求极限的常用方法
摘要 极限思想是大学课程中微积分部分的基本原理，这显示出极限在高等数学中的重要地位。同时，极限的计算本身也是一个重要内容。 关键词 极限；计算方法
初等数学的研究对象基本上是不变的量，而高等数学的研究对象则是变动的量。极限方法就是研究变量的一种基本方法。极限分为数列的极限和函数的极限，下文研究的是函数的极限，这些方法对于数列的极限同样适用。
1．直接代入数值求极限
例1 求极限1
lim(21)
x x →-
解 1lim(21)2111x x →-=?-=
2．约去不能代入的零因子求极限
例2 求极限11
lim
41--→x x x
解 4221111(1)(1)(1)lim lim lim(1)(1)4
11x x x x x x x x x x x →→→--++==++=-- 3．分子分母同除最高次幂求极限
例3 求极限13lim 3
2
3+-∞→x x x x
解
3131lim 13lim 3
11323=+-=+-∞→∞→x x
x x x x x
注：一般地，分子分母同除x 的最高次幂有如下规律
???????
=<∞>=++++++----∞→n
m b a n m n m b x b x b a x a x a n
n
m m m m n n n n x 0lim 01101
1
4．分子(母)有理化求极限 例4 求极限)
13(lim 22+-++∞
→x x x
解
1
3)
13)(13(lim
)13(lim 2222222
2
+++++++-+=+-++∞
→+∞
→x x x x x x x x x x
1
32lim
2
2
=+++=+∞
→x x x
例5
求极限
x →
解
01)2x x x →→→===
5．应用两个重要极限的公式求极限
两个重要极限是1sin lim
0=→x x
x 和1lim(1)x x e
x →∞+=，下面只介绍第二个公式的例子。
例6 求极限
x
x x x ???
??-++∞→11lim 解 22
21212112111lim 121lim 11lim e
x x x x x x x x
x x
x =????????????? ??-+???? ??+=??? ??-+=??? ??-+--+∞→+∞→+∞→
6．用等价无穷小量的代换求极限
这可以称之为求极限最简便的方法。常见的等价无穷小有：
当0→x 时, sin ~x x ，tan ~x x ，arcsin ~x x ，arctan ~x x ,
2
11cos ~
2x x -,
ln(1)~x x +,1~x e x -
1~x n
例7 求极限0
ln(1)lim
1cos x x x x →+-
解
02ln(1)lim
lim 211cos 2x x x x x x
x x
→→+?==-.
7．用洛必达法则求极限
00或∞∞
型的极限,可通过洛必达法则来求。 例8 求极限220)sin 1ln(2cos ln lim
x x x x +-→
解 220)sin 1ln(2cos ln lim x x x x +-→x x x
x x x 2sin 12sin 2cos 2sin 2lim 20+--=→
3sin 11
2cos 222sin lim
2
0-=???
??+--=→x x x x x
8．用换底公式ln b b a
a e =求极限
例9 极限0
lim(sin )x
x x +
→
解
22002
00cos ln sin sin lim lim
cos cos 1
1lim
lim
ln sin sin 0
lim(sin )lim 1
x x x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x e e e e
e
++
→→++→→++
---→→======
以上这些求极限的方法是最基本的方法，而计算中经常会遇到需要两种甚至更多种方法
的综合运用（上面的例子中就有不少这种情况），所以掌握这些方法是求极限的关键。
参考文献
[1]同济大学数学系.《高等数学》（上册）·第六版[M].高等数学出版社,2010年. [2]华东师大数学系.《数学分析》（上、下册）[M].高等教育出版社,2001年.
[3]张再云,陈湘栋,丁卫平,涂建斌.极限计算的方法与技巧[J].湖南理工学院学 报(自然科学版), 2009年6月第22卷第2期.
[4]李国华.函数极限的几种求法[J].高师理科学刊,第31卷.