第1讲角平分线模型讲义

中考几何模型解题之

——角平分线模型（李翠梅+李磊）

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知识提要

1. 夹角模型

2. 角平分线加垂直

3. 角平行线加平行线

4. 对角互补的四边形角平分线

一、 精讲精练（解题分析及答案请观看本讲视频）

【模型一】夹角模型

OA 、OC 分别是∠BAC 、∠BCA 的角平分线，

则：∠AOC=90°+1

2

∠B ．

BP 、CP 分别是∠ABC 、∠ACD 的角平分线，

则：∠P=1

2

∠A ．

AD 、CD 分别是∠EAC 、∠FCA 的角平分线，

则： ∠D=90°-1

2

∠B ．

1. 如图，在△ABC 中，∠B ＝60°，∠A 、∠C 的角平分线AE 、CF 相交于O ．

求证：OE ＝OF ．

2. （2011湖北黄冈）如图，△ABC 的外角∠ACD 的平分线CP 与内角∠ABC

平分线BP 交于点P ，若∠BPC =40°，则∠CAP

=_______________.

3. （2011年山东临沂）如图，△ABC 中，AB =AC ，AD 、CD 分别是两个外角的平分线.

（1）求证：AC =AD ；

（2）若∠B =60°，求证：四边形ABCD 是菱形.

F

E D

C B A

【模型二】角平分线加垂直

AB ⊥AC ，AB =AC ，CE 是∠ACB 的平分线，

BE ⊥CE ，则: BE =1

2

CF ．

4. （2011大连）在△ABC 中，∠A ＝90°，点D 在线段BC 上，∠EDB ＝

1

2

∠C ，BE ⊥DE ，垂足为E ，DE 与AB 相交于点F ． （1）当AB ＝AC 时（如图1），①∠EBF ＝_______°；②探究线段BE 与FD 的数量关系，并加以证明；

O F

E

C

B

A

图1

F E

D C

B A

F

E B

C

A

O M N

（2）当AB ＝kAC 时（如图2），求BE

FD

的值（用含k 的式子表示）．

【模型三】角平分线加平行线

OP 是∠MON 的角平分线，AB ∥ON ， 则：OA=AB ．

5. （2011江苏宿迁）如图，在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，∠ADC 的平分线与∠BCD 的平

分线的交点E 恰在AB 上．若AD ＝7cm ，BC ＝8cm ，则AB 的长度是 _____cm ．

E

D C

B

A

6. （2011山东滨州）如图，在△ABC 中，点O 是AC 边上（端点除外）的一个

动点，过点O 作直线MN ∥BC .设MN 交∠BCA 平分线于点E ，交∠BCA 的外角平分线于点F ，连接AE 、AF .那么当点O 运动到何处时，四边形AECF 是矩形？并证明你的结论.

A

B

C

D

E

F

图2

【模型四】四边形对角互补模型

∠A +∠C =180°，BD 是∠ABC 的平分线， 则:AD =CD ．

7. （2011年山东临沂前两问）如图1，将三角板放在正方形ABCD 上，使三角

板的直角顶点E 与正方形ABCD 的顶点A 重合，三角板的一边交CD 于点F ，另一边交CB 的延长线于点G . （1）求证：EF =EG ；

（2）如图2，移动三角板，使顶点E 始终在正方形ABCD 的对角线AC 上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．

图2

E

A

B

C

D

F

G

图1

G

F

D C

B

E(A

)