考研数学三(微积分)模拟试卷215(题后含答案及解析)
考研数学三（微积分）模拟试卷215(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．方程y’sinx=ylny满足定解条件y()=e的特解是A．．B．esinx．C．．D．．正确答案：D解析：方程y’sinx=ylny是可分离变量的微分方程，分离变量得即所求特解为y=．故应选D．知识模块：微积分2．若C，C1，C2，C3是任意常数，则以下函数中可以看作某个二阶微分方程的通解的是A．y=C1x2+C2x+C3．B．x2+y2=C．C．y=ln(C1x)+ln(C1sinx)．D．y=C1sin2x+C2cos2x．正确答案：D解析：在所给的选项A，B，C中y包含的任意常数都不是两个，因而它们都不能看成某个二阶微分方程的通解，故应选D．知识模块：微积分3．设C1和C2是两个任意常数，则函数y=ex(C1cos2x+C2sin2x)+sinx是二阶常系数线性微分方程( )的通解．A．y”一2y’+5y=4cosx一2sinxB．y”一2y’+5y=4sinx一2cosxC．y”一5y’+2y=4cosx一2sinxD．y”一5y’+2y=4sinx一2cosx正确答案：B解析：由二阶常系数线性微分方程通解的结构知，excos2x与e2sin2x是二阶常系数齐次线性微分方程y”+ay’+by=0两个线性无关的特解．从而特征方程λ2+aλ+b=0的两个特征根应分别是λ1=1+2i，λ2=1—2i，由此可得λ2aλ+b=(λ一1—2i)(λ一1+2i)=(λ—1)2一(2i)2=λ2—2λ+1+4=λ—2λ+5，即a=一2，b=5．由二阶常系数线性微分方程通解的结构又知sinx应是非齐次方程y”一2y’+5y=f(x)的一个特解，故f(x)=(sinx)”一2(sinx)’+5sinx=4sinx一2cosx．综合即得所求方程为y”一2y’+5y=4sinx一2cosx．应选B．知识模块：微积分解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
已知方程y”+p(x)y’+q(x)y=0，求证：4．若p(x)+xq(x)=0，则y=x是方程的一个特解；正确答案：用y=x代入方程则有p(x)+xq(x)≡0，可见当p(x)+xq(x)≡0时y=x 是方程y”+p(x)y’+q(x)y=0的一个特解．涉及知识点：微积分5．若m2+mp(x)+q(x)=0，则y=emx是方程的一个特解．正确答案：用y=emx代入方程则有y”+p(x)y’+q(x)y=[m2+p(x)m+q(x)]emx≡0．故当m2+p(x)m+q(x)≡0时y=emx 是方程y”+p(x)y’+q(x)y=0的一个特解．涉及知识点：微积分求下列微分方程的通解：6．(x一2)dy=[y+2(x一2)3]dx；正确答案：原方程可改写为y’—=2(x一2)2，这是一阶线性微分方程，用积分因子=2(x一2)，两边求积分即得通解=C+(x一2)2，即y=C(x一2)+(x 一2)3，其中C是任意常数．涉及知识点：微积分7．(1+y2)dx=(arctany一x)dy；正确答案：原方程可改写成，这是以x=x(y)为未知函数的一阶线性微分方程，用积分因子=earctany同乘方程两端可得(xearctany)’=earctany．两边求积分即得通解xearctany=C+C+∫ueudu=C+(u一1)eu =C+(arctany一1)earctany，即x=Cearctany+arctany一1，其中C是任意常数．涉及知识点：微积分8．y’+2y=sinx；正确答案：用积分因子e2x同乘方程两端，可得(e2xy)’=e2xsinx→e2xy=∫e2xsinxdx+C→y=e-2x∫e2xsinxdx+Ce-2x．因为∫e2xsinxdx=一∫e2xd(cosx)=一e2xcosx+2∫e2xcosxdx=一e2xcosx+2∫e2xd(sinx) =一e2xcosx+2(e2xsinx 一2∫e2xsinxdx)=e2x(2sinx一cosx)一4∫e2xsinxdx，→∫e2xsinxdx=e2x(2sinx一cosx)．代入即得通解y=Ce-2x+(2sinx一cosx)，其中C是任意常数．涉及知识点：微积分求下列微分方程的通解：9．eyy’一ey=x2；正确答案：原方程可变形为(ey)’一ey=x2，设Z=ey，方程为Z’一Z=x2，于是，由一阶线性微分青程公式法，得通解故原方程的通解为ey=x3+Cx．涉及知识点：微积分10．正确答案：题设方程为齐次微分方程．当x＞0时=u可把方程改写成综合可得方程的通解为+y=C，其中C为任意常数．涉及知识点：微积分11．(x2—3y2)x+(3x2一y2)y=0；正确答案：题设方程为齐次微分方程，方程可改写成代入就有通解ln｜1+u2｜—ln｜1—u2｜+ln｜x｜=C (x2+y2)2=C(x2—y2)，其中C是任意常数。
涉及知识点：微积分求下列微分方程的通解：12．正确答案：将y看成自变量，x看成是y的函数x=x(y)，则原方程是齐次微分方程．令u(y)=，代入原方程，得yu’=一，这是一个变量可分离型方程，其通解为y(eu+u)=C．所以原微分方程的通解为+x=C．涉及知识点：微积分13．y’=—tany；正确答案：因为y’cosy=(siny)’，令u=siny，则原微分方程化为u’+u=x．这是关于未知函数u(x)的一个一阶线性非齐次微分方程，其通解为u=e-x(C+∫xexdx)=Ce-x+x一1．所以原微分方程的通解为siny=Ce-x+x一1．涉及知识点：微积分14．xdy—ydx=y2eydy；正确答案：当y≠0时，将原方程变为如下形式：eydy+=0，所以原方程是一个全微分方程，其通解为ey+=C，即x=y(C—ey)．涉及知识点：微积分求下列微分方程的通解：15．u”+5y’+6y=ex；正确答案：因特征方程是λ2+5λ+6=(λ+2)(λ+3)=0→特征根为λ1=一2，λ2=一3．而自由项f(x)=ex，故可设非齐次方程有特解y*=Aex，代入原方程可确定A=．故方程的通解为y=C1e-2x+C2e-3x+ex．涉及知识点：微积分16．y”+9y=6cos3x．正确答案：对应的特征方程为λ2+9=(λ一3i)(λ+3i)=0j特征根为λ1=3i，λ2=一3i，南方程的非齐次项6cos3x可知，应设非齐次方程的特解具有形式y*=x(Acos3x+Bsin3x)．计算可得(y*)”+9y’=6(Bcos3x—Asin3x)6cos3x，从而A=0，B=1．综合得通解y=(C1+x)sin3x+C2cos3x．涉及知识点：微积分求下列差分方程的通解：17．yt+1—αyt=eβt，其中α，β为常数，且α≠0；正确答案：方程的通解可设为yt=Cαt+yt*，当α≠eβ时，可设yt*=Aeβt，代入方程可确定A=．即原方程的通解为yt=Cαt+eβt；当α=eβ时可设yt*=Ate βt，代入方程可确定A=e-β，故方程的通解为y=(C+[*9])αt．涉及知识点：微积分18．yt+1+2yt=5cost．正确答案：设方程的通解为yt=C(一2)t+Acos，于是故方程的通解为yt=c(一2)t+2cos．涉及知识点：微积分19．求方程y”+2my’+n2y=0满足初始条件y(0)=a，y’(0)=b的特解，其中m ＞n＞0，a，b为常数，并求∫0+∞y(x)dx=?正确答案：特征方程为λ2+2mλ+n2=(λ+m)2+n2一m2=0，特征根为λ=一m+，于是方程的通解为y=C1．令计算可得0=∫0+∞(y”+2my’+n2y)dx=y’｜0+∞+2my｜0+∞+n2∫0+∞ydx =一b—2ma+n2∫0+∞ydx→ydx=．涉及知识点：微积分20．设一曲线过点(e，1)，且在此曲线上任意一点M(x，y)处的法线斜率为—，求此曲线方程．正确答案：由题设知，过曲线上任意点M(x，y)处的切线斜率为由一阶线性微分方程的通解公式，可得y= =x(lnlnx+C)=xlnlnx+Cx．由曲线过点(e，1)可确定常数C=，故所求曲线方程为y=+xlnlnx．涉及知识点：微积分21．设y=y(x)在[0，+∞)内可导，且在x＞0处的增量△y=y(x+△x)一y(x)满足△y(1+△y)=+α，其中当△x→0时α是△x的等价无穷小，又y(0)=2，求y(x)．正确答案：由题设等式可得(1+△y)+1．从而y=y(x)是如下一阶线性微分方程初值问题的特解：注意方程可改写成，两边积分得=C+ln(4+x)→y=C(4+x)+(4+x)ln(4+x)．令x=0，y=2可确定常数C=一2ln2，故y=(一2ln2)(4+x)+(4+x)ln(4+x)=(4+x)[—2ln2+ln(4+x)]．涉及知识点：微积分22．设函数y(x)连续，且满足∫1xy(t)dt一2y(x)=xx+1+∫01y(t)dt，求y(x)．正确答案：由y(x)连续可知∫1xy(t)dt可导，从而y(x)可导．将方程两端对x 求导，得一阶线性微分方程y(x)一2y’(x)=2x．解之可得通解y(x)=C+2x+4．在原方程两端令x=1又有一2y(1)=2+∫01y(t)dt，即0=2+2y(t)+∫01y(t)dt=2+2C+12+∫01(C+2t+4)dt =14+2C一1)+5．可确定常数C=．涉及知识点：微积分23．设函数f(x)连续，且∫0xf(t)dt=sinxx+∫0xtf(x一t)dt．求f(x)．正确答案：将∫0xtf(x一t)dt(x一u)f(u)(一du)=∫0x(x一u)f(u)du =x∫0xf(u)du一∫0xuf(u)du代入原方程即得∫0xf(t)dt=sin2x+x∫0xf(u)du一∫0xuf(u)du．由f(x)连续可见以上方程中各项均可导．将方程两端对x求导即得f(x)=2sinxcosx+∫0xf(u)du=sin2x+∫0xf(u)du．在上式中令x=0可得f(0)=0，由上式还可见f(x)可导，于是将它两端对x求导，又得f’(x)=2cos2x+f(x)．故求y=f(x)等价于求解初值问题的特解．解之可得y=f(x)=(ex+2sin2x—cos2X)．涉及知识点：微积分24．设函数f(x)可微，且满足f(x)一1=f∫1x[f(t)lnt一]dt，求f(x)．正确答案：原方程两边对x求导，得f’(x)=f2(x)lnx一，且f(1)=1．上式变形为，代入方程，得由一阶线性微分方程的通解公式，有将z=ln2x+C)=1，由f(1)=1定出C=1，于是涉及知识点：微积分25．设二阶常系数线性微分方程y”+αy’+βy=γex的一个特解为y=e2x+(1+x)ex，试确定常数α，β，γ，并求该方程的通解．正确答案：将y=e2x+(1+x)ex代入方程可得(4+2α+β)e2x+(3+2α+β一y)ex+(1+α+β)xex=0，因e2x，ex与xex线性无关(证明见评注)，故于是所求方程是y”一3y’+2y=一ex，因特征方程为λ2一3λ+2=0即特征根为λ1=2，λ2=1，则对应齐次微分方程的通解为C1e2x+C2ex，由所给特解y=e2x+(1+x)ex 可见非齐次方程有一个特解为y*=xex．综合即得所求通解为y=C1e2x+C2ex+xex．涉及知识点：微积分26．求yt+1一yt=2t(t一1)(t一2)的通解．正确答案：原差分方程对应的齐次差分方程是yt+1一yt=0，其通解为yt=C，非齐次差分方程的通解可设为yt=C+αt+βt2+γt3+8t4，代入方程可得yt+1一yt=α+β+γ+δ+(2β+3γ+4δ)t+(3γ+6δ)t2+4δt32t(t—1)(t一2)，比较系数，可得方程组故所求通解为yt=C一3t+t4，其中C是任意常数．涉及知识点：微积分27．设p(x)在(a，b)连续，∫p(x)dx表示p(x)的某个原函数，C为任意常数，证明：y=Ce-∫p(x)dx是方程y’+p(x)y=0的所有解．正确答案：因为对任意常数C，y=Ce-∫p(x)dx是原方程的解，又设y是原方程的任意一个解，则[ye∫p(x)dx]’=e∫p(x)dx[y’+p(x)y]=0，即存在常数C，使得ye-∫p(x)dx=C，故y=Ce-∫p(x)dx．涉及知识点：微积分28．设有微分方程y’一2y=φ(x)，其中φ(x)=试求：在(一∞，+∞)内的连续函数y=y(x)，使之在(一∞，1)和(1，+∞)内都满足所给方程，且满足条件y(0)=0．正确答案：这是一个一阶线性非齐次微分方程，由于其自由项为分段函数，所以应分段求解，并且为保持其连续性，还应将其粘合在一起．当x＜1时，方程y’一2y=2的两边同乘e-2x得(ye-2x)’=2e-2x，积分得通解y=C1e2x—1；而当x＞1时，方程y’一2y=0的通解为y=C2e2x．为保持其在x=1处的连续性，应使C1e2—1=C2e2，即C2=C1—e-2，这说明方程的通解为再根据初始条件，即得C1=1，即所求特解为y=．涉及知识点：微积分29．设函数f(x)连续，且满足∫03xf()dt+e2x=f(x)，求f(x)．正确答案：在积分中作换元s==3∫0xf(s)dx，代入方程，可得f(x)=3∫0xf(s)ds+e2x．在上式中令x=0，得f(0)=1．由于f(x)连续，因而上式中右端的变上限定积分可导，又e2x也可导，这就保证了f(x)可导．将上式两端对x求导，得f’(x)=3f(x)+2e2x．由此可见，f(x)是一阶线性微分方程y’一3y=2e2x满足初始条件y(0)=1的特解．用积分因子e-3x乘方程两端，得(ye-3x)’=2e-x．积分一次，不难得到它的通解y=Ce3x一2e2x．利用初始条件可确定常数C=3．所以，所求的函数是f(x)=3e3x一2e2x．涉及知识点：微积分30．设f(x)，g(x)满足f’(x)=g(x)，g’(x)=2ex一f(x)，且f(0)=0，g(0)=2，求∫0π[]dx．正确答案：由f’(x)=g(x)可得f”(x)=g’(x)，结合g’(x)=2e2x一f(x)可得f(x)满足微分方程f”(x)=2e2x一f(x)，即y”=2e2x一y．在y”+y=2ex中，由于λ=1不是其齐次方程的特征根，因此它有形如y=aex的特解，将y=aex代入方程y”+y=2ex中可得a=1．因此y”+y=2ex的通解为y=C1cosx+C2sinx+ex．由f(0)=0，g(0)=2，可知f(x)是y”+y=2ex的满足初值条件y(0)=0，y’(0)=2的特解．将初值条件代入通解中得C1=一1，C2=1．因此f(x)=一cosx+sinx+ex．注意到，f(0)=0，f’(x)=g(x)，因此解析：由f’(x)=g(x)两边求导可得f”(x)=g’(x)，再由g’(x)=2ex—f(x)可得f(x)所满足的微分方程．知识模块：微积分已知微分方程y”+(x+e2y)(y’)3=0．31．若把y看成自变量，x看成函数，则方程化成什么形式?正确答案：代入方程得x”一x=e2y．涉及知识点：微积分32．求此方程的解．正确答案：特征方程r2—1=0的两个根为r1=1，r2=一1．由于在非齐次项eay中a=2不是特征根，故可设非齐次方程的特解为x*=Ae2y，代入方程得(4A一A)e2y=e2y →A=．因此，通解为x=C1ey+C2e-y+e2y．涉及知识点：微积分。
考研数学三(微积分)模拟试卷217(题后含答案及解析)
考研数学三（微积分）模拟试卷217(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．当x→0时，变量是( )A．无穷小．B．无穷大．C．有界的，但不是无穷小．D．无界的，但不是无穷大．正确答案：D 涉及知识点：微积分2．设，则当x→0时( )A．f(x)是x的等价无穷小．B．f(x)与x是同阶但非等价无穷小．C．f(x)是比x更高阶的无穷小．D．f(x)是比x较低阶的无穷小．正确答案：B 涉及知识点：微积分3．函数f(x)=(x2一x一2)｜x3一x｜不可导点的个数是：( ) A．3B．2C．1D．0正确答案：B 涉及知识点：微积分4．曲线( )A．没有渐近线．B．仅有水平渐近线．C．仅有铅直渐近线．D．既有水平渐近线也有铅直渐近线．正确答案：D 涉及知识点：微积分5．若f’(x)=sinx，则f(x)的原函数之一是( )A．1+sinxB．1一sinxC．1+cosxD．1一cosx正确答案：B 涉及知识点：微积分6．设f(x)为连续函数，F(t)=∫1tdy∫ytf(x)dx，则F’(2)等于( ) A．2f(2)．B．f(2)．C．一f(2)．D．0．正确答案：B 涉及知识点：微积分7．若级数都发散，则( )正确答案：C 涉及知识点：微积分8．设un≠0，(n=1，2，…)，且( )A．发散．B．绝对收敛．C．条件收敛．D．敛散性不定．正确答案：C 涉及知识点：微积分9．若连续函数满足关系式则f(x)等于( )A．exln2B．e2xln2C．ex+1n2D．e2x+ln2正确答案：B 涉及知识点：微积分填空题10．设函数f(x)=ax(a＞0，a≠1)，则=______．正确答案：涉及知识点：微积分11．=_______．正确答案：涉及知识点：微积分12．设f(x)连续，且∫0x2+1f(t)dt=x，则f(5)+∫05f(t)dt=______．正确答案：涉及知识点：微积分13．设则du｜(1，1，1)=_______．正确答案：dx—dy 涉及知识点：微积分14．设z=e－x一f(x一2y)，且当y=0时，z=x2，则=______．正确答案：一e－x+e－(x－2y)+2(x一2y) 涉及知识点：微积分15．设yt=t2+3，则△2yt=______．正确答案：2 涉及知识点：微积分解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学三(微积分)模拟试卷180(题后含答案及解析)
考研数学三（微积分）模拟试卷180(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设α～β(x→a)，则等于( )．A．eB．e2C．1D．正确答案：D解析：因为α～β，所以＝0，于是，选(D)．知识模块：微积分2．下列命题成立的是( )．A．若f(x)在x0处连续，则存在δ＞0，使得f(x)在｜x－x0｜＜δ内连续B．若f(x)在x0处可导，则存在δ＞0，使得f(x)在｜x－x0｜＜δ内可导C．若f(x)在x0的去心邻域内可导，在x0处连续且f’(x)存在，则f(x)在x0处可导，且f’(0)＝f’(x)D．若f(x)在x0的去心邻域内可导，在x0处连续且f’(x)不存在，则f(x)在x0处不可导正确答案：C解析：设f(x)＝显然f(x)在x＝0处连续，对任意的x0≠0，因为f(x)不存在，所以f(x)在x0处不连续，(A)不对；同理f(x)在x＝0处可导，对任意的x0≠0，因为f(x)在x0处不连续，所以f(x)在x0处也不可导，(B)不对；因为＝f’(ξ)，其中ξ介于x0与x之间，且f’(x)存在，所以也存在，即f(x)在x0处可导且f’(x0)＝f’(x)，选(C)；令f’(x)不存在，(D)不对．知识模块：微积分3．设f(x)，g(x)是连续函数，当x→0时，f(x)与g(x)是等价无穷小，令F(x)＝∫0xf(x－t)dt，G(x)＝∫01xg(xt)dt，则当x→0时，F(x)是G(x)的( )．A．高阶无穷小B．低阶无穷小C．同阶但非等价无穷小D．等价无穷小正确答案：D解析：F(x)＝∫0xf(x－t)dt＝－∫0xf(x－t)d(x－t)＝∫0xf(u)du，G(x)＝∫01xg(xt)dt＝∫0xg(u)du，则＝1，选(D)．知识模块：微积分4．设幂级数an(x－2)n在x＝6处条件收敛，则幂级数(x－2)2n的收敛半径为( )．A．2B．4C．D．无法确定正确答案：A解析：因为an(x－2)n在x＝6处条件收敛，所以级数anxn的收敛半径为R ＝4，又因为级数anxn有相同的收敛半径，所以的收敛半径为R＝4，于是(x－2)2n的收敛半径为R＝2，选(A)．知识模块：微积分填空题5．当x→0时，x－sinxcos2x～cxx，则c＝______，k＝______．正确答案：，3解析：因为x→0时，sinx＝x－＋ο(x3)，cos2x＝1－＋ο(x2)＝1－2x2＋ο(x2)，sinxcos2x＝x－3＋ο(x3)，所以x－sinxcos2x＝x3＋ο(x3)～x3，故c＝，k ＝3．知识模块：微积分6．当x→0时，－1～cos2x－1，则a＝______．正确答案：－3解析：因为(1＋x2，cos2x－1＝(cosx＋1)(cosx－1)～－x2，且(1＋－1～cos2x －1，所以a＝－3．知识模块：微积分7．设函数y＝y(x)由确定，则y＝y(x)在x＝ln2处的法线方程为______．正确答案：(x－ln2)解析：当x＝ln2时，t＝±1；当t＝±1时，y＝0．(1)当t＝－1时，由＝－1，∫0yeu2du＋∫t21arcsinudu＝0两边对t求导数得－2tarcsint2＝0，则，则法线方程为y＝(x－ln2)．(2)当t＝1时，由＝1．∫0yeu2du＋∫t21arcsinudu＝0两边对t求导得ey2－2tarcsint2＝0，则，法线方程为y＝(x－ln2)，即法线方程为y ＝(x－ln2)．知识模块：微积分8．＝______．正确答案：解析：知识模块：微积分9．I(x)＝du在区间[－1，1]上的最大值为______．正确答案：ln3解析：I’(x)＜0，当x∈时，I’(x)＞0，所以x＝为f(x)在[－1，1]上的最小值点，又I(1)＝∫01＝ln(u2－u＋1)｜01＝0，I(－1)＝∫0－1du＝ln(u2－u＋1)｜－10＝－(0－ln3)＝ln3，故I(x)在[－1，1]上的最大值为ln3．知识模块：微积分10．＝______．正确答案：3e解析：知识模块：微积分解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学三(多元函数微积分学)模拟试卷22(题后含答案及解析)
考研数学三（多元函数微积分学）模拟试卷22(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设则f(x，y)在点(0，0)处A．连续，偏导数存在B．连续，偏导数不存在C．不连续，偏导数存在D．不连续，偏导数不存在正确答案：C解析：这是讨论f(x，y)在点(0，0)处是否连续，是否可偏导．先讨论容易的，即f(x，y)在点(0，0)处是否可偏导．由于f(x，0)=0(x∈(－∞，+∞))，则同理因此B，D被排除．再考察f(x，y)在点(0，0)处的连续性．令y=x3，则因此f(x，y)在点(0，0)处不连续．故应选C．知识模块：多元函数微积分学2．设函数z=f(x，y)在点(x0，y0)的某邻域内有定义，且在点(x0，y0)处的两个偏导数f’x(x0，y0)，f’y(x0，y0)都存在，则A．存在常数k，使B．C．D．当(△x)2+(△y)2→0时f(x0+△x,y0+△y)－f(x0，y0)－[f’x(x0，y0)△x+f’y(x0，y0)△y]=正确答案：C解析：选项A表示f(x，y)当(x，y)→(x0，y0)时极限存在；选项B表示f(x，y)在点(x0，y0)处连续；选项D表示f(x，y)在点(x0，y0)处可微．它们在题设条件下都未必成立．而选项C表示一元函数f(x0，y)与f(x，y0)分别在点y=y0，x=x0处连续．由于根据一元函数可导必连续的性质知C成立．知识模块：多元函数微积分学3．设则A．I1＜I2＜I3B．I2＜I2＜I1C．I3＜I1＜I2D．I3＜I2＜I1正确答案：B解析：先比较I1和I3的大小：由于I1和I3被积函数连续，相同且非负，而I1的积分域包含了I3的积分域，由性质7可知I1＞I3．再比较I2和I3的大小：由于I2和I3的积分域相同，又x2+y2≥2|xy|，由比较定理的【注】可知I3＞I2，从而有I1＞I3＞I2．故应选B．知识模块：多元函数微积分学填空题4．设则在点的值为________．正确答案：解析：【分析一】(对x求导时y为常量)．将上式对y求导，得(对y求导时x为常量) 把x=2，代入上式，得【分析二】知识模块：多元函数微积分学5．设D是Oxy平面上以A(1，1)，B(－1，1)和C(－1，－1)为顶点的三角形区域，则正确答案：8解析：连将区域D分成D1(三角形OAB)，D2(三角形OBC)两个部分(见图4．13)，它们分别关于y轴与x轴对称．由于对x与y均为奇函数，因此又由于D的面积=所以于是I=0+8=8．知识模块：多元函数微积分学解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学三(微积分)模拟试卷219(题后含答案及解析)
考研数学三（微积分）模拟试卷219(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设x→0时，etanx一ex是与xn同阶的无穷小，则n为( )A．1B．2C．3D．4正确答案：C 涉及知识点：微积分2．设f(x)在(一∞，+∞)上可导，且对任意的x1和x2，当x1＞x2时都有f(x1)＞f(x2)，则A．对任意x，f’(x)＞0．B．对任意x，f’(一x)≤0．C．函数f(一x)单调增加．D．函数一f(一x)单调增加．正确答案：D 涉及知识点：微积分3．设f(x)连续，且f’(0)＞0，则存在δ＞0，使得( )A．f(x)在(0，δ)内单调增加．B．f(x)在(一δ，0)内单调减少．C．对任意的x∈(0，δ)有f(x)＞f(0)．D．对任意的x∈(一δ，0)有f(x)＞f(0)．正确答案：C 涉及知识点：微积分4．设f(x)，φ(x)在点x=0的某邻域内连续且x→0时，f(x)是φ(x)的高阶无穷小，则x→0时，∫0xf(t)sintdt是∫0xtφ(t)dt的( )无穷小A．低阶B．高阶C．同阶非等价D．等价正确答案：B 涉及知识点：微积分5．设D是xay平面上以(1，1)，(一1，1)和(一1，一1)为顶点的三角形域，D1是D在第一象限的部分，则等于( )A．B．C．D．正确答案：A 涉及知识点：微积分6．设0＜a＜1，区域D由x轴，y轴，直线x+y=a及x+y=1所围成，且则( )A．I＜K＜J．B．K＜J＜I．C．I＜J＜K．D．J＜I＜K．正确答案：D 涉及知识点：微积分7．设常数k＞0，则级数V( )A．发散．B．绝对收敛．C．条件收敛．D．收敛或发散与k的取值有关．正确答案：C 涉及知识点：微积分8．以下命题中正确的是( )A．B．C．D．正确答案：D 涉及知识点：微积分填空题9．=______．正确答案：2 涉及知识点：微积分10．已知f’(3)=2，则=______．正确答案：涉及知识点：微积分11．设函数y=y(x)由参数方程确定，则曲线y=y(x)向上凸的x取值范围为______．正确答案：(一∞，1) 涉及知识点：微积分12．=______正确答案：涉及知识点：微积分13．∫02dx∫x2e－y2dy=_______．正确答案：涉及知识点：微积分14．设则该幂级数的收敛半径等于______．正确答案：涉及知识点：微积分15．已知yt一et是差分方程yt+1+ayt－1一2et的一个特解，则a=______．正确答案：2e—e2 涉及知识点：微积分解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学三(微积分)模拟试卷110(题后含答案及解析)
考研数学三（微积分）模拟试卷110(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．二元函数f(χ，y)在点(χ0，y0)处两个偏导数f′χ(χ0，y0)，f′y(χ0，y0)存在，是f(χ，y)在该点连续的【】A．充分条件而非必要条件．B．必要条件而非充分条件．C．充分必要条件．D．既非充分条件又非必要条件．正确答案：D 涉及知识点：微积分2．设D是χ0y平面上以(1，1)，(－1，1)和(－1，－1)为顶点的三角形域，D1是D在第一象限的部分，则(χy＋cosχsiny)dχdy等于【】A．2cosχsinydχdyB．2χydχdyC．4(χy＋cosχsiny)dχdyD．0正确答案：A 涉及知识点：微积分3．设f(χ，y)在(0，0)点连续，且＝－2，则【】A．点(0，0)不是f(χ，y)的极值点．B．点(0，0)是f(χ，y)的极大值点．C．点(0，0)是f(χ，y)的极小值点．D．根据所给条件无法判断(0，0)点是否为f(χ，y)的极值点．正确答案：B 涉及知识点：微积分4．设区域D＝{(χ，y)｜χ2＋y2≤4，χ≥0，y≥0}，f(χ)为D上正值连续函数，a．b为常数，则＝【】A．abπ．B．．C．(a＋b)π．D．．正确答案：D 涉及知识点：微积分5．设f(χ)为连续函数，F(t)＝∫1tdy∫ytf(χ)dχ，则F′(2)等于【】A．2f(2)．B．f(2)．C．－f(2)．D．0．正确答案：B 涉及知识点：微积分6．设则【】A．I1＜I2＜I3．B．I2＜I3＜I1．C．I3＜I1＜I2．D．I3＜I2＜I1．正确答案：B 涉及知识点：微积分7．设0＜a＜1，区域D由χ轴，y轴，直线χ＋y＝a及χ＋y＝1所围成，且I＝sin2(χ＋y)dσ，J＝ln3(χ＋y)dσ，K＝(χ＋y)dσ．则【】A．I＜K＜J．B．K＜J＜I．C．I＜J＜K．D．J＜I＜K．正确答案：D 涉及知识点：微积分填空题8．设u＝e－χsin，则在(2，)处的值为_______．正确答案：涉及知识点：微积分9．由方程χyz＋所确定的函数z＝z(χ，y)在点(1，0，－1)处的全微分dz ＝_______．正确答案：dχ－dy 涉及知识点：微积分10．设z＝(χ，y)＋yφ(χ＋y)，f、φ具有二阶连续偏导数，则＝_______．正确答案：yf〞(χy)＋φ′(χ＋y)＋yφ〞(χ＋y) 涉及知识点：微积分11．设f(χ，y)＝χy则_______．正确答案：χy-1＋yχy-1lnχ涉及知识点：微积分12．设u＝，则＝_______．正确答案：dχ－dy 涉及知识点：微积分13．设z＝z(χ，y)是由方程z＝mz＝φ(y－nz)所确定，(其中m、n为常数，φ为可微函数)，则＝_______．正确答案：1 涉及知识点：微积分14．＝_______．正确答案：(1－e-4) 涉及知识点：微积分15．设区域D为χ2＋y2≤R2，则＝_______．正确答案：涉及知识点：微积分16．交换积分次序＝_______．正确答案：涉及知识点：微积分17．[(χ＋1)2＋2y2]dχdy＝_______．正确答案：涉及知识点：微积分18．＝_______．正确答案：涉及知识点：微积分19．设f，g为连续可微函数，u＝f(χ，χy)，v＝g(χ＋χy)，求＝_______．正确答案：涉及知识点：微积分20．设z＝f(u，χ，y)，u＝χey，其中f有二阶连续偏导数，求＝_______．正确答案：涉及知识点：微积分21．设z＝f(eχsiny，χ2＋y2)，其中f具有二阶连续偏导数，求＝_______．正确答案：＝f〞11e2χsinycosy＋2eχ(ysiny＋χcosy)f〞12＋4χyf〞22＋f′1eχcosy 涉及知识点：微积分22．设函数z＝f(χ，y)在点(1，1)处可微，且f(1，1)＝1，＝3，φ(χ)＝f(χ，f(χ，χ))．求＝_______．正确答案：51 涉及知识点：微积分23．求由方程2χz－2χyz＋ln(χyz)＝0所确定的函数z＝z(χ，y)的全微分为_______．正确答案：涉及知识点：微积分24．设f(χ，y)＝，求＝_______．正确答案：涉及知识点：微积分25．计算＝_______，其中D由曲线｜χ｜＋｜y｜＝1所围成．正确答案：涉及知识点：微积分解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学三(微积分)模拟试卷140(题后含答案及解析)
考研数学三（微积分）模拟试卷140(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设数列{xn}与{yn}满足xnyn=0，则下列判断正确的是（）A．若{xn}发散，则{yn}必发散B．若{xn}无界，则{yn}必无界C．若{xn}有界，则{yn}必为无穷小D．若为无穷小，则{yn}必为无穷小正确答案：D解析：取xn=n，yn=0，显然满足xnyn=0，由此可排除A、B。
若取xn=0，yn=n，也满足xnyn=0，又排除C，故选D。
知识模块：微积分2．设函数f（x）=在（一∞，+∞）内连续，且f（x）=0，则常数a，b满足（）A．a＜0，b＜0B．a＞0，b＞0C．a≤0，b＞0D．a≥0，b＜0正确答案：D解析：因f（x）连续，故a+ebx≠0，因此只要a≥0即可。
再由可知x→一∞时，a+ebx必为无穷大（否则极限必不存在），此时需b＜0，故选D。
知识模块：微积分3．设f（x）在x=0的某邻域内连续，在x=0处可导，且f（0）=0。
则φ（x）在x=0处（）A．不连续B．连续但不可导C．可导但φ’（x）在x=0不连续D．可导且φ’（x）在x=0连续正确答案：D解析：因为因此，φ’（x）在x=0连续。
故选D。
知识模块：微积分4．设y= f（x）在（a，b）可微，则下列结论中正确的个数是（）①x0∈（a，b），若f’（x0）≠0，则△x→0时dy|xx0与△x是同阶无穷小。
②df （x）只与x∈（a，b）有关。
③△y=f（x+△x）—f（x），则dy≠△y。
④△x →0时，dy —△y是△x的高阶无穷小。
A．1B．2C．3D．4正确答案：B解析：逐一分析。
①正确。
因为=f’（x0）≠0，因此△x→0时与△x是同阶无穷小。
②错误。
df（x）=f’（x）△x，df（x）与x∈（a，b）及△x有关。
③错误。
当y= f（x）为一次函数，f（x）=ax+b，则dy=a△x=△y。
考研数学三(微积分)模拟试卷190(题后含答案及解析)
考研数学三（微积分）模拟试卷190(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设当x→0时，有ax3＋bx2＋cx～∫0ln(1＋2x)sintdt，则( )．A．a＝，b＝1，c＝0B．a＝，b＝1，c＝0C．a＝，b＝－1，c＝0D．a为任意常数，b＝2，c＝0正确答案：D解析：因为ax3＋bx2＋cx～∫0ln(1＋2x)sintdt，得a为任意常数，b＝2，选(D)．知识模块：微积分2．f(x)g(x)在x0处可导，则下列说法正确的是( )．A．f(x)，g(x)在x0处都可导B．f(x)在x0处可导，g(x)在x0处不可导C．f(x)在x0处不可导，g(x)在x0处可导D．f(x)，g(x)在x0处都可能不可导正确答案：D解析：令，显然f(x)，g(x)在每点都不连续，当然也不可导，但f(x)g(x)≡－1在任何一点都可导，选(D)．知识模块：微积分3．下列说法正确的是( )．A．设f(x)在x0二阶可导，则f’’(x)在x＝x0处连续B．f(x)在[a，b]上的最大值一定是其极大值C．f(x)在(a，b)内的极大值一定是其最大值D．若f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(x)在(a，b)内有唯一的极值点，则该极值点一定为最值点正确答案：D解析：令f’(x)＝f’’(0)＝0，但f’’(x)不存在，所以(A)不对；若最大值在端点取到则不是极大值，所以(B)不对；(C)显然不对，选(D)．知识模块：微积分4．累次积分dθ∫0cosθrf(rcosθ，rsinθ)dr等于( )．A．∫01dyf(x,y)dxB．∫01dyf(x,y)dxC．∫01dx∫01f(x,y)dyD．∫01dxf(x,y)dy正确答案：D解析：积分所对应的直角坐标平面的区域为D：0≤x≤1，0≤y≤，选(D)．知识模块：微积分填空题5．设f(x)连续，且＝______．正确答案：1解析：∫0xtf(x－t)dt∫x0(x－u)f(u)(－du)＝x∫0xf(u)du－∫0xuf(u)du，∫0xarctan(x－t)2dt∫0xarctanu2du，知识模块：微积分6．设f(x)满足f(x)＝f(x＋2)，f(0)＝0，又在(－1，1)内f’(x)＝｜x｜，则f ＝______．正确答案：解析：因为在(－1，1)内f’(x)＝｜x｜，所以在(－1，1)内f(x)＝由f(0)＝0得f(x)＝知识模块：微积分7．＝______．正确答案：解析：知识模块：微积分8．设函数y＝y(x)满足△y＝△x＋ο(△x)，且y(1)＝1，则∫01y(x)dx＝______．正确答案：解析：知识模块：微积分9．设f(x)连续，则＝______．正确答案：解析：∫0rtf(r2－t2)dt＝∫0r(r2－t2)d(r2－t2)＝∫0r2f(u)du，cos(x＋y)dσ＝πr2cos(ξ＋η)，原式＝．知识模块：微积分解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学三(微积分)模拟试卷60(题后含答案及解析)
考研数学三（微积分）模拟试卷60(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．二元函数其中m，n为正整数，函数在(0，0)处不连续，但偏导数存在，则m，n需满足( )A．m≥2，72＜2B．m≥2，n≥2C．m＜2，n≥2D．m＜2，n＜2正确答案：B解析：当(x，y)沿y=kx(k≠0)趋向点(0，0)时，当m≥2，n≥2时，k取不同值，上式结果不唯一，所以函数在(0，0)处极限不存在，故函数不连续．又因为同理可得f’y(0，0)=0，故偏导数存在．当n＜2时，有n=1，因而，函数f(x，y)在(0，0)处连续．同理，当m＜2时，函数f(c，y)在(0，0)处连续．综上，应选(B)．知识模块：微积分2．函数z=f(x，y)=在(0，0)点( )A．连续，但偏导数不存在B．偏导数存在，但不可微C．可微D．偏导数存在且连续正确答案：B解析：从讨论函数是否有偏导数和是否可微入手．知识模块：微积分3．函数z=x3+y3一3x2一3y2的极小值点是( )A．(0，0)B．(2，2)C．(0，2)D．(2，0)正确答案：B解析：由=3y2一6y=0，可得到4个驻点(0，0)，(2，2)，(0，2)和(2，0)．在(0，2)点和(2，0)点，均有AC—B2＜0，因而这两个点不是极值点．在(0，0)点，AC—B2=36＞0，且A=一6＜0，所以(0，0)点是极大值点．在(2，2)点，AC—B2=36＞0，且A=12＞0，所以(2，2)点是极小值点，故选(B)．知识模块：微积分4．函数y=f(x，y)在点(x0，y0)处连续是它在该点偏导数存在的( )A．必要而非充分条件B．充分而非必要条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件正确答案：D解析：在多元函数中，一点连续与一点可偏导无必然联系．知识模块：微积分5．函数( )A．等于1B．等于2C．等于0D．不存在正确答案：C解析：当xy≠0时，≤|x|+|y|，当(x，y)→(0，0)时，由夹逼准则，可得极限值为0．知识模块：微积分6．设函数，则点(0，0)是函数z的( )A．极小值点且是最小值点B．极大值点且是最大值点C．极小值点但非最小值点D．极大值点但非最大值点正确答案：B解析：由极值点的判别条件可知．知识模块：微积分填空题7．设=________．正确答案：一sin θ解析：由x=rcosθ，y=rsinθ，得u=cosθ，知识模块：微积分8．设=________．正确答案：1解析：f’x(0，1)= 知识模块：微积分9．设f可微，则由方程f(cx一ax，cy—bz)=0确定的函数z=z(x，y)满足az’x+bz’y=________．正确答案：c解析：本题考查多元微分法，是一道基础计算题．方程两边求全微分，得f’1.(cdx—adz)+f’2.(cdy—bdz)=0，即知识模块：微积分10．设函数z=z(x，y)由方程sin x+2y—z=ez所确定，则=________．正确答案：解析：方程两端对x求偏导数知识模块：微积分11．函数f(x，y，z)=-2x2在x2一y2一2z2=2条件下的极大值是________．正确答案：一4解析：由拉格朗日乘数法即得．知识模块：微积分12．函数的定义域为________ ．正确答案：解析：知识模块：微积分13．设z=esin xy，则dz= ________ ．正确答案：esinxycos xy(ydx+xdy)解析：z’x=esinxycos xy.y，z’y=esinxycos xy.x，则dz=eesinxycos xy(ydx+xdy)．知识模块：微积分解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学三(微积分)模拟试卷192(题后含答案及解析)
考研数学三（微积分）模拟试卷192(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设函数f(x)连续，且f’(0)＞0，则存在δ＞0使得( )．A．对任意的x∈(0，δ)有f(x)＞f(0)B．对任意的x∈(0，δ)有f(x)＜f(0)C．当x∈(0，δ)时，f(x)为单调增函数D．当x∈(0，δ)时，f(x)是单调减函数正确答案：A解析：因为f’(0)＞0，所以根据极限的保号性，存在δ＞0，当x∈(0，δ)时，有即f(x)＞f(0)，选A．知识模块：函数、极限、连续2．28．设f(x)在x=a的邻域内有定义，且f’+(a)与f’－(a)都存在，则( )．A．f(x)在x=a处不连续B．f(x)在x=a处连续C．f(x)在x=a处可导D．f(x)在x=a处连续可导正确答案：B解析：因为f’+(a)存在，所以即f(x)在x=a处右连续，同理由f’－(a)存在可得f(x)在x=处左连续，故f(x)在x=a处连续，选B．知识模块：一元函数微分学3．曲线的渐近线的条数为( )．A．0条B．1条C．2条D．3条正确答案：D解析：因为无水平渐近线；由有两条铅直渐近线；由有一条斜渐近线y=x，选D．知识模块：一元函数微分学4．设y(x)是微分方程y’’+(x－1)y’+x2y=ex满足初始条件y(0)=0，y’(0)=1的解，则( )．A．等于1B．等于2C．等于0D．不存在正确答案：A解析：微分方程y’’+(x－1)y’+x2y=ex中，令x=0，则y’’(0)=2，于是选A．知识模块：常微分方程与差分方程填空题5．=______．正确答案：解析：∫0xsin(x－t)2dt∫x0sinu2(－du)=sinu2du，则知识模块：函数、极限、连续6．=______．正确答案：解析：知识模块：函数、极限、连续7．设F(x)=∫0x(x2－t2)f’(t)dt，其中f’(x)在x=0处连续，且当x→0时，F’(x)～x2，则f’0)=______．正确答案：解析：F(x)=x2∫0xf’(t)dt－∫0xt2f’(t)dt，F’(x)=2x∫0xf’(t)dt，因为当x→0时，F’(x)～x2，所以知识模块：一元函数微分学8．=______．正确答案：解析：知识模块：一元函数积分学9．在区间[－1，1]上的最大值为______．正确答案：ln3解析：令时，I’(x)＜0，当为I(x)在[－1，1]上的最小值点，又故I(x)在[－1，1]上的最大值为ln3．知识模块：一元函数积分学10．设f(u，v)一阶连续可偏导，f(tx，ty)=t3f(x，y)，且f’x(1，2)=1，f’y(1，2)=4，则f(1，2)______．正确答案：3解析：f(tx，ty)=t3f(x，y)两边对t求导数得xfx(6tx，ty)+yfy’(tx，ty)=3t2f(x，y)，取t=1，x=1，y=2得f’x(1，2)+2f’y(1，2)=3f(1，2)，故f(1，2)=3. 知识模块：多元函数微分学11．设则∫0πf(x)dx=______．正确答案：2解析：∫0πf(x)dx=∫0πdx∫0x=∫0πsintdt=2 知识模块：重积分解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学三(微积分)模拟试卷90(题后含答案及解析)
考研数学三（微积分）模拟试卷90(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．当x→0时，下列四个无穷小中，哪一个是比其他三个高阶的无穷小（）A．x2B．1—cosxC．D．x—tanx正确答案：D解析：利用等价无穷小代换。
由于x→0时，所以当x→0时，B、C与A是同阶的无穷小，由排除法知选D。
知识模块：微积分2．函数f（x）=（x2+x—2）|sin2nx|在区间上不可导点的个数是（）A．3B．2C．1D．0正确答案：B解析：设g（x）=x2+x—2，φ（x）=| sin2πx|，显然g（x）处处可导，φ（x）处处连续，有不可导点。
只须考查φ（x）不可导点处g（x）是否为零。
φ（x）=|sin2πx|的图形如图1—2—3所示，在，1，其余均可导。
因为g（0）=—2≠0，处不可导，在x=1可导，其余点均可导。
故选B。
知识模块：微积分3．∫2xlnxln（1+t）dt=（）A．B．C．ln（1+Inx）—ln（1+2x）D．ln（1+lnx）—2ln（1+2x）正确答案：A解析：故选A。
知识模块：微积分4．设函数f（x），g（x）具有二阶导数，且g”（x）＜0。
若g（x0）=a是g（x）的极值，则f[g（x）]在x0取极大值的一个充分条件是（）A．f’（a）＜0B．f’（a）＞0C．f”（a）＜0D．f”（A）＞0正确答案：B解析：{f[g（x）]}’=f’[g（x）]．g’（x），{f[g（x）]}”={f’[g（x）]．g ‘（x）}’=f”[g （x）]．[g ‘（x）]2+f’[g（x）]．g”（x），由于g（x0）=a是g（x）的极值，所以g’（x0）=0。
所以{f[g（x0）]}”=f’[g（x0）]．g”（x0）=f’（a）．g”（x0），由于g”（x0）＜0，要使{f[g（x）]}”＜0，必须有f’（A）＞0。