分数阶微积分算子的逼近方法及其应用

摘要 .............................................................. 1 ABSTRACT ............................................................... II

第1章绪论 (1)

1.1 分数阶微积分概述 (1)

1.2 分数阶微积分的应用现状及其意义 (2)

1.2.1 分数阶微积分算子近似方法的研究现状及其意义 (2)

1.2.2 分数阶微积分相关物理器件、电路研究现状及其意义 (2)

1.2.3 分数阶μλD PI 控制器的研究现状及其意义 (4)

1.3 论文的主要研究内容及章节安排 (4)

第2章分数阶微积分理论 (6)

2.1 分数阶微积分研究背景 (6)

2.2 分数阶微积分定义 (6)

2.3 分数阶微积分的性质 (7)

2.4 分数阶微积分域的变换 (7)

2.4.1 分数阶微积分的Laplace 变换 (7)

2.4.2 分数阶微积分的Fourier 变换 (8)

2.5 本章小结 (8)

第3章分数阶微积分算子的离散化近似方法 (9)

3.1 直接离散化方法 (9)

3.1.1 生成函数 (9)

3.1.2 连分式展开法 (9)

3.1.3 三种生成函数+连分式法 (10)

3.2 Oustaloup 间接离散化方法 (11)

3.3 本章小结 (12)

第4章 s 域连乘积式有理函数的分数阶微积分逼近算法及仿真分析 (13)

4.1 s 域连乘积式有理函数的分数阶微积分逼近方法 (13)

4.1.1 交接频率的计算 (14)

4.1.2 系数A 的计算 (15)

4.2 与其它逼近方法的性能比较 (16)

4.3 有理函数的不同阶次以及不同逼近区间下的性能比较 (18)

4.3 相同阶次N 以及不同积分算子下的逼近性能 (19)

4.4 本章小结 (21)

第5章分数阶微积分电路设计 (22)

5.1 分抗元件 (22)

5.1.1 分抗元件的时域响应曲线 (23)

5.1.2 分数阶低通与分数阶高通电路 (25)

5.2 已有的模拟分抗电路方案 (26)

5.2.1 树状结构1/2 阶分抗 (26)

5.2.2 链状分抗 (27)

5.2.3 网状分抗电路 (28)

5.2.4 梯形分抗元件 (28)

5.3 基于连乘积式有理函数的分抗元件设计 (29)

5.4 基于连乘积式有理函数的分数阶微积分器设计 (32)

5.5 本章小结 (38)

第6章数字μ

λD PI 控制器的设计 (39)

6.1 基于直接离散化方法的μλD PI 控制器设计 ........................... 40 6.2 基于间接离散化方法的分数阶μλD PI 控制器的设计 . (41)

6.3 基于向量法的分数阶λPI 控制器参数整定 (43)

6.3.1 增益鲁棒分数阶控制器参数整定规则向量模型 (45)

6.3.2 参数求解算法 (46)

6.3.3 参数求解过程 (47)

6.3.4 基于向量法的λPI 控制器唯一性证明 (48)

6.3.5 仿真验证 (49)

6.4 一种增强型增益鲁棒分数阶μλD PI 控制器参数整定 (51)

6.4.1 增强型的鲁棒分数阶μλD PI 控制器参数整定过程 (51)

6.4.2 仿真分析 (53)

6.5 本章小结 (55)

第7章总结与展望 (57)

7.1 总结 (57)

7.2 展望 (57)

第1章绪论

1.1 分数阶微积分概述

分数阶微积分是传统微积分的广义化形式，其阶次不仅覆盖了整数，还包括小数部分，甚至是复数[1-3]。这种域的扩展不仅更能精细地描述自然界中的物理、化学以及动态过程，在控制应用领域还能使系统获得更精准、高效的控制性能。然而，域的延拓势必增加了运算的复杂度，目前绝大部分关于分数阶微积分的运算都需要将无穷维转化为有穷维。

在历史长河中，尽管分数阶微积分学存在着相当大的复杂性，众多数学家以及科研专家反而一直致力于分数阶微积分运算性质及其应用的相关研究，并且取得了成果。早在19世纪40年代，就有学者将两个函数乘积后取微分的运算扩展到分数阶；Center 质疑常数的分数阶微分为0，做出了数学推导，发现Liouville和Lacroix这两种不同定义式下得到的结果完全不相同，随后Morgan在一篇文章中对此做出了解释。1859年，有学者在Liouville定义下给出了正余弦信号的1/2阶微分表达式。30年后，Nekrassov 利用Liouville 1/2阶微分公式，推导出了函数p

( 的任意分数阶微分值。上世纪40

年代初，Widder对分数阶积分的Laplace变换进行了研究。1967年，Caputo提出了适合工程领域应用的定义式。21世纪的最近几年，分数阶微积分如雨后春笋般苏起。2010年YangQuan Chen将分数阶微积分数值实现与控制系统通过Simulink以及半实物仿真平台实现，提供了有效的控制方法和策略。与此同时，其分数阶鲁棒非线性控制技术已在无人机、农业灌溉系统上得到了应用。2012年John Wiley等人阐述了分数阶相关的运动控制应用。实验结果显示针对实际控制系统，分数阶控制较传统方法，动态响应特性及鲁棒性更加优越。

2004年在波尔多召开了首届分数阶微积分理论及其应用座谈会。其后十年间里，该理论越发被数学界及工程界的专家所熟知。2008年第三届、2010年第四届研讨会分别在在土耳其的卡拉、西班牙的达霍斯召开[4]，两次会议不论是国际参会的科研人员，还是国内的学者专家都明显增多。两次大会涵盖了分数阶微积分的大部分领域。

2012年第五届研讨会在中国河海大学举办，其对分数阶微积分面临的新问题和挑战，展开了深入的交流和研讨，特别是在随机行走模型等建模手段和分形导数与各学科的交叉研究方面以及分数阶控制、反常扩散等工程问题中出现的新理论和应用等方面。

最近两三年，分数阶微积分及应用研究已经越来越被万千中国研究者所接受[5]。2014至2015年在国内举办了由Yangquan Chen领导的，国内知名学者教授出席的分数阶年会，此次大会在华南理工大学、东北大学等学校轮流举办。会上众多专家分享在分数阶理论及控制上取得的优异成果，例如锂电池动态特性建模、分数阶微分方程的求解、不确定系统的分数阶滑模控制、分数阶混沌控制等等。2015年中国控制会议在青岛举办，会上出现了不少关于分数阶方面的文章，就分数阶控制展开了深入的交流