土-水特征曲线的分形特性及其分析拟合
土壤水分特征曲线拟合retc
土壤水分特征曲线拟合（RETC）简介土壤水分特征曲线（Retc）是描述土壤中含水量与土壤势力之间关系的一种曲线，也被称为土壤水分保持曲线。
该曲线可以帮助我们理解和预测土壤中的水分变化情况，对农业、生态学和环境科学等领域具有重要意义。
本文将介绍土壤水分特征曲线的概念、拟合方法以及应用，并提供一些实际案例进行说明。
土壤水分特征曲线的概念土壤中的水分是指在其中存在的液态和固态水分。
液态水分主要存在于毛管孔隙中，而固态水分则通过吸附力与颗粒表面结合。
土壤中的含水量与势力之间存在着一定关系，而这种关系可以用土壤水分特征曲线来描述。
土壤水分特征曲线通常以土壤含水量（单位体积中所含的液态和固态水量）为横轴，以势力（单位重力下所需施加的负压）为纵轴。
在干燥状态下，土壤势力较大，而含水量较低；而在湿润状态下，土壤势力较小，含水量较高。
因此，土壤水分特征曲线呈现出一个递增的趋势。
土壤水分特征曲线的拟合方法为了得到土壤水分特征曲线，我们需要进行一系列实验，并利用拟合方法将实验数据转化为曲线方程。
实验步骤1.收集不同土壤样品，并将其分别放入不同容器中。
2.对每个容器中的土壤样品施加一系列不同的负压。
3.测量每个负压下的土壤含水量。
4.将实验数据整理并记录下来。
拟合方法常用的拟合方法有以下几种：1.简化拟合法：假设土壤含水量与势力之间存在着线性关系，通过最小二乘法拟合直线方程。
2.van Genuchten模型：该模型基于统计学原理，将土壤水分特征曲线表示为一个S形函数。
通过调整模型参数，可以使其与实际数据相匹配。
3.Brooks-Corey模型：该模型是van Genuchten模型的一个简化形式，适用于较干燥的土壤环境。
选择合适的拟合方法需要考虑实际情况和数据特点，以及所需的精度和可操作性。
土壤水分特征曲线的应用土壤水分特征曲线在农业、生态学和环境科学等领域具有广泛的应用价值。
农业领域在农业生产中，了解土壤水分特征曲线可以帮助我们优化灌溉管理，提高水资源利用效率。
不同粒径下土壤水分特征曲线的测定与拟合模型的研究
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第 １ ０卷
第 ３ 期
中 国 科 技 论 文
ＣＨＩ ＮＡ Ｓ ＣＩ ＥＮＣＥＰＡＰＥＲ
２ ０ １ ５年 ２月
Ｖｏ １ ． １ Ｏ Ｎｏ ． ３ Ｆｅ ｂ ．２ ０ １ ５
不 同 粒 径 下 土 壤 水 分 特 征 曲线 的 测 定 与 拟 合 模 型 的 研 究
赵 雅 琼 ， 王 周锋 ， 王 文科 ， 陈 立 ， 张在 勇
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两种方法对土壤水分特征曲线的拟合及比较
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造蚤葬灶早皂藻灶早愿愿原员圆岳员远猿援糟燥皂曰通讯作者袁李春光渊员怨远源原冤袁男袁教授袁博士袁主要从事计算机数学和流体力学研究袁渊电子信箱冤
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第1期
梁晨璟等院两种方法对土壤水分特征曲线的拟合及比较
57
样品编号
1 2 3 4
采样地点
双渠口村 望远三队 大武口区
平罗县
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土壤 水分特征曲线
土壤水分特征曲线土壤水分特征曲线，即土壤水的基质势（或土壤水吸力）随土壤含水量而变化，是描述土壤水状态的重要工具。
在农业科学、环境科学、土壤物理学以及水利工程等多个领域，它都发挥着至关重要的作用。
本文将深入探讨土壤水分特征曲线的内涵、测定方法、影响因素以及实际应用。
一、土壤水分特征曲线的基本概念土壤水分特征曲线反映了土壤水的能量状态和数量之间的关系。
通常，土壤水的基质势随土壤含水量的增加而降低，二者呈负相关。
当土壤含水量很高时，土壤颗粒表面的水膜较厚，土壤水吸力较低，基质势较高；而随着土壤水分的蒸发和植物吸收，土壤含水量逐渐降低，土壤颗粒表面对水分的吸附力增强，土壤水吸力增大，基质势降低。
二、土壤水分特征曲线的测定方法实验室内测定土壤水分特征曲线的方法主要有压力膜法、离心机法、砂性漏斗法、张力计法等。
其中，压力膜法和离心机法是最常用的两种方法。
1. 压力膜法：通过在封闭的压力室内对土壤样品施加一系列递增的压力，迫使土壤水分在不同的基质势下排出，从而得到土壤水分特征曲线。
2. 离心机法：将土壤样品置于特制的离心管中，通过离心作用产生的离心力使土壤水分排出。
通过改变离心机的转速，可以得到不同基质势下的土壤含水量。
三、影响土壤水分特征曲线的因素土壤水分特征曲线受多种因素影响，主要包括土壤类型、土壤结构、土壤有机质含量、土壤盐分等。
1. 土壤类型：不同土壤类型的土壤颗粒组成、孔径分布等物理性质不同，导致土壤水分特征曲线存在显著差异。
例如，砂土的土壤颗粒较粗，孔径较大，对水分的吸附力较弱，其土壤水分特征曲线较陡；而黏土的土壤颗粒较细，孔径较小，对水分的吸附力较强，其土壤水分特征曲线较平缓。
2. 土壤结构：土壤结构是指土壤颗粒的排列方式和孔隙状况。
良好的土壤结构有利于水分在土壤中的运动和储存。
土壤团聚体的形成和稳定性对土壤水分特征曲线有重要影响。
团聚体含量高的土壤通常具有较好的持水能力和水分传导性能。
3. 土壤有机质含量：有机质是土壤中的重要组成部分，对土壤水分特征曲线具有显著影响。
《2024年非饱和风积沙路基土土-水特征曲线试验研究与模型修正》范文
《非饱和风积沙路基土土-水特征曲线试验研究与模型修正》篇一一、引言非饱和风积沙路基的土-水特征曲线是评估路基稳定性和变形特性的重要参数。
它关系到风积沙的物理性质，尤其是含水量和孔隙压力的相互作用，是预测土壤中水分的分布、移动及在土体中产生变形和稳定性的关键。
本文将详细探讨非饱和风积沙路基土土-水特征曲线的试验研究及其模型修正，旨在提高我们对这一特性的理解和预测能力。
二、非饱和风积沙路基土土-水特征曲线试验研究（一）试验方法本研究采用了先进的非饱和土壤土-水特征曲线试验方法，对非饱和风积沙路基土进行了详细研究。
我们选取了多个不同的风积沙样品，对其在不同含水量和压力条件下的物理特性进行了全面测量。
（二）试验结果试验结果显示，非饱和风积沙路基土的土-水特征曲线呈现出明显的非线性特性，含水量与压力之间存在复杂的相互作用关系。
随着压力的增加，含水量逐渐降低；而随着压力的降低，含水量逐渐上升。
这表明非饱和风积沙的土-水特征具有明显的依赖性。
三、模型修正（一）模型选择本研究选用了几种常用的土-水特征曲线模型进行对比分析，包括Fredlund-Xing模型、Van Genuchten模型等。
这些模型在描述非饱和土壤的土-水特征方面具有广泛的应用和良好的预测能力。
（二）模型修正与验证我们针对所选模型进行了修正，以更好地描述非饱和风积沙路基土的土-水特征。
通过对模型参数进行优化调整，我们得到了更符合实际试验结果的模型参数。
同时，我们还对修正后的模型进行了验证，结果表明修正后的模型能够更准确地预测非饱和风积沙路基土的土-水特征。
四、结论本文通过对非饱和风积沙路基土的土-水特征曲线进行试验研究，并对其所采用的模型进行修正，得出以下结论：1. 非饱和风积沙路基土的土-水特征曲线具有明显的非线性特性，含水量与压力之间存在复杂的相互作用关系。
2. 通过对模型的修正，我们得到了更符合实际试验结果的模型参数，提高了模型的预测能力。
土壤水分特征曲线测定实验
土壤水分特征曲线测定实验实验原理张力计插入土样后，张力计中的纯自由水经过陶土壁与土壤水建立了水力联系。
在非饱和土壤中，仪器中的自由水的势值总是高于土壤水的势值，因此，仪器中的自由水就会透过陶土管进入土壤，但因陶土材料孔隙细小，孔隙中形成的水膜不能使空气通过，而只能让水或溶质液通过（但如果压力过高水膜破裂，空气就会透过，这时的压力称为透气值），因而在仪器内形成一定的真空度，由仪器上的负压表读出。
最后当仪器内外的势值趋于平衡时，仪器中水的总水势Φwd与土壤中土水势Φws应该相等，即：Φwd＝Φws土水势的完整表述为：Φ=Φm+Φp+Φs+Φg+ΦT因为陶土管为多孔透水材料，并非半透膜，故溶质也能通过，最后达到内外溶液浓度相等，内外溶质势Φs相等。
仪器内外温度相等，温度势ΦT相等。
坐标0点选在陶土头中心，则陶土头中心的内外重力势Φg相等。
这样仪器中和土壤中的总势平衡可表述为：Φm d＋Φpd＝Φm s＋Φps式中，Φps为土壤水的压力势，Φm s为土壤水的基质势，Φpd为仪器内自由水的压力势，Φm d为仪器内自由水的基质势。
在非饱和土壤中，土壤水所受的压力为大气压（基准状态），故Φps应为零，又仪器中自由水无基质势存在，故Φm d亦为零，所以：Φm s＝Φpd＝ΔP D+z式中，ΔP D为负压表显示的负压值（小于0），z为埋藏在土中的陶土管中心与土面以上负压表之间的静水压力即水柱高，（向上为正，大于0）。
即可得到土壤水的基质势。
按定义土壤水吸力为基质势的负值，因而即可测得吸力值。
S=－Φm s＝－ΔP D－z如果负压表读数记为P（大于0，即P＝－ΔP D），则S=P－z另外，在计算土样中水分的变化时，还应考虑集气管中水分的变化量。
实验内容与设计1. 土样：粘土、砂壤土2. 容重：1.3g/cm3 、1.4g/cm33. 方式：脱湿：配置饱和土样，在室内自然蒸发，测定整个过程中土壤含水率与吸力关系曲线。
两种方法对土壤水分特征曲线的拟合及比较
两种方法对土壤水分特征曲线的拟合及比较作者：梁晨璟，李春光，赵文娟来源：《湖北农业科学》 2014年第1期梁晨璟１，李春光２，赵文娟１（１．宁夏大学土木与水利工程学院，银川７５００２１；２．北方民族大学数值计算与工程应用研究所，银川７５００２１）摘要：土壤水分特征曲线是土壤水吸力与含水率之间的关系曲线。
此次试验利用压力膜仪测定银川北部盐渍土的土壤水吸力和含水率。
对土壤水分特征曲线的Ｖａｎ－Ｇｅｎｕｃｈｔｅｎ模型采用Ｍａｔｌａｂ软件和ＭｉｃｒｏｓｏｆｔＥｘｃｅｌ软件进行拟合。
经过比较和分析后发现，用ＭｉｃｒｏｓｏｆｔＥｘｃｅｌ软件与Ｍａｔｌａｂ软件拟合土壤水分特征曲线精度近似相同，但是ＭｉｃｒｏｓｏｆｔＥｘｃｅｌ软件对于不懂任何编程语言的人来说操作更为简便。
关键词：土壤水分特征曲线；Ｖａｎ-Ｇｅｎｕｃｈｔｅｎ模型；拟合方法；比较中图分类号：Ｓ１５２．７＋１文献标识码：Ａ文章编号：0439－８114（２０14）01－0056-03ＣｏｍｐａｒａｔｉｖｅＡｎａｌｙｓｉｓｏｆＴｗｏＭｅｔｈｏｄｓＦｉｔｔｉｎｇＳｏｉｌＭｏｉｓｔｕｒｅＣｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃＣｕｒｖｅＬIANG Ｃｈｅｎ-ｊｉｎｇ１，ＬI Ｃｈｕｎ-ｇｕａｎｇ２，ＺHAO Ｗｅｎ-ｊｕａｎ１（１．ＣｉｖｉｌＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇａｎｄＷａｔｅｒＣｏｎｓｅｒｖａｎｃｙ，ＮｉｎｇｘｉａＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｙｉｎｃｈｕａｎ７５００２１，Ｃｈｉｎａ；２．ＩｎｓｔｉｔｕｔｅｏｆＮｕｍｅｒｉｃａｌＣｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｎｄＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇＡｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ，ＢｅｉｆａｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＮａｔｉｏｎａｌｉｔｉｅｓ，Ｙｉｎｃｈｕａｎ７５００２１，Ｃｈｉｎａ）Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｓｏｉｌｍｏｉｓｔｕｒｅｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｃｕｒｖｅ describes ｔｈｅｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐｂｅｔｗｅｅｎｗａｔｅｒｓｕｃｔｉｏｎａｎｄｍｏｉｓｔｕｒｅｃｏｎｔｅｎｔｉｎｓｏｉｌ．ＴｈｉｓｐａｐｅｒｉｓａｉｍｅｄｔｏｍｅａｓｕｒｅｔｈｅｓｕｃｔｉｏｎａｎｄｍｏｉｓｔｕｒｅｃｏｎｔｅｎｔｂｙｕｓｉｎｇｐｒｅｓｓｕｒｅｍｅｍｂｒａｎｅａｎａｌｙｚｅｒｉｎｔｈｅｎｏｒｔｈｅｒｎａｒｅａｏｆＹｉｎＣｈｕａｎｓａｌｉｎｅｓｏｉｌ．Ｖａｎ－Ｇｅｎｕｃｈｔｅｎｍｏｄｅｌｉｓ used ｔｏｆｉｔｓｏｉｌｍｏｉｓｔｕｒｅｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｃｕｒｖｅｕｓｅｂｙＭａｔｌａｂａｎｄＭｉｃｒｏｓｏｆｔＥｘｃｅｌ．Ｂｙｃｏｍｐａｒative ａｎａｌｙｓｉｓ，ｉｔ waｓｆｏｕｎｄｔｈａｔｉｔｈａd ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｅｌｙｔｈｅｓａｍｅａｃｃｕｒａｃｙｏｆｔｈｅｓｏｉｌｍｏｉｓｔｕｒｅｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｃｕｒｖｅｆｉｔｔｅｄｂｙｕｓｉｎｇＭｉｃｒｏｓｏｆｔＥｘｃｅｌａｎｄＭａｔｌａｂｓｏｆｔｗａｒｅ．Ｂｕｔｉｔｉｓｍｏｒｅｓｉｍｐｌｅａｎｄｃｏｎｖｅｎｉｅｎｔｆｏｒｐｅｏｐｌｅｎｏｔｋｎｏｗing ａｎｙｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇｌａｎｇｕａｇｅｂｙｕｓｉｎｇＭｉｃｒｏｓｏｆｔＥｘｃｅｌｓｏｆｔｗａｒｅ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｓｏｉｌｍｏｉｓｔｕｒｅｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｃｕｒｖｅ；Ｖａｎ-Ｇｅｎｕｃｈｔｅｎｍｏｄｅｌ；ｆｉｔｔｉｎｇｍｅｔｈｏｄ；ｃｏｍｐａｒｉｓｏｎ土壤水分特征曲线是土壤水的基质势或土壤水吸力随土壤含水率变化的关系曲线，是研究土壤水分的保持和运动所用到的反映土壤水分基本特征的曲线。
双峰土-水特征曲线分形模型及其在孔隙分类中的应用
双峰土-水特征曲线分形模型及其在孔隙分类中的应用The theme I am focusing on is the "Dual-fractal model of soil-water characteristic curves and its application in pore classification."双峰土-水特征曲线分形模型及其在孔隙分类中的应用Introduction:引言：Understanding the behavior of soil-water characteristic curves (SWCC) is crucial for various engineering applications such as slope stability analysis, groundwater management, and geotechnical design. Traditional models, such as the van Genuchten model, have limitations in accurately representing complex soil-water interactions and fail to capture dual-peaked SWCCs commonly observed in nature. Therefore, the development of a dual-fractal model provides an innovative approach to describe soil-water relationships more precisely.了解土-水特征曲线（SWCC）的行为对于各种工程应用非常重要，如边坡稳定性分析、地下水管理和岩土工程设计。
传统模型，如van Genuchten模型，在准确描述复杂的土壤-水相互作用和捕捉自然界中常见的双峰SWCC方面存在局限性。
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摘 要：为了建立一种参数有明确物理意义的土-水特征曲线拟合方法，基于分形理论，给出了一种直接通过土-水特征曲线 实测数据求解分维数的计算方法，建议了一种土-水特征曲线拟合分析的分形模型。为验证所建议拟合方法的合理性，采用 液压千斤顶制作了 7 个不同干密度黏性土试样，利用压力板仪测量了土-水特征曲线。基于土-水特征曲线实测值计算了分维 数，在此基础之上对土-水特征曲线实测数据进行分析拟合。结果表明：分维数计算及拟合分析时，7 个试样相关系数都集 中在 0.97～0.99 之间，从而证明了土-水特征曲线具有良好的分形特性，建议的拟合方法效果较好。此外，研究发现，分维 数、进气值随干密度几乎呈线性增加，据此建议了一种不同压实度下的土-水特征曲线预测方法，其预测结果与实测值吻合 较好。 关 键 词：土-水特征曲线；拟合分析；分形维数；分形模型 中图分类号：TU 411 文献标识码：A
Abstract: In order to establish a fitting approach for soil-water characteristic curves (SWCC) with clear physical meanings, a method is presented to directly calculate the fractal dimensions through the SWCC data based on the fractal theory, and a fractal model of SWCC is proposed. To verify the proposed fitting method, seven clay samples with different dry densities are prepared using hydraulic jacks, and the soil-water characteristic curves are measured by using the pressure plate apparatus. Based on the experimental results of SWCC, the fractal dimensions are calculated. On this basis, fitting analysis of the SWCC data is performed by using the presented method. The results show that, all the correlation coefficients of the seven samples range from 0.97 to 0.99, which indicates good fractal characteristics of SWCC as well as good fitting performance of the proposed method. In addition, it is found that the fractal dimensions and the air entry values increase almost linearly with the dry density. On this basis, a prediction method of SWCC at different compaction degrees is also proposed and tested. The prediction results are in good agreement with the measured values. Key words: soil-water characteristic curve; fitting analysis; fractal dimension; fractal model
1
引
言
多学者关注的问题。 研究表明， 土-水特征曲线本质 主要由土壤结构所决定， 土壤结构与土-水特征曲线 关系的研究有望解决这一问题。分形方法所确定的 土-水特征曲线中的参数与土壤结构性质直接联系 起来，具有明确的物理意义，是较为理想的方法。该 类方法采用分形理论研究土体颗粒[1 4]、团聚体[5 6]、 孔隙[7 12]的分布特性， 然后通过土壤结构与土-水特 征曲线之间的关系建立土-水特征曲线数学模型。 迄今为止，这种方法取得了一些可喜的成果，已成 为土-水特征曲线研究的重要分支。
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岩
土
力
学
2014 年
基于分形理论的研究关键工作之一就是求解 分形维数。孔隙分维数一般以测量技术获得的孔隙 分布数据为基础进行计算。值得指出的是，尽管直 接测量孔隙分布的技术手段很多，但从测量精度来 讲，这些技术并非完全令人满意。比如，扫描电子 显微镜 （SEM） 技术就存在图像处理时产生的误差， 同一张照片不同人处理结果可能不同，此外，试样 准备阶段也可能造成孔隙结构失真；压汞技术也存 在缺点，试样之前要冷冻处理，孔隙结构可能受到 影响，试验时汞可能对孔隙结构造成破坏；CT 技 术虽然无损伤，但其分辨率较低；核磁共振技术是 另外一种无损伤测试手段，但弛豫时间与孔径的对 应关系很难求得， 且不同孔径转化系数可能不一样； 土壤切片技术仅适合大孔隙的研究，且试样固化时 孔隙结构可能发生改变，此外，同样存在图像处理 产生的误差。可见，孔隙分布的直接测量结果存在 一定误差，以此为基础求解的分维数的准确性必定 受到影响。 土-水特征曲线试验数据给出水的体积可以理 解为孔隙的体积，而基质吸力与等效孔径成反比， 土-水特征曲线本质上反映了孔隙分布的规律。 本文 尝试直接通过土-水特征曲线试验数据求解反映孔 隙体积-孔径分布特性的分维数，然后基于建议的 土-水特征曲线模型，对不同压实度黏性土土-水特 征曲线试验数据进行拟合，期望形成参数具有明确 物理意义的一种拟合方法。
(1. State Key Laboratory of Geomechanics and Geotechnical Engineering, Institute of Rock and Soil Mechanics, Chinese Academy of Sciences, Wuhan 430071, China; 2. School of Civil Engineering and Architecture, Hubei University of Technology, Wuhan 430068, China)
Fractal characteristics and fitting analysis of soil-water characteristic curves
TAO Gao-liang1, 2, KONG Ling-wei1, XIAO Heng-lin2, MA Qiang2, ZHU Zhi-zheng2
( r ) 1 ( r / rmax )3 D
（7）
（1）
式中： ( r ) 为孔径大于 r 的孔隙累计孔隙率。 假设非饱和土中孔径小于等于 r 的孔隙充满了 水，其体积含水率为 ，总孔隙率为 ，那么有 ( r ) 。结合式（7） ，有
式中： V ( r ) 为孔径大于 r 的孔隙累计体积； Va 为 土体总体积； L2 为研究区域尺度；D 为分维数。 基质吸力 与有效孔径 r 之间的关系可以表示 为[14]
假设水的密度 w = 1 g/cm3 不变， 若考虑相应于 1g 颗粒的土体，则有质量含水率 w = V(≤r)，其中 V(≤r)为孔径小于等于 r 的孔隙累计体积，此处假 设孔径小于等于 r 的孔隙充满水。 用 Vs 表示颗粒体 积，d 表示干密度，Gs 表示土粒相对密度， 则式 （3） 变为
－ － －
土-水特征曲线表征的是基质吸力与含水率 （体 积含水率、饱和度、质量含水率）之间的关系，它 在非饱和土工程性质研究中扮演着很重要的角色。 土-水特征曲线试验测量获得的试验数据较离 散，一般通过数学模型进行拟合。常用的数学模型 有 Campbell 模型、van Genuchten 模型等，但这些 模型中的参数物理意义不明确，且难以准确获得。 因此，寻求具有明确物理意义参数的数学模型是很
第9期
陶高梁等：土-水特征曲线的分形特性及其分析拟合
2445
水率表征的土-水特征曲线模型可表示为
w (1 e) a / Gs
3 D
3.1.2 试验仪器及过程 试验在中国科学院武汉岩土力学研究所完成， （10） 试验所采用的压力板仪如图 2 所示。试验步骤如下： ①将不同干密度试样及试验所采用的陶土板进行饱 和；②将陶土板放置于压力器中，连接好排水管； ③将压力器盖盖好，施加预定气压；④称量试样排 出水的质量，若出水质量恒定，表明该级吸力条件 已经平衡；⑤气压调零，称量各试样质量；⑥重复 以上步骤，直至完成试验。
Va V ( r ) Vs V (≤r ) 1 / Gs w A D 3 （4） Va Va 1 / d
式（4）进一步化简得
1 / Gs w B D 3
（5）
式中： B A / d ，为常数。式（5）两边同时取对 数，变为
ln(1 / Gs w) (3 D)ln ln B
1 ( r / rmax )3 D
（8）Βιβλιοθήκη 2Ts cos / r
（2）
结合 Young-Laplace 方程，则式（8）可变为
式中： Ts 为表面张力； 为接触角；温度一定时，
2Ts cos 为常数。将式（2）代入式（1）消除 r 后，
1 ( a / ) 3 D
2
2.1
理论推导
基于土-水特征曲线直接求解分维数
文献[13]给出的三维空间内孔隙体积的分形模 型可以用下式表示：