23 内积空间与希尔伯特空间

2.3 内积空间与希尔伯特空间

通过前面的学习，知道n 维欧氏空间就是n 维线性赋范空间的“模型”，范数相当于向量的模，表明了线性赋范空间的代数结构．对于三维向量空间，我们知道向量不仅有模，而且两个向量有夹角，例如θ为向量α和β的夹角时有：cos αβ

θαβ

?=

或者cos αβαβθ?=，其中αβ?表示两个向量的数量积(或点积或内积)，α表示向量的模．于是便有了直交性、直交投影以及向量的分解等概念，这些均反映了空间的“几何结构”．通过在线性空间上定义内积，可得到内积空间，由内积可导出范数，若完备则为Hilbert 空间．

2.3.1 内积空间

定义1.1 设U 是数域K 上的线性空间，若存在映射( , )??：U U ?→K ，使得,,x y z U ?∈，

α∈K ，它满足以下内积公理：

(1) (,)0x x ≥；(,)00x x x =?=； 正定性(或非负性) (2) (,)(,)x y y x =； 共轭对称性 (3) (,)(,)(,)x z y x y z y αβαβ+=+， 线性性

则称在U 上定义了内积( , )??，称(,)x y 为x 与y 的内积，U 为K 上的内积空间(Inner product spaces )．当=K R 时，称U 为实内积空间；当=K C 时，称U 为复内积空间．称有限维的实内积空间为欧几里德(Euclid spaces )空间,即为欧氏空间；称有限维的复内积空间为酉(Unitary spaces )空间．

注1：关于复数：设z a bi =+∈C ，那么z oz =；(cos sin )z r i θθ=+其中θ为辐射角、r z =；2

z z z ?=；z z =；对于12,z z ∈C ，有1212z z z z ?=?．

注2：在实内积空间中，第二条内积公理共轭对称性变为对称性．

注3：在复内积空间中，第三条内积公理为第一变元是线性的，第二变元是共轭线性的． 因为(,)(,)(,)(,)(,)x y y x y x y x x y ααααα===?=，所以有

(,)(,)(,)x y z x y x z αβαβ+=+，

即对于第二变元是共轭线性的．在实内积空间中，第三条内积公理为第一变元、第二变元均为线性的．

在n 维欧氏空间n R 中，,n αβ?∈R ，有cos αβαβθ?=，即cos αβαβθαβ?=≤．下

面的引理说明这样的性质在内积空间上同样成立．如果在内积空间上定义范数12

(,)x x x =，其中x U ∈，通过Schwarz 不等式可证明U 为线性赋范空间，即需验证1

2

( , )?=??满足范数公理．

引理1.1 Schwarz 不等式

设U 为内积空间，,x y U ?∈有(,)x y x y ≤?．

证明 当0x =或者0y =时，显然结论成立．假设0x ≠及0y ≠，那么λ?∈C 有

(,)0x y x y λλ++≥

即

0≤(,)x y x y λλ++=(,)(,)(,)(,)x x x y y x y y λλλλ+++

(,)[(,)(,)](,)x x x y y y y x λλλ=+++

令(,)

(,)

x y y y λ=-，则有2

(,)0(,)(,)x y x x y y ≤-，即

2

2

2

(,)(,)(,)x y x x y y x y ≤=?，

因此(,)x y x y ≤?．□

讨论什么条件下？Schwarz 不等式中的(,)x y x y

2

( , )?=??满足范数公理．

(1)正定性和(2)齐次性容验证；(3)三角不等式：,x y U ?∈有

2

(,)x y

x y x y +=++(,)(,)x x y y x y =+++

(,)(,)x x y y x y ≤+++ x x y y x y ≤?++?+ ()x y x y =++

故x y x y +≤+．

因此任何内积空间都可看成由内积导出的线性赋范空间，由范数12

(,)x x x =导出的距离为

1

2

(,)(,)d x y x y x y x y =-=--．

例1.1 在点列依范数收敛时，内积(,)x y 是,x y 的连续映射．即内积空间U 中的点列{}n x ，{}n y 依范数收敛0n x x →，0n y y →，那么有00(,)(,)n n x y x y →．

证明 因为当n →∞时0n y y →，所以{}n y 有界，即存在正实数0M ≥，使得n y M ≤，那么

000000(,)(,)(,)(,)(,)(,)n n n n n n x y x y x y x y x y x y -=-+-

0000(,)(,)(,)(,)n n n n x y x y x y x y ≤-+-

000(,)(,)n n n x x y x y y =-+- 000n n n x x y x y y ≤-+- 0000n n x x M x y y ≤-+-→

因此二元函数(,)(,)F x y x y =是连续函数．□

2.3.2 希尔伯特空间

定义1.2 设U 是数域K 上的内积空间，如果U 按内积导出的范数12

(,)x x x =成为Banach 空间，就称U 为Hilbert 空间，简记为H 空间．

注4：因为内积(,)x y 可导出范数1

2

(,)x x x =，范数x 可导出距离(,)d x y x y =-，所以有

内积空间→线性赋范空间→度量空间．

其中称完备的线性赋范空间为Banach 空间，完备的内积空间为Hilbert 空间．

下面给出一些Hilbert 空间的例子． 1、实内积空间n R 是Hilbert 空间．

对于12(,,,),n x x x x =L 12(,,,)n y y y y =L n ∈R ，n 维欧式空间n R 上的标准内积定义为

1122(,)n n x y x y x y x y =+++L

导出的范数为122

1

()i

n

i x x ==∑，距离为12

2

1

(,)()n

i i i d x y x y ==-∑．□

2、复内积空间n C 是Hilbert 空间．

对于12(,,,),n x x x x =L 12(,,,)n y y y y =L n ∈C ，n 维酉空间n C 上的内积定义为

1122(,)n n x y x y x y x y =+++L

导出的范数为12

2

1

()n

i i x x ==∑，距离为12

2

1

(,)()n

i i i d x y x y ==-∑．□

3、复内积空间2l 是Hilbert 空间．

2

2

121

{|(,,),,}i i i l x x x x x x ∞

===<+∞∈∑L C ，2,x y l ?∈，定义内积为

11221

(,)i i i x y x y x y x y ∞

==++=∑L

由Cauchy 不等式知1122

2

2

1

1

1

(,)()()i i

i i i i i x y x y

x y ∞

∞

∞

====

≤≤+∞∑∑∑，内积导出的范数为

122

1

()i i x x ∞

==∑，距离为12

2

1

(,)()i i i d x y x y ∞

==-∑．□

4、复内积空间2[,]L a b 是Hilbert 空间．

{

}

22[a,b]

[,]():[,]| (L) |()|L a b x t a b x t dt =→<+∞?

C ，2,[,]x y L a b ?∈定义内积为

[a,b]

(,)() ()()x y L x t y t dt =?

由荷尔德(H?lder)公式知

112

2

2

2

[a,b]

[a,b][a,b]

[a,b]

(,)()()()()(())(())x y x t y t dt x t y t dt x t dt y t dt =

≤≤<+∞?

?

?

?

内积导出的范数为1

2

2

[a,b](())x x t dt =?，距离为12

2

[a,b](,)(()())d x y x t y t dt =-?．□

2.3.3 内积空间与线性赋范空间的关系

对于一个内积空间而言，内积可诱导一个范数，即它也是一个线性赋范空间，那么内积空间中的内积与它作为线性赋范空间的范数的关系如何？

定理1.1 极化恒等式 内积空间中的内积与范数的关系式． (1) 在实内积空间中22

1(,)()4

x y x y x y =+--．

(2) 在复内积空间中2222

1(,)()4

x y x y x y i x iy i x iy =+--++--． 证明 (1) 由于在实内积空间中范数12

(,)x x x =，所以

2

2

(,)(,)x y x y

x y x y x y x y +--=++---

[(,)(,)(,)(,)][(,)(,)(,)(,)]x x x y y x y y x x x y y x y y =+++---+ 2(,)2(,)x y y x =+ 4(,)x y =．

同理可证(2)复内积空间中的极化恒等式成立．□

注5：从上证明过程可知，对于任何内积空间有

2

2

4Re(,)x y x y

x y +--=；

对应的另一个结果可从下面的证明过程获得：

2

2

22

22x y x y

x y ++-=+．

由于内积可诱导出范数，所以一个内积空间可自然而然的看成一个线性赋范空间，然而一个线性赋范空间的范数却未必可由它的某个内积导出，什么情况下成立呢？

定理1.2 内积空间的特征性质

线性赋范空间X 成为内积空间?,x y X ?∈，范数满足平行四边形公式

2

2

22

22x y x y

x y ++-=+．

证明 必要性? 因为1

2(,)x x x =，所以

2

2

(,)(,)x y x y

x y x y x y x y ++-=+++--

(,)(,)(,)(,)x x y y x y x x y y x y =++++--- (,)(,)(,)(,)x x y y x y x x y y x y =++++--- (,2)(,2)x x y y =+ 2(,)2(,)x x y y =+

2

2

22x y =+

充分性? 首先定义内积，当X 是实内积空间时，定义

22

1(,)()4

x y x y x y =

+--； 当X 是复内积空间时，定义

2222

1(,)()4

x y x y x y i x iy i x iy =

+--++--． 下面仅验证实内积空间定义的内积满足正定性、共轭对称性及线性性，对于X 是复内积空间时同理可证(练习)．

由于2

2

2

1

(,)()4

x x x x x x x =+--=，显然内积公理中的正定性成立；根据

2222

11(,)()()(,)44

x y x y x y y x y x y x =

+--=+--= 可知内积公理中的对称性同样成立．下面证明,,x y z X ?∈及α∈R 有

(,)(,)(,)x y z x z y z +=+，(,)(,)x z x z αα=．

由平行四边形公式知：

2

2

2

2

()()()()22222222z z z z z z x y x y x y +++++-+=+++；

2

2

2

2

()()()()22222222

z z z z z z x y x y x y -+-+---=-+-．

上述两式相减并除以4得，

2222

22

111()2()2()4422422

z z z z x y z x y z x x y y ++-+-=?+--+?+-- 即(,)2(,)2(,)22

z

z x y z x y +=+，特别地，取0x =或0y =得

(,)2(,)2z x z x =，(,)2(,)2

z

y z y =，

于是

(,)(,)(,)x y z x z y z +=+．

利用归纳法可证对于正整数n ，(,)(,)nx z n x z =成立，对于有理数p

r q

=

，其中,p q ∈N ，有 (,)(,)(,)(,)q rx z qrx z px z p x z ===，

于是得(,)(,)(,)p

rx z x z r x z q

=

=成立．因为对于实数α∈R ，存在有理数列{}()n r n α→→∞，所以有n r x x α→，利用范数的连续性知(,)(,)n r x z x z α→，故

(,)lim(,)lim (,)(,)n n n n x z r x z r x z x z αα→∞

→∞

===．□

注6：对于线性赋范空间而X 言，上述定理表明：如果X 上的范数不满足平行四边形公式，那么X 上不存在这样的内积，使得它导出的范数就是X 上的范数．

例1.2 对于线性赋范空间121

{|(,,),,}p

p

i

i i l x x x x x x ∞

===<+∞∈∑L C ，

其中1p ≥，范数定义为11

()p

p

i i x x ∞

==∑，距离为11

(,)()p

p

i i i d x y x y ∞

==-∑，前面章节的结论表明p l 为Banach 空间, 2l 为

Hilbert 空间．证明当2p ≠时，p l 不成为内积空间．

证明 由上述定理知，只需验证当2p ≠时，p l 不满足平行四边形公式．令

(1,1,0,0,,0,)x =L L ，(1,1,0,0,,0,)y =-L L ，

则,p

x y l ∈，且1

2p x =，12p

y =以及2x y +=，2x y -=，于是

2

2

8x y x y

++-=，22222

22222242p p p

x y

+=?+?=?，

因此2

2

22

22x y x y x y ++-=+当且仅当2p =，即当2p ≠时，p l 上不能定义内积(,)x x 使得12

(,)x x x =．□

例 1.3 对于连续函数空间空间[,]C a b 而言，范数为[,]

||||max |()|t a b x x t ∈=，导出的距离为

[,]

(,)||||max |()()|t a b d x y x y x t y t ∈=-=-时，[,]C a b 为Banach 空间．证明[,]C a b 不成为内积空间．

证明 令()1x t =，()t a

y t b a

-=

-，显然1x y ==，而

()()1t a x t y t b a -+=+

-，()()1t a

x t y t b a

--=-- 于是有2x y +=，1x y -=，从而得，

2

2

5x y x y

++-=，22

224x y

+=，

因此平行四边形公式不成立，即在[,]C a b 上不能定义内积(,)x x 使得1

2

(,)x x x =．□

例 1.4 对于p 次幂可积函数空间{}

[a,b]

[,]()| |()|p p L a b x t x t dt =<+∞?，范数定义为

1[,]

||||(|()|)p

p

a b x x t dt =?

，

导出的距离为1

[,]

(,)(|()()|)p

p

a b d x y y t x t dt =-?，[,]p L a b 为Banach 空间．

证明当2p ≠时，[,]p L a b 不成为内积空间．

证明 令()1x t =，1[,)

()1[,]t a c y t t c b -∈?=?

∈?

，其中2a b c +=，于是有

0[,)()()2[,]t a c x t y t t c b ∈?+==?∈?，2[,)

()()0[,]t a c x t y t t c b ∈?-==?∈?

．

则

1()p

x y b a ==-，111

1(2)2()2

p

p

p p b a x y x y b a --+=-=?=-．

故

22

2

224()p

x y

b a +=-，22322

2

()p

p

x y x y

b a -

++-=-，

可见当2p ≠时平行四边形公式不成立，即在[,]p

L a b 上不能定义内积(,)x x 使得12

(,)x x x =．□ 数学家简介

大卫?希尔伯特（David Hilbert ，1862 年1月23日―1943年2月14日），德国数学家，

是19世纪和20世纪初最具影响力的数学家之一．希尔伯特1862年出生于哥尼斯堡，1943年在德国哥廷根逝世．他因为发明和发展了大量的思想观念（例如：不变量理论，公理化几何，希尔伯特空间）而被尊为伟大的数学家、科学家．希尔伯特和他的学生为形成量子力学和广义相对论的数学基础做出了重要的贡献．他还是证明论、数理逻辑、区分数学与元数学之差别的奠基人之一．他热忱地支持康托的集合论与无限数．他在数学上的领导地位充分体现于：1900年，在巴黎举行的第2届国际数学家大会上，38岁的大卫?希尔伯特作了题为《数学问题》的著名讲演，提出了新世纪所面临的23个问题．这23个问题涉及了现代数学的大部分重要领域，著名的哥德巴赫猜想就是第8

个问题中的一部分．对这些问题的研究，有力地推动了20世纪各个数学分支的发展．希尔伯

特的着作有《希尔伯特全集》《几何基础》《线性积分方程一般理论基础》等．1928年他跟威廉?阿克曼合写《理论逻辑原理》（Grundzuge der Theoretischen Logik）．1930年，希尔伯特在他退休时演讲的最后六个单词，Wir müssen wissen, wir werden wissen. 我们必须知道，我们必将知道（We must know, we shall know）也是鼓舞一代数学家的六个单词．尽管当时第三次数学危机仍然阴魂不散，但他们坚信，数学大厦的基础是坚实的．他们也坚信，任何数学真理，只要通过一代又一代人的不断努力，都能用逻辑的推理将其整合到数学的大厦中．这是何等的气魄！这是何等的梦想！