 B

=⎰⎰⨯=L L r

r l Id B d 304 πμ。 运动电荷的磁场：（毕奥——萨伐尔定律的微观形式） 设在导体的单位体积内有n 个带电粒子，每个粒子带有电量q ，以速度v

沿电表明磁场是无源场

电流元在自身方向上不激发磁场

流元l Id

的方向作匀速运动而形成导体中的电流，电流元的横截面为S ，电流强度

为：I=qnvS

上式代入毕奥-萨伐尔定律，并注意到l Id 与v 的方向相同，则得

dB =2

0)

,sin()(4r r v dl qNvS

πμ 在电流元l Id 内，有nSdl dN =个带电粒子．运动的带电粒子产生的磁感应

强度B 的大小为

B =2

0)

,sin(4r r v qv dN dB

πμ= B 的方向垂直于v 和电荷q 到场点的矢径r

所决定的平面，运动电荷所产生的磁

感应强度B 为

B =3

04r r

v q ⨯πμ 六、毕奥-萨伐尔定律的应用 略 §10.2安培环路定理

一、安培环路定理 在无限长直电流产生的磁场中 ⎰⋅L

l d B =⎰dl B θcos =ϕπμπrd r I ⋅⎰200

2=⎰πϕπμ2002d I =I 0μ

1.如果使曲线积分的绕行方向反过来(或电流方向反过来)，则

⎰⋅L

l d B =-I 0μ

2.如果闭合回路不包围载流导线，则

0=⋅⎰L

l d B

3.如果闭合曲线L 不在一个平面内，可以把每一段积分元l d

分解为//l d 及

⊥l d

，则

l d B ⋅=B

·(⊥l d +//l d )＝ 90cos B ⊥l d +θcos B //l d

＝ϕπμrd r I 200±

＝ϕπμd I

20± 式中“±”号取决于积分回路的绕行方向与电流方向的关系，则

⎰⋅L

l d B

=I 0μ

以上讨论虽然是对长直载流导线而言，但其结论具有普遍性．

在真空中的稳恒电流磁场中，磁感应强度B

沿任意闭合曲线L 的线积分(也称B

矢量的环流)，等于穿过这个闭合曲线的所有电流强度的代数和的0μ倍．其

数学表达式为

⎰⋅L

l d B

=0μi I ∑

规定：当穿过回路L 的电流方向与回路L 的绕行方向符合右螺旋法则时，I 为正，反之，I 为负．如果I 不穿过回路L ，则为0，

注意：场中各点的磁感应强度B

是所有电流产生．

磁场是有旋场(或涡旋场)，是非保守力场．稳恒电流的磁场不存在标量

势．

二、安培环路定理的应用

§10.3磁场对载流导线的作用

一、安培定律

磁场对载流导线的作用力也称安培力

电流元的安培力)

,

sin(B

l

Id

BIdl

dF

=

写成矢量式为B

l

Id

F

d

⨯

=

载流导线的安培力F

=⎰L F d

=⎰⨯

L

B

l

Id

二、无限长两平行载流直导线间的相互作用力电流单位“安培”的定义

1. 平行载流直导线间的相互作用力

两根相距为a的无限长平行直导线，通以同方向的电流

1

I和

2

I。

在导线2上电流元

2

2

dI

I在电流I1的磁场中所受安培力大小为

2

dF=)

,

sin(

1

2

2

2

2

1

B

l

Id

I

dl

I

B

=

2

2

1

2

dl

a

I I

π

μ

2

F

d

的方向指向导线1，单位长度所受安培力大小为

2

2

dl

dF

=

a

I I

π

μ

2

2

1

同理可得载流导线1每单位长度所受的安培力大小为

1

1

dl

dF

=

a

I I

π

μ

2

2

1

1

F

d

的方向指向导线2．

2. “安培”的定义

真空中两条无限长的载流平行导线单位长度间相互作用力

a

I I

dl

dF

π

μ

2

2

1

=

规定：真空中的两条无限长平行直导线，通有相等的稳恒电流I，当两导线相距1米，每一导线每米长度上受力为2×7

10-牛顿时，各导线中的电流强度为1

安培．

1

10

4

10

2

2

1

2

7

7

2

1

=

⨯

⨯

⋅

=

⋅

=

=

=

-

-

π

π

μ

π

dl

df

a

I

I

I（A）

三、磁场对载流线圈的作用

1.均匀磁场对载流线圈的作用

线圈磁矩的方向n

与磁场B

的方向成ϕ角(线圈平面与磁场的方向成θ角)时，由安培定律

导线bc受力

1

F=θ

sin

1

BIl

导线da受力

1

F'=)

sin(

1

θ

π-

BIl=θ

sin

1

BIl

导线ab受力

2

F=

2

BIl

导线cd受力

2

F'=

2

BIl

1

F和

1

F'，

2

F

和

2

F'

方向相反,线圈在均匀磁场中受合力为零。

∑F =1F +'F1 +2F +'F2 =0

但

2

F

和

2

F'

不在同一直线上.因此，载流线圈所受的磁力矩为

M=θ

θcos

2

cos

2

1

2

1

2

l

F

l

F'

+=θ

cos

2

1

l

BIl=ϕ

sin

BIS

如果线圈有N匝

M=ϕ

sin

NBIS=ϕ

sin

B

P

m

M

=B

p

m

⨯

m

P=NIS就是线圈磁矩,是矢量.上式对于在均匀磁场中任意形状的载流平面线圈也同样成立．

讨论：

(1)当ϕ=

2

π

，

m

P

与B

垂直，M max=NBIS，磁力矩使ϕ有减少趋势．

(2)当ϕ=0，m P

与B

同向，M=0,线圈处于稳定平衡状态．

(3)当ϕ=π，m P

与B

反向，M=0,线圈处于非稳定平衡状态

平面载流刚性线圈在均匀磁场中，只发生转动，不会发生整个线圈的平动．

2.非均匀磁场对载流线圈的作用

因为磁场不均匀，所以一般线圈受的合力0

≠

∑F ，合力指向磁场强的方向，所以线圈除转动外还要平动．

四、磁力的功

1.载流导线在磁场中运动时磁力所做的功

设均匀磁场B

中，有一载流的闭合回路abcda，ab长为l，可滑动，则

磁力做的功为

∆Φ

I

IBS

a

a

l

BI

a

a

F

W=

=

'

⋅

=

'

⋅

=

载流导线电流保持不变，磁力所做的功等于电流强度乘以磁通量的增量．

2.载流线圈在磁场中转动时磁力矩所做的功

匀强磁场中, M作正功，使ϕ减少

dW=ϕ

Md

-=ϕ

ϕd

BIS sin

-=)

(cosϕ

BISd

=ϕ

cos

(BS

Id=Φ

Id

磁力矩所做的总功为

W=⎰ΦΦΦ

2

1

Id

当电流I不变时W=)

(

1

2

Φ

-

Φ

I

§10.4磁场对运动电荷的作用一、洛仑兹力

电流元l

Id

在磁场B

中受力大小为

dF=)

,

sin(B

l

Id

BIdl

电流强度可写成I=qnvS且)

,

sin(

)

,

sin(B

l

Id

B

v

=

写成dF=)

,

sin(B

v

qvnSBdl

导体线元l d

内，带电粒子数目nSdl

dN=

因此f=

dN

dF

=)

,

sin(B

v

qvB

磁场对运动电荷作用的力f

称为洛仑兹力．

矢量式为f

=B

v q

⨯

注意：(1) q 的正负影响洛伦兹力的方向。

(2)f

·v

=0，因此洛仑兹力不做功

(3)同时存在电场和磁场时，则

F

=)

(B

v

E

q

⨯

+

称为洛仑兹关系式。

二、带电粒子在匀强磁场中的运动

(1) v

与B

平行或反平行

F

=B

v q

⨯=0

带电粒子仍作匀速直线运动．

(2) v

与B

垂直

洛仑兹力F

的方向始终与速度v

垂直带电粒子作匀速圆周运动．

R

v

m

qvB

2

=

圆周运动半径(回旋半径)

qB

mv

R=

圆周运动周期

qB

m

v

R

T

π

π2

2

=

=

回旋频率ν=

T

1

=

m

qB

π2

周期T和回旋频率ν只与磁感应强度及粒子质量m和电量q有关，而与粒子的速度及回旋半径无关.

(3) v

与B

斜交成θ角

v

分解为

⊥

v=θ

sin

v,

//

v=θ

cos

v

螺旋线的半径

qB

mv

qB

mv

R

θ

sin

=

=⊥

螺旋周期

qB

m

v

R

T

π

π2

2

=

=

⊥

螺距

qB

mv

T

v

T

v

h

θ

π

θ

cos

2

cos

//

=

=

=

带电粒子在磁场中的螺旋线运动，广泛地应用于“磁聚焦”技术．

三、霍耳效应

1.金属导体的霍耳效应

霍耳在1879年发现

匀强磁场B、金属导体板（宽a、厚b）与B垂直，电流I与B也垂直。则在板上、下两面出现横向电势差，称为霍耳电势差。

H

U=

d

IB

R

H

H

R是仅与导体材料有关的常数，称为霍耳系数．

2.金属导体的霍耳效应的解释

设在导体内载流子的电量为q，平均定向运动速度为v

，它在磁场中所受的洛仑兹力大小为

m

f=qvB

带电粒子所受的电场力大小为

e

f=qE=

b

U

U

q N

M

-

由平衡条件有qvB=

b

U

U

q N

M

-

则导体上、下两表面间的电势差为

H

U=

M

U-

N

U-=bvB

因nqvbd

I=，代入上式可得

H

U=

d

IB

nq

1

比较，得霍耳系数

H

R=

nq

1

上式表明，霍耳系数的数值决定于每个载流子所带的电q和载流子的浓度n，其正负取决于载流子所带电荷的正负．

3.半导体的霍耳效应

半导体有两种：1、空穴型的P型半导体、载流子是+e；

2、电子型的N型半导体、载流子是-e。

对P型半导体B

V

f⨯

=e

m

使空穴（+e）向上飘移，则0

0>

>

H

H

R

U，称为正霍耳效应。

对N型半导体B

V

f⨯

-

=e

m

使电子（-e）向上移，则0

0<

<

H

H

R

U，产生与金属相同的负霍耳效应。

利用半导体的霍尔效应可以测量磁场的磁感应强度：

∵

b

IB

R

U

H

H

=

∴

H

H

R

I

b

U

B

⋅

⋅

=

注意：在霍耳效应中空穴导电不能用电子导电来等效。

*§10.5回旋加速器磁聚焦

一、回旋加速器

真空室中两个D形金属空腔电极,置于电磁铁产生的交变磁场中，电极接高频交流电源，在两D形电极之间的缝隙处产生交变加速电场。由于金属空腔的屏蔽作用，D形盒内无电场， P为带电粒子源．

带电粒子加速进入D形盒，受均匀磁场作用作匀速圆周运动，其半径为

B

m

q

v

R

)

(

=

粒子的动能为

k

E=2

2

1

mv=2

2

2

2

R

B

m

q

相对论效应不能忽略时，

2

2

1

c

v

m

m

-

=

粒子运动半周期

qB

m

π

τ=不再是恒量，必须使交变电场的频率同步变化，采用

的变频频率为v=

τ2

1

=

2

2

1

2c

v

m

qB

-

π

根据这一原理设计的加速器称为同步回旋加速器．

二、磁聚焦

电子束在P点以与B

成θ角的速度v

进入磁场，由于限制膜片的作用，使v

与B

所成的发射角θ很小，所以

//

v=θ

cos

v≈v

⊥

v=θ

sin

v≈θv

电子速度的垂直分量

⊥

v各不相同，电子将沿不同半径的螺旋线前进．但由于速度的水平分量近似相等，因此所有电子从P点经过一个螺距

v

qB

m

v

qB

m

h

π

π2

2

//

=

=

之后又重新汇聚于同一点P′，P′点成为P点的像．这与透镜将光束聚焦成像的作用十分相似．这就是磁聚焦的基本原理．

§10.6磁介质

一、磁介质的分类

能够影响磁场的物质为磁介质。

1.物质磁化

物质受到磁场的作用产生磁性的现象叫磁化。

设物质在磁场

B

作用下产生磁场B'

，则空间总磁场

B

=

B

+B'

。

2.三类磁介质

磁介质的相对磁导率定义为

r

μ=

B

B

，

(1)抗磁质：

r

μ＜1，B'

与

B

方向相反，B＜0B．如汞、铜、铋、氢、锌、铅等．

(2)顺磁质：

r

μ＞1，B'

与

B

同方向，B＞0B．例如锰、铬、铂、氧等．

(3)铁磁质：

r

μ>>1，B'

与

B

同方向，且B'>>0B，B>>0B．例如铁、镍、钴、钆等．

二、抗磁质与顺磁质的磁化

1.分子电流及分子磁矩

以分子为整体，分子中各电子对外界产生的磁效应总和等效一个圆电流，该

电流称为分子电流；分子电流的磁矩称为分子磁矩，用

m

P表示。

2.在外磁场作用下分子的附加磁矩

m

ΔP

(1)轨道磁矩为

m,e

P的电子的进动

设电子轨道运动的磁矩为

m,e

P，因为电子带负电、所以电子运动的轨道角动

量

e

P与磁矩

m,e

P反方向。

在外磁场作用下、电子受的磁力矩

B

p

M

me

⨯

=

使电子以外磁场0B方向为轴线的转动叫进动。进动角速度为Ω。电子进动的方向是：不论电子原来运动如何、面对0B方向看去，角动量e P总是绕0B以反时

针方向转动、如上所示。

(2)分子的附加磁矩

m

P

∆：

附加磁矩

e,

m

P

∆总是与

B反向：无论

e,

m

P与的

B夹角小于或大于

2

π

，由电子

进动产生的附加磁矩

e

m,

P

∆总是与

B反向。所以，电子附加磁矩

e

m,

P

∆的总和即

分子的附加磁矩

m

P

∆总是与

B反向。

3.顺磁质与抗磁质的磁矩：

顺磁质分子的

m

P0

≠。在无外磁场时、由于大量分子的无规则热运动使得分

子排列杂乱无章，所以大量分子的分子磁矩矢量和∑m P= 0，物质不显磁性。如

下所示。

顺磁质的磁化：因为有

m

P>>

m

P

∆,所以外磁场

B使

m

P转向、按一定统计规

律排列、比无外磁场时整齐，物质宏观显示磁性。

抗磁质的磁化：磁矩

m

P= 0，所以无外磁场时，物质不显磁性。磁化完全

由

m

P

∆产生，因为

m

P

∆总是与

B反向，所以B'与

B反方向。

三、磁化强度矢量M与磁化规律

1.磁化强度矢量M：

对顺磁质定义M=

V

m

∆

∑P

即单位体积磁介质内分子磁矩

m

P的矢量和。

对抗磁质定义M=

V

m

∆

∆

∑P

抗磁性

是一切

磁介质

共同具

有的特

性

即单位体积磁介质内分子附加磁矩

m

P

∆的矢量和。

2.磁化规律：对均匀各向同性的磁介质、有

M= H

B

m

mχ

μ

χ

=。

其中

m

χ称为磁介质的磁化率，只与磁介质的性质有关。

四、磁介质中的安培环路定理、磁场强度

1.磁化强度与磁化电流的关系

利用充满顺磁质的长直载流螺线管的特例可以证明：顺磁质表面单位长度圆形磁化电流M

j

S

=、M为顺磁质内磁化强度大小。证明如下：如右下图，磁介

质横截面积S、长度l，介质表面单位长度圆形磁化电流

s

j。则在长度l上圆形磁

化电流

s

I=l

s

j，因此在磁介质总体积Sl上，总磁矩 =

s

I S= l

s

j S, 按定义

ls

s

lj

ΔV

总磁矩

M s

=

=。

2.有磁介质时的安培环路定理

顺磁质内总磁感应强度

B

B

B'

+

=

B'是由表面磁化电流产生的磁感应强度，由上面右图可以看出，顺磁质表面

磁化电流的方向与长直载流螺线管的线圈电流方向相同。利用长直载流螺线管磁场公式，表面磁化电流产生的磁感应强度为

M

j

I n

B

S0

μ

μ

μ=

='

='

所以充满顺磁质的长直载流螺线管的总磁场

M

B

B

B

B

μ

+

='

+

=

对任意闭合回路l进行B

的积分

⎰⎰

⎰⋅

+

⋅

=

⋅

l l

l

dl

M

dl

B

dl

B

μ

∴⎰⎰∑

⎰=

⋅

=

⋅

-

⋅

l l s

l

I

μ

μdl

B

dl

M

dl

B

即 ⎰∑=⋅-l

s 00dl )(I M B

μ ∑ =⎰ ⋅)-( l J B

0μ

令 M B

H 0

-=μ 为磁介质的磁场强度。单位：A/m 。即得有磁介质时的安培环路定理 ⎰∑=⋅l

s 0dl H I s 是回路l 围出的面积，

∑

S

I 0是穿过s 的传导电流的代数和。 五、B 与H 的关系 因为对均匀各向同性磁介质 H B M m m

χμ

χ==， 所以 M B H 0-=μ= H B

m 0

χμ-； H H H )1(B r 0m 0μμμχμ==+=。

μμ

μ=r ，称为磁介质的相对磁导率；μ为磁介质的磁导率。 利用∑⎰=⋅S l

I dl H 0可以方便地求有磁介质时某些对称的磁场分布。

六、铁磁质 铁磁质具有高磁导率μ；μ=μ(H)不是常数；存在“磁滞现象”三个显著特征。 1.磁化特性曲线 （1）研究铁磁质特性的实验： 装置----原线圈A （待测铁磁质做铁心） 副线圈B 。

原理：铁心中

NS

Rq

B

nI

H=

=,

H是电流为I时，铁心中的磁场强度；

B是电流为I时，铁心中的磁感应强度；

q是电流从0到I时、通过电流计G的电量；

R是副线圈的电阻；

N是副线圈的总匝数；

S为环形铁心的横截面积。

（2）磁化特性曲线：B -- H，M -- H曲线相似：

在M - H曲线（磁化规律）中

om段------M 随H增长较慢；

mn段----M 随H迅速增长；

na段-----M随H增长变慢；

当H= H s以后，M 不随H增长、磁化达到饱和

B - H曲线与M - H曲线相似，可见B与H不成线性关系，即铁磁质的磁导率μ不再是常数、而是与H有关。

2.磁滞现象与磁滞回线

（1）磁滞回线：起始磁化曲线O a不可逆，当改变H的方向和大小时、可得B - H曲线如图，叫磁滞回线。

从曲线可知：

B（以及M ）不是H的单值函数，与以前的磁化“历史”有关；

图中ac c

a''a闭合曲线称为磁滞回线。B Z为剩余磁感应强度；H Z为矫顽力。

（2）磁滞损耗

改变H时、磁介质反复磁化，分子振动加剧、温度升高，产生H的电流提供的热损耗称为磁滞损耗。可以证明B - H曲线所围的面积等于反复磁化的一个周期中单位体积的磁介质中损耗的能量。

（3）硬磁质与软磁质：

硬磁质: 矫顽力Hc较大、保持相当强的剩磁，磁滞损耗较大的磁介质。一般用作永久磁铁。

软磁质:矫顽力Hc较小、保持很弱的剩磁，磁滞损耗较小的磁介质。一般用作变压器或喇叭的铁心。

3.磁畴

(1) 磁畴：铁磁质中相邻原子靠电子“交换耦合效应”使原子

磁矩形成坚固的平行排列构成大小不等的自发饱和磁化区叫磁畴。

磁畴的几何线度从微米至毫米、体积约3

12

10m

-，包含15

1210

10-

-个原子。无外磁场时、磁畴的磁矩排列杂乱无章，铁磁质宏观不显磁性。

（2）铁磁质磁性解释：在起始磁化特性曲线中，

Om段对应自发磁化区磁矩方向与外磁场方向相近的磁畴的扩大、自发磁化区磁矩方向与外磁场方向相反的磁畴的缩小；

mn段对应磁畴界壁快速跳跃移动、使一些缩小的磁畴消失，这是不可逆过程、引起了磁滞；

na段对应留存的磁畴转向外磁场方向、直到饱和。

剩磁:撤去外磁场、但磁畴排列仍保留下来而无法复原。

（3）居理点：磁介质达到某一温度时，铁磁性消失、介质显顺磁性这一温度称为居里点。如铁、钴、镍的居里点分别为770℃、1115℃、358℃。

原因是在高温下磁畴瓦解了。