高等代数教案北大版第八章

讲课内容教课时数教课目标教课要点教课难点教课方法与手段教学过程第八章λ－矩阵第一讲λ－矩阵2学时讲课种类解说法与练习法使学生认识-矩阵的看法，以及 -矩阵和数字矩阵的关系，基本掌握-矩阵秩的判断，可逆的条件，以及求逆矩阵。

-矩阵秩的判断，可逆的条件，以及求逆矩阵。

-矩阵的逆矩阵启示式解说，谈论，练习n阶矩阵与对角阵相似的充要条件是有n个线性没关的特色向量.那么当只有m(m n)个线性没关的特色向量时,A与对角阵是不相似的.对这类情,我们“退而求其次”,找寻“几乎对角的”矩阵来与A相似.这就引出了矩阵在相似下的各种标准型问题.Jordan标准型是最凑近对角的矩阵而且其有关的理论包括先前有关与对角阵相似的理论作为特例.其余,Jordan标准型的广泛应用涉及到Hamilton-Cayley定理的证明,矩阵分解,线性微分方程组的求解等等.因为 Jordan标准型的求解与特色多项式有关,而从函数的角度看 ,特色多项式其实是特别的函数矩阵（元素是函数的矩阵）,这就引出对-矩阵的研究.一、 -矩阵及其标准型定义1称矩阵A()(f ij())为-矩阵,此中元素f ij()(i1,2,L,m;j1,2,L,n)为数域F上关于的多项式.定义2称n阶-矩阵A()是可逆的,假如有A B B A I n并称B( )为A()的逆矩阵.反之亦然.定理1矩阵A()可逆的充要条件是其行列式为非零的常数,即det(A()) c0.证明：（1）充分性设A=d是一个非零的数.A*表示A()的伴随矩阵,则d1A*也是一个-矩阵,且有A d1A*d1A*A I所以,A( )是可逆的.(2)必需性设A()有可逆矩阵B(),则A B I两边取行列式有A B I 1因为A 与B 都是多项式,而它们的乘积为1,所以它们都是零次多项式,即都是非零常数.证毕.例题1 判断-矩阵2+1 2 1A = 11能否可逆.解固然2+1 2 1A = 1 = 21A()是满秩的,但A 不是非零常数,因此A( )是不行逆的.注意与数字矩阵不一样的是满秩矩阵未必是可逆的.这么定义可逆是有必要的,可逆的实质就是要保证变换的矩阵可以经过非零常数的倒数逆回去.定义3假如矩阵A()经过有限次的初等变换化成矩阵B()，则称矩阵A()与B()等价,记为A B定理2矩阵A()与B()等价的充要与条件是存在可逆矩阵P、Q,使得B P A Q证明因为A B,所以A()可以经过有限次初等变换变为B(),即存在初等矩阵P( ),P( ),L,P( )12s与初等矩阵Q1( ),Q2( ),L,Q t()使得B() P()P( )LP()A()Q()Q()LQ()12s12t令P( ) P1( )P2( )LP s(),Q( ) Q1( )Q2( )LQ t()就是所要求的-矩阵.它们都是初等矩阵的乘积,从而使可逆的.证毕.定义4 矩阵A( )的所有非零k阶子式的首一（最高次项系数为1）最大公因式D k 称为A( )的k阶行列式因子.定理2 等价矩阵拥有相同的秩和相同的各级行列式因子.证明设-矩阵A()经过一次行初等变换化为了B( )，f( )与g()分别是A()与B( )的k阶行列式因子.需要证明f()=g( ).分3 种状况谈论：（1）A() i,jB(),此时,B( )的每个k阶子式也许等于A()的某个k阶子式,也许与A()的某个阶子式反号,所以,f( )是B( )的k阶子式的公因子,从而f()|g().（2）A() i(c)B(),此时,B()的每个k阶子式也许等于A()的某个k阶子式,也许等于A( )的某个k阶子式的c倍.所以,f( )是B( )的k阶子式的公因式,从而f( )| g().（3）A() i j()行与j 行的阶子式和B(),此时,B()中那些包括i那些不包括i行的k阶子式都等于A( )中对应的k阶子式；B( )中那些包括i 行但不包括j行的k阶子式,按i行分成两个部分,而等于A()的一个k阶子式与另一个k阶子式的()倍的和,,也就是A( )的两个k阶子式的线性组合,所以, f()是的k阶子式公因式从而f()|g( ).,关于列变换,可以相同地谈论.总之,A( )经过一系列的初等变换变为B( )，那么f( )| g( ).又因为初等变换的可逆性,B()经过一系列的初等变换可以变为A( ),从而也有g()|f( ).当A()所有的阶子式为零时,B( )所有的k阶子式也就等于零；反之亦然.故A( )与B()又相同的各阶行列式因子,从而有相同的秩.证毕.既然初等变换不改变行列式因子,所以,每个-矩阵与它的标准型有完整相同的行列式因子 .而求标准型的矩阵是较为简单的,因此,在求一个-矩阵的行列式因子时,只要求出它的标准型的行列式因子即可.谈论、练习与作业课后反思讲课内容教课时数教课目标教课要点教课难点教课方法与手段教学过程第二将λ－矩阵在初等变换下的标准型2 讲课种类解说课认识-矩阵的初等变换，掌握求标准型的方法，掌握最小多项式的看法和求最小多项式的方法。

求标准型的方法和最小多项式的求法-矩阵标准型的方法课堂解说，辅以发问、练习一、-矩阵的初等变换。

定义1下边的三种变换叫做-矩阵的初等变换：1）矩阵的两行（列）互换地点；2）矩阵的某一行（列）乘以非零的常数c；3）矩阵的某一行（列）加另一行（列）的()倍，()是一个多项式。

初等变换都是可逆的，而且有p(i,j)1p(i,j),p(i(c))1p(i(c1)),p(i,j())1p(i,j( ))。

为了写起来方便起见，我们采纳以下的记号：[i,j]代表i,j行（列）互换地点；[i(c)]代表用非零的数c去乘i行（列）；[i j()]代表把j行（列）的( )倍加到i行（列）。

定义2-矩阵A()称为与B()等价，假如可以经过一系列初等变换将A()化为B()。

等价是-矩阵之间的一种关系，这个关系，明显拥有以下三个性质： （1）反身性：每一个 -矩阵与自己等价。

（2） 对称性：若A( )与B( )等价，则B()与A()等价。

这是因为初等变换拥有可逆性的缘由。

（3）传达性：若A()与B()等价，B( )与C( )等价，则A( )与C( )等价，引理 设 -矩阵A( )的左上角a 11( ) 0，而且A()中最少有一个元素不可以被它除尽，那么必定可以找到一个与 A( )等价的矩阵B( )，它的左上角元素也不为零，但是次数比 a 11( )的次数低。

定理2任意一个非零的 s n 的 -矩阵A( )都等价与以下形式的矩阵d 1() d 2( ) d r() 0 0 最后化成的这个矩阵称为 A()的标准形。

例求 -矩阵1 A()2 的标准型. 解1A()0 11+ 2 2 2 2122 2 0 0210 0 0 02即为所求的标准型.二、矩阵最小多项式定义3：设AM n (K)是一个矩阵，假如多项式f( ) a0 ma1m1a m1a m使得：f(A) a 0A ma 1A m1a m1A a mE n则称f()是A 的零化多项式。

A 的次数最小的首一零化多项式称为A 的极小多项式（minimalpolymial ）,记为m A ( )。

引理2：m A ()整除A 的任意零化多项式。

特其余m A ()|f A ()。

证明设f( )是 A 的任一零花多项式，则f(A)。

由带余除法定理可知f( ) m A ( )q( ) r( )，r() 0或(r()) 0(m A ( ))。

由r(A)0及(m A ())的最小性知r()0m A ()|f A ()引理3：m A ()的根必是 f A ( )的根。

证明 若A 有特色根0不是m A ()的根，则(0,mA ( ))1。

存在u(),v()C[]使得u()( 0)v()m A ()1u(A)(A0I m )I n ，取行列式知det(A 0I m )0与是A 的特色根矛盾。

由引理1、2知m A ()与f A ()有相同的根。

引理4相似矩阵有相同的最小多项式，反之不真。

例1 设0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 A0 0 1 B0 0 0 0 00 0 0 00 0 0 0m A ( )m B ()2，但A 、B 不相似。

引理5设A 为n 阶方阵且 A 相似于BB 1 B 20 B 3此中B 1、B 3为方阵，则[mB 1( ),mB 2( )]|m B ()特其余由引理3知当B 20时m A ()m B ()[mB 1(),mB 2()]。

定理3 设AM n (C)r1r 2gggr isf A ()((2) i), rin1)(i 1则m A ( )(1)t 1(2)t2ggg(i )t i，此中1t i r i ,1is.由引理1、2即得结论。

例2设3 1 0A0 2 0 ，求m A () 11 2解f A ()(3)( 2)2，m A ()只好是下两个多项式之一，即m 1()(3)( 2)，m2()(3)(2)2 将A带入m1()得m 1()0，故m A ()(3)(2)。

定理4m A ( )fA (A),D n1()为 IA 的n-1阶行列式因子。

D n 1() 可依据以下方法求出 D n1( )。

因为(f A ( )f A (u)), 记 r( ,u) f A ( )f A (u) 故uf A () f A (u) ( u)r(,u)，分别以I 与A代和ui得f A ()I( IA)r( I,u)得r( I A)( I A *)（A *表示A 的陪伴矩阵。

而D n1)恰为( IA *)的所有元素的首一最大公因式故用上述方法可求(A 的最小多项式）。

例4设3 3 2 A1 52 求m A ()。

1 3解f A () ( 2)2( 4)r(,u)f A ()f A (u)u 2 u(8)2 820u2 563 62 4(IA *)A 2 A(8) (2 820)I2 2 32 242 3628 12明显( IA *)中所有元素首一最大公因式 D n1()2m A ( )f A (A) 2)(4)D 2(()谈论、练习与作业课后反思讲课内容教课时数教课目标教课要点教课难点教课方法与手段教学过程第三讲不变因子2讲课种类解说、互动经过2学时的解说，使学生基本掌握线性变换的矩阵表示方法和本源，了解矩阵和线性变换的这类等价关系，掌握不变因子的求法。

λ－矩阵的标准型和不变因子λ－矩阵不变因子的求法课堂解说、练习一、矩阵表示设V和W都是数域F上的有限维向量空间，dimV=n，dimW=m，σ∈Hom(V，W)．σ完整被它在V的一个基上的作用所决定．所以在V中取一个基1,,n；同时，在W中取一个基1,,m，则( 1), ,(n) 由1,2,,m线性表示为(1)a111a212a m1m(n)a1n1a2n 2amnm．(1)将此写成矩阵形式，并令σ(1,2, ,n)=( (1), (2), , ( n))，则得a11a1n(1,,n)(1, ,m)a21a2nam1amn，(2)此中矩阵A=(a ij)mn F mn，叫做线性映照σ在V的基{ j}和W的基{i}下的矩阵．在V、W中分别取定一个基{j}、{ i}此后，关于V到W的每一个线性映照σ，有独一确立的m×n矩阵A与它对应．所以，这个对应给出了Hom(V，j}和基{i} W)到F mn的一个映照．设∈Hom(V，W)，则()=B 是在基{下的矩阵．若 B=A ，则 ( j ) ( j )，j 1, ,n ．由命题，有 =．这表示 是单射．任给 C ∈F mn，W 中以C 的第j 列作为在基{ i}下的坐标的向 量记作 j ， j 1, ,n ．存在 V 到W 的一个线性映照，使得 ( j )=j ，j1,,n ．从而(1,,n )=(1,,n )=(1,, m)C ．于是，C 是在基{j}和基{ i}下的矩阵．所以 ( )=C ．这表示 是满射．故是Hom(V,W)到F mxn 的一个双射．进一步，我们来证明定理 1 设V和W都是数域 F 上有限维向量空间,此中 dimV=n,dimW=m ．在V 中取一个基1,,n，在W 中取一个基1,,m ．则V到W 的每一个线性映照与它在基 { j}和基{i}下的矩阵的对应是向量空间Hom(V ，W)到F mn 的同构映照，记作 Hom(V ，W)Fmn．证前面已证是到Hom(V ，W)到F mn 的双射．此刻来证明保持加法与 纯量乘法运算．任取,∈Hom(V ，W)，设()=A,()=B ，即(1, ,n )(1, ,m )A ，(1,, n)(1,,m)B ，则( )(1,,n )(()(1),,()(n ))((1), ,(n )) ((1), ,(n ))(1,, m )A(1, , m )B(1, , m )(AB)．(3)这表示 + 在基{ j}和基{i}下的矩阵是A ＋B ．所以(+)=A ＋B=( )+ ( )．近似可证 (k ) kA k ( )，此中k ∈F ．所以，是Hom(V ，W)到Fmn的同构映照． 再注意到定理 ，则有推论设dimV=n ，dimW=m ，则Hom(V ，W)是有限维的，而且dimHom(V ，W)=dimV ·dimW ．(4)当知道V 到W 的线性映照在基{j}和基{i }下的矩阵A 以后，V 中任一直量α在下的象很简单求出，即有命题设1, ,n是V 的一个基，1, ,m是W 的一个基，∈Hom(V ，W)，且在基{ j}和基{ i}下的矩阵为A．又αx1∈V，设α在基{ j }下的坐标为，则( )在基{i}下的坐x nx1标为A ．x n证我们有() x1(1) x n(n)x1 x1 x1(1, ,n) ((1, ,m)A)x n (1，，m)A ．x n x nx1所以，A 是( )在基1, , m下的坐标．xn推论设V到W的线性映照在基{ j}和基{i}下的矩x1阵为A，V中任一直量α在基{ j}下的坐标为X= ，W中向量x ny1在基{ i}下的坐标为Y= ，则( ) AX Y．y n此刻我们来谈论n维向量空间V上的线性变换与矩阵的关系．设∈EndV，我们把上边关于线性映照与矩阵的关系运用到V上的线性变换中．这时，只要在V中取定一个基1,,n ，把基向量j在下的象(j)依旧用这个基线性表出，即a11 a1n(1, ,n) ( 1, ,n) a21a2n ，(5) an1ann右端的n阶矩阵A=(a ij)nn叫做线性变换在基1, ,n下的矩阵．定理2 设V是数域F上n维向量空间，在V中取定一个基1,n，则V上的每一个线性变换与它在基1, ,n下的矩阵的对应是向量空间EndV到Mn(F)的同构映照，也是环EndV到Mn(F)的同构映照．证后半部分中是双射，保持加法也已证明，剩下只要证保持乘法．设线性变换，在基 1,, n 下的矩阵分别是 A ，B ，则(1, , n ) (1, ,n )A ，(1, , n )(1, , n )B ．因为( )(1,n ( b i1i 1 ( (1),n )i , ,, ((( 1,, n ))nnb i n i )(bi1i1i 1n ))B((1,,((1, ,n )B)n ( i ),,b in (i ))i1 n )A)B (1,, n )(AB)．所以 在基 1,,n 下的矩阵是AB ．于是 ()AB()()．从而也是环EndV 到Mn(F)的同构映照． 由此进一步获得推论设数域F 上n 维向量空间V 的一个线性变换 在V 的一个取定的基下的矩阵是A ．则可逆的充分且必需条件是 A 可逆，而且其逆变换1在这个基下的矩阵就是 A1．证设可逆．令1关于所取定的基的矩阵是B ，则AB(1)(1)I n ．同理BA=In ．所以B=A －1．V反过来，设 A ，而A 可逆，则有EndV 使A1．于是I nAA 1()，从而易见1V ．同理可证 1V ．所以可逆，且1．命题设V 是数域F 上n 维向量空间，∈EndV ．若 在V 的基1,,n下的矩阵为A ，α∈V在基1,n下的坐标为 X ，则()在基1, , n 下的坐标为AX ．二、不变因子此刻来证明， -矩阵的标准形是独一的。