弧弦圆心角之间的关系
弧弦圆心角之间的关系
圆心角、弧、弦之间的关系如下：
1、在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两个圆周角，两组弧，两条弦，两条弦心距中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等。
2、在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半（圆周角与圆心角在弦的同侧）。
连接圆上任意两点的线段叫做弦（chord），在同一个圆内最长的弦是直径。顶点在圆心上的角叫做圆心角。圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧（arc），以“⌒”表示。
相关计算公式：（R是扇形半径，n是弧所对圆心角度数，π是圆周率，L是扇形对应的弧长）
扇形弧长L=圆心角（弧度制）×R= nπR/180（θ为圆心角）（R 为扇形半径）
扇形面积S=nπ R²/360=LR/2（L为扇形的弧长）
圆锥底面半径 r=nR/360（r为底面半径）（n为圆心角）
圆心角、弦、弧之间的关系耿延平
24.1 圆(第2课时) 教学内容 1．圆心角的概念． 2．有关弧、弦、圆心角关系的定理：在同圆或等圆中，•相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． 3．定理的推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，•那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等． 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等．教学目标 了解圆心角的概念：掌握在同圆或等圆中，圆心角、弦、弧中有一个量的两个相等就可以推出其它两个量的相对应的两个值就相等，及其它们在解题中的应用．通过复习旋转的知识，产生圆心角的概念，然后用圆心角和旋转的知识探索在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等，最后应用它解决一些具体问题． 重难点、关键 1．重点：定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，•所对弦也相等及其两个推论和它们的应用． 2．难点与关键：探索定理和推导及其应用． 教学过程 一、复习引入 （学生活动）请同学们完成下题． 已知△OAB，如图所示，作出绕O点旋转30°、45°、60°的图形． A B O 老师点评：绕O点旋转，O点就是固定点，旋转30°，就是旋转角∠BOB′=30°． 二、探索新知 如图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角． （学生活动）请同学们按下列要求作图并回答问题： 如图所示的⊙O中，分别作相等的圆心角∠AOB•和∠A•′OB•′将圆心角∠AOB绕圆心O 旋转到∠A′OB′的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？
B ' AB =''A B ，AB=A ′B ′ 理由：∵半径OA 与O ′A ′重合，且∠AOB=∠A ′OB ′ ∴半径OB 与OB ′重合 ∵点A 与点A ′重合，点B 与点B ′重合 ∴AB 与''A B 重合，弦AB 与弦A ′B ′重合 ∴AB =''A B ，AB=A ′B ′ 因此，在同一个圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等． 在等圆中，相等的圆心角是否也有所对的弧相等，所对的弦相等呢？•请同学们现在动手作一作． （学生活动）老师点评：如图1，在⊙O 和⊙O ′中，•分别作相等的圆心角∠AOB 和∠A ′O ′B ′得到如图2，滚动一个圆，使O 与O ′重合，固定圆心，将其中的一个圆旋转一个角度，使得OA 与O ′A ′重合． B ' ' A A ' (1) (2) 你能发现哪些等量关系？说一说你的理由？ 我能发现：AB =''A B ，AB=A /B / ． 现在它的证明方法就转化为前面的说明了，•这就是又回到了我们的数学思想上去呢──化归思想，化未知为已知，因此，我们可以得到下面的定理： 同样，还可以得到： 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，•所对的弦也相等． 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，•所对的弧也相等． （学生活动）请同学们现在给予说明一下． 请三位同学到黑板板书，老师点评． 例1．如图，在⊙O 中，AB 、CD 是两条弦，OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，垂足分别为EF ． （1）如果∠AOB=∠COD ，那么OE 与OF 的大小有什么关系？为什么？ （2）如果OE=OF ，那么AB 与CD 的大小有什么关系？AB 与CD 的大小有什么关系？•
九年级数学第二十四章弧、弦、圆心角、圆周角之间的关系人教实验版知识精讲
九年级数学第二十四章弧、弦、圆心角、圆周角之间的关系人教实验 版 【本讲教育信息】 一、教学内容： 弧、弦、圆心角、圆周角之间的关系 1. 圆心角、圆周角的概念. 2. 弧、弦、圆心角之间的关系. 3. 圆周角定理及推论. 二、知识要点： 1. 弧、弦、圆心角 （1）我们把顶点在圆心的角叫做圆心角. （2）弧、弦、圆心角之间的关系： 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等. 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等. 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等. 如图所示，（1）若∠AOB ＝∠COD ，则︵AB ＝︵CD ，AB ＝CD ；（2）若︵AB ＝︵ CD ，则∠AOB ＝∠COD ， AB ＝CD ；（3）若AB ＝CD ，则∠AOB ＝∠COD ，︵AB ＝︵ CD. O A B C D 2. 圆周角 （1）顶点在圆上，并且两边与圆都相交的角叫做圆周角. （2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半 . ③② ① （3）推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径. 三、重点难点： 本节重点是圆心角、弦、弧之间的相等关系及圆周角定理. 难点是从圆的旋转不变性出发，得到圆心角、弦、弧之间的相等关系以及圆周角定理的证明.
【典型例题】 例1. 在⊙O 中，如图所示，∠AOB ＝∠DOC ，试说明： （1）︵DB ＝︵AC ； （2）BD ＝ AC. B 分析：（1）∵∠DOC ＝∠AOB ，∴︵DC ＋︵BC ＝︵AB ＋︵BC ，∴︵BD ＝︵ AC. （2）∵在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等，∴BD ＝AC. 解：（1）∵∠DOC ＝∠AOB ，∴︵DC ＝︵ AB ， ∴︵DC ＋︵BC ＝︵AB ＋︵BC ，即︵BD ＝︵AC. （2）由（1）得︵BD ＝︵ AC ，∴BD ＝AC. 例2. 如图所示，C 是︵ AB 的中点，与∠ADC 相等的角的个数是（ ） A. 7个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 分析：由同弧或等弧所对的圆周角相等知，∠ADC ＝∠ABC ＝∠CAB ＝∠CDB ，故与∠ADC 相等的角共有3个. 解：B 评析：同弧或等弧所对的圆周角相等常用来证明两角相等；或进行角的转换，将一个圆周角转换为同弧所对的其他圆周角，从而达到题目中的要求. 例3. 如图所示，BC 为半圆O 的直径，G 是半圆上异于B 、C 的点，A 是︵ BG 的中点，AD ⊥BC 于点D ，BG 交AD 于点E ，请说明AE ＝BE. 分析：在圆中，有关直径的问题常常需要添加辅助线，以便利用直径所对的圆周角是直角的性质，因此，欲说明AE 与BE 相等，可转化为说明∠BAD ＝∠ABE ，圆周角∠ABE 所对的 弧为︵ AG ，连结AB 、AC 即可解决问题.
27.2圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
27.2圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简称弧；联结圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦就是直径，以圆心为顶点的角叫做圆心角。 圆的任意一条直径的两个端点将圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。大于半圆的 ⌒，读弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧。如图27-8，以A、C为端点的劣弧记作AC ⌒作“弧AC”；以A、C为端点的优弧记作ABC ，读作“弧ABC”。 如图27-9，⊙O的一个圆心角的两边与⊙O分别相交于点A、B，这个圆心角记作∠AOB，这时，相应得到弧AB和弦AB。反过来看，对于弧AB或弦AB，相应可作∠AOB。 ⌒⌒通常的说AB （或弦AB）是∠AOB所对的弧（或弦），∠AOB是AB （或弦AB）所对的圆心角。 圆心到弦的距离叫做弦心距。在图27-9中，过圆心O作弦AB的垂线，垂足为C，则垂线段OC的长时弦AB的弦心距。 在平面上，一个圆绕着它的圆心旋转任何一个角度（大于0°且小于360°），都能与原来图形重合。所以，圆是以圆心为旋转对称中心的旋转对称图形，旋转角可为大于0°且小于360°的任何一个角。 问题1
⌒和A`B`⌒如图27-10，在⊙O中，当圆心角∠AOB=∠A'OB'时，它们分别所对的AB 是否能重合？ 把扇形OAB绕圆心O旋转，使OA与OA'重合。因为∠AOB=∠A'OB'，所以OB ⌒和OB'重合；而⊙O的半径长都相等，因此点A与点A'重合，点B与点B'重合，这样AB ⌒就一定重合。与A`B` ⌒与能够重合的两条弧称为等弧，或者说这两条弧相等，上述AB ⌒是等弧，记作AB⌒ =A`B`⌒。 A`B` 半径长相等的两个圆一定能够重合，我们把半径相等的两个圆称为等圆。 ⌒⌒在上述问题中，AB 与A`B` 所对的弦分别是AB和A'B'，通过旋转可知，AB与A'B' 重合，两弦的垂线段OC、OC'也重合（为什么），得AB=A'B'，OC=OC'. 于是，可以得到圆心角、弦、弦心距之间关系的定理。 定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。 例题1 如图27-11，⊙O是△ABC的外接圆，∠AOB=∠AOC=120°。 ⑴求证：△ABC是等边三角形； ⑵如果BC的弦心距为3厘米，求AB、AC的弦心距。 解：⑴∵∠AOB+∠AOC+∠BOC=360°. ∠AOB=∠AOC=120°。 ∴∠BOC=360°-120°-120°=120° 得∠AOB=∠AOC=∠BOC ∴AB=AC=BC。 即△ABC是等边三角形。 ⑵∵∠AOB=∠AOC=∠BOC，AB、AC、BC分别是∠AOB、∠AOC、∠BOC所对的弦。∴弦AB、AC、BC的弦心距相等。
圆的确定,圆心角、圆周角、弧、弦、弦心距之间的关系
儒洋教育学科教师辅导讲义
6、多边形与圆 如果一个圆经过一个多边形的各顶点，那么这个圆叫做这个多边形的外接圆，这个多边形叫做这个圆的内接多边形， 提示：1、与圆的确定有关的两个图形一定要学生重点理解。 2、补充两个知识点：线段垂直平分线的性质和角平分线的性质 3、和学生一起重点分析课本例题1和2，理解题目考察的细节和解题方法。 二、例题分析： 1、以线段AB为弦的圆的圆心的轨迹是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 cm。 2、已知扇形的圆心角为120°，半径为2cm，则扇形的弧长是cm，扇形的面积是2 3、点和圆的位置关系有三种：点在圆，点在圆，点在圆； 例1：已知圆的半径r等于5厘米，点到圆心的距离为d， （1）当d=2厘米时，有d r，点在圆 （2）当d=7厘米时，有d r，点在圆 （3）当d=5厘米时，有d r，点在圆 4、下列四边形：①平行四边形，②菱形；③矩形；④正方形。其中四个顶点一定能在同一个圆上的有（） A、①②③④ B、②③④ C、②③ D、③④ 5、（07上海中考）小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃， 小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（） A．第①块 B．第②块 C．第③块 D．第④块 6、三角形的外接圆的圆心是（）， A．三条中线的交点B．三条高的交点 C．三条角平分线的交点D．三条边的垂直平分线的交点 7、直角三角形的两条直角边分别为5cm和12cm，则其外接圆半径长为。 （三）巩固练习 1、圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条的直线；圆是中心对称图形，对称中心为． 2、三角形的外接圆的圆心——三角形的外心——三角形的交点； 三角形的内切圆的圆心——三角形的内心——三角形的交点； 3、三角形的外心一定在该三角形上的三角形（） （A）锐角三角形（B）钝角三角形（C）直角三角形（D）等腰三角形
弧、弦、圆心角、圆周角—知识讲解
弧、弦、圆心角、圆周角一知识讲解(提高) 责编：常春芳 【学习目标】 1・了解圆心角、圆周角的槪念； 2.理解圆周角泄理及其推论，能灵活运用圆周角的定理及其推理解决有关问题； 3.掌握在同圆或等圆中，三组疑：两个圆心角、两条弦、两条弧，只要有一组量相等，就可以推出其它两组量对应相等，及 其它们在解题中的应用. 【要点梳理】 知识点一、弧、弦、圆心角的关系 1•圆心角定义 如图所示，ZAOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角. 2.定理； 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等. 3推论： 在同圆或等圆中，如果两条孤相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等. 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等. 要点诠释： (1)一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征. (2)注意泄理中不能忽视"同圆或等圆”这一前提. 知识点二、圆周角 1.圆周角定义： 像图中ZAEB、ZADB、ZACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角. 2.圆周角定理： 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半. 3.圆周角定理的推论： 半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径. 要点诠释：
(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上：②角的两边都和圆相交.
（2）圆周角左理成立的前提条件是在同圆或等圆中. 4. 圆内接四边形： （1） 泄义：圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形. （2） 性质：圆内接四边形对角互补，外角等于内对角（即它的一个外角等于它相邻内角的对角）. 5. 弦、弧、圆心角、弦心距的关系： 在同圆或等圆中，弦，弧，圆心角，弦心距等几何疑之间是相互关联的，即它们中间只要有一组疑 相等，（例如圆心角相等），那么其它各组量也分别相等（即相对应的弦、弦心距以及弦所对的呱也分别 相等）. *如果它们中间有一组量不相等，那么其它各组量也分别不等. 【典型例题】 证法一：如图①，••• AB=CD, ••• AB = CD. :.AB-BD = CD-BD,即 AD = BC. :.AD=BC ・ 证法二：如图②，连OA 、OB 、OC 、0D, V AB=CD, :. ZAOB = ZCOD ・ ••• ZAOB 一 ZDOB = ZCOD- ZDOB, 即 ZAOD= ZBOC, ••• AD=BC ・ 【点评】在同圆或等圆中，证两弦相等时常用的方法是找这两弦所对的弧相等或所对的圆心角相等，而 图中没有已知的等 弧和等圆心角，必须借助已知的等弦进行推理.本题主要是考査弧、弦、圆 心角之间的关系，要证AD = BC,只需证AD = BC 或iiEZAOD=ZBOC 即可. 举一反三： 【变式】如图所示，已知AB 是00的直径，M 、N 分别是AO 、BO 的中点，CM 丄AB, DN 丄AB. 求证：AC = BD ・ 类型一、圆心角.弧.弦之间的关系及应用 【答案与解析】
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系—知识讲解
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圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系—知识讲解（提高） 【学习目标】 1.了解圆心角、圆周角的概念； 2.理解圆周角定理及其推论，能灵活运用圆周角的定理及其推理解决有关问题； 3.掌握在同圆或等圆中，三组量：两个圆心角、两条弦、两条弧，只要有一组量相等，就可以推出其它两组量对应相等，及其它们在解题中的应用． 【要点梳理】 要点一、弧、弦、圆心角的关系 1.圆心角定义 如图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角． 2.定理： 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． 3.推论： 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等．在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等．要点诠释： (1)一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征. (2)注意定理中不能忽视“同圆或等圆”这一前提. 要点二、圆周角 1.圆周角定义：
像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 2.圆周角定理： 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 3.圆周角定理的推论： 半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 要点诠释： (1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交. (2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中. 4.圆内接四边形： （1）定义: 圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形． （2）性质：圆内接四边形对角互补，外角等于内对角（即它的一个外角等于它相邻内角的对角）．5.弦、弧、圆心角、弦心距的关系： 在同圆或等圆中，弦，弧，圆心角，弦心距等几何量之间是相互关联的，即它们中间只要有一组量相等，(例如圆心角相等)，那么其它各组量也分别相等(即相对应的弦、弦心距以及弦所对的弧也分别相等). *如果它们中间有一组量不相等，那么其它各组量也分别不等. 【典型例题】 类型一、圆心角、弧、弦之间的关系及应用
弧、弦、圆心角、圆周角--知识讲解(基础)
弧、弦、圆心角、圆周角--知识讲解（基础） 责编：康红梅 【学习目标】 1.了解圆心角、圆周角的概念； 2.理解圆周角定理及其推论，能灵活运用圆周角的定理及其推理解决有关问题； 3.掌握在同圆或等圆中，三组量：两个圆心角、两条弦、两条弧，只要有一组量相等，就可以推出其它 两组量对应相等，及其它们在解题中的应用． 【要点梳理】 要点一、弧、弦、圆心角的关系 1.圆心角定义 如图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角． 2.定理： 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． 3.推论： 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等． 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等． 要点诠释： (1)一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征； (2)注意定理中不能忽视“同圆或等圆”这一前提. 要点二、圆周角 1.圆周角定义： 像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 2.圆周角定理： 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 3.圆周角定理的推论： 半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 要点诠释： (1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交. (2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.
4.圆内接四边形： （1）定义: 圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形． （2）性质：圆内接四边形对角互补，外角等于内对角（即它的一个外角等于它相邻内角的对角）．5.弦、弧、圆心角、弦心距的关系： 在同圆或等圆中，弦，弧，圆心角，弦心距等几何量之间是相互关联的，即它们中间只要有一组量相等，(例如圆心角相等)，那么其它各组量也分别相等(即相对应的弦、弦心距以及弦所对的弧也分别相等)。 *如果它们中间有一组量不相等，那么其它各组量也分别不等。 【典型例题】 类型一、圆心角、弧、弦之间的关系及应用 1.（2016•台湾）如图，圆O通过五边形OABCD的四个顶点．若=150°，∠A=65°，∠D=60°，则的度数为何？（） A．25 B．40 C．50 D．55 【思路点拨】连接OB，OC，由半径相等得到三角形OAB，三角形OBC，三角形OCD都为等腰三角形，根据∠A=65°，∠D=60°，求出∠1与∠2的度数，根据的度数确定出∠AOD度数，进而求出∠3的度数，即可确定出的度数． 【答案】B 【解析】 解：连接OB、OC， ∵OA=OB=OC=OD， ∴△OAB、△OBC、△OCD，皆为等腰三角形， ∵∠A=65°，∠D=60°， ∴∠1=180°﹣2∠A=180°﹣2×65°=50°，∠2=180°﹣2∠D=180°﹣2×60°=60°， ∵=150°， ∴∠AOD=150°， ∴∠3=∠AOD﹣∠1﹣∠2=150°﹣50°﹣60°=40°， 则=40°． 故选B
九年级数学圆弧、弦、圆心角间的关系圆周角定理及其推论例题和练习
九年级数学圆弧、弦、圆心角间的关系圆周角定理及其推论 精选例题和练习 圆周角定理及其推论 一、知识点总结 1．圆心角：顶点在圆心的角．注意：圆心角的底数等于它所对弧的度数．2．在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦、弦心距中，只要有一组量相等，那么另外三组量也分别相等 考点一：圆心角，弧，弦的位置关系二、弧、弦、圆心角、弦心距间的关系举例 例1如图，AB为。O的弦，点C D为弦AB上两点，且OC=OD延长OC OD 分别交。O于点E、F,试证明弧AE= 弧BF.分析：“弧AE=M BF”J“/ _________ 二/ _____ ” 把证弧相等转化为证__________________ 证明： 例2如图，点O是/ BPD的平分线上的一点，以O为圆心的圆和角的两边分别 交于点A、 B 和C、D． 求证：AB=CD．分析：把证明弦相等转化为证明_弦心距_相等． 例3如图所示，已知AB为。O的直径，CD是弦，且AB丄CD于点E，连接AC、OC、BC． ⑴求证：/ ACO二/ BCD.
（2）若EB=8cm, CD=24cm,求。O 的直径. 分析：（1）/ ACO二/ ____ , 而/ _______ =/ _______ . ⑵在Rt/ ______ 中，利用勾股定理列方程求 例4已知，如图，在/ ABC中，AD, BD分别平分/ BAC和/ ABC,延 长AD交/ ABC的外接圆于E,连接BE.求证：BE=DE 分析：把证BE=DE 转化为证/ __________ =/ ____ ． 1. 如图1,在。O中，P是弦AB的中点，CD是过点P的直径，则下列 结论中不正确的是（） 2. 如图2, BE是半径为6的圆D的14圆周，C点是BE上的任意一点， △ ABD是等边三角形，则四边形ABCD的周长P的取值范围是（） 2、已知AB A> CD^同圆的两段弧，且AB A=2CD A,则弦AB与2CD 之间的关系为（） A、AB=2CD B AB V 2CD C AB> 2CD D 不能确定 4、下列语句中正确的是（） A、相等的圆心角所对的弧相等 B、平分弦的直径垂直于弦 C、长度相等的两条弧是等弧 D、经过圆心的每一条直线都 是圆的对称轴 5、在一扇形统计图中，有一扇形的圆心角为60°，则此扇形占整个 圆的（） 6、有下列说法：①等弧的长度相等；②直径是圆中最长的弦；③相
圆心角与弧长的关系公式
圆心角与弧长的关系公式 圆心角与弧长的关系公式是数学中一个重要的概念，它描述了圆上的一个弧与圆心角之间的关系。在几何学中，圆心角是指以圆心为顶点的角度，而弧长是指圆上的一段弧的长度。圆心角与弧长的关系公式可以帮助我们计算圆上的弧长，或者根据给定的弧长来确定圆心角的大小。 首先，我们需要了解一些基本概念。在一个圆中，圆心角的大小与它所对应的弧长成正比。也就是说，圆心角越大，对应的弧长也越大；圆心角越小，对应的弧长也越小。这是因为圆心角的大小决定了弧所占据的圆周的比例。 为了更好地理解圆心角与弧长的关系，我们可以通过一个简单的例子来说明。假设有一个半径为r的圆，圆心角为θ。我们可以将圆心角θ所对应的弧长记为s。那么，根据圆心角与弧长的关系公式，我们可以得到以下的等式： s = rθ 这个公式告诉我们，弧长s等于圆心角θ与半径r的乘积。换句话说，如果我们知道了圆心角的大小和半径的长度，就可以通过这个公式来计算弧长。
这个公式的推导可以通过几何学和三角学的知识来进行。首先，我们可以将圆心角θ所对应的弧长s分成n个小弧段，每个小 弧段的长度为Δs。根据几何学的知识，我们可以知道，当n 趋向于无穷大时，这些小弧段的长度Δs趋向于0，并且它们 的和等于整个弧长s。也就是说，我们可以将整个弧长s表示 为Δs的极限求和： s = lim(Δs) 接下来，我们可以使用三角学的知识来计算Δs。根据三角学 的定义，我们可以知道，当圆心角θ的大小很小时，它与弧长 s之间的关系可以近似为一个直角三角形。在这个三角形中， 弧长s就是圆的半径r的弦长，而圆心角θ就是该直角三角形 的对角线与弦的夹角。根据三角函数的定义，我们可以得到以下的等式： sin(θ) = Δs / r 通过移项，我们可以得到Δs的表达式： Δs = r * sin(θ)
圆形的圆心角和弧度关系
圆形的圆心角和弧度关系 圆形是我们生活中常见的几何形状之一，具有许多特殊的性质和规律。其中一个重要的概念就是圆心角与弧度的关系。本文将介绍圆心角和弧度的概念、计算方法以及它们之间的关联。 一、圆心角的定义与性质 圆心角是指以圆心为顶点的角度，其两条边分别与圆上的两条弦相交。圆心角可以用度数或弧度来表示。度数是我们常见的角度单位，而弧度是一种更加精确和方便的单位。 在圆的内部，以圆心为顶点的角恰好可以确定一个射线和一个弧。这个角被称为圆心角，记为∠AOB，其中O为圆心，A、B为圆上两个不同的点。 根据圆心角的定义，我们可以得出一些性质： 1. 圆心角是一个锐角或直角，永远不会是钝角。 2. 如果两个圆心角的度数相等，则它们所对应的弧长相等。 3. 一个直径所对的圆心角是直角，即180度或π弧度。 4. 形心角是整圆所对应的圆心角，等于360度或2π弧度。 二、弧度的定义与计算方法 弧度是一种用弧长比半径的单位来度量角度的方法。它是一个无量纲的数，具有更高的精度。
弧度的定义：当圆的半径等于弧长时，所对应的圆心角的度数定义为1弧度。即r=1弧度，r为圆的半径。 根据弧度的定义，我们可以得出以下计算方法： 1. 如果给定的是弧长L（半径为r），我们可以用角度的方式来表示它：θ= (L/r) radians。 2. 如果给定的是一个角度θ（弧度），我们可以通过乘以圆的半径来计算出相应的弧长：L= rθ。 三、圆心角和弧度之间的关系 圆心角和弧度是密切相关的，它们之间的转换可以通过以下公式进行： 1. 弧度转换为度数：θ（度数）= θ（弧度）* (180/π)。 2. 度数转换为弧度：θ（弧度）= θ（度数）* (π/180)。 通过以上公式，我们可以很方便地在圆心角和弧度之间进行转换。 结语 圆形的圆心角和弧度是我们在数学中经常遇到的概念，对于深入理解圆形的性质和规律非常重要。理解圆心角和弧度的概念以及它们之间的关系，将有助于我们更好地应用它们解决实际问题。无论是计算圆心角还是弧度，我们都可以通过简单的公式来完成。通过不断练习和应用，我们可以更熟练地掌握这些概念，并在数学和实际生活中灵活应用。
03 圆心角、弧、弦、弦心距之间关系
三．圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 【知识要点】 （1）圆的对称性：圆是以圆心为对称中心的中心对称图形． 圆不仅是轴对称图形，而且还是 图形，圆独有的性质是 ． （2）概念：弦、弦心距 弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直线。直径是圆中最大的弦。 弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距。 【典型例题】 例1．（1）过已知⊙O 中一已知点P 的弦中，最短的弦是 ；最长的弦是 ． （2）已知⊙O 中，AB 是直径，长10cm ，点M 为⊙O 内的一点，OM=4cm ，则⊙O 中过点M 的弦中，最长的弦等于 ． （3）在⊙O 中，弦AB ∥弦CD ，且AB 、CD 的度数分别为︒120和︒60，⊙O 的半径为6cm ，则AB 与CD 之间的距离是 ． （4）如图1，⊙O 中，弦CD 与直径AB 交于E ，且∠AEC=︒30，AE=1cm ，BE=5cm ，则弦CD 的弦心距OF= cm ，弦CD 的长为 cm. （3）概念：弧，圆心角 弧：圆上任意两点间的部分叫做弧。弧分为半圆，优弧、劣弧三种。 圆心角 ：顶点在圆心的角叫圆心角，圆心角的度数等于它所对的弧的度数。 例2．（1）如图2，在△ABC 中，︒=∠︒=∠25,90B BCA ，以C 为圆心，CA 为半径的圆交 · A C F E O D B 图1 · O 图4 A B C 图2 C B D D A 图3 · O E C
AB 于D ，则AD 的度数是 ． （2）在⊙O 中，弦AB 与过B 点的半径夹角为︒55，那么弦AB 所对的优弧AMB 的度数为 。 （3）一条弦的弦心距等于它所在圆的直径的 4 1 ，则这条弦所对的劣弧的度数是 。 （4）已知⊙O 中，AB=2CD ，则弦AB 2CD ．（填“〉”、“〈”或“=” ） （5）如图3所示，已知C 是⊙O 直径AB 上一点，过C 作弦DE ，使CD=CO ，若AD 的度数为︒40，BE 的度数 。 （6）如图4，在⊙O 中，AB 的度数是︒50，∠OBC=︒40，那么∠OAC 等于 。 例3．如图5所示，在⊙O 中，AB 是直径，CO ⊥AB ，D 是CO 的中点，DE ∥AB ．求证:EC=2EA 。 （4）圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距相等。 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦或两条弦的弦的弦心距中有一组 量相等，那么它所对应的其余各组量都分别相等。 例4．如图6所示，点O 是∠EPF 的平分线上一点，以O 为圆心的圆和角的两边分别交于A 、B 和C 、D ，求证：AB=CD ． 图6 例5．已知：如图7，在⊙O 中，BC OE CD AB ⊥⊥,，垂足为E 。求证：OE=AD 2 1 。 A 图5 O D E C A B E F O P C D ·
垂径定理、圆心角、弧、弦、弦心距间的关系
垂径定理、圆心角、弧、弦、弦心距间的关系 ［学习目标］ 1. 理解由圆的轴对称性推出垂径定理，概括理解垂径定理及推论为“知二推三”。（1）过圆心，（2）垂直于弦，（3）平分弦，（4）平分劣弧，（5）平分优弧。已知其中两项，可推出其余三项。注意：当知（1）（3）推（2）（4）（5）时，即“平分弦的直径不能推出垂直于弦，平分两弧。”而应强调附加“平分弦（非直径）的直径，垂直于弦且平分弦所对的两弧”。 2. 深入理解垂径定理及推论，为五点共线，即圆心O，垂足M，弦中点M，劣弧中点D，优弧中点C，五点共线。（M点是两点重合的一点，代表两层意义） 3. 应用以上定理主要是解直角三角形△AOM，在Rt△AOM中，AO为圆半径，OM为弦AB的弦心距，AM为弦AB的一半，三者把解直角形的知识，借用过来解决了圆中半径、弦、弦心距等问题。无该Rt△AOM时，注意巧添弦心距，或半径，构建直角三角形。 4. 弓形的高：弧的中点到弦的距离，明确由定义知只要是弓形的高，就具备了前述的（4）（2）或（5）（2）可推（1）（3）（5）或（1）（3）（4），实际可用垂径定理及推论解决弓形高的有关问题。 5. 圆心角、弧、弦、弦心距四者关系定理，理解为：（1）圆心角相等，（2）所对弧相等，（3）所对弦相等，（4）所对弦的弦心距相等。四项“知一推三”，一项相等，其余三项皆相等。源于圆的旋转不变性。即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图象完全重合。 6. 应用关系定理及推论，证角等，线段等，弧等，等等，注意构造圆心角或弦心距作为辅助线。 7. 圆心角的度数与弧的度数等，而不是角等于弧。 二. 重点、难点： 垂径定理及其推论，圆心角，弧，弦，弦心距关系定理及推论的应用。 【典型例题】 例1. 已知：在⊙O中，弦AB＝12cm，O点到AB的距离等于AB的一半，求：∠AOB的度数和圆的半径。 点悟：本例的关键在于正确理解什么是O点到AB的距离。 解：作OE⊥AB，垂足为E，则OE的长为O点到AB的距离，如图所示：
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
圆心 弧 弦 弦心距之间的关系 1. 圆不但是轴对称图形，而且也是中心对称图形，实际上圆绕圆心旋转任意一个角度，都能够与原来的图形重合。 2. 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。从圆心到弦的距离叫做弦心距。 3. 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。 4. 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 注意：要正确理解和使用圆心角定理及推论。 一般地，n °的圆心角对着n °的弧，n °的弧对着n °的圆心角，也就是说，圆心角的度数和它所对的弧的度数相等。 注意：这里说的相等是指角的度数与弧的度数相等。而不是角与弧相等，在书写时要防 止出现“∠=⋂ AOB AB ”之类的错误。因为角与弧是两个不能比较变量的概念。相等的弧
一定是相同度数的弧，但相同度数的弧却不一定是相等的弧。 6. 圆中弧、圆心角、弦、弦心距的不等关系 （1）在同圆或等圆中，如果弦不等，那么弦心距也就不等，大弦的弦心距较小，小弦的弦心距反而大，反之弦心距较小时，则弦较大。 当弦为圆中的最大弦（直径）时，弦心距缩小为零；当弦逐步缩小时，趋近于零时，弦心距逐步增大，趋近于半径。 （2）在同圆或等圆中，如果弧不等，那么弧所对的弦、圆心角也不等，且大弧所对的圆心角较大，反之也成立。 注意：不能认为大弧所对的弦也较大，只有当弧是劣弧时，这一命题才能成立，半圆对的弦最大，当弧为优弧时，弧越大，对的弦越短。 7. 辅助线方法小结： （1）有弦的中点时，常连弦心距，进而可利用垂径定理或圆心角、弦、弧、弦心距关系定理；另外，证明两弦相等也常作弦心距。 （2）在计算弧的度数时，或有等弧的条件时，或证等弧时，常作弧所对的圆心角。 （3）有弧的中点或证弧的中点时，常有以下几种引辅助线的方法： ∴AB＝CD 弦AB、DC 若PO平分∠APC 弦AB、CD交于P点（ PO平分∠APC
九年级数学圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系知识要点归纳
圆心弧弦弦心距之间的关系 ［知识要点归纳］ 1. 圆不但是轴对称图形，而且也是中心对称图形，实际上圆绕圆心旋转任意一个角度，都能够与原来的图形重合。 2. 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。从圆心到弦的距离叫做弦心距。 3. 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。 4. 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 注意：要正确理解和使用圆心角定理及推论。 （1）不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提条件，若没有这一条件虽然圆心角相等， 一般地，n°的圆心角对着n°的弧，n°的弧对着n°的圆心角，也就是说，圆心角的度数和它所对的弧的度数相等。 注意：这里说的相等是指角的度数与弧的度数相等。而不是角与弧相等，在书写时要防
止出现“∠=⋂ AOB AB ”之类的错误。因为角与弧是两个不能比较变量的概念。相等的弧 一定是相同度数的弧，但相同度数的弧却不一定是相等的弧。 6. 圆中弧、圆心角、弦、弦心距的不等关系 （1）在同圆或等圆中，如果弦不等，那么弦心距也就不等，大弦的弦心距较小，小弦的弦心距反而大，反之弦心距较小时，则弦较大。 当弦为圆中的最大弦（直径）时，弦心距缩小为零；当弦逐步缩小时，趋近于零时，弦心距逐步增大，趋近于半径。 （2）在同圆或等圆中，如果弧不等，那么弧所对的弦、圆心角也不等，且大弧所对的圆心角较大，反之也成立。 注意：不能认为大弧所对的弦也较大，只有当弧是劣弧时，这一命题才能成立，半圆对的弦最大，当弧为优弧时，弧越大，对的弦越短。 7. 辅助线方法小结： （1）有弦的中点时，常连弦心距，进而可利用垂径定理或圆心角、弦、弧、弦心距关系定理；另外，证明两弦相等也常作弦心距。 （2）在计算弧的度数时，或有等弧的条件时，或证等弧时，常作弧所对的圆心角。 （3）有弧的中点或证弧的中点时，常有以下几种引辅助线的方法： （I ）连过弧中点的半径；（II ）连等弧对的弦；（III ）作等弧所对的圆心角。 ∴AB ＝CD 弦AB 、DC 若PO 平分∠APC 弦AB 、CD 交于P 点（P